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福建省师大附中2015—2016学年度下学期期末考试高一数学试题（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 角的终边过点，则的值是(******* ) A ． B ． C ． D ．－ 2. sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=(******* )A ．B ．C ．D ．3.设向量=(m ,1)， =(1,2)，且|+|2=||2+||2，则m =(******* )A ．B ．1C ．D ． 4. 下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(******* )A ．y=sin （2x+）B ．y=cos （2x+）C ．y=sin2x+cos2xD ．y=sinx+cosx 5．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点， =x+y ，且=3，则(******* ) A ．x=，y= B ．x=，y= C ．x=，y= D ．x=，y=6. 若，则 (******* )A ．B ．C ．D ．7．将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为(******* )A ．y =2sin(2x +π4)B ．y =2sin(2x +π3)C ．y =2sin(2x –π4)D ．y =2sin(2x –π3)8． 函数的部分图像如图所示，则（******） A ． B ． C ． D ．9. ()()001tan181tan 27++的值是(******* )A ．B ．C ．2D ． 10.在中，若，则一定是(******* )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定 11．设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为，且，则(******* )A ．在单调递减B ．在单调递减C ．在单调递增D ．在单调递增12．定义在R 上的偶函数满足，且在[-3，-2]上是减函数，若是 锐角三角形的两个内角，则(******* )A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷 共90分二、填空题：（每小题4分，共28分.请把答案填在答卷上） 13. 设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a b ，则x = ******** .14.已知向量()()(),12,4,5,,10OA k OB OC k ===-，且三点共线， 则******** .15.已知，，，则的值为 ******** .16.函数()sin(2)sin()()66f x x x x ππ=++-∈R 的值域为 ******** .17．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为 ******** .18．已知函数5()),6f x x π=+方程在区间上有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 ******** .19.已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-为的零点， 为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为 ******** .三、解答题：（本大题共5题，满分62分）20．（本题满分12分）已知||=2，||=3，（2﹣3）•（2+）=3． （1）求与的夹角的余弦值； （2）求|+|；（3）求在+方向上的投影． 21．（本题满分16分） （1）已知，求的值．(2) 已知3177cos(),,45124x x πππ+=<<求的值． 22.（本题满分为10分）如图所示，某村积极开展“美丽乡村生态家园”建设，现拟在边长为1千米的正方形地块ABCD 上划出一片三角形地块CMN 建设美丽乡村生态公园，给村民休闲健身提供去处．点M ，N 分别在边AB ，AD 上．由于村建规划及保护生态环境的需要，要求△AMN 的周长为2千米，请探究∠MC N是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．23．（本题满分为12分）已知函数f （x ）=2sinωxcosωx+2sin 2ωx ﹣（ω＞0）的最小正周期为π． （1）求函数f （x ）的单调增区间；（2）将函数f （x ）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g （x ）的图象，若y=g （x ）在[0，b]（b ＞0）上至少含有10个零点，求b 的最小值．24.（本题满分为12分）已知函数x c x b a x f sin cos )(++=的图像经过点及 (1)已知时，恒成立，求实数的取值范围;(2)当取上述范围内的最大整数．．．．值时，若有实数，使得对于恒成立，求的值.福建师大附中2015-2016学年第二学期模块考试卷解答一、选择题：BDCBD ； BDACC ； AC 二、填空题：13. 14. 15. 16. 17． 18． 19.9三、解答题：（本大题共5题，满分62分） 20．（本小题满分12分）解：（1）∵||=2，||=3，（2﹣3）•（2+）=3， ∴4||2﹣3||2﹣4•=3， ∴•=﹣，∴cos ＜•＞===﹣；（2）|+|===；（3）在+方向上的投影为===．21．（本小题满分16分） 21．解： （1）由，，∴．原式==，由以上知cosx ﹣sinx≠0， 所以上式== ==.22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin cos (sin cos )(2)sin 1tan cos sin 1cos 1tan 17753sin 2sin 2tan(),,2,cos()1tan 4124344544sin(),tan().4543cos cos[()]44x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x πππππππππππ+++==---+==⋅+<<∴<+<+=-∴+=-+=-=+-由又7282,=-10102575x x =-=-=原式 22. （本小题满分10分）解：设∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x，AN=y，则BM=1﹣x，DN=1﹣y，在△CBM中，tanα=1﹣x，在△CDN中，tanβ=1﹣y，所以：tan（α+β）===，（5分）△AMN的周长为2千米，所以x+y+=2，化简得xy=2（x+y）﹣2，代入（*）式，可得tan（α+β）====1，由于α+β，所以α+β=，所以∠MCN是定值，且∠MCN=．﹣﹣﹣（10分）23．（本小题满分12分）23.解：（1）由题意得f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣=sin2ωx﹣cos2ωx=2sin（2ωx﹣），由最小正周期为π，得ω=1，所以，由，整理得，所以函数f（x）的单调增区间是．（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y=2sin2x+1的图象，所以g （x）=2sin2x+1，令g（x）=0，得或，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y=g（x）在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为4π+=．24.（本题满分为12分）(0)1,()11,112()(1)(sin cos ))sin ()4(1)sin (),)43(0,)(,)(,1]2444210())]|()|2)2,[f f a b ac b c afx a x x aa x ax t y at ax x tI a f x a a f x a a a πππππππ==+=+=∴==-∴=-++=-+++==-+∈∴+∈∴∈->∈-+≤-+≤∈-解：由可得设则、当时，此时可得10()110()),1)|()|2)2,(1,4[4(2)8,()8()4()()18()sin ()sin (144II a f x III a f x a a f x a a a a a f x x mf x nf x m n x x πππφφ-==-<∈-+≤-+≥-∈+-+==-++-=+-+-+-=、当时，，此时满足题意、当时，此时可得综上所述，的取值范围是可得则由得）令,8()cos )sin sin cos 148()1sin 0cos 0cos 1sin 011611,,2,1616x X m n m n X X m n X m n n m n m n k k Zπφφφφφφφππ+=+-++=⎧⎪+==⎧⎪⎪+==-⎨⎨⎪⎪=⎩⎪==⎩∴===+∈得要使上式对任意恒成立，则有解得。
高一下学期期末数学试卷第I 卷（选择题）请修改第I 卷的文字说明一、单项选择1. 我国古代数学发展一直处世界领先水平，特别是宋、元时期的“算法”，其中可以同欧几里德辗转相除法相媲美的是（ ）Ａ．割圆术 Ｂ．更相减损术 Ｃ．秦九韶算法 Ｄ．孙子剩余定理2. ABC ∆的三个内角A ．B ．C 成等差数列，()0BA BC AC +⋅=，则ABC ∆一定是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．非等边锐角三角形D ．钝角三角形3. 若两个非零向量a ，b 满足||2||||a b a b a =-=+，则向量a b +与a 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π4. 设向量2cos 1,1),(1,1),[]3,3a b ππθθθ=++=∈,m 是向量a 在向量b 向上的投影,则m 的最大值是（ ）A ．2B ． D ．35. 阅读如图所示的程序框图.若输入m=8，n= 6，则输出的a ，i 分别等于（ ）A. 12,2B. 12,3C. 24,2D. 24,36. 设甲、乙两名射手各打了10发子弹，每发子弹击中环数如下：甲：10，6，7，10，8，9，9，10，5，10；乙：8，7，9，10，9，8，7，9，8，9则甲、乙两名射手的射击技术评定情况是( )A ．甲比乙好B ．乙比甲好C ．甲、乙一样好D ．难以确定7. 在正三角形ABC 中,3AB =,D 是BC 上一点,且3BC BD =,则B A AD ⋅= （） A ．152 B ．92 C ．9 D ．68. 为了得到函数)32sin(π+=x y 的图像，只需将函数x y 2sin =的图像（ ）（A ）向右平移3π个单位 （B ）向右平移6π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向左平移6π个单位9. 执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为22,则输出的s 的值为（ ）A ．232B ．211C ．210D ．19110. 若函数()sin()1f x A x ωϕ=++(0,)ωϕπ><对任意实数t ，都有()()33f t f t ππ+=-+，记()cos()1g x A x ωϕ=+-，则()3g π=（ ） A.12- B. 12 C. 1- D.111. 如图给出的是计算20121614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）A ．1005≤iB ．1005>iC ．1006≤iD ．1006>i12. 执行如图1所示的程序框图,输出的i 值为（ ）.A 5 .B 6 .C 7 .D 8第II 卷（非选择题）请修改第II 卷的文字说明二、填空题13. 在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．14. 设(2,4)a = ，(1,1)b = ，若()b a mb ⊥+，则实数m =________． 15. 在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是边CD 和BC 的中点,若AC mAE nAF =+,其中,m n R ∈,则m + n =__________16. 已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为三、解答题17. 已知(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==．（1）若67πβα=-，求a b ⋅的值；图1（2）若4,58a b πα⋅==，且,02παβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，求tan()αβ+的值．18. $selection$19. 设向量,a b 满足1a b ==及327a b -=，（Ⅰ）求,a b 夹角θ的大小；（Ⅱ）求3a b +的值．20. 已知函数()c bx x x f ++=2对任意R ∈βα,都有()0sin ≥αf ，且()0sin 2≤+βf .（1）求()1f 的值；（2）求证：3≥c .（3）若()αsin f 的最大值为10，求()x f 的表达式.21. 利用三角函数线证明：|sin α|＋|cos α|≥1.22. 设函数2()sin cos (0)f x x x x ωωωω=->,且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π,(Ⅰ)求ω的值 (Ⅱ)求()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值参考答案一、单项选择1.【答案】Ｂ【解析】2.【答案】B【解析】ABC ∆的三个内角A ．B ．C 成等差数列，所以，2B A C =+，又A B C 180++=︒，所以，B 60=︒.设D 为AC 边上的中点,则()2BA BC AC BD +⋅=,又()0BA BC AC +⋅=,所以，0BD AC ⋅=，即BD AC ⊥，故△ABC 为等边三角形，选B .3.【答案】B【解析】4.【答案】C【解析】5.【答案】D【解析】6.【答案】B【解析】7.【答案】A【解析】8.【答案】D【解析】9.【答案】B【解析】10.【答案】C【解析】11.【答案】D【解析】i=1，S=0→S=12,i=2→S=1124+,i=3→ S=1124++16,i=4→…→ S=1124++16+ (12012),i=2018=2018+1，所以判断框内应填入的条件是i>2018，故选D.12.【答案】A【解析】二、填空题13.【答案】北偏西30°【解析】14.【答案】3-【解析】15.【答案】43【解析】16.【答案】3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-【解析】三、解答题 17.【答案】解：（1）∵)sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a∴()2367cos cos -==-=⋅πβαb a （2）∵54=⋅∴()54cos =-βα，()53sin -=-βα，()43tan -=-βα)(4)(2βαπβααβα--=--=+ ∴)](4tan[)tan(βαπβα--=+)tan(1)tan(1βαβα-+--==431431-+=7【解析】18.【答案】$selection$【解析】19.【答案】（Ⅰ）3π（Ⅱ）133=+(Ⅰ)设与夹角为θ，()222327,94127a ba b a b -=+-?， 而1a b ==，∴12a b ?21=θ，即21cos =θ 又[]0,q p Î，∴所成a 与b 夹角为3π. (Ⅱ)∵()22239613a ba ab b +=+?=所以133=+.【解析】 20.【答案】（1）因为1sin 1,12sin 3αβ-≤≤≤+≤ .且对任意R ∈βα,都有()0sin ≥αf ，且()0sin 2≤+βf .所以对[]1,1,()0x f x ∈-≥ ，对[]1,3,()0x f x ∈≤.于是(1)0f = .（2）由于对[]1,1,()0x f x ∈-≥ ，对[]1,3,()0x f x ∈≤， 所以二次函数的对称轴满足：13222b x +=-≥= ，所以4b ≤ . 由（1）知，(1)0f = ，所以10bc ++= ，于是1413c b =--≥-= .（3）因为()αsin f 的最大值为10，所以()f x 在[]1,1- 的最大值为10， 又因为二次函数开口向上且对称轴满足：13222b x +=-≥=，所以()f x 在[]1,1-单调递减，所以(1)10f -= ，于是10bc -+=.又由（1）知，(1)0f = ，所以10b c ++=联立解得5,4b c =-= ， 所以()x f 的表达式为2()54f x x x =-+ .【解析】21.【答案】【解析】证明：当角α的终边在坐标轴上时，正弦线(余弦线)变成一个点，而余弦线(正弦线)的长等于r(r ＝1)，所以|sin α|＋|cos α|＝1.当角α的终边落在四个象限时，设角α的终边与单位圆交于点P(x ，y)时，过P 作PM ⊥x 轴于点M(如图)，则|sin α|＝|MP|，|cos α|＝|OM|，利用三角形两边之和大于第三边有：|sin α|＋|cos α|＝|MP|＋|OM|>1， 综上有|sin α|＋|cos α|≥1.22.【答案】高一下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
2015-2016学年福建省厦门市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．=（）A．B．C．D．2．已知向量=（1，2），向量=（x，﹣2），且⊥（﹣），则实数x等于（）A．﹣4 B．4 C．0 D．93．已知圆C1：x2+y2=1，圆C2：x2+y2+4x﹣6y+4=0，则圆C1与圆C2的位置关系是（）A．外离 B．相切 C．相交 D．内含4．函数y=tan（﹣）在一个周期内的图象大致是（）A．B．C．D．5．已知O为坐标原点，点A的坐标为（3，﹣4），将线段OA绕点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．46．为了得到函数y=2cos2x的图象，可以将函数y=1+cosx图象上所有的点（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变7．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列命题中正确的是（）A．α∥β⇒l∥m B．α⊥β⇒l∥m C．l∥m⇒α⊥βD．l⊥m⇒α⊥β8．在△ABC中，||=1，||=3，∠BAC=60°，则||=（）A．1 B．C．3 D．9．如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′=3，AB=4，AD=5，E、F分别是线段AA′和AC 的中点，则异面直线EF与CD′所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．直线l：3x+4y+4=0与圆C：（x﹣2）2+y2=9交于A，B两点，则cos∠ACB=（）A．﹣ B．C．﹣D．11．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，BE平分∠ABC，AD 与BE交于点P，若=λ+μ，则λ等于（）A．B．﹣1 C．D．12．如图，一个无盖圆台形容器的上、下底面半径分别为1和2，高为，AD，BC是圆台的两条母线（四边形ABCD是经过轴的截面）．一只蚂蚁从A处沿容器侧面（含边沿线）爬到C处，最短路程等于（）A．2 B．π+2 C． +2D． +2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知sinθ+cosθ=，则sin2θ的值为．14．已知斜率为2的直线l过点P（1，3），将直线l沿x轴向右平移m个单位得到直线l′，若点A（2，1）在直线l′上，则实数m=．15．已知||=1，|+|=，||=2，则在方向上的投影等于．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，AB=BC=CD=2．该三棱锥外接球的表面积等于．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知O（0，0），A（2，﹣1），B（1，2）．（1）求△OAB的面积；（2）若点C满足直线BC⊥AB，且AC∥OB，求点C的坐标．18．长方体截去一个三棱锥后的直观图和部分三视图如图所示．（1）画出这个几何体的俯视图，并求截面AEF的面积；（2）若M为EF的中点，求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．19．已知函数f（x）=Asinx+cosx，A＞0．（1）若A=1，求f（x）的单调递增区间；（2）函数f（x）在x=x0处取得最大值，求cosx0的值．20．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB=1，AC=，AD=2，M、N分别为棱PA、BC的中点．（1）求证：MN∥平面PCD；（2）若二面角P﹣CD﹣B等于30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．21．如图，已知函数f（x）=msin（x+）（m＞0）的图象在y轴右侧的最高点从左到右依次为B1、B2、B3、…，与x轴正半轴的交点从左到右依次为C1、C2、C3、…．（1）若m=1，求•；，（i=1，2，3，…）中，有且只有三（2）在△OB1C1，△OB2C3，△OB3C5，…，△OB i C2i﹣1个锐角三角形，求实数m的取值范围．22．已知动点M与两点P1（，0），P2（2r，0）的距离之比为，r＞0．（1）求动点M的轨迹Γ的方程；（2）已知菱形ABCD的一个内角为60°，顶点A，B在直线l：y=2x+3上，顶点C，D在Γ上，当直线l与Γ无公共点时，求菱形ABCD的面积S的取值范围．2015-2016学年福建省厦门市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．=（）A．B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】根据诱导公式可知cos=cos（π+），进而求得答案．【解答】解：cos=cos（π+）=﹣cos=﹣故选D．2．已知向量=（1，2），向量=（x，﹣2），且⊥（﹣），则实数x等于（）A．﹣4 B．4 C．0 D．9【考点】平面向量数量积的运算．【分析】①把转化为②用坐标运算公式=x1x2+y1y2【解答】解：∵∴，∴，∴1+2×2﹣（1×x﹣2×2）═0，∴x=9．故选D．3．已知圆C1：x2+y2=1，圆C2：x2+y2+4x﹣6y+4=0，则圆C1与圆C2的位置关系是（）A．外离 B．相切 C．相交 D．内含【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距，大于半径之差，而小于半径之和，可得两个圆关系．【解答】解：圆C1：x2+y2=1，表示以C1（0，0）为圆心，半径等于1的圆．圆C2：x2+y2+4x﹣6y+4=0，即（x+2）2+（y﹣3）2=9，表示以C2（﹣2，3）为圆心，半径等于3的圆．∴两圆的圆心距d==，∵3﹣1＜＜3+1，故两个圆相交．故选：C．4．函数y=tan（﹣）在一个周期内的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】正切函数的图象．【分析】根据函数y=tan（﹣）在包含原点的一个周期内是增函数，故排除C、D；令﹣＜﹣＜，求得x的范围，从而得出结论．【解答】解：根据函数y=tan（﹣）在包含原点的一个周期内是增函数，故排除C、D；令﹣＜﹣＜，求得﹣＜x＜，结合所给的选项，故选：A．5．已知O为坐标原点，点A的坐标为（3，﹣4），将线段OA绕点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】设B（m，n），（m，n＞0），由OA⊥OB，且|OA|=|OB|，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，及两点的距离公式计算即可得到所求．【解答】解：设B（m，n），（m，n＞0），由OA⊥OB，且|OA|=|OB|，可得﹣•=﹣1，=，解得m=4，n=3．即B的纵坐标为3．故选：C．6．为了得到函数y=2cos2x的图象，可以将函数y=1+cosx图象上所有的点（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；二倍角的余弦．【分析】利用二倍角公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：由于函数y=2cos2x=2•=cos2x+1，∴要得到得函数y=2cos2x的图象，可以将函数y=1+cosx图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选：B．7．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列命题中正确的是（）A．α∥β⇒l∥m B．α⊥β⇒l∥m C．l∥m⇒α⊥βD．l⊥m⇒α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，当α∥β有l⊥m，当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交，当l∥m有α⊥β，当l⊥m有α∥β或α∩β，得到结论【解答】解：直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，当α∥β有l⊥β，进而可得l⊥m，故A不正确当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交，故B不正确当l∥m有直线m⊥平面α，因为直线m⊂平面β，α⊥β，故C正确，当l⊥m有α∥β或α∩β，故D不正确，故选：C．8．在△ABC中，||=1，||=3，∠BAC=60°，则||=（）A．1 B．C．3 D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可知，，根据条件对上式两边平方进行数量积的运算即可得出，从而得出的值．【解答】解：===7；∴．故选：B．9．如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′=3，AB=4，AD=5，E、F分别是线段AA′和AC 的中点，则异面直线EF与CD′所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF与CD′所成的角．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，则E（0，0，），F（2，，0），C（4，5，0），D′（0，5，3），=（2，，﹣），=（﹣4，0，3），∴cos＜＞===﹣，∴异面直线EF与CD′所成的角45°．故选：C．10．直线l：3x+4y+4=0与圆C：（x﹣2）2+y2=9交于A，B两点，则cos∠ACB=（）A．﹣ B．C．﹣D．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出圆心、半径，圆心到直线的距离，利用三角函数进行求解．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+y2=9的圆心坐标为（2，0），半径为3，圆心到直线的距离为=2，∴cos∠ACB=，∴cos∠ACB=2cos2∠ACB﹣1=﹣1=﹣，故选：A．11．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，BE平分∠ABC，AD 与BE交于点P，若=λ+μ，则λ等于（）A．B．﹣1 C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】可以BC，DA所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，并设，从而可根据条件求出A，B，C三点的坐标，并可求出，可写出直线BE的方程，从而求出点P的坐标，进而得出向量的坐标，带入即可建立关于λ，μ的方程，解出λ即可．【解答】解：以BC，DA所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设AB=，则：A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）；根据正切的二倍角公式：设tan22.5=x，则，且x＞0；∴解得x=；∴直线BE的方程为；∴令x=0，y=，即；∴，；∴；∴；解得．故选D．12．如图，一个无盖圆台形容器的上、下底面半径分别为1和2，高为，AD，BC是圆台的两条母线（四边形ABCD是经过轴的截面）．一只蚂蚁从A处沿容器侧面（含边沿线）爬到C处，最短路程等于（）A．2 B．π+2 C． +2D． +2【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】由题意求出圆台所在圆锥的母线长，利用弧长公式求出圆心角，把最短路程转化为三角形的边长求解．【解答】解：沿母线AD剪开并展开如图，∵圆台形容器的上、下底面半径分别为1和2，高为，∴OB=4，OE=2．设展开图的圆心角为α，则2π•1=2α，∴α=π，∴∠AOE=90°，∴AE==2．∴经过的最短路程为2．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知sinθ+cosθ=，则sin2θ的值为﹣．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【分析】将已知的等式左右两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，整理后即可求出sin2θ的值．【解答】解：将sinθ+cosθ=左右两边平方得：（sinθ+cosθ）2=，整理得：sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=1+sin2θ=，则sin2θ=﹣1=﹣．故答案为：﹣14．已知斜率为2的直线l过点P（1，3），将直线l沿x轴向右平移m个单位得到直线l′，若点A（2，1）在直线l′上，则实数m=2．【考点】直线的一般式方程．【分析】由已知直线l的斜率且过点P，根据直线方程的点斜式求出其解析式，然后根据平移的性质：左加右减，上加下减，得到直线l′，再根据点A在直线l′上，代入直线l′方程计算即可得答案．【解答】解：由直线l斜率为2且过点P（1，3），得y﹣3=2（x﹣1），即y=2x+1，将直线l沿x轴向右平移m个单位得到直线l′，则直线l′即y=2（x﹣m）+1，又点A（2，1）在直线l′上，∴2×（2﹣m）+1=1，解得m=2．故答案为：2．15．已知||=1，|+|=，||=2，则在方向上的投影等于．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件对的两边平方即可求出的值，这样根据一个向量在另一个向量方向上的投影的计算公式便可得出所要求的投影的值．【解答】解：根据条件，==3；∴；在方向上的投影为：===；∴在方向上的投影等于．故答案为：．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，AB=BC=CD=2．该三棱锥外接球的表面积等于12π．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】由题意将三棱锥补全为正方体，且正方体的对角线为该三棱锥外接球的直径，即2R=2，得到三棱锥A﹣BCD外接球的半径大小，即可求出三棱锥外接球的表面积．【解答】解：由题意将三棱锥补全为正方体，且正方体的对角线为该三棱锥外接球的直径，即2R=2，∴R=∴三棱锥外接球的表面积为4πR2=12π．故答案为：12π．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知O（0，0），A（2，﹣1），B（1，2）．（1）求△OAB的面积；（2）若点C满足直线BC⊥AB，且AC∥OB，求点C的坐标．【考点】正弦定理；两点间距离公式的应用．【分析】（1）由两点之间的距离公式求出|OA、|OB|，由向量的坐标运算、数量积运算得到=0，判断出OA⊥OB，由三角形的面积公式求出△OAB的面积；（2）点C的坐标为（x，y），由向量的坐标运算求出、、，根据条件、向量垂直和平行的坐标条件列出方程组，求出x，y的值，可得点C的坐标．【解答】解：（1）由题意得，|OA|=|OB|=，∵=（2，﹣1），=（1，2），=0，∴OA⊥OB，则△OAB的面积S=；（2）设点C的坐标为（x，y），则=（x﹣1，y﹣2），=（x﹣2，y+1），且=（﹣1，3），∵直线BC⊥AB，且AC∥OB，∴=0，，则，解得，∴点C的坐标为（4，3）．18．长方体截去一个三棱锥后的直观图和部分三视图如图所示．（1）画出这个几何体的俯视图，并求截面AEF的面积；（2）若M为EF的中点，求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）根据直观图，可得俯视图，根据三角形的三条边，即可求截面AEF的面积；（2）将几何体补充为长方体，则∠AMG为直线AM与平面ABCD所成角，即可求直线AM 与平面ABCD所成角的正切值．【解答】解：（1）俯视图如图所示，截面AEF中AF=EF=2，AE=2，面积为=6；（2）将几何体补充为长方体，则∠AMG为直线AM与平面ABCD所成角．∵GM=，GA=2，∴tan∠AMG=．19．已知函数f（x）=Asinx+cosx，A＞0．（1）若A=1，求f（x）的单调递增区间；（2）函数f（x）在x=x0处取得最大值，求cosx0的值．【考点】两角和与差的余弦函数；正弦函数的图象．【分析】（1）由题意利用两角和的正弦函数公式可得f（x）=sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，即可解得f（x）的单调递增区间．（2）由两角和的正弦函数公式可得f（x）=sin（x+φ），其中tanφ=，由题意可求sin（x0+φ）=1，其中tanφ=，=，进而解得A，sinφ的值，解得x0=2kπ+﹣φ，k∈Z，利用诱导公式即可解得cosx0的值．【解答】解：（1）∵由题意可得：f（x）=sinx+cosx=sin（x+），∴由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得：2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，可得单调递增区间为：[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．（2）∵f（x）=Asinx+cosx=sin（x+φ），其中tanφ=，且函数f（x）在x=x0处取得最大值，∴sin（x0+φ）=1，其中tanφ=，=，∴由A＞0，解得：A=2，sinφ==，x0+φ=2kπ+，k∈Z，∴x0=2kπ+﹣φ，k∈Z，∴cosx0=cos（2kπ+﹣φ）=sinφ=．20．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB=1，AC=，AD=2，M、N分别为棱PA、BC的中点．（1）求证：MN∥平面PCD；（2）若二面角P﹣CD﹣B等于30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取PD中点E，连结NE，CE，可证MNEC为平行四边形，由MN∥CE即可判定MN∥平面PCD；（2）证明AC⊥CD，确定∠PCA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，求出PA，即可求四棱锥P ﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：取PD中点E，连结NE，CE．∵N为PA中点，∴NE∥AD，NE=AD，又M为BC中点，底面ABCD为平行四边形，∴MC∥AD，MC=AD．∴NE∥MC，NE=MC，即MNEC为平行四边形，∴MN∥CE．∵EC⊂平面PCD，且MN⊄平面PCD，∴MN∥平面PCD．（2）解：∵AB=1，AC=，AD=2，∴AB2+AC2=AD2，∴AC⊥CD，∵PA⊥平面ABCD，∴PC⊥CD，∴∠PCA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，即∠PCA=30°，∴PA=tan30°=1，∴四棱锥P﹣ABCD的体积=×=．21．如图，已知函数f（x）=msin（x+）（m＞0）的图象在y轴右侧的最高点从左到右依次为B1、B2、B3、…，与x轴正半轴的交点从左到右依次为C1、C2、C3、…．（1）若m=1，求•；，（i=1，2，3，…）中，有且只有三（2）在△OB1C1，△OB2C3，△OB3C5，…，△OB i C2i﹣1个锐角三角形，求实数m的取值范围．【考点】正弦函数的图象．【分析】（1）利用正弦函数的图象的特征求得B1、B2、B3、…，与C1、C2、C3、…的坐标，利用两个向量的数量积公式求得•的值．（2）由题意可得∠OB3C5为锐角，且∠OB4C7为钝角，故有+﹣OC5＞0，且+﹣OC7＜0，从而求得m的范围．【解答】解：（1）若m=1，则令x+分别等于，，…，可得B1（，1）、B2（，1）、B3（，1）…，令x+分别等于π，2π，3π，…，C1（，0）、C（，0）、C3（，0）…，∴•=（，1）•（1，﹣1）=﹣1=﹣．（2）由题意可得函数f（x）=msin（x+）（m＞0）的周期为=4，△OB3C5为锐角三角形，且△OB4C7为钝角角三角形，即∠OB3C5为锐角，且∠OB4C7为钝角，∴+﹣OC5＞0，且+﹣OC7＜0，即+m2++m2﹣＞0，且+m2++m2﹣＜0，求得＜m＜，即＜m＜．22．已知动点M与两点P1（，0），P2（2r，0）的距离之比为，r＞0．（1）求动点M的轨迹Γ的方程；（2）已知菱形ABCD的一个内角为60°，顶点A，B在直线l：y=2x+3上，顶点C，D在Γ上，当直线l与Γ无公共点时，求菱形ABCD的面积S的取值范围．【考点】轨迹方程．【分析】（1）利用直接法，求动点M的轨迹Γ的方程；（2）求出0＜r＜，可得得0＜b＜3，求出a的范围，即可求菱形ABCD的面积S的取值范围．【解答】解：（1）设M（x，y），则∵动点M与两点P1（，0），P2（2r，0）的距离之比为，∴=，化简可得x2+y2=r2；（2）∵直线l与Γ无公共点，∴圆心到直线的距离＞r，∴0＜r＜设AB=a，直线CD的方程为y=2x+b，则圆心到直线的距离为d=＜r，∴0＜b＜3，∵=，∴b=3﹣a，∴0＜a＜，∴菱形ABCD的面积S=2=∈（0，）．。
2015-2016学年福建师大附中高一下学期期末数学试题一、选择题1．角α的终边过点(4,3),(0)P k k k -<，则cos α的值是( ) A ．35 B ．45 C ．35- D ．－45【答案】B【解析】试题分析：()()()0553422<-==+-=k k k k k r ，而5454cos =--==k k r x α，故选B. 【考点】三角函数的定义2．sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=( )A ．23-B ． 23C ．21-D ．21【答案】D 【解析】试题分析：原式等于()2130sin 1020sin 10sin 20cos 10cos 20sin 0000000==+=+，故选D. 【考点】两角和与差的三角函数3．设向量a =(m,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m=( )A ． 1-B ．1C ．2-D ．2 【答案】C【解析】试题分析：根据公式222222b a b a b a b a +=++=+，根据公式22a a =，22b b =，可得，0=⋅b a，即0211=⨯+⨯m ，解得2-=m ，故选C.【考点】向量数量积4．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A ．y=sin （2x+2π）B ．y=cos （2x+2π） C ．y=sin2x+cos2x D ．y=sinx+cosx【答案】B【解析】试题分析：x x y 2cos 22sin =⎪⎭⎫⎝⎛+=π，是周期为π的偶函数，故不正确，x x y 2sin 22cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π，为周期为π的奇函数，故正确，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=42sin 22cos 2sin πx x x y 是周期为π的函数，但既不是奇函数也不是偶函数，故不正确，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2cos sin πx x x y 是周期为π2的函数，既不是奇函数也不是偶函数,故不正确，故选B. 【考点】三角函数的性质5．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点， =x +y ，且=3，则( )A ．x=，y=B ．x=，y=C ．x=，y=D ．x=，y= 【答案】D【解析】试题分析：()-=-⇔=33,整理为414334+=⇔+=,所以43=x ，41=y ，故选D. 【考点】平面向量基本定理6．若3cos()45πα-=，则sin 2α=( ) A ．725B ．725-C ．15-D ．15【答案】B【解析】试题分析：()53sin cos 224cos =+=⎪⎭⎫⎝⎛-αααπ，两边平方后得:()2518sin cos 2=+αα25182sin 1=+⇔α,解得2572sin -=α，故选B. 【考点】三角函数恒等变形7．将函数y=2sin (2x+6π)的图像向右平移4π个周期后，所得图像对应的函数为( ) A ．y=2sin(2x+4π) B ．y=2sin(2x+3π)C ．y=2sin(2x –4π)D ．y=2sin(2x –3π)【答案】D【解析】试题分析：根据平移规律，“左＋右－”的原则，向右平移4π个周期后，变为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin 2642sin 2πππx x y ，故选D.【考点】三角函数的变换【易错点睛】本题考查了三角函数的变换，属于基础题型，在三角函数的变换中，容易出错在两个地方，举例，①函数x y 2sin =向左平移6π个单位得到哪个函数，很多同学会写成⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx y ，谨记“左+右－”指的是x ，所以应是⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin 62sin ππx x y ，②⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx y 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，很多同学会写成⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12sin 6221sinππx x y ，谨记，横坐标伸长或缩短到原来的ω1倍，仅仅是x 前面的系数变了，与ϕ无关，所以应是⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin πx y . 8．函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（ ）A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(2+)6y x π=D ．2sin(2+)3y x π=【答案】A【解析】试题分析：根据图像的最值可得2=A ,半周期26--3212πππωπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯，解得2=ω，当3π=x 时，232πϕπ=+⨯，解得6-πϕ=，所以函数为⎪⎭⎫⎝⎛-=62sin 2πx y ，故选 A.【考点】()ϕω+=x A y sin 的图像9．()()01tan181tan 27++的值是( )A ．1C ．2D ．()002tan18tan 27+【答案】C【解析】试题分析：根据公式()127tan 18tan 127tan 18tan 2718tan 000000=-+=+，所以00027tan 18tan 127tan 18tan -=+，原式等于227tan 18tan 27tan 18tan 10000=+++，故选C.【考点】两角和的正切函数10．在ABC ∆+ABC ∆一定是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定 【答案】C【解析】试题分析：原式变形为-=,两边平方后得BABA⋅-+=⋅++222222,化简为0=⋅,即BC BA ⊥,角B 为直角，所以是直角三角形，故选C.【考点】向量数量积11．设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则( )A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 【答案】A【解析】试题分析：()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=4sin 2πϕωx x f ，πωπ==2T ,2=ω，根据条件()()x f x f =-，说明函数是偶函数，关于y 轴对称，当0=x 时，Z k k ∈+=+,24πππϕ,解得：Z k k ∈+=,4ππϕ，当0=k 时，4πϕ=，所以函数()x x x f 2cos 222sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π，当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx 时，()π,02∈x 是函数的单调递减区间，故A 正确，C 不正确，当⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ43,4x 时，⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ23,22x ，在此区间函数我先减后增，即⎪⎭⎫⎝⎛∈2,4ππx 时函数单调递减，⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ43,2x 时，函数单调递增，故B,D 不正确，故选A.【考点】三角函数的图像和性质【方法点睛】本题考查了()ϕω+=x A y sin ⎪⎭⎫⎝⎛<>>200πϕω，，A 的性质，本题考查了两个问题，一是如何求函数解析式，二是如何判断三角函数的性质，A 是振幅，一般根据函数的最值求解，ωπ2=T ,ω一般根据周期求解，ϕ一般根据“五点法”求解，而象本题给出三角函数后，如何判断所给区间是否具有单调性，首先由x 的区间，代入求ϕω+=x u 的区间，然后判断ϕω+=x u 是否落在u y sin =的单调区间内. 12．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[-3，-2]上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则( )A ．()()sin sin f f αβ>B ．()()sin cos f f αβ<C ．()()sin cos f f αβ>D ．()()cos cos f f αβ< 【答案】C【解析】试题分析：根据条件函数的周期2=T ,并且满足()()()x f x f x f -==+2，函数关于1=x 对称，当函数在[]2-3-，为减函数，根据周期，[]2,1也是减函数，根据对称性，[]1,0上是增函数，,αβ是锐角三角形的两个内角，那么2πβα>+，即βπα->2，即1cos 2sin sin 0<=⎪⎭⎫⎝⎛-><ββπα，根据在区间[]1,0上是增函数，所以()()βαcos sin f f >，故选C.【考点】函数的性质【思路点睛】本题考查了函数性质与解三角形的综合考察，属于中档题型，本题的难点是如何转化锐角三角形这个条件，即若是锐角三角形，需满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+<<<<22020πβαπβπα，这样βπα->2，这样根据函数的单调性，两边取三角函数，ββπαcos 2sin sin =⎪⎭⎫⎝⎛->，或是⎪⎭⎫⎝⎛-<βπα2cos cos βsin =，这个难点克服后，就容易想到根据函数的性质，转化为求函数()x f 在区间()1,0的单调性. 13．已知函数5()),6f x x π=+方程()f x m =在区间[0,]2π上有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围是 .【答案】(【解析】试题分析：如图，画出函数u y si n 3=的图像，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=611,65652πππx u ，此时()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈23,3x f ，当2π=x 时，23-=y 根据图像可得若有两个不同的实根，那么⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈23,3m ，故填：⎥⎦⎤ ⎝⎛23-3-，.【考点】三角函数图像的应用【方法点睛】本题考查了三角函数图像的应用，属于基础题型，以复合函数的观点解决函数零点问题，首先设π652+=x u ，并且求出u 的取值范围，然后画出函数u y sin 3=的图像，这问题转化为m y =与三角函数图像交点的问题，通过图像很容易求出没有交点，一个交点，以及两个交点的m 的取值范围问题，切记，最好不要画⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π652sin 3x y 的图像，因为画这个图像对很多同学来说比较浪费时间得不偿失，一定画换元后的图像.二、填空题14．设向量a=(x ，x+1)，b=(1，2)，且a ⊥b ，则x= . 【答案】23-【解析】试题分析：根据两向量垂直，可得()0211=⨯++⨯x x ，解得32-=x ，故填：32-. 【考点】向量数量积15．已知向量()()(),12,4,5,,10OA k OB OC k ===-，且,,A B C 三点共线，则k = .【答案】23-【解析】试题分析：()7,4--=k ，()2,2--=k ，因为,,A B C 三点共线，所以AB 与共线，所以()()()k k 272-4-⨯-=-⨯，解得：32-=k ，故填：32-. 【考点】向量共线的充要条件 16．已知,022ππαπβ<<<<，3tan 4α=-，()5cos 13βα-=，则sin β的值为 . 【答案】6365【解析】试题分析：0-<<-αβπ，又因为()0135cos >=-αβ，所以02<-<-αβπ，()1312sin -=-αβ， 因为43t a n -=α，所以53s i n=α，54cos -=α，而()[]()()6563131********sin cos cos sin sin sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯=-+-=-+=αβααβααβαβ，故填：6563. 【考点】三角函数恒等变形17．函数()sin(2)sin()()66f x x x x ππ=++-∈R 的值域为 .【答案】928⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【解析】试题分析：设tx =-6π，那么()8941s i n 2s i n s i n 21s i n 2c o s s i n 22s i n 22+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=+=+⎪⎭⎫⎝⎛+=t t t t t t t t f π，因为[]1,1sin -∈t ，所以当41sin =t 时，函数取得最大值89，当1sin -=t 时，函数取得最小值-2，所以函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-89,2，故填：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-89,2. 【考点】三角函数的性质18．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为 . 【答案】81 【解析】试题分析：AC AB DF AD AF 4321+=+=,AB AC BC -=,所以()812111414321414321432122=⨯⨯⨯-+-=⋅-+-=-⎪⎭⎫⎝⎛+=⋅,故填：81.【考点】向量数量积19．已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 . 【答案】9【解析】试题分析：由题可知，244--4kTT +=⎪⎭⎫⎝⎛ππ,即ωππ24124122⋅+=+=k T k ，解得()*12N k k ∈+=ω,又因为()x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛36518ππ，单调，所以ωππππ22121218-365⋅=≤=T ,即12≤ω，接下来，采用排除法，若11=ω，此时4-πϕ=，此时()()x f x x f ,411sin ⎪⎭⎫⎝⎛-=π在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛443,18ππ上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛365443ππ，上单调递减，不满足在区间⎪⎭⎫⎝⎛36518ππ，单调，若49πϕω==，，此时()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=49sin πx x f ，满足()x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛36518ππ，单调递减，所以ω的最大值为9. 【考点】三角函数的性质【思路点睛】本题考查了三角函数的性质，属于中档题型，本题的难点是如何将这两个条件结合在一起，ω是与周期有关的量，对称轴与零点间的距离也与周期有关，这样根据图像得到244--4kTT +=⎪⎭⎫⎝⎛ππ,即ωππ24124122⋅+=+=k T k ，第二个条件⎪⎭⎫⎝⎛36518ππ，是单调区间的子集，所以其长度小于等于半个周期，这样就得到了ω的一个范围与形式，最后求最大值，只能通过从最大的逐个代起，找到ω的最大值.三、解答题20．已知||=2，||=3，（2﹣3）•（2+）=3． （1）求与的夹角的余弦值；（2）求|+|；（3）求在+方向上的投影．【答案】（1）127-；（2）6；（3）126.【解析】试题分析：（1）将条件()()3232=-⋅-b a b a按照分配率展开，根据向量数量积的公式，得到两向量的夹角；（2）()b a b a ba b a⋅++=+=+2222，根据公式22a a =代入数值；（3）根据向量数量积的几何意义可知a 在b a +方向上的投影为()ba ba a ++，代入数量积和上一问模的结果，即可.试题解析：（1）∵||=2，||=3，（2﹣3）•（2+）=3， ∴4||2﹣3||2﹣4•=3， ∴•=﹣，∴cos＜•＞===﹣；（2）|+|===；（3）在+方向上的投影为===．【考点】向量数量积【方法点睛】本题考查了向量数量积，属于基础题型，所涉及的公式包括（1）θcos b a b a=⋅，（2）ba b a ⋅=θcos ，（3）22a a =，以及()2ba b a +=+，（4）0=⋅⇔⊥b a b a，（5）投影公式：向量a 在b 方向上的投影为θcos a 或是bb a ⋅，对于这类型的向量问题，要谨记公式，并且熟练运用公式避免计算错误. 21．（1）已知，求的值．(2) 已知3177cos(),,45124x x πππ+=<<求2sin 22sin 1tan x xx+-的值．【答案】（1）41；（2）7528. 【解析】试题分析：（1）由条件可直接求得22tan =x ，再利用公式2tan 12tan2tan 2x xx -=，求x tan ，然后将所求原式的分子x x x 22sin cos 2cos -=，分母⎪⎭⎫⎝⎛+x 4cos π展开化简，并上下同时除以x cos ，将分式转化为关于x tan 的式子，代入求解；（2）首先根据公式x x x cos sin 22sin =，xxx cos sin tan =，进行初步的化简，得到原式等于⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=-+⋅x x x x x 4tan 2sin tan 1tan 12sin π，根据条件再依次求解各项.试题解析：（1）由，，∴．原式==，由以上知cosx ﹣sinx≠0， 所以上式==1tan tan xx+==．22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin cos (sin cos )(2)sin 1tan cos sin 1cos 1tan 17753sin 2sin 2tan(),,2,cos()1tan 4124344544sin(),tan().4543cos cos[()]44x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x πππππππππππ+++==---+==⋅+<<∴<+<+=-∴+=-+=-=+-由又7282,=-2575x x ===原式【考点】三角函数的恒等变形求值22．如图所示，某村积极开展“美丽乡村生态家园”建设，现拟在边长为1千米的正方形地块ABCD 上划出一片三角形地块CMN 建设美丽乡村生态公园，给村民休闲健身提供去处．点M ，N 分别在边AB ，AD 上．由于村建规划及保护生态环境的需要，要求△AMN 的周长为2千米，请探究∠MCN 是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．【答案】∠MCN 是定值，且∠MCN=4π．【解析】试题分析：设∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x ，AN=y ，则BM=1﹣x ，DN=1﹣y ，若MC N ∠为定值，那么βα+为定值，即()βα+tan 为定值，根据所设条件，得到()βα+t a n()xyy x y x -++-=2，因为AMN ∆的周长等于222=+++y x y x ，将此式进行化简为()y x y x +-=+222，两边平方得到()22-+=y x xy ，代入正切公式得到定值.试题解析：设∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x ，AN=y ，则BM=1﹣x ，DN=1﹣y ， 在△CBM 中，tan α=1﹣x ，在△CDN 中，tan β=1﹣y ，所以：tan （α+β）=()()()xy y x y x y x y x -++-=----+-=-+211111tan tan 1tan tan βαβα，△AMN 的周长为2千米，所以222=+++y x y x ，化简得()22-+=y x xy ，代入（）式，可得tan （α+β）=()()()[]()()1222222=+-+-=-+-++-=-++-y x y x y x y x y x xy y x y x ， 由于α+β(0,)2π∈，所以α+β=4π，所以∠MCN 是定值，且∠MCN=4π． 【考点】三角函数的实际应用23．已知函数f （x ）=2sin ωxcos ωx+23sin 2ωx ﹣3（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求函数f （x ）的单调增区间；（2）将函数f （x ）的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g （x ）的图象，若y=g （x ）在[0，b]（b ＞0）上至少含有10个零点，求b 的最小值．【答案】（1）Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,125,12ππππ；（2）1259π.【解析】试题分析：(1)第一步根据降幂公式x x x ωωω2sin 21cos sin =，22cos 1sin 2xx ωω-=化简，第二步，对降幂后的式子，再根据辅助角公式化简，得到()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin 2πx x f ，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈-22,2232πππππk k x ，Z k ∈得到函数的单调递增区间;（2）根据三角函数的图像变换规律，“左＋右－，上＋下－”，得到函数()12sin 2+=x x g ，令()0=x g ，得到x 的值，根据x 的取值集合，b 只需大于等于 10个点的横坐标即可.试题解析：（1）由题意得f （x ）=2sin ωxcos ωx+23sin 2ωx ﹣3=sin2ωx ﹣3cos2ωx=2sin （2ωx ﹣3π），由最小正周期为π，得ω=1，所以()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin 2πx x f ， 由Zk k x k ∈+≤-≤-,223222πππππ，整理得kk x k ,12512ππππ+≤≤-Z ∈，所以函数f （x ）的单调增区间是Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,125,12ππππ．（2）将函数f （x ）的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到y=2sin2x+1的图象，所以g （x ）=2sin2x+1，令g （x ）=0，得127ππ+=k x 或Z k k x ∈+=,1211ππ，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y=g （x ）在[0，b]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，即b 的最小值为125912114πππ=+．【考点】1.三角恒等变换；2.单价函数的性质；3.三角函数的图像变换.【方法点睛】本题考查了三角函数的恒等变换以及三角函数图像的问题，属于基础题型，重点说说对于（1）所考查到的三角恒等变换的问题，比较常见，所使用的公式包括ααα2sin 21cos sin =，22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=，降幂后采用辅助角公式化简，()ϕ++=+x b a x b x a sin cos sin 22，其中a b=ϕtan ，这样函数就可以化简为()ϕω+=x A y sin .24．已知函数x c x b a x f sin cos )(++=的图像经过点)1,0(A 及)1,2(πB(1)已知)2,0(π∈x 时，2|)(|≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围;(2)当a 取上述范围内的最大整数．．．．值时，若有实数φ,,n m ，使得1)()(=-+φx nf x mf 对于 R x ∈恒成立，求φ,,n m 的值.【答案】（1）[]234,2-+；（2）161=m ，161=n ，Z k k ∈+=,2ππφ. 【解析】试题分析：（1）首先根据条件可得a c b -==1，将函数转化为()()a x a x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=4sin 12π，根据条件可得⎪⎭⎫ ⎝⎛+4sin πx 的范围，最终讨论a -1的取值范围后，得到函数的值域，根据条件()2≤x f 得到a 的取值范围；（2）由（1）的结论可得8=a ，代入()()1=-+ϕx nf x mf ，要使上式对R x ∈∀恒成立，则需满足()⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0sin 0cos 18φφn n m n m ，得到参数的取值范围. 试题解析：由12,1)0(=⎪⎭⎫⎝⎛=πf f ，可得，1,1=+=+c a b a ， 所以a c b -==1，所以()()a x a a x x a x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++-=4sin 12)cos )(sin 1(π，（1）设t x =⎪⎭⎫⎝⎛+4sin π，()a t a y +-=12， 因为⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+πππ43,44x ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛∈1,22t ，① 当01>-a 时，()()(]a a x f +-∈12,1，此时()2≤x f 恒成立，只需()212≤+-a a ，可得[)1,2-∈a ， ②当0-1=a 时，()1=x f ，此时满足条件， ③当0-1<a 时，()()[)1,12a a x f +-∈，此时()2≤x f 恒成立，只需()212-≥+-a a ， 可得(]234,1+∈a综上，a 的取值范围是[]234,2-+. (2)可得8=a ，则()⎪⎭⎫⎝⎛+-=4sin 278πx x f 由()()1=-+φx nf x mf ，可得()14sin 274sin 278=⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+φππx x m n m ，令X x =+4π得，()()1cos sin 27sin cos 278=++-+X n X n m n m φφ要使上式对任意X 恒成立，则有()⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0sin 0cos 18φφn n m n m ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==1611cos 0sin n m φφ 所以161=m ，161=n ，Z k k ∈+=,2ππφ. 【考点】1.三角函数的性质；2.恒成立问题.。
福建省厦门市【最新】度第二学期高一年级期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若点()()(),0,0,2,1,3A a B C 共线,则a 的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为37,10n S a a +=,则9S =（ ） A ．15B ．30C ．45D ．903．下列选项正确的是（ ）A ．若,?c>d a b >,则a c b d ->- B ．若0a b >>,则2211a b<C 则a b >D ．若0,0a b c >>≠,则ac bc >4．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若 cos cos 2cos a B b A c C +=,则C =（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．233ππ或5．已知,αβ为不同的平面,,a b 为不同的直线则下列选项正确的是（ ） A ．若//,a b αα⊂,则//a b B ．若//,//a b αα,则//a b C ．若//,a b a α⊥,则b α⊥D ．若,a αβα⊥⊂,则a β⊥6．正方体1111ABCD A B C D -中,直线AC 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A B ．2C ．12D ．07．已知01x <<,当411x x+-取得最小值时x =（ ）A ．2B 1C ．45D ．238．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,2221,2b ac AB =+边上的中线长为2,则ABC ∆面积的最大值为（ ）二、多选题9．如图,正方形ABCD 中,E F 、分别是AB BC 、的中点将,,ADE CDF BEF ∆分别沿DE DF EF 、、折起,使、、A B C 重合于点P .则下列结论正确的是（ ）A ．PD EF ⊥B ．平面PDE PDF ⊥平面C ．二面角P EFD --的余弦值为13D ．点P 在平面DEF 上的投影是DEF ∆的外心10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy 中,()()2,0,4,0,A B -点12PA P PB=满足.设点P 的轨迹为C ,下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为()2249x y ++=B ．在x 轴上存在异于,A B 的两定点,D E ,使得12PD PE=C ．当,,A B P 三点不共线时,射线PO 是APB ∠的平分线D ．在C 上存在点M ,使得2||MO MA =三、填空题11．不等式210x x +-<的解集是_________________ 12．等比数列{}n a 满足124533,216a a a a +=+=其公比q =_________________ 13．直线1l 过点(2,0)-且倾斜角为30,直线2l 过点()2,0且与1l 垂直,则1l 与2l 的交点坐标为____14．如图,货轮在海上以20 mile/h n 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为150°的方向航行.为了确定船位,在点B 观察灯塔A 的方位角是120°,航行半小时后到达C 点,观察灯塔A 的方位角是75°,则货轮到达C 点时与灯塔A 的距离为______ n mile15．若直线:l y x m =+上存在满足以下条件的点P :过点P 作圆22:1O x y +=的两条切线(切点分别为,A B ),四边形PAOB 的面积等于3，则实数m 的取值范围是_______16．如图,圆锥型容器内盛有水,水深3dm ,水面直径放入一个铁球后,水恰好把铁球淹没,则该铁球的体积为________dm四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为23,.2n n n nS S -=(1)证明:数列{}n a 是等差数列;(2)设(1)?nn n c a =-,求数列{}n c 的前2020项和2020T . 18．已知函数21()(2)()2f x x m x m R =+-∈ （1）若关于x 的不等式()4f x <的解集为(2,4)-，求m 的值； （2）若对任意[0x ∈，4]，()20f x +恒成立，求m 的取值范围.19．平面四边形ABCD 中,60AB ACB =∠=︒.(1)若AC =求BC ;(2)设,ACD ADC αβ∠=∠=,若cos cos ,60AD AC αβα⋅=⋅=︒,求ACD 面积的最大值.20．已知圆22:(4)(5)4M x y -+-=,圆N 与圆M 关于直线:20+-=l x y 对称. (1)求圆N 的方程;(2)过直线l 上的点P 分别作斜率为4,4-的两条直线12,l l ,使得被圆M 截得的弦长与2l 被圆N 截得的弦长相等.(i)求P 的坐标;(ⅱ)过P 任作两条互相垂直的直线分别与两圆相交,判断所得弦长是否恒相等,并说明理由.21．数学的发展推动着科技的进步,正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用,华为的5G 技术领先世界.目前某区域市场中5G 智能终端产品的制造由H 公司及G 公司提供技术支持据市场调研预测,5C 商用初期,该区域市场中采用H 公司与G 公司技术的智能终端产品分别占比055%a =及045%b =假设两家公司的技术更新周期一致,且随着技术优势的体现每次技术更新后,上一周期采用G 公司技术的产品中有20%转而采用H 公司技术,采用H 公司技术的仅有5%转而采用G 公司技术设第n 次技术更新后,该区域市场中采用H 公司与G 公司技术的智能终端产品占比分别为n a 及n b ,不考虑其它因素的影响.(1)用n a 表示1n a +,并求实数λ使{}n a λ-是等比数列;(2)经过若干次技术更新后该区域市场采用H 公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上?若能,至少需要经过几次技术更新;若不能,说明理由？(参考数据:lg 20.301,lg30.477≈≈)参考答案1．A 【分析】通过三点共线转化为向量共线，即可得到答案. 【详解】由题意，可知()1,1BC →=，又(),2AB a →=-，点()()(),0,0,2,1,3A a B C 共线，则//BC AB →→，即2a -=，所以2a =-，故选A. 【点睛】本题主要考查三点共线的条件，难度较小. 2．C 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式及性质即可得到答案. 【详解】由于3710a a +=，根据等差数列的性质，193799()9()4522a a a a S ++===，故选C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和，难度不大. 3．B 【分析】通过逐一判断ABCD 选项，得到答案. 【详解】对于A 选项，若2,1,2,1a b c d ====，代入0a c -=，0b d -=，故A 错误；对于C ||||a b >，故C 错误；对于D 选项，若0c <，则ac bc <，故D 错误，所以答案选B. 【点睛】本题主要考查不等式的相关性质，难度不大. 4．B 【解析】 【分析】首先通过正弦定理将边化角，于是求得1cos 2C =，于是得到答案. 【详解】根据正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即sin 2sin cos C C C =，而sin 0C ≠，所以1cos 2C =，又为三角形内角，所以3C π=，故选B.【点睛】本题主要考查正弦定理的运用，难度不大. 5．C 【分析】通过对ABCD 逐一判断，利用点线面的位置关系即可得到答案. 【详解】对于A 选项，,a b 有可能异面，故错误；对于B 选项，,a b 可能相交或异面，故错误；对于C 选项，//,a b a α⊥，显然b α⊥故正确；对于D 选项，//a α也有可能，故错误.所以答案选C. 【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力，难度不大. 6．C 【分析】作出相关图形，通过平行将异面直线所成角转化为共面直线所成角. 【详解】作出相关图形，由于11//AC A C ，所以直线AC 与1BC 所成角即为直线11A C 与1BC 所成角，由于11A C B ∆为等边三角形，于是所成角余弦值为12，故答案选C.【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值，难度不大. 7．D 【解析】 【分析】可用导函数解决最小值问题，即可得到答案. 【详解】根据题意，令41()1f x x x =+-，则()()222241(2)(32)()11x x f x x x x x ---'=-+=--，而当2(0,)3x ∈时，()0f x '<，当2(,1)3x ∈时，()0f x '>，则()f x 在23x =处取得极小值，故选D. 【点睛】本题主要考查函数的最值问题，意在考查学生利用导数工具解决实际问题的能力，难度中等. 8．D 【分析】作出图形，通过+=CDB ADC π∠∠和余弦定理可计算出2a =，于是利用均值不等式即可得到答案. 【详解】根据题意可知2c AD BD ==，而22224+4+44cos =2222c c b b ADC c c --∠=⋅⋅，同理224+4cos 2c a CDB c -∠=，而+=CDB ADC π∠∠，于是cos +cos 0CDB ADC ∠∠=，即2228+02c a b --=，又因为22212b a c =+，代入解得2a =.过D 作DE 垂直于AB 于点E ，因此E 为中点，故14BE c =，而22142422ABCBE BE S AB BE ∆-+==≤⋅=，故面积最大值为4，答案为D.【点睛】本题主要考查解三角形与基本不等式的相关综合，表示出三角形面积及使用均值不等式是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大. 9．ABC 【分析】对于A 选项，只需取EF 中点H ，证明EF ⊥平面PDH ；对于B 选项，知,,PE PF PD 三线两两垂直，可知正确；对于C 选项，通过余弦定理计算可判断；对于D 选项，由于PE PF PD =≠，可判断正误.【详解】对于A 选项，作出图形，取EF 中点H ，连接PH ，DH ，又原图知BEF ∆和DEF ∆为等腰三角形，故PH EF ⊥,DH EF ⊥，所以EF ⊥平面PDH ，所以PD EF ⊥，故A 正确；根据折起前后，可知,,PE PF PD 三线两两垂直，于是可证平面PDE PDF ⊥平面，故B 正确；根据A 选项可知 PHD ∠为二面角P EF D --的平面角，设正方形边长为2，因此1PE PF ==，PH =，DH ==，2PD ==，由余弦定理得：2221cos 23PH HD PD PHD PH HD +-∠==⋅，故C 正确；由于PE PF PD =≠，故点P在平面DEF 上的投影不是DEF ∆的外心，即D 错误；故答案为ABC.【点睛】本题主要考查异面直线垂直，面面垂直，二面角的计算，投影等相关概念，综合性强，意在考查学生的分析能力，计算能力及空间想象能力，难度较大. 10．BC 【分析】通过设出点P 坐标，利用12PA PB=即可得到轨迹方程，找出两点,D E 即可判断B 的正误，设出M 点坐标，利用2||MO MA =与圆的方程表达式解出就存在，解不出就不存在. 【详解】设点(),P x y ，则12PA PB=，化简整理得2280x y x ++=，即()22416x y ++=，故A 错误；根据对称性可知，当()()6,0,12,0,D E --时，12PD PE=，故B 正确；对于C 选项，222cos =2AP PO AO APO AP PO +-∠⋅，222cos =2BP PO BO BPO BP PO+-∠⋅,要证PO 为角平分线，只需证明cos =cos APO BPO ∠∠，即证22222222AP PO AO BP PO BO AP PO BP PO+-+-=⋅⋅，化简整理即证2228PO AP =-，设(),P x y ，则222PO x y =+，()()222222222282828AP x x y x x y x y x y -=++=++++=+，则证cos =cos APO BPO ∠∠，故C 正确；对于D 选项，设()00,M x y ,由2||MO MA =可得220003316+160x y x++=，而点M在圆上，故满足2280x y x++=，联立解得0=2x，y无实数解，于是D错误.故答案为BC.【点睛】本题主要考查阿氏圆的相关应用，轨迹方程的求解，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.11．x⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭【解析】【分析】可先求出一元二次方程的两根，即可得到不等式的解集.【详解】由于21=0x x+-的两根分别为：1x=，2x=，因此不等式210x x+-<的解集是x⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的求解，难度不大.12．12【解析】【分析】观察式子，将两式相除即可得到答案.【详解】根据题意，可知345121=8a aqa a+=+，于是12q=.【点睛】本题主要考查等比数列公比的相关计算，难度很小.13．(【解析】【分析】通过题意，求出两直线方程，联立方程即可得到交点坐标. 【详解】根据题意可知13tan 303k ==，因此直线1l 为：(2)3y x =+，由于直线2l 与1l 垂直，故121k k ，所以2k =2l 为：2)y x =-，联立两直线方程，可得交点(. 【点睛】本题主要考查直线方程的相关计算，难度不大.14．【分析】通过方位角定义，求出ABC ∠，45A ∠=，利用正弦定理即可得到答案. 【详解】根据题意，可知200.510BC =⨯=,15012030ABC ∠=-=,3075105ACB ∠=+=，因此可得45A ∠=，由正弦定理得：sin sin BC ACA ABC=∠，求得AC =即答案为【点睛】本题主要考查正弦定理的实际应用，难度不大.15．-⎡⎣【分析】通过画出图形，可计算出圆心到直线的最短距离，建立不等式即可得到m 的取值范围. 【详解】作出图形，由题意可知PA OA ⊥，PB OB ⊥，此时，四边形PAOB 即为2PAO S ∆,而13||||22PAO S PA OA ∆==，故||3PA =，勾股定理可知||PO =，而要是得存在点P 满足该条件，只需O 即可，即d =≤，所以||m ≤故m 的取值范围是-⎡⎣.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，意在考查学生的转化能力，计算能力，分析能力，难度中等. 16．125π【分析】通过将图形转化为平面图形，然后利用放球前后体积等量关系求得球的体积. 【详解】作出相关图形，显然AH =,因此30ACH ∠=，因此放球前211=3=33V ππ⋅⋅，球O 与边1A C 相切于点M ，故OM r =，则2OC r =，所以13CH r =，11A H ,所以放球后)2321=3=33V r r ππ⋅⋅，而12+=V V V 球，而34=3V r π球，解得12=5V π球.【点睛】本题主要考查圆锥体积与球体积的相关计算，建立体积等量关系是解决本题的关键，意在考查学生的划归能力，计算能力和分析能力.17．（1）见解析；（2）3030 【分析】（1）当1n =时，可求出首项，当2n ≥时，利用1n n n a S S -=-即可求出通项公式，进而证明是等差数列；(2)可将奇数项和偶数项合并求和即可得到答案. 【详解】（1）当时，111a S ==当2n ≥时，22133(1)(1)3222n n n n n n n a S S n -----=-=-=-综上，*32,n a n n N =-∈.因为1(32)[3(1)2]3,2n n a a n n n --=----=≥，所以{}n a 是等差数列.（2）法一：(1)(1)(32)n nn n c a n =-⋅=-⋅-，{}n c 的前2020项和为：()()()2000123420192020T a a a a a a =-++-+++-+()()()214320202019a a a a a a =-+-++-333310103030=+++=⨯=法二：(1)(1)(32)n nn n c a n =-⋅=-⋅-，{}n c 的前2020项和为：()()()2000123420192020T a a a a a a =-++-+++-+()()13520192462020a a a a a a a a =-+++++++++101010091010100910101610104622⨯⨯⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10101101043030=-⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查等差数列的证明，分组求和的相关计算，意在考查学生的分析能力和计算能力，难度中等. 18．（1）1；（2）[0，)+∞. 【分析】（1）()4f x <可化为2(42)80x m x ---<，然后根据解集，由根与系数的关系可得关于m 的方程，解出m ；（2）当0x =时，02恒成立，符合题意；当(0x ∈，4]时，则只需122()2min m x x-+成立，利用基本不等式求出122x x+的最小值即可. 【详解】（1）不等式()4f x <可化为2(42)80x m x ---<，不等式()4f x <的解集为(2,4)-，∴2-和4是2(42)80x m x ---=的两个实根，∴由根与系数的关系有2442m -+=-，1m ∴=，经检验1m =满足题意，m ∴的值为1. （2）对任意[0x ∈，4]，()20f x +恒成立，∴21(2)22m x x -+对任意的[0x ∈，4]恒成立， 当0x =时，02恒成立，符合题意；当(0x ∈，4]时，要使21(2)22m x x -+恒成立， 则只需122()2min m x x-+成立， 而12122222x x x x+⋅=，当且仅当2x =时取等号， ∴122()22min m x x-+=，0m ∴，m ∴的取值范围为[0，)+∞.【点睛】本题考查了不等式的解集与方程根的关系和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想，转化思想和方程思想，属中档题.19．（1）BC =（2）【分析】(1) 法一：在ABC 中，利用余弦定理即可得到BC 的长度；法二：在ABC 中，由正弦定理可求得ABC ∠，再利用正弦定理即可得到BC 的长度；（2）在ACD 中，使用正弦定理可知ACD 是等边三角形或直角三角形，分两种情况分别找出面积表达式计算最大值即可. 【详解】（1）法一：ABC 中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅⋅∠，即2222cos3BC BC π=+-⨯⨯，解得BC =0<舍去，所以BC =.法二：ABC 中，由正弦定理得sin sin AB AC ACB ABC=∠∠，即sin sin 3ABC π=∠.解得sin ,2ABC AC AB ABC ACB ∠=<∴∠<∠，故4ABC π∠=，53412CAB ππππ∴∠=--=.由正弦定理得sin sin AB BC ACB CAB=∠∠5sin sin 312BCπ=，解得BC =.（2）ACD 中，由正弦定理及cos cos AD AC αβ⋅=⋅，可得sin cos sin cos ααββ⋅=⋅，即11sin 2sin 2,2222αβαβ=∴=或22αβπ+=，即αβ=或2παβ+=.,3ACD πα=∴△是等边三角形或直角三角形.ABC 中，设ABC θ∠=,4sin sin sin3ACAC θθ=∴=. 若ACD 是等边三角形，则211sin 4sin 4sin 22ACD S AC AD CAD θθθ=⋅⋅⋅∠=⨯⨯=△. ∵20,,3πθ⎛⎫∈∴ ⎪⎝⎭当2πθ=时，ACD 面积的最大值为 若ACD是直角三角形，则2114sin 22ACD S AC AD θθθ∆=⋅⋅=⨯⨯=. 20,,3πθ⎛⎫∈∴ ⎪⎝⎭当2πθ=时，ACD面积的最大值为 综上所述，ACD 面积的最大值为【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，面积公式，三角函数最值的相关应用，综合性强，意在考查学生的计算能力，转化能力，分析三角形的形状并讨论是解决本题的关键.20．（1）22:(3)(2)4N x y +++=；（2）（i ）()3,5P -,（ii ）见解析【解析】 【分析】(1)根据题意，将问题转化为()4,5M 关于直线:20+-=l x y 的对称点即可得到N ，半径不变，从而得到方程；(2) (i) 设(,2)P m m -，由于弦长和距离都相等，故P 到两直线的距离也相等，利用点到线距离公式即可得到答案；(ⅱ)分别讨论斜率不存在和为0三种情况分别计算对应弦长，故可判断. 【详解】（1）设(),N a b ，因为圆M 与圆N 关于直线:20+-=l x y 对称，()4,5M ，则直线MN 与直线l 垂直，MN 中点在直线l 上，得51,44520,22b a a b -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩解得3,2.a b =-⎧⎨=-⎩所以圆22:(3)(2)4N x y +++=.（2）（i ）设1(,2),P m m l -的方程为1(2)()4y m x m --=--，即4(38)0x y m ++-=； 2l 的方程为(2)4()y m x m --=-，即4(25)0x y m -+-=.因为1l 被圆M 截得的弦长与2l 被圆N 截得的弦长相等，且两圆半径相等， 所以M 到1l 的距离与N 到2l=，所以4m =或3m =-. 由题意，M 到直线1l的距离2d m =≤⇒≤≤， 所以4m =不满足题意，舍去， 故3m =-，点P 坐标为()3,5-.（ii ）过点P 任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长恒相等. 证明如下：当1l 的斜率等于0时，2l 的斜率不存在，1l 被圆M 截得的弦长与2l 被圆N 截得的弦长都等于圆的半径；当1l 的斜率不存在，2l 的斜率等于0时，1l 与圆M 不相交，2l 与圆N 不相交. 当1l 、2l 的斜率存在且都不等于0，两条直线分别与两圆相交时，设1l 、2l 的方程分别为15(3),5(3)y x y k x k-=-+-=+，即(35)0,(35)0x ky k kx y k ++-=-++=.因为M 到1l 的距离1d ==N 到2l 的距离2d ==所以M 到1l 的距离与N 到2l 的距离相等.所以圆M 与圆N 的半径相等，所以1l 被圆M 截得的弦长与2l 被圆N 截得的弦长恒相等. 综上所述，过点P 任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长恒相等. 【点睛】本题主要考查点的对称问题，直线与圆的位置关系，计算量较大，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度中等. 21．（1）1344n n a a λ+=+，45λ=；（2）见解析 【分析】(1) 根据题意经过n 次技术更新后1n n a b +=，通过整理得到13145n n a a +=+，构造{}n a λ-是等比数列，求出45λ=，得证； (2)由（1）可求出通项，令75%n a >，通过相关计算即可求出n 的最小值，从而得到答案. 【详解】（1）由题意，可设5G 商用初期，该区域市场中采用H 公司与G 公司技术的智能终端产品的占比分别为0011955%,45%2020a b ====.易知经过n 次技术更新后1n n a b +=， 则()119131(15%)20%120545n n n n n n a a b a a a +=-+=+-=+，131(N)45n n a a n +=+∈① 由①式，可设()1133444n n n n a a a a λλλ++-=-⇔=+，对比①式可知14455λλ=⇒=.又1013131114944943,45420580580516a a a =+=⨯+=-=-=-. 从而当45λ=时，45n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以316-为首项，34为公比的等比数列.（2）由（1）可知143313516444n nn a -⎛⎫⎛⎫-=-⋅=-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以经过n 次技术更形后，该区域市场采用H 公司技术的智能终端产品占比413544nn a ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭.由题意，令75%n a >，得41333131lg lg 54444545nnn ⎛⎫⎛⎫-⋅>⇔<⇔< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ lg5lg51lg 210.301lg32lg 22lg 2lg32lg 2lg320.3010.477n ---⇔>===---⨯-0.6990.6998 5.59250.125==⨯=>. 故6n ≥，即至少经过6次技术更新，该区域市场采用H 公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上. 【点睛】本题主要考查数列的实际应用，等比数列的证明，数列与不等式的相关计算，综合性强，意在考查学生的阅读理解能力，转化能力，分析能力，计算能力，难度较大.。
2015-2016学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．设集合A={﹣2，﹣1，1}，B={x∈Z|﹣1≤x≤1}，则A∪B=（）A．{﹣1，1}B．{0，1}C．{﹣2，﹣1，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】列举出B中的元素确定出B，找出A与B的并集即可．【解答】解：∪A={﹣2，﹣1，1}，B={x∈Z|﹣1≤x≤1}={﹣1，0，1}，∪A∪B={﹣2，﹣1，0，1}，故选：D．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．已知f（x﹣1）=2x，则f（3）=（）A．2B．4C．6D．8【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；同一法；函数的性质及应用．【分析】令x﹣1=3，求出x的值，代入可得答案．【解答】解：∪f（x﹣1）=2x，令x﹣1=3，则x=4，∪f（3）=2×4=8，故选：D【点评】本题考查的知识点是函数的值，难度不大，属于基础题．3．在区间[﹣1，3]内任选一个实数，则x恰好在区间[1，3]内的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】本题利用几何概型求概率，解得的区间长度，求比值即得．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度，区间[﹣1，3]的长度为4，区间[1，3]长度为2，由几何概型公式得x恰好在区间[1，3]内的概率是为=．故选：C．【点评】本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．4．某产品的广告费x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如表：广告费用x2356销售额y20304050由最小二乘法可得回归方程=7x+a，据此预测，当广告费用为7万元时，销售额约为（）A．56万元B．58万元C．68万元D．70万元【考点】线性回归方程．【专题】函数思想；综合法；概率与统计．【分析】求出数据中心（，），代入回归方程求出，再将x=7代入回归方程得出答案．【解答】解：==4，==35．∪35=4×7+，解得=7．∪回归方程为=7x+7．∪当x=7时，y=7×7+7=56．故选：A．【点评】本题考查了线性回归方程的特点与数值估计，属于基础题．5．运行如图的程序，若输入的数为1，则输出的数是（）A．﹣2B．0C．1D．3【考点】伪代码；程序框图．【专题】计算题；阅读型；分类讨论；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序代码，可得程序的功能是计算并输出y=，由x=1满足条件x≥0，执行输出y=2x+1即可得解．【解答】解：模拟执行程序代码，可得程序的功能是计算并输出y=，x=1，满足条件a≥0，执行y=2x+1=3，输出y的值为3．故选：D．【点评】本题考查的知识点是条件结构，其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键，属于基础题．6．已知a=log0.50.9，b=log0.50.8，c=0.5﹣0.9，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】利用对数函数的单调性比较a，b，再以1为媒介比较b，c得答案．【解答】解：∪log0.50.9＜log0.50.8＜log0.50.5=1，0.5﹣0.9＞0.50=1，∪a＜b＜c．故选：B．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了对数函数与指数函数的单调性，是基础题．7．已知函数f（x）=3x，对于定义域内任意的x1，x2（x1≠x2），给出如下结论：①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）③＞0④f（﹣x1）+f（﹣x2）=f（x1）+f（x2）其中正确结论的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【考点】指数函数的图象与性质．【专题】数形结合；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据指数的运算法则即可①正确，②错误，④错误；根据函数f（x）=3x的单调性可以判断③正确．【解答】解：关于函数f（x）=3x，对于定义域内任意的x1，x2（x1≠x2）：①f（x1+x2）==•=f（x1）•f（x2），∪①正确；②f（x1•x2）=≠+=f（x1）+f（x2），∪②错误；③f（x）=3x是定义域上的增函数，f′（x）=k=＞0，∪③正确；④f（﹣x1）+f（﹣x2）=+≠+=f（x1）+f（x2），∪④错误；综上，正确结论的序号是①③．故选：A．【点评】本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合指数的运算性质与函数图象分析结论中式子的几何意义，再进行判断，是基础题目．8．甲、乙两位运动员6场比赛的茎叶图如图所示，记甲、乙的平均成绩分别为，，下列判断正确的是（）A．＞，甲比乙成绩稳定B．＞，乙比甲成绩稳定C．＜，甲比乙成绩稳定D．＜，乙比甲成绩稳定【考点】茎叶图．【专题】对应思想；定义法；概率与统计．【分析】计算甲、乙二人得分的平均数与方差，即可得出正确的结论．【解答】解：6场比赛甲的得分为16、17、18、22、32和33，乙的得分为14、17、24、28、28和33；∪=（16+17+18+22+32+33）=23，=（14+17+24+28+28+33）=24，∪＜；又=（49+36+25+1+81+100）=，=（100+49+0+16+16+81）=∪＞，乙比甲成绩稳定些．故选：D．【点评】本题利用茎叶图中的数据计算平均数与方差的问题，也考查了计算能力，是基础题目．9．在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（正确答案可能是一个或多个选项），有一道多选题考生不会做，若他随机作答，则他答对的概率是（）A．B．C．D．【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】先求出基本事件总数，由此利用等可能事件概率计算公式能求出结果．【解答】解：由已知基本事件总数n==15，∪他随机作答，则他答对的概率p=．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10．函数f（x）=2的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】作图题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据指数函数和对数的函数的图象和性质即可判断．【解答】解：因为t=log3x的函数为增函数，且函数值的变化越来越慢，即图象的变化越来越趋向于平缓，又因为y=2t为增函数，其图象的变化是函数值的变化越来越慢，故选：B．【点评】本题考查了指数函数和对数的函数的图象和性质，属于基础题．11．阅读如图所示的程序框图，若输出d=0.1，a=0，b=0.5，则输出的结果是（）参考数据：x f（x）=2x﹣3x0.250.440.3750.170.43750.040.46875﹣0.020.5﹣0.08A．0.375B．0.4375C．0.46875D．0.5【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；数学模型法；算法和程序框图．【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当|a﹣b|=0.0625，满足条件|a﹣b|＜d，退出循环，输出m的值为0.4375．【解答】解：模拟执行程序，可得：f（x）=2x﹣3x，d=0.1，a=0，b=0.5，m=0.25，不满足条件f（0）f（0.25）＜0，a=0.25，|a﹣b|=0.25，不满足条件|a﹣b|＜d或f（m）=0，m=0.375，不满足条件f（0. 25）f（0.375）＜0，a=0.375，|a﹣b|=0.125，不满足条件|a﹣b|＜d或f （m）=0，m=0.4375，不满足条件f（0.375）f（0.4375）＜0，a=0.4375，|a﹣b|=0.0625，满足条件|a﹣b|＜d，退出循环，输出m的值为0.4375．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据表中函数的值，按照程序框图的顺序进行执行求解即可，考查了用二分法方程近似解的方法步骤，属于基础题．12．已知[t]表示不超过t的最大整数，例如[1.25]=1，[2]=2，若关于x的方程=a在（1，+∞）恰有2个不同的实数解，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（，2]D．[，2]【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】化为解y=[x]与y=a（x﹣1）在（1，+∞）上恰有2个不同的交点，从而作图求解即可．【解答】解：∪关于x的方程=a在（1，+∞）恰有2个不同的实数解，∪y=[x]与y=a（x﹣1）在（1，+∞）上恰有2个不同的交点，作函数y=[x]与y=a（x﹣1）在（1，+∞）上的图象如下，，结合图象可知，k l=2，k m=，实数a的取值范围是（，2]，故选C．【点评】本题考查了方程的解与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．一个田径队中有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样方法从全队的运动员中抽取一个容量为28人的样本，其中男运动员应抽取16人．【考点】分层抽样方法．【专题】计算题．【分析】先求出样本容量与总人数的比，在分层抽样中，应该按比例抽取，所以只需让男运动员人数乘以这个比值，即为男运动员应抽取的人数．【解答】解：∪运动员总数有98人，样本容量为28，样本容量占总人数的∪男运动员应抽取56×=16；故答案为16．【点评】本题主要考查了抽样方法中的分层抽样，关键是找到样本容量与总人数的比．14．已知函数f（x）=x2﹣2x+3的定义域为[0，3]，则函数f（x）的值域为[2，6]．【考点】函数的值域．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】配方得到f（x）=（x﹣1）2+2，而f（x）的定义域为[0，3]，这样便可求出f （x）的最大值和最小值，从而求出f（x）的值域．【解答】解：f（x）=（x﹣1）2+2；∪x∈[0，3]；∪x=1时，f（x）取最小值2；x=3时，f（x）取最大值6；∪f（x）的值域为[2，6]．故答案为：[2，6]．【点评】考查函数定义域、值域的概念，以及配方求二次函数值域的方法．15．在不同的进位制之间的转化中，若132（k）=42（10），则k=5．【考点】进位制．【专题】计算题；方程思想；转化思想；算法和程序框图．【分析】由已知中132（k）=42（10），可得：k2+3k+2=42，解得答案．【解答】解：∪132（k）=42（10），∪k2+3k+2=42，解得：k=5，或k=﹣8（舍去），故答案为：5【点评】本题考查的知识点是进位制，难度不大，属于基础题．16．已知函数f（x）=|log2x|，g（x）=，若对任意x∈[a，+∞），总存在两个x0∈[，4]，使得g（x）•f（x0）=1，则实数a的取值范围是[2，+∞）．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据g（x）的值域和g（x）•f（x0）=1得出f（x0）的范围，结合f（x）的图象得出f（x0）的范围解出a．【解答】解：f（x0）==，∪x∈[a，+∞），∪f（x0）≤，作出f（x）在[，4]上的函数图象如图：∪对任意x∈[a，+∞），总存在两个x0∈[，4]，使得g（x）•f（x0）=1，∪0＜≤1，解得a≥2．故答案为[2，+∞）．【点评】本题考查了对数函数的图象与性质，结合函数图象是解题关键．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知R为实数集，集合A={x|log2x≥1}，B={x|x﹣a＞4}．（∪）若a=2，求A∩（∁R B）；（∪）若A∪B=B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】（∪）若a=2，求出A，∁R B，即可求A∩（∁R B）；（∪）若A∪B=B，则A⊂B，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（∪）∪log2x≥1，∪x≥2，即A=[2，+∞），∪a=2，∪B={x|x＞6}，∪∁R B=（﹣∞，6]，∪A∩（∁R B）=[2，6]；（∪）∪A∪B=B，∪A⊆B，∪A=[2，+∞），B={x|x＞a+4}，∪a+4＜2，∪a＜﹣2．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．18．某校举行一次安全知识教育检查活动，从全校1500名学生中随机抽取50名参加笔试，测试成绩的频率分布表如下：分组（分数段）频数（人数）频率[50，60）a0.08[60，70）130.26[70，80）160.32[80，90）100.20[90，100）b c合计50 1.00（∪）请根据频率分布表写出a，b，c的值，并完成频率分布直方图；（∪）根据（∪）得到的频率分布直方图估计全校学生成绩的中位数，选择这种数字特征来描述该校学生对安全知识的掌握程度的缺点是什么？【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．【专题】对应思想；综合法；概率与统计．【分析】（∪）由题意知分别求出a，b，c的值即可，由频率分布表能作出频率分布直方图．（∪）根据频率分布直方图，能估计出全校学生成绩的中位数．【解答】解：（∪）a=50×0.08=4，b=50﹣10﹣16﹣13﹣4=7，c=0.14，如图示：；（∪）根据（∪）得到的频率分布直方图估计全校学生成绩的中位数约是80分，选择这种数字特征来描述该校学生对安全知识的掌握程度的缺点是：不准确，很笼统．【点评】本题考查频率分布直方图的作法，考查中位数的估计，是基础题，解题时要认真审题．19．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x a（a∈R），函数f（x）的图象经过点（4，2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）解不等式f（x2）﹣f（﹣x2+x﹣1）＞0．【考点】函数奇偶性的性质；指数函数的图象与性质．【专题】综合题；转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）根据函数f（x）的图象经过点（4，2）．可得a值，结合f（x）是定义在R 上的偶函数，可得函数的解析式；（2）不等式f（x2）﹣f（﹣x2+x﹣1）＞0可化为：|x2|＞|﹣x2+x﹣1|，即x2＞x2﹣x+1，解得答案．【解答】解：（1）∪函数f（x）的图象经过点（4，2）．∪4a=2，解得：a=，故当x≥0时，f（x）=，当x＜0时，﹣x＞0，由f（x）是定义在R上的偶函数，可得此时f（x）=f（﹣x）=，综上可得：f（x）=（2）若f（x2）﹣f（﹣x2+x﹣1）＞0，则f（x2）＞f（﹣x2+x﹣1），则|x2|＞|﹣x2+x﹣1|，即x2＞x2﹣x+1，解得：x＞1【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性性质，不等式的解法，函数解析式的求法，难度中档．20．联合国教科文组织规定：一个国家或地区60岁以上的人口占该国或该地区人口总数的10%以上（含10%），该国家或地区就进入了老龄化社会，结合统计数据发现，某地区人口数在一段时间内可近似表示为P（x）=（万），60岁以上的人口数可近似表示为L（x）=10×[1+k%•（x﹣2010）]（万）（x为年份，W，k为常数），根据第六次全国人口普查公报，2010年该地区人口共计105万．（∪）求W的值，判断未来该地区的人口总数是否有可能突破142万，并说明理由；（∪）已知该地区2013年恰好进入老龄化社会，请预测2040年该地区60岁以上人口数（精确到1万）．参考数据“0.942=0.88，0.943=0.83，139420=0.29，0.9430=0.16．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（∪）利用2010年该地区人口共计105万求W的值，利用≥142，即可判断未来该地区的人口总数是否有可能突破142万；（∪）利用该地区2013年恰好进入老龄化社会，求出k%≈，即可预测2040年该地区60岁以上人口数．【解答】解：（∪）∪2010年该地区人口共计105万，∪x=2010，P==105，∪W≈142．令≥142，∪0.35×（0.94）x﹣2010≤0无解，∪未来该地区的人口总数不可能突破142万；（∪）∪该地区2013年恰好进入老龄化社会，∪10×[1+k%•（2013﹣2010）]=10%×，∪k%≈，∪x=2040，L（2040）≈10×[1+•（2040﹣2010）]=20万【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，正确理解题意是关键．21．某港口船舶停靠的方案是先到先停．（∪）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表猜拳：从1，2，3，4，5中各随机选一个数，若两数之和为奇数，则甲先停靠；若两数之和为偶数，则乙先停靠，这种对着是否公平？请说明理由．（2）根据已往经验，甲船将于早上7：00～8：00到达，乙船将于早上7：30～8：30到达，请应用随机模拟的方法求甲船先停靠的概率，随机数模拟实验数据参考如下：记X，Y都是0～1之间的均与随机数，用计算机做了100次试验，得到的结果有12次，满足X ﹣Y≥0.5，有6次满足X﹣2Y≥0.5．【考点】模拟方法估计概率；几何概型．【专题】应用题；对应思想；转化法；概率与统计．【分析】（∪）这种规则不公平，求出甲胜的概率P（A）与乙胜的概率P（B），比较得出结论；（2）根据题意，求出应用随机模拟的方法甲船先停靠的概率值是X﹣Y≤0的对应值．【解答】解：（∪）这种规则是不公平的；设甲胜为事件A，乙胜为事件B，基本事件总数为5×5=25种，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5）∪甲胜的概率P（A）=，乙胜的概率P（B）=1﹣P（A）=；∪这种游戏规则是不公平；（2）根据题意，应用随机模拟的方法求出甲船先停靠的概率是P（C）=1﹣=0.88．【点评】本题考查了古典概型的概率与模拟方法估计概率的应用问题，求解的关键是掌握两种求概率的方法与定义及规则，是基础题．22．设函数f（x）=（∪）若a=1，在直角坐标系中作出函数f（x）的大致图象；（∪）若f（x）≥2﹣x对任意x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围；（∪）若函数f（x）恰有2个零点，求实数a的取值范围．【考点】分段函数的应用；函数零点的判定定理．【专题】作图题；数形结合；分类讨论；分类法；函数的性质及应用．【分析】（∪）若a=1，则f（x）=，进而可得函数的图象；（∪）若f（x）≥2﹣x对任意x∈[1，2]恒成立，即x2+（1﹣4a）x+（3a2﹣2）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，结合二次函数的图象和性质，可得答案；（∪）若函数f（x）恰有2个零点，则，或解得答案．【解答】解：（∪）若a=1，则f（x）=，函数f（x）的图象如下图所示：；（∪）若f（x）≥2﹣x对任意x∈[1，2]恒成立，即x2﹣4ax+3a2≥2﹣x对任意x∈[1，2]恒成立，即x2+（1﹣4a）x+（3a2﹣2）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，由y=x2+（1﹣4a）x+（3a2﹣2）的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，故，或，或解得：a≤0，或a≥2，（∪）解3x﹣a=0得：x=log3a，解x2﹣4ax+3a2=0得：x=a，或x=3a若函数f（x）恰有2个零点，则，或解得：a≥3，或≤a＜1．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数恒成立问题，二次函数的图象和性质，函数的零点，难度中档．。
高一下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。
把答案填在答题卡上。
1．sin 600o的值是( )A ．12; B ; C ． D ．12-2．与直线013=++y x 垂直的直线的倾斜角为 （ ） A ． 6π B ． 3π C ． 32 πD ．65π3．△ABC 中, a = 1， b =3，A=30°，则B 等于 ( )A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°4．如果等差数列{}n a 中，12543=++a a a ，那么=+++721a a a ( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35 5、若R c b a ∈,,，且b a >，则下列不等式一定成立的是 （ ）A ．c b c a -≥+B ．bc ac >C ．02>-ba c D ．0)(2≥-cb a6．设z=x -y, 式中变量x 和y 满足条件3020x y x y +-≥⎧⎨-≥⎩， 则z 的最小值为 （ ）A ．1B ．-1C ．3D ．-37．若),(y x M 在直线上012=++y x 移动，则yx42+的最小值是 （ ）A ．22B ．2C ．22D ．248、为了得到函数2sin(),36x y x R π=+∈的图像，只需把函数2sin ,y x x R =∈的图像上所有的点 ( ) A ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） B ．向左平移2π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）C ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D ．向左平移2π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ）A ．63B ．45C ．36D ．2710、已知正数x 、y 满足811x y+=，则2x y +的最小值是 （ ） Ａ．18 Ｂ．16 C ．8 D ．1011．△ABC 的三个顶点是A(0,3),B(3,3),C(2,0),直线l ：a x =将△ABC 分割成面积相等的两部分,则a 的值是（ ） A ． 3 B ．221+ C ． 331+ D ．212．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对应边分别为a 、b 、c.若a 、b 、c 成等差数列，则∠B 的范围是( )A ．(0，π6]B ．(0，π3] C ．[π6，π)D ．[π3，π)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分。
厦门市2015-2016学年度第二学期高一年级质量检测数学模拟试题试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．cos 420 的值为（ ）2．设(1,2)a = ，(2,)b k = ，若(2)a b a +⊥，则实数k 的值为（ ） A ．2-B ．4-C ．6- D ．8-3．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆0442:221=-+-+y x y x C ，圆0222:222=--++y x y x C ，则两圆的公切线的条数是（ ）A ．1条B ．3条 D ．4条4．A ．B ．C ．D ．5．直线0632=-+y x 分别交x 轴和y 轴于B A 、两点，P 是直线x y -=上的一点，最小，则点P 的坐标是（ ）A.）（1,1-B.）（0,0C.）（1,1- D.6．有的点的（ ）ABD 7．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题： （1）α∥β⇒l ⊥m ，（2）α⊥β⇒l ∥m ， （3）l ∥m ⇒α⊥β，（4）l ⊥m ⇒α∥β， 其中正确命题是（ ）A ．（1）与（2）B ．（1）与（3）C ．（2）与（4）D ．（3）与（4）8．在等腰ABC ∆中，4BC =，AB AC =，BA BC ⋅=（ ） A ．4-B ．4C ．8-D ．89．如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 、G 、H 分别为1AA 、AB 、1BB 、11B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于（ ） A ．45︒ B ．60︒C ．90︒D ．120︒10．已知B A ,为圆),(9)()(:22R b a b y a x C ∈=-+-上的两个不同的点，且满足）A ．1B ．2D 11．如图，P 是正方体1111ABCD A BCD -对角线1AC 上一动点，设AP 的长度为x ，若PBD ∆的面积为(x)f ，则(x)f 的图象大致是（ ）12．直线ax ＋by ＝1A ，B 两点（其中a ，b 是实数），且OA OB ⋅ ＞0（O 是坐标原点），则22a b ＋－2a 的取值范围为（ ）第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知tan 3α=，则sin cos αα的值是. 14．__________.15．已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影是________．16．如图1111ABCD A BC D -是棱长为1的正方体，S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点S ，1111,,,A BC D在同一球面上，则该球的表面积为___________．三、解答题：本大题共6小题，共70分。
2015-2016学年福建省福州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5分）终边落在第二象限的角组成的集合为（）A．{α|kπ＜α＜+kπ，k∈Z}B．{α|+kπ＜α＜π+kπ，k∈Z}C．{α|2kπ＜α＜+2kπ，k∈Z}D．{α|+2kπ＜α＜π+2kπ，k∈Z}2．（5分）+﹣=（）A．B．C．D．3．（5分）已知α是第四象限的角，若cosα=，则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣4．（5分）sin63°cos33°﹣sin27°sin33°=（）A．0 B．C．D．15．（5分）点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是（）A．，B．，C．，D．，6．（5分）点（tan3，cos3）落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（5分）角α的终边与单位圆交于点（，﹣），则cos（α﹣）=（）A．B．﹣ C．D．﹣8．（5分）已知函数f（x）=sin2（x+φ），则（）A．当φ=﹣时，f（x）为奇函数B．当φ=0时，f（x）为偶函数C．当φ=时，f（x）为奇函数D．当φ=π时，f（x）为偶函数9．（5分）若向量=（4，3），=（﹣1，﹣2），则在方向上的投影为（）A．﹣2 B．2 C．﹣2D．2A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位11．（5分）如图，点P是半径为1的半圆弧上一点，若AP长度为x，则直线AP与半圆弧所围成的面积S关于x的函数图象为（）A．B．C．D．12．（5分）将函数f（x）=3cos（x）与g（x）=x﹣1的所有交点从左往右依次记为A1，A2，A3，…，A n，若O为坐标原点，则|++…+|=（）A．0 B．1 C．3 D．5二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分.、共16分.13．（4分）已知钝角α满足sinα=，则α=．14．（4分）如图所示，在正方形ABCD中，点E为边AB的中点，线段AC与DE 交于点P，则tan∠APD=15．（4分）将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象上所有点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到g（x）的图象，则g（x）=．﹣3λ）（λ∈R），则=．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知四点A（﹣3，1）、B（﹣1，﹣2）、C（2，0）、D（3m2，m+4）．（Ⅰ）求证：⊥；（Ⅱ）若∥，求实数m的值．18．（12分）已知函数f（x）=sin（2x+）．（Ⅰ）用“五点法”作出f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；（Ⅱ）写出f（x）的对称中心以及单调递增区间；（Ⅲ）求f（x）的最大值以及取得最大值时x的集合．19．（12分）已知函数f（x）=cos4x﹣sin4x+4sin cos cosx．（Ⅰ）求f（x）的周期；（Ⅱ）若f（）=，求f（α+）的值．20．（12分）在△ABC中，AB=2，AC=，∠BAC=60°，设D为△ABC所在平面内一点，=2．（Ⅰ）求线段AD的长；（Ⅱ）求∠DAB的大小．21．（13分）如图，点P为等腰直角△ABC内部（不含边界）一点，AB=BC=AP=1，过点P作PQ∥AB，交AC于点Q．记∠PAB=θ，△APQ面积为S（θ）．（2）求S（θ）的最大值，并求出相应的θ值．22．（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）部分图象如图所示，点P为f（x）与x轴的交点，点A，B分别为f（x）图象的最低点与最高点，•=||2．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若x∈[﹣1，1]，求f（x）的取值范围．2015-2016学年福建省福州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5分）终边落在第二象限的角组成的集合为（）A．{α|kπ＜α＜+kπ，k∈Z}B．{α|+kπ＜α＜π+kπ，k∈Z}C．{α|2kπ＜α＜+2kπ，k∈Z}D．{α|+2kπ＜α＜π+2kπ，k∈Z}【解答】解：∵终边落在y轴正半轴的角的集合为{α|α=，k∈Z}，终边落在x轴负半轴的角的集合为{α|α=π+2kπ，k∈Z}，∴终边落在第二象限的角组成的集合可表示为{α|+2kπ＜α＜π+2kπ，k∈Z}．故选：D．2．（5分）+﹣=（）A．B．C．D．【解答】解：故选：D．3．（5分）已知α是第四象限的角，若cosα=，则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：∵α是第四象限的角，若cosα=，∴sinα=﹣=﹣，则tanα==﹣，故选：D．A．0 B．C．D．1【解答】解：sin63°cos33°﹣sin27°sin33°=sin63°cos33°﹣cos63°sin33°=sin（63°﹣33°）=sin30°=，故选：B．5．（5分）点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是（）A．，B．，C．，D．，【解答】解：由图形可知：与，与，与共线，不能作为基底向量，与不共线，可作为基底向量，故选：B．6．（5分）点（tan3，cos3）落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：因为＜3＜π，所以3在第二象限，所以tan3＜0，cos3＜0，故点（tan3，cos3）落在第三象限；故选：C．7．（5分）角α的终边与单位圆交于点（，﹣），则cos（α﹣）=（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：由已知sinα=，又cos（α﹣）=sinα=；故选：B．8．（5分）已知函数f（x）=sin2（x+φ），则（）C．当φ=时，f（x）为奇函数D．当φ=π时，f（x）为偶函数【解答】解：A、f（x）=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）=﹣cos2x，则f（x）是偶函数，A不符合条件；B、f（x）=sin2（x﹣0）=sin2x，则f（x）是奇函数，B不符合条件；C、f（x）=sin2（x﹣）=sin（2x﹣π）=﹣sin2x，则f（x）是奇函数，C符合条件；D、f（x）=sin2（x﹣π）=sin（2x﹣2π）=sin2x，则f（x）是奇函数，D不符合条件；故选：C．9．（5分）若向量=（4，3），=（﹣1，﹣2），则在方向上的投影为（）A．﹣2 B．2 C．﹣2D．2【解答】解：∵向量=（4，3），=（﹣1，﹣2），∴=4×（﹣1）+3×（﹣2）=﹣10，||==5∴在方向上的投影为==﹣2，故选：A．10．（5分）为得到y=cosx的图象，只需将y=sin（x+）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：将y=sin（x+）的图象向左平移个单位可得y=sin（x++）=cosx的图象，故选：C．11．（5分）如图，点P是半径为1的半圆弧上一点，若AP长度为x，则直线AP与半圆弧所围成的面积S关于x的函数图象为（）A．B．C．D．【解答】解：∵弧AP长度为x，半径为1，∴弧AP所对的圆心角为x，∴直线AP与半圆弧所围成的面积S关于x的函数S=﹣，∴S′=﹣cosx＞0，∴S在[0，π]上单调递增，S′在[0，π]上单调递增，故选：A．12．（5分）将函数f（x）=3cos（x）与g（x）=x﹣1的所有交点从左往右依次记为A1，A2，A3，…，A n，若O为坐标原点，则|++…+|=（）A．0 B．1 C．3 D．5【解答】解：函数f（x）=3cos（x）与g（x）=x﹣1的所有交点从左往右依次记为A1、A2、A3、A4和A5，且A1和A5，A2和A4，都关于点A3对称，如图所示；则++++=5=（5，0），所以|++++|=5．故选：D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分.、共16分.13．（4分）已知钝角α满足sinα=，则α=．【解答】解：∵钝角α满足sinα=，∴α=．故答案为：．14．（4分）如图所示，在正方形ABCD中，点E为边AB的中点，线段AC与DE 交于点P，则tan∠APD=﹣3【解答】解：设正方形的边长为1，ABCD为正方形，有AB∥CD，则∠BAC=∠ACD，又∠APE与∠CPD为对顶角，则两角相等，那么△APE∽△CPD，∵E为AB中点，则，DE=，AC=，则DP==，AP=，由余弦定理得：cos∠APD=，sin=．∴tan∠APD=．故答案为：﹣3．15．（4分）将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象上所有点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到g（x）的图象，则g（x）=sin（4x﹣）．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象上所有点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到函数图象的解析式为：g（x）=sin（4x﹣）．故答案为：sin（4x﹣）．16．（4分）在△ABC中，D为BC中点，直线AB上的点M满足：3=2λ+（3﹣3λ）（λ∈R），则=1．【解答】解：设=x，∵D为BC中点∴=（+），3=2λ+（3﹣3λ），可以化为3x=λ（+）+（3﹣3λ），化简为（3x﹣λ）=（3﹣2λ），∵只有当3x﹣λ=3﹣2λ=0时，（3x﹣λ）=（3﹣2λ）才成立∴λ=，x=，∴=，即M为AB中点=1，故答案为：1．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知四点A（﹣3，1）、B（﹣1，﹣2）、C（2，0）、D（3m2，m+4）．（Ⅰ）求证：⊥；（Ⅱ）若∥，求实数m的值．【解答】解：（Ⅰ）∵A（﹣3，1）、B（﹣1，﹣2）、C（2，0），∴=（2，﹣3），=（3，2），∴•=2×3﹣3×2=0，∴⊥；（Ⅱ）∵A（﹣3，1）、D（3m2，m+4），∴=（3m2+3，m+3），∵∥，∴2（3m2+3）=3（m+3），解得m=﹣或m=1．18．（12分）已知函数f（x）=sin（2x+）．（Ⅰ）用“五点法”作出f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；（Ⅱ）写出f（x）的对称中心以及单调递增区间；（Ⅲ）求f（x）的最大值以及取得最大值时x的集合．【解答】解：（1）列表：描点、连线如图所示：（2）解：令2x+=kπ，k∈Z，解得：x=kπ﹣，k∈Z，则函数y=sin（2x+）的图象的对称中心的坐标是（kπ﹣，0）k∈Z．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，从而可求得f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（3）由2x+=2kπ+即x=kπ+，k∈Z时，函数f（x）取得最大值1，此时x的集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．19．（12分）已知函数f（x）=cos4x﹣sin4x+4sin cos cosx．（Ⅰ）求f（x）的周期；（Ⅱ）若f（）=，求f（α+）的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=，∴f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（）==，∴，则，∴=±，则f（α+）====．20．（12分）在△ABC中，AB=2，AC=，∠BAC=60°，设D为△ABC所在平面内一点，=2．（Ⅰ）求线段AD的长；（Ⅱ）求∠DAB的大小．【解答】解：（Ⅰ）由题意画出图象：在△ABC中，AB=2，AC=，∠BAC=60°，则由余弦定理得，BC2=AB2+AC2﹣2•AB•AC•cos∠BAC=4+﹣=，所以BC=，由余弦定理得，cos∠ACB===，由∠ACB+∠ACD=π得，cos∠ACD=﹣cos∠ACB=，在△ACD中，由=2得CD=BC=，由余弦定理得，AD2=CD2+AC2﹣2•CD•AC•cos∠ACD==1，则AD=1；（Ⅱ）由（I）得，BD=BC+CD=+=，在△ABD中，由余弦定理得，cos∠BAD===，∵0＜∠BAD＜π，∴∠BAD=．21．（13分）如图，点P为等腰直角△ABC内部（不含边界）一点，AB=BC=AP=1，过点P作PQ∥AB，交AC于点Q．记∠PAB=θ，△APQ面积为S（θ）．（1）求S（θ）关于θ的函数；（2）求S（θ）的最大值，并求出相应的θ值．【解答】解：（1）在△APQ中，由正弦定理可得，∴PQ=sin（45°﹣θ），∴S（θ）=•sin（45°﹣θ）•1•sinθ=sin（45°﹣θ）•sinθ（0°＜θ＜45°），（2）S（θ）=sin（45°﹣θ）•sinθ=（cosθ﹣sinθ）•sinθ=sin2θ﹣•=sin（2θ+45°）﹣，∴2θ+45°=90°，即θ=22.5°时，S（θ）的最大值为﹣．22．（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）部分图象如图所示，点P为f（x）与x轴的交点，点A，B分别为f（x）图象的最低点与最高点，•=||2．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若x∈[﹣1，1]，求f（x）的取值范围．【解答】解：（1）设函数f（x）=sin（ωx+φ）的周期是T，P（a，0），则A（a+，﹣1），B（a+，1），∴=（，﹣1），=（，1），∵•=||2，∴，解得T=4，由T=得，ω=；（2）由（1）得，f（x）=sin（x+φ），∵x∈[﹣1，1]，∴，又0＜φ＜π，则，∴sin（x+φ）∈（﹣1，1），即f（x）的取值范围是（﹣1，1）．。
