用计算器进行一元线性回归

数学实验：用计算机画回归直线和作统计计算-湘教版必修5教案实验目的1.了解回归直线的概念和作用；2.掌握使用计算机绘制回归直线的具体操作方法；3.学习运用计算机工具进行统计计算。

实验原理1. 回归直线的概念回归直线是指通过一组二维数据作统计计算后，可以得到的一条最佳拟合直线。

其表示的是两组变量之间的相关程度。

2. 计算机绘制回归直线的方法计算机绘制回归直线需要借助统计软件，如Excel 或SPSS。

以下为使用Excel绘制回归直线的具体步骤： 1. 在Excel中打开数据文件； 2. 插入散点图； 3. 选中散点图，点击“添加趋势线”选项； 4. 在“趋势线”选项中选择“线性趋势线”； 5. 勾选“显示方程式”和“显示R2值”； 6. 点击“确定”即可绘制出回归直线和相应的方程式。

3. 统计计算方法统计计算方法一般有以下几种： 1. 平均数（算术平均数、加权平均数）； 2.中位数； 3. 众数； 4. 方差； 5. 标准差。

实验步骤1.打开Excel软件，建立表格；2.输入相关数据；3.绘制散点图，添加趋势线、方程式和R2值；4.计算相关系数；5.计算平均数、方差和标准差等统计指标。

实验结果1.绘制出回归直线，并获得方程式和R2值；2.计算出相关系数，判断变量之间的相关程度；3.计算出平均数、方差和标准差等统计指标。

实验总结通过本次数学实验，我们掌握了回归直线的概念及其作用，学会了使用计算机工具绘制回归直线，同时了解了统计计算方法和统计指标的含义和计算方法。

数学实验的实施不仅可以帮助学生学习数学知识，还能够培养学生的实际操作能力，提高解决实际问题的能力。

⼀元线性回归1、概念⼀元线性回归是最简单的⼀种模型，但应⽤⼴泛，⽐如简单地预测商品价格、成本评估等，都可以⽤⼀元线性模型，本节主要讲解scikit-learn⼀元线性回归的使⽤以及作图说明。

y=f(x)叫做⼀元函数，回归的意思就是根据已知数据复原某些值，线性回归(regression)就是⽤线性的模型做回归复原。

那么⼀元线性回归就是：已知⼀批(x,y)值来复原另外未知的值。

⽐如：告诉你(1,1),(2,2),(3,3)，那么问你(4,?)是多少，很容易复原出来(4,4)，这就是⼀元线性回归问题的求解。

当然实际给你的数据可能不是严格线性，但依然让我们⽤⼀元线性回归来计算，那么就是找到⼀个最能代表已知数据的⼀元线性函数来做复原和求解。

2、scikit-learn的⼀元线性回归1import numpy as np2from sklearn.linear_model import LinearRegression3 x = [[1],[2],[3],[4],[5],[6]]4 y = [[1],[2.1],[2.9],[4.2],[5.1],[5.8]]5print x6print(y)7 model = LinearRegression()8 model.fit(x, y) #训练模型9 predicted = model.predict([13])[0]#预测输出10print predictedView Code结果：1 [[1], [2], [3], [4], [5], [6]]2 [[1], [2.1], [2.9], [4.2], [5.1], [5.8]]3 [ 12.82666667]这⾥⾯的model是⼀个estimator，它通过fit()⽅法来算出模型参数，并通过predict()⽅法来预测，LinearRegression的fit()⽅法就是学习这个⼀元线性回归模型：y = a + bx原数据的图像：1import matplotlib.pyplot as plt2from matplotlib.font_manager import FontProperties3 font = FontProperties()4 plt.figure()5 plt.title('this is title')6 plt.xlabel('x label')7 plt.ylabel('y label')8 plt.axis([0, 25, 0, 25])9 plt.grid(True)10 x = [[1],[2],[3],[4],[5],[6]]11 y = [[1],[2.1],[2.9],[4.2],[5.1],[5.8]]12 plt.plot(x, y, 'k.')13 plt.show()View Code结果：合在⼀起：1import numpy as np2from sklearn.linear_model import LinearRegression3import matplotlib.pyplot as plt4from matplotlib.font_manager import FontProperties56 x = [[1],[2],[3],[4],[5],[6]]7 y = [[1],[2.1],[2.9],[4.2],[5.1],[5.8]]8 model = LinearRegression()9 model.fit(x, y)10 x2 = [[0], [2.5], [5.3], [9.1]]11 y2 = model.predict(x2)1213 plt.figure()14 plt.title('linear sample')15 plt.xlabel('x')16 plt.ylabel('y')17 plt.axis([0, 10, 0, 10])18 plt.grid(True)19 plt.plot(x, y, 'k.')20 plt.plot(x2, y2, 'g-')21 plt.show()View Code其他相关⽤法⽅差计算:⽅差⽤来衡量样本的分散程度，⽅差公式是⽤numpy库已有的⽅法：1 np.var([1, 2, 3, 4, 5, 6], ddof=1)1 3.5得出⽅差是3.5。

一元回归计算表正文：一元回归是一种常见的统计分析方法，用于探索一个自变量对一个因变量的影响关系。

在一元回归中，我们假设因变量和自变量之间存在线性关系，并通过计算表来估计线性回归方程的参数。

创建一元回归计算表的过程通常包括以下几个步骤：1. 收集数据：首先，我们需要收集自变量和因变量的数据。

例如，如果我们想研究一个人的身高和体重之间的关系，我们需要收集一组人的身高和体重数据。

2. 计算相关系数：在进行一元回归之前，我们通常会计算自变量和因变量之间的相关系数。

相关系数可以告诉我们两个变量之间的线性关系强度和方向。

常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。

3. 拟合回归方程：一旦我们计算了相关系数，我们可以使用最小二乘法来拟合一条最佳拟合直线，以描述自变量和因变量之间的关系。

回归方程的一般形式为y = mx + b，其中m是斜率，b是截距。

4. 计算预测值：拟合回归方程后，我们可以使用这个方程来预测因变量的值。

对于给定的自变量值，我们可以通过代入回归方程来计算预测值。

5. 评估拟合优度：最后，我们需要评估拟合的优度。

常见的评估指标包括平均绝对误差（MAE）、均方根误差（RMSE）和决定系数（R-squared）。

这些指标可以告诉我们回归方程对数据的拟合程度如何。

在计算表中，我们可以将自变量和因变量的值列在一个表格中，并在该表格中计算相关系数、回归方程的参数、预测值和拟合优度指标。

这样的计算表可以帮助我们清晰地记录和分析回归模型的结果。

总之，一元回归计算表是一种记录和分析一元回归模型结果的工具。

通过创建一元回归计算表，我们可以更好地理解自变量和因变量之间的关系，并进行预测和评估拟合优度。

一元回归分析MATLAB计算一元线性回归分析是一种基本的统计方法，用于研究一个因变量和一个自变量之间的线性关系。

在MATLAB中，可以使用polyfit和polyval函数来进行一元线性回归分析。

下面是一个简单的示例，说明如何在MATLAB中进行一元线性回归分析：假设我们有一组数据，其中x是一个自变量，y是一个因变量。

我们想要找到一个线性模型来描述x和y之间的关系。

% 创建一组数据x = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9];y = [2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 13];% 使用polyfit函数进行一元线性回归分析p = polyfit(x, y, 1); % 这里1表示我们想要拟合一个一次多项式（即线性关系）% p(1)是斜率，p(2)是截距% 使用polyval函数计算拟合值yfit = polyval(p, x);% 绘制原始数据和拟合直线plot(x, y, 'o'); % 绘制原始数据hold on;plot(x, yfit, '-'); % 绘制拟合直线xlabel('x');ylabel('y');legend('原始数据', '拟合直线');在这个示例中，我们首先创建了一组数据，然后使用polyfit函数进行一元线性回归分析。

这个函数返回一个向量p，其中p(1)是斜率，p(2)是截距。

然后，我们使用polyval函数计算拟合值，并将其与原始数据进行绘图。

这个示例只是最基本的一元线性回归分析。

在实际应用中，可能需要处理更复杂的数据和模型。

例如，可能需要处理缺失数据、异常值、多元线性回归等问题。

但是，基本的步骤和概念仍然是相同的。

可以使用MATLAB提供的各种函数和工具来处理这些问题。

用计算器进行一元线性回归
用计算器进行一元线性回归作者：郑俊通
一、初始化
打开电源
按MODE键选择REG模式-选Lin
按SHIFT再按MODE键，选择SCL模式
当屏幕上出现STAT CLEAR时，按=
二、录入数字
例如x=3, 6, 12, 24, 72, 96
y= 0.085, 0.143, 0.330, 0.657, 1.543, 1.923
输入时，x先输入，y后输入
输入方法如下：
输入3，再按“，”键，再输入0.085，最后按M+键输入6，再按“，”键，再输入0.143，最后按M+键……
输入96，再按“，”键，再输入1.923，最后按M+键
三、得出数据
如此例，此时计算器上显示“n=6”
按SHIFT再按"2"，后翻页面至出现A,B,r
选择A，得到截距0.078106135
选择B，得到斜率0.019776353
选择r，得到回归系数0.99644104
四、计算
按SHIFT再按"2"，后翻页面至出现X，Y
选择X，输入数据，按=后，得到相应的y值
由y值求x依此类推。

一元线性回归分析的制作步骤 一、将两次考试成绩按列输入原始数据：—AB C DE F1 上期末 月考一 回归值残差296. 35 89.5395. 96 88. 75493. 31 86. 435 93. 68 89. 676 语 91.07 88. 797 文90.2 87. 64892.18 83. 059 91.26 86. 0510 90. 21 88.31191.63 85. 47二、按二次成绩数据用鼠标拖黑:A —B 「C1 DE1上期末月考一回归值残差2 96. 35 89.53 95. 96 88. 75493. 31 86. 43593. 68 89. 676 语 91.07 88. 797 文90.2 87. 64892.18 83. 05991.26 86. 051090. 21 88.311 ■91.6385. 47-----三、按图表按钮:A A 」3 •/巧•丄2力・2UI-3- 4-5- 6- 7- 8- 9- w - H12 ■ ■■I ■■■■ rI?_15_. 16 17 IE ： 19 20 21・ 22 CCA 96.35B " "c"上期末：月考一D回归值G96・ 35 95. 96 93・ 31 93. 68 91.07 90.2 92.18 91.26 90. 21 91.6389.5 88. 75 86. 43 89・ 67 88・ 79 87. 64 83.05 86.05 88.3 85, 47EaiHiid 图表向导- 4步骤之1 -图表类塞E残差四、按XY散点图——按下一步玄至完成:图表向导-4步骤之1 -图表类型标准类型自定义类型图表类型©:五、将鼠标对准一个点按左键(每个点就点亮了)——再按右键——添加趋势线——选项六、最方I两项打勾后确定:添加趋势线类型选项趋势线名称©自动设置®:线性係列1)O自定义©：〔趋势预测■_・・二前推世)：|o ■单位倒推@)：fo" C单位确定图图图形形线图柱条折饼取消I下一步@) ＞］「完成0)取消子图表类型(X)按下不放可查看示例(V)♦系列1七、电脑白动生成冋归直线方程及相关系数:R2 = 0.1269八、在D3格屮输入上图公式，其屮X是第一次考试成绩:九：残差的计算：残差=第2次成绩一冋归值:上血末]月考一]朗值:—残着96・ 35 [ 89. 5 殛药硫二C2-D2|95.96 I 88.75 | |十、所有值拉出即可:郑屮钧屮学教导处2014年11月18日。

Python实现——⼀元线性回归（最⼩⼆乘法）2019/3/24线性回归——最⼩⼆乘法公式法暂时⽤python成功做出来了图像，但是其中涉及到的公式还是更多的来⾃于⽹络，尤其是最⼩⼆乘法公式中的两个系数的求解，不过⽬前看了下书⾼数也会马上提及（虽然可能不会讲这两个公式），但是运⽤的知识其实还是⽬前能够接受的：偏导，⼆元⽅程。

乍⼀看其实也没什么，只是由于有了求和符号的⼲扰让计算显得复杂。

该博客中对其的推导看起来⽐较简洁容易接受，其中结尾公式的计算不难让⼈想到线性代数中的向量乘积运算，但是那样的表⽰⽅法我并不熟练，等到系统的学习线代后再深挖....吧。

总的来说：y=a+bx 便是我们的预测函数。

然⽽不同于以往的是变量变为了a与b两个系数，从这⾥也不难看到其实若是⼆次拟合也有⼀个好处那便是虽然x中含有⼆次项⽽系数中并没有，仍然是⼀次⽅程。

⽽我们所要做到的便是能够让这个函数在基于现有数据的参照下偏差最⼩，⽽偏差值的衡量我们将会⽤⽅差来表⽰，不选择简单的做差是由于做差势必会带来正负的区别，⽽由此⼜会导致偏差之间相互抵消，⽽若是加上绝对值的话⼜要涉及判断，因此⽅差成为了简单直接的⽅式。

之后的求解，简单来说就是分别对两个系数进⾏求偏导，在之后，我们再转换⼀下观念。

虽然我们⽬前来看是把系数当作了未知数，但是实际上这还是关于x，y的⽅程，对于x，y的⽅差，应视其为⼆次函数，也因此最⼩值的求解应该在导数0点取得。

（有待商榷，这只是我⽬前的理解）因此再分别对应回两个偏导为零继续求解，其中关于a的⽅程较为简单，⽽b则会⿇烦⼀点。

⽽在我的python实现中前两个库函数可能没有使⽤到修正：上两个函数应该为excel导⼊的函数，之前应该是忘了import xlrdimport xlwtimport matplotlib.pyplot as pltimport numpy as np此处则对应的是读取数据workbook=xlrd.open_workbook(r'1.xls')sheet=workbook.sheet_by_index(0)cols1=sheet.col_values(0) #获取第⼀列cols2=sheet.col_values(1) #获取第⼆列以下则是在为最后⼀步的公式提供准备每个参量，把单个值提前表⽰出来s1=0s2=0s3=0s4=0for i in range(n):s1 = s1 + cols1[i]*cols2[i]s2 = s2 + cols1[i]s3 = s3 + cols2[i]s4 = s4 + cols1[i]*cols1[i]最后这⾥就是公式的求解，相信就算没看前⾯推导，也能⼤概懂点其中每个量的相互关系以及上⾯所准备的参量的意义b = (s2*s3-n*s1)/(s2*s2-s4*n)a = (s3 - b*s2)/n最后便是作图，plt.scatter()绘制散点图，plt.plot是折线图，⽽np.linspace()则需要根据实际数据的情况进⾏合理取值plt.scatter(cols1,cols2,color = 'blue')x=np.linspace(0,100,1000)y=b*x+aplt.plot(x,y,color="red")plt.show()这个是我第⼀次成功运⾏后得出的图像（实验室提供的第⼀组数据）虽然可能更适合⼆次拟合？但是⼤概也是我的第⼀次成功尝试吧整体代码如下import xlrdimport xlwtimport matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npworkbook=xlrd.open_workbook(r'2.xls')sheet=workbook.sheet_by_index(0)cols1=sheet.col_values(0) #获取第⼀列cols2=sheet.col_values(1) #获取第⼆列#plt.plot(cols1,cols2)n=100s1=0s2=0s3=0s4=0for i in range(n):s1 = s1 + cols1[i]*cols2[i]s2 = s2 + cols1[i]s3 = s3 + cols2[i]s4 = s4 + cols1[i]*cols1[i]b = (s2*s3-n*s1)/(s2*s2-s4*n) #最⼩⼆乘法获取系数的公式a = (s3 - b*s2)/n #最⼩⼆乘法获取系数的公式plt.scatter(cols1,cols2,color = 'blue')x=np.linspace(0,15,100)y=b*x+aplt.plot(x,y,color="red")plt.show()PS:谨记，利⽤excel导⼊数据的时候⼀定要记得检查表格中数据的类型，由于当时⼀开始表格内部的数并不是以数字存储的，读⼊的时候可能是以字符？⽂本？反正是不能正确显⽰，直接就是⼀个莫名其妙的y=x图像，惊了我都，⼀直以为是我代码错误，后来才觉察到。

R软件一元线性回归分析合金钢强度与碳含量的数据序号碳含量/%合金钢强度/107pa1 0.10 42.02 0.11 43.03 0.12 45.04 0.13 45.05 0.14 45.06 0.15 47.57 0.16 49.08 0.17 53.09 0.18 50.010 0.20 55.011 0.21 55.012 0.23 60.0这里取碳含量为x是普通变量，取合金钢强度为y是随机变量使用R软件对以上数据绘出散点图程序如下：>x=matrix(c(0.1,42,0.11,43,0.12,45,0.13,45,0.14,45,0.15,47.5,0.16,49,0.17,53,0.18,50,0.2,55,0.21,55,0.23,60),nrow=12,ncol=2,byrow=T,dimnames=list(1:12,c("C","E"))) >outputcost=as.data.frame(x) >plot(outputcost$C,outputcost$E)0.100.120.140.160.180.200.224550556outputcost$Co u t p u t c o s t $E很显然这些点基本上（但并不精确地）落在一条直线上。

下面在之前数据录入的基础上做回归分析（程序接前文，下同）> lm.sol = lm(E~C,data = outputcost) >summary(lm.sol)得到以下结果：Call:lm(formula = E ~ C, data = outputcost)Residuals:Min 1Q Median 3Q Max-2.00449 -0.63600 -0.02401 0.71297 2.32451Coefficients:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 28.083 1.567 17.92 6.27e-09 *** C 132.899 9.606 13.84 7.59e-08 *** ---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1Residual standard error: 1.309 on 10 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9503, Adjusted R-squared: 0.9454 F-statistic: 191.4 on 1 and 10 DF, p-value: 7.585e-08由计算结果分析：常数项0∧β=28.083，变量（即碳含量）的系数1∧β=132.899 得到回归方程：∧y =28.083+132.899x由于回归模型建立使用的是最小二乘法 ,而最小二乘法只是一种单纯的数学方法 ,存在着一定的缺陷 ,即不论变量间有无相关关系或有无显著线性相关关系 ,用最小二乘法都可以找到一条直线去拟合变量间关系。

1. 从input 语句键盘输入一组数据（x i ，y i ），i=1,2,…n 。

2. 计算一元线性回归方程y=ax+b 的系数a 和b ，用两种方法计算： 一是公式：x a y b x x y y x x a iii -=---=∑∑,)())((2； 二是用最小二乘法的公式求出最小值点（a,b ）,使∑--=2)(min },(b ax y b a Q i i3. 检验回归方程是否有效（用F 分布检验）。

4. 把散列点（x i ，y i ）和回归曲线y=ax+b 画在一个图上。

5. 每种计算法都要有计算框图，且每种计算法都要编成一个自定义函数。

function yiyuanclc;disp('从键盘输入一组数据:');x=input('please Input data x ：');y=input('please Input data y ：');disp('一元线性回归的计算和检验:');disp('1.公式法');disp('2.最小二乘');disp('3.检验');disp('0.退出');global a0 b0;while 3num=input('选择求解的方法:');switch numcase 1[a0,b0]=huigui(x,y)case 2[a0,b0]=zxec(x,y)case 3break;case 0return;otherwisedisp('输入错误，请重先输入！');endendX=x';Y=y';X=[ones(size(X)),X];alpha=0.5;[b,bint,e,rint,stats]=regress(Y,X)if stats(3)<alphadisp('有效的x'）endn=[min(x):0.1:max(x)];f=a0*n+b0;xlabel('x','b');ylabel('y','r');legend('散点','k'); end%.................................function [a0,b0]=huigui(x,y)n=length(x);x1=0;y1=0;for i=1:nx1=x1+x(i);y1=y1+y(i);endx0=x1/n;y0=y1/n;a1=0;a2=0;for j=1:na1=a1+(x(j)-x0)*(y(j)-y0);a2=a2+(x(j)-x0)*(x(j)-x0);enda0=a1/a2;b0=y0-a0*x0;x2=min(x):0.05:max(x);y2=a0*x2+b0;end %...............................function [a0,b0]=zxec(x,y)%m=length(x);%R=[x'ones(m,1)];a=R\y';A=zeros(2,2);A(2,2)=n;B=zeros(2,1);for p=1:nA(1,1)=A(1,1)+x(i)*x(i);A(1,2)=A(1,2)+x(i);B(1,1)=B(1,1)+x(i)*y(i);B(2,1)=B(2,1)+y(i);endA(2,1)=A(1,2);a0=a(1);b0=a(2);endMATLAB 线性回归2011-07-03 09:40二、一元线性回归2．1．命令polyfit最小二乘多项式拟合[p，S]=polyfit（x，y，m）多项式y=a1xm+a2xm-1+…+amx+am+1其中x=（x1，x2，…，xm）x1…xm为（n*1）的矩阵;y为（n*1）的矩阵；p=（a1，a2，…，am+1）是多项式y=a1xm+a2xm-1+…+amx+am+1的系数；S是一个矩阵，用来估计预测误差.2．2．命令polyval多项式函数的预测值Y=polyval（p，x）求polyfit所得的回归多项式在x处的预测值Y；p是polyfit函数的返回值；x和polyfit函数的x值相同。

> plot(X,Y,main="每周加班时间和签发的新保单的散点图")> abline(lm(Y~X))结果分析：从图可发现，每周加班时间和签发的新保单成线性关系，因而可以考虑一元线性模型。

2.求出回归方程，并对相应的方程做检验> #求出回归方程，并对相应方程做检验> a<-lm(Y~X)> summary(a)Call:lm(formula = Y ~ X)Residuals:Min 1Q Median 3Q Max-0.87004 -0.12503 0.09527 0.37323 0.45258Coefficients:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 0.1215500 0.3588377 0.339 0.745X 0.0036427 0.0004303 8.465 6.34e-05 ***1 2 3 4 5 60.37322742 0.09527080 -0.01923262 -0.12503171 -0.87004313 -0.539186957 8 90.19457445 0.43784500 0.45257674> #标准化残差> ZRE<-e/1.319 ##计算回归a的标准化残差> ZRE1 2 3 4 5 60.28296241 0.07222957 -0.01458121 -0.09479281 -0.65962330 -0.408784657 8 90.14751664 0.33195224 0.34312111> #学生化残差> SRE<-rstandard(a) ##计算学生化残差> SRE1 2 3 4 5 60.81860384 0.24031521 -0.04418688 -0.27814114 -1.96460005 -1.435064557 8 90.46314803 0.95992536 1.10394132结果分析：可以看出，学生氏残差绝对值都小于2，因而模型符合基本假定。

R软件一元线性回归分析合金钢强度与碳含量的数据序号碳含量/%合金钢强度/107pa10.10 42.020.11 43.030.12 45.040.13 45.050.14 45.060.15 47.570.16 49.080.17 53.090.18 50.0100.20 55.0110.21 55.0120.23 60.0这里取碳含量为x是普通变量，取合金钢强度为y是随机变量使用R软件对以上数据绘出散点图程序如下：>x=matrix(c(0.1,42,0.11,43,0.12,45,0.13,45,0.14,45,0.15,47.5,0.16,49,0.17,53,0.18,50,0.2,55,0.21, 55,0.23,60),nrow=12,ncol=2,byrow=T,dimnames=list(1:12,c("C","E")))>outputcost=as.data.frame(x)>plot(outputcost$C,outputcost$E)0.100.120.140.160.180.200.224550556outputcost$Co u t p u t c o s t $E很显然这些点基本上（但并不精确地）落在一条直线上。

下面在之前数据录入的基础上做回归分析（程序接前文，下同）> lm.sol = lm(E~C,data = outputcost)>summary(lm.sol)得到以下结果：Call:lm(formula = E ~ C, data = outputcost)Residuals: Min 1Q Median 3Q Max-2.00449 -0.63600 -0.02401 0.71297 2.32451Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 28.083 1.567 17.92 6.27e-09 ***C 132.899 9.606 13.84 7.59e-08 ***---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 1.309 on 10 degrees of freedomMultiple R-squared: 0.9503, Adjusted R-squared: 0.9454 F-statistic: 191.4 on 1 and 10 DF, p-value: 7.585e-08由计算结果分析：常数项=28.083，变量（即碳含量）的系数=132.8990∧β1∧β得到回归方程：=28.083+132.899x∧y 由于回归模型建立使用的是最小二乘法 ,而最小二乘法只是一种单纯的数学方法 ,存在着一定的缺陷 ,即不论变量间有无相关关系或有无显著线性相关关系 ,用最小二乘法都可以找到一条直线去拟合变量间关系。

python一元线性回归
Python一元线性回归是一种非常有用的统计建模工具，它可以帮助研究人员检验两个变量之间的关系，并用一个线性模型来描述它们之间的关系。

它可以用来推断出未来的值，也可以用来检验结果的统计显著性。

一元线性回归的基本模型是一个简单的线性方程，它表示了自变量与因变量之间的关系，即：
Y = α+ βX
其中，Y是因变量，X是自变量，α和β是系数，用于表示X对Y的影响程度。

系数α和β可以通过最小二乘法或其他统计方法估算出来。

估算出系数α和β后，这个线性方程就可以用来表示X与Y之间的关系，可以用来预测Y 的值，也可以用来检验结果的统计显著性。

Python有很多非常强大的统计建模工具，可以用来实现一元线性回归。

它们可以帮助研究人员进行统计建模，并推断出未来的值。

有许多Python统计建模工具可以用来实现一元线性回归，比如NumPy、SciPy、Statsmodels 等。

这些工具可以帮助研究人员实现一元线性回归，检验结果的统计显著性，并预测未来的值。

总的来说，Python一元线性回归是一个强大的统计建模工具，可以用来检验两个变量之间的关系，并利用线性模型来描述它们之间的关系。

它可以用来推断出未来的值，并可以用来检验结果的统计显著性。

它可以帮助研究人员做出更好的决策，以获得更好的结果。