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高中数学《第三讲中国古代数学瑰宝二《九章算术》》41PPT课件 一等奖名师

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高中数学《第三讲中国古代数学瑰宝二《九章算术》》45PPT课件 一等奖名师

高中数学《第三讲中国古代数学瑰宝二《九章算术》》45PPT课件 一等奖名师
例算法是几何线段的比例，数字比例算法在欧洲出现颇晚，被 称为“三率法”也叫“黄金法则”。
• 第三章“衰分”：处理各种正、反比例分配问题 • • 主要论述分配比例算法，其中问题多与商业、手工业及
社会制度有关。
• • 例：“今有大夫、不更、簪褭（zān niǎo）、上造、公
士五人，共借得五鹿，欲以爵次分之，问个几何？”
• 第四章 “少广”：
• 已知面积、体积、求其一边长和径长等
ห้องสมุดไป่ตู้
•
•
主要成就包括开平方、开立方的算法。用来求已知面积、 体积，反求其一边和径长等。
•
• 而“开方术”开创了后来开更高次方和求更高次方程数 值解之先河，并且指出了存在有开不尽的情形，并给这 种不尽根数起了一个专门的名字——“面”。
• 第五章“商功”：土石工程、体积计算
中国古代数学瑰宝
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(2015·高考全国卷Ⅰ，5 分)《九章算术》 是我国古代内容极为丰富的数学名著， 书中有如下问题：“今有委米依垣内 角，下周八尺，高五尺．问：积及为米 几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆 放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出 堆放的米约有( )
根据随机抽样事件的概率得
x ＝ 28 ，得 x≈169. 1 534 254 事实上,1 534 约是 254 的 6 倍,则 x 约是 28 的 6 倍，故选 B.
3．《九章算术》是我国古代数学名著，它 在几何学中的研究比西方早 1 千多年．例 如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直 于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一 侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑指四个面均为直角三角形的 四面体． 如图，在堑堵 ABC-A 1B 1C1 中，AC⊥BC.

高中数学《第三讲中国古代数学瑰宝二《九章算术》》42PPT课件 一等奖名师公开课比赛优质课评比试讲

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1立体几何---鳖臑广东二师附中数学科组罗剑锋2018年6月14日2015年湖北高考数学之后，广大考生感言：阳马、鳖臑，想说爱你不容易；中学教师考后反思：阳马、鳖臑，不说爱你又没道理；试题评价专家说：湖北高考数学试题注重数学本质，突出数学素养，彰显数学文化.阳马、鳖臑是什么呢？1试题再现《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图1，在阳马ABCDP中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于点F，连接,,,.DEDFBDBE(I)证明：PB平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；(II)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π3，求DCBC 的值．阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵. 再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马.余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑.22试题赏析《普通高中课程标准实验教科书数学必修2》的“第一章立体几何初步”的“第六节垂点P为ABC所在直关系”的例题如图4所示，在中，90B，平面外一点，PA平面ABC。

问：四面体PABC中有几个直角三角形？（哪个角是直角？）如图5，鳖臑几何体PABC中，PA平面ABC，ACCB，AMPB于M，ANPC于N．证明：PBMN．3典型例题例1、2017年广州一测（10）变式《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥PABC 为鳖臑,PA⊥平面ABC,4PAAC，2AB,三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为（）（A）8（B）12（C）20（D）32PAC图4MPABC图5NRtABC3变式1、中国古代第一部数学名著《九章算术》中,将一般多面体分为阳马、鳖臑、堑堵三种基本立体图形,其中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑,若三棱锥Q-ABC为鳖臑,QA⊥平面ABC，AB⊥BC，QA=BC=3，AC=5，则三棱锥Q-ABC 外接球的体积为（）A．32B.C.D.34变式2、《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑。

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• 第四章 “少广”：
• 已知面积、体积、求其一边长和径长等
•
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主要成就包括开平方、开立方的算法。用来求已知面积、 体积，反求其一边和径长等。
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• 而“开方术”开创了后来开更高次方和求更高次方程数 值解之先河，并且指出了存在有开不尽的情形，并给这 种不尽根数起了一个专门的名字——“面”。
• 第五章“商功”：土石工程、体积计算
• 例：上等禾谷三捆，中等禾谷二捆，下等禾谷一捆，，共出 粮三十九斗；上等禾谷二捆，中等禾谷三捆，下等禾谷一捆，， 共出粮三十四斗；上等禾谷一捆，中等禾谷二捆，下等禾谷三 捆，，共出粮二十六斗。问上中下等禾谷每捆出粮各多少？
解：设上中下禾各一秉打出的粮食分别为x，y，z斗
则解方程组
3x 2y z 39 2x 3y z 34 x 2y 3z 26
《九章算术》所创立的机械算法体系显示出比欧几 里得几何学更高的水准．并将其扩展到其他领域，其算 法体系至今仍推动着计算机的发展与应用．
《九章算术》
六艺：礼、乐、射、御、书、数
《九章算术》
（东汉，公元1世纪初）
《周礼》
《九章算术》的主要内容
• 《九章算术》的内容十分丰富，全书主要采用问题集 的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题 。
根据随机抽样事件的概率得
x ＝ 28 ，得 x≈169. 1 534 254 事实上,1 534 约是 254 的 6 倍,则 x 约是 28 的 6 倍，故选 B.
3．《九章算术》是我国古代数学名著，它 在几何学中的研究比西方早 1 千多年．例 如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直 于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一 侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑指四个面均为直角三角形的 四面体． 如图，在堑堵 ABC-A 1B 1C1 中，AC⊥BC.

高中数学《第三讲中国古代数学瑰宝二《九章算术》》40PPT课件 一等奖名师

高中数学《第三讲中国古代数学瑰宝二《九章算术》》40PPT课件 一等奖名师
若π取 3，其体积为 12.6(立方寸)，则图中的 x 为___1_.6____．
[解析] 由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而 成．由题意得： (5.4－x)×3×1＋π·(12)2x＝12.6， 解得 x＝1.6.
4、《九章算术》勾股章有一问题：今有立木，系索其末， 委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何?其意思 是：现有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索晶，它的出
现标志着中国古代数学体系的形成，是中国古代 数学体系的初期代表作。 后世的数学家，大都
是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。 唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年 由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早的 印刷本数学书。可以说，《九章算术》是中国为 数学发展做出的又一杰出贡献。
2.《九章算术》是我国古代著名数学经 典．其中对勾股定理的论术比西方早一 千多年，其中有这样一个问题：“今有 圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之， 深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其 意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯 去锯该材料，锯口深 1 寸，锯道长 1 尺．问这块圆柱形木料 的直径是多少？长为 1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中， 截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．
木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 3 尺，牵着绳 索退行，在离木柱根部 8 尺处时绳索用尽，问绳子有多长？ 现从该绳索上任取一点，该点取自木柱上绳索的概率为
(
)
A．
B．
C． D．
根据题设条件，作示意图如图所示，设绳长为 x 尺，则木柱
高为(x-3)尺，由勾股定理得： (x 3)2 82 x2 ，
3．中国古代数学名著《九章算术》中的“引葭赴岸” 是一 道名题，其内容为：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一 尺，引葭赴岸，适与齐．问水深葭长各几何”意为：今有边 长为 1 丈的正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的部分 为 1 尺，将芦苇牵引向池岸，恰巧与水岸齐接，问水深芦苇 的长度各是多少？将该问题拓展如图，记正方形水池的剖面 图为 ABCD，芦苇根部 O 为 AB 的中点，顶端为 P(注芦苇与 水面垂直)．在牵引顶端 P 向水岸边中点 D 的过程中，当芦苇 经过 DF 的中点 E 时，芦苇的顶端离水面的距离约为_34_69_尺_____ 尺．(注：1 丈＝10 尺， 601≈24.5)

高中数学《第三讲中国古代数学瑰宝二《九章算术》》41PPT课件 一等奖名师公开课比赛优质课评比试讲

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1中国古代数学瑰宝——《九章算术》教学设计隆德县中学刘芳【教材分析】本节课教材是人教A版高中数学（选修3—1数学史选讲）第三讲中国古代数学瑰宝的第二节。

本节课是学生在学习了古希腊数学史之后，学习的关于我国主要数学成就的第二块内容。

《九章算术》是世界数学发展史上的宝贵遗产,是中国古代数学发展史上的重要里程碑,它对中国古代数学发展的影响之大是任何其他数学书籍不能相比的。

它几乎成了中国古代数学的代名词。

中国历代数学家从中汲取着丰富的营养,不断地将中国数学推向前进。

因此，学习本节课的内容十分重要。

【学情分析】学习本节课学生对于数学史的知识了解甚少。

“历史使人明智”。

学习一些数学史知识，可以使同学们了解数学的发展轨迹，更好地体会数学概念所反映的思想方法，感受数学家们刻苦钻研和勇于开拓的精神，这对开阔视野、启发思维以及学习和掌握数学知识都大有益处。

【教学目标】知识与技能：1．了解中国最早的经典数学著作之一的《九章算术》的深远影响；2.初步熟悉我国古代数学家刘徽的杰出贡献；3．学习《九章算术》介绍的各种实际问题解法。

过程与方法：《九章算术》总结了自周代以来的中国古代数学，学习其中代表性的“盈不足术”、“方程术”、“正负术”。

2情感态度与价值观：《九章算术》是中国古代最著名的传世数学著作，又是中国古代最重要的数学典籍，对中国古代数学的发展起到了巨大的推动作用。

【教学重点】《九章算术》的主要内容以及其深远影响。

【教学难点】《九章算术》中介绍的各种实际问题的解法以及其现实意义。

【教法、学法】启发引导，分析讲解。

【教具】粉笔、ppt、视频。

【教学过程】一、创设情景，引入新课（复习导入）示例一：（2015年全国Ⅱ卷）如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

执行该程序框图，3若输入的a,b分别为14,18，则输出的a（）.A．0B．2C．4D．14设计意图：展示普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修3中第一章第三节算法案例中与《九章算术》有关的“更相减损术”的内容，以及2015年全国Ⅱ卷的程序框图真题的实例，引入新课，激发学生的学习热情。

数学史选讲(第三讲)中国古代数学瑰宝

数学史选讲(第三讲)中国古代数学瑰宝

方程术例题
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉， 实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下 禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾 二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、 中、下禾实一秉各几何？
正负术
李文林在《数学史教程》中指出：“对 负数的认识是人类数系扩充的重大步骤。 如果说古希腊无理量是演绎思维的发现， 那么中算负数则是算法思维的产物。中 算家们心安理得地接受并使用了这一概 念，并没有引起震撼和迷惑。” 国外首先承认负数的是7世纪印度数学家 婆罗门及多，欧洲16世纪时韦达等数学 家的著作还回避使用负数。
第五章“商功”讲述各种土木工程中的 体积计算。我国自远古以来，对筑城、 挖沟、修渠等土建工程积累了丰富的经 验，创造了许多有关土方体积计算和估 算的方法，本章即为经验和方法的理论 总结，诸如长方体、台体、圆柱体、锥 体等体积的计算公式都与现在一致，只 是圆周率取3，误差较大。
第六章“均输”讲述纳税和运输方面的计 算问题，实际上是比较复杂的比例计算问 题。 第七章“盈不足”讲述算术中盈亏问题的 解法。盈不足术实际上是一种线性插值法。 该方法通过丝绸之路传入阿拉伯国家，受 到特别重视，被称为“契丹算法”。后来 传入欧洲，13世纪意大利数学家斐波那契 的《算经》一书中专门有一章讲“契丹算 法”。
《周髀算经》中的勾股定理
首先，《周髀算经》中明确记载了勾股 定理的公式。“若求邪至日者，以日下为 勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除 之，得邪至日”（《周髀算经》上卷二）
勾股定理的证明就记载在《周髀算经》上卷一 -昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也， 请问昔者包牺立周天历度--夫天可不阶而升，地 不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰： “数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩 出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修 四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘， 得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。 故禹之所以治天下者，此数之所生也。”

中国古代数学瑰宝课件人教新课标(3)

密率，圆径一百一十三，圆周三百五十 五。约率，圆径七，周二十二。
《缀术》
《隋书·律历志》
公元462年, 祖冲之算出 3.1415926<π<3.1415927 密率355/113，约率22/7。
祖冲之(429-500)
所著之书,名为《缀术》, 学官莫能究其深奥，是故废 而不理。
1913年起称355/113为祖率。
《缀术》
圆周率计算 球体体积公式
祖冲之(南朝宋、齐, 429-500)
《缀术》
《隋书》 （唐，魏征主编）
古之九数，圆周率三，圆径率一，其术 疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王事史祖冲之，更开密法， 以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四 寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺 四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒 二限之间。
《缀术》
割之又割
圆内接正 12288边形和24576边形
3.14159261<π<3.14159271
《缀术》
体积计算
谢谢观赏！
第五章“商功”讲述各种土木工 程中的体积计算。我国自远古以 来，对筑城、挖沟、修渠等土建 工程积累了丰富的经验，创造了 许多有关土方体积计算和估算的 方法，本章即为经验和方法的理 论总结，诸如长方体、台体、圆 柱体、锥体等体积的计算公式都 与现在一致，只是圆周率取3，误 差较大。
第六章“均输”讲述纳税和运输 方面的计算问题，实际上是比较 复杂的比例计算问题。
刘徽的数学成绩
刘徽的《九章算术注》包含了他本人的 许多创造，其中最突出的成绩是“割圆 术”和求积理论。
若设圆面积为S0 ，内接
A O
正n边形边长为 ln ，面积为Sn
C D
B
2
则

《数学史》周髀算经》与《九章算术》(课堂PPT)

36
古代数学家赵爽
▪ 赵爽自称负薪余日，研究《周髀》，遂为 之作注，可见是一个未脱离体力劳动的天 算学家。
37
3.1.3《九章算术》
《九章算术》是中国古典数学最重要的著作。成书年代至迟 在公元前1世纪，其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。
《周礼》记载,西周贵族子弟必学的六门课程（“六艺”）中 有一门是“九数”，刘徽《九章算术注》“序”中就称《九章算 术》是由“九数”发展而来，并经过西汉张苍（?-公元前152）、 耿寿昌等人删补。
5
中国古代数学的萌芽
▪ 中国古代数学的萌芽原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数 与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻 有表示1234的符号。到原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳 记事了。
6
中国古代数学的萌芽
▪ 西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形 为100个小正方形的图案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为 了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量 工具。据《史记·夏本纪》记载，夏禹治水时已使用了这些工具。
9
八两易 卦仪有 。生太 ”四极
象， ，是 四生 象两 生仪
，
“
太极八卦图
图中每个阳、阴爻分别代表数9与 数6，其中数字的配置依照“九六”说， 是一种均衡的数字配置。在八卦中，相对 称的卦象，如乾与坤，其象数之和均为45。 它与洛书中1至9的数字之和相同
10
周(约公元前11世纪～公元前 256年)：奴隶制经济获得进一步 的发展. “数”作为六艺之一，开 始形成一个学科。
纵式用来表示个位、百位、万位，……数字；横式用来表示
十位、千位、十万位、……数字。纵、横相间，零则以空位表示。

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高二数学第1页《九章算术》教学设计一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书选修3-1》（人教A 版）第三讲“中国古代数学瑰宝”二，对《九章算术》作了简单介绍，举例介绍了该书的重要成就，指出了该书的深远影响，让学生对其产生浓厚的兴趣.指引学生探索数学思想方法进一步解决各种实际问题.二、学生学习情况分析学生具备一定的高中数学知识和数学能力，利用所学的初高中数学知识对本书中提出的一些问题尝试使用不同的方法解决，对比古人的解决方法，感受古人的智慧，激发学习数学的热情.三、设计思想本节内容以让学生了解《九章算术》，激发学生学习热情为主要目的，课堂以学生为主体，充分给学生讨论时间和展示空间，提前下发导学案，在本节课之前已经给了他们一定的准备时间.结合我校6+1课堂教学模式，在本节课的教学中，按“导-思-议-展-评-检-练”的顺序组织教学，把课堂交给学生. 在教学过程中，教师给予学生一定的提示和帮助，并针对学生出现的问题及时更正点评，尽力提高课堂效率.四、教学目标1、了解《九章算术》的主要内容；2、培养学生探索解决问题的好习惯；3、感受古代数学的魅力，增强民族自豪感，激发学习数学的热情.五、教学重点与难点重点：了解《九章算术》主要内容难点：理解比例算法、盈不足术、开方和线性方程组等六、教学过程（1）导（约5分钟）教师简单介绍《九章算术》，介绍重要内容、深远影响，欣赏相关高考题，是整堂课的指引，指明本节课的主要学习目的和学习方法等.（2）思议展（约20分钟）针对导学案上的问题，学生独立思考一段时间后，小组内自然开始交流讨论，做好展示的准备.此部分的讨论是自然产生的，学生经独立思考后必然有交流的欲望，通过交流讨论让思路更清晰.（3）评（约5分钟）教师点评，指出每题的关键知识点和解题思路，对展示优秀的学生表扬鼓励.（4）检练（约10分钟）此类题目关键是读懂题目，转化为数学问题，利用相关知识点找到适当的方法解决问题.七、小结与反思。

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.2《九章算术》教材分析《九章算术》是人教A版高中数学选修3-1数学史选讲第三章中国古代数学瑰宝中十分重要的内容。

中，它的许多几何性质在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用。

本节是第三章的第二课，主要介绍了《九章算术》的重要成就，包括盈不足术、方程术和正负术相关内容，阐述《九章算术》的深远影响。

这部分是中国古代数学的重要基础知识，原因如下：第一，在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用。

前面第二章学生学习了古希腊的《几何原本》，在本节课中将《九章算术》与《原本》进行比较，进而认知东西方古代文明的差异及对世界发展的深远影响。

第二，对盈不足术研究，将盈不足问题与盈不足术对应起来，体现了算法的思想；对方程术研究，将方程组与遍乘直除法对应起来，体现了消元的思想。

这两种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。

第三，对正负术发展的学习过程，使学生经历了观察、猜测、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的探究性思维方式，加强了逻辑思维能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础。

学情分析1.在学习本节内容以前，学生已经学习了《周髀算经》和赵爽弦图，初步了解了用中国古代数学文化，经历了勾股定理的证明、近似分数的计算，进一步为学习《九章算术》奠定了基础.2.经过两年的高中学习，学生的计算能力、分析解决问题的能力、归纳概括能力都有了明显提高，使得进一步探究学习本节内容成为可能。

但是，在本节课的学习过程中，学生对遍乘直除法的理解是一个考验，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时加以点拨指导.3.学生对方程组都有了一定的认识，并能用消元法解多元一次方程组，本节课学生通过遍乘直除法解三元一次方程组，方程术的发展、正负术的发展感知中国古代数学的伟大成就.◆知识与技能目标了解《九章算术》的内容概要及取得的重要成就，掌握盈不足术、遍乘直除法；理解方程术、正负术的发展，以及《九章算术》的深远影响.◆过程与方法目标在本节中学生经历阅读课本，观看视频，分析《九章算术》的内容概要，解析例题学习教学目标盈不足术、方程术、正负术的过程和思想.①阅读第25页，了解九章算术的内容概要，培养学生归纳总结的能力；②用盈不足术解盈不足问题，分析古代数学家将动态问题转化为静态的思想；③用遍乘直除法解多元一次方程组，加深对消元思想的理解.◆情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，激发学生科学理解中国古代数学历史文化的兴趣，与同时期的外国数学发展作比较，增强学生的名族自豪感。

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（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面 体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个 面的直角（只需写出结论）；若不是， 说明理由；
（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大
小为 ，求 DC的值．
3
BC
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《九章算术》
《九章算术》大约成书于公元1世纪，是我国 古代最著名的传世数学著作，又是中国古代最重要 的数学书籍。它从成书直到西方数学传入之前，一 直是中国古代数学学习者的首选教材。对古代数学 的发展起了巨大的推动作用。
m m'
y
x
所出率中，大数减小数 所出率差除“实” 所出率差除“法”
这是个“一盈一不足”问题，还有“两盈”“两不
足”“一盈一适足”“一不足一适足”等四类问题。
课堂习题
“两鼠穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿。 大鼠日一尺，小鼠也日一尺。大鼠日自倍增，小鼠日自 半。问何日相逢，各穿几何？
解：假如设 x 天后两鼠相遇，则由于大老鼠每天打
在正负数的概念的引入以及正负数运算法则的确 定方面，我国是遥遥领先的。
2.《九章算术》的深远影响
《九章算术》总结了自周代以来的中国 古代数学，包含了以前已经解决了的数学问 题，又有汉朝时新取得的数学成就。
标志着中国古代数学体系的形成。
《九章算术》及其注文中蕴涵的数学思 想不仅对我国古代数学产生了巨大影响，也 极大地促进了世界数学的发展。
《九章算术》
公元263年撰《九章 算术注》 阐述了中国传 统数学的理论体系与数 学原理； 中国传统数学 最具代表性的人物 。
刘徽(魏晋, 公元3世纪) （中国，2002）
内容介绍
《九章算术》 （东汉，公元100年）
《九章算术》秉承了先秦以 来数学的发展源流，流传近2000 年。后世的数学家多是从《九章 算术》开始学习和研究数学。唐 宋两代成为国家明令规定的教科 书，并在北宋时由政府进行过刊 刻（1084），成为世界上最早 的印刷版教学书。
刘徽在《九章算术注》中给出了正、
负数的定义：两算得失相反，要令 “正”“负”以名之。同时用红色算筹表示 正数，用黑色的表示负数；12世纪，李冶首 创了在数字上加斜划以表示负数。
负数记号
有关正负数的乘除运算法则，直到元代，朱世杰
的《算学启蒙》中才明确给出。
我国对正负数四则运算所做的总结不晚于13世纪。 而国外首先认为负数的人是三个世纪后的印度数学家 婆罗摩芨多，欧洲对负数的认识就更晚了。
古希腊
公元前 300年
公元1 世纪
对比《原本》和《九章算术》
《原本》是以形式逻辑方法把所有内容组 织为有机整体，《九章算术》则按问题的性 质和解法分类编排；
《原本》注重演绎推理，较少实用，《九 章算术》则全是实用算法；
《原本》内容全部为几何或几何外衣下的 算术，《九章算术》则集中了算术、代数、 几何等我国当时的全部数学知识。
《九章算术》是数学知识的光辉的集成。它支 配着中国计算人员一千多年的实践……土地的丈量、 仓谷的容积、堤坝和河渠的修建、税收、兑换率— —这些似乎都是重要的实际问题。“为数学而数学” 的场合极少。这并不意味着中国计算人员对真理不 感兴趣，但他们感兴趣的不是希腊人所追求的那种 抽象的、系统化的学院式真理。
《九章算术》，作者不可考。一般认为它是经 历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的。西 汉的张苍、 耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大 体已成定本。最后成书最迟在东汉前期。
《九章算术》
《九章算术》，现在 传世的是三国时期魏元帝 景元四年（263年），刘 徽为《九章》所作的注本。 内容是由周代的“九数” 发展而来的。刘徽称： “周公制礼而有九数，九 数之流则《九章》是矣”。 明代刊印的《九章算术注》
墙的进度分别是1尺，2尺，4尺，…，2x1尺，小老鼠每
天打墙的进度分别是1尺，1尺…，1 尺，列方程：
2
2 x 1
1
2
4
2x1
1
1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 4
1 2x1
5
“两鼠穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿。大 鼠日一尺，小鼠也日一尺。大鼠日自倍增，小鼠日自半。 问何日相逢，各穿几何？
转化为“盈不足”问题：假设两只老鼠打洞2天，则
古代内容极为丰富的数学名著，书中有如
下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，
高五尺。问:积及为米几何?”其意思
为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为
一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥
的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，
米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的
米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62
立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的
盈不 足术 表格 表示
所出率 盈不足
维乘 实 法
所出率差 物价 人数
8
7 把所有人的钱数写出来
3
4 多余、不足的钱数
32
21 将第一、二行交错相乘
53 维乘相加后的结果称为“实”
7
盈、不足相加称为法
1
所出率中，大数减小数
53
所出率差除“实”
7
所出率差除“法”
现在一般地，设 x人共出 y钱购物。若每人出 m钱则
盈n 钱；每人出 m'钱则不足 n'钱，求 x与 y ，按“盈
不足术”得如下的解法表格：
所出率 m m' 把所有人的钱数写出来
盈不足 n n' 多余、不足的钱数
维乘 实 法
所出率差 物价 人数
mn' nm' 将第一、二行交错相乘 mn'nm' 维乘相加后的结果称为“实”
n n' 盈、不足相加称为法
内容介绍
1.《九章算术》的重要成就举例
《九章算术》以应用问题集的形式表述，收有246个 数学问题，分为九章．它们的主要内容分别是： 第一章“方田”：田亩面积计算； 第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换； 第三章“衰分”：比例分配问题； 第四章“少广”：已知面积、体积、求其一边长和径长
等； 第五章“商功”：土石工程、体积计算； 第六章“均输”：合理摊派赋税； 第七章“盈不足”：即双设法问题； 第八章“方程”：一次方程组问题； 第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题.
米约有（ ）.
（A）14斛 （B）22斛
（C）36斛
（D）66斛
情境导入
（2015年湖北卷）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧
棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的 四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面 ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连 接DE，DF，BD，BE．
盈不足术
盈不足问题是我国数学的古典名题：今有共买物， 人出八盈三，人出七不足四，问人数、物价各几何.
盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘所出率，并以 译为文实：。现并在 盈有、几不个足人为买法物....品..置，所如出果率每，人以出少8减文多钱，，余则，盈以余约3文法钱、；实如。 果实每为人物出价，7文法钱为，人则数还。缺4文钱。问人数和物价各为多少？
中国古代数学瑰宝
《九章算术》
隆德县中学 刘芳
复习导入
必修三算法案例
复习导入
（2015年全国Ⅱ卷）如图，程序框图的算法思路源于
我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损
术”．执行该程序框图，若输入的 a ，b分别为14,18，
则输出的 a （ B ）．
A．0
B．2
C．4
D．14
情境导入
（2015年全国Ⅰ卷）《九章算术》是我国
仍差5寸，不能把墙打穿；假设打洞3天，就会多出3尺
7寸半。
两只老鼠相遇的天数：
2 3.75 3 0.5 2
2（天）
巧妙转化 变难为易
3.75 0.5
17
相会时，大、小老鼠分别穿墙：
1 2 4 2 3 8（尺） 1 1 1 2 1 9（尺）
17 17
2 4 17 17
方程术
《九章算术》中的“方程”专指多元一次 方程组。古人在求解多元一次方程时，把方程 组的系数和常数项用算筹摆成方阵（称这样的 方阵为“方程”），再做行之间的加法，以减 少系数，最后求得方程组的解。
——李约瑟《中国科学技术史》
《九章算术》是一部世界性的数学著作，早在 隋唐时期就已经传入朝鲜、日本，现在更被译为英、 德、俄等多种文字。
课堂小结
《九章算术》是一部世界性的数学著作。 《九章算术》表现出的中国古代数学的独具 特色以及中国古代的聪明才智和独具匠心。
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分别与三个未知数对应的
加减消元法
系数.
《九章算术》中的一次方程组有两元、三元、 四元和五元的，全部用上述演算程序。
多元方程组的解法在印度最早出现在7世纪 初婆罗摩芨多所著的书中。在欧洲，最早提出三 元一次方程组解法的人是16世纪的法国数学家比 特奥。而多元一次方程组的一般解法直到18世纪 才由法国数学家贝祖建立。
3x 2 y z 39 2x 3y z 34 x 2 y 3z 26
把方程组的系数从上至下 （从右向左）摆成三列，运算 采用“遍乘直除”的方法
123 232 311 26 34 39
004 040 400 11 17 37
把某一列系数全部乘 一个适当的倍数，然后再 直接减去另一列的若干倍， 一直算到每一列上只剩下
《九章算术》中的方程术，不仅是中国古 代数学的伟大成就，也是世界数学史上一份不可 多得的宝贵财富！
正负术
方程的每一行是由多项未知量和一个已知量所组成 的等式，其中可能有相反意义的数量；再者，在通过 “遍乘直除”来求解多元一次方程组时，也会出现大数 减小数的情况，由此产生正数与负数的对立概念。