拉冬变换数学基础

模型测试与分析
5．4 F-X域拉当变换在去噪处理中的可行性测试
给上一节地震数据加入信噪比为4分贝（这里：信噪比=20log2S/N） 的白噪声，则我们可以得到信噪比为4分贝白噪声的t-x域信号如图十 所示，它的频谱如图十一所示。
图十 信噪比为4分贝的地震 信号
图十一 被白噪声污染的地震 信号的频谱
图十四 去噪后F-X域信号频谱
图十五 去噪后t-x域的信号
模型测试与分析
为了更加明确的看到通过F-X域Radon变换去噪的质量，我们取加 噪前第5道数据与F-X域Radon变换后t-x域中的第5道数据进行比 较，结果如图十七所示。
图十七 去噪前后信号的比较
模型测试与分析
从图十五与图十一的比较中，可以看到将高频段的噪声频率去除的 很干净，从图十五中可以看到去噪后的t-x域信号与没有加噪时的几 乎一样。这里我们再分析一下没有加噪的t-x域信号与加噪后通过 Radon变换滤波后t-x域信号幅度的相对误差，如图十八所示。
(,t x)d

2.3
Radon变换原理
在计算机实现中，由于在时间域和空间域的离散采样， 不能应用连续函数方程，因此用离散的累加来代替连续域 的积分运算；为了消除离散采样的有限孔径的影响，利用 最小平方法计算离τ -ρ 变换。二维离散时间、空间域的 拉当正反变换对：
（，） d (x,t x)
Radon变换原理
2.1 拉当变换的数学原理
自1917年Radon先生提出这个变换以后,拉当变换在医学、 物理学、天文学等许多领域都已得到了广泛的应用。 设函数y=g(x)连续可导,而且其反函数是单值的，d(x,t) 满足可积,则定义：
U( , ) R[d(x,t)] d[x, g(x)]dx (2.1)
Radon变换原理

若 x 是二维位置矢量，那么函数 f (x) 的Radon变换定义
为:
fˆ ( p,)

L
f
(x)ds
式中直线 所对应的方程表达式为:
p x cos y sin r cos( )
其中 x (x, y) (r,) 分别为直角坐标和极坐标的表达。
为拉当正变换的连续公式,
d ( x, t )


1
2
|
g '(x) |
t
H U (t

g(x), )d
为拉当反变换的连续公式。
(2.2)
Radon变换原理
其中是d(x,t)拉当反变换的结果，H


1 t
，H

称为Hilbert
算符。根据g(x)的不同,可以把Radon变换分为线性拉东变

x
2.4
d '(x,t) （， =t-x）
Radon变换原理
2.2 F_X域拉当变换的数学原理
由于在t-x域中直接运算时间是非常大的，为了降低运算 时间，可以将t-x域中求逆转换到F-X域中。 在F-X域拉当变换对为：
( ,) d ( x,)ei x

Radon变换原理
直射线投影中的几何分布与变量。直角坐标 (x, y) 和极坐标 (r, ) 定义了模型中的位置矢量 x
投影角 决定了 ( p,) 坐标系。投影S 试验是在S 坐标的方向上沿着线L
对模型做积分，它给出了 ( p,) 坐标系中的投影数据。
CT技术---扇形束投影示意图
拉东（Radon）变换
Radon变换是数学上的一种变换。
本章先介绍拉东（Radon）变换（RT）及其反变 换（IRT）;
介绍以Radon变换为理论基础的CT（Computer Tomography）技术，以及它们在地球物理勘探中 的一些应用。
Radon变换原理
一个二维函数的Radon变换（RT）是由沿多条直线的积分 所组成的，这个运算同医学、结晶学、地球物理学等诸多领 域中的大量物理实验相对应，一般将它们称之为投影试验。
设 fmax 是原始数据中的最高有效频率，xmax 和 xmin分别是
最大炮检距和最小炮检距。
Radon变换原理
F-X域拉当变换中斜率参数ρ 采样率应该满足的条件 为：
2 B f 2 (xmax xmin )
2.12
1 f (xmax xmin )
Radon变换原理
x

d
'(
x,
)

( , )ei x


（2.5）
即我们把原来的t-x域数据通过拉当变换转化到τ-ρ域去噪 的方法，改为把F-X域地震数据通过拉当变换转化到f-ρ域 去噪。
Radon变换原理
2.3 参数的确定
参数包含斜率参数ρ和斜率参数的采样间隔Δρ。 1、采样间隔Δρ的选择
在一些地震学的问题中也会涉及到RT或它在曲线积分上的 推广，这里我们将讨论层析成像在地震学中的各种应用。从 层析的意义看，沿着射线路径传播的信号（至少在高频极限 上可以这样近似地讲）累加起来构成了模型的某些性质—— 如慢度或慢度异常、衰减等等，当多道射线路径从许多方向 上穿经了该模型时，就可以提供出足以重建出该模型的信息。
2
1 x
f max
（2.14）
式中Δx为空间方向的采样率。
模型测试与分析
5.1 F-X域拉当变换去除噪声的原理
在同一地层由于各种介质的物理性质相近，那么在不同 的地震道，同一地层有效波的能量在相同频段呈现线性关系， 经过线性叠加会增强，而由于噪声是随机的、不存在线性关 系，那么经过线性叠加能量会相对减弱，因此，我们就利用 此种特性，在F-X域通过Radon变换增强有效波的能量，消 弱噪声能量。这里我们去除噪声的方法很简单，由于经过拉 当变换之后，有效波能量增强，噪声能量会减弱，那么我们 就设定一个阈值，在ρ-ω域中将能量大于这个阈值的保留， 而能量小于这个阈值的数据置零。这样我们就可以得到通过 Radon逆变换得到去除噪声后的有效波。
图四 原始信号图
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对此地震资料进行傅立叶变换我们可以得到此地震数据 的频谱如图五所示。
图Байду номын сангаас 原始信号频谱图
在图五中我们可以看到此地震数据是一个频率10赫兹到 30赫兹之间的信号。
模型测试与分析
对这个地震数据进行F-X域Radon变换，变换后的信号在f-ρ 域如图 六所示。
图六 原始信号F-X域Radon变换
（a）t-x域一条直线
（b）由t-x域映射到τ -ρ 域中的一个点
图1 t-x域一条直线与τ -ρ 域中一个点的关系
Radon变换原理
在二维连续空间-时间域的Radon正反变换对：


(, ) d(x,t x)dx



d
(x,
t
)


1
2
dH dt

换和非线性拉当变换：①如果g(x)=x，则我们定义的拉当
变换就是线性Radon变换，既τ -ρ 变换，该变换把t-x域
中的一条直线映射成τ -ρ 域中的一个点；②如果g(x)是
其它的x非2 线性函数，则我们定义的拉当变换就是非线性 Radon变换,或称为广义Radon变换。
Radon变换原理
拉当变换有明显的物理意义，它是将时间、空间域t-x的 一条直线t=τ +ρ x映射到τ -ρ 域上的一个点，如图1所示。
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5.2 F-X域拉当变换去除噪声的流程
图二 在f-ρ域滤波流程图
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5.3 测试F-X域拉当正反变换
我们用某进行处理后无噪声的地震资料进行测试F-X域 Radon正变换，此地震资料采样间隔为1毫秒，采样点 为4096个点，有95道数据。在Radon变换前信号如图四 所示。
结束语
但是这种方法也有不足之处，首先阀值设置过大 会损坏有效波，设置过小会使噪声去除的不干净，以 致于使信噪比不能很好的提高，其次实际地震资料处 理中数据比较大，运行一次时间比较长，通过反复的 测试选定阀值比较浪费时间，会使工作效率下降。因 此，在设置阀值方面还有待提高。
模型测试与分析
对含白噪声的信号在F-X域进行Radon变换，得到从F-X域映射到f-ρ 域的f-ρ 图，如图十二所示，在f-ρ 域去除噪声后的f-ρ 图，如图十三所示。
图十二 F-X域Radon变换结果
图十三 在f-ρ域去噪结果
模型测试与分析
将去噪后的信号从f-ρ域返回到F-X域，得到频率、空间F-X 域的频 谱，如图十四所示。再通过反傅立叶变换将F-X域的信号返回到tx域，得到时间、空间t-x域的信号，如图十五所示。
由此我们可以知道F-X域拉当变换中斜率参数ρ 的临界采样 率Δ ρ c为：
c 1/ fmax (xmax xmin ) 2.13
Radon变换原理
2、斜率参数ρ 的扫描范围 为了避免f-ρ 变换过程中产生假频,必须正确选择射 线参数p的范围,射线参数ρ 的扫描范围满足下式：
max

在图六中我们可以看到图中存在一个脉冲，由于在x-t域共炮点道集 是有限的，做Radon变换会引起畸变端点效应，即能够看到端点发 散效应，变换到f-ρ域是一个能量团，这与理论是一致的。
模型测试与分析
我们把f-ρ 域的信号返回到F-X域，信号谱图如图七所示，经过反傅立 叶变换我们将Radon变换后的F-X信号变换到t-x域，信号图如图八所示。
图十八 没加噪信号与加噪滤波后信号的相对误差
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在图十八中，没有加噪的t-x域信号与加噪后通过Radon 变换滤波后t-x域信号幅度的相对误差几乎为零，只有 少数点存在较大的相对误差，因此，我们可以说明这种 F-X域Radon变换是一种很好的去噪方法，值得推广及利 用。