2018年全国高中数学联合竞赛试题(B卷)

2018年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）

一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是

2、已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ 与底面所成角不大于045，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为

3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为

4、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 通过原点，)1,3(=是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意正整数n ，点),(1n n a a +均在l 上．若62=a ，则54321a a a a a 的值为

5、设βα,满足3)3tan(-=+

πα，5)6tan(=-πβ，则)tan(βα-的值为

6、设抛物线x y C 2:2=的准线与x 轴交于点A ，过点)0,1(-B 作一直线l 与抛物线C 相切于点K ,过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点N M ,，则KMN ∆的面积为为

7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤1

)(010x f x 的解集为

8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则1

33221z z z z z z ++的实部是 （用含有r 的式子表示）

二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9、（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：71=a ，

21+=+n n n a a a ， ,3,2,1=n ，求满足20184>n a 的最小正整数n 。

10、（本题满分20分）已知定义在+R 上的函数)(x f 为⎩⎨⎧--=x

x x f 41log )(39,90,>≤

11、（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中， B A ,与D C ,分别是椭圆

1:22

22=+Γb

y a x （0>>b a ）的左、右顶点与上、下顶点．设Q P ,是椭圆上且位于第一象限的两点，满足AP OQ //，M 是线段AP 的中点，射线OM 与椭圆交于点R .

证明：线段BC OR OQ ,,能构成一个直角三角形。