数学史选讲(第三讲)中国古代数学瑰宝共40页文档

刘徽和祖冲之父子
2、中算发展的第二时期：数学稳步发展 从公元220年东汉分裂，到公元581年隋朝 建立，史称魏晋南北朝。这是中国历史上的动 荡时期，也是思想相对活跃的时期。在长期独 尊儒学之后，学术界思辨之风再起，在数学上 也兴起了论证的趋势。许多研究以注释《周髀 算经》、《九章算术》的形式出现，实质是寻 求这两部著作中一些重要结论的数学证明。这 是中国数学史上一个独特而丰产的时期，是中 国传统数学稳步发展的时期。
《周髀算经》
《周髀b ì算经》 （髀：量日影的标杆）是我国 最早的天文著作，系统地记载了周秦以来适应 天文需要而逐步积累的科技成果。该书的主要 内容是周代传下来的有关测天量地的理论和方 法。 《周髀算经》也是中国最古的算书，成书确切 年代没有定论，一般认为在公元前2、3世纪。 李约瑟认为：“最妥善的办法是把《周髀算经》 看作具有周代的骨架加上汉代的皮肉。”
九章算术之开方术
今有积五万五千二百二十五步，问为方几何？ 答曰：二百三十五步。 开方术曰：置积为实，借一算步之，超一等。 议所得，以一乘所借一算为法，而以除，除 已，倍法为定法。其复除，折法而下。复置 借算步之如初，以复议一乘之。所得副之， 以加定法，以除，以所得副从定法。复除折 下如前。
九章算术
《周髀算经》
勾股定理的普遍 形式 求邪至日者，以 日下为勾，日高 为股，勾股各自 乘，并而开方除 之，得邪至日。 陈子测日法

相似形方法 《周髀算经》(西汉, 约公元前100年)
《周髀算经》中的勾股定理
周公问商高关于计算的问题，商高答曰： “数之法出于圆方，圆出于方，方出于 矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为 勾广三，股修四，径隅五。” 荣方与陈子的一段对话中，则包含了勾 股定理的一般形式。陈子曰：“若求邪 至日者，以日下为勾，日高为股。勾、 股各自乘，并而开方除之，得邪至 日，…”

（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面 体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个 面的直角（只需写出结论）；若不是， 说明理由；
（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大
小为 ，求 DC的值．
3
BC
导入新课
《九章算术》
《九章算术》大约成书于公元1世纪，是我国 古代最著名的传世数学著作，又是中国古代最重要 的数学书籍。它从成书直到西方数学传入之前，一 直是中国古代数学学习者的首选教材。对古代数学 的发展起了巨大的推动作用。
m m'
y
x
所出率中，大数减小数 所出率差除“实” 所出率差除“法”
这是个“一盈一不足”问题，还有“两盈”“两不
足”“一盈一适足”“一不足一适足”等四类问题。
课堂习题
“两鼠穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿。 大鼠日一尺，小鼠也日一尺。大鼠日自倍增，小鼠日自 半。问何日相逢，各穿几何？
解：假如设 x 天后两鼠相遇，则由于大老鼠每天打
在正负数的概念的引入以及正负数运算法则的确 定方面，我国是遥遥领先的。
2.《九章算术》的深远影响
《九章算术》总结了自周代以来的中国 古代数学，包含了以前已经解决了的数学问 题，又有汉朝时新取得的数学成就。
标志着中国古代数学体系的形成。
《九章算术》及其注文中蕴涵的数学思 想不仅对我国古代数学产生了巨大影响，也 极大地促进了世界数学的发展。
《九章算术》
公元263年撰《九章 算术注》 阐述了中国传 统数学的理论体系与数 学原理； 中国传统数学 最具代表性的人物 。
刘徽(魏晋, 公元3世纪) （中国，2002）
内容介绍
《九章算术》 （东汉，公元100年）
《九章算术》秉承了先秦以 来数学的发展源流，流传近2000 年。后世的数学家多是从《九章 算术》开始学习和研究数学。唐 宋两代成为国家明令规定的教科 书，并在北宋时由政府进行过刊 刻（1084），成为世界上最早 的印刷版教学书。

• 第四章 “少广”：
• 已知面积、体积、求其一边长和径长等
•
•
主要成就包括开平方、开立方的算法。用来求已知面积、 体积，反求其一边和径长等。
•
• 而“开方术”开创了后来开更高次方和求更高次方程数 值解之先河，并且指出了存在有开不尽的情形，并给这 种不尽根数起了一个专门的名字——“面”。
• 第五章“商功”：土石工程、体积计算
• 例：上等禾谷三捆，中等禾谷二捆，下等禾谷一捆，，共出 粮三十九斗；上等禾谷二捆，中等禾谷三捆，下等禾谷一捆，， 共出粮三十四斗；上等禾谷一捆，中等禾谷二捆，下等禾谷三 捆，，共出粮二十六斗。问上中下等禾谷每捆出粮各多少？
解：设上中下禾各一秉打出的粮食分别为x，y，z斗
则解方程组
3x 2y z 39 2x 3y z 34 x 2y 3z 26
《九章算术》所创立的机械算法体系显示出比欧几 里得几何学更高的水准．并将其扩展到其他领域，其算 法体系至今仍推动着计算机的发展与应用．
《九章算术》
六艺：礼、乐、射、御、书、数
《九章算术》
（东汉，公元1世纪初）
《周礼》
《九章算术》的主要内容
• 《九章算术》的内容十分丰富，全书主要采用问题集 的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题 。
根据随机抽样事件的概率得
x ＝ 28 ，得 x≈169. 1 534 254 事实上,1 534 约是 254 的 6 倍,则 x 约是 28 的 6 倍，故选 B.
3．《九章算术》是我国古代数学名著，它 在几何学中的研究比西方早 1 千多年．例 如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直 于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一 侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑指四个面均为直角三角形的 四面体． 如图，在堑堵 ABC-A 1B 1C1 中，AC⊥BC.

中华民族创造了源远流长的中华文化，中华民族也一定能够 创造出中华文化新的辉煌。
1.了解刘徽的《青朱出入图》. 2.请简述国际数学家大会的有关内容. 3.课后观看《大数学家陈省身》，并写 观后感.
1.最早创用了十进位制
2.最早发现了负数
3.首创了代数学
没有规矩， 不成方圆
1. “倍，为二也。”
2. “平，同高也。” 这与欧几里得几何学定理“平行线 间的公垂线相等”意思相同。
3. “中，同长也。” 这里的“中”指物体的对称中心，也 就是物体的中心为与物体表面距离都相等的点。 4. “圜，一中同长也。” 墨子指出圆可用圆规画出，也可 用圆规进行检验。圆规在墨子之前早已得到广泛地应用，但给 予圆以精确的定义，则是墨子的贡献。墨子关于圆的定义与欧 几里得几何学中圆的定义完全一致。
商高曾于《周髀算经》中提到“故折矩，以为勾广三，股 修四，径隅五”。
中国最早的一部数学著作—《周髀算经》的开头，记载着 一段周公向商高请教数学知识的对话：
周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有 梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到 关于天到地的数据呢？” 商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其 中有一条原理：当直角三角形„矩‟的一条直角边„勾‟等于3，另一条直 角边„股‟等于4的时候，那么它的斜边„弦‟就必定是5。这个原理是大 禹在治水的时候就总结出来的呀!”
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰 教育日志》上发表了他对勾股定理的这 一证法。 1881 年，伽菲尔德就任美国第二十任总 统。后来，人们为了纪念他对勾股定理 直观、简捷、易懂、明了的证明，就把 这一证法称为“总统”证法。
中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证 明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。 尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想 方法，更具有科学创新的重大意义。事实上， “形数统一”的思想方法正是数学发展的一 个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴 文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关 系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着 的 ...... 十七世纪笛卡儿解析几何的发明， 正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿 后的重现与继续。”

第3讲 中世纪的中国数学
《周髀算经》与《九章算术》 刘徽与祖冲之 宋元数学
古代背景
十进制计数法
古代背景
6708
筹算记数法
千一凡 十纵算 《 相十之 孙 望横法 子 ，，， 算 万百先 经 百立识 》 相千其
当僵位 。，，
古代背景
《史记·夏本纪》
大禹治水(公元前21世纪)
先秦诸子百家
意大利斐波那契1202年 瑞士欧拉1743年 德国高斯1801年
隙积术
沈括(北宋, 1031-1095)
隙积术
李约瑟：中国整部科学史中最卓 越的人物，中国科学史的坐标轴。
会圆术
隙积术
《梦溪笔谈》(1093)
宋元算法
隙积术 大衍术 开方术
垛积术 招差术 天元术
中算的衰落
《四元玉鉴》是宋元(960-1368)数学的绝唱 明初起300余年内中国传统数学研究呈现全 面衰退 明清(1368-1911)共543年宋元数学的精粹 长期失传、无人通晓
《孙子算经》与物不知数
今有物不知其数，三三数之剩二，五 五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？
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《张邱建算经》与“百鸡问题”
今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱 三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百 只。问鸡翁、母、雏各几何?
31
3.中算发展的第三次高峰 数学全盛时期
社会背景
毕升(北宋, 约970-1051)
《周髀算经》
勾股定理的普遍形式 求邪至日者，以日下为 勾，日高为股，勾股各 自乘，并而开方除之， 得邪至日。
陈子测日法 相似形方法
《周髀算经》(西汉, 约公元前100年)
《九章算术》
六艺：礼、乐、射、御、书、数

祖氏原理在西方称为“卡瓦列利原理”
祖暅之开立圆术的分解
P M
N
r
h
rO
r
S
rh
问题1：内棋的截面面积为多少？
P M O M 2 O P 2r 2 h 2
S内 棋 =S红r2h2
问题2：外三棋的截面面积为多少？
S 外 三 棋 = S 黄 r 2 (r 2 h 2 ) h 2
问题3：外三棋截面面积的数值可以看成哪个常见平面图形的面积？ 由此你能联想学过的哪个几何体的截面正好是这个平面图形？
祖暅之开立圆术的分解
牟合方盖八分之一及它的外切正方体，再把这个正方体 又分出三个小立体，牟合方盖的八分之一部分称为“内 棋”，三个小立体称为“外棋”.
内棋
外三棋
18V牟=V立V外三棋
祖氏原理：幂势既同，则积不容异
面积
高
夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截， 如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
可以看成正方形的面积，联想到倒立的正四棱锥，它的截面正好也是正方形
祖暅之开立圆术的分解
P M
N
r
h
rO
S
r
rh
问题4：外三棋的体积是多少？
问题5：八分之一牟合方盖的体积是多少？牟合方盖的内切球体积是多少？
1 8V 牟 =V 立 V 外 三 棋 =r31 3r32 3r3
V牟
=
16 3
r
3
V 球 4V 牟 =41 3 6r3=3 4r3
观立方之内，合盖之外
祖暅，祖冲之的儿子 杰出的数学家和天文 学家，修补、编辑了 祖冲之的《缀术》
这个正确结果记载在《九章算术》“开立圆术” 之李淳风注中，称为“祖暅之开立圆术”.

1中国古代数学瑰宝——《九章算术》教学设计隆德县中学刘芳【教材分析】本节课教材是人教A版高中数学（选修3—1数学史选讲）第三讲中国古代数学瑰宝的第二节。

本节课是学生在学习了古希腊数学史之后，学习的关于我国主要数学成就的第二块内容。

《九章算术》是世界数学发展史上的宝贵遗产,是中国古代数学发展史上的重要里程碑,它对中国古代数学发展的影响之大是任何其他数学书籍不能相比的。

它几乎成了中国古代数学的代名词。

中国历代数学家从中汲取着丰富的营养,不断地将中国数学推向前进。

因此，学习本节课的内容十分重要。

【学情分析】学习本节课学生对于数学史的知识了解甚少。

“历史使人明智”。

学习一些数学史知识，可以使同学们了解数学的发展轨迹，更好地体会数学概念所反映的思想方法，感受数学家们刻苦钻研和勇于开拓的精神，这对开阔视野、启发思维以及学习和掌握数学知识都大有益处。

【教学目标】知识与技能：1．了解中国最早的经典数学著作之一的《九章算术》的深远影响；2.初步熟悉我国古代数学家刘徽的杰出贡献；3．学习《九章算术》介绍的各种实际问题解法。

过程与方法：《九章算术》总结了自周代以来的中国古代数学，学习其中代表性的“盈不足术”、“方程术”、“正负术”。

2情感态度与价值观：《九章算术》是中国古代最著名的传世数学著作，又是中国古代最重要的数学典籍，对中国古代数学的发展起到了巨大的推动作用。

【教学重点】《九章算术》的主要内容以及其深远影响。

【教学难点】《九章算术》中介绍的各种实际问题的解法以及其现实意义。

【教法、学法】启发引导，分析讲解。

【教具】粉笔、ppt、视频。

【教学过程】一、创设情景，引入新课（复习导入）示例一：（2015年全国Ⅱ卷）如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

执行该程序框图，3若输入的a,b分别为14,18，则输出的a（）.A．0B．2C．4D．14设计意图：展示普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修3中第一章第三节算法案例中与《九章算术》有关的“更相减损术”的内容，以及2015年全国Ⅱ卷的程序框图真题的实例，引入新课，激发学生的学习热情。

3.1 《周髀算经》和《九章算术》
3.1.1 《周髀算经》
作者不祥，成书不晚于公元前2世纪西汉时期。 内容涉及数学和天文知识，有的可以追溯到西周（前 11世纪－前8世纪）。 最突出的成就：勾股定理 记载西周开国时期周公与大夫商高讨论勾股测量的对 话，商高答周公问时提到“勾广三，股修四，径隅五”， 这是勾股定理的特例。卷上另一处叙述周公后人荣方与 陈子（约前6、7世纪）的对话中，包含了勾股定理的一 般形式：
3.3 宋元数学
“宋元四大家” 杨辉、秦九韶、李治和朱世杰 3.3.1 从“贾宪三角”到“正负开方”术 宋元数学最突出的成就之一是高次方程求数值解，这是《九章算 术》中开方术（开平方和开立方）的继承和发展。 目前有明确记载保留下来的最早的高次开方法是北宋时期的贾宪 创造的“增乘开方法”。 贾宪的“增乘开方法”原则上可以用于求解高次方程，但贾宪本 人并没有认识到一点。南宋数学家秦九韶在他的代表著作《数学 九章》（1247年）中将增乘开方法推广到了高次方程的一般情形， 他将自己的方法称为“正负开方术”。
第三讲 古代中国数学
• 古代中国是世界四大文明古国之一。在商朝的甲骨 文中已经使用完整的十进制记数（约公元前1600年 左右）。至迟到春秋战国时期，又开始出现严格的 十进位值制筹算记数(约公元前500年）。 • 关于几何学，据《史记·夏本纪》记载，夏禹治水时 已使用了规、矩、准、绳等作图与测量工具。从 战国时代的著作《考工记》中也可以看到与手工制 作有关的实用几何知识。
“。。。以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开 方除之，得邪至日。” 《周髀算经》中还讨论了测量“日高”的方法。 图 3.1 • 中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3 世纪三国时期的赵爽。赵爽注《周髀算经》，运用面 积出入相补证明了勾股定理。赵爽还证明了《周髀算 经》中的日高公式。 图3.2

（2）乘法表 从出土的文物来看，春秋战国时期的文献
中已有乘法口诀。次序与现代不同，由“九 九八十一”开始。因此又称乘法口诀或乘法 表为“九九”，这种次序流行了一千六、七 百年，直到南宋初才改为现今的顺序。
（3）战国技术手册《考工记》中的分数运算 “少半”：1/3；大半：2/3；半：1/2
（4）名家的思辨
宋 刻 本 《 九 章 算 术 》 书 影
《九章算术》的特点：
采用按类分章的数学问题集的形式； 算式都是从筹算记数法发展起来的； 以算术、代数为主，很少涉及图形性质； 重视应用，缺乏理论阐述等。
《九章算术》的内容：
第一章，「方田」：
平面图形面积的量法及算法，如矩形、三 角形、圆、弧形、环形等的田地的求积公式， 及分数算法，包括加减乘除法、约分﹝将分母， 分子用辗转相除法求出它的最大公约数再作约 分﹞、分数大小的比较及求几个分数的算术平 均数等
包括：分数运算、比例问题、双设法、一些面 积、体积计算、一次方程组解法、负数概念的 引入及负数加减法则、开平方、开立方、一般 二次方程解法等。
• 约分术：副置分母、子之数，以少减多，
更相减损，求其等也。以等数约之。
49
7
91
13
49 49 7 7 91 42 42 7
比例算法
• a:b=c:x
所有率 : 所求率 = 所有数 : 所求数
第七章，「盈不足」： 算术中的盈亏问题的算法，实际上就是现
在的线性插值法，它还有许多名称，如试位法、 夹叉求零点、双假设法等。 第八章，「方程」：
有关一次方程组的内容，最后还有不定方 程。将方程组的系数和常数项用算筹摆成「方 程」，这是《九章算术》中解多一次方程组的 方法，而整个消元过程则相当于代数中的线性 变换。在方程章里提出了正负数的不同表示法 和正负数的加减法则。

方程术例题
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉， 实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下 禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾 二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、 中、下禾实一秉各几何？
正负术
李文林在《数学史教程》中指出：“对 负数的认识是人类数系扩充的重大步骤。 如果说古希腊无理量是演绎思维的发现， 那么中算负数则是算法思维的产物。中 算家们心安理得地接受并使用了这一概 念，并没有引起震撼和迷惑。” 国外首先承认负数的是7世纪印度数学家 婆罗门及多，欧洲16世纪时韦达等数学 家的著作还回避使用负数。
第五章“商功”讲述各种土木工程中的 体积计算。我国自远古以来，对筑城、 挖沟、修渠等土建工程积累了丰富的经 验，创造了许多有关土方体积计算和估 算的方法，本章即为经验和方法的理论 总结，诸如长方体、台体、圆柱体、锥 体等体积的计算公式都与现在一致，只 是圆周率取3，误差较大。
第六章“均输”讲述纳税和运输方面的计 算问题，实际上是比较复杂的比例计算问 题。 第七章“盈不足”讲述算术中盈亏问题的 解法。盈不足术实际上是一种线性插值法。 该方法通过丝绸之路传入阿拉伯国家，受 到特别重视，被称为“契丹算法”。后来 传入欧洲，13世纪意大利数学家斐波那契 的《算经》一书中专门有一章讲“契丹算 法”。
《周髀算经》中的勾股定理
首先，《周髀算经》中明确记载了勾股 定理的公式。“若求邪至日者，以日下为 勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除 之，得邪至日”（《周髀算经》上卷二）
勾股定理的证明就记载在《周髀算经》上卷一 -昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也， 请问昔者包牺立周天历度--夫天可不阶而升，地 不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰： “数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩 出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修 四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘， 得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。 故禹之所以治天下者，此数之所生也。”

密率，圆径一百一十三，圆周三百五十 五。约率，圆径七，周二十二。
《缀术》
《隋书·律历志》
公元462年, 祖冲之算出 3.1415926<π<3.1415927 密率355/113，约率22/7。
祖冲之(429-500)
所著之书,名为《缀术》, 学官莫能究其深奥，是故废 而不理。
1913年起称355/113为祖率。
《缀术》
圆周率计算 球体体积公式
祖冲之(南朝宋、齐, 429-500)
《缀术》
《隋书》 （唐，魏征主编）
古之九数，圆周率三，圆径率一，其术 疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王事史祖冲之，更开密法， 以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四 寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺 四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒 二限之间。
《缀术》
割之又割
圆内接正 12288边形和24576边形
3.14159261<π<3.14159271
《缀术》
体积计算
谢谢观赏！
第五章“商功”讲述各种土木工 程中的体积计算。我国自远古以 来，对筑城、挖沟、修渠等土建 工程积累了丰富的经验，创造了 许多有关土方体积计算和估算的 方法，本章即为经验和方法的理 论总结，诸如长方体、台体、圆 柱体、锥体等体积的计算公式都 与现在一致，只是圆周率取3，误 差较大。
第六章“均输”讲述纳税和运输 方面的计算问题，实际上是比较 复杂的比例计算问题。
刘徽的数学成绩
刘徽的《九章算术注》包含了他本人的 许多创造，其中最突出的成绩是“割圆 术”和求积理论。
若设圆面积为S0 ，内接
A O
正n边形边长为 ln ，面积为Sn
C D
B
2
则

1920 南开大学数学系：姜立夫（哈佛大学） ……
算筹与筹算 一
1 数字的起源 从“数”谈起
數数
《易·系辞传》：“上古结绳而治，后世圣 人易之以书契”
郑玄（东汉）：“事大，大结其绳；事小，
(左)基普（quipu） 南美印加（Inca）部落用来记事的结绳，秘鲁
10进位位值制记数法
纵式筹码 横式筹码
第三讲
中国古代数学
概述
石器时代（4000BC）
—仰韶文化·西安半坡遗址
陶器上的刻划符号—文字的起源
几何图案
三角形数？
夏商周：青铜时代 —1600BC
数字符号的形成
甲骨文
金文
伏羲执矩，女娲执规：数学崇拜？
“算术”乃社稷民生之大用！
昔者周公问于商高曰：窃闻乎大夫善数也。请问 古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可 得尺寸而度。请问数安从出？
1607 徐光启、利玛窦合译 《几何原本》
1609 李之藻、利玛窦合译 《同文算指》
徐光启与利玛窦
清代：1665-1910AD
中国古典数学渐次衰微 乾嘉时期 《数理精蕴》100卷 梅文鼎 年希尧、明安图、汪莱、李锐、戴煦
西方数学的再次传入
《几何原本》1857,李善兰，伟烈亚利 又译《代数术》《代微积拾级》 《代数术》
粟米 以谷物交换为例的各类比 例问题；
衰分 按比例分配和等差数列问 题；
少广 由田亩计算引出的分数、 开方问题；
商功 与土方工程有关的体积问 题；
均输 与摊派劳役和税收有关的 比例问题；
2 注释者
刘徽，魏晋间人，263AD年注释《九章算术》 “徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂，
总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢 竭顽鲁，采其所见，为之作注。”

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
数学史选讲(第三讲)中国古代数学瑰 宝
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
45、自己的饭量自己知道。——苏联

中国古代数学瑰宝《孙子算经》知识回顾《九章算术》成书于公元1世纪，是中国古代最著名的传世数学著作，《九章算术》及其注文中蕴涵的数学思想不仅对我国古代数学产生了巨大影响，也极大地促进了世界数学的发展.导入新课南宋数学家秦九韶（1202—1261）在《数书九章》中第一次详细地完整阐述了求解一次同余方程组的算法，他称作“大衍总数术”.秦九韶著作的主要成就：1、完整保存了中国数码字计数法2、首创连环求等，求几个数的最小公倍数3、更进一步认识比例，比例项数达到5项之多4、一次同余式组的程序化解法，创大衍求一术5、三斜求积公式，使“海伦公式”不专美于前6、线性方程组的直除法（即加减消元法），将系数矩阵化为单位矩阵7、用正负开方术数值解多项式三、大衍求一术南北朝时期的著作《孙子算经》中，有一驰名中外的问题“物不知数”：答曰，二十三.今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？《孙子算经》书影教学目标知识与能力熟悉“大衍求一术”的算法；熟悉我国古代数学家秦九韶及其杰出贡献；了解“中国剩余定理”的现实应用和历史意义.过程与方法情感态度与价值观通过学习“物不知数”解法，了解“大衍求一术”算法，了解其不可动摇的影响.“大衍求一术”比欧美国家早500年，代表中世纪数学发展的主流，并将中国古代数学推向了顶峰，秦九韶是世界最伟大的数学家之一.教学重难点重点“物不知数”的古代以及现代解题方法.难点了解并学会“大衍求一术”又称“中国剩余定理”的现实应用.《数书九章》(1247)《数书九章》是一部划时代的巨著，它总结了前人在开方中所使用的列筹方法，将其整齐而有系统地应用到高次方程的有理或无理根的求解上去，其中对“大衍求一术”和“正负开方术”等有十分深入的研究.内容介绍“大衍求一术”中“求一”指求一个数，被某数除余1之意，而“大衍”一次来自《易经》，是演变的意思.秦九韶将它们合二为一.秦九韶(南宋, 约1202-1261年)“物不知数”问题属于数论的一次同余方程组问题，用现代数学符号可表示为求同余方程组的整数解：123123N R (mod3)R (mod5)R (mod7)R =2,R =3,R =2≡≡≡式中物不知数算法《孙子算经》中给出的算法：术曰，三三数之剩二置一百四十，五五数之剩置六十三，七七数置三十，并之得二百三十三，以二百十减之，即得.凡三三数之剩一则置七十，五五数之剩一则置二十一，七七数之剩一则置十五.一百六以上，以一百五减之，即得.《孙子算经》求得此问题的最小整数解N=23的解题步骤：选定5×7的一个倍数，被3除余1，即70；选定3×7的一个倍数，被5除余1，即21；选定3×5的一个倍数，被7除余1，即15.然后按下式计算：式中105为3、5、7的最小公倍数，p 为适当选取的整数，使得0<N≤105,该题取2.123N =70R +21R +15R -105p,明朝数学家程大位在《算法统宗》中把上式总结为一首通俗易懂的歌决：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.其中正半月是指15，这个口诀把3，5，7；70，21，15及105这几个关键的数都总结在内了.详细说，歌诀的含义是：用3除的余数乘70，5除的余数乘21，7除的余数乘15，相加后再减去（“除”当“减”讲）105的适当倍数，就是需要求的（最小）解了.由孙子的“物不知其数”解法得到如下定理：设两两互素，为余数，则有整数解，且对模M 是唯一的.若记最小正整数为N ，则其中满足为适当选取的整数，使得12n a ,a ,...a 12n R ,R ,...R 122M =a a ...a i i x R (moda )(i =1,2,...,n)≡ n i i i=1i M N =k R -pM,a i ki i i M k 1(moda )(i =1,2,...,n).p a ≡N M≤孙子的“物不知其数”问题颇有猜谜的意味，并且其解法巧妙、奇特，流传到后世，又衍生出很多其他的叫法，如“秦王暗点兵”、“剪管术”、“鬼谷算”、“韩信点兵”等等，成为一种娱乐活动.“韩信点兵”的故事韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（1人）；再让这队士兵6人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（5人）；再让这队士兵7人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（4人），再让这队士兵11人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（10人）.然后韩信就凭这些数，可以求得这队士兵的总人数.《孙子算经》《孙子算经》全书共三卷：上卷较详细地记述了算筹记数法和用算筹进行乘、除、开方以及分数等运算的步骤和法则.后两卷记录的大都是生活的实际问题.下卷的第26题就是著名的“物不知其数”问题，又称“孙子问题”.中国剩余定理秦九韶在750多年前创造的大衍求一术，开创了系统的一般一次同余方程组解法的先河.“物不知数”题流传到国外，意大利数学家斐波那契在其著作《算盘书》中引用了该题.到了18世纪初，欧拉，拉格朗日等都对一次同余式组进行研究，最后“数学王子”高斯在其著作《算术研究》中给出了一般性解法，并命名为“高斯定理”.1852年英国传教士伟烈亚力将“物不知数”的解法和秦九韶的“大衍求一术”算法介绍到欧洲.1874年德国科学史家马蒂生在其著作中公开指出高斯解法符合“大衍求一术”，并赞扬中国数学家是“最幸运的天才”.在数学史中，欧洲人把“高斯定理”改为“中国剩余定理”（Chinese remainder theorem）.斐波那契欧拉“中国剩余定理”不仅有光辉的历史意义，直到现在还是一个非常重要的定理.1970年，年轻的苏联数学家尤里.马季亚谢维奇（28岁）解决了希尔伯特提出的23个问题中的第10个问题，轰动了世界数学界.他在解决这个问题时，用到的知识十分广泛，而在一个关键的地方，就用到了我们的祖先一千多年前发现的这个“中国剩余定理”.希尔伯特的第10个问题：能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解.希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？希尔伯特1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在.课堂小结秦九韶在其著作《数书九章》中由起源于《孙子算经》的“物不知数”推理出的定理—“大衍求一术”，解决了一次同余方程组的一般解法.在数学史上有占有不可动摇的领先地位.比西方早500多年，在欧洲曾被称作“高斯定理”，后改为“中国剩余定理”.课堂练习某单位有100把锁，分别编号为1，2，3，…，100.现在要对钥匙编号，使外单位的人看不懂，而本单位的人一看见锁的号码就知道该用哪一把钥匙.课堂答案利用中国剩余定理，把锁的号码被3，5，7去除所得的三个余数来作钥匙的号码（首位余数是0时，也不能省略）.这样每把钥匙都有一个三位数编号.例如23号锁的钥匙编号是232号，52号锁的钥匙编号是123号.8号锁——231 19号锁——14545号锁——003 52号锁——123因为只有100把锁，不超过105，所以锁的号与钥匙的号是一一对应的.如果希望保密性再强一点儿，则可以把刚才所说的钥匙编号加上一个固定的常数作为新的钥匙编号系统.甚至可以每过一个月更换一次这个常数.这样，仍不破坏锁的号与钥匙的号之间的一一对应，而外人则更难知道了.。