高中数学立体几何专题训练卷
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高中数学立体几何专题训练卷
立体几何是高中数学中的重要板块，它对于培养我们的空间想象能力和逻辑推理能力具有重要意义。这份专题训练卷将帮助大家巩固和深化对立体几何的理解与应用。
一、选择题
1、 下列命题中，正确的是（ ）
A 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
D 棱台各侧棱的延长线交于一点
解析：选项 A，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，所以 A 错误；选项
B，有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，所以 B 错误；选项 C，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥，所以 C 错误；选项 D，棱台各侧棱的延长线交于一点，D 正确。
答案：D
2、 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） （图片略）
A 6 B 8 C 10 D 12
解析：由三视图可知，该几何体是一个长方体截去一个三棱锥。长方体的长、宽、高分别为 3、2、2，截去的三棱锥的底面是直角三角形，两直角边分别为 2、1，高为 2。所以该几何体的体积为：
＼
＼begin{align}
＆3×2×2 ＼frac{1}｛3}×＼frac{1}｛2}×2×1×2\＼
＝＆12 ＼frac{2}｛3}＼＼
＝＆＼frac{34}｛3}
＼end{align}
＼
答案：无正确选项
3、 已知直线\（m\），＼（n\）和平面\（＼alpha\），＼（＼beta\），若\（＼alpha ＼perp ＼beta\），＼（＼alpha ＼cap ＼beta ＝
m\），＼（n ＼subset ＼alpha\），要使\（n ＼perp ＼beta\），则应增加的条件是（ ）
A ＼（m ＼parallel n\） B ＼（n ＼perp m\） C ＼（n ＼parallel ＼alpha\） D ＼（n ＼perp ＼alpha\） 解析：因为\（＼alpha ＼perp ＼beta\），＼（＼alpha ＼cap ＼beta
＝ m\），＼（n ＼subset ＼alpha\），若\（n ＼perp m\），根据面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，可得\（n ＼perp ＼beta\）。
答案：B
二、填空题
1、 棱长为\（a\）的正方体的外接球的半径为_____。
解析：正方体的体对角线长为\（＼sqrt{3}a\），而正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长，所以外接球的半径为\（＼frac{＼sqrt{3}｝｛2}a\）。
答案：＼（＼frac{＼sqrt{3}｝｛2}a\）
2、 已知圆锥的母线长为\（5\），侧面积为\（15\pi\），则此圆锥的体积为_____。
解析：设圆锥的底面半径为\（r\），则侧面积为\（＼pi rl ＝
15\pi\），其中\（l\）为母线长，＼（l ＝ 5\），所以\（＼pi r × 5 ＝
15\pi\），解得\（r ＝ 3\）。圆锥的高\（h ＝ ＼sqrt{l^2 r^2} ＝ ＼sqrt{5^2 3^2} ＝ 4\），所以圆锥的体积\（V ＝ ＼frac{1}｛3}＼pi r^2h
＝ ＼frac{1}｛3}＼pi × 3^2 × 4 ＝ 12\pi\）。
答案：＼（12\pi\）
三、解答题 1、 如图，在四棱锥\（P ABCD\）中，底面\（ABCD\）是正方形，侧棱\（PD ＼perp\）底面\（ABCD\），＼（PD ＝ DC\），＼（E\）是\（PC\）的中点，求证：＼（PA ＼parallel\）平面\（EDB\）。
（图片略）
证明：连接\（AC\），交\（BD\）于\（O\），连接\（EO\）。
因为底面\（ABCD\）是正方形，所以\（O\）是\（AC\）的中点。
又因为\（E\）是\（PC\）的中点，所以\（EO ＼parallel PA\）。
因为\（EO ＼subset\）平面\（EDB\），＼（PA ＼not\subset\）平面\（EDB\），所以\（PA ＼parallel\）平面\（EDB\）。
2、 如图，在三棱柱\（ABC A_{1}B_{1}C_{1}＼）中，侧棱垂直于底面，＼（AC ＝ 3\），＼（BC ＝ 4\），＼（AB ＝ 5\），＼（AA_{1} ＝ 4\），求三棱柱的体积。
（图片略）
解：因为\（AC ＝ 3\），＼（BC ＝ 4\），＼（AB ＝ 5\），所以\（AC^2 ＋ BC^2 ＝ AB^2\），所以\（＼triangle ABC\）是直角三角形。
所以\（S_{＼triangle ABC} ＝ ＼frac{1}｛2}× 3 × 4 ＝ 6\）
因为侧棱\（AA_{1} ＼perp\）底面\（ABC\），且\（AA_{1} ＝
4\），所以三棱柱的体积\（V ＝ S_{＼triangle ABC} × AA_{1} ＝ 6 × 4
＝ 24\） 3、 如图，在直三棱柱\（ABC A_{1}B_{1}C_{1}＼）中，＼（AB
＝ AC ＝ 1\），＼（＼angle BAC ＝ 90^｛＼circ}＼），异面直线\（A_{1}B\）与\（B_{1}C_{1}＼）所成的角为\（60^｛＼circ}＼），求直三棱柱的高。
（图片略）
解：因为\（B_{1}C_{1} ＼parallel BC\），所以\（＼angle
A_{1}BC\）为异面直线\（A_{1}B\）与\（B_{1}C_{1}＼）所成的角，即\（＼angle A_{1}BC ＝ 60^｛＼circ}＼）。
因为\（AB ＝ AC ＝ 1\），＼（＼angle BAC ＝ 90^｛＼circ}＼），所以\（BC ＝ ＼sqrt{2}＼）。
设直三棱柱的高为\（h\），则\（A_{1}B ＝ ＼sqrt{h^2 ＋ 1}＼），＼（A_{1}C ＝ ＼sqrt{h^2 ＋ 2}＼）。
在\（＼triangle A_{1}BC\）中，根据余弦定理：
＼
＼begin{align}
＼cos ＼angle A_{1}BC ＆＝ ＼frac{A_{1}B^2 ＋ BC^2 A_{1}C^2}｛2A_{1}B×BC}＼＼
＼frac{1}｛2} ＆＝ ＼frac{h^2 ＋ 1 ＋ 2 （h^2 ＋ 2)｝｛2\sqrt{h^2
＋ 1}×＼sqrt{2}｝＼＼
＼frac{1}｛2} ＆＝ ＼frac{1}｛＼sqrt{2(h^2 ＋ 1)｝｝＼＼ ＼sqrt{2(h^2 ＋ 1)｝ ＆＝ 2\＼
2(h^2 ＋ 1) ＆＝ 4\＼
h^2 ＋ 1 ＆＝ 2\＼
h^2 ＆＝ 1\＼
h ＆＝ 1
＼end{align}
＼
所以直三棱柱的高为\（1\）。
立体几何的学习需要我们多观察、多思考、多练习。通过这份训练卷，希望大家能够发现自己的薄弱环节，有针对性地进行复习和提高。只要坚持不懈，相信大家一定能够在立体几何的学习中取得优异的成绩！
