拉冬变换

Radon变换综述研究背景Radon变换是一种投影方法,其基本思想是对某个被积函数在给定的路径上进行积分运算[1]。

当被积函数的积分路径是直线时,则称,,p为线性Radon变换,又称为变换或倾斜叠加,,当被积函数的积分路径不是直线时,则称为非线性Radon变换,或广义Radon变换。

,,q常见的非线性Radon变换有,抛物线Radon变换,又称为变换,,双曲Radon 变换(又称为速度叠加),多项式Radon变换。

这两种类型的Radon 变换实质上是统一的,它们可以用一个统一的公式表述。

Radon变换自建立起相应的理论之日起就为图像重构问题提供了一个统一的数学基础,Fourier投影定理证明Radon 变换和Fourier 变换有明确的对等关系,即凡能用Fourier 变换解决的问题都能用Radon变换解决,这又为Radon变换的快速求解提供了手段。

但是Radon变换本身的特点决定了Radon变换域中场的物理特征更为直观明确,有利于对比分析,易于为人们所接受和使用,所以Radon换在包含更多场的物理特征的地震勘探领域,如波场模拟、速度分析、偏移成像、平面波分解、噪声衰减、数据插值补道拓道、多次波衰减等方面得到广泛的应用。

由于Radon变换算子是非正交的,这也就导致了直接进行Radon正反变换能量的不对等性,于是提出了基于最小范数反演的Radon变换,这在一定程度上减少了拖尾现象,但是最小范数约束将会产生平滑效应,不能保证能量足够集中,所以不能在Radon域获得期望的分辨率。

因此要想获得高分辨率的Radon变换结果,消除平滑效应,必须采用新的方法改进反演约束的方式。

首次提出高分辨率Radon变换方法是在频率空间域,是一种稀疏约束反演算法,得到频率域的稀疏解。

对应于Radon变换在频率域的Toeplitz结构[2],求解方法有,Levinson递推算法、Cholesky分解法、共轭梯度法、预条件共轭梯度法等。

1.合成的地震记录横坐标为偏移距，纵坐标为时间
2.做RADON变换后，纵坐标为时间，横坐标为把抛物线校平所需要的时间，从图中可以看出第一个倾斜抛物线弧度较陡，说明其速度较低，把其较平所需要的时间多，第二个抛物线弧度较缓，把其较平所需要的时间短一些。

两条平的抛物线不需要校正时间，因为他们本身已经是平的了。

这样四条抛物线变换到拉冬域为下图所示。

3 很明显如果平的为有效波，则在拉冬域很容易把有效波和多次波分开下图为估算出的多次波。

4.从最初的图中减去估算出来的多次波则得到一次波。

5.以上分析可能有不对的地方，本人从F-K滤波的方法依葫芦画瓢得出的结论，敬请指正。

以上方法不是很严谨，只用来说明具体算法原理
具体参考地震资料分析伊尔马滋著中的拉冬变换
本图来源于SU。

拉氏变换终值定理
我先给你们讲个小故事吧。

想象一下，你有一个小盒子，这个小盒子就像一个神秘的机器。

你往这个小盒子里放进一些特别的东西，然后小盒子会给你吐出另外一些东西。

这个小盒子就有点像拉氏变换做的事情呢。

那终值定理又是什么呢？就好比你在看一个小虫子爬呀爬。

这个小虫子一开始爬得很慢，然后速度有点变化，但是你想知道这个小虫子最后会停在哪里。

终值定理就像是能告诉你这个小虫子最后停下来的位置的魔法。

比如说，我们有一个小风扇。

小风扇刚打开的时候，它转得慢慢的，然后越转越快。

我们可以用一些数字和规则来表示小风扇转动速度的变化，就像拉氏变换那样。

那终值定理呢，就可以让我们知道这个小风扇最后会以多快的速度一直转下去，是会一直转得超级快，还是会慢慢稳定下来，有一个固定的速度。

再举个例子，你在玩一个弹弹球。

你把弹弹球扔出去，它会跳呀跳。

弹弹球每次跳的高度会慢慢变低，一开始跳得很高，后来越来越低。

我们可以用拉氏变换的东西来表示弹弹球高度的变化。

终值定理就能告诉我们，这个弹弹球最后会停在地上，高度变成零。

就像我们在学校跑步比赛的时候。

每个小朋友开始跑的速度可能不太一样，有的小朋友一开始就冲得特别快，有的小朋友慢慢加速。

如果我们把每个小朋友跑步速度的变化用拉氏变换来表示，那终值定理就可以告诉我们，最后哪个小朋友会先跑到终点，哪个小朋友会在后面。

§6.1 Fourier 变换一、背景介绍1. 周期函数的Fourier 级数展开 一个以T 为周期的函数)(t f T ，如果在]2,2[TT -上满足Dirichlet 条件，那么)(t f T 在]2,2[TT -上可以展成Fourier 级数，即在)(t f T 的连续点处有三角形式表示 ∑∞=++=10)s i n c o s (2)(n n n T t n b t n a a t f ωω （1）其中T πω2=，⎰-=220)(2TT T dt t f T a ，⎰-=22cos )(2T T T n dt t n t f T a ω，⎰-=22sin )(2TT T n dt t n t f T b ω， ,2,1=n注：函数)(t f T 在]2,2[T T -上满足Dirichlet 条件是指)(t f T 在]2,2[TT -上满足：⑴ 连续或只有有限个第一类间断点；⑵只有有限个极值点。

利用Euler 公式θθθsin cos i e i +=把（1）式写成指数形式即把2cos t in t in e e t n ωωω-+=，22sin tin t in t in t in e e i i e e t n ωωωωω----=-=代入（1）式，得∑⎰+∞-∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n t i TT ui T T n n e du e u f T t f ωω22)(1)( （2）式（2）中ωωn n =.2. 非周期函数的Fourier 积分一个非周期的函数)(t f 可以看成是某个以T 为周期的函数)(t f T 当+∞→T 时的极限,即有指数形式表示∑⎰+∞-∞=--∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n t i TT ui T T n n e du e u f T t f ωω22)(1lim )( （3）注意到n ω所对应的点均匀地分布在整个数轴上，两相邻点的距离Tn πω2=∆，从而n ti TT ui Tt i TT u i T T n n n n n e du e u f e du e u f T ωπωωωωω∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰--→∆--∞→22022)(21lim )(1lim记t i TT ui T n T n n e du e u f ωωπω⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Φ⎰--22)(21)(，则)(:)(21)(lim 0n t i ui n T n n n e du e u f ωπωωωωΦ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Φ⎰+∞∞--→∆故式（3）化为⎰∑∞+∞-+∞-∞=→∆Φ=∆Φ=ωωωωωd t f n n n T n )()(lim)(0其中t i ui e du e u f ωωπω⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Φ⎰+∞∞--)(21)(.Fourier 积分定理：若函数)(t f 在),(∞+-∞上满足下列条件：⑴)(t f 在任一有限区间上满足Dirichlet 条件；⑵)(t f 在),(∞+-∞上绝对可积（即∞<⎰+∞∞-dt t f |)(|），则在)(t f 的连续点处有⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωπωωd e du e u f t f t i u i )(21)( Fourier 积分 （4）成立，左端的)(t f 在它的间断点t 处，应以2/)]0()0([-++t f t f 来代替.二、Fourier 变换 由（4）式⎰+∞∞--=du e u f F u i ωω)(:)(，则⎰+∞∞-=ωωπωd e F t f t i )(21)(1. 定义Fourier 变换式： )]([:)()(t f dt e t f F t i F ==⎰+∞∞--ωωFourier 逆变换式： )]([:)(21)(ωωωπωF d e F t f t i 1-F ==⎰+∞∞-称)(ωF 为)(t f 的象函数，)(t f 为)(ωF 的象原函数. 在谱分析中，)(ωF 也称为)(t f 的频谱函数，其模|)(|ωF 称为)(t f 的（振幅）频谱.例1 求指数衰减函数⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(t t e t f t β )0(>β的Fourier 变换及其积分表达式.解：2201)]([)(ωβωβωβωωβ+-=+===⎰+∞--i i dt e e t f F t i t F .⎰⎰+∞∞-+∞∞-+-===ωωβωβπωωπωωωd e i d e F F t f ti ti 2221)(21)]([)(1-F⎰⎰+∞+∞∞-++=++=02222sin cos 1sin cos 21ωωβωωωβπωωβωωωβπd tt d t t .注：⎪⎩⎪⎨⎧<===-++>==++-∞+⎰0,0)(0,2/2/)]0()0([0,)(sin cos 022t t f t f f t e t f d t t t πππππωωβωωωββ. 例2 求矩形单脉冲⎩⎨⎧≥-≤<<-=2/2/,02/2/,)(ττττt t t E t f 或的Fourier 变换.解：2sin2cos 2)(2/02/2/ωτωωωτττωEtdt E dt Ee F t i ===⎰⎰--.特别地，取2,21==τE ，有⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤<<-=11,011,21)(t t t t f 或，ωωsin )]([=t f F .例3 求单位脉冲函数δ (也称Dirac 函数，满足⎩⎨⎧≠=∞=0,00,)(t t t δ且1)(=⎰+∞∞-dt t δ）的Fourier变换.注：⎩⎨⎧≠=∞=0,00,)(t t t δ可看成⎪⎩⎪⎨⎧<=>=0,00,/10,0)(t t t t εδε（满足1)(=⎰+∞∞-dt t εδ）的弱极限. 它具有下面的筛选性质：如果)(t f 无穷次可微，那么)0()()(f dt t t f =⎰+∞∞-δ，)()()(00t f dt t t t f =-⎰+∞∞-δ.解：1|)()]([)(0=====-+∞∞--⎰t t i t i e dt e t t F ωωδδωF .例4 证明单位阶跃函数⎩⎨⎧<>=0,00,1)(t t t u 的Fourier 变换为)(1ωπδω+i . 证明：⎰∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ωωπδωπωπδωωd e i i ti )(121)(11-F ⎰⎰∞+∞-∞+∞-+=ωωπδπωωπωωd e d i e t i t i )(212121sin 1⎰+∞+=ωωωπd t⎪⎩⎪⎨⎧<=+->=+=0,021)2(10,12121t t ππππ注：⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=⎰∞+0,2/0,00,2/sin 0t t t d t ππωωω. 例5 利用逆Fourier 变换验证)(2]1[ωπδ=F ，)(2][00ωωπδω-=ti e F .2. 性质 1）线性性质如果函数)(1t f 和)(2t f 是象原函数，α和β是任意两个常数，则有)]([)]([)]()([2121t f t f t f t f F F F βαβα+=+如果函数)(1ωF 和)(2ωF 是象函数，则)]([)]([)]()([2121ωβωαωβωαF F F F -1-1-1F F F +=+例6 求正弦函数t t f 0sin )(ω=的Fourier 变换. 解：由线性性质及例5]}[][{21][21sin ][sin 000000t i t i ti t i t i t i e e idt e e e i dt te t ωωωωωωωω-+∞∞---+∞∞---=-==⎰⎰F F F )]()([)}(2)(2{210000ωωδωωδπωωπδωωπδ--+=+--=i i类似可证 )]()([][cos 000ωωδωωδπω++-=t F 2）位移性质)]([)]([00t f e t t f t i F F ω±=±，)]([)]([00ωωωωF e F t i -1-1F F ±=事实上，⎰⎰∞+∞--±=∞+∞--=±=±du e u f dt et t f t t f t u i t t u ti )(0000)()()]([ ωωF)]([)(00t f e du e u f et i u i t i F ωωω±+∞∞--±==⎰例7 求单矩形脉冲⎩⎨⎧≥≤<<=ττt t t E t f 或0,00,)(1的Fourier 变换.解：记⎩⎨⎧≥-≤<<-=2/2/,02/2/,)(ττττt t t E t f 或，则)2()(1τ-=t f t f由例2知2sin2)]([ωτωEt f =F ，故2sin2)]([)]2([)]([221ωτωττωτωi i eEt f et f t f --==-=F F .3）微分性质象原函数的微分性质如果函数)(t f 在),(∞+-∞上连续或只有有限个可去间断点，且当+∞→||t 时0)(→t f ，则)]([)]([t f i t f F F ω='.证明：)]([)()(|)()()]([t f i dt e t f i e t f dt e t f t f t i t i t i F F ωωωωω=--='='⎰⎰+∞∞--∞+∞--+∞∞--一般地，若n k t f k ,,2,1),()( =在),(∞+-∞上连续或只有有限个可去间断点，且当+∞→||t 时0)()(→t f k ，1,,1,0-=n k ，则有 )]([)()]([)(t f i t f n n F F ω=.象函数的微分性质若)()]([ωF t f =F ，则)]([)()(t f t i F d d n n nnF -=ωω. 自证.例8 由例4，单位阶跃函数⎩⎨⎧<>=0,00,1)(t t t u 的Fourier 变换为)(1ωπδω+i . 即=)]([t u F )(1ωπδω+i ，由象函数的微分性质得 )]([)()(1t tu i i d d F -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ωπδωω 故)(1)(1)]([2ωδπωωπδωω'+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=i i d d i t tu F . 4）积分性质如果函数当+∞→||t 时0)(→⎰∞-du u f t，则)]([1])([t f i du u f tF F ω=⎰∞-. 事实上，由象原函数的微分性质有下面等式])([])([)]([du u f i du u f dt d t f t t⎰⎰∞-∞-==F F F ω例9 求解方程)()()()(t h du u x ct bx t x a t=++'⎰∞-，其中c b a ,,为常数.解：记)]([)()],([)(t h H t x X F F ==ωω， 在方程两边取Fourier 变换，得到代数方程)()()()(ωωωωωωH X i c bX X ai =++解得 )()()(ωωωωca ib H X -+=再对上式求Fourier 逆变换，即得⎰+∞∞-==ωωπωωd e X X t x t i )(21)]([)(1-F .如常微分方程)()()(t t x t x δ=+'为例9中取)()(,0,1t t h c b a δ====的情形，ωωi X +=11)(，由例1得⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(t t e t x t .5）乘积定理如果)()]([11ωF t f =F ，)()]([22ωF t f =F ，则⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==ωωωπωωωπd F F d F F dt t f t f ________212________121)()(21)()(21)()(此处________1)(ωF 为)(1ωF 的共轭函数. 证明：dt d e F t f dt t f t f t i ⎰⎰⎰+∞∞-∞∞-∞∞-=ωωπω)(21)()()(2121⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞+∞--∞∞-+∞∞-∞∞-===ωωωπωωπωωπωωd F F d dt et f F dtd e t f F ti t i )()(21)()(21)()(212________1____________________1212第二式可类似证明. 6）能量积分若)()]([ωF t f =F ，则⎰⎰∞∞-∞∞-=ωωπd F dt t f 22|)(|21)]([ Parseval 等式其中2|)(|)(ωωF S =称为能量谱密度，它可以决定函数)(t f 的能量分布规律. 把)(ωS 对所有频率积分就得到)(t f 的总能量⎰⎰∞∞-∞∞-=dt t f d S 2)]([)(21ωωπ.例10 求⎰∞+∞-dx x x22sin . 解：由例2 ⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤<<-=11,011,21)(t t t t f 或，)(sin )]([ωωωF t f ==F . πππωωωωω=⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎰⎰⎰⎰⎰-∞∞-∞∞-∞+∞-∞+∞-112222222212)]([2|)(|sin sin dt dt t f d F d dx x x . 7）卷积定理如果函数)(1t f 和)(2t f 满足Fourier 积分定理中的条件，且)()]([11ωF t f =F ，)()]([22ωF t f =F ，则)()()](*)([2121ωωF F t f t f =F ，)(*)()]()([2121t f t f F F =ωω-1F其中τττd t f f t f t f )()()()(2121-=*⎰∞∞-是)(1t f 和)(2t f 的卷积.另外，)(*)(21)]()([2121ωωπF F t f t f =F . 自证.例11 求函数t t u t f 0cos )()(ω=的Fourier 变换.解：由于)]()([][cos 000ωωδωωδπω++-=t F (例6)，=)]([t u F )(1ωπδω+i (例4) 注意到)]}([]1[{)(*100ωωδωωωδω±⋅=±F F F 1-i i }]1[{0t i e i ωω±⋅=F F 1- )(1]})(1[{00ωωωω±=±=i i F F 1-)()]}([{)]}([)]([{)(*)(0000ωωδωωδωωδωδωωδωδ±=±=±⋅=±F F F F F -1-1利用)(*)(21)]()([2121ωωπF F t f t f =F 以及卷积满足对加法的分配率且具有线性性质，得到 ][cos *)]([21]cos )([00t t u t t u ωπωF F F =)]()([*)(12100ωωπδωωπδωπδωπ++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=i ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-++=)()()(1)(1210000ωωπδωωπδωωωωi i )]()([20020ωωδωωδπωωω++-+-=i 类似可得 =]sin )([0t t u ωF )]()([20020ωωδωωδπωωω+--+-i i 三、应用 见课件Fourier变换简表§6.2 Laplace 变换一、背景介绍 Fourier 变换的缺陷：⑴ 函数)(t f 必须在整个数轴上有定义，而在物理、无线电等实际应用中许多以时间为自变量的函数往往在0<t 是无意义或不需要考虑；⑵)(t f 需在),(∞+-∞上满足绝对可积的条件，这一条件是比较强的，许多很简单的函数，如单位阶跃函数、正弦、余弦以及线性函数等都不满足这一条件. 由于上述缺陷，Fourier 变换的应用范围受到极大限制.由于单位阶跃函数⎩⎨⎧<>=0,00,1)(t t t u 乘以)(t f 可以使积分区间由),(∞+-∞变成),0(∞+，而用求指数衰减函数t e β-)0(>β乘以)(t f 可以使其变得绝对可积，因而我们想到用t e t u β-)(来乘以)(t f ，只要0>β选择适当，函数t e t u t f β-)()(的Fourier 变换总是存在的，即⎰⎰⎰+∞-+∞+-+∞∞---===0)()()()()()(dt e t g dt e t g dt e e t u t f F st t i t i t ωβωββω其中ωβi s +=，)()()(t u t f t g =.二、Laplace 变换 1. 定义设函数)(t f 是定义于[0，∞]上的实变量函数，如果含参变量s 的无穷积分⎰+∞-0)(dt t f e st ⎰-+∞→=Tst T dt t f e 0)(lim存在，则称函数⎰+∞-=)()(dt t f e s F st 为)(t f 的拉普拉斯变换.并称)(t f 为原函数,)(s F 为象函数.通常用符号L 来表示拉普拉斯变换：当变换L 作用于)(t f 时，便得到)(s F ，即)]([)(t f L s F =.2．存在定理 当函数)(t f 满足下列两条件时，其拉普拉斯变换⎰+∞-=0)()(dt t f e s F st 在半平面c s >Re 上一定存在 .1） 在0≥t 的任一有限区间上分段连续；2） 当+∞→t 时，)(t f 的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数0,0≥>c M ， 使得 0,)(≥<t Me t f ct 成立 .（其中c 为)(t f 的增长指数）3. 反演定理 若)(s F 是)(t f 的拉普拉斯变换，则有⎰∞+∞-=i c i c st ds e s F it f )(21)(π)]([:1s F L -=, )0(>t称之为)(s F 的拉普拉斯逆变换. c s >Re .即已知象函数，可以通过拉普拉斯逆变换求出原函数.例1 求函数1)(=t f 的拉普拉斯变换 . 解：⎪⎩⎪⎨⎧≤∞+>=-==∞+-∞+-⎰00,11]1[0s s se sdt e L stst.例2 求函数n t t f =)(的拉普拉斯变换 （n 是正整数）. 解：.0,)(01>=Γ⎰+∞--αααdt t e t.)21(,1)1(),()1(πααα=Γ=ΓΓ=+Γ!)1(0n dt t e n n t ==+Γ⎰+∞-.0,!)1(11)()(1][111010>=+Γ====++∞+-+>=+∞-++∞-⎰⎰⎰s s n n s du u e sst d st e sdt t e t L n n n u n s st u n st n n st n例3 求函数ate tf =)(的拉普拉斯变换 . 解： ⎰⎰+∞--+∞-==0)(0][dt e dt e e e L t a s atst at+∞----=0)(1t a s e as ⎪⎩⎪⎨⎧≤∞+>-=as a s a s ,1 . 4. 性质 1) 线性性质如果函数)(t f 和)(t g 是原函数，α和β是任意两个常数，则有)]([)]([)]()([t g L t f L t g t f L βαβα+=+;例4 求函数 t t ωωsin ,cos 的拉普拉斯变换 . 解： ]sin [cos ][sin ][cos t i t L t iL t L ωωωω+=+⎰⎰+∞--+∞-===0)(0][dt e dt e e e L t i s ti st ti ωωω+∞----=0)(1t i s e i s ωω⎪⎩⎪⎨⎧≤>++=-=00,122s s s i s i s 无定义ωωω .0,][sin ,][cos 2222>+=+=∴s s t L s s t L ωωωωω. 2) 原函数的微分性质如果函数)(t f 及其直到n 阶导数)()(t f n 都是原函数，则有 )0()]([)]([f t f sL t f L -=')0()0()]([)0()]([)]([2f sf t f L s f t f sL t f L '--='-'='' )0()0()0()]([)]([)1(21)(-----'--=n n n n n f f s f s t f L s t f L⎰⎰+∞-+∞-='='0)()()]([t df e dt t f e t f L st st)0()]([)(|)(00f t f sL dt t f e s t f e st st -=+=⎰+∞-∞+-例如: 若记)]([)(t x L s X =, 且 5.0)0(,0)0(-='=x x , 则有][2][3][]23[x L x L x L x x x L +'-''=+'-'')]([2)}0()]([{3)}0()0()]([{2t x L x t x sL x sx t x L s +--'--= )0()0()3()]([)23(2x x s t x L s s '---+-= 5.0)()23(2++-=s X s s3) 象函数的微分性质若)]([)()(0t f L dt t f e s F st ==⎰+∞-，则)]([)()(0t tf L dt t f te s F dsdst -=-=⎰+∞-)]([)1()()1()(0t f t L dt t f e t s F dsd nn st n n n n -=-=⎰∞+-例5 求函数atn e t t f =)(的拉普拉斯变换 （n 是正整数）.解： )()1()]([s F ds d t f t L nn nn-= ，.,1][a s a s e L at>-=.,)(!)1()1(][1a s a s n a s ds d e t L n n n natn >-=--=+ 例6 求函数 t t t t ωωsin ,cos 的拉普拉斯变换 . 解：0,][sin ,][cos 2222>+=+=s s t L s s t L ωωωωω .0,)(2)(]s i n [;0,)()(]c o s [222222222222>+=+-=>+-=+-=s s ss ds d t t L s s s s s ds d t t L ωωωωωωωωω4) 位移性质)()()]([0a s F dt t f e e t f e L at st at-==⎰+∞-.例7 求函数 t e t e at at ωωsin ,cos 的拉普拉斯变换 . 解：;,)(]cos [22a s a s as t e L at>+--=ωω .,)(]sin [22a s a s t e L at >+-=ωωω5) 卷积性质如果函数)(t f 和)(t g 都是原函数，则有)]([)]([)])([(t g L t f L t g f L ⋅=*其中τττd t g f t g f t)()())((0-=*⎰是)(t f 和)(t g 的卷积.三、 应用先通过拉普拉斯变换把已知微分方程化成代数方程，求出代数方程的解，再通过拉普拉斯逆变换（查表），得到所求初值问题的解. 例8求方程 te x x x 3223=+'-''；0)0()0(='=x x 的解.解：记)]([)(t x L s X =，注意到 .,1][a s as e L at>-= 方程两端取拉普拉斯变换得32)()23(2-=+-s s X s s )23)(3(2)(2+--=s s s s X 332211-+---=s s s由于 at e as L =--]1[1, 故所求解为 t t t e e e x 322+-=. 例9求方程 t t x x 2cos 5sin 4+=-''；2)0(,1)0(-='-=x x 的解.解：记)]([)(t x L s X =，方程两端取拉普拉斯变换得4514)(]2)([222+++=-++s ss s X s s X s ]245)1(4[11)(222--+++-=s s ss s s X 41222+-+-=s s s 由于 t s s L t s L 2cos ]4[,sin ]11[2121=+=+--, 故所求解为 t t x 2cos sin 2--=.例10 求方程 te t x x x 22=+'-''；0)0()0(='=x x 的解.解：注意到 .,)(!][1a s a s n e t L n atn >-=+ 方程两端取拉普拉斯变换得32)1(2)()12(-=+-s s X s s ， 解得 5)1(2)(-=s s X ，由于 at e t a s L !4])(1[451=--, 故所求解为 te t x 124=. 例11 求方程133=+'+''+'''x x x x ；0)0()0()0(=''='=x x x 的解. 解：方程两端取拉普拉斯变换得ss X s s s 1)()133(23=+++由此得 3)1(1)(+=s s s X . 故有)]([)(1s X L t x -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+*⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--311)1(11s L s L 212t e t -*=⎰-=t d e 022τττt e t t -++-=)22(2112 这就是所求的解.Laplace变换简表参考文献：积分变换（第三版）, 南京工学院数学教研组, 高等教育出版社. 1981.。

02第二章拉氏变换的数学方法拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号与系统、控制理论、电路分析、通信工程等领域。

本文将介绍拉氏变换的数学方法，包括拉氏变换的定义、性质和常见的拉氏变换对列表。

一、拉氏变换的定义拉氏变换是一种将时间域函数转换为频率域函数的数学工具。

对于一个连续时间函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] f(t)e^(-st)dt其中s是复变量，通常为一个复平面上的点。

拉氏变换可以将一个函数从时间域表示转换为频率域表示，提供了一种更便于分析和处理的数学工具。

二、拉氏变换的性质拉氏变换具有一些重要的性质，如线性性质、平移性质、尺度性质等。

下面简要介绍几个常用的性质：1.线性性质：如果f(t)和g(t)的拉氏变换分别为F(s)和G(s)，那么对于任意常数a和b，有a*f(t)+b*g(t)的拉氏变换为a*F(s)+b*G(s)。

2. 平移性质：如果f(t)的拉氏变换为F(s)，那么e^(-at)f(t)的拉氏变换为F(s+a)。

3. 尺度性质：如果f(t)的拉氏变换为F(s)，那么f(at)的拉氏变换为(1/a)F(s/a)。

这些性质使得我们能够利用拉氏变换进行函数的变换和计算，简化了分析过程。

三、常见的拉氏变换对列表拉氏变换对列表是一些常见的函数及其在拉氏变换下的变换对。

常见的拉氏变换对列表如下：1.常数函数：L{1}=1/s2.单位阶跃函数：L{u(t)}=1/s3.单位冲激函数：L{δ(t)}=14. 指数函数：L{e^(at)} = 1/(s-a)，其中a为实数5. 正弦函数：L{sin(ωt)} = ω/(s^2 + ω^2)6. 余弦函数：L{cos(ωt)} = s/(s^2 + ω^2)7. 方波函数：L{rect(t/T)} = (T/s) * sin(Ts/2)8. 指数衰减函数：L{e^(-at)u(t)} = 1/(s+a)，其中a为正数这些变换对可以通过拉氏变换的定义进行推导得到，可以用于解决各种信号与系统的分析和计算问题。

Radon变换:又称为Hough Transform(数字图像处理课程里学过——数字图像处理课件3-P37)考虑b=ax+y，将原来的XY平面内的点映射到AB平面上。

则原来在XY平面上的一条直线的所有的点，在AB平面上都位于同一个点。

通过记录下AB平面上的点的积累厚度，可反知XY面上的一条线的存在。

在新平面下得到相应的点积累的峰值，可得出原平面的显著的线集。

例如：XY平面上的一个直线y=2x-3;变换-3=-2x+y;其中：a=-2,b=-3若有两个点在XY平面:（0，-3），（2，1），此两点都过直线，则可知有AB平面上，此两点在(-2,-3)AB平面上。

一种更好的表示方法是用ρ和θ来代替ab。

即：xcosθ+ysinθ=ρ以图像的中心为极坐标原点，直线X`即为新的投影坐标，θ为角度。

我们所要求的原坐标上的一条直线，是一条垂直于上图X`的一条直线，而非X`本身。

如下例：function radontestI=zeros(200,200);%I(100:170,100:170)=1;A=eye(100,100);I(101:200,1:100)=A;figure,imshow(I);title('orginal image');orginal imagetheta=0:180;[R,xp]=radon(I,theta);%R是点的数量多少%xp是R对应的坐标位置,即为X`，另一解释为直线跟原点间距离%0-180代表0到180度%此变换是以图像的中心点为原点的变换figure,imagesc(theta,xp,R);title('R_theta X');xlabel('theta(degree)');ylabel('X\prime');colormap(hot);colorbar;即所求 =45度，X`=-75左右。

意思是在原XY坐标下的45度的直线X`上，距离原点75的位置有条与X`垂直的直线。