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Radon变换资料讲解

Radon变换资料讲解

二、Radon变换的基本性质
• 1、线性
Raf bg aRf bRg
• 2、相似性
• 若 Raf，bg Rf ( p, cos , sin ) ，则
R f ax,by
1 ab
R
f
(
p,
cos
a
, sin )
b
• 3、对称性
• 若考虑下面的等式（其中 t cos,sin ）为与l垂
直方向上的单位矢量。
y sin y sin
0 0
• 即在线l上的点（x，y）满足 (x ) 1 ，其他 非l上点 (x) 0 的Radon变换可以写为：
R f ( p, ) f (x, y) ( p x cos y sin)dxdy --
由于直线l的方程 p x cos y sin 给出，
Radon变换及其应用
• 主要介绍内容：
• Radon变换的定义 • Radon变换的基本性质 • Radon反变换 • Radon变换的应用
一、Radon变换的定义
• 图像变换：为了有效和快速地对图像进行处理， 常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转 换到另外一些空间，并利用在这些空间特有性质 方便地进行一些加工，最后再转换回图像空间以 得到所需要的效果。
• 其方法为：
• 首先，通过Radon变换将二维图像投影到一维 Radon域，并在 Radon域应用高阶统计量对PSF进 行辨识，不同于以往在二维图像域直接应用高阶 统计量，所以提高了算法的运算速度。将PSF作 为MA过程，使用高阶统 计量方法对模型参数进 行辨识，增加了算法对噪声的鲁棒性并可以不考 虑噪声是否有色。然后，利用估计出来的PSF， 通过Richardson- Lucy(RL)迭代解卷积算法在 Radon域估计出原图像的投影。最后反投影到图 像域来求得原图像。

拉冬变换

拉冬变换

图十四 去噪后F-X域信号频谱
图十五 去噪后t-x域的信号
模型测试与分析
为了更加明确的看到通过F-X域Radon变换去噪的质量，我们取加 噪前第5道数据与F-X域Radon变换后t-x域中的第5道数据进行比 较，结果如图十七所示。
图十七 去噪前后信号的比较
模型测试与分析
从图十五与图十一的比较中，可以看到将高频段的噪声频率去除的 很干净，从图十五中可以看到去噪后的t-x域信号与没有加噪时的几 乎一样。这里我们再分析一下没有加噪的t-x域信号与加噪后通过 Radon变换滤波后t-x域信号幅度的相对误差，如图十八所示。
( , ) d ( x, )ei x x i x d '( x , ) ( , ) e
（2.5）
即我们把原来的t-x域数据通过拉当变换转化到τ-ρ域去噪 的方法，改为把F-X域地震数据通过拉当变换转化到f-ρ域 去噪。
max
1 2 x f max
（2.14）
式中Δx为空间方向的采样率。
模型测试与分析
5.1 F-X域拉当变换去除噪声的原理
在同一地层由于各种介质的物理性质相近，那么在不同 的地震道，同一地层有效波的能量在相同频段呈现线性关系， 经过线性叠加会增强，而由于噪声是随机的、不存在线性关 系，那么经过线性叠加能量会相对减弱，因此，我们就利用 此种特性，在F-X域通过Radon变换增强有效波的能量，消 弱噪声能量。这里我们去除噪声的方法很简单，由于经过拉 当变换之后，有效波能量增强，噪声能量会减弱，那么我们 就设定一个阈值，在ρ-ω域中将能量大于这个阈值的保留， 而能量小于这个阈值的数据置零。这样我们就可以得到通过 Radon逆变换得到去除噪声后的有效波。

拉氏变换的基本性质课件

拉氏变换的基本性质课件
精品
拉氏变换的基本性质
3、时域微分规则 若ℒ[f(t)]=F(s)，则f(t)的导数f(1)(t)的拉氏变 换
精品
拉氏变换的基本性质
4、时域积分规则 若ℒ[f(t)]=F(s)，则f(t)积分的拉氏变换
精品
拉氏变换的Leabharlann 本性质5、时间平移（时移）性质 若ℒ[f(t)]=F(s)，则有
精品
拉氏变换的基本性质
拉氏变换的基本性质
拉氏变换的基本性质
1、唯一性 在区间[0，]中定义的原函数f(t)与对应的象 函数F(s)是一一对应的。根据f(t)可以唯一地 确定其象函数F(s)；反之，根据F(s)可以唯一 地确定其原函数f(t)。
精品
拉氏变换的基本性质
2、线性性 若时间函数f1(t)及f2(t)的拉氏变换分别为 F1(s)及F2(s)，c1及c2为任意常数（实数或 复数），则有
6、复频域平移（频移）性质 若ℒ[f(t)]=F(s)，则有
精品
拉氏变换的基本性质
7、初值定理 若ℒ[f(t)]=F(s)，且存在，则
精品
拉氏变换的基本性质
8、终值定理 若ℒ[f(t)] = F(s)，且存在，则
lim f (t) f () lim sF(s)
t
s0
精品

积分变换第二章拉氏变换

积分变换第二章拉氏变换
第二章 Laplace 变换
第一节 Laplace变换概念 第二节 Laplace变换性质 第三节 Laplace逆变换
第一节 Laplace变换的概念

引入
傅里叶变换的前提 绝对可积 在整个数轴上面有意义 工程上用到的函数的特点 非绝对可积 t<0，无意义
第一节 Laplace变换的概念

引入
为了克服傅里叶变换的缺点
考虑两个函数u (t )和e t
对于任意函数(t )
(t ) u (t ) 积分区间(-,+)
(t ) e
t
衰减函数使(t )绝对可积
第一节 Laplace变换的概念

引入
函数(t )先乘以u (t )e ，再取Fourier变换
t


f (t )e dt f (t )e dt
st st 0
0
£+[f(t)]
这样，我们定义拉氏变换时，严格上应为：
F (s) - f (t )e dt （Re(s) 0）
- st 0 ¥
例4 求单位脉冲函数的拉氏变换
f( t)
1
p77
t
第二节 Laplace变换的性质
类似地，可得象函数的积分性质：
£[
f (t )] F (s)ds s t
f (t ) ds F ( s )ds 一般地，£ n s s t n
性质4（位移性质） ： 若，F (s) = £ [f (t)],则，
£ [ eat f (t ) ] = F(s-a) ( Re(s-a)>c)

Laplace变换的性质
性质1（线性性质）：设， F1(s)= £ [f1(t)] 和 F2(s) = £[f2(t)]

拉冬变换

拉冬变换

1.合成的地震记录横坐标为偏移距，纵坐标为时间
2.做RADON变换后，纵坐标为时间，横坐标为把抛物线校平所需要的时间，从图中可以看出第一个倾斜抛物线弧度较陡，说明其速度较低，把其较平所需要的时间多，第二个抛物线弧度较缓，把其较平所需要的时间短一些。

两条平的抛物线不需要校正时间，因为他们本身已经是平的了。

这样四条抛物线变换到拉冬域为下图所示。

3 很明显如果平的为有效波，则在拉冬域很容易把有效波和多次波分开下图为估算出的多次波。

4.从最初的图中减去估算出来的多次波则得到一次波。

5.以上分析可能有不对的地方，本人从F-K滤波的方法依葫芦画瓢得出的结论，敬请指正。

以上方法不是很严谨，只用来说明具体算法原理
具体参考地震资料分析伊尔马滋著中的拉冬变换
本图来源于SU。

拉冬变换数学基础

拉冬变换数学基础
H 1
Radon变换原理
拉当变换有明显的物理意义，它是将时间、空间域t-x的 一条直线t=τ +ρ x映射到τ -ρ 域上的一个点，如图1所示。
（a）t-x域一条直线
（b）由t-x域映射到τ -ρ 域中的一个点
图1 t-x域一条直线与τ -ρ 域中一个点的关系
Radon变换原理
在二维连续空间-时间域的Radon正反变换对：
Radon变换原理
2.1 拉当变换的数学原理
自1917年Radon先生提出这个变换以后,拉当变换在医学、 物理学、天文学等许多领域都已得到了广泛的应用。 设函数y=g(x)连续可导,而且其反函数是单值的，d(x,t) 满足可积,则定义：
U ( , ) R[ d ( x , t )] d [ x , g ( x )]dx
在一些地震学的问题中也会涉及到RT或它在曲线积分上的 推广，这里我们将讨论层析成像在地震学中的各种应用。从 层析的意义看，沿着射线路径传播的信号（至少在高频极限 上可以这样近似地讲）累加起来构成了模型的某些性质—— 如慢度或慢度异常、衰减等等，当多道射线路径从许多方向 上穿经了该模型时，就可以提供出足以重建出该模型的信息。
模型测试与分析
5.2 F-X域拉当变换去除噪声的流程
图二 在f-ρ域滤波流程图
模型测试与分析
5.3 测试F-X域拉当正反变换
我们用某进行处理后无噪声的地震资料进行测试F-X域 Radon正变换，此地震资料采样间隔为1毫秒，采样点 为4096个点，有95道数据。在Radon变换前信号如图四 所示。
模型测试与分析
5．4 F-X域拉当变换在去噪处理中的可行性测试
给上一节地震数据加入信噪比为4分贝（这里：信噪比=20log2S/N） 的白噪声，则我们可以得到信噪比为4分贝白噪声的t-x域信号如图十 所示，它的频谱如图十一所示。

拉冬变换数学基础


模型测试与分析
5．4 F-X域拉当变换在去噪处理中的可行性测试
给上一节地震数据加入信噪比为4分贝（这里：信噪比=20log2S/N） 的白噪声，则我们可以得到信噪比为4分贝白噪声的t-x域信号如图十 所示，它的频谱如图十一所示。
图十 信噪比为4分贝的地震 信号
图十一 被白噪声污染的地震 信号的频谱
图十四 去噪后F-X域信号频谱
图十五 去噪后t-x域的信号
模型测试与分析
为了更加明确的看到通过F-X域Radon变换去噪的质量，我们取加 噪前第5道数据与F-X域Radon变换后t-x域中的第5道数据进行比 较，结果如图十七所示。
图十七 去噪前后信号的比较
模型测试与分析
从图十五与图十一的比较中，可以看到将高频段的噪声频率去除的 很干净，从图十五中可以看到去噪后的t-x域信号与没有加噪时的几 乎一样。这里我们再分析一下没有加噪的t-x域信号与加噪后通过 Radon变换滤波后t-x域信号幅度的相对误差，如图十八所示。
(,t x)d

2.3
Radon变换原理
在计算机实现中，由于在时间域和空间域的离散采样， 不能应用连续函数方程，因此用离散的累加来代替连续域 的积分运算；为了消除离散采样的有限孔径的影响，利用 最小平方法计算离τ -ρ 变换。二维离散时间、空间域的 拉当正反变换对：
（，） d (x,t x)
Radon变换原理
2.1 拉当变换的数学原理
自1917年Radon先生提出这个变换以后,拉当变换在医学、 物理学、天文学等许多领域都已得到了广泛的应用。 设函数y=g(x)连续可导,而且其反函数是单值的，d(x,t) 满足可积,则定义：
U( , ) R[d(x,t)] d[x, g(x)]dx (2.1)

(整理)拉氏变换讲稿

第2+章 拉普拉斯变换的数学方法拉普拉斯变换简称拉氏变换，是分析研究线性动态系统的有力数学工具。

通过拉氏变换将时域的微分方程变换为复数域的代数方程，这不仅运算方便，使系统的分析大为简化，而且在经典控制论范畴，直接在频域中研究系统的动态特性，对系统进行分析、综合和校正，具有很广泛的实际意义。

2-1 复数和复变函数1.复数的概念复数，ωσj s +=其中σ、ω均为实数，分别称为S 的实部和虚部，记做Re()s σ=，)Im(s =ωj =虚部分别相等，一个复数为零，它的实部和虚部均必须为零。

2.复数的表示方法：表达复数的直角坐标系平面称为复平面或S 平面。

（1）点表示法（2）向量表示法复数S 用从原点指向点（ωσ,）的向量来表示。

向量的长度称为复数S 的模或绝对值。

22ωσ+==r s向量与σ轴（横轴）的夹角θ称为复数的幅角，即σωθarctan =。

（3）三角表示法：由上图可看出：cos r σθ=⋅，θωsin ⋅=r 因此复数的三角表示法为：(cos sin )s r j θθ=+（4）指数表示法：利用欧拉公式：cos sin j e j θθθ=+，复数S 也可用指数表示为：j s r e θ=⋅3.复变函数、极点与零点的概念以复数ωσj s +=为自变量，按某一确定法则构成的函数G(s)称为复变函数，G(s)可写成：()G s u jv =+，在线性控制系统中，通常遇到的复变函数G(s)是S 的一个给定值，G(s)就唯一被确定。

若有复变函数 1212()()()()()()()m n k s z s z s z G s s s p s p s p ---=---当12,m s z z z =时，()0G s =,称12,z z ，·，m Z 为G(s)的零点； 当120,,n s p p p =时，()G s =∞，称120,,p p ，·，m P 为G(s)的极点。

2-2 拉氏变换与拉氏反变换的定义一、拉氏变换设有时间函数()f t ，0t ≥，则()f t 的拉氏变换记做[]()L f t 或()F s ，并定义为：[]0()()()st L f t F s f t e dt ∞-==⋅⎰ 式（2—1） 式中s 为复数，称()f t 为原函数，()F s 为象函数。

(完整版)拉氏变换常用公式

这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。
（F-1）
式中， 是特征方程A(s)＝0的根。 为待定常数，称为F(s)在 处的留数，可按下式计算：
（F-2）
或
（F-3）
式中， 为 对 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
＝ (F-4)
2 有重根
设 有r重根 ，F(s)可写为
附录A拉普拉斯变换及反变换
表A-1拉氏变换的基本性质
1
线性定理
齐次性
叠加性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
微分定理
一般形式
初始条件为0时
3
积分定理
一般形式
初始条件为0时
4
延迟定理（或称 域平移定理）
5
衰减定理（或称 域平移定理）
6
终值定理
7
初值定理
8
卷积定理
表A-2常用函数的拉氏变换和z变换表
序号
拉氏变换E(s)
时间函数e(t)
=
式中， 为F(s)的r重根， ，…, 为F(s)的n-r个单根；
其中， ，…, 仍按式(F-2)或(F-3)计算， ， ，…, 则按下式计算：
(F-5)
原函数 为
（F-6）
Z变换E(z)
1
1
δ(t)
1
2
3
4
t
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设 是 的有理真分式
（ ）
式中系数 ， 都是实常数； 是正整数。按代数定理可将 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。

拉式变换课件

F s L f t f t estdt
0
式中，s为复数变量；f t 为原函数；F s为象函数。
Page 4
拉氏变换的定义式：
记做
f (t) LT F (s) f (t)est dt 0
L [ f (t) ]= F (s) 或 f (t) LT F (s)
df (t) dt


est
f (t)
0


0
(s)e
st
f (t)dt
sF (s)
f (0 )
得证。
?
Page 23
uv'dx uv vu'dx
3.1.2 拉氏变换的性质
当 f(0)=f ’(0)=…f（n-1）(0)=0，则有：
L
2 s j0 s j0 s2 02
Page 20
பைடு நூலகம்
sin 0t

1 2j
(e j0t

e
) j0t
例：
L[sin 0t ]

1 2j
L[e
] j0t

1 2j
L[e
] j0t

1 2j
( s
1
j0

s
1
j0
)

0 s2 02
Page 21
3.1.2 拉氏变换的性质
(二)、 时域微分(differentiation)的拉氏变换
若L[ f (t)] F(s)
L

df (t dt
)


sF (s)
f
(0)
证明
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