《正切函数的图像与性质》 教案及说明

《正切函数的图像与性质》教学案一、教学目标：1、知识与技能(1)了解任意角的正切函数概念；(2)理解正切函数中的自变量取值范围；(3)掌握正切线的画法；(4)能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；(5)熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质；(6)能熟练掌握正切函数的图像与性质；(7)掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。

2、过程与方法类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间的关系；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。

3、情感态度与价值观使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

二、教学重、难点重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题三、学法与教学用具我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。

教学用具:投影机、三角板第一课时 正切函数的定义、图像及性质一、教学思路【创设情境，揭示课题】常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。

今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P35。

【探究新知】 1．正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠2π＋kπ(k ∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P(a ，b)，唯一确定比值ab .根据函数定义，比值ab 是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tanα，其中α∈R ，α≠2π＋kπ，k ∈Z.比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tanα＝ααcos sin (α∈R ，α≠2π＋kπ，k∈Z).由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。

《正切函数的图像和性质》教学设计教学目标1.知识与技能:结合正弦函数和余弦函数的学习，能根据任意角的正切值和正切线分析得出正切函数图像的画法，理解和掌握正切函数的有关性质，并能运用图像和性质解决有关的简单问题。

2.过程与方法：在探究正切函数基本性质和图像的过程中，逐步渗透数形结合的思想，继续培养学生的作图、读图、识图的能力和良好的数学学习习惯． 3.情感态度价值观:在教学中使学生了解问题的来龙去脉,体会事物间相互联系的原理，能在合情推理中得出结论,强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透。

教学重点：正切函数的图像及其主要性质教学难点（1）利用正切线画出函数tan y x = ,(,)22x ππ∈-的图像；（2）正切函数定义域的理解及正切曲线与直线()2x k k z ππ=+∈无限接近的性质；（3）正切函数在每一个开区间22,)()k k k z ππππ-+∈（上单调递增，但在定义域上不单调。

重点难点的突破方法由于图像能直观形象的反映出函数的性质，根据性质能够完善和理解图像，所以在本节课中可以通过数形结合的强调使用，降低学生的理解难度，从而达到对正切函数的图像和性质的理解和使用。

课前学情分析与教学用具本节课是在学习了正弦、余弦函数的图像与性质后，继续学习又一种具体的三角函数——正切函数。

学生已经掌握了任意角的正切、正切线和与正切有关的诱导公式，这为本节课的学习提供了一定的知识保障，在此基础上，本节课将类比研究正弦和余弦函数的图像和性质的方法进一步研究正切函数的图像和性质，这也是为后面学习解析几何中，直线的斜率与它的倾斜角之间的关系等内容做好知识储备的课．为了让学生能更加直观、形象地理解正切函数的图像、定义域、值域和它的周期性变化，将采用多媒体课件进行演示，以提高学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。

教学过程设计任意一个角都有正弦和余弦值，那么根据定义，是不是任意角，周期性：最小正周期是与tan28π说明：函数（小结：本节课我们主要学习了正切函数的图象和性质（再次请学生总结性质和图像的特点），尤其是其图象和性质的使用，在后面的学习中，我们要注意数形结合，能将图象和性质融合使用。

正切函数的图像与性质一、教学目标：，π内的性质 (重点 )．1. 推导并理解正切函数在区间－π2 22.能画出 y＝tan x 的图象通过正切函数的图象的作图过程，进一步体会函数线的作用 (重点 )．3.会用正切函数的性质解决有关问题二、教学重点1、推导并理解正切函数在区间π π内的性质－2，22、能画出 y＝tan x 的图象通过正切函数的图象的作图过程，进一步体会函数线的作用．3.会用正切函数的性质解决有关问题三、教学难点1、推导并理解正切函数在区间π π－ 2 ， 2内的性质2、能画出 y＝tan x 的图象通过正切函数的图象的作图过程，进一步体会函数线的作用，会用正切函数的性质解决有关问题四、教学过程解析式y＝tan x图象定义域_________________________ 值域R周期π奇偶性奇单调性上都是增函数提示函数 y＝ tan x 的对称中心的坐标是kπ，0 ， (k∈Z) ，不是 (kπ，0)(k∈Z) 2思考尝试1．思考判断 (正确的打“√”，错误的打“×” ) (1)正切函数在整个定义域内是增函数． ( )(2)存在某个区间，使正切函数为减函数．( ) (3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期 π .()(4)函数 y ＝tan x 为奇函数，故对任意 x ∈ R 都有 tan(－x)＝－ tan x. () 2．函数 y ＝tan 2x 的最小正周期是 ()ππ A ． 2π B ．π C. 2 D. 4．函数 ＝ tan x －π的定义域是 ( )3 y 4ππA. x x ≠ 4B. x x ≠－ 4C x x≠ π＋ π，k ∈ ZD. ≠ π＋3π，k ∈Zk4x x k 44. 函数 ＝ tan x － π≤ x ≤π且x ≠0 的值域是 ____________ y 4 45．函数 y ＝－ tan x 的单调递减区间是 __________ 正切函数的定义域、值域问题例 1、 (1)函数 y ＝lg( 3－tan x)的定义域为 ____．π π(2)函数 y ＝sin x ＋tan x ， x ∈ － 4 ， 3 的值域为 ___．1．求与正切函数有关的函数的定义域时， 除了求函数定义域的一般要求外， 还要π 保证正切函数 y ＝ tan x 有意义即 x ≠ 2 ＋ k π，k ∈Z2．求解与正切函数有关的函数的值域时， 要注意函数的定义域， 在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新 “ 元” 的范围．变式训练、(1)函数 y ＝ 1 的定义域为 ()tan xA ． {x|x ≠0}B ．{x|x ≠k π， k ∈ Z}C. x x ≠ π＋ π，k ∈ZD. x x ≠k π， k ∈ Z k 22(2)函数 tan(sin x)的值域为 ________________．正切函数的单调性及其应用 (互动探究 )例 2、(1)比较下列两个数的大小 (用“>”或 “<”填空 )：① tan 2π10π 7 ________tan7 .② tan 6π________tan 13π.5 － 51π(2)求函数 y＝tan 2x＋4的单调增区间．1π迁移探究、(变换条件、改变问法 )把本例 (2)中改为：求函数 y＝tan －2x＋4的单调减区间．归纳升华1．求函数 y＝ Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数 )的单调区间的方法：(1)若ω>0，由于 y＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令 kπ －πω ＋φπ＋π∈Z)，解得x的范围．2 <x <k 2 (k(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为 y＝Atan[－ (－ωx－φ)] ＝－ Atan(－ωx－φ)，即把 x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想．2．运用正切函数单调性比较大小的方法：(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．(2)运用单调性比较大小的关系．正切函数的奇偶性与周期性π例 3、(1)函数 y＝4tan 3x＋6的周期为 _______．(2)判断下列函数的奇偶性：①y＝ tan2x－ tan x；1－ tan x②y＝ xtan 2x＋ x4.归纳π1．一般地，函数 y＝ Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝|ω|，常常利用此公式来求周期．2．判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与 f(x)的关系．变式训练、直线 y＝3 与函数 y＝ tan ωx(ω>0)的图象相交，则相邻两交点间的距离是 ()A．π2πB. ωπC.2ωπD.ω五、课堂练习：见变式训练六、教学小结： 1． 正切函数的性质(1)正切函数常用的三条性质．k π①对称性：正切函数图象的对称中心是2 ，0 (k ∈Z) ，不存在对称轴．ππ②单调性：正切函数在每个区间 k π－ 2 ，k π＋ 2 (k ∈Z) 内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．2．“三点两线法 ”作正切曲线的简图(1) “三点”分别为 π， ， π ＋π， 1 ， π －π，－ 1 ，其中 k ∈ Z ；(k0) k 4 k 4ππ两线为直线 x ＝ k π ＋ 2 和直线 x ＝ k π－2 ，其中 k ∈Z( 两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交 )．(2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期内．七、教学反思正切函数的图像与性质一、学习目标：1.推导并理解正切函数在区间 － π π内的性质．2 ， 2 2.能画出 y ＝tan x 的图象通过正切函数的图象的作图过程，进一步体会函数线的作用．3.会用正切函数的性质解决有关问题 二、学习过程解析式 y ＝ tan x图象定义域_________________________值域R周期π奇偶性奇单调性上都是增函数提示 函数 y ＝ tan x 的对称中心的坐标是 k π，0 ， (k ∈Z) ，不是 (k π ，0)(k ∈Z) 2思考尝试1．思考判断 (正确的打“√”，错误的打“×” )(1)正切函数在整个定义域内是增函数． ()(2)存在某个区间，使正切函数为减函数．() (3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期 π .()(4)函数 y ＝tan x 为奇函数，故对任意 x ∈ R 都有 tan(－x)＝－ tan x. () 2．函数 y ＝tan 2x 的最小正周期是 ()ππ A ． 2π B ．πC. 2D. 4．函数 ＝ tan x －π的定义域是 ( )3 y 4ππA. x x ≠ 4B. x x ≠－ 4C x x≠ π＋ π，k ∈ ZD. ≠ π＋3π，k ∈Zk4x x k 44. 函数 ＝ tan x － π≤ ≤π且 ≠ 的值域是 ____________ y 4 x 4 x 05．函数 y ＝－ tan x 的单调递减区间是 __________ 正切函数的定义域、值域问题例 1、 (1)函数 y ＝lg( 3－tan x)的定义域为 ____．π π(2)函数 y ＝sin x ＋tan x ， x ∈ － 4 ， 3 的值域为 ___．1．求与正切函数有关的函数的定义域时， 除了求函数定义域的一般要求外， 还要π 保证正切函数 y ＝ tan x 有意义即 x ≠ 2 ＋ k π，k ∈Z2．求解与正切函数有关的函数的值域时， 要注意函数的定义域， 在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“ 元” 的范围．变式训练、(1)函数1y ＝tan x 的定义域为()A ． {x|x ≠0}B ．{x|x ≠k π， k ∈ Z}≠ π＋ π，k ∈Z D. x x ≠k π， k ∈ Z C. x x k 22(2)函数 tan(sin x)的值域为 ________________．正切函数的单调性及其应用 (互动探究 )例 2、 (1)比较下列两个数的大小 (用“>”或 “<”填空 )：① tan2π10π 7 ________tan7.6ππ② tan135 ________tan － 5.(2)求函数 y ＝tan 1π的单调增区间．2x ＋4迁移探究、 (变换条件、改变问法 )把本例 (2)中改为：求函数 y ＝tan －1＋ π 的2x4单调减区间．归纳升华1． 求函数 y ＝ Atan(ωx＋ φ)(A ， ω，φ都是常数 )的单调区间的方法：(1)若 ω>0，由于 y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换 ”的思想，令 k π －πω ＋φ π＋ π ∈ Z) ，解得 x 的范围．2 <x <k 2 (k(2)若 ω<0，可利用诱导公式先把 y ＝Atan(ωx＋φ)转化为 y ＝Atan[－ (－ωx－φ)]＝－ Atan(－ ωx－ φ)，即把 x 的系数化为正值，再利用“整体代换 ”的思想．2．运用正切函数单调性比较大小的方法：(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．(2)运用单调性比较大小的关系．正切函数的奇偶性与周期性π例 3、 (1)函数 y ＝4tan 3x ＋ 6 的周期为 _______．(2)判断下列函数的奇偶性：① y ＝tan 2x － tan x ；1－ tan x② y ＝ xtan 2x ＋ x 4.归纳π1．一般地，函数 y＝ Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝|ω|，常常利用此公式来求周期．2．判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与 f(x)的关系．变式训练、直线 y＝3 与函数 y＝ tan ωx(ω>0)的图象相交，则相邻两交点间的距离是 ()A．π2πB. ωπC.2ωπD.ω五、课堂练习：见变式训练六、教学小结：1．正切函数的性质(1)正切函数常用的三条性质．kπ①对称性：正切函数图象的对称中心是 2 ，0 (k∈Z) ，不存在对称轴．ππ②单调性：正切函数在每个区间 kπ－2 ，kπ＋2 (k∈Z) 内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．2．“三点两线法”作正切曲线的简图(1)“三点”分别为 (kπ， 0)，π， 1 ，π，其中 k∈ Z；π ＋π －，－ 1k4 k 4ππ两线为直线 x＝ kπ＋2和直线 x＝ kπ－2，其中 k∈Z( 两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交 )．(2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期内．七、教学反思。

《正切函数的性质与图像》的教学设计一.教材分析1.地位与作用《正切函数的性质与图像》是高中《数学》必修4第一章第四节内容。

在学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质，研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升。

2.教材处理教材采用探究的方法引导学生注意正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以提问的方式，让学生回忆如何由正弦线得到正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。

设计问题一步步引导学生注意画正切曲线的细节。

我把空间留给学生，采用让学生自己设计一个得到正切曲线的方法。

这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力。

二．学情分析通过对正弦函数图像与性质的研究，学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。

但在画正切函数图象时，还有许多需要注意的地方，比如定义域，函数区间等问题。

这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度。

三．教学目标确定正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。

本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标：1.知识目标：1）、能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像。

2）、熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质。

3）、掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。

2. 能力目标：1）、通过类比，联系正弦函数图像的作法2）、能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。

3、德育目标：使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

《正切函数的图象与性质》——教学设计课标分析《课标》要求：1、掌握正切函数的图象与性质2、积极参与，师生交流讨论，加深学生对正切函数的图象与性质的理解与应用3、将函数的思想方法贯穿在整个高中数学的学习中，不断加深对函数概念本质的认识和理解。

教学目标:知识和技能目标：1、理解并掌握正切函数图像的推导思路及画法，2、准确写出正切函数的性质，并应用．过程与方法目标：1、通过学生自己动手作图，培养学生数形结合思想方法；2、培养学生类比、归纳的数学思想；3、培养学生发现数学规律，增强学习数学的兴趣。

情感态度价值观:通过本节课的学习，培养学生发现数学规律，实践第一的观点，增强学生学习数学的兴趣。

教学重点:正切函数的图象及其主要性质教学难点:正切函数性质的理解和应用教材分析1、教材的地位和作用《正切函数的性质与图像》选自人教A版高中数学必修四第一章第三节。

它是继正余弦函数之后的又一种三角函数，其研究方法与前面正余弦函数图象与性质的研究方法类似，是对学生所学知识的融通和应用，也是学生对学习函数规律的总结和探究。

正确理解和熟练掌握正切函数的图象和性质也是之后学好《已知三角函数求值》的关键；这也为后面学习解析几何中，直线的斜率与它的倾斜角之间的关系等内容做好知识储备．2、教材处理正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用类比的方式，先让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。

首先让学生探讨正切函数的周期性，让学生自己画图象，发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力，而且，在此过程中，学生会注意到画正切曲线的细节。

然后使用几何画板作图，使正切曲线变的形象、直观。

在得到图象后，单调性是一个难点，为此设计了思考题，帮助学生理解性质，并用比较大小的题型启发学生从代数和几何两种角度看问题。

然后让学生通过整体思想解决了正切型函数的性质。

本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，把学习的主动权还给学生。

第4课时正切函数的性质与图象【教学目标】1．知识目标（1）理解并掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性、值域等相关性质。

（2）会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象。

2．能力目标培养学生作图能力，运用函数图象分析、探究问题的能力。

3．情感目标经历根据正切函数的性质描绘函数图象的过程，进一步体会函数线的作用。

【重点难点】重点正切函数的性质与图象。

难点利用正切线研究正切函数的单调性及值域。

案例（一）教学过程板书设计案例（二） 教学过程1． 正切函数的性质探讨。

教师――前面对正弦函数、余弦函数性质进行研究时，同时运用了函数的图象和诱导公式，也就是采用的数行结合方法。

对正切函数性质的研究咱们换一新视角来研究，不先研究图象，而先研究性质，根据性质再做图象。

下面请你借助研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，根据诱导公式、正切线依次对正切函数的周期性、奇偶性、单调性、最值做出研究。

学生――探究正切函数的周期性，根据诱导公式x x tan )tan(=+π来研究。

师生――教师重点解析，指出正切函数的周期是，不予证明，后面结合图象会看到。

进一步指明，正切函数的基本周期区间常取为（－)2,2ππ学生――自主探究正切函数的奇偶性，教师引导学生注意正切函数的定义域。

师生――共同说明正切函数的奇偶性。

学生――自主探究正切函数的单调性，遇到障碍。

教师――单调性无法根据诱导公式来说明，引导学生利用正切线，数行结合探究正切函数在一个基本区间（－)2,2ππ内的单调性，再根据其周期性研究正切函数的所有单调区间。

学生――画出正切线，观察思考正切线在基本区间内的变化规律，说明正切函数的单调性。

师生――教师结合图１.４－８进一步解释正切函数的单调性，规范给出正切函数的单调区间。

学生――结合图１.４－８中的正切线，利用极限思想求正切函数在一个周期的区间（－)2,2ππ上y 的取值范围，即得正切函数的值域。

师生――共同归纳正切函数的值域是实数集R ２．正切函数的图象教师――正切函数的性质通过诱导公式和正切线进行了研究，下面转向函数图象研究。

6.2正切函数的图像与性质（2）（教案）教学目的：1、熟练掌握正切函数的图像和性质2、掌握正切函数的图像与性质的简单应用教学重点：正切函数的图像和性质的应用教学过程：（一）、引入一、双基回顾：1、正切函数的图像与性质：2、余切函数的图像与性质：（二）、新课 一、典型例题 例1、求函数xy tan 11+=的定义域解：由⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠-≠)(21tan Z k k x x ππ 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+≠-≠)(24Z k k x k x ππππ 所以定义域为},2,4|{Z k k x k x x ∈+≠-≠ππππ例2、求下列函数的最小正周期（1）2tan 12tan22x x y +=；（2）2tan 12tan22xxy -= 解：（1）x y sin =，定义域},2|{Z k k x x ∈+≠ππ，所以周期π2 （2）x y tan =，定义域},2,2|{Z k k x k x x ∈+≠+≠ππππ，所以周期π2例3、已知函数)3tan(2)(π-=nx x f 的最小正周期T 满足231<<T ，其中*∈N n , （1） 求n 的值；（2）判断函数的奇偶性并说明理由；（3）求函数的单调区间 解： （1）3=n ，)33tan(2)(π-=x x f（2）定义域},1853|{Z k k x x ∈+≠ππ不关于原点对称，为非奇非偶函数 （3）函数在Z k k k ∈+-)1853,183(ππππ上单调递增 例4、设足球场宽65米，球门宽7米，当足球运动员沿边路带球突破，距底线多远处射球门，对球门所张的角最大？（保留两位小数）解：如图6-12，AB=7米，由球场宽65米，可知AC =29米，BC =36米。

设足球运动员在边线上的点M 处射球门，βα=∠=∠AMC AMB ,，显然α越大，越有利于射门。

设点M 与底线AC 的距离为x 米，则xx 36)tan(,29tan =+=βαβ。

6.2正切函数的图像与性质（1）（教案）教学目的：1、建立正切函数的概念2、掌握正切函数的图像特征3、掌握正切函数x y tan =的奇偶性、周期性、单调性和值域教学重点：正切函数的图像和性质 教学过程： （一）、引入 一、双基回顾：1、三角函数线：正切线αtan ==xyAT ，AT 是α的 正切线。

2、αtan 有意义，α应满足的条件为Z k k ∈+≠,2ππα（二）、新课一、定义 对于任意一个实数x （Z k k x ∈+≠,2ππ）都有唯一确定的值x tan 与它对应，按照这个对应法则建立的函数，表示为x y tan =，叫做正切函数二、正切函数的性质1、正切函数的定义域为 },2|{Z k k x x ∈+≠ππ, 用区间表示为 Z k k k ∈+-)2,2(ππππ2、正切函数的值域为 R3、由=-)tan(x x tan -可知，正切函数是奇函数 4、由=+)tan(x πx tan 可知，正切函数是周期 函数，最小正周期为 πx y 21t a n =的最小正周期是π2 ； )43tan(π+=x y 的最小正周期是3π一般地，)tan(ϕω+=x y （)0(≠ω的最小正周期为 ||ωπ5、观察上图中的正切线，当角x 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,0π内递增时，y tan =递增，由正切函数奇偶性可知x y tan =在区间)2,2(ππ-上单调递增，又由正切函数是以π为周期的周期函数，所以正切函数x y t a n =在 Z k k k ∈+-)2,2(ππππ 内都是增函数证明：在)2,0[π内任取21x x 、，其中21x x <，有112212cos sin cos sin tan tan x x x x x x -=- 2112211212cos cos )sin(cos cos sin cos cos sin x x x x x x x x x x -=-=，因为2021π<<<x x ，所以2012π<-<x x ，于是0)s i n (,0c o s ,0c o s 1221>->>x x x x ，从而正切函数x y tan =在区间)2,0[π内是增函数。

正切函数的性质与图象教案一、教学目标：1. 让学生理解正切函数的定义，掌握正切函数的性质，能够运用正切函数的性质解决问题。

2. 让学生通过观察正切函数的图象，加深对正切函数性质的理解。

3. 培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。

二、教学重点：1. 正切函数的性质。

2. 正切函数的图象特征。

三、教学难点：1. 正切函数性质的推导。

2. 正切函数图象的绘制。

四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究正切函数的性质。

2. 利用数形结合的方法，让学生直观地理解正切函数的图象特征。

3. 通过小组讨论，培养学生的合作能力。

五、教学准备：1. 教师准备正切函数的图象和性质的PPT。

2. 学生准备笔记本和文具。

教案内容：一、导入（5分钟）1. 复习正切函数的定义：正切函数是指在直角三角形中，对边与邻边的比值。

2. 提问：正切函数有什么性质呢？它的图象又是怎样的呢？二、探究正切函数的性质（15分钟）1. 引导学生观察正切函数的图象，发现正切函数的周期性。

2. 引导学生观察正切函数的图象，发现正切函数的奇偶性。

3. 引导学生观察正切函数的图象，发现正切函数的单调性。

三、总结正切函数的性质（5分钟）1. 总结正切函数的周期性。

2. 总结正切函数的奇偶性。

3. 总结正切函数的单调性。

四、绘制正切函数的图象（15分钟）1. 引导学生利用函数图象绘制工具，绘制正切函数的图象。

2. 引导学生观察正切函数的图象，验证正切函数的性质。

五、巩固练习（10分钟）1. 让学生完成正切函数性质的练习题。

2. 让学生绘制正切函数的图象，并分析图象的性质。

六、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课学习的内容，总结正切函数的性质。

2. 强调正切函数的性质在实际问题中的应用。

七、作业布置（5分钟）1. 完成正切函数性质的相关练习题。

2. 绘制正切函数的图象，并分析图象的性质。

八、课后反思（教师）1. 反思本节课的教学效果，调整教学方法。

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《正切函数的图象与性质》教案巩义二中东校区马朝峰正切函数的图象与性质一、教学目标 知识与技能：（1）理解并掌握作正切函数图象的作法。

（2）理解正切函数的性质，会用正切函数的图象和性质解决相关问题； 过程与方法：（1）利用正切函数的图象研究正切函数的性质； （2）讨论交流，深化认识，加强应用。

情感、态度、价值观：培养学生分析问题，解决问题的能力；体会“数形结合”、“整体代换”的思想方法；使学生欣赏数的美，调动学生学习的积极性及学习兴趣。

二、重点、难点教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象； 教学难点：正切函数性质的研究； 三、教学方法：自主探究 四、教学过程（Ⅰ）创设情景、提出问题前面我们主要研究了正弦函数y=sinx ，余弦函数y=cosx 的图象和性质，本节课我们将以前面的学习方法来探讨正切函数。

结合正余弦函数的研究方法提出问题：（1）如何画正切函数图象， （2）正切函数有哪些性质 （Ⅱ）复习展示、引入新知（1）复习如何利用单位圆作正切线（学生展示） （2）利用正切线画出函数tan y x =在(,)22x ππ∈-的图像：作法如下：①作直角坐标系，并在直角坐标系 轴左侧作单位圆．②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线． ③描点。

（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线）．④连线．图1根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象向左、右扩展，得到正切函数tan y x = ，(,,)2x R x k k Z ππ∈≠+∈的图象，并把它叫做正切曲线。

图2（2）正切函数的性质请同学们结合正切函数图象研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．①定义域：|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭②值域：R③周期性：正切函数是周期函数，周期是π．④奇偶性：tan()tan x x -=-，∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点O 对称．⑤单调性：由正切曲线图象可知：正切函数在开区间(,),22k k k Zππππ-++∈内都是增函数．强调：a.不能说正切函数在整个定义域内是增函数 b.正切函数在每个单调区间内都是增函数c. 每个单调区间都包括两个象限：四、一或二、三 （Ⅲ）例题分析、拓展延伸例题：求函数)32tan(ππ+=x y 的定义域、周期和单调性解：函数的自变量x 应满足Z k k x ∈+≠+,232ππππ即Z k k x ∈+≠,312 所以，函数的定义域是{}Zk k x x ∈+≠,312|由于[])2(3)2(2tan )32tan()32tan()(+=++=++=+=x f x x x x f πππππππ因此函数的周期为2,由Z k k x k ∈+<+<+-,2322ππππππ解得Z k k x k ∈+<<+-,231235因此，函数的单调递增区间是Z k k k ∈++-),231,235(练习：（学生演板）求函数)32tan(ππ--=x y 的定义域、周期和单调性学习小结:（Ⅳ）基础达标、课堂总结1、函数)tan(a xy =的最小正周期是（ ）A. a πB. ||a πC.aπD. ||a π2．函数tan()4y x π=-的定义域为 （ ）A ．{|}4x R x π∈≠B ． {|}4x R x π∈≠-C ．{|,}4x R x k k Z ππ∈≠+∈ D ． {|,}4x R x k k Z ππ∈≠-∈3.函数)044(tan ≠≤≤-=x x x y 且ππ的值域是（ ）A. []1,1-B. [)(]1,00,1⋃-C. (]1,∞-D. [)+∞-,1 4．函数)43tan(2π+=x y 的单调增区间是 .课堂总结：（学生总结）1、正切函数的图象；2、正切函数的性质；3、“数形结合”、“整体代换”的数学思想方法 （Ⅴ）作业布置1．函数tan y x =（,2x k k Z ππ≠+∈）在定义域上的单调性为（ ）A ．在整个定义域上为增函数B ．在整个定义域上为减函数C ．在每一个开区间(,)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数 D ．在每一个开区间(,)()22k k k Z ππππ-++∈上为减函数2．直线y a =（a 为常数）与正切曲线tan y x ω=（0ω>）的相邻两支的交点间的距离为A ． πB ．πωC ． 2πωD ． 与a 的值有关（ ）3．下列函数中，同时满足①在(0,)2π是递增，②周期为2π，③是奇函数的是（ ）A ． tan y x =B ． cos y x =C ． 1tan 2y x = D ． tan y x =-4．函数tan()3y x π=+的单调 区间为 ．5．函数tan y x =（243x ππ≤≤）的值域为 ．6．不等式1tan x -<≤的解集为 ．7．求函数tan(2)3y x π=-的定义域、周期、单调区间、对称中心.。

第五章三角函数 5.4三角函数的图象与性质5.4.3正切函数的性质与图象[目标]1.能够作出y ＝tan x 的图象；2.理解并记住正切函数的性质；3.会利用正切函数的图象与性质解决相关问题． [重点] 正切函数的性质．[难点]正切函数的图象、性质及其应用．知识点一正切函数y ＝tan x 的图象[填一填]正切函数y ＝tan x 的图象叫做正切曲线.[答一答]1.正切函数y ＝tan x 的图象与x ＝k π＋π2，k ∈Z 有公共点吗？提示：没有．正切曲线是由被互相平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开的无穷多支曲线组成的．2.直线y ＝a 与y ＝tan x 的图象相邻两交点之间的距离是多少？ 提示：由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为π.3.观察正切函数曲线，写出满足下列条件的x 的集合． (1)满足tan x ＝0的集合为．{x |x ＝k π，k ∈Z }(2)满足tan x <0的集合为．{x |k π－π2<x <k π，k ∈Z } (3)满足tan x >0的集合为．{x |k π<x <k π＋π2，k ∈Z }知识点二正切函数y ＝tan x 的性质[填一填](1)定义域是．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }(2)值域是R ，即正切函数既无最大值，也无最小值． (3)周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π. (4)奇偶性：正切函数是.奇函数(5)单调性：正切函数在开区间内是增函数．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈Z(6)对称性：正切函数的图象关于原点对称，正切曲线都是中心对称图形，其对称中心坐标是，正切函数无对称轴．(k π2，0)(k ∈Z )[答一答]4.y ＝tan x 在定义域上是增函数吗？提示：y ＝tan x 在每个开区间(－π2＋k π，π2＋k π)，k ∈Z 内都是增函数，但在整个定义域上不具有单调性．5.正切函数图象与x 轴有无数个交点，交点的坐标为(k π，0)(k ∈Z )，因此有人说正切函数图象的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )，这种说法对吗？提示：不对．正切函数的图象不仅仅关于点(k π，0)对称，还关于点(π2＋k π，0)(k ∈Z )对称，因此正切函数y ＝tan x 的对称中心为(k π2，0)(k ∈Z )．类型一利用正切函数图象求定义域及值域[例1] 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4；(2)y ＝3－tan x .[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z 得，x ≠k π＋π4，k ∈Z .所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为{x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π4，k ∈Z ，其值域为(－∞，＋∞)． (2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图象可知，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上，满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π3，所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z ，其值域为[0，＋∞)．(1)求与正切函数有关的函数定义域要列出使各部分都有意义的不等式(组)，然后求出x 的范围.(2)求值域要用换元的思想，把tan x 看作可取任意实数的自变量. [变式训练1] (1)求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． (2)求函数y ＝sin x ＋tan x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域． 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.∵在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4.又y ＝tan x 的周期为π，∴所求x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4，k ∈Z ，即为此函数的定义域． (2)y 1＝sin x ，y 2＝tan x 均满足在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增，∴函数y ＝sin x ＋tan x 也满足在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增， ∴此函数在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的值域为⎣⎡⎦⎤－22－1，22＋1. 类型二正切函数的周期性[例2] 求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4与函数f (x )＝tan x ＋|tan x |的最小正周期． [解] 函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4的最小正周期为T ＝π4； f (x )＝tan x ＋|tan x |＝⎩⎨⎧0，x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π，2tan x ，x ∈⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，作出f (x )＝tan x ＋|tan x |的简图，如图所示，易得函数f (x )＝tan x ＋|tan x |的最小正周期T ＝π.一般地，函数y ＝A tan (ωx ＋φ)＋B (A ≠0，ω>0)的最小正周期为T ＝πω，常常使用此公式来求周期，也可以借助函数图象求周期.[变式训练2] 若函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫3ax －π3(a ≠0)的最小正周期为π2，则a ＝. ±23 解析：T ＝π|3a |＝π2，所以a ＝±23.类型三正切函数的单调性及应用[例3] (1)求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调区间； (2)比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－12π5的大小． [解] (1)由k π－π2<12x －π4<k π＋π2，k ∈Z 得，2k π－π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z .所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π2，k ∈Z ，无单调递减区间．(2)由于tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－π4＝－tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5＝－tan 2π5， 又0<π4<2π5<π2，而y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， 所以tan π4<tan 2π5，所以－tan π4>－tan 2π5，即tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5.(1)求函数y ＝A tan (ωx ＋φ)的单调性时可将ωx ＋φ看成一个整体，利用y ＝tan x 的单调性求解，但需注意A 、ω的正负性对函数单调性的影响.(2)比较正切值的大小时可利用诱导公式将角转化到区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，再利用正切函数的单调性比较.[变式训练3] (1)函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的单调区间是.递减;⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3，k ∈Z(2)比较大小：tan ⎝⎛⎭⎫－7π4tan ⎝⎛⎭⎫－95π.>解析：(1)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4＝－3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6，由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2，k ∈Z ，得4k π－4π3<x <4k π＋8π3，k ∈Z . 所以y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3，k ∈Z . (2)∵tan ⎝⎛⎭⎫－74π＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π4＝tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－95π＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π5＝tan π5， 又0<π5<π4<π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增， ∴tan π5<tan π4，∴tan ⎝⎛⎭⎫－74π>tan ⎝⎛⎭⎫－95π. 类型四正切函数图象与性质的综合应用[例4] 设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2，已知函数y ＝f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，且图象关于点M ⎝⎛⎭⎫－π8，0对称． (1)求f (x )的解析式； (2)求f (x )的单调区间；(3)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．[解] (1)由题意，知函数f (x )的最小正周期T ＝π2，即π|ω|＝π2.因为ω>0，所以ω＝2. 从而f (x )＝tan(2x ＋φ)．因为函数y ＝f (x )的图象关于点M ⎝⎛⎭⎫－π8，0对称，所以2×⎝⎛⎭⎫－π8＋φ＝k π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋π4，k ∈Z . 因为0<φ<π2，所以φ＝π4.故f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (2)令－π2＋k π<2x ＋π4<π2＋k π，k ∈Z ，得－3π4＋k π<2x <k π＋π4，k ∈Z .即－3π8＋k π2<x <π8＋k π2，k ∈Z .所以函数的单调递增区间为⎝⎛ －3π8＋k π2，⎭⎫π8＋k π2，k ∈Z ，无单调递减区间．(3)由(1)，知f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.由－1≤tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤3， 得－π4＋k π≤2x ＋π4≤π3＋k π，k ∈Z .即－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2，k ∈Z .所以不等式－1≤f (x )≤3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2，k ∈Z .(1)正切函数y ＝tan x 与x 轴相邻交点间的距离为一个周期；(2)y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0，不但包含y ＝tan x 的零点，而且包括直线x ＝π2＋k π(k ∈Z )与x 轴的交点.[变式训练4] 已知函数y ＝tan(2x ＋θ)图象的一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π3，0，若－π2<θ<π2，求θ的值．解：因为函数y ＝tan x 图象的对称中心为点⎝⎛⎭⎫k π2，0，其中k ∈Z ，所以2x ＋θ＝k π2，令x ＝π3，得θ＝k π2－2π3，k ∈Z .又－π2<θ<π2，当k ＝1时，θ＝－π6，当k ＝2时，θ＝π3.所以θ＝－π6或π3.1.若tan x ≥0，则( D ) A ．2k π－π2<x <2k π(k ∈Z )B ．x ≤(2k ＋1)π(k ∈Z )C ．2k π－π2<x ≤k π(k ∈Z )D ．k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )2.函数y ＝2tan ⎝⎛⎭⎫3x －π4的一个对称中心是( C ) A ．⎝⎛⎭⎫π3，0 B ．⎝⎛⎭⎫π6，0 C ．⎝⎛⎭⎫－π4，0 D ．⎝⎛⎭⎫－π2，0解析：由3x －π4＝k π2，得x ＝k π6＋π12，令k ＝－2得x ＝－π4.故选C ．3.函数y ＝1tan (π－x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数4.使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时为单调增的区间是.⎣⎡⎭⎫－π＋2k π，－π2＋2k π(k ∈Z )和⎝⎛⎦⎤－π2＋2k π，2k π(k ∈Z )解析：由y ＝2tan x 与y ＝cos x 的图象知，同时为单调增的区间为⎣⎡⎭⎫－π＋2k π，－π2＋2k π(k ∈Z )和⎝⎛⎦⎤－π2＋2k π，2k π(k ∈Z )． 5．求函数y ＝tan(π－x )，x ∈⎝⎛⎭⎫－π4，π3的值域． 解：y ＝tan(π－x )＝－tan x ，在⎝⎛⎭⎫－π4，π3上为减函数，所以值域为(－3，1)．——本课须掌握的两大问题1．正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上单调递增，不能写成闭区间．正切函数无单调递减区间．第五章5.4.3正切函数的性质与图象A 组·素养自测一、选择题1．函数y ＝tan(x ＋π4)的定义域是( A )A ．{x ∈R |x ≠k π＋π4，k ∈Z }B ．{x ∈R |x ≠k π－π4，k ∈Z }C ．{x ∈R |x ≠2k π＋π6，k ∈Z }D ．{x ∈R |x ≠2k π－π6，k ∈Z }[解析] 由正切函数的定义域可得，x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，∴x ≠π4＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为{x ∈R |x ≠π4＋k π，k ∈Z }．2.已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(π12，0)，则φ可以是( A )A.－π6B.π6 C.－π12D.π12[解析] ∵函数的图象过点(π12，0)，∴tan(π6＋φ)＝0，∴π6＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，令k ＝0，则φ＝－π6，故选A ． 3．函数f (x )＝tan(ωx －π4)与函数g (x )＝sin(π4－2x )的最小正周期相同，则ω＝( A )A ．±1B ．1C ．±2D ．2[解析]π|ω|＝2π|－2|，ω＝±1. 4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是( A )[解析] 由f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3， 知f (x ＋2π)＝tan[12(x ＋2π)－π3]＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3＝f (x )．∴f (x )的周期为2π，排除B ，D ． 令tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3＝0，得x 2－π3＝k π(k ∈Z )． ∴x ＝2k π＋2π3(k ∈Z )，若k ＝0，则x ＝2π3，即图象过点⎝⎛⎭⎫2π3，0，故选A ．5．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 的定义域为⎝⎛⎭⎫2π3，3π2，则函数的值域为( C ) A ．(3，＋∞) B ．⎝⎛⎭⎫－33，＋∞C ．(－3，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫33，＋∞ [解析] 由2π3<x <3π2，即－3π2<－x <－2π3，得π6－3π2<π6－x <π6－2π3，即－4π3<π6－x <－π2，从而tan ⎝⎛⎭⎫π6－x >tan ⎝⎛⎭⎫－4π3＝－ 3.故函数的值域为(－3，＋∞)． 6．在区间[－2π，2π]内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为( B ) A ．3 B ．5 C ．7D ．9[解析] 在同一直角坐标系中画出函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 在区间[－2π，2π]内的图象(图象略)，由图象可知其交点个数为5，故选B ．二、填空题7．函数y ＝3tan(2x ＋π3)的对称中心的坐标为__(k π4－π6，0)(k ∈Z )__.[解析] 令2x ＋π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π4－π6(k ∈Z )，∴对称中心的坐标为(k π4－π6，0)(k ∈Z )．8．求函数y ＝tan(－12x ＋π4)的单调区间是__(2k π－π2，2k π＋32π)(k ∈Z )__.[解析] y ＝tan(－12x ＋π4)＝－tan(12x －π4)，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π，k ∈Z ，∴函数y ＝tan(－12x ＋π4)的单调递减区间是(2k π－π2，2k π＋32π)，k ∈Z .9．函数f (x )＝tan ax (a >0)的图象的相邻两支截直线y ＝π3所得线段长为2，则a 的值为__π2__.[解析] 由题意可得T ＝2，所以πa ＝2，a ＝π2.三、解答题10．求下列函数的周期及单调区间． (1)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4； (2)y ＝|tan x |.[解析] (1)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4＝－3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6， ∴T ＝π|ω|＝4π，∴y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的周期为4π. 由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2(k ∈Z )，得4k π－4π3<x <4k π＋8π3(k ∈Z )，∴y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6在⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )内单调递增，无单调递增区间． ∴y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4在⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )内单调递减． (2)由于y ＝|tan x |＝⎩⎨⎧tan x ，x ∈⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )，－tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π(k ∈Z ).∴其图象如图所示，由图象可知，周期为π，单调增区间为⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )，单调减区间为⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z )．11．已知－π3≤x ≤π4，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2，求f (x )的最值及相应的x 值．[解析] ∵－π3≤x ≤π4，∴－3≤tan x ≤1，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1， 当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝1；当tan x ＝1，即x ＝π4时，y max ＝5.B 组·素养提升一、选择题1．若a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c ＝log 12cos25°，则( D )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．a <c <b[解析] ∵0<sin25°<sin65°＝cos25°<1＝tan45°<tan70°， ∴log 12sin25°>log 12cos25°>log 12tan70°.即a <c <b .2．(2019·河北新高考高一模拟选科)已知函数f (x )＝m tan x －k sin x ＋2(m ，k ∈R )，若f (π3)＝1，则f (－π3)＝( C )A ．1B ．－1C ．3D ．－3[解析] ∵f (x )＝m tan x －k sin x ＋2(m ，k ∈R )，f (π3)＝1，∴f (π3)＝m tan π3－k sin π3＋2＝3m －32k ＋2＝1，∴3m －32k ＝－1， ∴f (－π3)＝m tan(－π3)－k sin(－π3)＋2＝－3m ＋32k ＋2＝3.3．(多选题)下列说法正确的是( BD ) A ．tan 8π7>tan 2π7B ．sin 145°<tan 47°C ．函数y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为πωD ．函数y ＝2tan x (π4≤x <π2)的值域是[2，＋∞)[解析] A 错误，tan 8π7＝tan(π＋π7)＝tan π7，因为0<π7<2π7<π2，函数y ＝tan x 在(0，π2)上单调递增，所以tan π7<tan 2π7，即tan 8π7<tan 2π7；B 正确，sin145°＝sin35°<1，tan47°>1，故sin145°<tan47°；C 错误，函数y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|；D 正确，∵π4≤x <π2，∴由函数的单调性可知y ＝2tan x ≥2，故选BD ．4．(多选题)已知函数f (x )＝tan x ，对任意x 1，x 2∈(－π2，π2)(x 1≠x 2)，给出下列结论，正确的是( AD )A ．f (x 1＋π)＝f (x 1)B ．f (－x 1)＝f (x 1)C ．f (0)＝1D ．f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0[解析] 由于f (x )＝tan x 的周期为π，故A 正确；函数f (x )＝tan x 为奇函数，故B 不正确；f (0)＝tan0＝0，故C 不正确；D 表明函数为增函数，而f (x )＝tan x 为区间(－π2，π2)上的增函数，故D 正确．二、填空题5．若函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则ω的范围为__[－1,0)__.[解析] 若ω使函数在(－π2，π2)上是减函数，则ω<0，而|ω|>1时，图象将缩小周期，故－1≤ω<0.6．给出下列命题：(1)函数y ＝tan|x |不是周期函数； (2)函数y ＝tan x 在定义域内是增函数； (3)函数y ＝⎪⎪⎪⎪tan (2x ＋π3)的周期是π2；(4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋x 是偶函数． 其中正确命题的序号是__(1)(3)(4)__.[解析] y ＝tan|x |是偶函数，由图象知不是周期函数，因此(1)正确；y ＝tan x 在每一个区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )内都是增函数但在定义域上不是增函数，∴(2)错；y ＝⎪⎪⎪⎪tan (2x ＋π3)的周期是π2.∴(3)对；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫52π＋x ＝cos x 是偶函数，∴(4)对．因此，正确的命题的序号是(1)(3)(4)．7．若tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，则x 的取值范围是__⎝⎛⎦⎤－π6＋k π2，5π24＋k π2(k ∈Z )__. [解析] 令z ＝2x －π6，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上满足tan z ≤1的z 的值是－π2<z ≤π4，在整个定义域上有－π2＋k π<z ≤π4＋k π，解不等式－π2＋k π<2x －π6≤π4＋k π，得－π6＋k π2<x ≤5π24＋k π2，k ∈Z .三、解答题8．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3时，若使a －2tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的值总大于零，求a 的取值范围． [解析] ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，∴0≤2x －π3≤π3. 又y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π3内单调递增， ∴0≤tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤3， ∴0≤2tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤2 3. 由题意知a －2tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3>0对x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3恒成立， 即a >2tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3对x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3恒成立． ∴a >2 3.∴实数a 的取值范围是(23，＋∞)．9．画出函数y ＝|tan x |＋tan x 的图象，并根据图象求出函数的主要性质． [解析] 由y ＝|tan x |＋tan x 知y ＝⎩⎨⎧0，x ∈(k π－π2，k π]，2tan x ，x ∈(k π，k π＋π2)(k ∈Z )．其图象如图所示．函数的主要性质为：①定义域：{x |x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z }；②值域：[0，＋∞)； ③周期性：T ＝π； ④奇偶性：非奇非偶函数；⑤单调性：单调增区间为[k π，k π＋π2)，k ∈Z .。

《正切函数的图象和性质》教学设计课型：新授课课时目标：能借助单位圆中的三角函数线画出正切函数的图象，了解正切函数的周期性，借助正切函数的图象理解正切函数在上的性质，体会数形结合的思想。

2 2经历通过研究函数的性质得到函数的图象，再通过函数图象研究函数性质的过程，通过几何法画函数的图象，了解类比思想。

通过对正切函数的图象与性质的学习，培养学生从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。

课时重点：正切函数的图象与性质及深化研究函数性质的思想方法。

课时难点：利用正切线画正切函数的图象；对渐近线的理解，函数性质的理解和应用。

教学方法：1 •计算机辅助教学借助多媒体教学手段引导学生理解利用单位圆中的正切线画正切函数的图象，使问题直观，易于突破难点；利用多媒体向学生展示优美的函数图象，给人美的享受。

2.探究式教学分组讨论、交流、总结，自主探究正切函数的主要性质；通过观察“正切函数的几何作图法”课件的演示，分组讨论图象特征，总结函数性质。

教学过程：创设情景兴趣导入询面我们主要研究了正弦函数、余弦函数的图象和性质，我们研究的方法是通过画出函数的图象得到函数的性质，那么我们能否换个角度，先研究函数的一些性质，再通过性质画出函数的图象，本节课我们将以正切函数为例來尝试新的研究方法。

（板书课题：正切函数的图象和性质）•问1：请大家结合正、余弦函数性质的研究，想一想我们主要研究正切函数的哪些性质呢？•引1：从正切函数的定义出发研究（代数定义、几何定义）分组讨论自主探究四人一组（前后两桌）根据各组的势力，确定自己组的研究目标•根据学生回答的结果，追问它们得到的依据是什么？•问：这些性质反应在图象上冇怎样的特征？（由数及形）£ 由正切函数的定义知，正切函数的定义域为{x\xe RKx^k7T + ^k eZ }—当X = k7T + -时，没冇对应的函数值。

（单位圆屮的正切线解释更直观）2丄由诱导公式：tan（x + 7i} - tan x,x e /?月.兀k7i + —k e Z,知正切函数是周期函数, 2 周期为龙——函数值每隔兀个单位是相等的。

河北武中·宏达教育集团教师课时教案备课人授课时间课题 1.4.3正切函数的性质与图象课标要求引导学生用数形结合思想处理有关问题教学目标知识目标1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象2.用正切函数图象解决函数有关的性质；技能目标1.理解并掌握作正切函数图象的方法；2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法情感态度价值观培养认真学习的精神；重点用单位圆中的正切线作正切函数图象难点正切函数的性质教问题与情境及教师活动学生活动学过程及方法一、复习引入：问题：正弦曲线是怎样画的？正切线?练习正切线，画出下列各角的正切线：．下面我们来作正切函数和余切函数的图象．二、讲解新课：1．正切函数tany x=的定义域是什么？⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠zkkxx,2|ππ2．正切函数是不是周期函数？()tan tan,,2x x x R x k k zπππ⎛⎫+=∈≠+∈⎪⎝⎭且，∴π是tan,,2y x x R x k k zππ⎛⎫=∈≠+∈⎪⎝⎭且的一个周期。

π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。

学生回答1河北武中·宏达教育集团教师课时教案教问题与情境及教师活动学生活动学过程及方法3．作tany x=，x∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的图象说明：（1）正切函数的最小正周期不能比π小，正切函数的最小正周期是π；（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数Rxxy∈=tan，且()zkkx∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线（3）(看课本44页图1.4—10)由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线()2x k k Zππ=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。

4．正切函数的性质引导学生观察，共同获得：（1）定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠zkkxx,2|ππ；（2）值域：R观察：当x从小于()zkk∈+2ππ，2π+π−→−kx时，tan x−−→+∞当x从大于()zkk∈+ππ2，ππkx+−→−2时，-∞−→−xtan。

《正切函数的图像与性质》讲义一、正切函数的定义在直角三角形中，一个锐角的正切值等于这个角的对边与邻边的比值。

如果我们将这个概念推广到整个定义域，就得到了正切函数。

对于任意角α（α ≠ kπ ＋π/2，k∈Z），正切函数可以表示为tanα＝sinα ／cosα。

需要注意的是，cosα 不能为0，否则正切函数无定义。

二、正切函数的定义域正切函数的定义域为｛α ｜α ≠ kπ ＋π/2，k∈Z}。

这是因为当α ＝kπ ＋π/2 时，cosα ＝ 0，而分母不能为 0，所以这些点不在定义域内。

三、正切函数的周期性正切函数是一个周期函数，其最小正周期为π。

这意味着对于任意实数 x，都有 tan(x ＋π) ＝ tan x。

四、正切函数的奇偶性正切函数是一个奇函数，即tan(α) ＝tanα。

这表明正切函数的图像关于原点对称。

五、正切函数的图像正切函数的图像是由无数条不连续的曲线组成的。

我们可以通过分析其在一个周期内的图像来了解其整体特征。

在区间（π/2，π/2）内，正切函数的图像是单调递增的。

当 x 趋近于π/2 时，tan x 趋近于负无穷；当 x 趋近于π/2 时，tan x 趋近于正无穷。

正切函数的图像在每个周期内都有一个垂直渐近线，即在 x ＝kπ ＋π/2（k∈Z）处，函数值趋近于无穷。

为了更直观地理解正切函数的图像，我们可以通过列表、描点、连线的方法来绘制。

六、正切函数的性质1、单调性正切函数在每个周期内都是单调递增的，但在整个定义域内不是单调函数。

2、值域正切函数的值域是 R，即全体实数。

3、零点正切函数的零点为kπ（k∈Z）。

4、渐近线如前所述，正切函数在 x ＝kπ ＋π/2（k∈Z）处有垂直渐近线。

七、正切函数的应用正切函数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

在数学中，正切函数常用于解决三角函数的相关问题，如求解三角形的边长和角度。

在物理学中，例如在波动和振动的研究中，正切函数可以用来描述某些周期性现象。

《正切函数的图象与性质》教学设计◆教学目标1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．◆教学重难点◆教学重点：能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用．教学难点：掌握利用单位圆中正切函数定义得到其图象．◆课前准备PPT课件．◆教学过程【新课导入】孔子东游，见两小儿辩斗，一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地．在相同的时间、相等的面积里，物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题．那么这与正切函数的性质与图象有什么联系呢？引语：要解决这个问题，就需要进一步学习正切函数的图象与性质.（板书：7.3.2.3 正切函数的图象与性质）设计意图：情境导入，引入新课。

【探究新知】问题1：（1）正切函数y＝tan x的定义域是什么？(2)诱导公式tan(π＋x)＝tan x说明了正切函数的什么性质？tan(kπ＋x)(k∈Z)与tan x的关系怎样？(3)诱导公式tan(－x)＝－tan x说明了正切函数的什么性质？师生活动：学生分析，给出答案．预设的答案：（1）π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ．（2）周期性．tan (kπ＋x )＝tan _x (k ∈Z )． （3）正切函数是奇函数．追问：如何画出正切函数的图象？正切函数的图象特征是什么？ 预设的答案：利用正切线作出函数ππtan ,(,)22y x x =∈-的图象（如图）．作法如下： (1)作直角坐标系，并在y 轴左侧作单位圆．(2)把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线． (3)描点．（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线） (4)连线．根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数tan ,y x x =∈R ，且ππ(2x k k ≠+∈Z)的图象，我们把它叫做正切曲线(如图)．正切曲线是被相互平行的直线ππ()2x k k =+∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．在每个开区间 ππ(,)()22k k k Z ππ-++∈上都是增函数。

《余弦函数、正切函数的图象与性质》教案1一、 教学目标知识与技能目标1.理解余弦函数的性质，能正确使用“五点法”“几何法”“图象变换法”画出余弦函数的图象。

2.通过类比正弦、余弦的作图方法，会画出正切函数的图象。

3.借助图象理解正切函数在（-π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等）。

过程与方法目标1.通过图象变换的学习，培养运用数形结合思想分析、理解问题的能力。

2．培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力。

3.迁移、类比的能力。

4.绘图，观察，类比推理，探索知识。

情感、态度与价值观目标1.通过图象变换的学习，培养从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。

2.渗透数形结合的思想，用数形结合的思想理解和处理问题。

3.学生养成看问题要从实际出发，尊重客观规律，懂得实践是认知的源泉；发现数学美；体验成功后的喜悦。

二、 教学重点、难点本小结的教学重点是余弦函数的性质与图象，用“五点法”作函数()ϕω+=x A y cos 的图象，并求这个函数的最大值、最小值、周期及单调区间。

正切函数的图象及正切函数的主要性质难点是余弦函数的图象与正弦函数的图象之间的关系以及()ϕω+=x A y cos 的图象画法。

三、 教学方法：本节教学方法选用类比法，通过与正弦函数的图象与性质的类比得出余弦函数的性质，从而达到温故知新的教学效果。

四、课时2课时五、教学过程第1课时性质：1、定义域：R x ∈2、值域：[]1,1-∈y y 的最大值为1，最小值为1-3、周期：π2第2课时轴上与与）∵∴）∵函数∴。

§1.4.3 正切函数的性质与图象教学目标：1，能够根据研究正弦函数、余弦函数的性质与图象的经验，以同样的方法研究正切函数的性质与图象．2，能够借助图象理解正切函数在(,)22ππ-上的性质（如单调性、奇偶性、图象与x 轴的交点等），了解正切函数的周期性．3，会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象．教学重点：正切函数的性质．教学难点：正切函数的性质的应用．教学过程：一、复习引入：1、复习正弦函数、余弦函数性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最大值与最小值2、回忆正弦曲线的作图过程，思考正切函数的图像如何做出？二、讲授新课：1，正切函数x y tan =的图象。

① 首先考虑定义域：()z k k x ∈+≠2ππ② 为了研究方便，再考虑一下它的周期：()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠∈=--=++=+z k k x R x x x xx x x ,2,t a n c o s s i n c o s s i n t a n πππππ且⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠∈=∴z k k x R x x y ,2,t a n ππ且的周期为π=T （最小正周期）③ 因此我们可选择⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的区间作出它的图象。

根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x xy ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”2，正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：① 定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ， ② 值域：R观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ，2π+π−→−k x 时，∞−→−x tan 当x 从大于()z k k ∈+ππ2，ππk x +−→−2时，-∞−→−x tan 。

③ 周期性：π=T④奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数。

⑤单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增。