正弦、余弦、正切函数的图像与性质

常见三角函数图像及其性质三角函数介绍正弦函数主词条：正弦函数格式：sin（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是csc（θ）的倒数函数图像：波形曲线值域：[]1,1-余弦函数主词条：余弦函数格式：cos（θ）作用：在直角三角形中，将大小为（单位为弧度）的角邻边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sec（θ）的倒数函数图像：波形曲线值域：[]1,1-正切函数主词条：正切函数格式：tan（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cot（θ）的倒数。

函数图像：上图平面直角坐标系反映值域：()∞-∞，+余切函数主词条：余切函数格式：cot（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度比对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是tan（θ）的倒数值域：()∞-∞，+正割函数主词条：正割函数格式：sec（θ）作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cos（θ）的倒数函数图像：上图平面直角坐标系反映值域：(][)∞-1-，1∞，+余割函数主词条：余割函数格式：csc（θ）作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sin（θ）的倒数值域：(][)∞-1-∞，+，1。

三角函数的图像和性质一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (,0) (23π,-1) (2,0)余弦函数y=cosx x [0,2]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (,-1) (23π,0) (2,1)二、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值 当22x k ππ=+时，max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-．当2x k π=时，max 1y =；当2x k ππ=+时，min1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数； 在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数． 在[]2,2k k πππ-上是增函数； 在[]2,2k k πππ+上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭上是增函数．对称性 对称中心(),0k π 对称轴2x k ππ=+对称中心,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对称轴x k π=对称中心,02k π⎛⎫⎪⎝⎭无对称轴函 数 性 质例作以下函数的简图(1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π]例利用正弦函数和余弦函数的图象，求知足以下条件的x 的集合：21sin )1(≥x 21cos )2(≤x3、周期函数概念：关于函数()y f x =，若是存在一个非零常数T ，使适当x 取概念域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做那个函数的周期。

注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一样称为周期） 正弦函数、余弦函数：ωπ=2T 。

三角函数的图像与性质三角函数是数学中的重要概念，它们的图像和性质对于初中数学学习者来说是必须掌握的内容。

在本文中，我将详细介绍三角函数的图像与性质，并给出一些例子和说明，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这些知识。

一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像是一条连续的曲线，呈现出周期性变化。

正弦函数的性质包括：1. 周期性：正弦函数的周期是2π，即在每个2π的区间内，正弦函数的图像重复出现。

2. 幅度：正弦函数的幅度表示波峰和波谷的最大差值，通常记为A。

幅度越大，波峰和波谷的差值越大。

3. 对称性：正弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = -f(-x)。

4. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(x) = -f(x)。

举例说明：假设有一条正弦函数的图像，周期为2π，幅度为1。

在区间[0, 2π]内，正弦函数的图像先从0逐渐上升到1，然后下降到0，再下降到-1，最后又上升到0。

这样的周期性变化会一直重复下去。

根据正弦函数的性质，可以得出该图像关于y轴对称，且是奇函数。

二、余弦函数的图像与性质余弦函数也是一种常见的三角函数，它的图像和正弦函数有些相似，但也有一些不同之处。

余弦函数的性质包括：1. 周期性：余弦函数的周期也是2π，与正弦函数相同。

2. 幅度：余弦函数的幅度也表示波峰和波谷的最大差值，通常记为A。

与正弦函数不同的是，余弦函数的幅度表示波峰和波谷的绝对值最大差值。

3. 对称性：余弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = f(-x)。

4. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即f(x) = f(x)。

举例说明：假设有一条余弦函数的图像，周期为2π，幅度为1。

在区间[0, 2π]内，余弦函数的图像先从1逐渐下降到0，然后下降到-1，再上升到0，最后又上升到1。

这样的周期性变化会一直重复下去。

根据余弦函数的性质，可以得出该图像关于y轴对称，且是偶函数。

三、正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一种重要函数，它的图像与正弦函数和余弦函数有很大的不同。

三角函数的图像与性质（正弦、余弦、正切）【知识点1】函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象性质题型1：定义域例1：求下列函数的定义域(1)xx y cos 2cos 1+=； (2)x y 2sin = 2lg(4)x -题型2：值域 例2：求下列函数值域 (1))3π2,6π(,sin 2-∈=x x y (2)y=2sin(2x-3π),x 5,46ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(3) )3π,2π(),3π2cos(2-∈+=x x y(4)函数1)6π21cos(2++-=x y 的最大值以及此时x 的取值集合题型3：周期例3：求下列函数的周期： （1）f(x)=2sin2x (2)y=cos(123x π-) (3)y=tan(2x 4π-) （4）y=sin x 例4： 若函数()2sin(2)3f x kx π=+的最小正周期T 满足12T <<,则自然数k 的值为______.例5：若)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，则ϖ=________.例6：使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为【 】A ．π25B ．π45C ．πD ．π23例7：设函数f(x)=2sin(25x ππ+),若对于任意的x R ∈,都有f(1x )2()()f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值是A.4B.2C.1D.12题型4：奇偶性 例8：函数y ＝sin （x ＋2π）（x ∈［－2π，2π］）是【 】A.增函数B.减函数C.偶函数D.奇函数例9：判断下列函数的奇偶性 (1)y=xsin(x π+) (2)y=cos 1sin x x+例10：已知函数f(x)=x 3cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=________ 题型5：单调性例11：函数y =21log sin(2x +4π)的单调递减区间是【 】 A.（k π－4π,k π］(k ∈Z ) B.（k π－8π,k π+8π］(k ∈Z ) C.（k π－83π,k π+8π］(k ∈ D.（k π+8π,k π+83π］(k ∈Z )例12：.求1cos()3412logx y π+=的单调区间例13：求下列函数的单调增区间(1))3π21cos(-=x y ; (2) ]0,π[),6π2sin(2-∈+=x x y ；(3))23πsin(2x y -=例14：（1）求函数y=2sin(2x-3π)的单调递减区间。

三角函数的图像与性质一、正弦函数、余弦函数的图像与性质
(
二、正切函数的图象与性质
三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换
1. 由x y sin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的图象
注意：图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。

2. )sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的性质
（1）定义域、值域、单调性、最值、对称性：
将ϕω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出； （2）奇偶性：只有当ϕ取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性：
)sin(ϕω+=x A y ，当πϕk =时为奇函数，当2
ππϕ±=k 时为偶函数；
（3）最小正周期：ω
π2=T
3. y ＝A sin(ωx ＋φ), x ∈[0,+∞) (0,0A ω>>)中各量的物理意义
(1) A 称为振幅； (2)2T πω
=称为周期；
(3)1f
T
=
称为频率；
(4)x ωϕ+称为相位；
(5)ϕ称为初相 (6)ω称为圆频率.。

高中数学公式大全正弦余弦和正切的基本关系高中数学公式大全: 正弦、余弦和正切的基本关系在高中数学学习中，正弦、余弦和正切是三角函数中最基本的三个函数。

它们之间存在着紧密的关系，通过这些关系可以更好地理解和应用三角函数。

1. 正弦（Sin）的定义：在直角三角形中，正弦是指对边与斜边之比，即sinA = 对边/斜边2. 余弦（Cos）的定义：在直角三角形中，余弦是指邻边与斜边之比，即cosA = 邻边/斜边3. 正切（Tan）的定义：在直角三角形中，正切是指对边与邻边之比，即tanA = 对边/邻边4. 正弦、余弦和正切之间的基本关系：根据勾股定理和定义，可以得到以下关系式：sin^2A + cos^2A = 1以及tanA = sinA / cosA5. 三角函数的周期性：正弦、余弦和正切都是周期函数，其周期为360°或2π。

也就是说，对于任意角度A，有以下关系：sin(A + 360°) = sinAcos(A + 360°) = cosAtan(A + 360°) = tanA6. 三角函数的基本性质：（1）正弦和余弦函数的值域在[-1, 1]之间，即-1 ≤ sinA, cosA ≤ 1（2）正切函数的值域是所有实数，即tanA ∈ R7. 一些常用的角度-弧度转换关系：π弧度 = 180°角度A对应的弧度值= (π/180) * A8. 三角函数的图像：正弦函数的图像呈现周期性波浪形，以原点为中心对称；余弦函数的图像也呈现周期性波浪形，但与正弦函数相比，相位相差90°；正切函数的图像则呈现周期性的射线形。

9. 三角函数的应用：正弦、余弦和正切在几何、物理、工程等领域中有广泛的应用。

例如，在三角测量中，我们可以利用正弦、余弦和正切的关系来解决实际问题，如测量不可达高度、角度等。

总结：正弦、余弦和正切是高中数学中最基本的三角函数。

它们之间存在着紧密的关系，通过这些关系可以更好地理解和应用三角函数。

三角函数的图像与性质详解在数学领域中，三角函数是一组常见且重要的函数。

它们不仅具有许多实际应用，同时也有着丰富的图像特性和数学性质。

本文将详细介绍三角函数的图像和性质，以帮助读者更好地理解和应用这些函数。

一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，用符号sin表示。

正弦函数的图像是一个连续的波形，具有以下性质：1. 周期性：正弦函数的图像在一个周期内重复。

正弦函数的周期由2π决定。

2. 对称性：正弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = -f(-x)。

3. 范围：正弦函数的值在[-1, 1]的范围内变化。

二、余弦函数的图像与性质余弦函数是另一个常见的三角函数，用符号cos表示。

余弦函数的图像也是一个连续的波形，具有以下性质：1. 周期性：余弦函数的图像也在一个周期内重复。

余弦函数的周期同样由2π决定。

2. 对称性：余弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = f(-x)。

3. 范围：余弦函数的值同样在[-1, 1]的范围内变化。

三、正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一个重要成员，用符号tan表示。

正切函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正切函数的图像在每个π的倍数处出现垂直渐近线。

因此，正切函数没有固定的周期。

2. 对称性：正切函数的图像关于原点对称，即f(x) = -f(-x)。

3. 范围：正切函数在定义域内可以取任何实数值。

四、其他三角函数除了正弦、余弦和正切函数之外，还有许多与三角函数相关的函数，例如反正弦、反余弦和反正切函数。

这些函数的图像和性质相对复杂，超出了本文的范围。

感兴趣的读者可以进一步学习和了解这些函数的性质。

综上所述，三角函数是数学中常见而重要的函数。

它们的图像和性质有助于我们理解和应用这些函数。

通过研究三角函数的性质，我们可以更好地解决与周期性和周期性相关的问题，例如波动、震动和周期性运动。

希望本文的内容能够对读者在学习和应用三角函数时有所帮助。

第四讲 正弦、余弦和正切函数的图像与性质知识提要1． 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2． 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 R R {x |x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z }值域[－1,1][－1,1]R单调性[-π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上递增； [π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上递减 [-π＋2k π，2k π](k ∈Z )上递增；[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上递减(-π2＋k π，π2＋k π) (k ∈Z )上递增最值x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (k π，0)(k ∈Z ) (π2＋k π，0) (k ∈Z ) (k π2，0)(k ∈Z ) 对称轴方程x ＝π2＋k π(k ∈Z ) x ＝k π(k ∈Z )周期2π2ππ※ 学习评价1、判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期． ( √ ) (2)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数． ( × ) (3)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．( × )(4)y ＝k sin x ＋1(x ∈R )，则y max ＝k ＋1. ( × )2、函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2解析：方法一 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z . 取k ＝－1，则x ＝－π4.方法二 用验证法．x ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝0，不合题意，排除A ； x ＝π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－π4＝22，不合题意，排除B ； x ＝－π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4－π4＝－1，符合题意，C 项正确； x ＝－π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2－π4＝－22，不合题意，故D 项也不正确． 3、若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A ．23B ．32C ．2D ．3解析：∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.例1 求函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4，x ∈[－4π，4π]的单调减区间． 解析：y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4＋1. 由2k π－π2≤12x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得4k π－π2≤x ≤4k π＋32π(k ∈Z)．令k ＝0时，－π2 ≤x ≤32π； 令k ＝1时，72π≤x ≤4π＋32π. 令k ＝－1时，－4π－π2≤x ≤－52π；∵－4π≤x ≤4π，∴函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调减区间为 [－4π，－52π]，[－π2，32π]，[72π，4π]．变式：（1）已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2]（2）已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3解析：（1）由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知(π2ω＋π4，πω＋π4)⊆[π2，3π2]，∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A.解析：由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3. 故选C. 例2 求函数f (x )＝lg sin x ＋16－x 2的定义域．解析：由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >016－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4sin x >0，作出y ＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π)． 例3 求下列函数的周期．(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R)； (2)y ＝cos(1－πx )(x ∈R)； (3)y ＝|sin x | (x ∈R)． 解析：(1)方法一 令z ＝2x ＋π3，∵x ∈R ，∴z ∈R ，函数f (z )＝sin z 的最小正周期是2π，就是说变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数f (z )＝sin z (z ∈R)的值才能重复取得， 而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，从而函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R)的周期是π..方法二 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R)的周期为2π2＝π. (2)设f (x )＝cos(1－πx )，则f (x )＝cos(πx －1)．∵cos[(πx －1)＋2π]＝cos[(πx ＋2π)－1]＝cos[π(x ＋2)－1]＝co s(πx －1)． ∴f (x ＋2)＝f (x )，从而函数y ＝cos(1－πx )(x ∈R)的周期是2. (3)作出y ＝|sin x |(x ∈R)的图象．由图象可知，y ＝|sin x |(x ∈R)的周期为π.例4 (1) 求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域. (2) 求函数y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈R 的值域．解 （1）∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤23π. ∴cos 23π≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤cos π6，∴－12≤y ≤32(2)设t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，f (t )＝t 2－t ＋1. ∵f (t )＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34. ∵－1≤t ≤1， ∴当t ＝－1，即sin x ＝－1时，y max ＝f (t )max ＝3； 当t ＝12，即sin x ＝12时，y min ＝f (t )min ＝34.∴函数y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈R 的值域为⎣⎡⎦⎤34，3.巩固提高※夯实基础1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( A )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)2、函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________．[0,2]3、求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π4的定义域、周期、单调区间和对称中心． 解析：①由π3x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠3k ＋34，k ∈Z .∴ 函数的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠3k ＋34，k ∈Z }．②T ＝ππ3＝3，∴函数的周期为3.③由k π－π2<π3x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z . 解得3k －94<x <3k ＋34，k ∈Z .∴函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫3k －94，3k ＋34，k ∈Z . ④由π3x ＋π4＝k π2，k ∈Z . 解得x ＝3k 2－34，k ∈Z .∴函数的对称中心是⎝⎛⎭⎫3k 2－34，0，k ∈Z . 4. 设|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值．解析：f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54. ∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22. ∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22.5. 已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ， 其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .※能力提高6、将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是 ( )A.13B ．1C.53D ．2解析：根据题意平移后函数的解析式为y ＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π4， 将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0，故ω的最小值为2. 7、函数y ＝|sin x ＋cos x |－1的定义域是( )A ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )B ．[2k π，2k π＋π2](k ∈Z )C ．[－π2＋k π，k π](k ∈Z )D ．[－π2＋2k π，2k π](k ∈Z )解析：|sin x ＋cos x |－1≥0⇒(sin x ＋cos x )2≥1 ⇒sin 2x ≥0，∴2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z ，故原函数的定义域是[k π，k π＋π2](k ∈Z )．8、已知函数)2sin()(ϕ+=x x f ，其中ϕ为实数，若|)6(|)(πf x f ≤对R x ∈恒成立，且)()2(ππf f >，则)(x f 的单调递增区间是 ( ) (A) )(6,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ (B) )(2,Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππ(C) )(32,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ (D) )(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ 解析：∵|)6(|)(πf x f ≤， ∴)6(πf 为)(x f 的最小值或最大值，∴ 1)62sin()6(±=+⨯=ϕππf ， ∴ Z k k ∈+=+,23ππϕπ，∴ Z k k ∈+=,6ππϕ.当6πϕ=时，2167sin )622sin()2(-==+⨯=ππππf ，216sin )62sin()(==+=ππππf . 这与)()2(ππf f >矛盾，舍去。

三角函数的图象与性质1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。

4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

5．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。

函数正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 正切函数y=tanx图像定义域R R{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}值域[-1，1][-1，1]R周期性最小正周期都是2π最小正周期都是2π最小正周期都是π奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心是(Kπ,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2,K∈Z对称中心是(Kπ+π/2,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ,K∈Z对称中心是(Kπ/2,0),K∈Z单调性在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2],K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2],K∈Z上单调递减在[2Kπ,2Kπ+π],K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π],K∈Z上单调递增在[Kπ-π/2,Kπ+π/2],K∈Z上单调递增最值当X=2Kπ(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1当X=2Kπ+π/2(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+π(K∈Z时，Y取最小值－1无最大值和最小值正弦、余弦、正切函数图象及其性质注意1、正弦函数y=sinx在[2kπ-π/2, 2kπ+π/2]（k∈Z）上是增函数，但不能说它在第一或第四象限是增函数；对于正切函数，它在定义域的每一个单调区间内都是增函数，但不能说它在定义域上是增函数。

2、对于复合函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)、y=Atan(ωx+φ)均可以将ωx+φ视为一个整体，用整体的数学方法转化为熟悉的形式解决。

当ω＜0时，要特别注意。

如：y=sin(-2x+π/4)可以化为y=-sin(2x-π/4)或y=cos(2x+π/4)再求解。

3、函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π/∣ω∣，y=Atan(ωx+φ) 的最小正周期为π/∣ω∣。

数学中的三角函数正弦余弦与正切的应用在数学中，三角函数是一种基础的数学工具，常用于解决与角度和三角形相关的问题。

其中，正弦、余弦和正切是三角函数中最常见且广泛应用的三种。

它们在几何、物理、工程等领域中起到了重要的作用。

本文将介绍三角函数正弦、余弦和正切的定义、性质以及其在各个领域中的具体应用。

一、正弦函数的定义与性质在三角函数中，正弦函数(sin)是最基本且常见的函数之一。

它的定义如下：定义1：对于任意实数x，正弦函数sin(x)的值等于以x为角度的弧所对应的直角三角形中，斜边的长度与斜边所在直角的邻边的比值。

正弦函数的性质如下：性质1：正弦函数的周期为2π（或360°）。

即sin(x+2π) = sin(x)，对于任意实数x。

性质2：正弦函数的取值范围为[-1,1]。

即-1≤ sin(x) ≤1，对于任意实数x。

正弦函数在几何、物理等领域中有许多应用。

1. 几何中的应用正弦函数在解决几何问题中起到了重要的作用，尤其是在三角形中。

其中，正弦定理是一项基于正弦函数的重要几何定理。

它可以用于计算三角形的边长或角度。

利用正弦函数，可以得到正弦定理的数学表达式如下：对于任意三角形ABC，边长分别为a, b, c，对应的角度分别为A, B, C，那么有：sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c根据这个定理，我们可以根据已知的两个边与它们夹角的关系，求解未知边长或角度。

2. 物理中的应用正弦函数在物理学中的应用非常广泛。

例如，振动和波动等现象均可以通过正弦函数进行描述和分析。

在简谐振动中，物体以正弦函数的形式来回振动。

振动的幅度、频率以及相位差等都可以通过正弦函数来表示。

在波动中，正弦函数也被广泛应用。

例如，声波、光波等均可以表示为正弦函数的形式。

通过正弦函数可以描述波的振幅、频率、波长等特征。

3. 工程中的应用正弦函数在工程领域中也有很多应用。

例如，在电工学中，交流电信号可以表示为正弦函数。

2017-2018学年度第一学期高三数学（理）复习案 编号：009（A ） 班级： 姓名： 学习小组： 层级编码： 组内评价： 教师评价：正弦、余弦、正切函数的图像与性质【考点】1、三角函数的图像与性质；2、三角函数的图像及性质的应用。

【考点解读】考查内容：1、三角函数的图像与性质； 2、三角函数的图像及性质的应用。

考查形式：常见题型为选择题、填空题、解答题，难度较易，分值约为5-12分。

考查频度：本小节内容为高考高频考点。

【复习目标】1、会用“五点法”作sin y x =和cos y x =的简图，及“三点两线法”作tan y x =的简图，并能由图像归纳出相应函数的性质；2、在具体情境中，应用三角函数图像与性质解决有关函数、方程、不等式等问题；3、通过作图、识图、用图，体会数形结合、化归转化的数学思想。

【学法指导】1、请认真复习阅读“必修四”课本第一章有关内容并梳理基础知识做好笔记；2、勾画疑难问题,课堂上与同学、老师合作交流解决疑惑，请特别关注学案中的黑体字。

[知识梳理] 完成复习资料知识梳理1、作函数sin y x =的简图，观察图像写出函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调区间、对称中心、对称轴。

2、作函数cos y x =的简图，观察图像写出函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调区间、对称中心、对称轴。

3、作函数tan (,)2y x x k k Z ππ=≠+∈的简图，观察图像写出函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调区间、对称中心。

思考：（1）x y tan =在整个定义域上是增函数吗？（2）每个周期函数都有最小正周期吗？（3）正弦函数，余弦函数图像的对称轴及对称中心与其简图上的五个关键点有什么关系？ [基础自测]1、 函数xy tan 11-=的定义域为 。

2、 函数πxy sin 2+=的最大值为 ；最小值为 。

3、当3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数2cos 3y x =- （ ）A.在3,0,,22πππ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上是增加的，在[]0,π上是减少的 B.在 ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增加的，在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减少的 C. 在3,0,,22πππ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上是减少的，在[]0,π上是增加的 D. 在3,0,22πππ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上是减少的，在[]0,π上是增加的 4、]2,0[,sin 1π∈+=x x y 的图像与直线23=y 的交点个数为 。

第8讲三角函数图像与性质[玩前必备]1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质π2．用“五点法”作图，就是令ωx＋φ取下列5个特殊值：0, π2, π,3π2, 2π，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象.3．三角函数图象变换[玩转典例]题型一 三角函数的定义域和值域例1 （1）求函数f (x )＝lg sin x ＋16－x 2的定义域． (2)y ＝lg(3－tan x )．例2 求下列函数的最大值和最小值和值域． (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2； (2)f (x )＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6.[玩转跟踪]1. 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．2.求函数y ＝ log 21sin x－1的定义域．3.函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域为____________．题型二 三角函数的单调性例3 求函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间．[玩转跟踪]1.求函数y ＝12log cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间．2.求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调区间．题型三 三角函数的周期性对称性和奇偶性 例4 已知函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. (1)在该函数的对称轴中，求离y 轴距离最近的那条对称轴的方程；(2)把该函数的图象向右平移φ个单位长度后，图象关于原点对称，求φ的最小正值．[玩转跟踪]1．把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3的图象向右平移φ个单位长度，正好关于y 轴对称，求φ的最小正值．2.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象的一条对称轴方程是( ) 3.在函数①y ＝cos|2x |；②y ＝|cos x |；③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6；④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②④D ．①③题型四 三角函数的图像变换例5 把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈R C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x ∈R [玩转跟踪]1．把函数y ＝f (x )的图象上的各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式．题型五 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例6 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象，求A ，ω，φ的值，并确定其函数解析式．[玩转跟踪]1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 类型六 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的应用例7 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与P 点最近的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π3，5. (1)求函数解析式； (2)指出函数的增区间； (3)求使y ≤0的x 的取值范围．[玩转跟踪]1.设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间及最值[玩转练习]1．下列函数中，最小正周期为4π的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝sin x2D ．y ＝cos 2x2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只需将y ＝f (x )的图象上所有的点( ) A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度3．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π4．若f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，则( ) A ．f (0)>f (－1)>f (1) B ．f (0)>f (1)>f (－1) C ．f (1)>f (0)>f (－1) D ．f (－1)>f (0)>f (1)5.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图，则其解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π46．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________． 7．函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的单调递减区间是________． 8.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，|KL |＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为________．9.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的最小正周期为T ，且在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (mx )＋1(m >0)的图象关于点M ⎝⎛⎭⎫4π3，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上不是单调函数，求m 的取值所构成的集合．10．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，且|φ|<π.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立．且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，求f (x )的单调递增区间．。