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北师大版七年级数学下册《2.1 第2课时垂线》教案一. 教材分析《2.1 第2课时垂线》这一课时主要让学生了解垂线的概念，掌握垂线的性质，并能够运用垂线的性质解决一些简单的问题。
教材通过生活实例引入垂线的概念，接着引导学生探究垂线的性质，最后通过一些练习题让学生巩固所学知识。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一些几何的基本知识，对图形的认知有一定的基础。
但是，对于垂线的概念和性质可能还比较陌生，需要通过实例和探究活动来理解和掌握。
三. 教学目标1.了解垂线的概念，掌握垂线的性质。
2.能够运用垂线的性质解决一些简单的问题。
3.培养学生的观察能力、操作能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.垂线的概念和性质。
2.运用垂线的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入垂线概念，激发学生的学习兴趣。
2.探究教学法：引导学生通过观察、操作、讨论等方式探究垂线的性质。
3.实践教学法：通过练习题让学生运用垂线的性质解决实际问题。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示垂线的概念和性质。
2.练习题：准备一些有关垂线的练习题，用于巩固所学知识。
3.教学工具：直尺、三角板等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入垂线的概念，如建筑工人测量的场景，让学生初步了解垂线。
2.呈现（10分钟）展示垂线的性质，引导学生观察并总结垂线的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，利用直尺、三角板等工具，画出一些垂线，并验证垂线的性质。
4.巩固（10分钟）出示一些有关垂线的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）出示一些实际问题，让学生运用垂线的性质解决，如在建筑设计中如何确定墙体的垂直方向等。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调垂线的概念和性质。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关垂线的练习题，让学生回家巩固所学知识。
8.板书（5分钟）根据教学内容，设计板书，突出垂线的概念和性质。
北师大版七年级数学下册《2.1 第2课时垂线》教学设计一. 教材分析《2.1 第2课时垂线》这一课时主要让学生了解垂线的定义，掌握垂线的性质，并能够运用垂线的性质解决一些实际问题。
教材通过生活实例引入垂线的概念，接着引导学生探究垂线的性质，最后通过练习巩固所学知识。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力，他们对直线、射线等概念有一定的了解。
但是，对于垂线的定义和性质，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要通过生动的实例和直观的演示，帮助学生理解和掌握垂线的概念和性质。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生了解垂线的定义，掌握垂线的性质，并能够运用垂线的性质解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、探究等方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：垂线的定义，垂线的性质。
2.难点：垂线的性质的证明和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入垂线概念，激发学生的学习兴趣。
2.演示法：通过直观的演示，帮助学生理解和掌握垂线的性质。
3.探究法：引导学生通过合作探究，发现垂线的性质。
4.练习法：通过适量的练习，巩固所学知识。
六. 教学准备1.教具：直尺、三角板、多媒体设备。
2.学具：每人一把直尺、三角板。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾直线、射线的概念，为新课的学习做好铺垫。
示例：同学们，我们已经学习了直线和射线，你们能告诉我直线和射线的特点吗？2.呈现（10分钟）教师通过生活实例引入垂线的概念，并展示图片，让学生观察和描述。
示例：同学们，你们看这张图片，有什么发现？(图片展示两座建筑物之间的电线)3.操练（10分钟）教师引导学生用直尺和三角板画出两条垂线，并观察和讨论垂线的性质。
示例：同学们，请你们用直尺和三角板画出两条垂线，并观察它们的性质。
2.1.2 两条直线的位置关系第二课时-垂线及垂线的性质导学案【学习目标】1、理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线2、掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离3、掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理【学习重点】垂线的定义及性质【学习难点】垂线的画法【课堂学习】一、情景导入二、自主学习探究一：垂直、垂线的定义自主学习课本第162页，回答下列问题：1、两条直线相交，所成四个角中有一个角是时，我们称这两条直线，其中一条直线是另一条的，他们的交点叫做。
2、垂直的符号表示：(垂直用符号“”来表示)（1）如右图，若“直线AB垂直于直线CD，垂足为O”，则记为AB CD，垂足为O。
（2）○1由两条直线交角为直角，可知两条直线互相垂直，记为：∵∠AOD=90°（已知）∴AB⊥CD （垂直的定义）②由两条直线垂直，可知四个角为直角，记为：∵ AB⊥CD （已知）∴∠AOD=90°（垂直的定义）3、总结：①垂直是相交。
是相交的一种特殊情况。
②垂直是一种相互关系，即a⊥b，同时b⊥a③当提到线段与线段，线段与射线，射线与射线，射线与直线的垂直情况时，是指它们所在的直线互相垂直。
练一练：如图直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB。
已知∠BOD=45°，求∠COE 的度数。
探究二：画已知直线l的垂线自主学习：课本第163页，回答：1垂线的画法有两种：利用或者。
2、经过直线l上一点A画垂线，这样的垂线能画几条？3、经过直线l外一点B画垂线，这样的垂线能画几条？总结：垂直的性质1 过一点直线与已知直线垂直。
练一练：分别画出点A、B、C到BC、AC、AB的垂线段._A_C_B探究三：垂直的性质2：自主学习课本第164页，回答下列问题：1、如下图，连接直线l外一点P与直线l上各点O,A、B、C、l比较线段PO、PA、PB、PC……的长短，这些线段中，那一条最短？pA B C O l由此你能得出什么结论？垂线的性质:__________________________________________2、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的，叫做点到直线的距离。
垂线
1.如图,OA⊥OB,∠1=35°,则∠2的度数是( )
A.35°
B.45°
C.55°
D.70°
2.如图,CD⊥EF,垂足为O,AB是过点O的直线,∠1=50°,则∠2的度数为( )
A.50°
B.40°
C.60°
D.70°
3.如图,点O在直线AB上且OC⊥OD,若∠COA=36°,则∠DOB的大小为( )
A.36°
B.54°
C.55°
D.44°
4.如图,已知OA⊥OB,OC⊥OD,∠AOC=27°,则∠BOD的度数是( )
A.117°
B.127°
C.153°
D.163°
5.已知在同一平面内:①两条直线相交成直角;②两条直线互相垂直;③一条直线是另一条直线的垂线.那么下列因果关系:①→②③;②→①③;③→①②中,正确的有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
6.下列选项中,过点P画AB的垂线,三角板放法正确的是( )
7.过一条线段外一点,作这条线段的垂线,垂足在( )
A.这条线段上
B.这条线段的端点处
C.这条线段的延长线上
D.以上都有可能
8.下列说法正确的有( )
①在同一平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
②在同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
③在同一平面内,过一点可以画一条直线垂直于已知直线;
④在同一平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
9.如图,过点P作直线l的垂线和斜线,叙述正确的是( )
A.都能作且只能作一条
B.垂线能作且只能作一条,斜线可作无数条
C.垂线能作两条,斜线可作无数条
D.均可作无数条
10.如图,如果直线ON⊥直线a,直线OM⊥直线a,那么OM与ON重合(即O,M,N三点共线),其理由是( )
A.过两点只有一条直线
B.在同一平面内,过两点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.两点之间,线段最短
11.(1)在图①中,过AB外一点M作AB的垂线;
(2)在图②中,分别过A,B作OB,OA的垂线.
提升训练
12.在直线AB上任取一点O,过点O作射线OC,OD,使OC⊥OD,当∠AOC=30°时,∠BOD的度数是多少?
13.如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于点O,∠EOD：∠DOB=3：1,求∠COE的度数.
14.已知OA⊥OB,OC⊥OD.
(1)如图①,若∠BOC=50°,求∠AOD的度数.
(2)如图②,若∠BOC=60°,求∠AOD的度数.
(3)根据(1)(2)结果猜想∠AOD与∠BOC有怎样的关系?并根据图①说明理由.
(4)如图②,若∠BOC∶∠AOD=7∶29,求∠COB和∠AOD的度数.
15.(1)在图①中以P为顶点画∠P,使∠P的两边分别和∠1的两边垂
直;
(2)量一量∠P和∠1的度数,它们之间的数量关系
是;
(3)同样在图②和图③中以P为顶点作∠APB,使∠APB的两边分别和∠1的两边垂直,分别写出图②和图③中∠APB和∠1之间的数量关系(不要求写出理由).
图②:,
图③:;
(4)由上述三种情形可以得到一个结论:如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直,那么这两个角(不要求写出理由).
参考答案
1.【答案】C
2.【答案】B
解：因为CD⊥EF,所以∠DOF=90°,即∠1+∠DOB=90°,而∠1=50°,所以∠DOB=40°.又∠DOB与∠2是对顶角,所以∠2=∠DOB=40°,故选B.
3.【答案】B
解：因为OC⊥OD,所以∠COD=90°.又因为∠AOC+∠COD+∠DOB=180°,所以∠DOB=180°-36°-90°=54°.故选B.
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】D
解：作一条线段的垂线,实际上是作线段所在直线的垂线,垂足可能在这条线段上,可能在端点处,也可能在线段的延长线上.
8.【答案】C
解：①②③的说法都正确,但④的说法是错误的,平面内有无数条直线垂直于已知直线,故选C.
9.【答案】B 10.【答案】C
11.解:(1)如图①. (2)如图②.
分析：本题易错之处在于误认为垂足一定落在线段或射线上.
①②
12.解:如图①,当OC,OD在AB同侧时,因为OC⊥OD,所以∠COD=90°.因为∠AOC=30°,所以∠BOD=180°-∠COD-∠AOC=60°.
如图②,当OC,OD在AB异侧时,因为OC⊥OD,所以∠COD=90°.
因为∠AOC=30°,
所以∠AOD=90°-∠AOC=60°.所以∠BOD=180°-∠AOD=120°.
分析：本题应用分类讨论思想,射线OC,OD的位置有两种情况:位于直线AB的同侧和位于直线AB的异侧,易错之处在于考虑不周忽略其中一种情况.
13.解:因为OE⊥AB,所以∠EOB=∠EOA=90°.因为∠EOD∶∠DOB=3∶1,所以∠DOB=90°×=22.5°.因为∠AOC=∠DOB=22.5°,所以∠COE=∠EOA+∠AOC=90°+22.5°=112.5°.
14.解:(1)因为OA⊥OB,所以∠AOB=90°,所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-50°=40°.因为OC⊥OD,所以∠COD=90°,所以∠AOD=∠AOC+∠COD=40°+90°=130°.
(2)因为OA⊥OB,所以∠AOB=90°.因为OC⊥OD,所以∠COD=90°,所以∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-90°-60°-90°=120°. (3)∠AOD与∠BOC互补.理由:因为OA⊥OB,所以∠AOB=90°,所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-∠BOC.因为OC⊥OD,所以∠COD=90°,所以∠AOD=∠AOC+∠COD=90°-∠BO C+90°=180°-∠BOC,所以∠AOD+∠BOC=180°,即∠AOD与∠BOC互补.
(4)易知∠BOC+∠AOD=180°,又因为∠BOC∶∠AOD=7∶29,所以∠COB=35°,∠AOD=145°.
15.解:(1)如图①.
(2)∠1+∠P=180°
(3)如图②,图③.∠1=∠APB;∠1=∠APB或∠1+∠APB=180°
(4)相等或互补。
