课题：正切函数的图象和性质教学目的：1．会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象。
2．理解正切函数的性质。
3．会用数形结合的思想理解和处理有关问题。
教学重点：正切函数的图象和性质。
教学难点：用单位圆中的正切线作正切函数的图象。
教学方法：探索+讲练结合学法指导：学会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象，探索性质，并会用性质解决相关问题。
教学过程1．设置情境前面我们学习了正弦、余弦函数的图像和性质，正切函数是不同于正弦、余弦函数的又一三角函数，我们今天要学习的就是正切函数的图象和性质。
板书课题。
2．复习请同学们回忆一下，我们是怎样利用单位圆中的正弦线作出x y sin =图像的． 回答后联想画正切函数的图像的方法。
3．新知传授：（1）在直角坐标系中，如果角α满足：)(2,z k k R ∈+≠∈ππαα，那么，角α的终边与单位圆交于点),(b a P ，唯一确定比值a b ，根据函数的定义，比值ab是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作αtam y =，其中)(2,z k k R ∈+≠∈ππαα。
αααcos sin tan =，)(2,z k k R ∈+≠∈ππαα由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。
我们统称为三角函数。
正切线：在直角坐标系中，设单位圆与x 轴的交点为：)0,1(A ，任意角α的终边与单位圆交于点P ，过点)0,1(A 作x 轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于T 点。
AT 为正切线。
如下图，正切线是AT ．(注意A 点的位置)（2）正切函数x y tan =的图象：首先考虑定义域：()z k k x ∈+≠2ππ再考虑一下它的周期：从正切线猜想周期为π，证明如下： ()()()⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠∈=--=++=+z k k x R x x x x x x x ,2,tan cos sin cos sin tan πππππ且⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠∈=∴z k k x R x x y ,2,tan ππ且的周期为π=T （最小正周期） 因此我们可选择⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的区间作出它的图象。
为什么？ 作法如下：①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴左侧作单位圆．②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线． ③找横坐标（把x 轴上2π-到2π这一段分成8等份）． ④找纵坐标，正切线平移． ⑤连线．根据正切函数的周期性，我们可以把上述图像向左、右扩展，得到正切函数x y tan =，R ∈x 且ππk x +≠2（Z ∈k ）的图像，并把它叫做正切曲线（如图2）．图1图2（3）正切函数的性质请同学们结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性． ①定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ，ππ2 ②值域由正切曲线可以看出，当x 小于ππk +2（Z ∈k ）且无限接近于ππk +2时，x tan 无限增大，即可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作+∞→x tan （读作x tan 趋向于正无穷大）；当x 大于ππk +-2且无限接近于ππk +-2，x tan 无限减小，即取负值且它的绝对值可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作-∞→x tan （读作x tan 趋向于负无穷大）．这就是说，x tan 可以取任何实数值，但没有最大值、最小值．观察结果：当x 从小于()z k k ∈+2ππ，2π+π−→−k x 时，∞−→−x tan 当x 从大于()z k k ∈+ππ2，ππk x +−→−2时，-∞−→−x tan 因此，正切函数的值域是实数集R ．③周期性正切函数是周期函数，周期是π． ④奇偶性∵()x x tan tan -=-，∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点O 对称． ⑤单调性由正切曲线图像可知：正切函数在开区间（ππk +-2，ππk +2），Z ∈k 内都是增函数． 4．例题分析例1 求函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4tan πx y 的定义域． 解：令4π+=x z ，那么函数z y tan =的定义域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k z z ，ππ2 由 πππk z x +==+24，可得 πππππk k x +=-+=442所以函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4tan πx y 的定义域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ，ππ4 注：即把整个相位看成一个整体，这个整体不等于Z ∈+k k ，ππ2。
变式训练：例2 不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小： （1） 167tan 与173tan ；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-π411tan 与⎪⎭⎫⎝⎛-π513tan ． 解：（1）∵180********<<<又 ∵x y tan =，在()27090，上是增函数 ∴173tan 167tan < （2）∵⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43tan 411tan ππ ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππ53tan 513tan 又 ∵2534323ππππ-<-<-<-，函数x y tan =，⎪⎭⎫⎝⎛--∈223ππ，x 是增函数， ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-53tan 43tan ππ 即⎪⎭⎫⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππ513tan 411tan ． 注：比较两个正切型实数的大小，关键是把相应的角诱导到x y tan =的同一单调区间内，利用x y tan =的单调递增性来解决。
为了方便，我们可以都转化到)2,0(π这个区间。
变式训练：例3 观察正切曲线写出满足下列条件的x 的值的范围：tan x ＞0解：根据y ＝tan x 在(－2π，2π)上的图象，不难看出在此区间上满足tan x ＞0的x 的范围为：0＜x ＜2π 结合周期性，可知在x ∈R ，且x ≠k π＋2π上满足的x 的取值范围为(k π，k π＋2π)(k ∈Z )注：即根据y ＝tan x 在(－2π，2π)上的图象，先找一个周期内的答案，在结合周期写答案。
变式训练： 5．课堂练习：课本33页，动手实践 6．小 结：（1）x y tan =的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得⎪⎭⎫⎝⎛-22ππ，上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。
（2）x y tan =性质．7．作 业：课本35页习题1—6 A 组 1，2，3，4课题：正切函数的诱导公式教学目的：1．利用正切函数的性质推导正切函数的诱导公式。
2．会用数形结合的思想理解和处理有关问题。
教学重点：正切函数的图象和性质。
教学难点：用单位圆中的正切线作正切函数的图象。
教学方法：探索+讲练结合学法指导：学会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象，探索性质，并会用性质解决相关问题。
教学过程一、 复习引入同学们已经知道，在正、余弦函数中，我们是先学诱导公式，再学图像与性质的。
在学正切函数时，我们为什么要先学图像与性质，再学诱导公式呢？ 二、新课tan(2π＋α)＝tan α tan(－α)＝－tan α tan(2π－α)＝－tan α tan(π－α)＝－tan αtan(π＋α)＝tan α三、例题分析 例1．若tan α＝32，借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值。
解：∵tan α＝32＞0，∴α是第一象限或第三象限的角 （1）如果α是第一象限的角，则由tan α＝32可知，角α终边上必有一点P （3，2）.所以x ＝3，y ＝2. ∵r＝|OP|＝13 ∴si n α＝ry ＝13132， cos α＝r x ＝13133.(2) 如果α是第三象限角，同理可得：sin α＝ry＝－13132， cos α＝r x ＝－13133.例2．化简：()()()()()πααπαπαπαπ---+-+-tan 3tan tan 3tan 2tan解：原式＝()()[]()()[]απαπαπαπα+----+-tan tan tan tan tan ＝()()()αααααtan tan tan tan tan ---＝－αtan 1.四、练习教材35页的练习1、2、3、4五、小结（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？ （2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？ 六、作业：P35习题A 组5—11.。
