2018-2019学年福建省厦门六中高一(下)期中数学试卷

2012-2013学年福建省厦门六中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置上.解：由直线x，4．（5分）如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（）S=6．（5分）（2007•深圳一模）用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为（）．8．（5分）平面α，β和直线m，给出条件：①m⊂α；②m⊥α；③m∥α；④α∥β；⑤α⊥β．为使m∥β，=﹣+c=0②，10．（5分）下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）直线5x﹣2y﹣10=0在y轴上的截距为﹣5 ．，得，即12．（4分）空间直角坐标系中，已知A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点P在z轴上，且|PA|=|PB|，则点P的坐标为（0，0，﹣3）．13．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为BC、C1C的中点，那么异面直线MN与AC所成的角等于60°．14．（4分）已知母线长为6，底面半径为3的圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，则球的体积4．，圆锥的高为：=3=，，∴r=π（）415．（4分）如图，平面中两条直线l1和l 2相交于点O，对于平面上任意一点M，若x，y分别是M到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负实数对（x，y）是点M的“距离坐标”．已知常数p≥0，q≥0，给出下列三个命题：①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且只有1个；②若pq=0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（ p，q）的点有且只有2个；③若pq≠0则“距离坐标”为（ p，q）的点有且只有3个．上述命题中，正确的有①②．（填上所有正确结论对应的序号）三．解答题（本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明与演算步骤）16．（13分）已知三角形ABC的顶点坐标分别为A（4，1），B（1，5），C﹣3，2）；（1）求直线AB方程的一般式；（2）证明△ABC为直角三角形；（3）求△ABC外接圆方程．方程为：==，∴K，）=．…（17．（13分）如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，E、F分别是AB的两个三等分点，AC，DF相交于点G，建立适当的平面直角坐标系：（1）若动点M到D点距离等于它到C点距离的两倍，求动点M的轨迹围成区域的面积；（2）证明：E G⊥D F．得点的坐标为18．（13分）养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高4m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m（高不变）；二是高度增加4m（底面直径不变）（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；（3）哪个方案更经济些？×8×4=32=1019．（13分）已知四棱锥P﹣ABCD的三视图和直观图如图：（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）若E是侧棱PC上的动点，是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．（3）若F是侧棱PA上的动点，证明：不论点F在何位置，都不可能有BF⊥平面PAD．=•PC•S×2×1=20．（14分）已知圆M：x2+y2﹣4x﹣8y+m=0与x轴相切．（1）求m的值；（2）求圆M在y轴上截得的弦长；（3）若点P是直线3x+4y+8=0上的动点，过点P作直线PA、PB与圆M相切，A、B为切点．求四边形PAMB 面积的最小值．=2×=4PB=4，利用|=．轴上截得的弦长为=2×=4PB=4，…（=6…（=的面积的最小值为21．（14分）（2013•广州三模）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）求证：AF⊥平面CBF；（2）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；（3）设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为V F﹣ABCD，V F﹣CBE，求V F﹣ABCD：V F﹣CBE．MNMN AOMN，所以（所以。

2018-2019学年福建省厦门市第六中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知数列1L ）项 A ．20 B ．21C ．22D ．23【答案】D【解析】==，得2145n -=， 即246n = ， 解得23n = ， 故选D2．已知ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，3a =，b =，2c =，那么B =( ) A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】C【解析】根据余弦定理，即可求解。

【详解】解：根据余弦定理得：2229471cos 22322a cb B ac +-+-===⨯⨯ ，又因为()0,B π∈,所以3B π=,故选C .【点睛】这题考查余弦定理，已知三边求角。

属于基础题。

3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且213S a =，则公比q=（ ） A ．12B ．13C ．2D ．3【答案】C【解析】将已知转化为1,a q 的形式，解方程求得q 的值. 【详解】依题意1113a a q a +=，解得2q =，故选C.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量1,a q ，属于基础题.基本元的思想是在等比数列中有5个基本量1,,,,n n a q a S n ，利用等比数列的通项公式或前n 项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列1,a q ，进而求得数列其它的一些量的值.4．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是A ．2π B ．1π C ．22πD ．21π【答案】A【解析】由题意求出圆柱的高和底面圆半径，再求圆柱的体积． 【详解】由题意可知，圆柱的高为2，底面周长为2，故半径为1π，所以底面积为1π，所以体积为2π，故选A ． 【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开图和体积的计算问题，是基础题．5．如图，正三棱柱111ABC A B C 的各棱长(包括底面边长)都是2，E ，F 分别是AB ，11A C 的中点，则EF 与侧棱1C C 所成的角的余弦值是( )A ．55B ．255C ．12D ．2【答案】B【解析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点F ，取AC 的中点G ，连接FG ，EG ，∠EFG 为EF 与侧棱C 1C 所成的角，在直角三角形EFG 中求出此角即可． 【详解】解：取AC 的中点G ，连接FG ，EG根据题意可知FG ∥C 1C ，FG ＝C 1C ； 而EG ∥BC ，EG 12=BC ； ∴∠EFG 为EF 与侧棱C 1C 所成的角，在Rt △EFG ，cos ∠EFG 5= 故选B ． 【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．6．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第六项与第八项之和为4，则4a 等于( ) A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】A【解析】根据题意得68468S S +=，结合等差数列的前n 项和公式，即可求出4a 的值． 【详解】 依题：()()16186844468222a a a a S S a +++=+==，∴42a =. 【点睛】考查等差数列的求和与性质，处理多样，重在考查考生的基本量思想与整体思想，分析能力以及求解运算能力，属基础题．7．底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为A ．B C D ．3【答案】D【解析】根据几何体的性质，判断出球心的位置，进而求得球的半径和体积。

绝密★启用前福建省厦门市2018-2019学年度第二学期高一年级期末数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．若点()()(),0,0,2,1,3A a B C 共线,则a 的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为37,10n S a a +=,则9S =（ ） A ．15B ．30C ．45D ．903．下列选项正确的是（ ）A ．若,?c>d a b >,则a c b d ->- B ．若0a b >>,则2211a b < C 则a b > D ．若0,0a b c >>≠,则ac bc >4．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若 cos cos 2cos a B b A c C +=,则C =（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．233ππ或5．已知,αβ为不同的平面,,a b 为不同的直线则下列选项正确的是（ ） A ．若//,a b αα⊂,则//a bB ．若//,//a b αα,则//a b…………○※※在※※装※※…………○……C ．若//,a b a α⊥,则b α⊥ D ．若,a αβα⊥⊂,则a β⊥6．正方体1111ABCD A B C D -中,直线AC 与1BC 所成角的余弦值为（ ） A B C ．12D ．07．已知01x <<,当411x x+-取得最小值时x =（ ） A ．2B 1 C ．45D ．238．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,2221,2b ac AB =+边上的中线长为2,则ABC ∆面积的最大值为（ ） A ．2 B ．C ．D ．4二、多选题9．如图,正方形ABCD 中,E F 、分别是AB BC 、的中点将,,ADE CDF BEF ∆分别沿DE DF EF 、、折起,使、、A B C 重合于点P .则下列结论正确的是（ ）A ．PD EF ⊥B ．平面PDE PDF ⊥平面C ．二面角P EFD --的余弦值为13D ．点P 在平面DEF 上的投影是DEF ∆的外心10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy 中,()()2,0,4,0,A B -点12PA P PB=满足.设点P 的轨迹为C ,下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为()2249x y ++=B ．在x 轴上存在异于,A B 的两定点,D E ,使得12PD PE= C ．当,,A B P 三点不共线时,射线PO 是APB ∠的平分线D ．在C 上存在点M ,使得2||MO MA =………外……………………○…………※※在※※装※※订※※线※※内………内……………………○…………第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明三、填空题11．不等式210x x+-<的解集是_________________12．等比数列{}n a满足124533,216a a a a+=+=其公比q=_________________13．直线1l过点(2,0)-且倾斜角为30°,直线2l过点()2,0且与1l垂直,则1l与2l的交点坐标为____14．如图,货轮在海上以20 mile/hn的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为150°的方向航行.为了确定船位,在点B观察灯塔A的方位角是120°,航行半小时后到达C点,观察灯塔A的方位角是75°,则货轮到达C点时与灯塔A的距离为______ n mile15．若直线:l y x m=+上存在满足以下条件的点P:过点P作圆22:1O x y+=的两条切线(切点分别为,A B),四边形PAOB的面积等于3，则实数m的取值范围是_______16．如图,圆锥型容器内盛有水,水深3dm,水面直径放入一个铁球后,水恰好把铁球淹没,则该铁球的体积为________dm四、解答题………订………___________考号：______………订………17．已知数列{}n a 的前n 项和为23,.2n n n nS S -=(1)证明:数列{}n a 是等差数列;(2)设(1)?nn n c a =-,求数列{}n c 的前2020项和2020T . 18．已知函数21()(2)()2f x x m x m =+-∈R (1)若关于x 的不等式()4f x <的解集为()2,4-,求m 的值;(2)若对任意[0,4],()20x f x ∈+…恒成立,求m 的取值范围. 19．平面四边形ABCD 中,23,60AB ACB =∠=︒.(1)若22AC =,求BC ;(2)设,ACD ADC αβ∠=∠=,若cos cos ,60AD AC αβα⋅=⋅=︒,求ACD 面积的最大值.20．已知圆22:(4)(5)4M x y -+-=,圆N 与圆M 关于直线:20+-=l x y 对称. (1)求圆N 的方程;(2)过直线l 上的点P 分别作斜率为4,4-的两条直线12,l l ,使得被圆M 截得的弦长与2l 被圆N 截得的弦长相等.(i)求P 的坐标;(ⅱ)过P 任作两条互相垂直的直线分别与两圆相交,判断所得弦长是否恒相等,并说明理由.21．数学的发展推动着科技的进步,正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用,华为的5G 技术领先世界.目前某区域市场中5G 智能终端产品的制造由H 公司及G 公司提供技术支持据市场调研预测,5C 商用初期,该区域市场中采用H 公司与G 公司技术的智能终端产品分别占比055%a =及045%b =假设两家公司的技术更新周期一致,且随着技术优势的体现每次技术更新后,上一周期采用G 公司技术的产品中有20%转而该区域市场中采用H 公司与G 公司技术的智能终端产品占比分别为n a 及n b ,不考虑其它因素的影响.(1)用n a 表示1n a +,并求实数λ使{}n a λ-是等比数列;(2)经过若干次技术更新后该区域市场采用H 公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上?若能,至少需要经过几次技术更新;若不能,说明理由？(参考数据:lg 20.301,lg30.477≈≈)参考答案1．A 【解析】 【分析】通过三点共线转化为向量共线，即可得到答案. 【详解】由题意，可知()1,1BC →=，又(),2AB a →=-，点()()(),0,0,2,1,3Aa B C 共线，则//BC AB →→，即2a -=，所以2a =-，故选A. 【点睛】本题主要考查三点共线的条件，难度较小. 2．C 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式及性质即可得到答案. 【详解】由于3710a a +=，根据等差数列的性质，193799()9()4522a a a a S ++===，故选C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和，难度不大. 3．B 【解析】 【分析】通过逐一判断ABCD 选项，得到答案. 【详解】对于A 选项，若2,1,2,1a b c d ====，代入0a c -=，0b d -=，故A 错误；对于C ||||a b >，故C 错误；对于D 选项，若0c <，则a c b c <，故D 错误，所以答案选B. 【点睛】本题主要考查不等式的相关性质，难度不大. 4．B【解析】 【分析】首先通过正弦定理将边化角，于是求得1cos 2C =，于是得到答案. 【详解】根据正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即sin 2sin cos C C C =，而sin 0C ≠，所以1cos 2C =，又为三角形内角，所以3C π=，故选B.【点睛】本题主要考查正弦定理的运用，难度不大. 5．C 【解析】 【分析】通过对ABCD 逐一判断，利用点线面的位置关系即可得到答案. 【详解】对于A 选项，,a b 有可能异面，故错误；对于B 选项，,a b 可能相交或异面，故错误；对于C 选项，//,a b a α⊥，显然b α⊥故正确；对于D 选项，//a α也有可能，故错误.所以答案选C. 【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力，难度不大. 6．C 【解析】 【分析】作出相关图形，通过平行将异面直线所成角转化为共面直线所成角. 【详解】作出相关图形，由于11//AC A C ，所以直线AC 与1BC 所成角即为直线11A C 与1BC 所成角，由于11A C B ∆为等边三角形，于是所成角余弦值为12，故答案选C.【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值，难度不大. 7．D 【解析】 【分析】可用导函数解决最小值问题，即可得到答案. 【详解】根据题意，令41()1f x x x =+-，则()()222241(2)(32)()11x x f x x x x x ---'=-+=--，而当2(0,)3x ∈时，()0f x '<，当2(,1)3x ∈时，()0f x '>，则()f x 在23x =处取得极小值，故选D. 【点睛】本题主要考查函数的最值问题，意在考查学生利用导数工具解决实际问题的能力，难度中等. 8．D 【解析】 【分析】作出图形，通过+=CDB ADC π∠∠和余弦定理可计算出2a =，于是利用均值不等式即可得到答案. 【详解】根据题意可知2c AD BD ==，而22224+4+44cos =2222c c b b ADC c c --∠=⋅⋅，同理224+4cos 2c a CDB c -∠=，而+=CDB ADC π∠∠，于是cos +cos 0CDB ADC ∠∠=，即2228+02c a b --=，又因为22212b a c =+，代入解得2a =.过D 作DE 垂直于AB 于点E ，因此E 为中点，故14BE c =，而22142422ABCBE BE S AB BE ∆-+==≤⋅=，故面积最大值为4，答案为D.【点睛】本题主要考查解三角形与基本不等式的相关综合，表示出三角形面积及使用均值不等式是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大. 9．ABC 【解析】 【分析】对于A 选项，只需取EF 中点H ，证明EF ⊥平面PDH ；对于B 选项，知,,PE PF PD 三线两两垂直，可知正确；对于C 选项，通过余弦定理计算可判断；对于D 选项，由于PE PF PD =≠，可判断正误.【详解】对于A 选项，作出图形，取EF 中点H ，连接PH ，DH ，又原图知BEF ∆和DEF ∆为等腰三角形，故PH EF ⊥,DH EF ⊥，所以EF ⊥平面PDH ，所以PD EF ⊥，故A 正确；根据折起前后，可知,,PE PF PD 三线两两垂直，于是可证平面PDE PDF ⊥平面，故B 正确；根据A 选项可知 PHD ∠为二面角P EF D --的平面角，设正方形边长为2，因此1PE PF ==，2PH =，22DH ==，2PD ==，由余弦定理得：2221cos 23PH HD PD PHD PH HD +-∠==⋅，故C 正确；由于PE PF PD =≠，故点P在平面DEF 上的投影不是DEF ∆的外心，即D 错误；故答案为ABC.【点睛】本题主要考查异面直线垂直，面面垂直，二面角的计算，投影等相关概念，综合性强，意在考查学生的分析能力，计算能力及空间想象能力，难度较大. 10．BC 【解析】 【分析】通过设出点P 坐标，利用12PA PB=即可得到轨迹方程，找出两点,D E 即可判断B 的正误，设出M 点坐标，利用2||MO MA =与圆的方程表达式解出就存在，解不出就不存在. 【详解】设点(),P x y ，则12PA PB=，化简整理得2280x y x ++=，即()22416x y ++=，故A 错误；当()()1,0,2,0,D B -时，12PD PE=，故B 正确；对于C 选项，222cos =2AP PO AO APO AP PO +-∠⋅，222cos =2BP PO BO BPO BP PO+-∠⋅,要证PO 为角平分线，只需证明cos =cos APO BPO ∠∠，即证22222222AP PO AO BP PO BO AP PO BP PO+-+-=⋅⋅，化简整理即证2228PO AP =-，设(),P x y ，则222PO x y =+，()()222222222282828AP x x y x x y x y x y -=++=++++=+，则证cos =cos APO BPO ∠∠，故C 正确；对于D 选项，设()00,M x y ,由2||MO MA =可得220003316+160x y x ++=，而点M 在圆上，故满足2280x y x ++=，联立解得0=2x ，0y 无实数解，于是D 错误.故答案为BC. 【点睛】本题主要考查阿氏圆的相关应用，轨迹方程的求解，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.11．x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭【解析】 【分析】可先求出一元二次方程的两根，即可得到不等式的解集. 【详解】由于21=0x x +-的两根分别为：112x --=，2x =，因此不等式210x x +-<的解集是12x ⎧-+⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的求解，难度不大. 12．12【解析】 【分析】观察式子，将两式相除即可得到答案. 【详解】根据题意，可知345121=8a a q a a +=+，于是12q =. 【点睛】本题主要考查等比数列公比的相关计算，难度很小. 13．( 【解析】 【分析】通过题意，求出两直线方程，联立方程即可得到交点坐标. 【详解】根据题意可知1tan 30k ==o 1l为：2)y x =+，由于直线2l 与1l 垂直，故121k k ?-，所以2k =2l为：2)y x =-，联立两直线方程，可得交点(. 【点睛】本题主要考查直线方程的相关计算，难度不大. 14．【解析】 【分析】通过方位角定义，求出ABC ∠，45A ∠=，利用正弦定理即可得到答案. 【详解】根据题意，可知200.510BC =⨯=,15012030ABC ∠=-=,3075105ACB ∠=+=，因此可得45A ∠=，由正弦定理得：sin sin BC ACA ABC=∠，求得AC =即答案为【点睛】本题主要考查正弦定理的实际应用，难度不大.15．-⎡⎣【解析】 【分析】通过画出图形，可计算出圆心到直线的最短距离，建立不等式即可得到m 的取值范围. 【详解】作出图形，由题意可知PA OA ⊥，PB OB ⊥，此时，四边形PAOB 即为2PAO S ∆,而13||||22PAO S PA OA ∆==，故||3PA =，勾股定理可知||PO =，而要是得存在点P 满足该条件，只需O 即可，即d =≤，所以||m ≤故m 的取值范围是-⎡⎣.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，意在考查学生的转化能力，计算能力，分析能力，难度中等. 16．125π【解析】 【分析】通过将图形转化为平面图形，然后利用放球前后体积等量关系求得球的体积. 【详解】作出相关图形，显然AH =,因此30ACH ∠=o ，因此放球前211=3=33V ππ⋅⋅，球O 与边1A C 相切于点M ，故O M r =，则2OC r =，所以13CH r =，11A H ,所以放球后)2321=3=33V r r ππ⋅⋅，而12+=V V V 球，而34=3V r π球，解得12=5V π球.【点睛】本题主要考查圆锥体积与球体积的相关计算，建立体积等量关系是解决本题的关键，意在考查学生的划归能力，计算能力和分析能力.17．（1）见解析；（2）3030 【解析】 【分析】（1）当1n =时，可求出首项，当2n ≥时，利用1n n n a S S -=-即可求出通项公式，进而证明是等差数列；(2)可将奇数项和偶数项合并求和即可得到答案. 【详解】（1）当时，111a S ==当2n ≥时，22133(1)(1)3222n n n n n n n a S S n -----=-=-=-综上，*32,n a n n N =-∈.因为1(32)[3(1)2]3,2n n a a n n n --=----=≥，所以{}n a 是等差数列.（2）法一：(1)(1)(32)n nn n c a n =-⋅=-⋅-，{}n c 的前2020项和为：()()()2000123420192020T a a a a a a =-++-+++-+()()()214320202019a a a a a a =-+-++-333310103030=+++=⨯=法二：(1)(1)(32)n nn n c a n =-⋅=-⋅-，{}n c 的前2020项和为：()()()2000123420192020T a a a a a a =-++-+++-+()()13520192462020a a a a a a a a =-+++++++++101010091010100910101610104622⨯⨯⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10101101043030=-⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查等差数列的证明，分组求和的相关计算，意在考查学生的分析能力和计算能力，难度中等.18．（1）1m =；（2）[0,)+∞ 【解析】 【分析】(1) 不等式()4f x <可化为2(42)80x m x ---<，而解集为()2,4-，可利用韦达定理或直接代入即可得到答案；（2）法一：讨论0x =和(0,4]x ∈时，分离参数利用均值不等式即可得到取值范围； 法二：利用二次函数在[0,4]x ∈上大于等于0恒成立，即可得到取值范围. 【详解】（1）法一：不等式()4f x <可化为2(42)80x m x ---<，其解集为()2,4-，由根与系数的关系可知2442m -+=-， 解得1m =，经检验1m =时满足题意.法二：由题意知，原不等式所对应的方程()4f x =的两个实数根为2-和4， 将2-（或4）代入方程计算可得1m =，经检验1m =时满足题意. （2）法一：由题意可知21(2)22m x x -≤+恒成立， ①若0x =，则02≤恒成立，符合题意。

福建省厦门市二中2018-2019学年高一下学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题3，则sin A ：sin B 的值是（ ） A. 53 B. 35 C. 37 D. 57 2.下列判断正确的是（ ） A.空间中不同三点确定一个平面 B.垂直于同一条直线的两直线平行C.若直线l 与平面α平行，在l 与平面α内的任意一条直线都平行D.梯形一定是平面图形3.在△ABC 中，已知a 2+c 2−a 2=bc ，则∠A =( )A. π6 B. π3 C. 2π3 D. π3或2π34.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 5=25，a 3+a 7=18，则{a n }的公差d 等于（ ）A. -2B. 0C. 1D. 25.在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA 的中点为E ，11A B 的中点为F ，1BB 的中点为G ，BC 的中点为H ，则异面直线EF 与GH 所成角为（ ） A.30︒B.60︒C.90︒D.45︒6.关于x 的不等式x 2−2ax −8a 2<0(a >0)的解集为(x 1,x 2),且x 2−x 1=15,则a =A. 154 B. 72 C. 52 D. 1527.已知实数,a b R +∈，且2a b +=则14a b+的最小值为( ) A.9B.92C.5D.48.数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前20项和为（ ） A.210B.220C.230D.2409.若0a b >>，且1ab =，则下列说法正确的是（ ）A.2a b b +<B.+a b 的最小值为2C.221a b ->D.224a b +>10.在数列{}n a 中，若221n n a a p --=（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断，正确的是（ ） A.{}(1)n-不是等方差数列；B.若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列；C.已知数列{}n a 是等方差数列，则数列{}2n a 是等方差数列；D.若{}2n a 是等方差数列，则{}kn a (*k N ∈，k 为常数)也是等方差数列.第II 卷（非选择题）二、填空题11.记n S 为数列n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则1a =________. 12.已知02x <<，则(42)x x -的最大值为________.13.如图，已知圆锥S0的母线SA 的长度为2，一只蚂蚁从点B 绕着圆锥侧面爬回点B 的最短距离为2，则圆锥SO 的底面半径为 ．三、解答题20+>. （1）当1m =-时，求x 的取值范围；（2）若当x ∈R 时不等式恒成立，求实数m 的取值范围.15.如图，直角梯形ABDC 中，AB CD ∥，AB CD >，90DCA ︒∠=，2AB =，1AC CD ==.（1）若S 是直角梯形ABDC 所在平面外一点，画出平面SBD 和平面SAC 的交线，并说明理由；（2）直角梯形ABDC 绕直线AC 所在直线旋转一周所得几何体名称是什么?并求出其体积. 16.在ΔABC 中，角A,B,C 所对的边分别是a,b,c ，√3acosB =bsinA . （1）求角B 的大小；（2）AD 是BC 边上的中线，若AD⊥AB ，AB =2，求AC 的长.17.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，1310a a +=，430S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2log nn na b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油22360x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.四、新添加的题型设是定义在)上的函数，且()0f x >，对任意0a >，0b >，若经过点(,())a f a ，(,())b f b -的一次函数与x 轴的交点为(,0)c ，则称c 为a ，b 关于函数()f x 的平均数，记为(,)f M a b ，例如，当()1(0)f x x =>时，可得(,)2f a bM a b c +==，即(,)f M a b 为a ，b 的算术平均数.（1）当()f x =________(0)x >时，(,)f M a b 为a ，b 的几何平均数； （2）当()f x =________(0)x >时，(,)f M a b 为a ，b 的调和平均数2aba b+. （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）参考答案1.A【解析】1.由正弦定理可得：sinAsinB =ab=53.本题选择A选项.2.D【解析】2.根据平面的性质，以及空间中直线的位置关系，直线与平面的位置关系进行判断即可. 对A：空间中不在同一直线的三点确定一个平面，故A错误；对B：垂直于同一条直线的两直线可以平行，也可以成为异面直线，故B错误；对C：若直线l与平面α平行，则l与过l的平面与α的交线平行，故C错误；对D：梯形中一组对边平行，而两条平行直线可以确定一个平面，故D正确.故选：D.3.B【解析】3.由已知直接利用余弦定理求得cosA，则∠A可求．由a2+c2−a2=bc，得cosA=b 2+c2−a22bc=bc2bc=12，∵0<A<π，∴A=π3．故选：B．4.D【解析】4.根据题意，由等差数列的前n项和公式可得a1+a2+a3+a4+a5=5a3=25，解可得a3=5，又由a3+a7=18，可得a7=13，由等差数列的通项公式分析可得答案．解：根据题意，等差数列{a n}中，若S5=25，即a1+a2+a3+a4+a5=5a3= 25，则a3=5，又由a3+a7=18，则a7=13，则等差数列{a n}的公差d=a7−a34=2；故选：D 5.B【解析】5.将两条异面直线进行平移直至相交，在同一个三角形中求解角度. 根据题意，连接11,,AB B C AC ，作图如下：因为EF //1AB ，GH //1B C 故1AB C ∠即为所求角或其补角. 在1AB C 中，因为11AB B C AC ==故160AB C ∠=︒. 故选：B. 6.C【解析】6.分析：先通过解一元二次不等式得到不等式的解集，再利用区间长度进行求解． 详解：因为x 2−2a −8a 2<0(a >0)，所以(x +2a)(x −4a)<0(a >0)， 即−2a <x <4a ，又|x 1−x 2|=15， 所以6a =15，解得a =52．7.B【解析】7. 根据条件可得()141142a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭然后利用基本不等式可求出最小值．∵实数a ，b ∈R +，且a +b ＝2，∴()141141419552222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当4b a a b =，即a 23=，b 43=时取等号， ∴14a b +的最小值为92． 故选：B ． 8.A【解析】8.根据递推公式，寻找几项的规律，构造新数列，求和即可. 因为1(1)21nn n a a n ++-=- 故()()()()1121121112121n n nn n n a a n a n n ++++=--++=----+-++=()()12121nn a n n -+--++即：()()212121nn n a a n n ++=--++同理可得：()()13112123n n n a a n n ++++=-+++故可得()3214412nn n n n a a a a n ++++++=+--⨯ 令4414243n n n n n b a a a a ---=+++则116n n b b +=+，又110b =，故166n b n =- 故20125151016210S b b b b =+++=⨯+⨯=.故选：A. 9.D【解析】9.根据已知条件，利用不等式的性质，对每个选项进行逐一判断即可. 对A ：因为()20b a b b a -+=-<，故2b a b <+，故A 错误；对B ：12a b a a +=+>=，因为a b >，故取不到2，则B 错误； 对C ： 222210a b a a-=->在()1,a ∈+∞成立，故C 错误；对D ：22a b +>B 选项可知，2a b +>，故224a b +>=，故D 正确. 故选：D. 10.B【解析】10.根据新数列的定义，对每项进行逐一推证即可.对A ：()()221110n n -⎡⎤⎡⎤---=⎣⎦⎣⎦，故数列{}(1)n-是等方差数列，故A 错误；对B ：{}n a 既是等方差数列，则221n n a a p --=，即()()11n n n n a a a a p --+-=又{}n a 是等差数列，则1n n a a d --=，（d 为常数） 若0d =，显然该数列为常数列， 若0d ≠，则可得1n n pa a d-+=，故可解得12n p a d d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭此时该数列也为常数列；综上所述，若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 故B 正确；对C ：数列{}n a 是等方差数列，则221n n a a p --=()442211n n n n a a p a a ---=+不一定是常数，数列{}2n a 不一定是等方差数列， 故C 错误；对D ：{}2n a 是等方差数列，则441n n a a p --=，不能够说明()221kn k n a a --为常数，故D 不正确； 故选：B . 11.-1【解析】11.对前n 项和公式进行赋值，即可求得结果. 因为21n n S a =+，故当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-故答案为：-1. 12.2【解析】12.对不等式进行配凑，应用均值不等式进行处理. 因为02x <<，故(42)x x -0> 则(42)x x -()()21112422422224x x x x =⨯-≤⨯+-= 当且仅当242x x =-，即1x =时，取得最大值2. 故答案为：2. 13.【解析】13.试题圆锥的展开图为扇形，且扇形的半径长为2，一只蚂蚁从点B 绕着圆锥侧面爬回点B 的最短距离为该扇形的弦长为2，所以扇形的圆心角为3π，设底面半径为r ，则223r ππ=⨯，解得13r = 14.(1) ()1,2-；(2)[)0,8.【解析】14.（1）按照一元二次不等式的解法，分解因式，即可求得； （2）先对参数进行讨论，再根据二次函数恒成立的条件进行处理. （1）当1m =-时，不等式等价于220x x --< 分解因式可得()()210x x -+< 故不等式的解集为：()1,2x ∈-. 即x 的取值范围为：()1,2-.（2）当0m =时，原不等式等价于2>0，显然恒成立，满足题意； 当0m ≠时，原不等式220mx mx -+>为二次不等式， 若要满足题意，只需：0m >，且280m m =-<解得：()0,8m ∈ 综上所述：[)0,8m ∈.15.(1)交线和理由见详解；(2)所得几何体为圆台，体积为73π.【解析】15.（1）找到两个平面的两个公共点，根据公理，即可得到交线；（2）根据旋转体的特点，即可知道几何体的名称，根据圆台体积计算公式可算出体积. （1）根据题意，平面SBD 和平面SAC 的交线为SM ，具体如下图所示：延长AC ，延长BD ，取两条直线的交点为M ，连接SM ， 则SM 即为平面SBD 和平面SAC 的交线为SM 理由如下：因为S 点在平面SAC 中，S 点也在平面SBD 中， 故S 点为两平面的公共点；又因为M 点在直线AC 上，直线AC 在平面SAC 中， 故M 点在平面SAC 中；同理，因为M 点在直线BD 上，直线BD 在平面SBD 中， 故M 点在平面SBD 中；则M 点和S 点均是平面SAC 和平面SBD 的公共点 故直线SM 为两个平面的交线. （2）该旋转体为圆台.其中小圆的圆面积为211S ππ=⨯=大圆的圆面积为2224S ππ=⨯=圆台的高即为AC 的长度，故1h =则该圆台的体积为(1213V S S h =++⨯ 解得177133V ππ=⨯⨯= 故该几何体为圆台，且体积为73π. 16.（1）π3（2）2√13【解析】16.（1）由正弦定理化简已知等式可得：√3sinAcosB =sinBsinA ，由于sinA ≠0，可得：tanB=√3，结合范围B ∈(0,π)，可求B 的值．（2）由三角形面积公式可求b 2=ac ，进而利用余弦定理可得2ac =a 2+c 2，即可解得a c的值．解：（1）在ΔABC 中，√3acosB =bsinA ，由正弦定理得√3sinAcosB =sinBsinA ， ∵A∈(0,π)，∴sinA ≠0，∴√3cosB =sinB ，即tanB =√3，∵B∈(0,π)，∴B =π3.（2）在ΔABD 中，AB ⊥AD ，AB =2，B =π3，∴cos60°=AB BD=2BD，∴BD=4，∵AD 是ΔABC 的中线，∴BC =8，在ΔABC 中，由余弦定理得AC=√AB 2+BC 2−2AB ⋅BCcosB=√22+82−2×2×8×12=2√13.17.(1) 2nn a =.；(2)()1 222nn T n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.【解析】17.（1）根据等比数列的基本量，列方程求解即可；（2）由（1）可知数列{}n b ，再用错位相减法即可求前n 项和. （1）该数列的公比为q ，公比显然不等于零， 根据题意可得：()41211110,301a q a a q q-+==-解得12,2a q ==，故2nn a =.（2）因为2n n a =，故12nn b n ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭ 故12n n T b b b =+++211112222n n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()2311111112122222n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减可得： 2311111111222222n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111221112212n n n T n +⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭=-⨯ ⎪⎝⎭- 1111222n n n T ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()1222n n T n ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭. 18.(1) y ＝13018x ⨯＋2130360⨯x ，x ∈[50，100] (或y ＝2340x ＋1318x ，x ∈[50，100]).(2) 当x ＝千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为元.【解析】18.（1）先确定所用时间，再乘以每小时耗油与每小时工资的和得到总费用表达式，（2）利用基本不等式求最值即得结果.(1)设所用时间为t ＝130x (h)， y ＝130x ×2×22360x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋14×130x ，x ∈[50，100]. 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝13018x ⨯＋2130360⨯x ，x ∈[50，100] (或y ＝2340x＋1318x ，x ∈[50，100]).(2)y ＝13018x ⨯＋2130360⨯x， 当且仅当13018x ⨯＝2130360⨯x ， 即x ＝时等号成立.故当x ＝千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为元.x【解析】19.根据题中对(,)f M a b 的定义，结合三点共线，推出对应的结论，选择适当的函数即可. （1）根据题意(,)f M ab c ==()()()()(),,,,,0a f a b f b c -三点共线故可得：()()f a f b a c c b =--f a f b =f a f b=()0)f x x =>（2）根据题意，(,)f M a b 2ab c a b ==+，由定义可知： ()()22f a f b ab ab a b a b a b =--++，整理得()()f a f b a b = 故可选择(),(0)f x xx =>x .。

福建省厦门市2018-2019学年下学期期中考试高一数学试题A 卷一、选择题：（共10个小题，每题5分，共50分．每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的标号填涂在答题卡上.）1. 直线x+y+1=0的倾斜角与在 y 轴上的截距分别是（ ）OABC 的面积为( )A ．24 2B ．12 2C ．48 2D ．20 23. 直线3x+y+1=0和直线6x+2y+1=0的位置关系是（ ）A ．重合B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直4.．点（2，1）到直线3x ﹣4y+2=0的距离是（ ）A ．B ．C ．D ． 5. 直线y ＝x ＋4与圆(x －a)2＋(y －3)2＝8相切，则a 的值为( )A ．3B ．2 2C ．3或－5D ．－3或56. 圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)7. 圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( )A ．2B ．22C ．1D ． 28. 以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝99. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3C ．323 cm 3D ．403cm 3 10. 已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A ．.53B ．213C ．253D ．43二、填空题：（共4个小题，每题4分，共16分.）11. 已知直线l 1：ax ＋(3－a)y ＋1＝0，l 2：x －2y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________．12. 若过两点A(－m,6)，B(1,3m)的直线的斜率为12，则m ＝________.13. 设a ，b ，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线．上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．14. 直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________．三、解答题：（本大题共3小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，将解答过程写在答题纸上.）15.（10分）求过点A(1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．16.（ 10分） 如图，几何体EF­ABCD 中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AD ＝2，AB ＝4，∠ADF ＝90°.求证：AC ⊥FB ；17.（14分）如图所示，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D 为AC 的中点，AA 1＝AB ＝2.(1)求证：AB1∥平面BC 1D ；(2)设BC ＝3，求四棱锥B ­DAA 1C 1的体积．B卷四、填空题：共4个小题，每题4分，共16分.18. 已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________．19. 若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．20. 已知过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为45，则直线l 的方程为________．21. 在正四棱锥V­ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为________．五、解答题：本大题共3小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，将解答过程写在答题纸上.22.（10分）已知光线从点A(－4，－2)射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在的直线方程．23. （12分）已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝22时，求直线l的方程．24.（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1B1；（3）求CP与平面BDD1B1所成的角大小．福建省厦门市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题参考答案A 卷一、选择题：DABAC DDCCB二、填空题：11. 答案：212. 答案：－213. 答案：①14. (2，－2)三、解答题：15.（10分） 解：(1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43. （3分） 又直线经过点A(1,3)， （5分）因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)， （9分） 即4x ＋3y －13＝0. （10分）16. （10分） 解：(1)证明：由题意得，AD ⊥DC ，AD ⊥DF ，且 DC ∩DF ＝D ，∴AD ⊥平面CDEF ， （2分）∴AD ⊥FC.∵四边形CDEF 为正方形，∴DC ⊥FC ，∵DC ∩AD ＝D ，∴FC ⊥平面ABCD ，∴FC ⊥AC. （5分）又∵四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AD ＝2，AB ＝4，∴AC ＝22，BC ＝22， （7分）则有AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ， （9分）又BC ∩FC ＝C ，∴AC ⊥平面FCB ，∴AC ⊥FB. （10分）17. （14分）解：(1)证明：连接B 1C ，设B 1C 与BC 1相交于点O ，连接OD ，如图所示．∵四边形BCC 1B 1是平行四边形，∴点O 为B 1C 的中点．∵D 为AC 的中点，∴OD 为△AB 1C 的中位线， （2分）∴OD ∥AB 1.∵OD ⊂平面BC 1D ，AB 1⊄平面BC 1D ， （5分）∴AB 1∥平面BC 1D. （7分）(2)∵AA 1⊥平面ABC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，∴平面ABC ⊥平面AA 1C 1C.∵平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ，连接A 1B ，作BE ⊥AC ，垂足为E ，则BE ⊥平面AA 1C 1C. （10分）∵AB ＝AA 1＝2，BC ＝3，AB ⊥BC ，∴在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝4＋9＝13，∴BE ＝AB·BC AC ＝613， （12分） ∴四棱锥B ­AA 1C 1D 的体积V ＝13×12(A 1C 1＋AD)·AA 1·BE＝16×3213×2×613＝3.（14分）B 卷四、填空题：18. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，1219. 答案：(－1,1)20. 答案：x ＋2y ＋9＝0或2x －y ＋3＝021. 答案：π2五、解答题：.22（10分）解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．(4分)由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C.故BC 所在的直线方程为y －6－4－6＝x －1－2－1， (8分) 即10x －3y ＋8＝0.（10分）23. （12分）解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，（ 2分） 则此圆的圆心为(0,4)，半径为2. （3分）(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a|a 2＋1＝2， （5分） 解得a ＝－34. （6分） (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质， 得⎩⎪⎨⎪⎧ |CD|＝|4＋2a|a 2＋1，|CD|2＋|DA|2＝|AC|2＝22，|DA|＝12|AB|＝2， （8分）解得a ＝－7或a ＝－1. （10分）故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0. （12分）24.（12分）解：（1）证明：设AC 和BD 交于点O ，连PO ，由P ，O 分别是DD 1，BD 的中点，故PO ∥BD 1， （2分）∵PO ⊂平面PAC ，BD 1⊄平面PAC ，（3分）所以，直线BD 1∥平面PAC ． （4分）（2）长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=1，底面ABCD 是正方形，则AC ⊥BD ，又DD 1⊥面ABCD ，则DD 1⊥AC ．（6分）∵BD ⊂平面BDD 1B 1，D 1D ⊂平面BDD 1B 1，BD∩D 1D=D ，∴AC ⊥面BDD 1B 1．∵AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面BDD 1B 1 ．(8分)（3）由（2）已证：AC ⊥面BDD 1B 1，∴CP 在平面BDD 1B 1内的射影为OP ，∴∠CPO 是CP 与平面BDD 1B 1所成的角．（10 分）依题意得，，在Rt △CPO 中，，∴∠CPO=30° ∴ CP 与平面BDD 1B 1所成的角为30°．（12分）。

福建厦门六中18-19学度高一下年中考试-数学〖精析版〗数 学 试 卷总分值150分 考试时间120分钟 2018-4-10参考公式： 球的表面积公式S 球24R π=，球的体积公式V 球343R π=，其中R 是球半径、锥体的体积公式V 锥体13Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高、 【一】选择题：(本大题共10个小题，每题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、)1、假设直线通过(0,1),4)A B 两点，那么直线AB 的倾斜角为( )A 、30oB 、45oC 、60oD 、120o2、倾斜角为135︒，在y 轴上的截距为1-的直线方程是 ( )A 、01=+-y xB 、01=--y xC 、01=-+y xD 、01=++y x3、直线01343=-+y x 与圆22(x 1)(y 2)1-++=的位置关系是〔 〕A. 相离B. 相交C. 相切D. 无法判定A 、平行于同一个平面的两个平面平行B 、平行于同一条直线的两个平面平行C 、一个平面与两个平行平面相交，交线平行D 、一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么必与另一个相交选项C 中，一个平面与两个平行平面相交，交线平行，是面面平行的性质定理成立。

选项D 中，一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么必与另一个相交也成立。

5.如图是一个正方体的平面展开图，那么在正方体中AB 与CD 的位置关系为〔〕A 、相交B 、平行C 、异面而且垂直D 、异面但不垂直6.直线:10l x y -+=关于y 轴对称的直线方程为〔〕A 、10x y -+=B 、10x y +-=C 、10x y ++=D 、10x y --=7、圆锥的表面积为29cm π，且它的侧面展开图是一个半圆，那么圆锥的底面半径为A 、2cm B 、C D 、〔〕8、给定以下四个命题的表述：①假设一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②假设一个平面通过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；、④假设两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直、 其中，表述正确的命题的是〔〕A 、②和③B 、①和②C 、②和④D 、③和④【答案】C【解析】解：命题1中，必须是两条相交直线才能成立，错误命题3中，垂直于同一条直线的两直线可能有三种情况，平行，相交，异面。

厦门六中—下学期高一数学半期考数 学 试 卷满分150分 考试时间1参考公式： 球的表面积公式S球24R π=，球的体积公式V 球343R π=，其中R 是球半径． 锥体的体积公式V 锥体13Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 台体的体积公式V台体1()3h S S '=，其中,S S '分别是台体上、下底面的面积，h 是台体的高． 一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置上. 1. 直线x的倾斜角为 ( )A ，150ºB ，1C ，60ºD ，30º2. 如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为一个正方形，则原来图形的面积是( C )（A ）2 (B) 2 (C) 22 (D) 13. 点P(x,2,1)到点A(1,1,2)、B(2,1,1)的距离相等，则x 等于( )A ．12B ．1C ．32D ．2 4. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积是（ ）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π5. 两圆（x ―2）2+(y+1)2 = 4与(x+2)2+(y ―2)2 =9的公切线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6. 直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( D )(A)x ＋2y －1＝0 (B)2x ＋y －1＝0 (C)2x ＋y －3＝0 (D)x ＋2y －3＝07. ．不同直线m 、n 和不同平面α、β.给出下列命题：① ⎭⎪⎬⎪⎫α∥βm ⊂α⇒m ∥β；② ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ∥β⇒n ∥β；③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂β⇒m ，n 异面；④⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βm ∥α⇒m ⊥β. 其中正确命题有( ) （A ）．0 （B ）．1 （C ）．2 （D ）．38. 已知直线l 1：y ＝kx ＋b ，l 2：y ＝bx ＋k ，则它们的图象为( C )9. 有三个平面α，β，γ，下列命题中正确的是 （ ）（A ）若α，β，γ两两相交，则有三条交线 （B ）若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ（C ）若α⊥γ，β∩α=a ，β∩γ=b ，则a ⊥b （D ）若α∥β，β∩γ=∅，则α∩γ=∅俯视图正(主)视图 侧(左)视图10. 已知点)5,0(A 、)4,5(B 直线l 过点)1,1(P ，且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（ ）A 、34k ≥或4k ≤- B 、34k ≥或14k ≤- C 、434≤≤-k D 、443≤≤k 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共 11. 若直线(a+1)X+Y-a=0与直线aX+2(a+1)Y-1=0垂直,则a=______12. 已知正方体的外接球的体积为34π，则这个正方体的棱长是______________ 13. 过点（2, –1）的直线中，被圆x 2+y 2－2x+4y =0截得的弦最短直线方程是14. 设x 、y 满足约束条件40x+y 60x 0x y --≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则目标函数Z=2x+3y 的最大值是______________15. 将正方形ABCD(如图(1))沿对角线BD 折成直二面角(如图(2))，给出下列四个结论：①AC ⊥BD ；②AB 与CD 所成的角为60°；③AB 与平面BCD 所成的角为60°；④△ADC 为等边三角形；其中结论成立的有________．(填结论序号)三．解答题（本大题共6小题，共80分;解答应写出文字说明与演算步骤）16（本小题满分13分）如图①为一个几何体的表面展开图．(1)沿图中虚线将它们折叠起来，是哪一种几何体？画出它的直观图．(2)求这个几何体的体积（3）求这个几何体的表面积Ks*5*u17..（本小题满分13分）如图，已知△ABC 的顶点为A(2,4)，B(0，－2)，C(－2,3)，求：(1)BC 边上的高所在直线的方程；(2)求△ABC 的面积．18.（本小题满分13分）某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点．（1）根据三视图说出它是哪一种几何体，（2）在画出直观图中，G是PB的中点．证明：①PD∥平面AGC；②平面PBD⊥平面AGC.（注: 底面为正N边形，顶点在底面投影是底面正N 边形的中心的棱锥，称为正N棱锥）Ks*5*u19. （本小题满分13分）已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y=x上截得弦长为47；③圆心在直线x－3y=0上。

2018-2019学年福建省厦门市中学高一下学期期中数学试题及答案解析一、单选题1．若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于 ( ) A ．1 B ．13-C ．23-D ．2-【答案】D【解析】直接利用直线垂直的性质列方程求解即可. 【详解】因为直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直， 所以12102a a ⨯+⨯=⇒=-， 故选：D. 【点睛】对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）1212||l l k k ⇔= （121211||0l l A B A B ⇔-=）；（2）12121l l k k ⊥⇔⋅=-（1212120l l A A B B ⊥⇔⋅+⋅=），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.2．设m 、n 表示不同直线，α、β表示不同平面，下列命题正确的是 （ ）A ．若m‖α，m‖ n ，则n‖αB ．若m ⊂α，n ⊂α，m‖β，n‖β，则α‖βC ．若α⊥β， m ⊥α，m ⊥n ，则n‖βD ．若α⊥β， m ⊥α，n‖m ，n ⊄β，则n‖β【答案】D【解析】试题分析：A 中n 有可能在平面内；B 中m,n 不一定是相交直线；C 中n 有可能在平面内，只有D 正确. 【考点】本小题主要考查空间中直线、平面间的位置关系，考查学生的空间想象能力和运算求解能力.点评：解决此类问题，要紧扣相关的判定定理和性质定理，定理中的条件缺一不可.3．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知10,20,60b c C ︒===，则此三角形的解的情况是（）A ．无解B ．一解C ．两解D ．无法确定【答案】B【解析】由正弦定理判断，需结合三角形的性质． 【详解】由正弦定理sin 10sin 60sin 20b C B c ︒===，又∵b c <，∴B C <，B 一定是锐角， ∴只有一解． 故选：B. 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，结合大边对大角的性质知本题中B 角是锐角，只有一解．4．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．73 B ．8π3- C ．83D ．7π3- 【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为21118222123233ππ-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=.故选B.【点睛】本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.5．在空间直角坐标系O xyz -中，若点()1,2,1A ，()3,1,4B --，点C 是点A 关于xOy 平面的对称点，则BC =（ ） A 22B 26C 42D ．52【答案】D【解析】由对称性先求点C 的坐标为()1,2,1-，再根据空间中两点之间距离公式计算BC ．【详解】由对称性可知，点C 的坐标为()1,2,1-， 结合空间中两点之间距离公式可得：()()()22231124152BC =--+--++=.故选D.【点睛】本题考查了空间中对称点的坐标关系及两点间距离公式，属于基础题．6．如图，为了估测某塔的高度，在塔底D 和,A B （与塔底D 同一水平面）处进行测量，在点,A B 处测得塔顶C 的仰角分别为45°，30°，且,A B 两点相距140m ，由点D 看,A B 的张角为150°，则塔的高度CD =（ ）A ．1403mB ．2021mC ．207mD ．140m【答案】C【解析】分析：首先设出CD 的长度，然后利用空间几何关系整理计算即可求得最终结果. 详解：设CD xm =，在Rt ADC 中，由45CAD ∠=可得：AD xcm =，同理可得：3BD xcm =，在△ABD 中，由余弦定理可得：2222cos150AD BD AD BD AB +-⨯⨯=，即：)222323cos150140x xx x +-⨯=，解得：207x =207m CD =.本题选择C选项.点睛：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.7．设圆（x－3）2＋（y＋5）2＝r2（r>0）上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则圆半径r的取值范围是（）A．3<r<5 B．4<r<6 C．r>4 D．r>5【答案】B【解析】圆心C（3，－5），半径为r，圆心C到直线4x －3y－2＝0的距离d＝，由于圆C上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则d－1<r<d ＋1，所以4<r<6.【考点】直线与圆的位置关系.二、多选题8．下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，AB平面MNP的M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出//图形是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】对每个图形进行分析，根据面面平行的性质定理对A判断．由线面平行判定定理对D判断，由线面相交的定义对B，C判断．【详解】（下面说明只写主要条件，其他略）A如图连接AC，可得//,//AC MN BC NP，从而得//AC平面MNP，//AB BC平面MNP，于是有平面ABC//平面MNP，∴//平面MNP，B．如图连接BC交MP于点O，连接ON，易知在底面正方形中O不是BC中点（实际上是四等分点中靠近C的一个），而N是AC中点，因此AB与ON不平行，在平面ABC内，AB与ON必相交，此交点也是直线AB与平面MNP的公共点，直线AB与平面MNP相交而不平行，C.如图，连接BN ，正方体中有//PN BM ，因此B 在平面MNP 内，直线AB 与平面MNP 相交而不平行，D.如图，连接CD ，可得//AB CD ，//CD NP ，即//AB NP ，直线AB 与平面MNP 平行，故选：AD 【点睛】本题考查线面平行的判定定理和面面平行的性质定理，掌握证明线面平行的方法是解题基础． 9．集合{}22(,)|4A x y x y =+=，{}222(,)|(3)(4)B x y x y r =-+-=，其中0r >，若A B 中有且仅有一个元素，则r 的值是（ ）.A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】AC【解析】题意说明两个圆只有一个公共点，两个圆相切（外切和内切）时，只有一个公共点．【详解】圆224x y +=的圆心是(0,0)O ，半径为2R =， 圆222(3)(4)x y r -+-=圆心是(3,4)C ，半径为r ，5OC =，当25r +=，3r =时，两圆外切，当25r -=，7r =时，两圆内切，它们都只有一个公共点． 故选：AC ． 【点睛】本题考查集合与集合的关系，解题关键是确定集合中的元素，本题实质是考查圆与圆的位置关系．三、填空题10．直线210x y --=被圆22(2)9x y ++=所截得的弦长为__________. 【答案】4【解析】求出圆心到直线的距离，由勾股定理计算出弦长． 【详解】圆22(2)9x y ++=的圆心是(2,0)C -，半径为3r =，圆心C 到直线210x y --=的距离为d ==∴弦长为4==．故答案为：4. 【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题，解题方法是几何法：求出圆心到弦所在直线距离，由勾股定理计算出弦长． 11．一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为__________． 【答案】25π【解析】直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，∵一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，∴直六棱柱的外接球的直径为5，∴外接球的半径为52，∴外接球的表面积为254252ππ⨯=． 故答案为25π．点睛：本题考查球的体积和表面积，确定直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线是解题的关键． 12．如图，正方体1111ABCD A B C D -，点M 是1AA 的中点，点O 是底面ABCD 的中心，P 是11C B 上的任意一点，则直线BM 与OP 所成的角大小为__________.【答案】90°【解析】OP 是动直线，因此猜想这个角可能是90°，为此证明BM ⊥平面11OB C ，把平面11OB C 在正方体中补全(如图)，即可证． 【详解】如图，分别取,AB CD 的中点,Q N ，连接1,,QN CN B Q ，显然O QN ∈，11//QN B C ，∴11,,,Q N C B 共面，∵11B C ⊥平面11ABB A ，BM ⊂平面11ABB A ，∴11B C BM ⊥， 在正方形11ABB A 中，易得1AMB BQB ∆≅∆，∴1ABM BB Q ∠=∠， ∴11190QB B B BM ABM B BM ∠+∠=∠+∠=︒，∴1BM B Q ⊥， 又1111B QB C B =，∴BM ⊥平面11B C NQ ，11P B C ∈，则OP ⊂平面11B C NQ ，∴BM OP ⊥，∴直线BM 与OP 所成的角为90°． 故答案为：90°．【点睛】本题考查求异面直线所成的角，考查证明线面垂直．掌握线面垂直的判定定理是解题关键．13．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为_____．【答案】2x ﹣4y +3＝0【解析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程. 【详解】由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时102112CM k -==-- ,又1CM l k k ⋅=-,故12l k =,又直线l 过点1(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+= .故答案为：2430x y -+=【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.14．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若::4:5:7a b c =，则最大角的余弦值为__________．【答案】15-【解析】分析：首先设出边长，然后结合余弦定理整理计算即可求得最终结果.详解：不妨设三角形的三边长()4,5,70m m m m >， 由大边对大角结合余弦定理可得最大角的余弦值为：()()()22245712455m m m m m+-=-⨯⨯. 点睛：本题主要考查解三角形的方法，余弦定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15．我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图所示，在空间直角坐标系O xyz -的坐标平面xOy 内，若函数()[)[)24,2,0,22,0,3x x f x x x π⎧-∈-⎪=⎨-+∈+∞⎪⎩的图象与x 轴围成一个封闭区域A ，将区域A 沿z 轴的正方向上移4个单位，得到几何体如图一.现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A 面积相等，则此圆柱的体积为__________．【答案】16π【解析】分析：首先确定底面积，然后结合柱体的体积公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知，图一中底面积是由一个四分之一圆与一个直角三角形组成的图形，由[)2,0y x =∈-可知，该四分之一圆的半径为2，其面积为：()21124S ππ=⨯⨯=, 由[)22,0,3y x x π=-+∈+∞，令0x =可得2y =，由0y =可得3x π=， 则直角三角形与坐标轴的交点坐标为()0,2，()3,0π， 直角三角形的面积212332S ππ=⨯⨯=， 结合题意可得：区域A 的面积，即圆柱的底面积：124S S S π=+=，结合祖暅原理可得，此圆柱的体积4416V ππ=⨯=.点睛：本题主要考查柱体的体积公式及其应用，直线方程、圆的方程的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.四、解答题16．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin sin cos a B A C =.（1）若a =2c =，求角A ；（2）若8c =-ABC ∆的面积为22a b +的值.【答案】(1)4A π=;(2)67.【解析】分析：（1）利用正弦定理边化角可得cosC =，则sinC =，利用正弦定理有2sinA =，则4A π=.（2）由题意结合面积公式可得24ab =，结合余弦定理可得2267a b +=.详解：（1）∵asinB =，∴sinAsinB =，∴cosC =，∴sinC =，根据正弦定理a csinA sinC ==，即sinA =因为a c <，所以A C <，所以4A π=.（2）因为126ABC S absinC ab ∆===，所以24ab =， 因为8c =-2222c a b abcosC =+-得，(22282243a b -=+-⨯⨯，即2267a b -=+-所以2267a b +=.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．17．如图，ABCD 是正方形，O 是该正方形的中心，P 是平面ABCD 外一点，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.求证：（1）//PA 平面BDE ； （2）平面BDE ⊥平面PAC .【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）连接OE ，证明//PA OE 后即得线面平行； （2）可证明BD ⊥平面PAC ，然后得面面垂直． 【详解】（1）如图，连接OE ，∵,O E 分别是,AC PC 中点，∴//PA OE ，又PA ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ， ∴//PA 平面BDE ；（2）∵，PO ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ， ∴PO BD ⊥，又正方形中BD AC ⊥，PO AC O =，∴BD ⊥平面PAC ，而BD ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面PAC .【点睛】本题考查证明线面平行和面面垂直，掌握线面平行和面面垂直的判定定理是解题关键． 18．已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=，（Ⅰ）若直线1l 过定点A （1，0），且与圆C 相切，求1l 的方程；（Ⅱ）若圆D 的半径为3，圆心在直线2l ：20x y +-=上，且与圆C 外切，求圆D 的方程． 【答案】（Ⅰ）1x =，3430x y --=（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）此问注意直线斜率不存在的情况，应分斜率是否存在进行讨论，当斜率存在时由圆心到直线的距离等于半径求出直线斜率； (Ⅱ)先设出圆心坐标，然后由两圆外切，知圆心距等于两半径之和，从而求出圆心D 的坐标，写出圆D 方程.试题解析：（Ⅰ）①若直线1l 的斜率不存在，即直线是1x =，符合题意．②若直线1l 斜率存在，设直线1l 为(1)y k x =-，即0kx y k --=． 由题意知，圆心（3，4）到已知直线1l 的距离等于半径2， 即23421k k k --=+解之得34k =．所求直线方程是1x =，3430x y --=．（Ⅱ）依题意设(,2)D a a -，又已知圆的圆心(3,4),2C r =， 由两圆外切，可知5CD = ∴可知22(3)(24)a a -+--＝，解得，∴(3,1)D -或(2,4)D －， ∴所求圆的方程为．【考点】1.直线与圆相切；2.两圆相外切；3.点到直线的距离公式. 19．如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，CD AB ⊥，且AD =1，BD =2，△ACD 绕CD 旋转至A CD '，使点A '与点B 之间的距离A B '=．（1）求证：BA '⊥平面A CD '； （2）求二面角A CD B '--的大小；（3）求异面直线A C '与BD 所成的角的余弦值．【答案】（1）见详解；（2）60°；（3）．【解析】【详解】（1）∵CD⊥AB，∴CD⊥A′D，CD⊥DB，∴CD⊥平面A′BD，∴CD⊥BA′．又在△A′DB中，A′D=1，DB=2，A′B=，∴∠BA′D=90°，即BA′⊥A′D，∴BA′⊥平面A′CD．（2）∵CD⊥DB，CD⊥A′D，∴∠BDA′是二面角A′—CD—B的平面角．又Rt△A′BD中，A′D=1，BD=2，∴∠A′DB=60°，即二面角A′—CD—B为60°．（3）过A′作A′E∥BD，在平面A′BD中作DE⊥A′E于E，连CE，则∠CA′E为A′C与BD所成角．∵CD⊥平面A′BD，DE⊥A′E，∴A′E⊥CE．∵EA′∥AB，∠A′DB=60°，∴∠DA′E=60°，又A′D=1，∠DEA′=90°，∴A′E=又∵在Rt △ACB 中，AC==∴A′C=AC=∴cos ∠CA′E===,即A′C 与BD 所成角的余弦值为．20．如图，在ABC ∆中，2AB =，1cos 3B =，点D 在线段BC 上．(Ⅰ) 若34ADC π∠=，求AD 的长；（Ⅱ） 若2BD DC =，ACD ∆的面积为42，求sin sin BADCAD ∠∠的值．【答案】(1) 83；(2) 42.【解析】【详解】（I ）在三角形中，∵1cos 3B =，∴22sin B =．在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB ADADB B =∠，又2AB =，4ADB π∠=，22sin B =．∴83AD =． （II ）∵2BD DC =，∴2ABD ADC S S ∆∆=，，又423ADC S ∆=∴42ABC S ∆= ∵1·sin 2ABC S AB BC ABC ∆=∠，∴6BC =， ∵1·sin 2ABD S AB AD BAD ∆=∠，1·sin 2ADC S AC AD CAD ∆=∠， 2ABD ADC S S ∆∆=，∴sin 2?sin BAD ACCAD AB∠=∠， 在ABC ∆中，由余弦定理得2222?cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠． ∴42AC =∴sin 2?42sin BAD ACCAD AB∠==∠21．已知圆C ：22(3)4x y +-=，一动直线l 过(1,0)A -与圆C 相交于,P Q .两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：360x y ++=相交于N .（1）求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ； （2）当23PQ =时，求直线l 的方程；（3）探索AM AN ⋅是否与直线l 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.【答案】(1)见解析(2) 1x =-或4340x y -+=（3）见解析【解析】（1）由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，由直线m 的斜率求出直线l 的斜率，根据点A 和圆心坐标求出直线AC 的斜率，得到直线AC 的斜率与直线l 的斜率相等，所以得到直线l 过圆心；（2）分两种情况：①当直线l 与x 轴垂直时，求出直线l 的方程；②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的斜率为k ，写出直线l 的方程，根据勾股定理求出CM 的长，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线l 的距离d ，让d 等于CM ，列出关于k 的方程，求出方程的解即可得到k 的值，写出直线l 的方程即可；（3）根据CM ⊥MN ，得到CM •AN 等于0，利用平面向量的加法法则化简AM AN ⋅等于AC •AN ，也分两种情况：当直线l 与x 轴垂直时，求得N 的坐标，分别表示出AN 和AC ，求出两向量的数量积，得到其值为常数；当直线l 与x 轴不垂直时，设出直线l 的方程，与直线m 的方程联立即可求出N 的坐标，分别表示出AN 和AC ，求出两向量的数量积，也得到其值为常数．综上，得到AM AN ⋅与直线l 的倾斜角无关．【详解】（1）l 与m 垂直，且13m k =-，3l k ∴=，又3AC k =， 所以当l 与m 垂直时，l 必过圆心C .（2）①当直线l 与x 轴垂直时, 易知1x =-符合题意 ②当直线l 与x 轴不垂直时, 设直线l 的方程为()1y k x =+，即0kx y k -+=，因为PQ =所以1CM ==，则由1CM ==，得43k = ∴直线l ：4340x y -+=. 从而所求的直线l 的方程为1x =-或4340x y -+=（3）因为CM ⊥MN,()AM AN AC CM AN AC AN CM AN AC AN ∴⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅ ①当l 与x 轴垂直时，易得51,3N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则50,3AN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,又()1,3AC =,5AM AN AC AN ∴⋅=⋅=-，②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =+，则由()1360y k xx y⎧=+⎨++=⎩，得N（36,13kk--+513kk-+）,则55,1313kANk k--⎛⎫= ⎪++⎝⎭AM AN AC AN ∴⋅=⋅=5155 1313kk k--+=-++综上，AM AN⋅与直线l的斜率无关，且5AM AN⋅=-.【点睛】此题考查学生掌握两直线垂直时斜率满足的条件，灵活运用平面向量的数量积的运算法则化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会利用分类讨论的数学思想解决实际问题，是一道综合题．。

2019-2020学年福建省厦门六中高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =--≤，{}lg 0B x x =<，则A B =（ ）A ．{}11x x -<< B ．{}01x x <<C ．{}13x x <<D ．∅【答案】B【解析】解不等式求出集合,A B ，再求交集即可. 【详解】∵集合{}{}223013A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}lg 001B x x x x =<=<<，则{}01A B x x ⋂=<<故选：B. 【点睛】本题主要考查了不等式的解法以及集合间交集的运算，属于基础题.2．在等比数列{}n a 中，4a 、12a 是方程2310x x ++=的两根，则8a =（ ） A ．1 B ．1-C ．±1D ．3±【答案】B【解析】利用韦达定理得到41241231a a a a +=-⎧⎨=⎩，再利用数列的性质计算8a .【详解】因为412,a a 是方程的根，故41241231a a a a +=-⎧⎨=⎩且4120,0a a << ，由{}n a 是等比数列可知241281a a a ==，故81a =±，因为4120,0a a <<，故80a <，故81a =-，选B. 【点睛】一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a +=+；（2）()1,1,2,,2k n k n n a a S k n +-+== 且()2121n n S n a -=- ；（3）2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （4）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等差数列.3．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，22cos c a B +=，则A =（ ）A ．6πB ．56π C ．3π D ．23π 【答案】B【解析】根据条件利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简原式，得到关于A 的三角等式，即可计算出A . 【详解】22cos c a B +=2sin 2sin cos B C A B +=，又因为()C A B π=-+()2sin 2sin cos B A B A B ++=，2sin cos 0B B A +=，又因为sin 0B >，所以cos A =，所以56A π=. 故选：B. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，难度较易.解三角形时注意隐含条件A B C π++=的使用，同时注意()sin sin C A B =+.4．已知等比数列{}n a 的前n 项和()232nn S λλ=+-⋅（λ为常数），则λ=（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】分别求出等比数列的前三项，利用等比数列的性质能求出入的值. 【详解】∵等比数列{}n a 的前n 项和()232nn S λλ=+-⋅（λ为常数），∴()1123246a S λλλ==+-⨯=-，()()222123223226a S S λλλλλ=-=+-⋅-+-⋅=-⎡⎤⎣⎦()()32332232232412a S S λλλλλ⎡⎤=-=+-⋅-+-⋅=-⎣⎦，123,,a a a 成等比数列，∴()()()22646412λλλ-=--， 解得1λ=或3λ=∵3λ=时，2n S λ=是常数，不成立，故舍去3λ=.1λ∴=故选：C 【点睛】本题主要考查等比数列的性质等基础知识，求和公式与通项的关系，考查运算求解能力，属于中档题．5．关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<>的解集为12(,)x x ，且：2115x x -=，则a =（ ） A ．52B ．72C ．154D ．152【答案】A 【解析】【详解】因为关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<>的解集为12(,)x x ，所以212122,8x x a x x a +==-，又2115x x -=，所以2222212121()()43615x x x x x x a -=+-==， 解得52a =±，因为0a >，所以52a =.故选：A.6．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）A ．B ．C ．D ．海里【答案】A【解析】先确定∠CAB 和∠ACB ,然后由正弦定理可直接求解. 【详解】如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得sin 30BC ︒＝sin 45AB ︒，解得BC ＝2(海里)． 故选：A 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.7．数列{}n a 满足11a =，且()11n n a a n n ++-=+∈N ，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（ ） A ．25B ．2011C ．1120D ．57【答案】B【解析】首先利用叠加法求出()12n n n a +=，从而得到()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，再利用裂项法求数列的前10项和即可. 【详解】因为11a =，且()11n n a a n n ++-=+∈N ，所以1n n a a n --=，121n n a a n ---=-，……，212a a -=， 所以()()()()1122112n n n n a a a a a n n ----+-++-=+-++……， 即()1122n n n a n +=+++=….()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和11111120212122310111111⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：B 【点睛】本题主要考查裂项法求和，同时考查了叠加法求通项公式，属于简单题. 8．数列{}n a 是等比数列，若21a =，518a =，则12231n n a a a a a a ++++的取值范围是（ ） A ．8,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．81,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．82,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】由题意计算出{}n a 的公比q ，由等比数列的性质可得{}1n n a a +也为等比数列，由等比数列前n 项和计算即可得结果. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，21a =，518a =，所以35218a q a ==，即12q =，所以12a =， 由等比数列的性质知{}1n n a a +是以2为首项，以14为公比的等比数列. 所以12122311214881813343142n n n n a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭≤==-< ⎪⎝⎭=+++-，故选：D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质以及等比数列前n 项和的计算，属于中档题.9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题不正确的是（ ） A ．若59S S =，则必有140S = B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S > 【答案】D【解析】根据题意，结合等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，以及等差数列的性质，逐项分析，即可求解. 【详解】对于A 中，若59S S =，则956789782()0S S a a a a a a -=+++=+=，可得780+=a a ， 所以781114414()14()220a a a a S ++===，所以是正确的；对于B 中，若59S S =，则956789782()0S S a a a a a a -=+++=+=，又由10a >，可得780,0a a ><，所以必有7S 是n S 中最大的项，所以是正确的； 对于C 中，若67S S >，则7760a S S =-<，又由10a >，则必有0d <， 可得87870a a d S S =+=-<，所以必有78S S >，所以是正确的；对于D 中，若67S S >，则7760a S S =-<，而6a 的符号不能确定，所以56S S >不一定成立，所以是错误的. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及前n 项和公式，以及等差数列的性质的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.二、多选题10．已知a b c d ,,,均为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若0,0ab bc ad >->，则0c da b-> C ．若,a b c d >>，则a d b c ->- D ．若,0a b c d >>>，则a b d c> 【答案】BC【解析】结合不等式性质，由同向可加性可知A 项缺少条件，C 项正确；B 项可证正确；D 项通过列举法可证错误. 【详解】若0a b >>，0c d >>，则ac bd <，故A 错； 若0ab >，0bc ad ->，则0bc adab ->，化简得0c d a b->，故B 对； 若c d >，则d c ->-，又a b >，则a d b c ->-，故C 对； 若1a =-，2b =-，2c =，1d =，则1a d =-，1b c =-，1a bd c==-，故D 错； 故选：BC ． 【点睛】本题考查由不等式的基本性质判断不等关系是否成立，属于基础题三、填空题11．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且274212a a a ++=，则9S =______. 【答案】27【解析】根据等差数列的通项公式及求和公式直接计算即可. 【详解】∵n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且274212a a a ++=， ∴()11126312a d a d a d +++++=， 得143a d += ∴()()()919111998942722S a a a a d a d =+=++=+=. 故答案为：27. 【点睛】本题考查等差数列的通向公式及求和公式，是基础题.12．若函数=()f x =m 的取值范围是__________. 【答案】[]0,4【解析】依题意，可得210mx mx ++≥恒成立，对参数m 分两种情况讨论，最后取并集即可； 【详解】解：函数=()f x =所以210mx mx ++≥对x R∀∈恒成立，当0m =时，10≥恒成立，满足条件； 当0m ≠时，则240m m m >⎧⎨∆=-≤⎩，解得04m <≤ 综上可得[]0,4m ∈ 【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，属于基础题.13．已知数列{}n a 的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且11a =，22a =，347a a +=，5613a a +=，则78a a +=______.【答案】23【解析】先设奇数项公差为d ，偶数项公比为q ，根据已知条件列关系求解d 和q ，再计算78,a a ，即得结果. 【详解】设数列{}n a 的奇数项依次成公差为d 的等差数列，偶数项依次成公比为q 的等比数列，由11a =，22a =，347a a +=，5613a a +=，故127d q ++=，212213d q ++=， 解方程得2d q ==.故3718237,16a a d a a q =+==⋅=，则7823a a +=.故答案为：23. 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，属于中档题. 14．如图，在ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD AC ⊥，3sin 333BAC AB AD ∠===，，，则BD 的长为____________．6【解析】由诱导公式可知cos BAD ∠，在ABD △中用余弦定理可得BD 的长。

第3题福建省厦门市2018-2019学年下学期期中考试高一数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

最后要将所有答案填写在答题卷上，否则不给分。

1．已知集合{}A x x Z =∈,{}03B x x =<<,则=⋂B A ( )A. {}03x x << B. {}1,2 C. {}12x x ≤≤ D. {}x x Z ∈ 2. 若直线经过((1,0),A B 两点，则直线AB 的倾斜角为（ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．120︒3. 如图，'''Rt O A B ∆是OAB ∆的斜二测直观图，斜边''2O A =，则OAB ∆的面积是（）AB ．1 C．4．若圆x y x y 22++2-4=0关于直线x y m 3++=0对称，则实数m 的值为( )A ．－3B ．－1 C ．1 D ．35.如图，函数y =的图像过矩形OABC 的顶点B ，且4OA =. 若在矩形OABC 内随机地撒100粒豆子，落在图中阴影部分 的豆子有67粒，则据此可以估算出图中阴影部分的面积约为( ) A ．2.64 B ．2.68 C ．5.36 D ．6.646.如图是某年青年歌手大奖赛中,七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0~9中的一个).去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1,a 2,则一定有( )A.a 1>a 2B.a 1<a 2C.a 1=a 2D.a 1,a 2的大小与m 的值有关7．如右图，在正方体ABCD A B C D ''''-中，点P 为线段AD '的中点，则异面直线CP 与BA '所成角θ的值为（ ） A. 30 B.45 C. 60 D.908.已知BC 是圆2225x y +=的动弦，且|BC|=6，则BC 的中点的轨迹方程是（ ）． A. 221x y += B. 229x y += C. 2216x y += D. 224x y += 9.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为（ ）． A.π3 B.π33 C.π32D.π332 10.已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝4外，则直线ax ＋by ＝4与圆O 的位置关系是( ) A.相离 B.相切C.相交D.不确定11．如图，在空间四边形ABCD 中，点E,H 分别是边AB,AD 的中点，F,G 分别是边BC,CD 上的点，且CF CB ＝CGCD ＝23，则（ ）A ．EF 与GH 互相平行B ．EF 与GH 异面C ．EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上D ．EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上12.奇函数)(x f 、偶函数)(x g 的图像分别如图1、2所示，方程()()()()0,0==x f g x g f ，的实根个数分别为a 、b ，则=+b a ( )A.10B.8C. 7D.3二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中答题卷相应横线上，否则不给分。