高中立体几何专题训练

2023届高考数学一轮复习立体几何专练

1.如图,ABC△和BCD△都是边长为2的正三角形,且它们所在平面互相垂直.DE平面

BCD,且6AE.

(1)设P是DE的中点,求证://AP平面BCD.

(2)求二面角BAEC的正弦值.

2.如图，直三棱柱

111ABCABC的体积为4，

1ABC△的面积为22.

（1）求A到平面1ABC的距离；

（2）设D为1AC的中点，

1AAAB，平面

1ABC平面

11ABBA，求二面角ABDC的正

弦值.

3.如图，在三棱台

111ABCABC中，底面ABC△是边长为2的正三角形，侧面

11ACCA为

等腰梯形，且1111ACAA，D为

11AC的中点.

（1）证明：ACBD；（2）记二面角1AACB的大小为，π2π,

33时，求直线1AA与平面

11BBCC所成角

的正弦值的取值范围.

4.如图，在棱柱

1111ABCDABCD中，

1AA平面ABCD，四边形ABCD是菱形，

60ABC，点N为AD的中点，且

14,2AAAB.

(1)设M是线段

1BD上一点，且

1BM

MD.试问：是否存在点M，使得直线1//AA平面

MNC？若存在，请证明

1//AA平面MNC，并求出的值；若不存在，请说明理由；

(2)求二面角

1NCDD的余弦值.

5.已知四棱柱

1111ABCDABCD的底面为菱形,

1π2,,,

3ABAABADACBDOAO平面

111,ABDABAD.

(1)证明:

1BCP平面

1ABD;

(2)求二面角

1BAAD的余弦值.

6.如图，在四棱锥PABCD中，AP平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，

APAB，M为线段PC上一点.

3(1)若平面MAB平面PCDl，证明：//lCD；

(2)若二面角DAMB的平面角为2π

3，求三棱锥PAMD的体积.

7.如图，在多面体ABCDEF中，四边形BCEF是矩形，//,ADBCBCCD，

1,2,2BCCDADFAFBCMME.

(1)证明：FACD；

(2)求直线AF与平面MBD所成角的正弦值.

8.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，60BCD，E为AD

的中点，PE平面ABCD，F为PC上的一点，且1

2PFFCuuuruuur.

(1)证明：//PA平面BEF；

(2)若二面角PBEF的平面角为30°，求四棱锥PABCD的体积.9.如图，在平面五边形ABCDE中ADE△是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是直角梯形，其中//,,1,3ADBCADDCBCCD.将ADE△沿AD折起，使得点E到达点M的位置，且使6BM.

(1)求证：平面MAD平面ABCD；

(2)设点P为棱CM上靠近点C的三等分点，求平面PBD与平面MAD所成的二面角的

正弦值.

10.如图,四棱锥PABCD的底面为矩形,平面PCD平面ABCD,PCD△是边长为2的等边

三角形,2BC,点E为CD的中点,点M为PE上一点(与点,PE不重合).

(1)证明:AMBD.

(2)当AM为何值时,直线AM与平面BDM所成的角最大?答案以及解析

1.答案：(1)见解析(2)26

5

解析：(1)证明：取BC的中点O,连接,,AODOAD.

ABC△是正三角形,

OABC.

∵平面ABC平面BCD,平面ABCI平面BCDBC,

OA平面BCD.

ODQ平面BCD,

AOOD.

在RtAOD△中,2sin603AODOo,

336AD.又6AE,

ADE△为等腰三角形.

PQ是DE的中点,APDE.

DEQ平面BCD,

//,//,AODEAPAOAPOD.

ODQ平面,BCDAP平面BCD,

//AP平面BCD.

(2)由(1)知,,////OADPAPOD,

∴四边形APDO为平行四边形,

3PDOA,

23DE.

以点O为坐标原点,以,,ODOCOAuuuruuuruur

的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图的空

间直角坐标系Oxyz,

6则(0,0,3),(0,1,0)AB,(0,1,0),(3,0,23)CE,

(0,1,3),(3,0,3),(0,1,3)BAAEACuuruuuruuur.

设平面ABE的法向量为(,,)xyzm,

则0,

0,BA

AE



uur

uuurm

m即30,

330.yz

xz



令3y,则1,1xz,

(1,3,1)m.

设平面ACE的法向量为(,,)abcn,

则0,

0,AE

AC



uuur

uuurn

n即330,

30.ac

bc





令1a,则3,1bc,

(1,3,1)n.

1311cos,

||||555

mnmn

mn.

26sin,

5mn,

∴二面角BAEC的正弦值为26

5.

2.答案：（1）2

（2）3

2

解析：（1）设点A到平面1ABC的距离为h，

因为直三棱柱111ABCABC的体积为4，所以

11111114

333AABCABCABCABCVSAAV

△，

又1ABC△的面积为22，

1111422

333AABCABCVShh

△，所以2h，

即点A到平面1ABC的距离为2.

（2）取1AB的中点E，连接AE，则

1AEAB，

因为平面1ABC平面

11ABBA，平面

1ABC平面

111ABBAAB，

所以AE平面1ABC，所以AEBC，

又1AA平面ABC，

所以1AABC，因为

1AAAEA，所以BC平面

11ABBA，

所以BCAB.

以B为坐标原点，分别以BC

，BA

，1BB

的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示

的空间直角坐标系Bxyz，

由（1）知，2AE，所以12AAAB，

122AB，

因为1ABC△的面积为22，所以

1122

2ABBC，所以2BC，

所以(0,2,0)A，(0,0,0)B，(2,0,0)C，1(0,2,2)A，(1,1,1)D，(0,1,1)E，

则(1,1,1)BD

，(0,2,0)BA

，

设平面ABD的法向量为(,,)xyzn，

则0,

0,BD

BA





n

n即0,

20,xyz

y



令1x，得(1,0,1)n，又平面BDC的一个法向量为(0,1,1)AE

，所以11cos,

2||||22AEAE

AE



nn

n，

设二面角ABDC的平面角为，则23sin1cos,

2AE

n，

所以二面角ABDC的正弦值为3

2.

3.答案：（1）见解析

（2

）21313,

713





解析：（1）如图，取AC的中点M，连接DM，BM，

在等腰梯形11ACCA中，D，M分别为

11AC，AC的中点，

ACDM.

在正三角形ABC中，M为AC的中点，ACBM.

DMBMM，DM，BM平面BDM，

AC平面BDM.又BD平面BDM，ACBD.

（2）DMAC，BMAC，

DMB为二面角

1AACB的平面角，

即DMB.

AC平面BDM，

在平面BDM内作MzBM，以M为坐标原点，以MA

，MB

，Mz

的方向分别为x，

y，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则(1,0,0)A，(0,3,0)B，(1,0,0)C，330,cos,sin

22D

，1133,cos,sin

222C

，

1133,cos,sin

222A

，则(1,3,0)CB，1133,cos,sin

222CC

.

设平面11BBCC的法向量为(,,)xyzn，

则有

10,

0,CB

CC



n

n

即30,

133cossin0,

222xy

xyz







令3x，则1y，1cos

sinz

，则1cos3,1,

sin

n.

设直线1AA与平面

11BBCC所成角为，又1133,cos,sin

222AA

，

12

233sincos,

2(1cos)341cossinAA





n.

π2π,

33，11cos,

22，

21313sin,

713



.

4.答案：(1)存在，2.

(2)余弦值为251

17.

解析：(1)取11AD的中点P，连接CP交

1BD于点M，点M即为所求.

证明：连接PN，因为N是AD的中点，P是11AD的中点，所以

1//PNAA，

又PN平面MNC，1AA平面MNC，

所以直线1//AA平面MNC.