2018年全国高中数学联合竞赛(A卷)

2018年全国高中数学竞赛试题一、选择题（每题4分，共24分）函数f(x)=4−x2的定义域是（）.A. [−2,2]B. (−2,2)C. [0,2]D. (0,2)下列命题中，正确的是（）.A. 若α⊂β，则α∩β=αB. 若直线l与平面α平行，则l与α内的所有直线平行C. 若直线l与平面α相交，则l与α内的无数条直线垂直D. 若平面α∥β，直线a⊂α，则a∥β若x,y∈R，且xy=0，则“x>y”是“x1<y1”的（）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件已知tanα=21，则sin2α=（）.A. 51B. 52C. 54D. 53设Sn为等比数列{an}的前n项和，若S3,S9−S3,S15−S9成等差数列，则公比q为（）.A. 2B. −2C. 21D. −21在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a=2,b=4,cosC=41，则sinB=（）.A. 815B. 16315C. 23D. 415二、填空题（每题5分，共20分）函数y=log2(x2−2x−3)的定义域是_______.若直线l与平面α垂直，则l与α内所有直线所成的角中（）.A. 必有一个是直角B. 必有一个是锐角C. 必有一个是钝角D. 都是直角已知函数f(x)=x3−3x2+2x，则f′(x)= _______.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若sinA:sinB:sinC=3:5:7，则cosC= _______.三、解答题（共56分）（12分）求函数f(x)=x+1x2−1在x=2处的导数值.（12分）已知数列{an}满足a1=1，且an+1=2an+1，求数列{an}的通项公式.（12分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=2,b=3,cosC=31。

（1）求sinB的值；（2）求△ABC的面积。

2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.。

2018年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2018A1、设集合{}99,,3,2,1 =A ，集合{}A x x B ∈=|2，集合{}A x x C ∈=2|，则集合C B 的元素个数为◆答案：24★解析：由条件知，{}48,,6,4,2 =C B ，故C B 的元素个数为24。

2018A 2、设点P 到平面α的距离为3，点Q 在平面α上，使得直线PQ 与平面α所成角不小于030且不大于060，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 ◆答案：π8★解析：设点P 在平面α上的射影为O ，由条件知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=∠3,33tan OQ OP OQP ，即[]3,1∈OQ ，所以区域的面积为πππ81322=⨯-⨯。

2018A 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是偶数的概率为 ◆答案：109★解析：先考虑def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=⨯种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=⨯种，从而def abc +为奇数的概率为101!672=，故所求为1091011=-2018A 4、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 1:2222=+by a x （0>>b a ）的左右焦点分别是21,F F ，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴和y 轴，且相交于点P ，已知线段PT PV PS PU ,,,的长分别为6,3,2,1，则21F PF ∆的面积为◆答案：15★解析：由对称性，不妨设点P ()00,y x 在第一象限，则220=-=PSPT x ，120=-=PUPV y即()1,2P 。

进而可得()2,2U ，()1,4S ，代入椭圆方程解得：202=a ，52=b ，从而151152212102121=⨯⨯=⨯=∆y F F S F PF 。

{}{}{}{}∈⎢,3⎥，即OQ∈[1,3]，6⨯6=36种，从而abc+def为奇数的概率为722018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2018A1、设集合A=1,2,3, ,99，集合B=2x|x∈A，集合C=x|2x∈A，则集合B C 的元素个数为◆答案：24★解析：由条件知，B C=2,4,6, ,48，故B C的元素个数为24。

2018A2、设点P到平面α的距离为3，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于300且不大于600，则这样的点Q所构成的区域的面积为◆答案：8π★解析：设点P在平面α上的射影为O，由条件知tan∠OQP=OP⎡3⎤OQ⎣3⎦所以区域的面积为π⨯32-π⨯12=8π。

2018A3、将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abc+def是偶数的概率为◆答案：9 10★解析：先考虑abc+def为奇数时，abc，def一奇一偶，①若abc为奇数，则a,b,c为1,3,5的排列，进而d,e,f为2,4,6的排列，这样共有6⨯6=36种；②若abc为偶数，由对称性得，也有119=，故所求为1-=6!1010102018A4、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2y2+a2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别是F,F，12椭圆C的弦ST与U V分别平行于x轴和y轴，且相交于点P，已知线段PU,PS,PV,PT的长分别为1,2,3,6，则∆PF F的面积为12★解析：由对称性，不妨设点 P x , y在第一象限，则 x = PT -PS 即 P 2,1 。

进 而 可 得 U2,2 ， S 4,1 ， 代 入 椭 圆 方 程 解 得 ： a 2 = 20 ， b 2 = 5 ， 从 而 2 2[ ]◆答案： π - 2,8 - 2π ][ ] [ ][ ] 所以 π - 2 < x < 8 - 2π ，即不等式的解集为 π - 2,8 - 2π ] ⎩bx 2 - 2bx = 0◆答案： 15()2 = 2 ，y 0 =PV - PU2= 1( ) ( ) ( )S ∆PF 1F2=1 1F F ⨯ y = ⨯ 2 15 ⨯ 1 = 15 。

一试一、填空题1. 设集合{}99,,3,2,1 =A ，{}A x x B ∈=2，{}A x x C ∈=2，则CB 的元素个数为 . 2. 设点P 到平面α的距离为3，点Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于︒30且不大于︒60， 则这样的点Q 所构成的区域的面积为 .3. 将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是偶数的概率为 .4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别是21,F F ，椭圆C 的弦ST与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P .已知线段PT PV PS PU ,,,的长分别为6,3,2,1， 则21F PF ∆的面积为 .5. 设()x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]1,0上严格递减，且满足()()22,1==ππf f ，则不等式组()⎩⎨⎧≤≤≤≤2121x f x 的解集为 .6. 设复数z 满足1=z ，使得关于x 的方程0222=++x z zx 有实根，则这样的复数z 的和为 .7. 设O 为ABC ∆的外心，若AC AB AO 2+=，则BAC ∠sin 的值为 .8. 设整数数列1021,,,a a a 满足1103a a =，5822a a a =+，且{}9,,2,1,2,11 =++∈+i a a a i i i ， 则这样的数列的个数为 .二、解答题9. 已知定义在+R 上的函数()x f 为()⎪⎩⎪⎨⎧--=,4,1log 3x x x f .9.90>≤<x x ，设c b a ,,是三个互不相同的实数，满足()()()c f b f a f ==，求abc 的取值范围.10. 已知实数列 ,,,321a a a 满足：对任意正整数n ，有()12=-n n n a S a ，其中n S 表示数列的前n 项和. 证明：（1）对任意正整数n ，有n a n 2<；（2）对任意正整数n ，有11<+n n a a .11. 在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线x y 42=的过点()0,1F 的弦，AOB ∆的外接圆交抛物线 于点P （不同于点B A O ,,）.若PF 平分APB ∠，求PF 的所有可能值.二试一、设n 是正整数，B A b b b a a a n n ,,,,,,,,,2121 均为正实数，满足i i b a ≤，A a i ≤，,,,2,1n i =且ABa a ab b b n n ≤ 2121. 证明：()()()()()()111111112121++≤++++++A B a a a b b b n n .二、ABC ∆为锐角三角形，AC AB <，M 为BC 边的中点，点D 和E 分别为ABC ∆的外接圆上弧BAC和弧BC 的中点.F 为ABC ∆的内切圆在AB 边上的切点，G 为AE 与BC 的交点，N 在线段EF 上， 满足AB NB ⊥.证明：若EM BN =，则FG DF ⊥.三、设m k n ,,是正整数，满足2≥k ，且n kk m n 12-<≤.设A 是{}m ,,2,1 的n 元子集. 证明：区间⎪⎭⎫⎝⎛-1,0k n 中的每个整数均可表示为a a '-，其中A a a ∈',.四、数列{}n a 定义如下：1a 是任意正整数，对整数1≥n ，1+n a 是与∑=ni ia1互素，且不等于n a a ,,1 的最小正整数. 证明：每个正整数均在数列{}n a 中出现.ED。

2018年全国高中数学联赛湖南省预赛A 卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、填空题1.已知12a 3}，当A≠B 时，(A,B)与(B,A)视为不同的对，则这样的(A,B)对的个数有_____个.2.若不等式√x >ax +32(4,b)的解集是（4，b ），则实数a=_____，b=_____. 3.从-3、-2、-1、0、1、2、3、4八个数字中，任取三个不同的数字作为二次函数f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0)的系数.若二次函数的图象过原点，且其顶点在第一象限或第三象限，这样的二次函数有_____个. 4.已知n 为正整数，若n 2+3n−10n 2+6n−16是一个既约分数，那么这个分数的值等于_____.5.函数f(x)=sinx +2|sinx|，x ∈[0,2π]的图象与直线y=k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是_____. 6.设实数a 、b 满足不等式||a|−(a +b)|<|a −|a +b||，则a 、b 的正、负符号分别为_____. 7.正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为CC 1的中点.异面直线EF 与AC 1所成角的余弦值是_____.8.四次多项式x 4−18x 3+kx 2+200x −1984的四个根中有两个根的积为-32，则实数k=_____.9.(|x|+1|x|−2)3的展开式中常数项为_____.10.在半径为R 的球内作内接圆柱，则内接圆柱全面积的最大值是_____.二、解答题11.已知抛物线C 1的顶点(√2−1,1)，焦点(√2−34,1)，另一抛物线C 2的方程为y 2−ay +x +2b =0，C 1与C 2在一个交点处它们的切线互相垂直.试证C 2必过定点，并求该点的坐标.12.如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC=MD.分别过点C、D作边BC、AD的垂线，设两条垂线的交点为P.过点P作PQ⊥AB与Q.求证：∠PQC=∠PQD.13.已知二次函数f(x)=x2−16x+p+3.（1）若函数在区间[−1,1]上存在零点，求实数p的取值范围；（2）问是否存在常数q(q≥0)，使得当x∈[q,10]时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12−q.（注：区间[a,b](a<b)的长度为b−a）.14.已知数列{a n}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列{a n}前n项和为S n，且满足S5=2a4+a5，a9=a3+a4.（1）求数列{a n}的通项公式：（2）若a m+a m+1=a m+2，求正整数m的值；（3）是否存在正整数m，使得S2mS2m−1恰好为数列{a n}中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由.参考答案1.27【解析】1.由集合A 、B 都是A ∪B 的子集，A ≠B 且A ∪B =(a 1,a 2,a 3).当A=∅时，B 有1种取法；当A 为一元集时，B 有2种取法； 当A 为二元集时，B 有4种取法； 当A 为三元集时，B 有8种取法.故不同的（A ，B ）对有1+3×2+3×4+8=27（个）.故答案为：27 2.18 36【解析】2.解法一： 设√x =t ，则x=t 2，且t ∈(2,√b)，则不等式at 2−t +32<0的解集为(2,√b)，所以2、√b 是方程at 2−t +32=0的两根，即{ 2+√b =1a ,2·√b =32a. 解得a=18，b=36.解法二： 设y 1=√x ，y 2=ax +32，由不等式√x >ax +32的解集是（4，b ），可得两函数y 1=√x ，y 2=ax +32在同一坐标系中的图象. 设两函数图象的交点为A 、B ，则A(4,2)、B(b,√b)，所以2=4a +32，√b =ab +32. 解得a=18，b=36.故答案为：(1). 18 (2). 36 3.24【解析】3.可将二次函数分为两大类：一类顶点在第一象限；另一类顶点在第三象限，然后由顶点坐标的符号分别考查.因为图象过坐标原点，所以c=0.故二次函数可写成f(x)=a 2+bx 的形式. 又f(x)=a(x +b 2a)2−b 24a，所以其顶点坐标是(−b2a ,b 24a).若顶点在第一象限，则有b2a>0，−b 24a>0.故a <0，b >0.因此，这样的二次函数有A 31⋅A 41=12个.若顶点在第三象限，则有−b 2a<0，−b 24a<0.故a >0，b >0.这样的二次函数有A 42=12个.由加法原理知，满足条件的二次函数共有A 31⋅A 41+A 42=24个.故答案为：24 4.811【解析】4.因为n 2+3n−10n 2−6n−16=(n+5)(n−2)(n+8)(n−2)，当n −2=±1时，若(n +8,n +5)=(n +5,3)=1，则n 2+3n−10n 2−6n−16是一个既约分数，故当n =3时，该分数是既约分数.所以这个分数为811. 故答案为：8115.1<k <3【解析】5.f(x)={3sinx,x ∈[0,π].−sinx,x ∈[π,2π].作出其图像，可只有两个交点时k 的范围为1<k <3.故答案为：1<k <36.a 负,b 正【解析】6. 由已知得[|a|−(a +b)]2<(a −|a +b|)2⇒a 2−2|a|⋅(a +b)+(a +b)2<a 2−2a|a +b|+(a +b)2⇒a 2⋅|a +b|<|a|⋅(a +b).由于|x|≥x ，因此得a <0⇒−(−a)⋅|a +b|<[|a|⋅(a +b)，约去−a 的−|a +b|<a +b .所以a+b >0⇒b >−a >0，a 为负数且b 为正数.故答案为：a 负,b 正 7.2√23【解析】7.设正方体棱长为1，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系，则E(1,12,0),F(0,1,12),A(1,0,1),C 1(0,1,1).故有EF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,12,12),AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−1,1,1). 所以cosθ=EF ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |EF |·|AC 1|=2√23.故答案为：2√23 8.86【解析】8.设多项式x 4−18x 3+kx 2+200x −1984的四个根为x 1、x 2、x 3、x 4，则由韦达定理，得{x 1+x 2+x 3+x 4=18,x1x 2+x 1x 3+x 1x 4+x 2x 3+x 2x 4+x 3x 4=k,x 1x 2x 3+x 1x 2x 4+x 1x 3x 4+x 2x 3x 4=−200,x 1x 2x 3x 4=−1984. 设x 1x 2=−32，则x 3x 4=62，故62(x 1+x 2)−32(x 3+x 4)=−200.又x 1+x 2+x 3+x 4=18，所以{x 1+x 2=4,x 3+x 4=14,故k=x 1x 2+x 3x 4+(x 1+x 2)(x 3+x 4)=86.故答案为：86 9.-20【解析】9.因为(|x|+1|x|−2)3=(√|x|−√|x|)6.所以T 4=(−1)3C 63(√|x|)3(√|x|)3=−20.故答案为：-2010.πR2(1+√5)【解析】10.设内接圆柱底面半径为Rsinα，则高位2Rcosα，那么全面积为2π(Rsinα)2+2πRsinα×2Rcosα=2πR2(sin2α+sin2α)=πR2(1−cos2α+2sin2α) =πR2[1+√5sin(2α−φ)]≤πR2(1+√5).其中tanφ=12，等号成立的条件是2α=φ+π2.故最大值为πR2(1+√5).故答案为：πR2(1+√5)11.C2过定点，该定点的坐标为(√2−12,1).【解析】11.C1中的p=12，方程(y−1)2=x(√2−1)，即y2−2y−x+√2=0.设交点为(x0,y0)，则C1的切线方程为y0−(y+y0)−12(x+x0)+√2=0，即2(y0−1)y−x−2y0−x0+2√2=0.同理可得，C2的切线方程为y 0y−12a(y+y)+12(x+x0)−2b=0，即(2y0−a)y+x−ay0+x0+4b=0.由题意知二者垂直，从而可得1×(−1)+2(y0−1)(2y0−a)=0，整理得4y02−2(a+2)y0+2a−1=0.①由y02−2y0−x0+√2=0和y02−ay0+x0+2b=0，相加得2y02−(a+2)y0+2b+√2=0，②①-②×2得2a-1-4b-2√2=0，可得4b=2a−1−2√2. ③代入C2得方程整理即可得2y2−2ay+2x+2a−1−2√2=0，即2y2+2x−2√2−1−2a(y−1)=0，由方程组{2y2+2x−2√2−1=0,y−1=0.解得(√2−12,1).即对任何满足③的a、b，点(√2−12,1)在曲线C2上，即C2过定点，该定点的坐标为(√2−12,1).12.见解析【解析】12.如图，连结PA、PB，分别取PA、PB的中点E、F，连结EM、ED、FM、FC，则四边形PEMF为平行四边形，从而∠PEM=∠PFM.由ME=12BP=CF，MF=12AP=DE，MD=MC，所以△DEM≌△MFC，即∠DEM=∠MFC，所以∠PED=∠DEM-∠PEM=∠ MFC-∠PFM=∠PFM.又∠PED=2∠PAD, ∠PFC=2∠PBC,得∠PAD=∠PBC.由于∠PQA=∠PDA=90°，∠POB=∠PCB=90°，则P、Q、A、D和P、Q、B、C分别四点共圆.故∠PQD=∠PAD, ∠PQC=∠PBC,所以∠PQC=∠PQD.13.（1）–20≤p≤12；（2）存在常数q= 8或q= 9，当x∈[q，10]时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12–q．【解析】13.（1）利用零点存在性定理列出关于q的不等式，然后再利用不等式知识求解即可；（2）先利用单调性求出函数的值域，再利用区间长度列出关于q的方程，求解即可。

60° ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为．3.将1, 2, 3，4，5，6 随机排成一行，记为,,,,,,f e d c b a 则def abc +是偶数的概率为 .4.平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C 的左、右焦点分别是 F 1、F 2，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于 x 轴与 y 轴，且相交于点 P ．已知线段 PT PV PS PU ,,, 的长分别为1，2，3，6 ，则△PF 1F 2 的面积为 ．5.设)(x f 是定义在R 上的以2 为周期的偶函数，满足2)2(,1)(==ππf f ,且在区间[0，1]上严格递减，则不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤2)(121x f x 的解集为 ．6.设复数 z 满足1||=z ，使得关于 x 的方程0222=++x z zx 有实根，则所有 z 的和为 ．7.设O 为△ABC 的外心，若 AC AB AO 2+=，则ABC ∠sin 的值为 ．8. 设整数数列10321,...,,,a a a a 满足5821102,3a a a a a =+=，且{},9,...,2,1,2,11=++∈+i a a a i i i 则这样的数列的个数为 ．二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9.（本小题满分 16 分）已知定义在R +上的函数 f (x ) 为⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=9,490|,1log |)(3＞＜x x x x x f .设a , b , c 是三个互不相同的实数，满足f (a ) = f (b ) = f (c ) ，求abc 的取值范围． 10.（本小题满分 20 分）已知实数列,...,,321a a a 满足：对任意正整数n ，有1)2(=-n n n a S a ，其中S n 表示数列的前n 项和．证明：对任意正整数n ，有①n a n 2＜；②11＜+n n a a ． 11.（本小题满分 20 分）平面直角坐标系 xOy 中，AB 是抛物线24x y =的过 F (1, 0) 的弦，△AOB 的外接圆交抛物线于点 P （不同于点O , A , B ）．若 PF 平分∠APB ，求|PF|的所有可能值．一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为平稳数.平稳数的个数是 .5.正三棱锥P-ABC 中，AB=1，AP=2，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________. 7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC △的面积为3，则ANAM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9.（本小题满分16分）设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b . 10.（本小题满分20分）设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最值. 11. （本小题满分20分）设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z . （1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1．设实数a 满足||1193a a a a <-<，则a 的取值范围是 .2．设复数w z ,满足3||=z ，i w z w z 47))((+=-+，则)2)(2(w z w z -+的模为 .3．正实数w v u ,,均不等于1，若5log log =+w vw v u ，3log log =+v u w v ，则u w log 的值为 .4．袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为 . 5．设P 为一圆锥的顶点，A ，B ，C 是其底面圆周上的三点，满足ABC∠=90°，M 为AP 的中点．若AB =1，AC =2，2=AP ，则二面角M-BC-A 的大小为 . 6．设函数10cos 10sin )(44kxkx x f +=，其中k 是一个正整数．若对任意实数a ，均有}|)({}1|)({R x x f a x a x f ∈=+<<，则k 的最小值为 .7．双曲线C 的方程为1322=-y x ，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作直线与双曲线C 的右半支交于点P ，Q ，使得PQ F 1∠=90°，则PQ F 1∆的内切圆半径是 .8．4321,,,a a a a 是1，2，…，100中满足2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++=++++的4个互不相同的数，则这样的有序数组),,,(4321a a a a 的个数为 .二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9.（本小题满分16分）在ABC △中，已知CB CA BC BA AC AB ⋅=⋅+⋅32．求C sin 的最大值．10.（本小题满分20分）已知)(x f 是R 上的奇函数，1)1(=f ，且对任意0<x ，均有)()1(x xf x xf =-． 12.（本小题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 是x轴正半轴上的一个动点．以F 为焦点，O 为顶点作抛物线C ．设P 是第一象限内C 上的一点，Q 是x 轴负半轴上一点，使得PQ 为C 的切线，且｜PQ ｜=2.圆21,C C 均与直线OP 相切于点P ，且均与轴相切．求点F 的坐标，使圆1C 与2C 的面积之和取到最小值．2015年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1.设,a b 为不相等的实数，若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =，则(2)f ＝ . 2.若实数α满足cos tan αα=，则41cos sin αα+的值为 . 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,3,)n n z z z ni n +==++=，其中i 为虚数单位，n z 表示nz 的共轭复数，则2015z 的值为 .4.在矩形ABCD 中，2,1AB AD ==,边DC （包含点,D C ）上的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足DP BQ =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ⋅的最小值为 .5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{}(,)(36)(36)0K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为 .7.设ω为正实数，若存在,(2)a b a b ππ≤<≤，使得sin sin 2a b ωω+=，则ω的取值范围是 .8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤，若,,a b b c c d ><>，则称abcd 为P 类数，若,,a b b c c d <><，则称abcd 为Q 类数，用(),()N P N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数，则()()N P N Q -的值为 .二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.（本小题满分16分）若实数,,a b c 满足242,424abcabc+=+=，求c 的最小值. 10.（本小题满分20分）设1234,,,a a a a 是4个有理数，使得{}311424,2,,,1,328ija ai j ⎧⎫≤<≤=----⎨⎬⎩⎭，求1234a a a a +++的值.11.（本小题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆2212x y +=的左、右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点,A B ，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果直线11,,AF l BF的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围.2014年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1.若正数b a ,满足)log(log 3log 232b a b a +=+=+,则ba 11+的值为_________.2.设集合}21|3{≤≤≤+b a b a中的最大值与最小值分别为m M ,，则m M -=________.3.若函数|1|)(2-+=x a x x f 在),0[+∞上单调递增，则a 的取值范围为_______.4.数列}{n a 满足)(1)2(2,211⋅+∈++==N n a n n a a n n ，则2013212014...a a a a +++=_________. 5.已知正四棱锥ABCD P -中，侧面是边长为1的正三角形，N M ,分别是边BC AB ,的中点，则异面直线MN 与PC 之间的距离是_____________.6.设椭圆Γ的两个焦点是21,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点Q P ,，若||||212F F PF =，且||4||311QF PF =，则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为__________.7.设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I 。

最新-2018年全国⾼中数学联赛试题及参考答案精品2018年全国⾼中数学联赛试题及参考答案试题⼀、选择题（本题满分36分，每⼩题6分）1、函数f (x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是（）。

（A）（－∞,－1）（B）（－∞,1）（C）（1,＋∞）（D）（3, ＋∞）2、若实数x，y满⾜(x+5)2+(y-12)2=142，则x2+y2的最⼩值为（）。

（A）2 （B）1 （C）√3（D）√23、函数f(x)=x/1-2x-x/2（）（A）是偶函数但不是奇函数（B）是奇函数但不是偶函数（C）既是偶函数⼜是奇函数（D）既不是偶函数也不是奇函数4、直线x/4+y/3=1与椭圆x2/16+y2/9=1相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB⾯积等于3，这样的点P共有（）。

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个5、已知两个实数集合A＝｛a1,a2,…,a100｝与B＝｛b1,b2,…,b50｝，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)则这样的映射共有（）。

（A）C50100（B）C4899（C）C49100（D）C49996、由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转⼀周所得旋转体的体积为V1；满⾜x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点（x,y）组成的图形绕y轴旋转⼀周所得旋转体的体积为V2，则（）。

（A）V1=（1/2）V2 (B)V1=（2/3）V2 (C)V1=V2 (D)V1=2V2⼆、填空题（本题满分54分，每⼩题9分）7、已知复数Z1,Z2满⾜∣Z1∣＝2,∣Z2∣＝3,若它们所对应向量的夹⾓为60°,则∣(Z1＋Z2)/(Z1＋Z2)∣=。

8、将⼆项式（√x+1/（24√x））n的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有个。