变化率和导数(三个课时教案)

变化率与导数教案113第二章变化率和导数2.1.1瞬时变化率一导数教学目标：(1) 理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2) 会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度⑶ 理解导数概念实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线(割线)的斜率与函数f(x)在区间［X A , X B ］上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？下面我们来看一个动画。

从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。

所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势二、新课讲解1、曲线上一点处的切线斜率不妨设 P(X 1, f(x 1)) , Q(x o , f(x o ))，则割线 PQ 的斜率为 k PQ = f (xj- f (X o )X 1 — Xo设 X 1 - X o =A x ，贝U X 1 = △ x + X o ,... kP Q /X O FTS当点P 沿着曲线向点 Q 无限靠近时，割线 PQ 的斜率就会无限逼近点 Q 处切线斜率，即当△ x2、曲线上任一点(x o , f(x 0))切线斜率的求法:k = f(X o+也X)- f(X o)，当△ x 无限趋近于0时，k 值即为(x o , f(x o ))处切线的斜率。

3、瞬时速度与瞬时加速度 (1)平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度⑵位移的平均变化率：S (to+4) -s(to)(3) 瞬时速度：当无限趋近于o 时，S(t o十筑)一S(to)无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t o时的瞬时速度无限趋近于0时，k pQ怏+匆-5)无限趋近点Q 处切线斜率。

导数与函数变化率教案设计：一、教学目标1.了解导数的概念和定义，掌握基本求导公式和法则。

2.理解函数的单调性和极值，并能应用导数求解。

3.能够掌握函数的变化率的概念，应用导数求解。

4.能够运用导数的概念和方法解决实际问题。

二、教学内容1.导数的概念和定义2.求导法则3.函数的单调性和极值4.函数的变化率与导数5.应用导数解决实际问题三、教学过程第一节：导数的概念和定义1.引入教师通过引导学生想象一下：车在马路上行驶时，如果我们想知道车的速度是多少，应该怎么做？引导学生想到了导数的概念。

2.导数的定义介绍导数的定义：设函数y=f（x），若极限lim Δx→0（f（x+Δx）－f（x））/Δx存在，称为函数f（x）在点x处的导数。

3.图像解释导数通过画图来解释导数的概念，帮助学生掌握。

第二节：求导法则1.基本求导法则（1）常数函数（2）幂函数（3）指数函数（4）对数函数（5）三角函数2.综合例题分析通过综合例题来演示求导过程，让学生掌握求导的方法。

第三节：函数的单调性和极值1.函数的单调性介绍函数的单调性：设函数y=f（x）在区间（a，b）内具有一阶导数，那么如果f’（x）>0，则函数在该区间单调递增，如果f’（x）<0，则函数在该区间单调递减。

2.函数的极值介绍函数的极值：设函数y=f（x）在点x=c处连续，那么如果在（c-d，c）上f（x）≤f（c）,在（c， c+d）上f（x）≤f（c），则c为函数y=f（x）的极大值点；如果在（c-d， c）上f（x）≥f （c），在（c， c+d）上f（x）≥f（c），则c为函数y=f（x）的极小值点。

3.图像分析单调性和极值通过图像分析函数的单调性和极值，帮助学生理解。

第四节：函数的变化率与导数1.函数的变化率介绍函数的变化率：使用导数来研究函数的变化率，函数在某一点的导数就是该点的变化率。

2.应用导数求解通过例题来演示应用导数求解的过程，让学生掌握应用导数求解的方法。

第一课时 变化率与导数、导数的计算 教学设计一、导入设计：多媒体展示只是框图，并介绍高考重点难点。

设计意图与教学活动：本节课是侧重于构建知识结构的复习课，首先给出导数本章的知识网络，它既有导数的初步知识，又有导数的应用。

这一过程通过课件展示知识网络，教师讲述重点难点，让学生对导数以及导数的应用有整体性的认识把握：导数的初步知识包括导数的概念、求导数的方法，导数的应用主要介绍函数的单调性，可导函数的极值与函数的最大值与最小值。

其中重点是理解导数定义的本质；难点是导数的灵活应用。

一、学习目标：（导入与目标展示 3分钟）1、变化率与导数① 了解导数概念的实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)② 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，会在已知切点的情况下求切线方程；③理解导函数的概念; 瞬时变化率 平均速度 瞬时速度 平均变化率 割线斜率 切线斜率 导 数 基本初等函数导数公式、导数运算法则 导数与函数单调性的关系导数与极（最）值的关系2、导数的运算 ①能根据导数定义求函数xy x y x y C y 1,,,2====的导数②能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数设计意图与教学活动：通过多媒体展示目标，使学生明白本节课的任务，重点难点，激发主动学习的热情，做到有的放矢。

二、自学探究（包括教师点拨17分钟）1、自学课本P73—78（1）通过问题2了解平均变化率和顺势变化率的关系，如何由平均变化率得到瞬时变化率？（2）函数的瞬时变化率与导数是怎样定义的？导数与瞬时变化率的关系是怎样的？（3）导数有什么几何意义？设计意图与教学活动：以问题探究的形式帮助学生完成知识的构建、教师适时点评学生可以回答的问题：平均变化率和瞬时变化率，导数几何意义与已知切点切线方法 需要教师强调、点拨的问题：1、导数的本质研究的是当自变量的增量趋向于0（0→∆x ）时，函数的增量与自变量的增量的比值的极限。

变化率与导数教学设计一、内容与内容解析变化是自然界的普遍现象，丰富多彩的变化问题随处可见。

函数是描述运动变化规律的重要工具。

如何定量刻画千变万化的变化现象，是数学研究的重要课题。

17世纪创立的微积分就源于研究运动物体的变化规律，它是数学发展中的里程碑。

本节课的核心内容是平均变化率和瞬时变化率。

这是微积分中的两个核心概念，有着极其丰富的实际背景和广泛的应用。

对于宏观地描述一个简单的变化过程，可以利用平均变化率的这个指标，但是随着对变化问题研究的深入和细化，用平均变化率已经不足刻画一个较复杂的变化问题，需要引进瞬时变化率的概念。

由平均变化率的概念拓展至瞬时变化率的概念，这不是两个平行概念间的迁移，而是在原有概念基础上的质的飞跃。

如果说平均变化率是静态的概念，那么瞬时变化率则是一个动态的概念。

其蕴涵的无限分割的微分的思想，无限逼近的极限的思想是两个极为重要的数学思想。

因此本节课的重点是理解瞬时变化率的概念，学会用瞬时变化率来“度量”变化过程。

二、目标与目标解析抽象的数学往往都具有丰富的实践背景，变化率概念的形成和发展也不例外。

课堂教学需要再现数学概念的形成与发展过程，让学生体会数学的重要思想和丰富内涵，感受数学工具在解决实际问题的作用，使学生认识到数学概念的形成也是人的思想的自然合理、符合逻辑的发展过程。

因此确定本节课的教学目标为：1.从具体案例中，发现平均变化率是在刻画变化规律中过程的重要指标作用和局限性。

2.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，激发学生求变、求新的学习热情。

3.自然合理地形成微分、逼近、极限等数学观点，体会微积分的思想及其内涵，理解导数就是瞬时变化率。

三、教学问题诊断分析函数是刻画运动变化的重要数学模型，函数的图象与性质是学生定性分析变化现象的重要认知基础。

或许学生能够从函数图象上感受函数变化的快与慢。

但学生往往缺乏从定量和抽象的层面去分析数学问题本质的习惯与能力。

课题：3.1 函数的变化率教学目标：1、知识目标：通过生活实例使学生理解函数增量、函数的平均变化率的概念；掌握求简单函数平均变化率的方法，会求函数的平均变化率；理解函数的平均变化率的含义，引出函数的瞬时变化率概念，简单应用为下一节导数概念的学习打好基础。

2、能力目标：使学生在研究过程中熟悉数学研究的途径：背景——数学表示——应用，培养学生独立思考，解决问题的能力和在生活中建立数学模型，用数学理论解释生活问题、应用数学的能力。

3、情感目标：使学生通过学习，了解简单的情景蕴涵建立模型解决问题的一般思想方法，鼓励学生主动探究、不惧困难，勇于挑战自我的思想品质。

并养成学生探究——总结型的学习习惯。

教学重点：函数自变量的增量、函数值的增量的理解函数平均变化率和瞬时变化率的理解和简单应用。

教学难点：函数平均变化率转化为瞬时变化率的理解。

教学方法：例举分析——归纳总结——实际应用教学过程：一、引入：1、情境设置：（图片）巍峨的珠穆朗玛峰、攀登珠峰的队员两幅陡峭程度不同的图片2、问题：当陡峭程度不同时，登山队员的感受是不一样的，如何用数学来反映山势的陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考呢？3、引入：让我们用函数变化的观点来研讨这个问题。

二、例举分析：（一）登山问题例：如图，是一座山的剖面示意图:A是登山者的出发点,H是山顶,登山路线用y=f(x)表示才问题：当自变量x样表示？ 分析：1、选取平直山路AB 放大研究 若),(),,(1100y x B y x A自变量x 的改变量：1x x =∆ 函数值y 的改变量：1y y =∆ 直线AB 的斜率：xyx x y y k ∆∆=--=0101说明：当登山者移动的水平距离变化量一定（x ∆为定值）时，垂直距离变化量（y ∆）越大，则这段山路越陡峭；2、选取弯曲山路CD 放大研究方法：可将其分成若干小段进行分析：如CD 1的陡峭程度可用直线CD 1的斜率表示。

人教版高中选修1-13.1变化率与导数教学设计一、教学目标通过本节课的学习，使学生掌握变化率的计算方法，理解导数的概念，掌握导数的计算方法，能够应用导数完成一些简单的问题解答。

二、教学内容1.变化率的概念及计算方法2.导数的概念及计算方法3.导数的应用三、教学重点1.导数的概念及计算方法。

2.导数在各种问题中的应用。

四、教学难点1.学生理解导数的概念。

2.学生理解导数在解决实际问题中的应用。

五、教学方法与教学手段本课程将采用讲授、练习、探究相结合的方式，其中讲授是主要手段，而探究是辅助手段。

1.讲授–通过讲述变化率和导数的概念及计算方法，引导学生理解。

2.练习•给出一些例题进行课堂练习，并对练习做出解释和总结。

3.探究–提供一些实际问题的案例，让学生自己探究如何使用导数解决问题。

六、教学过程1.引入（5分钟）询问学生对导数的概念的了解程度，并简单介绍导数的定义。

2. 讲授变化率的概念和计算方法（40分钟）1.引入变化率的概念2.讲解变化率的计算方法3.对一些例题进行讲解和课堂练习3. 讲授导数的概念及计算方法（40分钟）1.导数的概念及其含义2.导数的计算方法3.对一些例题进行讲解和课堂练习4. 导数的应用（30分钟）1.探究导数在实际问题中的应用2.提供一些案例，让学生自己探究如何使用导数解决问题七、教学评估通过给出的练习题和考试题进行评估，考察学生对变化率和导数的理解，以及对其在实际问题中应用的能力。

同时，教师也对学生的学习过程进行评估。

八、教学资源1.课本《数学选修1》，人教版。

2.基础视频教程，如B站，YouTube等。

九、课后作业1.完成课本中相关练习题。

2.自行寻找一些导数的各种应用案例解决问题。

十、教学总结本节课通过讲授、练习、探究相结合的方式，深入浅出地讲解了变化率和导数的概念及计算方法，让学生对导数的应用有了更深刻的理解。

同时，强化了学生的解决实际问题的能力。

第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数（1）教材分析导数是微积分的核心概念之一.它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具，因而也是解决诸如运动速度、物种繁殖率、绿化面积增长率，以及用料最省、利润最大、效率最高等实际问题的最有力的工具.在本章,我们将利用丰富的背景与大量实例,学习导数的基本概念与思想方法;通过应用导数研究函数性质、解决生活中的最优化问题等实践活动，初步感受导数在解决数学问题与实际问题中的作用.教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．课时分配本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A 版）数学选修1－1第三章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时，主要讲解导数的概念及利用定义求导数.教学目标重点: 通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．知识点：导数的概念.能力点：掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤教育点：通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验自主探究点：通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程.考试点：利用导数的概念求导数.易错易混点：对0x ∆→的理解，0,0,x x ∆>∆<0,0x x ∆>∆≠但0x ∆≠. 拓展点：导数的几何意义.教具准备 多媒体课件和三角板 课堂模式 学案导学一、引入新课师生活动：教师：请说出函数()y f x =从x 1到x 2的平均变化率公式．学生：2121()()f x f x x x --．教师：如果用x 1与增量△x 表示，平均变化率的公式是怎样的？ 学生：11()()f x x f x x+∆-∆教师：高台跳水的例子中，在时间段650,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦里的平均速度是零，而实际上运动员并不是静止的．这说明平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.学生：在教师的讲述中思考用什么量来反映运动员的运动状态． 提问：用一个什么样的量来反映物体在某一时刻的运动状态？ 学生：体会并明确瞬时速度的作用．提问：我们如何得到物体在某一时刻的瞬时速度？例如，要求物体在2s 的瞬时速度，应该怎么解决？【设计意图】让学生理解平均速度与瞬时速度的区别与联系，感受到平均速度在时间间隔很小时可以近似地表示瞬时速度.【设计说明】应使学生明确平均速度与瞬时速度的关系，为下一阶段实验活动作铺垫.二、探究新知已知跳水运动员在跳水过程中距离水面的高度与时间的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++，完成下列表格中02t =秒附近的平均速度的计算并填充好表格，观察平均速度的变化趋势．师：观察以上表格，你能发现平均速度有什么变化趋势吗？将结果投影，引导同学们一起观察.在学生观察的基础上指出：当t ∆趋近于0时，平均速度都趋近于一个确定的常数，这个常数就是瞬时速度．[设计意图] 让学生通过定量分析感受平均速度在时间间隔越来越小时向瞬时速度逼近的过程．给学生充分的感性材料, 使学生从感性上获得求瞬时速度的方法．培养学生归纳、概括能力.师:你认为通过实验所得结果（常数）就是瞬时速度吗？这个数据到底是精确值还是近似值？启发学生归纳出结论：0t ∆→时，平均速度所趋近的这个常数是可以得到的，它不是近似值，是一个精确值，它与变量t ∆无关，只与时刻0t 有关．[设计意图] 使学生认识到平均速度当时间间隔趋向于零时的极限就是瞬时速度，为给出导数概念提炼出一个具体的极限模型．一般地,函数()y f x =在x x =o 处的瞬时变化率是00()()limlim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆o o ,我们称它为函数()y f x =在x x =o 处的导数,记作()f x 'o 或|x x y ='o ,即()f x 'o =00()()lim lim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆o o .三、理解新知求函数()y f x =在点0x 处的导数的步骤大致分为以下三步：第一步，求函数增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；第二步，求平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； 第三步，求平均变化率的极限，即导数'00()lim x yf x x∆→∆=∆．[设计意图]为准确地运用新知，作必要的铺垫.四、运用新知例1求2y x =在点1x =处的导数． 解:222(1)12()y x x x ∆=+∆-=∆+∆,22()2y x x x x x ∆∆+∆==+∆∆∆, ∴00limlim(2)2x x yx x ∆→∆→∆=+∆=∆.1'|2x y =∴=注意:2()x ∆括号别忘了写.变式训练: 求224y x x =+在点3x =处的导数.解:2222(3)4(3)(2343)2()16y x x x x ∆=+∆++∆-⨯+⨯=∆+∆,216yx x∆=∆+∆, 00lim lim(216)16x x y x x ∆→∆→∆=∆+=∆, 即3'|16x y ==.[设计意图]通过变式训练,便于学生全面的认识利用定义求导数的步骤, 提高理解、运用知识的能力． 例2 已知21y x =+,求'y .解:[]2()1(21)y x x x ∆=+∆+-+2x =∆,2yx∆∴=∆,0lim2x yx∆→∆∴=∆,即'2y =.变式训练: 已知y =,求'y .解:y ∆=,y x x∆=∆∆,0limlimx x y x x ∆→∆→∆==∆∆=’ 'y ∴=[设计意图] 由一个问题引申为一类问题，提高学生的解题能力．同时,便于学生发现不同题目解题过程的 区别与联系,有利于学生用联系的观点看问题．五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答： 1．知识：导数的概念.2．思想：特殊与一般、化归的思想．教师总结: 本节课学习了导数的概念，导数的概念表明：当自变量的增量趋向于零时，函数在某点的平均变化率的无限地趋向于函数在该点的瞬时变化率，这是非常重要的极限思想．求导数的步骤大致分为以下三步： 第一步，求函数增量； 第二步，求平均变化率并化简； 第三步，求平均变化率的极限，即导数． [设计意图] 加强对学生学习方法的指导．六、布置作业1．阅读教材P74—76； 2.书面作业必做题： P79 习题3.1 A 组 1,2,3,4,5. 选做题：1.如果质点A 按照规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为 . 2.设函数()f x 可导，则0(1)(1)lim3x f x f x∆→+∆-=∆ .3. 设函数()f x 3ax =+，若'(1)3f =，则a = .4.函数1y x x=+在1x =处的导数等于 . 5.质点M 按规律223s t =+做直线运动(位移单位:cm ，时间单位：s)，求质点M 在2t =时的瞬时速度，并与运用匀变速直线运动速度公式求得的结果进行比较. 答案:1. 18 2.1(1)3f ' 3. 3 4. 0 5. 瞬时速度为8/cm s ,用两种方法求得的结果相同. 课外思考:函数()y f x =在一点处的导数有什么几何意义吗?[设计意图]设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够运用导数的概念，解决简单的数学问题；课外思考的安排，是让学生深刻思考、领悟导数的意义，为下节课的学习做铺垫．七、教后反思1.“以学生为本”的教育观是教学设计的根本指导思想.学生通过“经历”、“体会”、“感受”，最后形成概念的学习过程，充分体现了学生为本的现代教育观.2.作业的布置尽量满足多样化的学习需求,做到因材施教,但在具体实施中,分寸的把握需视情况而定.八、板书设计。

高中数学变化率的教案
教学目标：
1. 理解变化率的概念，能够计算函数在某一点处的导数。

2. 掌握变化率与导数的关系，能够应用导数解决实际问题。

3. 提高学生的数学分析能力和解决问题的能力。

教学重点：
1. 变化率的概念
2. 导数的计算
3. 导数的应用
教学难点：
1. 理解导数的定义及其应用
2. 解决实际问题时的应用
教学步骤：
一、导入（5分钟）
通过一个简单的例子引出变化率的概念，让学生感受到变化率的重要性和实际应用价值。

二、概念讲解（15分钟）
1. 讲解变化率的定义及其计算方法。

2. 介绍导数的概念及其与变化率的关系。

3. 解释导数的意义和应用。

三、实例演练（20分钟）
1. 让学生通过例题计算函数在某一点处的导数。

2. 给学生几个实际问题，让他们应用导数解决问题。

四、拓展应用（10分钟）
1. 给学生习题提供更多练习机会，巩固导数的计算和应用。

2. 让学生思考如何在实际问题中更好地使用导数解决问题。

五、总结与评价（5分钟）
总结今天的学习内容，强调导数在数学和实际问题中的重要性，并评价学生的学习情况。

六、作业布置（5分钟）
布置作业，巩固学生对导数的理解和应用能力，以及在解决实际问题中的应用能力。

教学反思：
通过本节课的教学，学生对导数的概念及其应用有了更深入的理解，提高了数学分析能力和解决问题的能力。

但在实际引导学生解答实际问题时，还需引导学生思考更深入，提高解决问题的能力。

第一章导数及其应用第一课时：变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程：一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r =分析: 343)(πV V r =，⑴当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈-- ⑵当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 1212)()(V V V r V r --hto问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =，所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f y -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(21x f x f y 代替可用+∆)3． 则平均变化率为=∆∆xy xx f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --表示什么?直线AB 的斜率 三．备选例题44.043.041.040.01.0,21)(12、、、、的值为（）时，，则在、已知函数例D C B A y x x x x f y ∆=∆=+==例2、已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy ．解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2四．课堂练习1．质点运动规律为32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平x 1x 2Oy y =f (x )f (x 1)f (x 2)△x = x 2-x 1△y =f (x 2)-f (x 1) x均速度为 ． 五．回顾总结 1．平均变化率的概念2．函数在某点处附近的平均变化率 六．布置作业上的平均变化率在区间，变式训练，求函数、金榜时平均变化率值变化率，并求当上的平均的在区间，求，例、金榜]2,2[12221,1],[12)(12120002x x y P x x x x x x x f y P ∆++==∆=∆++==第二课时 导数的概念教学目标：1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； 2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念． 教学过程： 一．创设情景 （一）平均变化率（二）探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然hto运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．二．新课讲授1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

变化率与导数教学设计（共7篇）第1篇：1.1变化率与导数教学设计教案教学准备1. 教学目标知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义.2. 教学重点/难点【教学重点】：理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学难点】：理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.3. 教学用具多媒体4. 标签变化率与导数教学过程课堂小结课后习题第2篇：1.1变化率与导数教学设计教案教学准备1. 教学目标（1）理解平均变化率的概念.（2）了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念.（3）理解导数的概念（4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率.2. 教学重点/难点教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成和理解教学难点：会求简单函数y＝f（x）在x＝x0处的导数3. 教学用具多媒体、板书4. 标签教学过程一、创设情景、引入课题【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。

【板演/PPT】【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 【板演/PPT】让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。

【设计意图】自然进入课题内容。

二、新知探究 [1]变化率问题【合作探究】探究1 气球膨胀率【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么【板演/PPT】【活动】【分析】当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为（1）当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为0.62>0.16 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 解析：探究2 高台跳水【师】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? （请计算）【板演/PPT】【生】学生举手回答【活动】学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。