沪科版八年级数学下册知识总结
一元二次方程知识点：
1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ； 其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.
2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.
3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：
Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根； Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系： 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：
.a
c
x x a
b
x x )2(a 2ac 4b b x )
1(212122
,1=
-=+-±-=，
； 5. 一元二次方程的解法
（1） 直接开平方法 （也可以使用因式分解法）
①2(0)x a a =≥ 解为：x =
②2()(0)x a b b +=≥ 解为：x a +=
③2()(0)ax b c c +=≥ 解为：ax b +=④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+
（2） 因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法
如：20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+= 此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0
290(3)(3)0x x x -=⇔+-= 230(3)0x x x x -=⇔-=
3(21)5(21)0(35)(21)0x x x x x ---=⇔--=
22694(3)4x x x -+=⇔-= 2241290(23)0x x x -+=⇔-= 24120(6)(2)0x x x x --=⇔-+= 225120(23)(4)0x x x x +-=⇔-+=
（3） 配方法
①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：
222
0()()022
P P x Px q x q ++=⇔+
-+= 示例：22233
310()()1022x x x -+=⇔--+=
②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：
22220 (0)()0 ()()022b b b
ax bx c a a x x c a x a c a a a
++=≠+
+=⇒-⇒++= 22222
4()()2424b b b b ac
a x c x a a a a -⇒+=-⇒+=
示例： 22221
111210(4)10(2)2102222
x x x x x --=⇔--=⇔--⨯-=
（4）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：
222
4()24b b ac
x a a -+=
①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：
1,22b x a
-=
② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a
=- ③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。 备注：公式法解方程的步骤：
①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、
c
②求出24b ac ∆=-，并判断方程解的情况。
③代公式：1,22b x a
-=（要注意符号）
※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题： (以下等价关系要求会用公式 a
c
x x a
b
x x 2121=
-=+，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记)
（1）两根互为相反数 ⇔ a
b -= 0且Δ≥0 ⇔ b = 0且Δ≥0； （2）两根互为倒数 ⇔ a
c =1且Δ≥0 ⇔ a = c 且Δ≥0；
（3）只有一个零根 ⇔ a
c
= 0且a
b -≠0 ⇔
c = 0且b ≠0； （4）有两个零根 ⇔ a
c
= 0
且a
b -= 0 ⇔
c = 0
且b=0；
（5）至少有一个零根 ⇔ a
c =0 ⇔ c=0； （6）两根异号 ⇔ a
c ＜0 ⇔ a 、c 异号；
（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值⇔ a c ＜0且a
b -＞0⇔ a 、
c 异号且a 、b 异号；
（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值⇔ a c ＜0且a
b -＜0⇔ a 、
c 异号且a 、b 同号；
（9）有两个正根 ⇔ a c ＞0，a
b -＞0且Δ≥0 ⇔ a 、
c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；
（10）有两个负根 ⇔ a c ＞0，a
b -＜0且Δ≥0 ⇔ a 、
c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.
6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.
ax 2
+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2) 或 ax 2
+bx+c=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--
a 2ac 4
b b x a
2ac 4b b x a 22. 7．求一元二次方程的公式：
x 2 -（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数. 8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一 （设增长率为x ）： (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.
（2）常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和.
