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高中数学竞赛专题练习：立体几何

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竞赛试题选讲之 立体几何

一、选择题部分

1. （吉林预赛）正方体ABCD－A1B1C1D1中，过顶点A1作直线l，使l与直线AC和直线BC1所成的角均为60°，则这样的直线l的条数为 （ C ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 大于3

2、（陕西赛区预赛）如图2，在正方体1111ABCDABCD中，P为棱AB上一点，过点P在空间作直线l，使l与平面ABCD和平面AB11CD均成030角，则这样的直线l的条数为 ( B )

A. 1 B .2 C. 3 D .4

3．(集训试题)设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式PSPRPQ111（ ）

A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值

C．既有最大值又有最小值，两者不等D．是一个与面QPS无关的常数

解：设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则vS-PQR=31S△PQR·h=21(31PQ·PRsinα)·PS·sinβ。另一方面，记O到各面的距离为d，则vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS，31S△PQR·d=31△PRS·d+31S△PRS·d+31△PQS·d=213dPQ·PRsinα+213dPS·PRsinα+213dPQ·PS·sinα，故有：PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，即dPSPRPQsin111=常数。故选D。

4．（江苏）过空间一定点P的直线中，与长方体1111ABCDABCD的12条棱所在直线成等角的直线共有（ C ）

A0条B1条C4条D无数多条

5.（天津）已知P为四面体ABCS的侧面SBC内的一个动点，且点P与顶点S的距离等于点P到底面ABC的距离，那么在侧面SBC内，动点P的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线一定是

（A）圆或椭圆 （B）椭圆或双曲线 （C）双曲线或抛物线 （D）抛物线或椭圆 （ D ）

6．（南昌市）四棱锥PABCD的底面ABCD是单位正方形(,,,ABCD按反时针方向排列),侧棱PB垂直于底面,且PB＝3,记APD,则sin＝ ( C )

A.22B.33C.55D.66

7．(年浙江)正方体的截平面不可能是： (1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 (4) 正五边形 (5) 正六边形； 下述选项正确的是： ( B )

(A) (1)(2)(5) (B) (1)(2)(4) (C) (2)(3)(4) (D) (3)(4)(5)

【 解 】 正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形，直角三角形（证明略）；对四边形来讲，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形，矩形、但不可能是直角梯形（证明略）；对五边形来讲，可以是任意五边形，不可能是正五边形（证明略）；对六边形来讲，可以是六边形（正六边形）。

选 【 B 】

8．(全国)如图，DCBAABCD为正方体。任作平面与对角线CA垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l.则（ ）

A．S为定值，l不为定值 B．S不为定值，l为定值

C．S与l均为定值 D．S与l均不为定值

解：将正方体切去两个正三棱锥AABD与CDBC后，得到一个以平行平面ABDDBC与为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱BA剪开，展平在一张平面上，得到一个

11ABBA，而多边形W的周界展开后便成为一条与1AA平行的线段（如图中1EE），显然11AAEE，故l为定值。

当E位于BA中点时，多边形W为正六边形，而当E移至A处时，W为正三角形，易知周长为定值l的正六边形与正三角形面积分别为2243l与2363l，故S不为定值。选B。

9.（浙江省）在正2006边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（ C ）

(A) 2006 (B) 21003 (C) 100310032 (D) 100210032.

解： 正2n边形nAAA221，对角线共有 )32()32(221nnnn条。

计算与一边21AA平行的对角线条数，因2121//nnAAAA，与21AA平行的对角线的端点只能取自2n-4个点，平行线共n-2条。故与某一边平行的对角线共n(n-2)条。由此可得与任何边都不平行的对角线共有n(2n-3)-n(n-2)=n(n-1)条。 因此正确选项是 C。

10．（四川）如图，一个立方体，它的每个角都截去一个三棱锥，变成一个新的立体图形。那么在新图形顶点之间的连线中，位于原立方体内部的有 120 条。

解：据题意新的立体图形中共有24个顶点，每两点连一条线，共2762312224C，其中所有的棱都在原立方体的表面，有36条.原立方体的每个面上有8个点，除去棱以外，还可以连20285条，6个面共120条都在原立方体的表面，除此之外的直线都在原立方体的内部。 二、填空题部分

1.（南昌市）棱长为1的正四面体在水平面上的正投影面积为s,则s的最大值为__12_.

2、（天津）在一个棱长为5的正方体封闭的盒内，有一个半径等于1的小球，若小球在盒内任意地运动，则小球达不到的空间的体积的大小等于 33144 ．

3．（上海）在△ABC中，已知30,105AB，过边AC上一点D作直线DE，与边AB或者BC相交于点E，使得60CDE，且DE将△ABC的面积两等分，则2CDAC

36 ．

4．（上海）在直三棱柱中，已知底面积为s平方米，三个侧面面积分别为m平方米，n平方米，p平方米，则它的体积为 4()()()()2smnpmnppmnnpm 立方米．

5、（陕西赛区预赛）用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为1R，能包容此框架的最小球的半径为2R，则12RR等于 33

6．（江苏）长方体1111ABCDABCD中，已知14AB，13AD，则对角线1AC的取值范围是 4,5 ．

7. (全国)如图，四面体DABC的体积为61，且满足,32,45ACBCADACB则CD3.

解：,61)45sin21(31DABCVACBCAD

即.12ACBCAD又,32233ACBCADACBCAD

等号当且仅当12ACBCAD时成立，这时ADAB,1面ABC，3DC.

8、（全国）如图、正方体1111ABCDABCD中，二面角11ABDA的度数是____________。 第7题图 解：连结1,DC1作CEBD，垂足为E，延长CE交1AB于F，则1FEBD，连结AE，由对称性知1,AEBDFEA是二面角11ABDA的平面角。连结AC，设AB=1，则112,3.ACADBD

1RtABD在中，1123ABADAEBD，

在22222242213cos42223AECEACAEACAECAECAECEAE中,。0120,AECFEAAEC而是的补角，060FEA。

CED1C1A1B1ABDF

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2016高考数学二轮复习微专题强化练习题：13立体几何综合练习(文)

2016高考数学二轮复习微专题强化练习题：13立体几何综合练习(文)

第一部分 一 13(文)

一、选择题

1．(2015·东北三校二模)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是( )

A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α

B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α

C．若l∥α，m⊂α，则l∥m

D．若l∥α，m∥α，则l∥m

[答案] B

[解析] 当l、m是平面α内的两条互相垂直的直线时，满足A的条件，故A错误；对于C，过l作平面与平面α相交于直线l1，则l∥l1，在α内作直线m与l1相交，满足C的条件，但l与m不平行，故C错误；对于D，设平面α∥β，在β内取两条相交的直线l、m，满足D的条件，故D错误；对于B，由线面垂直的性质定理知B正确．

2．已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α、β、γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有( )

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

[答案] C

[解析] 若α、β换成直线a、b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α、γ换为直线a、b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β、γ换为直线a、b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题，故选C.

3．(2015·重庆文，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)

A.13＋2π B.13π6

C.7π3 D.5π2

[答案] B

[解析] 由三视图可知该几何体是由一个圆柱和一个半圆锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2；半圆锥的底面半径为1，高也为1，故其体积为π×12×2＋16×π×12×1＝13π6；故选B.

4.如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下列四个结论不成立的是( )

A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面PAE

D．平面PDE⊥平面ABC

高中数学竞赛专题练习：立体几何

高中数学竞赛专题练习：立体几何

竞赛试题选讲之 立体几何

一、选择题部分

1. （吉林预赛）正方体ABCD－A1B1C1D1中，过顶点A1作直线l，使l与直线AC和直线BC1所成的角均为60°，则这样的直线l的条数为 （ C ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 大于3

2、（陕西赛区预赛）如图2，在正方体1111ABCDABCD中，P为棱AB上一点，过点P在空间作直线l，使l与平面ABCD和平面AB11CD均成030角，则这样的直线l的条数为 ( B )

A. 1 B .2 C. 3 D .4

3．(集训试题)设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式PSPRPQ111（ ）

A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值

C．既有最大值又有最小值，两者不等D．是一个与面QPS无关的常数

解：设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则vS-PQR=31S△PQR·h=21(31PQ·PRsinα)·PS·sinβ。另一方面，记O到各面的距离为d，则vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS，31S△PQR·d=31△PRS·d+31S△PRS·d+31△PQS·d=213dPQ·PRsinα+213dPS·PRsinα+213dPQ·PS·sinα，故有：PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，即dPSPRPQsin111=常数。故选D。

4．（江苏）过空间一定点P的直线中，与长方体1111ABCDABCD的12条棱所在直线成等角的直线共有（ C ）

A0条B1条C4条D无数多条

5.（天津）已知P为四面体ABCS的侧面SBC内的一个动点，且点P与顶点S的距离等于点P到底面ABC的距离，那么在侧面SBC内，动点P的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线一定是

高中数学三角函数立体几何题目原题素材

高中数学三角函数立体几何题目原题素材

三角函数立体几何题目原题

1、已知函数

（1）求5()4f的值；

（2）设，求的值。

2、已知nS为数列na的前n项和,且有111,1nnaSa(*nN).

(Ⅰ) 求数列na的通项na；(Ⅱ) 若nnanb4,求数列nb的前n项和nT；

3设()ln-4fxaxx，其中aR，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线垂直于y轴.

（Ⅰ） 求a的值；

（Ⅱ）

求函数()fx的极值.60

4、设函数2sinsin)(xxxf,Rx．

(Ⅰ) 若21＝,求)(xf的最大值及相应的x的取值集合；

（Ⅱ）若8x是)(xf的一个零点,且100,求的值和)(xf的最小正周期.

5、如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACBC，D为侧棱PC上一点，

它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．

（Ⅰ）证明：AD平面PBC；

（Ⅱ）在ACB的平分线上确定一点Q，使得PQ∥平面ABD，并求此时PQ的长． 侧（左）视图正（主）视图PDCBA222222444

6、已知函数32()39fxxxxa，定义域为D．

（1）若(,)D，求()fx的单调递减区间；

（2）若[3,2]D，且()fx的最大值为19，求()fx的最小值．

7．已知向量)1,(sin),31cos,3(xbxa，函数baxf•)(.将函数()yfx的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的12，把所得到的图象再向左平移3个单位，得到函数()ygx的图象.

（Ⅰ）求函数f(x)的单调递增区间；

（Ⅱ）若ba,求()ygx 的值。

8．在三棱锥ABCP中，侧棱长均为297，底边32,2,4BCABAC,ED、分别为BCPC、的中点.

（Ⅰ）求三棱锥ABCP的体积；

（Ⅱ）求二面角EDAC的平面角.

高考立体几何专题复习[1]

高考立体几何专题复习[1]

1 立体几何

一、考点分析

基本图形

1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

①底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱★

②四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行六面体 底面为矩形

长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体

2. 棱锥

棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

3．球

球的性质：

①球心与截面圆心的连线垂直于截面；

★②22rRd（其中，球心到截面的距离为d、球的半径为R、截面的半径为r）

★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切.

顶点侧面斜高高侧棱底面OCDABHSl侧棱侧面底面E'B'D'C'A'F'BDEAFCrdR球面轴球心半径AOO1BA'C'D'B'CDOABOC'A'Ac 2 注：球的有关问题转化为圆的问题解决.

球面积、体积公式：2344,3SRVR球球（其中R为球的半径）

平行垂直基础知识网络★★★

异面直线所成的角，线面角，二面角的求法★★★

1．求异面直线所成的角0,90：

解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移

另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行；

三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；

2求直线与平面所成的角0,90：关键找“两足”：垂足与斜足

解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）；