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高考数学立体几何大题训练

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高考数学立体几何大题训练

1．如图，平面ABCD平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形， //AFDE，AFFE，2AFADDE，G为BF中点．

（Ⅰ）求证：//EG平面ABCD；

（Ⅱ）求证：AFDG．

2．如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是菱形，60BAD，2,6ABPD,O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．

（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；

（Ⅱ）若PD∥平面EAC,求三棱锥PEAD的体积．

GAEFDBCP

A B C D E

O

3．如图，已知四边形ABCD是正方形，PD平面ABCD，CD=PD=2EA,PD

（Ⅰ）求证：GHFGH

4．如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，

234AEDBAA,现将ABE沿BE边折至PBE位置，且平面PBE平面BCDE.

（Ⅰ）求证：平面PBE平面PEF；

（Ⅱ）求四棱锥PBCFE的体积．

A

B C D E

B C D E

F P

5．如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1.

（Ⅰ）求证：AF⊥平面CBF；

（Ⅱ）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；

（Ⅲ）设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为,FABCDFCBEVV，求:FABCDFCBEVV.

6．如图所示，在正方体1111ABCDABCD中，EF、分别是棱111DCDD、的中点．

（Ⅰ）证明：平面11ADCB平面1ABE； E A

B C D B1 A1 D1

C1 F （Ⅱ）证明：FB1BEA111ABBE

7．如图，四棱锥PABCD中，PAB是正三角形，四边形ABCD是矩形，且平面PAB平面ABCD，2PA，4PC．

（Ⅰ）若点E是PC的中点，求证：//PA平面BDE；

（Ⅱ）若点F在线段PA上，且FAPA，当三棱锥BAFD的体积为43时，求实数的值．

8．如图，三棱柱111ABCABC中，侧棱垂直底面，90ACB，112ACBCAA，D是棱1AA的中点.

（1）证明：1DC平面BDC；

（2）若12AA，求三棱锥1CBDC的体积.

9．已知平行四边形ABCD，4AB，2AD，60oDAB，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至1ADE位置，使得14AC，F是线段1AC的中点.

（1）求证：1//BFADE面；

（2）求证：面1ADE面DEBC；

（3）求四棱锥1ADEBC的体积.

10．如图, 已知边长为2的的菱形ABCD与菱形ACEF全等，且FACABC,平面ABCD平面ACEF，点G为CE的中点. DCBAECDA1FBEGEOBDACF

（Ⅰ）求证：//AE平面DBG；

（Ⅱ）求证：FCBG；

（Ⅲ）求三棱锥EBGD的体积.

11．如图,三棱柱111ABCABC中,112ABACAABC,1160AAC,平面1ABC平面11AACC,1AC与1AC相交于点D.

（Ⅰ）求证:BD平面11AACC；

（Ⅱ）求二面角1CABC的余弦值.

12．如图，已知四边形ABCD为正方形，EA平面ABCD，CF∥EA，且C C1 B1

A A1 B

D

222CFABEA

（1）求证：EC平面BDF；

（2）求二面角EBDF的余弦值.

13．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAB底面ABCD，

PAAB，点E是PB的中点，点F在边BC上移动．

（Ⅰ）若F为BC中点，求证：EFPACAEPF2PBABEAFB1111FBC

14．已知几何体ABCDE的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

（1）求此几何体的体积V的大小；

（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；

（3）求二面角A-ED-B的正弦值．

15．如图，在直三棱柱111ABCABC中，平面1ABC侧面11AABB，且12AAAB

（1） 求证：ABBC；

（2）若直线AC与平面1ABC所成的角为6，求锐二面角1AACB的大小.

16．如图所示，正方形DDAA11与矩形ABCD所在平面互相垂直，22ADAB，点E为AB的中点.

（1）求证：1BD∥平面DEA1；（2）求证：ED1DA1；

（3）在线段AB上是否存在点M，使二面角DMCD1的大小为6若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.

17．如图，在三棱柱111ABCABC中，1AA平面ABC，90BAC，F为棱1AA上的动点，14,2AAABAC.

⑴当F为1AA的中点，求直线BC与平面1BFC所成角的正弦值；

⑵当1AFFA的值为多少时，二面角1BFCC的大小是45.

A F 1A

B C1B 1C

18．如图，在四棱锥BCDEA中，平面ABC平面ACBEDECDABBEDCDEBCDE,1,2,90,02.

（1）证明：DE平面ACD;

（2）求二面角EADB的大小

4681012141618EDCBA

19．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADCD，AB∥CD，2ABAD，4CD，M为CE的中点．

（1）求证：BM∥平面ADEF；

（2）求证：平面BDE平面BEC；

（3）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值.

MEFCDBA

20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，90ACB，EA平面ABCD，//EFAB，//FGBC，//EGAC，2ABEF.

（1）若M是线段AD的中点，求证：//GM平面ABFE；

（2）若22ACBCAE，求二面角ABFC的余弦值. 参考答案

1．（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）详见解析

【解析】

试题分析：证明：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OD，可得OG12AF， 又因为 //AFDE，2AFDE

所以OGDE，四边形ODEG为平行四边形，所以//EGOD ，在根据线面平行的判定定理，即可证明结果．（Ⅱ）取AF的中点H，连接DH、GH，可得//GHAB， 因为平面ABCD平面ADEF，ABAD，所以AB平面ADEF，ABAF，所以AFGH，因为 //AFDE，2AFDE

所以四边形EFHD为平行四边形，//EFDH，又AFFE，所以AFDH ，根据线面垂直的判定定理，即可证明结果．

试题解析：证明：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OD

因为,OG分别是AB,BF的中点，

所以OG12AF， 2分

又因为 //AFDE，2AFDE

所以OGDE，四边形ODEG为平行四边形

所以//EGOD 4分

因为OD平面ABCD，EG平面ABCD

所以//EG平面ABCD 5分

（Ⅱ）取AF的中点H，连接DH、GH

因为,GH分别是BF,AF的中点， G

A

E

F D B C

H O

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高考大题之立体几何(理科)

高考大题之立体几何(理科)

1.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，A1A＝AB，∠ABC＝90°，侧面A1ABB1⊥底面ABC.

(1)求证：AB1⊥平面A1BC；

(2)若AC＝5，BC＝3，∠A1AB＝60°，求二面角B­A1C­C1的余弦值．

2.如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2.

(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；

(2)求二面角E­BC­F的正弦值；

(3)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长．

3．等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别是边AB，AC上的点，且满足ADDB＝CEEA＝12，如图1.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1­DE­B为直二面角，连接A1B，A1C，如图2.

图1 图2

(1)求证：A1D⊥平面BCED；

(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．

4. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．

(1)求证：平面BDM∥平面EFC；

(2)若DE＝2AB，求直线AE与平面BDM所成角的正弦值．

5.如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．

(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；

(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．

6.如图1，等腰直角三角形ABC的底边AB＝2，点D在线段AC上，DE⊥AB于点E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置(如图2)．

图1 图2

(1)求证：PB⊥DE；

(2)若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求平面PDE与平面PBC所成的锐二面角的正弦值．

专题03 立体几何大题拔高练(原卷版)

专题03 立体几何大题拔高练(原卷版)

【一专三练】 专题03 立体几何大题拔高练-新高考数学复

习分层训练（新高考通用）

1．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）如图，已知四棱锥PABCE中，1AB，2BC，

22BE，PA平面ABCE

，平面PAB平面PBC

(1)证明：ABBC

；

(2)

若

22PA，且ACAE

，G为PCEV的重心．求直线

CG与平面PBC

所成角的正

弦值．

2．（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图，在四面体ABCD

中，G为ABCV

的重心，E，F

分别在棱BC，CD上，平面//ABD

平面EFG.

(1)

求DF

CF的值；

(2)若AB

平面BCD

，DCCB，且3ABBCCD

，求平面EFG与平面ACD

的夹

角的大小.

3．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）如图，四棱锥

SABCD的底面是正方形，点P，Q

在侧棱SD

上，E是侧棱SC

的中点．(1)若SQQPPD

，证明：BE∥平面PAC

；

(2)

若每条侧棱的长都是底面边长的

2倍，从下面两个条件中选一个，求二面角

PACD

的大小．

①SD

平面PAC

；②P为SD

的中点．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

4．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）如图，在三棱柱

111ABCABC-

中，四边形

11AACC

是边长为4

的菱形，

13ABBC，点D为棱AC上的动点（不与A、

C重

合），平面

1BBD

与棱

11AC

交于点E.

(1)求证

1BBDE//

；

(2)若平面ABC

平面

11AACC

，

160AAC

，判断是否存在点D使得平面

11AABB

与平

面

1BBDE

所成的锐二面角为π

3，并说明理由.

5．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知平行六面体

1111ABCDABCD

中，1AB，

12BCBC

，π

3ABC

，侧面

11BBAA

是菱形，

1π

3BBA

．(1)求

1BC

与底面ABCD

所成角的正切值；

(2)点,EF分别在

1BA和

1BC

上，

11EFAC∥

，过点,,BEF

高考数学立体几何大题的解题技巧

高考数学立体几何大题的解题技巧

高考数学立体几何大题的解题技巧

1、平行、垂直位置关系的论证的策略

(1)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

(2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。

(3)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑。

2、空间角的计算方法与技巧

主要步骤：一作、二证、三算;若用向量，那就是一证、二算。

(1)两条异面直线所成的角①平移法：②补形法：③向量法：

(2)直线和平面所成的角

①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。

②用公式计算。

(3)二面角

①平面角的作法：(i)定义法;(ii)三垂线定理及其逆定理法;(iii)垂面法。

②平面角的计算法：

(i)找到平面角，然后在三角形中计算(解三角形)或用向量计算;(ii)射影面积法;(iii)向量夹角公式。

3、空间距离的计算方法与技巧

(1)求点到直线的距离：经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。

(2)求两条异面直线间距离：一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解(这种情况高考不做要求)。

(3)求点到平面的距离：一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算;也可以利用“三棱锥体 积法”直接求距离;有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距

离”。求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。

4、熟记一些常用的小结论

诸如：正四面体的体积公式是;面积射影公式;“立平斜关系式”;最小角定理。弄清楚棱锥的顶点在底面的射影为底面的'内心、外心、垂心的条件，这可能是快速解答某些问题的前提。

高三二轮立体几何大题训练

高三二轮立体几何大题训练

1 立体几何大题

1.如图1，等腰梯形ABCD中，BC∥AD，CE⊥AD，AD＝3BC＝3，CE＝1.求△CDE沿CE折起得到四棱锥F－ABCE(如图2)，G是AF的中点.

(1)求证：BG∥平面ECE；

(2)当平面FCE⊥平面ABCE时，求三棱锥F－BEG的体积.

2.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60°.

(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；

(2)求二面角E－BC－A的余弦值.

3.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点.

(1)证明MN∥平面PAB； 2 (2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

4.如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点.

(1)求证：GF∥平面ADE；

(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.

5. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，PA＝PD＝2，BC＝12AD＝1，CD＝3.

(1)求证：平面PQB⊥平面PAD；

(2)在棱PC上是否存在一点M，使二面角M－BQ－C为30°， 3 若存在，确定M的位置；若不存在，请说明理由.

6.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝5.

(1)求证：PD⊥平面PAB；

(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.

7.(2015·山东卷)如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点.