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1立体几何---鳖臑广东二师附中数学科组罗剑锋2018年6月14日2015年湖北高考数学之后，广大考生感言：阳马、鳖臑，想说爱你不容易；中学教师考后反思：阳马、鳖臑，不说爱你又没道理；试题评价专家说：湖北高考数学试题注重数学本质，突出数学素养，彰显数学文化.阳马、鳖臑是什么呢？1试题再现《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图1，在阳马ABCDP中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于点F，连接,,,.DEDFBDBE(I)证明：PB平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；(II)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π3，求DCBC 的值．阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵. 再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马.余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑.22试题赏析《普通高中课程标准实验教科书数学必修2》的“第一章立体几何初步”的“第六节垂点P为ABC所在直关系”的例题如图4所示，在中，90B，平面外一点，PA平面ABC。
问：四面体PABC中有几个直角三角形？（哪个角是直角？）如图5，鳖臑几何体PABC中，PA平面ABC，ACCB，AMPB于M，ANPC于N．证明：PBMN．3典型例题例1、2017年广州一测（10）变式《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥PABC 为鳖臑,PA⊥平面ABC,4PAAC，2AB,三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为（）（A）8（B）12（C）20（D）32PAC图4MPABC图5NRtABC3变式1、中国古代第一部数学名著《九章算术》中,将一般多面体分为阳马、鳖臑、堑堵三种基本立体图形,其中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑,若三棱锥Q-ABC为鳖臑,QA⊥平面ABC，AB⊥BC，QA=BC=3，AC=5，则三棱锥Q-ABC 外接球的体积为（）A．32B.C.D.34变式2、《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑。
1中国古代数学瑰宝——《九章算术》教学设计隆德县中学刘芳【教材分析】本节课教材是人教A版高中数学（选修3—1数学史选讲）第三讲中国古代数学瑰宝的第二节。
本节课是学生在学习了古希腊数学史之后，学习的关于我国主要数学成就的第二块内容。
《九章算术》是世界数学发展史上的宝贵遗产,是中国古代数学发展史上的重要里程碑,它对中国古代数学发展的影响之大是任何其他数学书籍不能相比的。
它几乎成了中国古代数学的代名词。
中国历代数学家从中汲取着丰富的营养,不断地将中国数学推向前进。
因此，学习本节课的内容十分重要。
【学情分析】学习本节课学生对于数学史的知识了解甚少。
“历史使人明智”。
学习一些数学史知识，可以使同学们了解数学的发展轨迹，更好地体会数学概念所反映的思想方法，感受数学家们刻苦钻研和勇于开拓的精神，这对开阔视野、启发思维以及学习和掌握数学知识都大有益处。
【教学目标】知识与技能：1．了解中国最早的经典数学著作之一的《九章算术》的深远影响；2.初步熟悉我国古代数学家刘徽的杰出贡献；3．学习《九章算术》介绍的各种实际问题解法。
过程与方法：《九章算术》总结了自周代以来的中国古代数学，学习其中代表性的“盈不足术”、“方程术”、“正负术”。
2情感态度与价值观：《九章算术》是中国古代最著名的传世数学著作，又是中国古代最重要的数学典籍，对中国古代数学的发展起到了巨大的推动作用。
【教学重点】《九章算术》的主要内容以及其深远影响。
【教学难点】《九章算术》中介绍的各种实际问题的解法以及其现实意义。
【教法、学法】启发引导，分析讲解。
【教具】粉笔、ppt、视频。
【教学过程】一、创设情景，引入新课（复习导入）示例一：（2015年全国Ⅱ卷）如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
执行该程序框图，3若输入的a,b分别为14,18，则输出的a（）.A．0B．2C．4D．14设计意图：展示普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修3中第一章第三节算法案例中与《九章算术》有关的“更相减损术”的内容，以及2015年全国Ⅱ卷的程序框图真题的实例，引入新课，激发学生的学习热情。
高二数学第1页《九章算术》教学设计一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书选修3-1》（人教A 版）第三讲“中国古代数学瑰宝”二，对《九章算术》作了简单介绍，举例介绍了该书的重要成就，指出了该书的深远影响，让学生对其产生浓厚的兴趣.指引学生探索数学思想方法进一步解决各种实际问题.二、学生学习情况分析学生具备一定的高中数学知识和数学能力，利用所学的初高中数学知识对本书中提出的一些问题尝试使用不同的方法解决，对比古人的解决方法，感受古人的智慧，激发学习数学的热情.三、设计思想本节内容以让学生了解《九章算术》，激发学生学习热情为主要目的，课堂以学生为主体，充分给学生讨论时间和展示空间，提前下发导学案，在本节课之前已经给了他们一定的准备时间.结合我校6+1课堂教学模式，在本节课的教学中，按“导-思-议-展-评-检-练”的顺序组织教学，把课堂交给学生. 在教学过程中，教师给予学生一定的提示和帮助，并针对学生出现的问题及时更正点评，尽力提高课堂效率.四、教学目标1、了解《九章算术》的主要内容；2、培养学生探索解决问题的好习惯；3、感受古代数学的魅力，增强民族自豪感，激发学习数学的热情.五、教学重点与难点重点：了解《九章算术》主要内容难点：理解比例算法、盈不足术、开方和线性方程组等六、教学过程（1）导（约5分钟）教师简单介绍《九章算术》，介绍重要内容、深远影响，欣赏相关高考题，是整堂课的指引，指明本节课的主要学习目的和学习方法等.（2）思议展（约20分钟）针对导学案上的问题，学生独立思考一段时间后，小组内自然开始交流讨论，做好展示的准备.此部分的讨论是自然产生的，学生经独立思考后必然有交流的欲望，通过交流讨论让思路更清晰.（3）评（约5分钟）教师点评，指出每题的关键知识点和解题思路，对展示优秀的学生表扬鼓励.（4）检练（约10分钟）此类题目关键是读懂题目，转化为数学问题，利用相关知识点找到适当的方法解决问题.七、小结与反思。
.2《九章算术》教材分析《九章算术》是人教A版高中数学选修3-1数学史选讲第三章中国古代数学瑰宝中十分重要的内容。
中，它的许多几何性质在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用。
本节是第三章的第二课，主要介绍了《九章算术》的重要成就，包括盈不足术、方程术和正负术相关内容，阐述《九章算术》的深远影响。
这部分是中国古代数学的重要基础知识，原因如下：第一，在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用。
前面第二章学生学习了古希腊的《几何原本》，在本节课中将《九章算术》与《原本》进行比较，进而认知东西方古代文明的差异及对世界发展的深远影响。
第二，对盈不足术研究，将盈不足问题与盈不足术对应起来，体现了算法的思想；对方程术研究，将方程组与遍乘直除法对应起来，体现了消元的思想。
这两种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。
第三，对正负术发展的学习过程，使学生经历了观察、猜测、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的探究性思维方式，加强了逻辑思维能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础。
学情分析1.在学习本节内容以前，学生已经学习了《周髀算经》和赵爽弦图，初步了解了用中国古代数学文化，经历了勾股定理的证明、近似分数的计算，进一步为学习《九章算术》奠定了基础.2.经过两年的高中学习，学生的计算能力、分析解决问题的能力、归纳概括能力都有了明显提高，使得进一步探究学习本节内容成为可能。
但是，在本节课的学习过程中，学生对遍乘直除法的理解是一个考验，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时加以点拨指导.3.学生对方程组都有了一定的认识，并能用消元法解多元一次方程组，本节课学生通过遍乘直除法解三元一次方程组，方程术的发展、正负术的发展感知中国古代数学的伟大成就.◆知识与技能目标了解《九章算术》的内容概要及取得的重要成就，掌握盈不足术、遍乘直除法；理解方程术、正负术的发展，以及《九章算术》的深远影响.◆过程与方法目标在本节中学生经历阅读课本，观看视频，分析《九章算术》的内容概要，解析例题学习教学目标盈不足术、方程术、正负术的过程和思想.①阅读第25页，了解九章算术的内容概要，培养学生归纳总结的能力；②用盈不足术解盈不足问题，分析古代数学家将动态问题转化为静态的思想；③用遍乘直除法解多元一次方程组，加深对消元思想的理解.◆情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，激发学生科学理解中国古代数学历史文化的兴趣，与同时期的外国数学发展作比较，增强学生的名族自豪感。
数学学科
教案
章节
选修3-1第3章第2节
课时数
3
主备人
张瑶
课题
九章算术
第几课时
1
讲课时间
45分钟
课的类型
新授课
教学方法
观察分析、类比归纳
教具
电脑、展板、投影仪
教学目标
学生通过九章算术的学习，了解九章算术是人类数学的重要
起源之一，认识数学发生发展的必然规律。
对本课采用探究性学习，尝试探索规律发现的过程，有助于发展学生的创新意识，提高学生的数学核心素养。
学情分析
数学发展的历史是一部内容丰富、思想深刻的历史。
数学文化是人类文化的重要组成部分。
在教育部颁布的《普通高中数学课程标准》中，有四个地方用较大的篇幅谈到数学文化，对学生学习数学文化也提出了具体的教学要求。
但同学们对此却没有引起足够的重视，更没有进行主动的学习和深入的研究。
因此，教者想精心选取以数学文化为背景的高考题作为切入点，通过从文化的视野来解读一道数学问题，来唤起同学们对数学文化的重视，认识到学习数学文化的重要性和必要性，从而对数学文化进行主动学习和探究，提高数学文化素养。
教学重点
1.
对《九章算术》背景的介绍；
2.
对“盈不足”“均输”“勾股”“商功”四章的介绍与讲解。
教学难点
在挖掘题目背后的数学文化内容的过程中，提高学生的数学核心素养，激发学生的学习热情。
教
学
过
程
设
计（内含学法指导内容）
教学内容
教师活动
学生活动
通过一首古诗引入九章算术，思考以下问题：
1.什么是《九章算术》?
2.《九章算术》有哪些内容?
3.《九章算术》九章的主要含义分别是指什么?
情景引入
引例：今有共买物，人出八盈三，人出七不足四，问人数、物价各几何.
变式：若干人共买一物，若每人出a1钱，则多出b1钱；若每人出a2（a2＜a1）钱，则又不足b2钱，求人数与物价与人均钱数。
归纳盈不足法：
人数=
通过视频的形式让学生对九章算术有一个初步的了解。
教师提问
引导学生与引例对比，总结出变式的规律。
让学生归纳出盈不足法。
学生观看视频
学生回答
学生分组讨论，给出变式结果。
学生回答
2711106667333727物价=
人均钱数=
介绍《九章算术》中的“盈不足”
例题讲解
九章算术中的数列
例1.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？数列法：
盈不足法：
天数=
大鼠距离=
小鼠距离=
例2.《九章算术》是我国古代数学名著，在其中有道
“竹九问题”“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)．问每节容量各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为(
)
A.
B.
C.
D.
介绍《九章算术》中的“均输”章
九章算术中的立体问题
例3.如图，在堑堵ABC-A1B1C1中AC⊥BC。
(1)求证:四棱锥B-A1ACC1为阳马;
(2)求该堑堵外接球的体积;
从数列计算问题出发，我们引入“盈不足”的应用。
思考：如穿墙两日剩几尺？如穿墙三日多几尺？
引导学生用盈不足法改编例1，解决计算难题。
学生独立完成本题
教师引导提示，与学生共同完成此题
学生了解“盈不足”相关知识
学生列式计算，完成例1，发现式子好列，方程难解。
进而激发学生改编本题的欲望。
学生分析
运用盈不足法改编本题并求出结果。
学生思考并尝试独立解答此题。
学生讲解此题。
学生了解“均输”的相关内容
学生思考探索，解决九章算术中的立体几何问题。
介绍《九章算术》中的“勾股”章
例4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺.高五尺.问:积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆
放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(
)
A．14斛
B．22斛
C．36斛
D．66斛
介绍《九章算术》中的“商功”章
课堂小结
知识总结：
核心素养总结：
学生分组讨论完成
教师巡视并给予指导
教师总结做题思路，指出易错点
教师引导回忆，师生共同总结
学生了解“勾股”章的相关内容
学生分组讨论
派代表回答
通过展板，展示学生解题步骤，学生派代表讲解此题。
学生了解“勾股”章的相关内容
学生思考
学生集体回答
课后作业
基础篇
1.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（
）
A．134石
B．169石
C．338石
D．1365石
2.《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．
已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为(
)
(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin
22.5°≈513)
A．600立方寸
B．610立方寸
C．620立方寸
D．633立方寸
提高篇
3．（2013湖北）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是
_________
寸．
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）
4．2002年在北京召开的数学大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的。
弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）。
如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小
的角为，
那么2cos的值为
；
思考与拓展
1.简述《九章算术》的内容和作用。
2.上网查阅《几何原本》，与《九章算术》进行对比学习，并谈谈你的感受。
教学反思：
本节课是数学史的教学内容，由于教学内容的改变，对教师的要求也发生了变化。
第一，教师应当知道课堂中的数学知识与现实生活中的数学是什么关系。
第二，数学史的课程要求从学生的生活经验出发，要求教师对孩子的心理发展有所了解。
第三，数学史的数学强调了实际问题数学化和数学背景，要求教师善于创设教学情景，有引导学生经历数学化的经验。
要做到以上几点，这就要靠学习，靠探索。
要读那些过去从没有读过的书，想那些过去没想过的问题，要不断的超越自己，为了给学生一杯的价值的“水”，自己就要努力有“一眼泉”，树立“终身学习”的观念。
