中国古代数学瑰宝

对算盘的描述。

算盘，这一古老的计算工具，是中国古代劳动人民智慧的结晶，堪称东方数学史上的瑰宝。

它由框、梁、档、珠四部分构成，整体形状通常呈矩形，材质多见木质，也有金属或塑料制的现代款式。

算盘上方的横梁将算盘分为上下两部分，上半部的珠子被称为“上珠”，下半部的珠子称为“下珠”。

每根横杆（档）上有五个或七个珠子，每颗珠子代表不同的数值，一般情况下，上珠每颗代表五，下珠每颗代表一。

操作时，用手拨动算珠进行加减乘除运算。

算盘不仅能进行基础的四则运算，熟练掌握者还能运用其进行更为复杂的数学问题解决，其运算效率之高令人赞叹不已。

随着科技的发展，计算器和计算机逐渐取代了算盘在日常生活中的地位，但在一些特殊领域，尤其是教育领域，算盘仍然被用来教授基本数学原理和锻炼逻辑思维能力，它的存在，既是历史的见证，也是文化的传承。

古代数学的雅称一、《九章算术》——中国古代数学的瑰宝《九章算术》被誉为中国古代数学的瑰宝，它是中国古代最重要的数学著作之一，被广泛应用于农业、商业和日常生活中。

这本书以九个章节的形式，系统地总结了古代中国的数学知识，内容包括算术、代数、几何、概率等多个领域。

《九章算术》的问世对中国古代数学的发展起到了重要的推动作用，也为后世的数学研究奠定了基础。

二、黄金分割——古希腊数学的华丽之美黄金分割是古希腊数学中的一个重要概念，它是指一条线段分割成两部分，其中整条线段与较长部分之比等于较长部分与较短部分之比。

黄金分割不仅在几何学中有广泛的应用，也在建筑、艺术和音乐等领域中发挥了重要的作用。

黄金分割的美学价值被古希腊人视为至高无上的，他们将之称为“黄金比例”，并将其应用于建筑、雕塑等艺术创作中，使作品更加美观和和谐。

三、印度数学——古代数学的明珠印度数学是古代数学中的一支重要学派，其发展历史悠久，贡献巨大。

古代印度人在数学领域做出了许多重要的发现，如零的概念和十进制数制等。

他们将数学视为一门哲学，通过研究数学问题来探索人类存在的意义。

印度数学的研究成果对后世的数学研究产生了深远的影响，也为现代科学的发展打下了坚实的基础。

四、阿拉伯数字——古代数学的智慧之光阿拉伯数字是古代数学中的一项伟大发明，它是现代数字系统的基础。

阿拉伯数字是一种使用十个数字字符的数制系统，它的特点是简单易用、计算方便。

阿拉伯数字的发明极大地促进了数学的发展和商业的繁荣，也使得数学成为一门实用的学科。

至今，阿拉伯数字仍然是全球通用的数字表示方法，显示出古代数学的智慧之光。

五、欧几里得几何——古代数学的完美之作欧几里得几何是古希腊数学家欧几里得创立的一门几何学体系，被誉为古代数学的完美之作。

欧几里得几何以公理为基础，通过严密的推理和证明建立了几何学的基本定理和原理。

欧几里得几何的发展对古代数学和现代科学都产生了重要影响，成为后世数学研究的重要范式。

【高中数学数学文化鉴赏与学习】专题2 赵爽弦图（以赵爽弦图为背景的高中数学考题题组训练）一、单选题1．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现有六种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（）A．420B．1020C．1180D．1560【答案】D【解析】【分析】根据分步乘法原理计数，先涂中间小正方形，然后四个直角三角形按顺序涂色，注意相对的直角三角形颜色是否相同分类即可.【详解】第一步中间小正方形涂色，有6种方法，剩下5种颜色涂在四个直角三角形中，就按图中所示1234的顺序，1有5种方法，2有4种方法，3有4种方法，但要分类：与1相同和与1不相同，然后确定4的方法数，⨯⨯⨯⨯+⨯=.所以所求方法数为654(1433)1560故选：D.2．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设2DF FA =，若AB =DF 的长为（ ）A ．2 BC ．3D ．4【答案】D 【解析】 【分析】根据正三角形和全等三角形的性质得DB AF =，再运用余弦定理可求得DF 的长. 【详解】由题可知：在DEF 中，3EDA π∠=，则23ADB π∠=， 不妨设2DF k =，由2DF AF =知，AF k =，则3AD k =， 又因为AFC △与BDA 全等，所以DB AF k ==，由余弦定理可知：()22222231cos 2232k k AB AD BD AB ADB AD BD k k +-+-∠===-⋅⨯⨯，解得2213AB k =，而AB =2k =，所以4DF =. 故选：D.3．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成一个大的正方形．某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若BD ＝1，且三个全等三角形的面积和与小正三角形的面积之比为94，则△ABC 的面积为（ ）A ．94BC ．134D【答案】D 【解析】 【分析】设小正三角形边长为x ，由面积比求得x ，再计算出小正三角形面积可得大正三角形面积． 【详解】设DE x =，则211sin 1(1)sin120134ABD DEFBD AD ADB x S x Sx ⋅∠⨯⨯+︒+====，解得2x =（23-舍去），所以22DEFS == 94ABCS==故选：D ．4．赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形组成)，如图(1)类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图(2)所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设3DF AF =，则图中阴影部分与空白部分面积之比为( )A ．79B ．34C ．56D ．37【答案】B 【解析】 【分析】设AF x =，根据几何关系求出AD 、DF 、BD 、ADB ∠，根据余弦定理求出AB ，再根据等边三角形面积即可计算. 【详解】设AF x =，则3DF x =，BD AF x ==，4AD x =，120ADB ∠=， 在ABD △中，根据余弦定理得，22222212cos 1624212AB AD BD AD BD ABD x x x x x ∠⎛⎫=+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭，△2213sin60(3)24EFDS DF DE x =⋅⋅⋅==， 2213sin602124ABCSAB BC x x =⋅⋅⋅==， △73ABC EFDSS=， △图中阴影部分与空白部分面积之比为34.故选：B.5．如图是第24届国际数学家大会的会标，是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的．已知图中正方形ABCD 的边长为2，ADH α∠=，则小正方形EFGH 的面积为（ ）A ．1sin 2α-B．1cos2α- C ．44cos2α-D ．44sin 2α-【答案】D 【解析】 【分析】根据设计图的几何特点，结合已知条件，求得小正方形的边长，再根据同角三角函数关系，以及正弦的二倍角公式，即可求得小正方形的面积. 【详解】根据设计图的几何特点可知：△ADH ≅△DCG ≅△CBF ≅△BAE ，在△ADH 中，cos 2cos DH AD ADH α=⨯∠=，sin 2sin AH AD ADH α=⨯∠=， 故小正方形的边长为2cos 2sin AE AH DH AH αα-=-=-， 故小正方形的面积为()22cos 2sin 48sin ?cos 44sin 2ααααα-=-=-. 故选：D .6．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin 2θ的值为（ ）A ．2425B ．2324C D ．14【答案】A 【解析】 【分析】由直角三角形中的三角函数定义列出关于sin ,cos θθ的等式结合平方关系求得sin ,cos θθ，然后由正弦的二倍角公式计算．【详解】由题意大正方形边长为5，小正方形边长为1，所以5cos 5sin 1θθ-=，又22sin cos 1θθ+=，且θ为锐角，可解得4cos 5θ=，3sin 5θ=， 所以24sin 22sin cos 25θθθ==． 故选：A ．7．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC a =，BA b =，3BE EF =，则BF =（ ）A ．1292525a b + B ．16122525a b + C ．4355a b +D ．3455a b +【答案】B 【解析】 【分析】根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答. 【详解】因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且BC a =，BA b =，3BE EF =，则34BF BC CF BC EA =+=+3()4BC EB BA =++33()44BC BF BA =+-+93164BC BF BA =-+，解得16122525BF BC BA =+，所以16122525a b BF =+. 故选：B8．勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理．汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图1），证明了商高结论的正确性．现将弦图中的四条股延长相同的长度（如将CA延长至D ）得到图2．在图2中，若5AD =，BD =D 、E 两点间的距离为）A B C ．1 D ．2【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理可求得cos DBE ∠的值，可求得BC 、CD 、AC 的长，进而可得出弦图中小正方形的边长. 【详解】由条件可得5BE AD ==， 在BDE 中，由余弦定理得2222225cos2BD BE DEDBE BD BE+-+-∠===⋅， 所以，()cos cos cosCBD DBE DBE π∠=-∠=-∠=所以，cos 3BC BD CBD =⋅∠==，9CD ， 4AC CD AD ∴=-=，所以弦图中小正方形的边长为1CA CB -=． 故选：C.9．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用做第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB a =，AD b =，E 为BF 的中点，则AF =（ ）A ．3455a b +B ．4355a b +C ．1233a b +D ．2133a b +【答案】A 【解析】 【分析】根据向量数乘和加减法法则，结合几何图形即可求解. 【详解】()1124AF AB BF AB BC CF AB AD AE AB AD AB AF =+=++=+-=+-+， 即()14AF AB AD AB AF =+-+， △53344455A F a b b A a F =+⇒=+． 故选：A ．10．“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中,,,E F G H 分别是,,,DF AG BH CE 的中点，若AG x AB y AD =+，则xy =（ ）A ．625B ．625-C ．825D ．825-【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的基本定理，化简得到4255AG AB BC =+，结合AG x AB y AD =+，求得,x y 的值，即可求解.【详解】由题意，可得()11112224AG AB BG AB BH AB BC CH AB BC CE =+=+=++=++，因为EFGH 是平行四边形，所以AG CE =-， 所以1124AG AB BC AG =+-，所以4255AG AB BC =+， 因为AG x AB y AD =+，所以42,55x y ==，则4285525xy =⨯=. 故选：C.11．赵爽弦图（如图1）中的大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼接而成的，若直角三角形的两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，由大正方形面积等于4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和可得勾股定理222+=a b c ．仿照赵爽弦图构造如图2所示的菱形，它是由两对全等的直角三角形和中间的矩形拼接而成的，设直角三角形的斜边都为1，其中一对直角三角形含有锐角α，另一对直角三角形含有锐角β（位置如图2所示）．借鉴勾股定理的推导思路可以得到结论（ ）A ．()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-B ．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+C ．()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+D ．()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-【答案】B 【解析】 【分析】表示出直角三角形的边长，继而表示出面积，求得中间矩形的面积，根据菱形面积等于四个直角三角形面积加上中间矩形面积，化简可得答案. 【详解】由图形可知：含锐角α的直角三角形两直角边长为sin ,cos αα ，含锐角β的直角三角形两直角边长为sin ,cos ββ ， 故菱形的面积为1211sin()sin()2αβαβ⨯⨯⨯⨯+=+ ，不妨假设αβ> ，中间长方形的面积为(sin sin )(cos cos )αββα-- ，故11sin()2sin cos 2sin cos (sin sin )(cos cos )22αβααββαββα+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+-- ，即()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+， 故选：B12．如图，“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现从给出的5种不同的颜色中最多可以选择4种不同的颜色给这5个区域涂色；要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色．则不同的涂色方案有（ ）种A ．120B ．240C ．300D ．360【答案】C 【解析】 【分析】依题意可以利用3或4种不同的颜色涂色，先选出颜色，再涂色，按照分步、分类计数原理计算可得； 【详解】解：依题意显然不能用少于2种颜色涂色，若利用3种不同的颜色涂色，首先选出3种颜色有35C 10=种选法，先涂区域△有3种涂法，再涂△有2种涂法，则△只有1种涂法，△也只有1种涂法，则△也只有1种涂法，故一共有35C 3211160⨯⨯⨯⨯⨯=种涂法；若利用4种不同的颜色涂色，首先选出4种颜色有45C 5=种选法，根据题意，分2步进行涂色：当区域△、△、△这三个区域两两相邻，有34A 24=种涂色的方法；当区域△、△，必须有1个区域选第4种颜色，有2种选法，选好后，剩下的区域有1种选法，则区域△、△有2种涂色方法，故共有4354C 2A 5224240⨯=⨯⨯=种涂色的方法；综上可得一共有60240300+=种涂法； 故选：C13．赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形组成），如图（1）类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边角形，设3DF AF =，若向三角形ABC 内随机投一粒芝麻（忽略该芝麻的大小），则芝麻落在阴影部分的概率为（ ）A ．79B ．34C ．56D ．37【答案】D 【解析】 【分析】根据几何概型的概率公式，求出DEF 和AFC △的面积，计算所求的概率值． 【详解】由题意，π3DFE ∠=，π2ππ33AFC ∴∠=-=， 3DF AF =，4CF AF ∴=，由余弦定理可得2222π2cos3AC AF CF AF CF =+-⋅， 2221AC AF ∴=，∴22221πsin93231π217sin 23DEF ABCDF S AF SAF AC ===⋅， ∴芝麻落在阴影部分的概率为 37P =． 故选：D ．14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”.后人称其为“赵爽弦图”.如图，现提供5种颜色给图中的5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同.记事件A ：“区域1和区域3颜色不同”，事件B ：“所有区域颜色均不相同”，则()P B A =（ ）A ．27B ．12C ．23D ．34【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率的公式，分别计算出事件A 和事件B 的基本事件即可. 【详解】A 事件有21115322A C C C 个基本事件，B 事件有55A 个基本事件，()5521115322A 1|A C C C 2p B A ∴== ；故选：B.15．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BE EF λ=，16122525BF BC BA =+，则实数λ=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】 【分析】依据题给条件利用()()()222BE BFBA =+列出关于λ的方程，解之即可求得实数λ的值【详解】由BE EF λ=，可得1BE BF λλ=+，又16122525BF BC BA =+ 则()()1612161212525251251BE BC BA BC BA λλλλλλ⎛⎫=+= +⎪+++⎝⎭ 又BF AE =，222BE AE AB =+， 则()()()222BEBFBA =+即()()222161216122512512525BC BA BC BA BA λλλλ⎛⎛⎫++= ⎪ ⎪+⎫+ ⎪+⎝⎭⎝⎭ 则()()()()()()22222222225614425614462562562516251BC BA BC BA BA λλλλ+++=++即()()2222256144256144162562562516251λλλλ++++=+，整理得271890λλ--= 解之得，3λ=或37λ=-（舍）故选：B16．“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色，有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（ ）A ．120种B ．360种C ．420种D ．540种【答案】C 【解析】 【分析】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要3种颜色，然后对使用的颜色种数进行分类讨论，分别求出方案数，再运用分类加法计数原理求出最后结果. 【详解】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要3种颜色.若5块区域只用3种颜色涂色，则颜色的选法有35C 种，相对的直角三角形必同色，此时不同的涂色方案有335360C A =种；若5块区域只用4种颜色涂色，则颜色的选法有45C 种，其中一对相对的直角三角形必同色，余下的两个直角三角形不同色，此时不同的涂色方案有414524240C C A =种；若5块区域只用5种颜色涂色，则每块直角三角形都不同色，此时不同的涂色方案有55120A =种；综上，不同的涂色方案有：60240120420++=种. 故选：C.17．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若DA m =，DC n =，23AF AE =，则DE =（ ）A ．641313m n + B ．461313m n + C ．691313m n + D ．961313m n + 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得出23DE FB =，利用平面向量的线性运算得出1324939DE AB AD =-，再结合平面的基本定理可得结果. 【详解】 由题意得()()22222243333339DE FB AB AF AB AE AB AD DE ==-=-⨯=-+， 所以1324939DE AB AD =-，即644613131313DE DC DA m n =+=+， 故选：B ．18．勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理，汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图1），证明了商高结论的正确性，现将弦图中的四条股延长，相同的长度（如将CA 延长至D ）得到图2．在图2中，若5AD =，BD =，D ，E 两点间的距离）A B C ．1 D【答案】C在BDE 中利用余弦定理可求出cos DBE ∠，则可得cos CBD ∠，再由锐角三角函数的定义可求出CB ，由勾股定理求出CD ，从而可求得答案 【详解】连接DE ，由条件可得5BE AD ==，在BDE 中，由余弦定理得2222225cos2BD BE DE DBE BD BE +-+-∠===⋅，△()cos cos cosCBD DBE DBE π∠=-∠=-∠=，△cos 3BC BD CBD =⋅∠==，9CD ， △4CA =，所以弦图中小正方形的边长为1CA CB -=．故选：C19．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若2BE EF =，则EF =（ ）A ．311313BC BA + B ．321313BC BA + C ．231313BC BA + D ．121313BC BA +【分析】由题，根据向量加减数乘运算得249391BC B EF A EF =+-，进而得313213B EFC BA =+.【详解】解：因为在“赵爽弦图”中，若2BE EF =，所以()()1111132223393933BF BC CF BC EA BC EA BC BA BE EF ⎛⎫=+=+=+=+⎪=- ⎝⎭()21329BC BA EF =+-， 所以249391BC B EF A EF =+-，所以1132993BC F BA E =+，所以313213B EFC BA =+. 故选：B20．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边ABC ，若ABC AF DE ⋅的最小值为（ ）A ．0B ．1-C 3D ．3-【答案】D 【解析】 【分析】设AF BD x ==，DF DE y ==，利用余弦定理和基本不等式可求得()23xy ≤⨯，根据平面向量数量积的定义可求得结果.【详解】设AF BD x ==，DF DE y ==，在ABD △中，由余弦定理可得：()222()2cos120x x y x x y =++-+，即226333x y xy xy =++≥+，则()23xy ≤⨯y =时取等号），()11cos12023322AF DE xy xy ⋅==-≥--∴⨯⨯=故选：D. 二、填空题21．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中3sin 5BAC ∠=，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的数学风车，则图2“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为_______________．【答案】24:25 【解析】 【分析】设三角形ABC 三边的边长分别为3,4,5，分别求出阴影部分面积和大正方形面积即可求解. 【详解】解：由题意，“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成，其中3sin 5BAC ∠=， 设三角形ABC 三边的边长分别为3,4,5，则大正方形的边长为5 ，所以大正方形的面积2525S ==，如图，将CA 延长到D ，则2CD CA =，所以CA AD =，又B 到AC 的距离即为B 到AD 的距离，所以三角形ABC 的面积等于三角形ABD 的面积，即13462ABCABDSS==⨯⨯=，所以“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积4624S '=⨯=，所以“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为24:25. 故答案为：24:25.22．如图是第24届国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH 组成的．若E 为线段BF 的中点，则AF BC ⋅=______．【答案】4 【解析】 【分析】利用数量积的几何意义求解. 【详解】 解：如图所示：设CF x =，由题可得2BF x =， 所以()2225x x +=， 解得1x =．过F 作BC 的垂线，垂足设为Q ，故24AF BC BQ BC BF ⋅=⋅==， 故答案为：4．23．国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为θ，则cos2θ=．【答案】725【解析】 【分析】根据题意，求得大、小正方形的边长分别为10和2，得到1cos sin 5θθ-=，其中(0,)4πθ∈，结合三角函数的基本关系式，求得242sin cos 25θθ=-，进而求得7cos sin 5θθ+=，利用22cos 2cos sin θθθ=-，即可求解． 【详解】由小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，可得大、小正方形的边长分别为10和2，又由为直角三角形中较小的锐角为θ，可得10cos 10sin 2θθ-=，其中(0,)4πθ∈，即1cos sin 5θθ-=，则()21cos sin 12sin cos 25θθθθ-=-=，所以242sin cos 25θθ=，因为()24912sin cos sin cos 25θθθθ=+=+，所以7cos sin 5θθ+=，所以()()227cos 2cos sin cos sin cos sin 25θθθθθθθ=-=-+=． 故答案为：725. 24．如图，阴影部分由四个全等的直角三角形组成的图形是三国时代吴国赵爽创制的“勾股弦方图”，也称“赵爽弦图”.，则在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为___________.【答案】15##0.2【解析】【分析】本题属于几何概型，分别求出面积，即可求概率.【详解】设直角三角形中较大锐角为θ，则sinθ=cosθ=设大正方形边长为1，则直角三角形两直角边长分别为1sinθ⋅，1cosθ⋅.故小=251=⎝⎭.而大正方形的面积为1，故所求概率为1 5 .故答案为：1 525．赵爽是我国古代数学家、天文学家.约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图是一张弦图，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若直角三角形较小的锐角为α，则34tanπα⎛-⎫⎪⎝⎭的值为______________.【答案】7【解析】【分析】设直角三角形较小直角边为x ，应用勾股定理求x ，即可得3tan 4α=，再应用差角正切公式求目标式的值即可. 【详解】若直角三角形较小直角边为x ，较大直角边为1x +，而正方形边长为5， △22(1)25x x ++=，解得3x =或4x =-(舍)，△3tan 4α=，而3tan tan3tan 14tan()7341tan 1tan tan 4παπααπαα-+-===-+. 故答案为：7.26．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设20DF AF +=，若AD AB AC λμ=+，则可以推出λμ-=_________．【答案】613【解析】 【分析】设1AF =，建立如图所示的直角坐标系，结合余弦定理和正弦定理解三角形，利用坐标法即可得出结果. 【详解】设1AF =，则3,1AD BD AF === 如图：由题可知：120ADB ∠=，由2222cos 13AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠=所以AB =AC AB ==所以),BC ⎝⎭，()0,0A又sin sin sin BD AB BAD BAD ADB =⇒∠=∠∠所以cos BAD ∠==所以()cos ,sin D AD AD BAD BAD ∠∠，即D ⎝⎭ 所以()2113339,13,026,26AD AB ⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭，132AC ⎛=⎝⎭又AD AB AC λμ=+所以913313λμ⎧==⎪⎪⇒⎨⎪==⎪⎩，所以613λμ-= 故答案为：613.27．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“刈股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比，可构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的一个较大的等边三角形，设AD AB AC λμ=+，且DFkAF =，能推出130139λμ+=，则正实数k 的值为____________．【答案】73【解析】 【分析】先利用DE k BD =得到111k AD AB AE k k =+++，再利用EF kCE =求出111k AE AC AF k k =+++， 结合题目中AD AB AC λμ=+，解方程求出k 即可. 【详解】 由题意知DF EF DEk AF CE DB===，则(),,1DE kBD EF kCE AD k AF ===+，由DE k BD =得()AE AD k AD AB -=-， 即111k AD AB AE k k =+++，同理EF kCE =得111k AE AC AF k k =+++，又11AF AD k =+，所以()2111k AE AC AD k k =+++， 则()2111111111k k k AD AB AE AB AC AD k k k k k k ⎡⎤=+=++⎢⎥++++++⎢⎥⎣⎦，所以()()3211111k kAD AB AC k k k ⎡⎤-=+⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦， 所以()()()()233111111k k k k AD AB AC k k ++=++-+-，又130139λμ+=，故()()()()233111301391111k k k k k k +++=+-+-，又0k >，解得73k =. 故答案为：73.28．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，由3个全等的小三角形拼成如图所示的等边ABC ，若ABC 的边长为AF FD =，则DEF 的面积为_______.【解析】 【分析】由条件得到2CF AD AF ==，在ACF 中用余弦定理即可求得DF ，进而求得DEF 的面积. 【详解】由3个小三角形全等以及AF FD =得2CF AD AF ==，120∠=AFC ，DEF 是等边三角形，设AF DF a ==，则2CF a =，在ACF 中由余弦定理得，(222422cos120a a a a =+-⋅⋅，解得2a =，所以12DEFSa a =⋅⋅=29．我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.记大正方形的面积为1S ，小正方形的面积为2S ，若1225S S =，则tan ABE ∠=___________.【答案】43【解析】 【分析】设BF CF ⊥，由已知可得()()22222525AE BE BF BE AE BE +=-=-，由AE BE >可求得AEBE的值，即可得解. 【详解】设BF CF ⊥，如下图所示：因为1225S S =，所以2225AB EF =，所以()()22222525AE BE BF BE AE BE +=-=-， 即221225120AE AE BE BE -⋅+=，则()()43340AE BE AE BE --=，AE BE >，则43AE BE =，故4tan 3AE ABE BE ∠==.故答案为：43.30．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“刈股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”（1弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）.类比，可构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的一个较大的等边三角形，设AD AB AC λμ=+且3DF AF =，则可推出λμ+=___________.【答案】2021【解析】 【分析】设2AB =，根据3DF AF =与120ADB ∠=︒，利用余弦定理求出21DB =，AD =AG =m ，DG =n ，利用勾股定理求出m 与n 的值，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求出λ与μ的值，进而求出λμ+的值. 【详解】设2AB =，DB AF x ==，则3DF x =，4AD x =，因为ABC 和DEF 是等边三角形，故120ADB ∠=︒，由余弦定理得：2222cos120AB AD BD AD BD =+-⋅⋅︒，解得：x =4AD x ==，DB =D 作DG △AB 于点G ，设AG =m ，DG =n ，则BG =2-m，由勾股定理得：()2222222m n m n ⎧⎪+=⎪⎪⎝⎭⎨⎪-+=⎪⎪⎝⎭⎩，解得：127m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，垂直AB 的直线为y 轴建立直角坐标系，则()0,0A ，()2,0B，127D ⎛ ⎝⎭，(C ，则127AD ⎛= ⎝⎭，()2,0AB =，(1,AC =，由AD AB AC λμ=+得：()(122,07λμ⎛=+ ⎝⎭，即1227λμ⎧+=⎪⎪=，解得：1621421λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2021λμ+=故答案为：2021。

1中国古代数学瑰宝——《九章算术》教学设计隆德县中学刘芳【教材分析】本节课教材是人教A版高中数学（选修3—1数学史选讲）第三讲中国古代数学瑰宝的第二节。

本节课是学生在学习了古希腊数学史之后，学习的关于我国主要数学成就的第二块内容。

《九章算术》是世界数学发展史上的宝贵遗产,是中国古代数学发展史上的重要里程碑,它对中国古代数学发展的影响之大是任何其他数学书籍不能相比的。

它几乎成了中国古代数学的代名词。

中国历代数学家从中汲取着丰富的营养,不断地将中国数学推向前进。

因此，学习本节课的内容十分重要。

【学情分析】学习本节课学生对于数学史的知识了解甚少。

“历史使人明智”。

学习一些数学史知识，可以使同学们了解数学的发展轨迹，更好地体会数学概念所反映的思想方法，感受数学家们刻苦钻研和勇于开拓的精神，这对开阔视野、启发思维以及学习和掌握数学知识都大有益处。

【教学目标】知识与技能：1．了解中国最早的经典数学著作之一的《九章算术》的深远影响；2.初步熟悉我国古代数学家刘徽的杰出贡献；3．学习《九章算术》介绍的各种实际问题解法。

过程与方法：《九章算术》总结了自周代以来的中国古代数学，学习其中代表性的“盈不足术”、“方程术”、“正负术”。

2情感态度与价值观：《九章算术》是中国古代最著名的传世数学著作，又是中国古代最重要的数学典籍，对中国古代数学的发展起到了巨大的推动作用。

【教学重点】《九章算术》的主要内容以及其深远影响。

【教学难点】《九章算术》中介绍的各种实际问题的解法以及其现实意义。

【教法、学法】启发引导，分析讲解。

【教具】粉笔、ppt、视频。

【教学过程】一、创设情景，引入新课（复习导入）示例一：（2015年全国Ⅱ卷）如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

执行该程序框图，3若输入的a,b分别为14,18，则输出的a（）.A．0B．2C．4D．14设计意图：展示普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修3中第一章第三节算法案例中与《九章算术》有关的“更相减损术”的内容，以及2015年全国Ⅱ卷的程序框图真题的实例，引入新课，激发学生的学习热情。

中国古代数学瑰宝1．中国古代数学瑰宝【知识点的知识】中国古代是一个在世界上数学领先的国家，用近代科目来分类的话，可以看出无论在算术、代数、几何和三角各方而都十分发达．现在就让我们来简单回顾一下初等数学在中国发展的历史．（一）属于算术方面的材料大约在 3000 年以前中国已经知道自然数的四则运算，这些运算只是一些结果，被保存在古代的文字和典籍中．乘除的运算规则在后来的“孙子算经“（公元三世纪）内有了详细的记载．中国古代是用筹来计数的，在我们古代入民的计数中，已利用了和我们现在相同的位率，用筹记数的方法是以纵的筹表示单位数、百位数、万位数等；用横的筹表示十位数、千位数等，在运算过程中也很明显的表现出来．“孙子算经“用十六字来表明它，“一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当．“和其他古代国家一样，乘法表的产生在中国也很早．乘法表中国古代叫九九，估计在 2500 年以前中国已有这个表，在那个时候人们便以九九来代表数学．现在我们还能看到汉代遗留下来的木简（公元前一世纪）上面写有九九的乘法口诀．现有的史料指出，中国古代数学书“九章算术“（约公元一世纪前后）的分数运算法则是世界上最早的文献，“九章算术“的分数四则运算和现在我们所用的几乎完全一样．古代学习算术也从量的衡量开始认识分数，“孙子算经“（公元三世纪）和“夏候阳算经“（公元六、七世纪）在论分数之前都开始讲度量衡，“夏侯阳算经“卷上在叙述度量衡后又记着：“十乘加一等，百乘加二等，千乘加三等，万乘加四等；十除退一等，百除退二等，千除退三等，万除退四等．“这种以十的方幂来表示位率无疑地也是中国最早发现的．小数的记法，元朝（公元十三世纪）是用低一格来表示，如 13.56 作 1356．在算术中还应该提出由公元三世纪“孙子算经“的物不知数题发展到宋朝秦九韶（公元 1247 年）的大衍求一术，这就是中国剩余定理，相同的方法欧洲在十九世纪才进行研究．宋朝杨辉所著的书中（公元 1274 年）有一个 1﹣300 以内的因数表，例如 297 用“三因加一损一“来代表，就是说 297＝3×11×9，（11＝10 十 1 叫加一，9＝10﹣1 叫损一）．杨辉还用“连身加“这名词来说明 201﹣300 以内的质数．（二）属于代数方面的材料从“九章算术“卷八说明方程以后，在数值代数的领域内中国一直保持了光辉的成就．“九章算术“方程章首先解释正负术是确切不移的，正象我们现在学习初等代数时从正负数的四则运算学起一样，负数的出现便丰富了数的内容．我们古代的方程在公元前一世纪的时候已有多元方程组、一元二次方程及不定方程几种．一元二次方程是借用几何图形而得到证明．不定方程的出现在二千多年前的中国是一个值得重视的课题，这比我们现在所熟知的希腊丢番图方程要早三百多年．具有x3+px2+qx＝A 和x3+px2＝A 形式的三次方程，中国在公元七世纪的唐代王孝通“缉古算经“已有记载，用“从开立方除之“而求出数字解答（可惜原解法失传了），不难想象王孝通得到这种解法时的愉快程度，他说谁能改动他著作内的一个字可酬以千金．十一世纪的贾宪已发明了和霍纳（1786﹣1837）方法相同的数字方程解法，我们也不能忘记十三世纪中国数学家秦九韶在这方面的伟大贡献．在世界数学史上对方程的原始记载有着不同的形式，但比较起来不得不推中国天元术的简洁明了．四元术是天元术发展的必然产物．级数是古老的东西，二千多年前的“周髀算经“和“九章算术“都谈到算术级数和几何级数．十四世纪初中国元代朱世杰的级数计算应给予很高的评价，他的有些工作欧洲在十八、九世纪的著作内才有记录．十一世纪时代，中国已有完备的二项式系数表，并且还有这表的编制方法．历史文献揭示出在计算中有名的盈不足术是由中国传往欧洲的．内插法的计算，中国可上溯到六世纪的刘焯，并且七世纪末的僧一行有不等间距的内插法计算．。