立体几何专题训练(新)

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选择题一题6分，填空题一题5分，解答题一题十二分，难度系数3.5，要求100分加油咯

数学主要是方法和练习，有一定的方法联系起来比较轻松，多练习会收获更好的方法立体几何专题训练

一、选择题

1．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在BB1上，

且BD=1，若AD与侧面AA1CC1所成的角为，则的值为

（）

A. 3

B. 4

C. 410arctan D. 46arcsin

2．直线a与平面成角，a是平面的斜线，b是平面

内与a异面的任意直线，则a与b所成的角（）

A. 最小值，最大值 B. 最小值，最大值2

C. 最小值，无最大值 D. 无最小值，最大值4

3．在一个45的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成45角，则此直线与二面角的另一平面所成的角为（）

A. 30 B. 45 C. 60 D. 90

4．如图，直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，

60BAD，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成

的角的正弦值为（）

A. 21 B. 23

C. 22 D. 43

5．已知在ABC中，AB=9，AC=15，120BAC，它所在平面外一点P到ABC三顶点的距离都是14，那么点P到平面ABC的距离为（）

A. 13 B. 11 C. 9 D. 7

6．如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，则点B到平面AMN的距离是（） B A C D D1 C1

B1 A1 C B

A 1A 1B 1C

A D

B A D1 C1

B1 A1 M N 选择题一题6分，填空题一题5分，解答题一题十二分，难度系数3.5，要求100分加油咯

数学主要是方法和练习，有一定的方法联系起来比较轻松，多练习会收获更好的方法 A. 29 B. 3

C. 556 D. 2

7．将60QMN，边长MN=a的菱形MNPQ沿对角线NQ折成60的二面角，则MP与NQ间的距离等于( )

A. a23 B. a43 C. a46 D.a43

8．二面角l的平面角为120，在内，lAB于B，AB=2,在内，lCD于D，CD=3,BD=1, M是棱l上的一个动点，则AM+CM的最小值为( )

A. 52 B. 22 C. 26 D.

9．空间四点A、B、C、D中,每两点所连线段的长都等于a, 动点P在线段AB上, 动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为( )

A. a21 B. a22 C. a23 D.a

10．在一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a ，现有一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（）

A. a)62( B. a262 C. a)31( D. a231

11．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=AB=2，若棱AB上存在点P，使PCPD1，则棱AD的长的取值范围是 ( )

A. 1,0 B. 2,0 C. 2,0 D. 2,1

12．将正方形ABCD沿对角线AC折起，使点D在平面ABC外，则DB与平面ABC所成的角一定不等于（）

A. 30 B. 45 C. 60 D. 90

二、填空题

1．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则下列四个命题： D C

B A E D1

A1 C1 B1 选择题一题6分，填空题一题5分，解答题一题十二分，难度系数3.5，要求100分加油咯

数学主要是方法和练习，有一定的方法联系起来比较轻松，多练习会收获更好的方法 E到平面ABC1D1的距离是21；

直线BC与平面ABC1D1所成角等于45；

空间四边形ABCD1在正方体六个面内的射影围成

面积最小值为21；

BE与CD1所成的角为1010arcsin

2．如图，在四棱柱ABCD---A1B1C1D1中，P是A1C1

上的动点，E为CD上的动点，四边形ABCD满

足___________时，体积AEBPV恒为定值（写上

你认为正确的一个答案即可）

3．边长为1的等边三角形ABC中,沿BC边高线AD

折起,使得折后二面角B-AD-C为60°,则点A到

BC的距离为_________,点D到平面ABC的距离

为__________.

4．在水平横梁上A、B两点处各挂长为50cm的细绳，

AM、BN、AB的长度为60cm，在MN处挂长为60cm

的木条，MN平行于横梁，木条的中点为O，若木条

绕过O的铅垂线旋转60°，则木条比原来升高了

_________.

5．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图正方体的一个顶点A在平面内.其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别是1、2和4. P是正方体其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：

①3；②4；③5；④6；⑤7.

以上结论正确的为 .

（写出所有正确结论的编号）

6. 如图，棱长为1m的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔（不计小孔直径）O1、O2、O3它们分别是所在面的中心.如果恰当放置容器，容器存水的最大容积是_______m3.

三、解答题

1．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，底面边长为a,D为BC为中点，M在BB1上，且BM=13B1M，又CM⊥AC1;

求证：CM⊥C1D;

求AA1的长.

•O•O•OA B D C P

E A1 D1 C1

B1 选择题一题6分，填空题一题5分，解答题一题十二分，难度系数3.5，要求100分加油咯

数学主要是方法和练习，有一定的方法联系起来比较轻松，多练习会收获更好的方法

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是矩形且AD=2，AB=PA=2，PA⊥底面ABCD，E是AD的中点，F在PC上.

(1) 求F在何处时，EF⊥平面PBC；

(2) 在(1)的条件下，EF是不是PC与AD的公垂线段.若是，求出公垂线段的长度；若不是，说明理由；

(3) 在(1)的条件下，求直线BD与平面BEF所成的角.

3．如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=3．

（1）求证BCSC；

（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；

（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的

大小．

4．在直角梯形ABCD中，D=BAD=90,AD=DC=21AB=a,(如图一)将△ADC 沿AC折起，使D到D．记面ACD为,面ABC为．面BCD为．

（1）若二面角AC为直二面角（如图二），求二面角BC的大小;

（2）若二面角AC为60（如图三），求三棱锥DABC的体积．

5．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点．

（1）求证AM//平面BDE；

（2）求二面角ADFB的大小；

（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与

BC所成的角是60．

选择题一题6分，填空题一题5分，解答题一题十二分，难度系数3.5，要求100分加油咯

数学主要是方法和练习，有一定的方法联系起来比较轻松，多练习会收获更好的方法【参考答案】

一．选择题

1.D 提示：AD在面ACC1A1上的射影应在AC与A1C1中点的连线上，令射影为E，则∠EAD为所求的角.在Rt△EAD中，.46223sin.2,23ADDEEADADDE

.46arcsinEAD

2.B 提示：由最小角定理知，最小角为，又异面直线所成角的范围为2,0，最大角为2.

3.A 提示：由最小角定理知，此直线与另一面所成的角应小于等于它与交线所成的角，故排除C、D，又此二面角为45°，则此直线与另一平面所成的角只能小于它与交线所成的角，故选A.

4.D 提示：由题意，A1在面DCC1D1上的射影应在C1D1延长线E上，且D1E=1，则∠A1CE为所求角，在Rt△AA1C中，

.43sin,3,411112211CAEACEAEAACAACA

5.D 提示：由P到△ABC三个顶点的距离都是14，知P在底面ABC的射影是△ABC的外心，所以PO为所求.由余弦定理得：BC=21.由3142321120sin2BCR得外接圆半径为37，即37OB，在Rt△POB中，.722BOPBPO

6.D 提示：由题图得AMBAMNAMBNAMNBSShVV233131.

2123332.22AMBAMNAMNShSS

7.B 提示：连结MP、NQ交于O，由四边形MNPQ是菱形得MP⊥NQ于O，将MNQ折起后易得MO⊥QN，OP⊥QN，所以∠MOP=60°，且QN⊥面MOP，过O作OH⊥MP，所以OH⊥QN，从而OH为异面直线MP、QN的公垂线，经计算得.43aOH

8.C 提示：把半平面展到半平面内,此时,连结AC与棱的交点为M,这时AM+CM取最选择题一题6分，填空题一题5分，解答题一题十二分，难度系数3.5，要求100分加油咯

数学主要是方法和练习，有一定的方法联系起来比较轻松，多练习会收获更好的方法小值等于AC. (AM+CM)min=.26)32(12

9.B 提示：P、Q的最短距离即为异面直线AB与CD间的距离，当P为AB的中点，Q为CD的中点时符合题意.

10.B 提示：将正棱锥展开，设正方形边长为m，则262,32maam

11.A 提示：,,1PCDPPCPD在长方形ABCD中AB边存在P，作PCDP，又因为AB=2，由对称性可知，P为AB的中点时，AD最大为1，1,0AD故选A.

12.D 提示：若BD与平面ABC所成的角为90，则ABCABD平面平面，取AC的中点O，则ACDOACBD，且BO=DO，BOBD与不垂直，故BD与平面ABC所成的角一定不等于90.

2020年高二数学专题训练9 立体几何

专题训练9 立体几何Ⅰ

基础过关

1．下面几何体的轴截面是圆面的是( )

A. 圆柱 B. 圆锥 C. 圆台 D. 球

2. 垂直于同一条直线的两条直线一定( )

A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上都有可能

3. 一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是( )

A. (0°，90°) B. [0°，90°]

C. [0°，180°] D. [0°，180°]

4. 棱长都是1的三棱锥的表面积为( )

A. 3 B. 23 C. 33 D. 43

5. 设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )

A. 若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B. 若l⊥α，l∥m，则m⊥α

C. 若l∥α，m⊂α，则l∥m D. 若l∥α，m∥α，则l∥m

6. 已知点A()1，2，－1，点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|的长为( )

A. 25 B. 4 C. 22 D. 27

7. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )

A. 25π B. 50π

C. 125π D. 以上答案都不对

8. 半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为( )

A. 324πR3 B. 38πR3 C. 524πR3 D. 58πR3

9. 正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )

A. 23 B. 33 C. 23 D. 63

10. 在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，设BC＋AD＝2a，则MN与a的大小关系是( )

高中数学立体几何专题训练卷

立体几何是高中数学中的重要板块，它对于培养我们的空间想象能力和逻辑推理能力具有重要意义。这份专题训练卷将帮助大家巩固和深化对立体几何的理解与应用。

一、选择题

1、下列命题中，正确的是（）

A 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

C 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥

D 棱台各侧棱的延长线交于一点

解析：选项 A，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，所以 A 错误；选项

B，有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，所以 B 错误；选项 C，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥，所以 C 错误；选项 D，棱台各侧棱的延长线交于一点，D 正确。

答案：D

2、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（图片略）

A 6 B 8 C 10 D 12

解析：由三视图可知，该几何体是一个长方体截去一个三棱锥。长方体的长、宽、高分别为 3、2、2，截去的三棱锥的底面是直角三角形，两直角边分别为 2、1，高为 2。所以该几何体的体积为：

＼

＼begin{align}

＆3×2×2 ＼frac{1}｛3}×＼frac{1}｛2}×2×1×2\＼

＝＆12 ＼frac{2}｛3}＼＼

＝＆＼frac{34}｛3}

＼end{align}

＼

答案：无正确选项

3、已知直线\（m\），＼（n\）和平面\（＼alpha\），＼（＼beta\），若\（＼alpha ＼perp ＼beta\），＼（＼alpha ＼cap ＼beta ＝

m\），＼（n ＼subset ＼alpha\），要使\（n ＼perp ＼beta\），则应增加的条件是（）

高考立体几何专题

1 第1讲直线与平面

高考要求

1．掌握平面的基本性质，能够画出空间两条直线、直线与平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系．

2．掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理．

3．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理．

4．掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理；掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理．

两点解读

重点：1．掌握判定定理；2．熟悉课本中有关位置判定的定理．

难点：空间位置的想象和图形的判读．

课前训练

1．过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线有（）

（A）4条（B）6条（C）8条（D）12条

2．设为平面，m , n, l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）

（A）（B）

（C）（D）

3．如果一条直线与两条直线都相交，这三条直线共可确定个平面

4．已知直线a，假设直线b同时满足三个条件：①与a成异面直线 ②与a的夹角为定值θ

③与a 的距离为定值d，那么这样的直线条．

典型例题

例1设为两两不重合的平面，m,n,l为两两不重合的直线，给出下列命题：①若；

②若；

③若；

④若

其中真命题的个数是（）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

例2已知异面直线a,b所成的角为70°，则过空间一点O与两条异面直线a,b所成角为60°直线有（）

（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条

专题03 立体几何大题拔高练(原卷版)

【一专三练】专题03 立体几何大题拔高练-新高考数学复

习分层训练（新高考通用）

1．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）如图，已知四棱锥PABCE中，1AB，2BC，

22BE，PA平面ABCE

，平面PAB平面PBC

(1)证明：ABBC

；

(2)

若

22PA，且ACAE

，G为PCEV的重心．求直线

CG与平面PBC

所成角的正

弦值．

2．（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图，在四面体ABCD

中，G为ABCV

的重心，E，F

分别在棱BC，CD上，平面//ABD

平面EFG.

(1)

求DF

CF的值；

(2)若AB

平面BCD

，DCCB，且3ABBCCD

，求平面EFG与平面ACD

的夹

角的大小.

3．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）如图，四棱锥

SABCD的底面是正方形，点P，Q

在侧棱SD

上，E是侧棱SC

的中点．(1)若SQQPPD

，证明：BE∥平面PAC

；

(2)

若每条侧棱的长都是底面边长的

2倍，从下面两个条件中选一个，求二面角

PACD

的大小．

①SD

平面PAC

；②P为SD

的中点．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

4．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）如图，在三棱柱

111ABCABC-

中，四边形

11AACC

是边长为4

的菱形，

13ABBC，点D为棱AC上的动点（不与A、

C重

合），平面

1BBD

与棱

11AC

交于点E.

(1)求证

1BBDE//

；

(2)若平面ABC

平面

11AACC

，

160AAC

，判断是否存在点D使得平面

11AABB

与平

面

1BBDE

所成的锐二面角为π

3，并说明理由.

5．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知平行六面体

1111ABCDABCD

中，1AB，

12BCBC

，π

3ABC

，侧面

11BBAA

是菱形，

1π

3BBA

．(1)求

1BC

与底面ABCD

所成角的正切值；

(2)点,EF分别在

1BA和

1BC

上，

11EFAC∥

，过点,,BEF

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