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ＺＨＯＮＧＸＩＡＯＸＵＥＤＩＡＮＪＩＡＯ２００６－１１摆线被称为“几何学中的海伦”，在物理中称为“最速降线”。
摆线是一类重要的曲线，齿轮的齿的纵断面、偏心轮、偏凸轮以及许多机器零件的轮廓线都是摆线，摆线的实用价值与椭圆、抛物线等曲线相比毫不逊色。
因此，作为一类重要的曲线，摆线走进了《坐标系与参数方程》（《普通高中数学课程标准（实验）》系列４）。
对此，《课标》明确要求：“借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹（平摆线），了解平摆线的生成过程并能推导出它们的参数方程。
通过阅读材料，了解其它摆线（变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线）的生成过程，了解摆线在实际中应用的实例，了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用。
”所谓摆线，是动圆在基线上滚动时动圆上一点所形成的轨迹，由于采用不同类型的曲线作为基线，产生了摆线族的大家庭，具体分类如图１所示。
本文以几何画板４．０６为软件平台，谈谈如何构造摆线。
图１一、平摆线的制作１．构造思路平摆线是动圆在直线上作无滑滚动时动圆上点的轨迹。
所谓无滑滚动即在圆的滚动过程中要保证Ｐ!Ｑ弧长等于相应线段ＣＰ长（如图２所示）。
在具体实现过程中可将动圆与直线的交点Ｐ旋转一定角度得到点Ｑ，旋转角度可由公式－ＣＰｒ得到，其中角度制为弧度制，公式中的负号主要是顺时针旋转的缘故。
图２２．实现步骤第一步，在“参数选择”中设置角度参数为弧度。
第二步，构造线段ＡＢ、ＣＤ，构造线段ＣＤ上一点Ｐ。
第三步，“度量”ＡＢ间的距离，将其度量值标记为距离，将Ｐ点按标记距离“平移”（角度为０），得到点Ｏ；以Ｏ为圆心、Ｐ为圆上一点“构造”圆。
第四步，“度量”ＣＰ间的距离，“计算”－ＣＰＡＢ．１弧度，将计算的结果标记为角度；以Ｏ为中心，将点Ｐ按标记角度“旋转”得点Ｑ。
第五步，先后选中点Ｑ、Ｐ，“构造”轨迹，即为平摆线（图３中粗线所示）。
图３３．拓展应用由图可知，平摆线是由呈周期性排列的拱组成的，拖动点Ｄ可得到不同拱数的平摆线。
摆线运动规律摆线运动是一种经典的力学运动，它是指在重力作用下，一定质量的物体沿着一条摆线轨迹运动的过程。
摆线运动在工程、物理、数学等领域都有着广泛的应用，因此研究摆线运动的规律具有重要的意义。
本文将从数学和物理两个方面来介绍摆线运动的规律。
一、数学方面1. 摆线轨迹的方程摆线运动的轨迹是一条摆线，它的形状可以用数学公式来描述。
在平面直角坐标系中，假设摆线的长度为2a，圆心在坐标轴上，则摆线的方程为：x=a(θ-sinθ)，y=a(1-cosθ)其中，θ是摆线的张角，x和y分别是摆线上任意一点的横坐标和纵坐标。
这个方程描述了摆线的形状和位置，可以用来计算摆线上各个点的坐标。
2. 摆线的参数方程除了上述的笛卡尔方程，摆线还有一种常用的参数方程，即：x=a(θ-sinθ)，y=a(1-cosθ)其中，t是时间，a是摆线的长度，g是重力加速度，θ是摆线的张角。
3. 摆线的长度摆线的长度是一个重要的物理量，它决定了摆线的运动轨迹和速度。
摆线的长度可以用勾股定理来计算：L=2a(1-cosθ)其中，a是摆线的长度，θ是摆线的张角，L是摆线的长度。
二、物理方面1. 摆线的运动规律摆线运动是受到重力作用的运动，因此它遵循牛顿的运动定律。
在摆线运动中，物体的运动受到重力和张力的作用，其运动规律可以用牛顿第二定律来描述：F=ma其中，F是受力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
在摆线运动中，物体的加速度可以用以下公式来计算：a=g(sinθ-μcosθ)其中，g是重力加速度，θ是摆线的张角，μ是摩擦系数。
2. 摆线的周期摆线的周期是指物体沿着摆线轨迹完成一次来回运动所需的时间。
摆线的周期可以用以下公式来计算：T=4a√(π/g)其中，a是摆线的长度，g是重力加速度，π是圆周率。
3. 摆线的能量摆线运动中，物体的动能和势能不断转化，它们的和是摆线的总能量。
在摆线运动中，物体的重力势能可以用以下公式来计算：U=mgh其中，m是物体的质量，g是重力加速度，h是物体的高度。
摆线轨道方程一、引言摆线，又称旋轮线或圆滚线，是一种特殊的平面曲线。
当一个圆在一条定直线上滚动时，圆周上一个定点的轨迹称为摆线。
摆线因其独特的几何特性和在实际应用中的广泛存在，成为了数学、物理和工程学等多个领域的研究对象。
本文将详细探讨摆线的定义、性质、轨道方程及其推导过程，并通过实例分析摆线在现实生活中的应用。
二、摆线的定义与性质摆线是一种由圆的滚动产生的曲线。
具体来说，当一个圆在一条定直线上无滑动地滚动时，圆周上一个固定点所描绘出的轨迹即为摆线。
摆线具有许多独特的性质，如等时性、等距性等。
这些性质使得摆线在计时器、钟表和某些机械装置的设计中具有重要应用价值。
三、摆线轨道方程及其推导为了描述摆线的形状和特性，我们需要推导出其轨道方程。
设圆的半径为r，定直线为x轴，圆心初始位置在原点。
当圆滚动θ角度时，圆周上的定点P的坐标可以用参数方程表示为：x = r(θ - sinθ)y = r(1 - cosθ)这两个方程分别表示了P点在x轴和y轴上的投影。
通过这两个方程，我们可以描绘出摆线的完整形状。
推导过程如下：当圆滚动θ角度时，圆心从原点移动到(rθ, 0)位置。
此时，定点P相对于圆心的位置为(r sinθ, -r cosθ)。
将圆心坐标和P点相对于圆心的坐标相加，得到P点在绝对坐标系中的坐标：x = rθ - r sinθ, y = -r cosθ + r。
为了方便分析，我们通常将y坐标的表达式改写为y = r(1 - cosθ)。
这样，我们就得到了摆线的参数方程。
通过改变参数θ的值，我们可以描绘出摆线的不同部分。
四、摆线的应用实例摆线在现实生活中有着广泛的应用。
以下是一些典型实例：钟表设计：摆线的等时性使得它在钟表设计中具有重要地位。
钟表的摆轮通常设计成摆线形状，以保证摆动的周期性稳定，从而提高钟表的精确度。
齿轮传动：在机械传动中，摆线齿轮具有传动平稳、噪音小、承载能力强等优点。
摆线齿轮的齿廓形状为摆线，能够有效降低齿轮传动过程中的冲击和振动。
绘制各种摆线（平、外、内摆线）
数一班曾为云2009120131 靳婷2009120346
一. 平摆线的制作
1.在编辑-参数选择中设置角度参数为弧度
2.构造线段AB,CD，在CD上构造一点P.
3.度量AB的距离，将P点按标记距离平移(角度为π/2)得到点O，以O为圆心P为圆上一点作圆。
旋转得点Q。
5，然后选中点P、Q，构造轨迹，即为平摆线。
6.改变AB可以改变滚圆的半径，拖动点D可以不同拱数的平摆线
动态绘制平摆线
缩放可得短幅摆线（红色）
1.新建参数R，r初始值为3、1.【数据-新建参数】单位为厘米。
再在圆上构造A、B 两点
点P，以P为圆心，B为圆上点构造圆，隐藏不必要的
4.选择AB和圆构造圆弧并且度量弧度角
5.计算AB弧度角*R/r，将点B以P为中心，以弧度角*R/r为标记角度旋转，得到点C
6.选择C、B构造轨迹，得到外摆线
7.改变R可以得到不同拱数的外摆线
在射线PC上取一点C1，划动C1既可以变化长短摆线)
1改变r值当r为负值时且|r|＜R时为内摆线。
选中r，【按减号键】
2.改变R和r以及C1的位置可以得到不同的内摆线
3.当2|r|=R 时摆线为直线。
用《几何画板》软件作各种摆线1、用几何画板作摆线生成过程动画[实例效果](1)如图1，单击隐藏内摆线按钮，隐藏内摆线；(2)如图2，单击滚动按钮，动态演示车轮滚动效果和内摆线生成过程；(3)在显示菜单中单击擦除追踪踪迹，擦除摆线踪迹；(4)单击显示内摆线按钮，将摆线显示出来，如图1.图1 内摆线图2 动态生成内摆线[创作思路](1)分别利用摆线和滚动圆圆心的参数方程构造摆线和滚动圆圆心的轨迹迹；(2)利用几何画板的隐藏、追踪、变换、动画、轨迹等功能，根据需要生成各种展示图片或制作各种演示动画.[作图准备]分别确定以下参数：n：滚动圆滚动的圈数或者说是摆线的周期；r：滚动圆的半径；d：滚动圆半径所在射线上一点到滚动圆圆心的距离.[创作过程](1)通过图表→新建参数创建参数：n=2，r=1，d=1，ax=0,ay=-1；(2)用度量→计算计算ax+nπ；(3)选中ax=0,ay=-1, 通过图表→绘制点绘制点A，如图3；选中ax+nπ，ay=1通过图表→绘制点绘制点B，选中点A、B,通过构造→线段构造线段AB；(4)在线段AB上任取一点C，通过度量→坐标距离度量线段AB的坐标距离，并通过属性将标签改为t；(5)分别计算x= rt-dsin t，y =a-dcos t，和x= rt，y=r；(6)分别选中x= rt-dsin t，y =a-dcos t，和x= rt，y=r，通过图表→绘制点绘制点D和E；(7)选中点D和点C，通过构造→轨迹构造摆线轨迹；(8)选中点E和点C，通过构造→轨迹构造滚圆圆心轨迹；参数及计算结果图像n= 2.00r= 1.00d= 1.00a x=0.00a y=- 2.00a x+n⋅π= 6.28t= 2.51r⋅t= 2.51r⋅t-d⋅s i n t ()= 1.91r-d⋅c os t()= 1.81图3 构造摆线轨迹(9)在图3的基础上先后选中点E和点D，选择构造→以圆心和圆周上的点绘圆生成圆E；连接E D；如图4所示.(10)选中点C，选择编辑→操作类按钮→动画，生成滚动效果，如图4所示；将“运动点”标签改为“滚动圆”(11)选摆线，选择编辑→操作类按钮→隐藏/显示，生成隐藏轨迹按钮，图4 通过滚动圆生成摆线如图4所示；将“隐藏轨迹”标签改为“隐藏摆线”(12)可以通过改变参数n=2的值确定生成摆线的“拱数”如图5，当时生成“三拱”摆线.图5 参数n=2时生成摆线的“三拱”摆线2、用几何画板作短幅摆线和长幅摆线[创作思路](1)重复前面“用几何画板作摆线生成过程动画”[创作过程]中的第1步到第8步，得图3；(2)在图3的基础上，以（ax,d）绘制点G，连接点G和圆心O,选中点E和线段OG, 选择构造→以圆心和圆周上的点绘圆生成圆E；连接E D；如图4所示;(3)依次选择点D、E，选择构造→射线得以E为端点，过点D的射线，用点工具分别在射线上圆内、外处各取一点H、I，如图6，图6 用点工具分别在射线上圆内、外处各取一点H、I(4)分别选择点H、C和点I 、C，选择构造→轨迹生成如图7所示的短幅摆线和长幅摆线，然后隐藏射线，构造线段EH、ED和EI.图7 短幅摆线和长幅摆线3、用几何画板作内摆线生成过程动画[实例效果](1)通过滑块工具改变参数大圆半径R，滚动圆的半径r，滚动圆半径所在射线上一点到滚动圆圆心的距离d和滚动圆滚动的圈数n，可得到如表1中各图所示不同类型的内摆线，如表2中各图所示不同类型的短幅内摆线和表3中各图所示不同类型的长幅内摆线；(2)如表4中各图所示，单击隐藏内摆线按钮，隐藏内摆线；单击滚动按钮，动态演示表中各图所示的小圆在大圆中滚动的过程中内摆线的生成过程；(3)在显示菜单中单击擦除追踪踪迹，擦除内摆线踪迹；(4)单击显示内摆线按钮，将摆线显示出来.m=r/R的取值图形m=r/R的取值图形1/2 1/41/3 3/42/3 1/5表1 不同类型的内摆线R/ r/d的取值图形R/ r/d的取值图形3/2/1 4/2/14/3/1 4/3/2表2 不同类型的短幅内摆线R/ r/d的取值图形R/ r/d的取值图形2/1/2 3/1/33/2/3 4/1/2表3 不同类型的长幅内摆线表4 内摆线的生成过程示意图[创作思路](1)分别利用内摆线和滚动圆圆心的参数方程构造各种摆线和滚动圆圆心的轨迹迹；(2)利用几何画板的隐藏、追踪、变换、动画、轨迹等功能，根据需要生成各种内摆线的展示图片或制作各种内摆线的演示动画.[作图准备]用几何画板提供的专用滑块工具分别做出确定以下参数的滑块如表5所示，以便演示不同参数各种取值的图像或动画效果：参数的意义参数的可控滑块及其取值R：大圆半径；r：滚动圆的半径；d：滚动圆半径所在射线上一点到滚动圆圆心的距离；n：滚动圆滚动的圈数.ndrRn= 2.00d= 1.00r= 2.00R= 3.00图1 各参数的意义及其可控滑块[创作过程](1)用度量→计算计算m=r/R；(2)在几何画板上任取一点E，选中点E，用度量→横坐标和度量→横坐标分别度量点D的两个坐标（x E,y E），(3)用度量→计算计算x E+2π；(4)以（x E+2π,y E）为坐标通过图表→绘制点绘制点G；(5)连接EG,在EG上任取一点H，选中点E、H, 通过度量→坐标距离度量线段EH的坐标距离，并通过属性将标签改为t；(6)用度量→横坐标和度量→横坐标分别度量原点O的两个坐标（x O,y O）;(7)分别以（x O,R）和（x O,r）为坐标通过图表→绘制点绘制点R和点P；(8)选中原点O和点R，通过图表→以圆心和圆周上的点绘圆绘制大圆；(9)建立如表6所示的内摆线和滚圆圆心的参数方程。
摆线运动的特性和计算方法摆线运动是一种常见的物理现象，它的特性和计算方法在工程学、机械学和物理学等领域中具有重要的应用价值。
本文将介绍摆线运动的特性，并探讨一些计算方法。
一、摆线运动的特性1. 路径规律性：摆线运动的路径是一条连续的曲线，它具有规律性。
摆线路径由一个固定点和一个运动点组成，运动点在固定点周围旋转时，路径呈现出连续的曲线形状。
2. 不规则性：尽管摆线路径具有规律性，但它并不是一个简单的几何形状。
摆线路径的形态复杂多样，有时呈现出对称性，有时又呈现出不对称性，这使得摆线运动具有一定的美学价值。
3. 周期性：摆线运动具有周期性，即运动点在一个完整的周期内完成一次往复运动。
摆线运动的周期取决于运动点的速度和距离，速度越快、距离越长，周期越短。
4. 运动速度变化：摆线运动的速度是不断变化的。
当运动点离固定点较远时，速度较快；当运动点靠近固定点时，速度较慢。
这种速度的变化使得摆线运动具有一定的动态性。
二、摆线运动的计算方法1. 运动点的坐标计算：为了计算摆线运动的轨迹，我们需要确定运动点在每个时刻的坐标。
根据运动点相对于固定点的距离和角度，可以使用三角函数来计算运动点的坐标。
2. 运动速度的计算：摆线运动的速度可以通过求解运动点的速度矢量来计算。
速度矢量的大小等于运动点的速度，方向与运动点的运动方向相同。
可以使用微分法来计算速度矢量。
3. 加速度的计算：摆线运动的加速度可以通过求解运动点的加速度矢量来计算。
加速度矢量的大小等于运动点的加速度，方向与运动点的运动方向相同。
可以使用微分法来计算加速度矢量。
4. 能量变化的计算：摆线运动的能量变化可以通过求解运动点的势能和动能来计算。
势能是由于重力和弹性力而产生的，动能是由于运动点的速度而产生的。
可以使用物理学中的能量守恒定律来计算能量变化。
三、摆线运动的应用1. 工程学应用：摆线运动的特性使得它在工程学中有广泛的应用。
例如，在机械传动中，摆线齿轮可以将旋转运动转化为直线运动，实现复杂的机械运动。
摆线摆线(cycloid)是数学中众多的迷人曲线之一．它是这样定义的：一个圆沿一直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线别称一个圆在一条定直线上滚动时，圆周上一个定点的轨迹，又称旋轮线。
圆上定点的初始位置为坐标原点，定直线为x轴。
当圆滚动j 角以后，圆上定点从 O 点位置到达P点位置。
当圆滚动一周，即 j从O变动2π时，动圆上定点描画出摆线的第一拱。
再向前滚动一周，动圆上定点描画出第二拱，继续滚动，可得第三拱，第四拱……，所有这些拱的形状都是完全相同的，每一拱的拱高为2a（即圆的直径），拱宽为2πa（即圆的周长）。
摆线有一个重要性质，即当一物体仅凭重力从A点滑落到不在它正下方的B点时，若沿着A，B间的摆线，滑落所需时间最短，因此摆线又称最速降曲线。
性质到17 世纪，人们发现摆线具有如下性质：1．它的长度等于旋转圆直径的 4 倍。
尤为令人感兴趣的是，它的长度是一个不依赖于π的有理数．2．在弧线下的面积，是旋转圆面积的三倍。
3．圆上描出摆线的那个点，具有不同的速度——事实上，在特定的地方它甚至是静止的。
4．当弹子从一个摆线形状的容器的不同点放开时，它们会同时到达底部方程式x=r*(t-sint)； y=r*(1-cost)r为圆的半径， t是圆的半径所经过的角度（滚动角），当t由0变到2π时，动点就画出了摆线的一支，称为一拱。
基本原理摆线针轮行星传动中，摆线轮齿廓曲线运用内啮合发生圆产生的短幅外摆线。
这种摆线曲线的生成原理如词条图所示。
有一发生圆（滚圆）半径为rp'，基圆半径为rc'，基圆内切于发生圆，当发生圆绕基圆作纯滚动，其圆心Op分别处于Op1、Op2、Op3、Op4、Op5、Op6......各位置时，由此固结在发生圆平面上的点M分别经过M1、M2、M3、M4、M5、M6......各位置，由此发生圆周期滚动，发生圆上点M所形成的轨迹曲线即为短幅外摆线。
由以上摆线生成的几何关系若仍保持以上的内切滚动关系，将基圆和摆线视为刚体相对于发生圆运动，则形成了摆线图形相对发生圆圆心Op作行星方式的运动，这就是行星摆线传动机构的基本原理。
用《几何画板》软件作各种摆线1、用几何画板作摆线生成过程动画[实例效果](1)如图1，单击隐藏内摆线按钮，隐藏内摆线；(2)如图2，单击滚动按钮，动态演示车轮滚动效果和内摆线生成过程；(3)在显示菜单中单击擦除追踪踪迹，擦除摆线踪迹；(4)单击显示内摆线按钮，将摆线显示出来，如图1.图1 内摆线图2 动态生成内摆线[创作思路](1)分别利用摆线和滚动圆圆心的参数方程构造摆线和滚动圆圆心的轨迹迹；(2)利用几何画板的隐藏、追踪、变换、动画、轨迹等功能，根据需要生成各种展示图片或制作各种演示动画.[作图准备]分别确定以下参数：n：滚动圆滚动的圈数或者说是摆线的周期；r：滚动圆的半径；d：滚动圆半径所在射线上一点到滚动圆圆心的距离.[创作过程](1)通过图表→新建参数创建参数：n=2，r=1，d=1，ax=0,ay=-1；(2)用度量→计算计算ax+nπ；(3)选中ax=0,ay=-1, 通过图表→绘制点绘制点A，如图3；选中ax+nπ，ay=1通过图表→绘制点绘制点B，选中点A、B,通过构造→线段构造线段AB；(4)在线段AB上任取一点C，通过度量→坐标距离度量线段AB的坐标距离，并通过属性将标签改为t；(5)分别计算x= rt-dsin t，y =a-dcos t，和x= rt，y=r；(6)分别选中x= rt-dsin t，y =a-dcos t，和x= rt，y=r，通过图表→绘制点绘制点D和E；(7)选中点D和点C，通过构造→轨迹构造摆线轨迹；(8)选中点E和点C，通过构造→轨迹构造滚圆圆心轨迹；参数及计算结果图像n= 2.00r= 1.00d= 1.00a x=0.00a y=- 2.00a x+n⋅π= 6.28t= 2.51r⋅t= 2.51r⋅t-d⋅s i n t()= 1.91r-d⋅c os t()= 1.81图3 构造摆线轨迹(9)在图3的基础上先后选中点E和点D，选择构造→以圆心和圆周上的点绘圆生成圆E；连接E D；如图4所示.(10)选中点C，选择编辑→操作类按钮→动画，生成滚动效果，如图4所示；将“运动点”标签改为“滚动圆”(11)选摆线，选择编辑→操作类按钮→隐藏/显示，生成隐藏轨迹按钮，如图4所示；将“隐藏轨迹”标签改为“隐藏摆线”图4 通过滚动圆生成摆线(12)可以通过改变参数n=2的值确定生成摆线的“拱数”如图5，当时生成“三拱”摆线.图5 参数n=2时生成摆线的“三拱”摆线2、用几何画板作短幅摆线和长幅摆线[创作思路](1)重复前面“用几何画板作摆线生成过程动画”[创作过程]中的第1步到第8步，得图3；(2)在图3的基础上，以（ax,d）绘制点G，连接点G和圆心O,选中点E和线段OG, 选择构造→以圆心和圆周上的点绘圆生成圆E；连接E D；如图4所示;(3)依次选择点D、E，选择构造→射线得以E为端点，过点D的射线，用点工具分别在射线上圆内、外处各取一点H、I，如图6，图6 用点工具分别在射线上圆内、外处各取一点H、I(4)分别选择点H、C和点I 、C，选择构造→轨迹生成如图7所示的短幅摆线和长幅摆线，然后隐藏射线，构造线段EH、ED和EI.图7 短幅摆线和长幅摆线3、用几何画板作内摆线生成过程动画[实例效果](1)通过滑块工具改变参数大圆半径R，滚动圆的半径r，滚动圆半径所在射线上一点到滚动圆圆心的距离d和滚动圆滚动的圈数n，可得到如表1中各图所示不同类型的内摆线，如表2中各图所示不同类型的短幅内摆线和表3中各图所示不同类型的长幅内摆线；(2)如表4中各图所示，单击隐藏内摆线按钮，隐藏内摆线；单击滚动按钮，动态演示表中各图所示的小圆在大圆中滚动的过程中内摆线的生成过程；(3)在显示菜单中单击擦除追踪踪迹，擦除内摆线踪迹；(4)单击显示内摆线按钮，将摆线显示出来.m=r/R 的取值图形m=r/R的取值图形1/2 1/4 1/3 3/42/3 1/5表1 不同类型的内摆线R/ r/d 的取值图形R/ r/d的取值图形3/2/1 4/2/14/3/1 4/3/2表2 不同类型的短幅内摆线R/ r/d 的取值图形R/ r/d的取值图形2/1/2 3/1/33/2/3 4/1/2表3 不同类型的长幅内摆线表4 内摆线的生成过程示意图[创作思路](1)分别利用内摆线和滚动圆圆心的参数方程构造各种摆线和滚动圆圆心的轨迹迹；(2)利用几何画板的隐藏、追踪、变换、动画、轨迹等功能，根据需要生成各种内摆线的展示图片或制作各种内摆线的演示动画.[作图准备]用几何画板提供的专用滑块工具分别做出确定以下参数的滑块如表5所示，以便演示不同参数各种取值的图像或动画效果：参数的意义参数的可控滑块及其取值R：大圆半径；r：滚动圆的半径；d：滚动圆半径所在射线上一点到滚动圆圆心的距离；n：滚动圆滚动的圈数.ndrRn= 2.00d= 1.00r= 2.00R= 3.00图1 各参数的意义及其可控滑块[创作过程](1)用度量→计算计算m=r/R；(2)在几何画板上任取一点E，选中点E，用度量→横坐标和度量→横坐标分别度量点D的两个坐标（x E,y E），(3)用度量→计算计算x E+2π；(4)以（x E+2π,y E）为坐标通过图表→绘制点绘制点G；(5)连接EG,在EG上任取一点H，选中点E、H, 通过度量→坐标距离度量线段EH的坐标距离，并通过属性将标签改为t；(6)用度量→横坐标和度量→横坐标分别度量原点O的两个坐标（x O,y O）;(7)分别以（x O,R）和（x O,r）为坐标通过图表→绘制点绘制点R和点P；(8)选中原点O和点R，通过图表→以圆心和圆周上的点绘圆绘制大圆；(9)建立如表6所示的内摆线和滚圆圆心的参数方程。
