圆基本性质(竞赛)

B第三章《圆的基本性质》测试题班级 姓名 学号一、选择题（每题3分，共30分） 1、下列命题为真命题的是 ( )A 、点确定一个圆B 、度数相等的弧相等C 、圆周角是直角的所对弦是直径D 、 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 E.圆有且只有一个内接三角形; F.三角形只有一个外接圆;G 同弧或等弧所对的圆周角相等2、若一个三角形的外心在这个三角形的边上，那么这个三角形是 ( ) A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、不能确定3、一个点到圆的最小距离为4cm ，最大距离为9cm ，则该圆的半径是（ ）A 、2.5 cm 或6.5 cmB 、2.5 cmC 、6.5 cmD 、5 cm 或13cm4. 如图，ABCD 的一边AB 为直径作⊙O ，若⊙O 过点C ，且∠AOC=700，则∠A 等于（ ）A. 1450B. 1400C. 1350D. 1200目5、如图，⊙O 的直径CD=10，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD 于M ，且DM ∶MC=4∶1，则AB 的长是（ ）A 2B 8C 16 D916、如图，AB 、CD 为⊙O 直径，则下列判断正确的是（ ）A AD 、BC 一定平行且相等B AD 、BC 一定平行但不一定相等 C AD 、BC 一定相等但不一定平行 D AD 、BC 不一定平行也不一定相等7、 如图，当半径为30cm 的转动轮转过1200角时，传送带上的物体A 平移的距离为（ ) A. 900лcm B.300лcm C. 60лcm D.20лcm8、点P 为⊙O 内一点，且OP ＝4，若⊙O 的半径为6，则过点P 的弦长不可能为 （ ）A 302B 12C 8D 10.5第5题 第6题第16题图9、A、B、C、D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O — C — D — O路线作匀速运动．设运动时间为t（s），∠APB=y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）10（2009黄石）如图5，AB是⊙O的直径，且AB=10，弦MN的长为8，若弦MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A、B到MN的距离分别为h1，h2，则|h1－h2| 等于（）A、5B、6C、7D、8二、填空题（每题4分，共24分）11、在⊙O中，弦AB=AOB＝120°，则⊙O的半径为。

圆竞赛知识点总结圆是我们在数学中常见的一个几何形状，它在数学的各个分支中都有着重要的地位。

在数学竞赛中，圆的知识是必不可少的，它涉及了很多基础的几何知识和运算技巧。

本文将对圆的相关知识进行总结，希望可以对参加数学竞赛的同学有所帮助。

1. 圆的基本概念圆是平面上到一个定点距离等于一个定长的点的全体。

这个定点叫做圆心，这个定长叫做半径。

而圆的直径是穿过圆心的两个点，并且圆的任何一条直径都被分成两个半圆。

2. 圆的基本性质（1）圆的面积和周长圆的面积公式是S=πr^2，其中r是圆的半径。

而圆的周长（也就是圆的边长）公式是C=2πr。

（2）圆的内接四边形和外接四边形圆的内接四边形是指在圆内部的四边形，而外接四边形是指在圆外部的四边形。

圆的内接四边形和外接四边形在数学竞赛中常常需要应用一些性质来进行相关的计算。

3. 圆的相关定理（1）切线与圆的交点圆的切线与圆的交点的性质是数学竞赛中经常考察的问题。

具体来说，如果一个线段与圆只有一个交点，那么这个线段就可以称为是圆的切线。

切线与圆的交点有着很多相关的性质，如切线与切线的交点、切线与半径的交点等。

（2）弦的性质圆上的弦是在圆内部连接两点的线段。

圆的弦有着很多性质，如弦与切线的交点、弦长的计算等。

在数学竞赛中，考察弦的性质是一个很常见的问题。

（3）圆心角和弧度圆心角是指以圆心为顶点的角。

圆心角的角度是以角的顺时针旋转所在的弧长来度量的。

而弧度是用角度的弧长来度量的。

圆心角和弧度在数学竞赛中是比较常见的计算题目。

（4）圆的判定定理圆的判定定理是指给定几个点的时候如何确定一个圆。

这个问题在数学竞赛中也是比较常见的题目。

4. 圆与其他图形的关系（1）圆与三角形的关系圆和三角形有着很多关系，比如三角形内外接圆的性质、三角形内外接圆的圆心位置等。

圆和三角形的关系是数学竞赛中经常考察的内容。

（2）圆与四边形的关系圆和四边形的关系也是数学竞赛的常见题目。

比如四边形内外接圆的性质、四边形内接圆和外接圆的圆心位置等。

绝密★启用前第三章圆的基本性质单元测试卷题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．已知⊙O的半径为5，若PO=4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断2．如图，AB是直径，，∠BOC=40°，则∠AOE的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP：PB=1：5，那么⊙O的半径是（）A．cm B．cm C．cm D．cm4．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．80°C．100°D．130°5．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（）A．2cm B．cm C．cm D．1cm6．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA=60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2D．S3＜S2＜S17．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，若AC上一点P（1.2，1.4）平移后对应点为P1，点P1绕原点顺时针旋转180°，对应点为P2，则点P2的坐标为（）A．（2.8，3.6）B．（﹣2.8，﹣3.6）C．（3.8，2.6）D．（﹣3.8，﹣2.6）为（）A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm9．如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与、相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：（甲）作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求；（乙）连接、，两线段交于一点O，则O即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（）A．4 B．3 C．2 D．1第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点D是的中点，点E是上的一点，若∠CED=40°，则∠ADC=度．13．如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB=130°，∠CAO=60°，OA=6，则的长为．14．如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C、D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为．15．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，在斜边AB上分别截取AD=AC，BE=BC，DE=6，点O是△CDE的外心，如图所示，则点O到△ABC的三边的距离之和是．16．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，17．如图，AC⊥BC，AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为O．以点C为圆心，BC为半径作弧AB，过点O作AC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是．18．如图，⊙O的半径是8，AB是⊙O的直径，M为AB上一动点，==，则CM+DM 的最小值为．评卷人得分三．解答题（共6小题，共46分）19．（6分）如图，在⊙O中，=，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE．20．（6分）已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形（1）求证：△DFB是等腰三角形；（2）若DA=AF，求证：CF⊥AB．21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．（1）若∠ADC=86°，求∠CBE的度数；（2）若AC=EC，求证：AD=BE．22．（8分）已知：如图1，在⊙O中，直径AB=4，CD=2，直线AD，BC相交于点E．（1）∠E的度数为；（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．23．（8分）如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．24．（10分）如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD=AN；（2）若AB=8，ON=1，求⊙O的半径．参考答案与试题解析1．解：∵⊙O的半径为5，若PO=4，∴4＜5，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙0内，故选：A．2．解：∵，∠BOC=40°，∴∠BOC=∠COD=∠EOD=40°，∴∠AOE=180°﹣∠BOE=60°．故选：D．3．解：设AP=x，则PB=5x，那么⊙O的半径是（x+5x）=3x ∵弦CD⊥AB于点P，CD=10cm∴PC=PD=CD=×10=5cm由相交弦定理得CP•PD=AP•P B即5×5=x•5x解得x=或x=﹣（舍去）故⊙O的半径是3x=3cm，故选：C．4．解：∵∠BOD=100°，∴∠BAD=100°÷2=50°，∴∠BCD=180°﹣∠BAD=180°﹣50°=130°故选：D．5．解：∵正六边形的任一内角为120°，∴∠1=30°（如图），∴a=2cos∠1=，6．解：作OD⊥BC交BC与点D，∵∠COA=60°，∴∠COB=120°，则∠COD=60°．∴S扇形AOC=；S扇形BOC=．在三角形OCD中，∠OCD=30°，∴OD=，CD=，BC=R，∴S△OBC =，S弓形==，＞＞，∴S2＜S1＜S3．故选：B．7．解：由题意将点P向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P1，∵P（1.2，1.4），∴P1（﹣2.8，﹣3.6），∵P1与P2关于原点对称，∴P2（2.8，3.6），故选：A．8．解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，∵CD=8，OD=13，∴Rt△BCO中，BC==12，∴AB=2BC=24．故选：C．9．解：甲，∵=，∴△DEC为等腰三角形，∴L为之中垂线，∴O为两中垂线之交点，即O为△CDE的外心，∴O为此圆圆心．乙，∵∠ADC=90°，∠DCB=90°，∴、为此圆直径，∴与的交点O为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确．故选：A．10．解：如图连接PC．在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2，∴AB=4，根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，∴A′P=PB′，∴PC=A′B′=2，∵CM=BM=1，又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．故选：B．11.解：如图，连接OA．∵OC⊥AB，∴=，∴∠AOC=∠COB=70°，∴∠ADC=AOC=35°，故答案为35．12．解：如图，连接AE，∵点D是的中点，∴∠AED=∠CED，∵∠CED=40°，∴∠AEC=2∠CED=80°，∵四边形ADCE是圆内接四边形，∴∠ADC+∠AEC=180°，∴∠ADC=180°﹣∠AEC=100°，故答案为：100．13．解：连接OC，如图，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAO=60°，∴∠AOC=60°，∴∠BOC=130°﹣60°=70°，∴的长==π．故答案为π．14．解：连接OD，作OE⊥CD于E，如图所示：则CE=DE，∵AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，∴OD=OA=2，OM=1，∵∠OME=∠CMA=45°，∴△OEM是等腰直角三角形，∴OE=OM=，在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE==，∴CD=2DE=；故答案为：．15．解：由题意点O是EC、CD垂直平分线的交点，∵AD=AC，BE=BC，∴EC的垂直平分线经过B且平分∠B，CD的垂直平分线经过A且平分∠A，∴O是△ABC的内心，则r=（AC+BC﹣AB）=（AD+BE﹣AB）=DE=3，∴点O到△ABC的三边的距离之和是3r=9，故答案为9．16．解：设BE，DG交于O，∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCE+∠DCE=∠ECG+∠DCE=90°+∠DCE，即∠BCE=∠DCG，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴BE=DG，∴∠1=∠2，∵∠1+∠4=∠3+∠1=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠BOG=90°，∴BE⊥DG；故①②正确；连接BD，EG，如图所示，∴DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2，EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=2b2，则BG2+DE2=DO2+BO2+EO2+OG2=2a2+2b2，故③正确．故答案为：①②③．17．解：如图，连接CE．∵AC⊥BC，AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作弧AB，∴∠ACB=90°，OB=OC=OD=2，BC=CE=4．又∵OE∥AC，∴∠ACB=∠COE=90°．∴在直角△OEC 中，OC=2，CE=4， ∴∠CEO=30°，∠ECB=60°，OE=2∴S 阴影=S 扇形BCE ﹣S 扇形BOD ﹣S △OCE =﹣π×22﹣×2×2=﹣2，故答案为：﹣2．18．解：如图，作点C 关于AB 的对称点C′，连接C′D 与AB 相交于点M ， 此时，点M 为CM +DM 的最小值时的位置， 由垂径定理，=，∴=，∵==，AB 为直径，∴C ′D 为直径，∴CM +DM 的最小值是16． 故答案是：16．19．证明：连接OC ， ∵=，∴∠AOC=∠BOC ．∵CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ， ∴∠CDO=∠CEO=90° 在△COD 与△COE 中， ∵，∴△COD ≌△COE （AAS ）， ∴OD=OE ，∵AO=BO，∴AD=BE．20．解：（1）∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，∵△AEF为等边三角形，∴∠CAB=∠EFA=60°∴∠B=30°，∵∠EFA=∠B+∠FDB，∴∠B=∠FDB=30°，∴△DFB是等腰三角形；（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a，∵△AEF是等边三角形，∴FM=EM=a，AM=a，在Rt△DAM中，AD=AF=2a，AM=，∴DM=5a，∴DF=BF=6a，∴AB=AF+BF=8a，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=4a，∵AE=EF=AF=2a，∴CE=AC﹣AE=2a，∴∠ECF=∠EFC，∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，∴∠CFE=30°，∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°，∴CF⊥AB．21．（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，又∵∠ADC=86°，∴∠ABC=94°，∴∠CBE=180°﹣94°=86°；（2）证明：∵AC=EC，∴∠E=∠CAE，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠E，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，又∵∠CBE+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠CBE，在△ADC和△EBC中，，∴△ADC≌△EBC，∴AD=BE．22．解：（1）如图1，连结OD，OC，BD，∵OD=OC=CD=2∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC=60°∴∠DBC=30°∴∠EBD=30°∵AB为直径，∴∠ADB=90°∴∠E=90°﹣300=600∠E的度数为600；（2）①如图2，直线AD，CB交于点E，连结OD，OC，AC．∵OD=OC=CD=2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC=60°，∴∠DAC=30°，∴∠EBD=30°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠E=90°﹣30°=60°，（3）如图3，连结OD，OC，∵OD=OC=CD=2， ∴△DOC 为等边三角形， ∴∠DOC=60°， ∴∠CBD=30°， ∴∠ADB=90°， ∴∠BED=60°， ∴∠AEC=60°．23．解：（1）连接OD ，OC ， ∵C 、D 是半圆O 上的三等分点， ∴==，∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°， ∴∠CAB=30°， ∵DE ⊥AB ， ∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°﹣30°=60°； （2）由（1）知，∠AOD=60°， ∵OA=OD ，AB=4，∴△AOD 是等边三角形，OA=2， ∵DE ⊥AO ， ∴DE=，∴S 阴影=S 扇形AOD ﹣S △AOD =﹣×=π﹣．24．（1）证明：∵CD ⊥AB∴∠CEB=90°∴∠C+∠B=90°，同理∠C+∠CNM=90°∴∠CNM=∠B，∵∠CNM=∠AND∴∠AND=∠B，∵，∴∠D=∠B，∴∠AND=∠D，∴AN=AD；（2）解：设OE的长为x，连接OA∵AN=AD，CD⊥AB∴DE=NE=x+1，∴OD=OE+ED=x+x+1=2x+1，∴OA=OD=2x+1，∴在Rt△OAE中OE2+AE2=OA2，∴x2+42=（2x+1）2．解得x=或x=﹣3（不合题意，舍去），∴OA=2x+1=2×+1=，即⊙O的半径为．。

【例题求解】【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 度数为 ． 作出辅助线，解直角三角形，注意AB 与AC 有不同的位置关系．注： 由圆的对称性可引出许多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与圆弧的关系，应用的一般方法是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结 合起来．圆是一个对称图形，注意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性．【例2】 如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( ) A ．2 B ．25C ．45D ．16175思路点拨 所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点，通过设未知数求解．【例3】 如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在⊙O 上，AB=BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM=DC+CM ．思路点拨 用截长(截AM)或补短(延长DC)证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它．【例4】 如图甲，⊙O 的直径为AB ，过半径OA 的中点G 作弦C E ⊥AB ，在CB 上取一点D ，分别作直线CD 、ED ，交直线AB 于点F ，M ． (1)求∠COA 和∠FDM 的度数； (2)求证：△FDM ∽△COM ；(3)如图乙，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一点，点D 改取在EB 上，仍作直线CD 、ED ，分别交直线AB 于点F 、M ，试判断：此时是否有△FDM ∽△COM? 证明你的结论． 思路点拨 (1)在Rt △COG 中，利用OG=21OA=21OC ；(2)证明∠COM=∠FDM ，∠CMO= ∠FMD ；(3)利用图甲的启示思考．⌒ ⌒⌒⌒注：善于促成同圆或等圆中不同名称的相互转化是解决圆的问题的重要技巧，此处，要努力把圆与直线形相合起来，认识到圆可为解与直线形问题提供新的解题思路，而在解与圆相关问题时常用到直线形的知识与方法(主要是指全等与相似)．【例5】 已知：在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B=∠CAE ，EF ：FD ＝4：3． (1)求证：AF ＝DF ； (2)求∠AED 的余弦值；(3)如果BD ＝10，求△ABC 的面积． 思路点拨 (1)证明∠ADE ＝∠DAE ；(2)作AN ⊥BE 于N ，cos ∠AED ＝AEEN，设FE=4x ，FD ＝3x ，利用有关知识把相关线段用x 的代数式表示；(3)寻找相似三角形，运用比例线段求出x 的值．注：本例的解答，需运用相似三角形、等腰三角形的判定、面积方法、代数化等知识方法思想，综合运用直线形相关知识方法思想是解与圆相关问题的关键．学历训练1．D 是半径为5cm 的⊙O 内一点，且OD ＝3cm ，则过点D 的所有弦中，最小弦AB= ． 2．阅读下面材料：对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖．对于平面图形A ，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A 上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这些圆所覆盖．例如：图甲中的三角形被一个圆所覆盖，图乙中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：(1)边长为lcm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm；(2)边长为lcm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm；(3)长为2cm，宽为lcm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm．(2003年南京市中考题)3．世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．(1)请问以下三个图形中是轴对称图形的有，是中心对称图形的有(分别用下面三个图的代号a，b，c填空)．(2)请你在下面的两个圆中，按要求分别画出与上面图案不重复的图案(草图) (用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些)．a．是轴对称图形但不是中心对称图形．b．既是轴对称图形又是中心对称图形．4．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB=10cm，CD＝8cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为( ) A．12cm B．10cm C． 8cm D．6cm5．一种花边是由如图的弓形组成的，ACB 的半径为5，弦AB ＝8，则弓形的高CD 为( )A ．2B ．25 C ．3 D ．3166．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB 、CD 、EF ，如果AB+CD=EF ，那么AB+CD 与E 的大小关系是（ ）A ．AB+CD ＝EFB ．AB+CD=FC ． AB+CD<EFD ．不能确定7．电脑CPU 芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄形圆片，叫“晶圆片”．现为了生产某种CPU 芯片，需要长、宽都是1cm 的正方形小硅片若干．如果晶圆片的直径为10．05cm ，问：一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张?请说明你的方法和理由(不计切割损耗)．8．如图，已知⊙O 的两条半径OA 与OB 互相垂直，C 为AmB 上的一点，且AB 2+OB 2=BC 2，求∠OAC 的度数． 9．不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l ，垂足为E ，BF ⊥l ，垂足为F ． (1)在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒⌒ ⌒10．以AB 为直径作一个半圆，圆心为O ，C 是半圆上一点，且OC 2＝AC ×BC ， 则∠CAB= ．11．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在BC 的中点A ′上，若BC=5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为 ．12．如图，已知AB 为⊙O 的弦，直径MN 与AB 相交于⊙O 内，MC ⊥AB 于C ，ND ⊥AB 于D ，若MN=20，AB=68，则MC —ND= ．13．如图，已知⊙O 的半径为R ，C 、D 是直径AB 同侧圆周上的两点，AC 的度数为96°，BD 的度数为36°，动点P 在AB 上，则CP+PD 的最小值为 ．14．如图1，在平面上，给定了半径为r 的圆O ，对于任意点P ，在射线OP 上取一点P ′，使得OP ×OP ′=r 2，这种把点P 变为点P ′的变换叫作反演变换，点P 与点P ′叫做互为反演点．(1)如图2，⊙O 内外各有一点A 和B ，它们的反演点分别为A ′和B ′，求证：∠A ′=∠B ；(2)如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形． ①选择：如果不经过点O 的直线与⊙O 相交，那么它关于⊙O 的反演图形是( )A ．一个圆B ．一条直线C ．一条线段D ．两条射线②填空：如果直线l 与⊙O 相切，那么它关于⊙O 的反演图形是 ，该图形与圆O 的位置关系⌒⌒是 ．15．如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点为P ，AB=BD ，且PC=0．6，求四边形ABCD 的周长．16．如图，已知圆内接△ABC 中，AB>AC ，D 为BAC 的中点，DE ⊥AB 于E ，求证：BD 2-AD 2=AB ×AC ．17．将三块边长均为l0cm 的正方形煎饼不重叠地平放在圆碟内，则圆碟的直径至少是多少?(不考虑其他因素，精确到0．1cm)18．如图，直径为13的⊙O ′，经过原点O ，并且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，线段OA 、OB(OA>OB)的长分别是方程0602=++kx x 的两根． (1)求线段OA 、OB 的长；(2)已知点C 在劣弧OA 上，连结BC 交OA 于D ，当OC 2=CD ×CB 时，求C 点坐标；(3)在⊙O ，上是否存在点P ，使S △POD =S △ABD ?若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．⌒ ⌒参考答案。

圆的基本性质习题
一、圆的有关概念的辨析
1、下列说法中，正确的个数有（）
（1）直径是弦，但弦不一定是直径；（2）半圆是弧，但弧不一定
是直径；
（3）半径相等的两个半圆是等弧；（4）一条弦把圆分成两段弧中，
至少有一段优弧。

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、利用圆的半径相等进行计算或证明
1、如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为
16cm2，则该半圆的半径为（）．
A．B．9cm C．D．
三、垂径定理的应用
“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长．”
四、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的应用
如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB
于M，DN⊥AB于N.求证：.
五、圆的知识在实际生活中的应用
如图是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据，于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20cm，BD=200cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的，根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？
六、圆中的分类讨论问题
1、已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、
CD间的距离.
2、已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，半径OB=5cm，圆心O到BC的距离
为3cm，则AB的长为______cm．。

圆
圆的基本性质：
1、圆是定点的距离等于定长的点的集合
2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
4、同圆或等圆的半径相等
5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆
6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线
16、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
17、推论：1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
18、推论：2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径
19、推论：3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
20、定理： 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角
△ABC的外接圆的直径，则BC＝AE.其中正确的是
A． B． C． D.
4.（1）如图1，在⊙O中，C是 的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE＝BE.请证明此结论；
（2）从圆上任一点出发的两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦.如图２，PA,PB组成⊙O的一条折弦，C是劣弧 的中点，直线CD⊥PA于点E,则AE=PE+PB. 请证明此结论；
21、①直线L和⊙O相交 d﹤r
②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d﹥r
22、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
23、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径
24、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
25、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角。那么这四点共圆）

2019-2020年九年级数学上册关于圆的竞赛知识新人教版如果没有圆，平面几何将黯然失色．圆是一种特殊的几何图形，应当掌握圆的基本性质，垂线定理，直线与圆的位置关系，和圆有关的角，切线长定理，圆幂定理，圆和圆的位置关系，多边形与圆的位置关系．圆的几何问题不是独立的，它与直线形结合起来，将构成许多丰富多彩的、漂亮的几何问题，“三角形的心”，“几何著名的几何定理”，“共圆、共线、共点”，“直线形”将构成圆的综合问题的基础．本部分着重研究下面几个问题：1．角的相等及其和、差、倍、分；2．线段的相等及其和、差、倍、分；3．二直线的平行、垂直；4．线段的比例式或等积式；5．直线与圆相切；6．竞赛数学中几何命题的等价性．命题分析例1．已知为平面上两个半径不等的⊙和⊙的一个交点，两圆的外公切线分别为，、分别为、的中点，求证：．例2．证明：唯一存在三边长为连续整数且有一个角为另一个角的两倍的三角形．例3．延长至，以为直径作半圆，圆心为，是半圆上一点，为锐角．在线段上，在半圆上，∥，且，∥．求证：．例4．求证：若一个圆外切四边形有两条对边相等，则圆心到另外两边的距离相等．例5．设是△中最小的内角，点和将这个三角形的外接圆分成两段弧，是落在不含的那段弧上且不等于与的一个点，线段和的垂直平分线分别交线段于和，直线和相交于．证明：．例6．菱形的内切圆与各边分别切于，在与上分别作⊙切线交于，交于，交于，交于，求证：∥．例7．⊙和⊙与△的三边所在直线都相切，为切点，并且的延长线交于点．求证：直线与垂直．例8．在圆中，两条弦相交于点，为弦上严格在、之间的点．过的圆在点的切线分别交直线、于．已知，求（用表示）．例9．设点和是△的边上的两点，使得．又设和分别是△、△的内切圆与的切点．求证：．例10．设△满足，，过作△外接圆的切线，交直线于，设关于直线的对称点为，由到所作垂线的垂足为，的中点为，交于点，证明直线为△外接圆的切线．例11．两个圆和被包含在圆内，且分别现圆相切于两个不同的点和．经过的圆心．经过和的两个交点的直线与相交于点和，直线和直线分别与相交于点和．求证：与相切．例12．已知两个半径不相等的⊙和⊙相交于、两点，且⊙、⊙分别与⊙内切于、两点．求证：的充要条件是、、三点共线．例13．在凸四边形中，与不平行，⊙过、且与边相切于点，⊙过、且与边相切于点．⊙和⊙相交于、，求证：平分线段的充要条件是∥．例14．设凸四边形的两条对角线与互相垂直，且两对边与不平行．点为线段与的垂直平分线的交点，且在四边形的内部．求证：、、、四点共圆的充要条件为．1 / 2训练题1．△内接于⊙，，过、两点⊙的切线交于，为的中点，求证：（1）；（2）．2．已知分别是△外接圆上不包含的弧的中点，分别和、相交于、两点，分别和、相交于、两点，分别和、相交于、两点．求证：的充要条件是△为等边三角形．3．以△的边为直径作半圆，与、分别交于点和，过、作的垂线，垂足分别为、．线段、交于点．求证：．4．在△中，已知内的旁切圆与相切于，内的旁切圆与相切于，过和的中点和作一直线，求证：直线平分△的周长，且与的平分线平行．5．在△中，已知，过该三角形的内心作直线平行于交于．在边上取点使得．求证：．6．半圆圆心为，直径为，一直线交半圆于，交于（）．设是△与△的外接圆除点外之另一交点．求证：为直角．7．已知，是锐角△的角平分线，，，且．求证：．8．为△的边上任一点，分别为△、△、△的内切圆半径；分别为这三个三角形的旁切圆半径（在内部）．求证：．9．设是△的边上的一个内点，交△外接圆于，、是分别到和的垂足，是直径为的圆．证明：与⊙相切当且仅当．10．若是圆的弦，是的中点，过任意作弦和，连分别交于，则．11．设为△的垂心，为该三角形外接圆上的一点，是高的垂足，并设与都是平行四边形，与交于．证明：∥．12．在△中，的平分线分别交及三角形的外接圆于和，是内切圆圆心．证明：（1）；（2）．-----如有帮助请下载使用，万分感谢。

圆的基本性质班别 姓名 得分一、选择题：（3×10=30分）1、圆是轴对称图形，它的对称轴有（ ）A 、一条B 、二条C 、三条D 、无数条2、三角形外接圆的圆心是（ ）A 、三条内角平分线的交点B 、三条边中垂线的交点C 、三条中线的交点D 、三条高线的交点3、如图㈠AB=2CD ，则下列正确的是（ ）A 、AB>2CDB 、AB=2CDC 、AB<2CD D 、不能确定4、如图㈡中圆周角的个数为（ ）A 、4个B 、6个C 、8个D 、10个5、如图㈢为了绿化环境，在矩形空地的四个角划出四个半径为1的扇形空地进行绿化，则绿化的总面积是（ ）A 、2π B 、π C 、2π D 、4π 6、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，则△ABC 外接圆的半径为（ ）A 、10B 、5C 、6D 、47、A 是半径为5的⊙o 内的一点，且oA=3，过点A 且长等于8的弦有（ ）A 、0条B 、1条C 、2条D 、4条8、一条弦把半径为8的圆分成1∶2的不条弧，则弦长为（ ）A 、34B 、38C 、8D 、169、如图㈣C 、D 是以AB 为直径的半圆周的三等分点，下列哪个图形的面积等于阴影部分面积（ ）A 、△AOC B 、△AOD C 、扇形OBD D 、△ABD10、半径相等的圆内接正三角形，正方形，正六边形的边长之比为（ ）A 、1∶2∶3B 、3∶2∶1C 、3∶2∶1D 、1∶2∶3二、填空题：（4×6=24分）11、一个圆形花坛的周长是12π米，这个花坛占地___________平方米。

12、Rt △ABC 中，∠C=Rt ∠，AC=3㎝，BC=4㎝，若以点B 为圆心，画一个半径为4㎝的⊙B ，则点A 在⊙B_____________13、已知扇形的圆心角为240°，弧长等于8π㎝，则扇形的半径为____________14、已知一圆锥的母线长为4㎝，其底面半径是2㎝，则这个圆锥的侧面积是________15、如图㈤⊙o 的直径为10，弦AB=8，P 是弦AB 上的一个动点，那么OP 的长的取值范围是_____________________16、△ABC 内接于⊙O ，OD ⊥BC ，∠BOD=36°，∠A=__________________三、解答题17、一捆电线在半径0.2米的圆筒上绕了50周，这捆电线大约长多少米？（5分）18、如图㈦，为丰富A 、B 、C 三个小区的文化生活，现准备新建一个影剧院，使它到三个小区的距离相等，试确定M 的位置。

第15讲 圆的基本性质知识纵横到顶点等于定长的点的集合叫圆，圆常被人们看成是最完美的事物，圆的图形在人类进程中打下深深的烙印。

圆的基本性质有：一是与圆相关的基本概念与关系，如弦，弧，弦心距，圆心角，圆周角等；二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形。

用圆的基本性质解题应注意：1.熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明2.了解弧的特性及中介作用3.善于促成同圆或等圆不同名称等量关系的转化例题求解【例1】在半径为1的圆O 中，弦AC AB ,的长分别为3和2，则BAC Ð度数为_________ （黑龙江省中考题）思路点拨 作出辅助线，解直角三角形，注意AC AB ,有不同的位置关系。

【例2】P 是圆O 内一点，圆O 的半径为15，P 点到圆心O 的距离为9，通过P 点，长度是整数的弦的条数是（ ） （江苏省竞赛题）5A 7B 10C 12D思路点拨 过点P 最长的弦为圆O 的直径，最短的弦与OP 垂直（为什么），可求得过点P 点的弦长范围。

【例3】如图，已知点D C B A ,,,顺次在圆O 上，弧AB =弧BD ,AC BM ^于M ，求证CM DC AM +=（江苏省竞赛题） 思路点拨 用截长（截AM ）或补短（延长DC ）证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它。

【例4】如图 ，o Q 的直径为AB ，过半径OA 的中点G 作弦AB CE ^，在弧AB 上取一点D ，分别作直线CD 、ED ，交直线AB 于点F 、M 。

（1）求COA Ð和FDM Ð的度数；（2）求证：FDM D ~COM D ； （3）如图 ，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一点，点D 改取在弧EB 上，仍作直线CD 、ED ，分别交直线AB 于点F 、M ，试判断：此时是否有FDM D ~COM D ?证明你的结论。

（苏州市中考题）思路点拨 （1）在C O G Rt D 中，利用OC OA OG 2121==；（2）证明FDM COM Ð=Ð，FMD CMO Ð=Ð；（3）利用图 的启示思考。

.圆的基本性质基础知识回放考点 1对称性圆既是① _____对称图形，又是______②对称图形。

任何一条直径所在的直线都是它的____③。

它的对称中心是 _____④。

同时圆又具有旋转不变性。

温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条直线，因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。

考点 2垂径定理定理：垂直于弦的直径平分⑤并且平分弦所对的两条___⑥。

常用推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于⑦，并且平分弦所对的两条_____⑧。

温馨提示：垂径定理是中考中的重点考查内容，每年基本上都以选择或填空的形式出现，一般分值都在3分左右，这个题目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的辅助线的作法。

在这里总结一下：（ 1）垂径定理和勾股定理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是构造直角三角形；（ 2）常用的辅助线：连接半径；过顶点作垂线；（ 3）另外要注意答案不唯一的情况，若点的位置不确定，则要考虑优弧、劣弧的区别；（ 4）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧；考点 3圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧⑨，所对的弦也 _____⑩。

常用的还有：（ 1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角○，所对的弦___11○。

_____12（ 2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角○，所对的弧○____13______14。

方法点拨：为了便于理解和记忆，圆心角、弧、弦之间的关系定理，可以归纳为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应地其余各组量也都相等。

温馨提示：（1）上述定理中不能忽视“在同圆或等圆中”这个条件。

否则，虽然圆心角相等，但是所对的弧、弦也不相等。

以同心圆中的圆心角为例，相等的圆心角在同心圆中，所对的弧与弦都不相等。

三十四奇妙的圆如果留心我们周围的世界，就会发现许多物体都呈圆形，小到球糖、玻璃弹子、钟面、生日蛋糕……，大到游泳圈、车轮子等等，连我们赖以生存的地球、太阳乃至宇宙中的绝大多数星体都呈圆状．这里面有天工所赐，也有人工造成．关于圆，它有许多奇妙的性质，我们不可能在这里作完全的讨论．下面仅就圆的基本性质和问题作些讨论．问题34．1如图34—1，A是圆上的一个定点，（1）若一个人由A点出发，沿圆周行走，最后回到A点．问有几种走法？（2）若B是圆周上任意一点，那么沿圆周从A到B只有一条最短路线．这种说法对吗？图34-1分析（1）如果我们不动脑筋思考就会得到“只有一种走法”的错误结论．事实上，这一结论是没有考虑行走方向的结果．也就是说我们可以沿顺时针方图34-2向行走，也可以沿逆时针方向行走，共有两种走法，如图34—2所示．（2）答案是“不一定”．因为B点虽在圆周上，但它有任意性．过A点作圆的一条直径，若B点正好在直径的另一端，则按顺、逆时针方向绕圆行走的路线一样长，即最短路线有两条，如图34—3（1），因此也有两种走法．当B点不在直径的另一端时，从A到B的最短路线只有一条，如图34—3（2）所示．注意：解问题34．1的关键是考虑行走的方向性．问题34．2“上帝”要求阿凡提分别给地球和篮球的腰上打一道箍，使这两个箍正好紧紧套住这两个“球”（图34—4）．但阿凡提不小心把两个箍都打长了1米（即把两个圆的周长都增加了1米）．试问：当把这两道打长了的箍再套到这两个球上去的时候，它们和“球”的间隙哪一个大？即：是地球上的间隙大，还是篮球上的间隙大？分析1篮球上的间隙大，这是显而易见的．因为地球那么大，赤道的周长那么长，增加1米相对于这个长度来说像没有增加一样，对于半径来说几乎没有影响．可是一个小小的篮球，周长还不到1米，再加1米做成箍，肯定要比篮球的“腰围”大得多，篮球在里面肯定是晃晃荡荡的．同学们：你认为上面的分析对吗？下面我们给出一个使你大吃一惊的答案．分析2两球的间隙一样大．事实上，我们可以通过计算来精确地解决这个问题：假定地球和篮球上的“腰周长”分别是L和l，那么它们的直径就分别箍的直径和“球”的直径之差就是所谓的间隙．我们算算看：你看，这不是完全一样吗？同学们：此题给了你什么启示？自然界有许多真理都被假象掩盖着，使我们人类经常地受骗、上当．比如本问题“分析1”就是凭感觉、凭印象定性地作结论，结果就受了骗．“分析2”则运用了计算的科学方法，这样得到的结论才万无一失．这再一次告诉我们，我们看问题切勿看表象，在没有弄清问题的实质之前切勿轻易地作结论，否则就会掉进“陷阱”之中．问题34．3一个大圆内有三个大小不等的小圆（如图34—5）．这些小圆的圆心在大圆的同一条直径上，连同大圆在内每相邻的两个圆都相切．l图34-5已知大圆的周长是10厘米，求这三个小圆的周长之和．分析按照常规思路（即易想到的思路）我们会这样想：既然要求三个小圆的周长之和，只要求出每个小圆的周长即可．要求每个小圆的周长，必先求出每个小圆的直径．要求直径，必在题目的条件中去找．但是题目只说“大小不等的三个小圆”，它们究竟有多大是无法知道的．因此，照这样想下去什么结果也得不到，只会徒劳．但是否本问题无解呢？千万别灰心，让我们另起一个思路来分析一下：题目要求的是三个小圆的周长之和，并不是求各个小圆的周长，这一点值得注意．说不定它就是解决本问题的突破口．再看看已知条件，立即就会发现：虽然三个小圆的直径不得而知，但是它们的和作为一个整体正好等于大圆的直径．通过这样一分析，我们不但找到了条件与结论的联系，而且自然地产生了解题思路——从整体考虑．设三个小圆和大圆的直径分别是a、b、c、d，又已知条件隐含着a ＋b＋c＝d，πd＝10．故三个小圆的周长之和为：πa＋πb＋πc＝π（a＋b＋c）＝πd＝10．即三个小圆的周长之和就等于大圆的周长．其实，我们还可思考一下，本题的结论是否还可以扩展？通过考察不难发现：小圆的个数“三”这一条件并不重要．关键的条件是：小圆的直径之和等于大圆的直径．到此不难猜想到：无论有多少个小圆，也无论它们怎么排列，只要这些小圆的直径之和等于大圆的直径，就必然有小圆的周长之和等于大圆的周长．问题34．4（1）若在问题34．3中小圆的个数不是三个，而是n个［图34—6（1）］，其它条件不变，那么这些小圆的周长之和是多少？（2）若小圆的个数是无穷多个呢？［图34—6（2）］图34-6解（1）设小圆的直径分别为d1，d2，…，dn．则有：d1＋d2＋…＋d n＝d，故小圆的周长之和为：πd1＋πd2＋…＋πd n＝π（d1＋d2＋…＋d n）＝πd＝10．（2）这是英国著名的科学家牛顿出的一道题，我们现在所学的知识还不能解决它．因为我们还不会求无穷多个数（小圆直径）的和．请同学们先记住它．等到你们将来长大了，学了足够的知识再去解决它．但是你们能猜出本题的答案吗？问题34．5在图34—7中左右两个正方形一样大小，且图34—7（2）中四个小圆一样大．试问是图（1）中的大圆面积大，还是图（2）中四个小圆的面积之和大？图34-7解法1设小圆半径为r，则大圆的半径为2r．大圆的面积为π（2r）2=4πr2，而4个小圆的面积之和为4×πr2，故大圆的面积等于四个小圆的面积之和．解法2因为图（2）中两个圆一排，所以图（1）中圆的半径是图（2）中圆的2倍，因此大圆的面积是小圆的4倍（为什么？）．但大圆的个数恰问题34．6如果把图34-7（2）中的4个圆拿出来，再把每排放n个圆，并放n排，问这n2个圆的面积之和与图（1）中大圆面积的关系如何？问题34．7如图34-8所示，两个大小相等的正方形内分别紧挨着排放9个等圆和16个等圆．试比较两个正方形内空隙的大小．图34-8分析按常规思路，要分别直接求出正方形（1）和正方形（2）中空隙的面积，再比较大小．但是这样做不仅麻烦而且根本就不可能，因为那些空隙呈我们根本就不会求这两种形状图形的面积．我们换一个方向来思考这个问题：由于空隙面积难以直接求得，可转过去求圆的面积之和．因为两正方形是一样大小，它们的面积也是一定的，若求出了圆的面积之和，用正方形的面积减去圆的面积之和就得到空隙的面积了．解由问题34．6的结论知道，把正方形内挨紧排放n2个等圆时，它们的面积之和与其内放一个大圆的面积S相等．本题图（1），（2）正是n=3和n=4的特例，故它们的面积和也都是S，从而它们的空隙面积也相等．注意：解决本问题的思想比较特殊．我们不是去求所需比较的图形的面积，而是去求与它们互相补充的那一部分的面积．应用这一思想方法的条件是正方形面积是一个定值．问题34．8在一个边长为10厘米的正方形中，最多可排多少个不相交的直径为1厘米的圆？在讲下一个问题之前，请同学们先作一个实验．用几根等长的绳索把两端连接起来，放到方格网纸片上去作成圆、长方形、正方形和任意一个闭曲线的形状，如图34-9，然后再用数小方格的方法去分别大致地计算一下它们的面积，看哪个大．通过计算我们就会发现下述结论：结论1在平面封闭图形中，周长为一定值时，圆的面积最大．图34-9结论2在平面封闭图形中，面积为一定值时，圆的周长最小．显然有了结论1成立必然有结论2成立．但上面结论1是由实验观察得出的，还必须进行严格的科学证明，这个工作要等到同学们上了中学后才能完成．现在请大家记住这两个结论，并学会应用它们解题．问题34．9图34-10是一幅军事地图．ABCD是一个正方形，A丙C为一段圆弧线．现有一支部队要从司令部A出发到达前沿阵地C执行作战任务．图中有四条路线，如果由你当司令员，你会指挥部队走哪一条道路？图34-10分析显然路线A甲C与AJC是等长的．对于路线A乙C，我们无法知道每一小线段的长度，因此全长也难以知道，但是只要我们有整体观念事情就好办了．事实上，路线A乙C中每一条水平线段的长虽不知道，但总长与AD相等；同理竖直线段的总长与DC相等，故上述三条路线的长都一样．现在问题转向把路线A丙C的长与前三条相比．线路A丙C是一段圆弧，假如它是一个整圆就好分析了．这一假设使我们获得了启示：能否把这段圆弧扩展成整个圆呢？如图34-11先把正方形ABCD以AB为轴作一个对称图，再把整个图沿CC′为轴作一个对称图，即得到一个整圆．图34-11显然由折线组成的闭曲线与大正方形DEFG的周长完全相同．只要能证明圆的周长小于正方形DEFG的周长，就证明了线路A丙C比A丁C短．事实上它们都是原来周长的1/4．为了证明正方形DEFG的周长大于圆的周长，设想我们先作一个与圆面积相等的正方形MNOP，则正方形DEFG的面积大于正方形MNOP的面积，故正方形DEFG的周长必大于正方形MNOP的周长．但又由于正方形MNOP 的面积与圆的面积相等，由结论2知正方形MNOP的周长又大于圆的周长，则正方形DEFG的周长就更大于圆的周长，于是问题得证．关于圆还有许多奇妙的特性，比如：圆关于它的任意一条直径是对称的，这一性质就特别有用．但是，由于篇幅所限我们就不能在这里介绍了．最后值得一提的是圆周率π（它是圆的周长与直径之比，是一个常数，也就是说无论大圆或小圆这一比值都是一样的），这个值究竟是多大呢？为了求它，古往今来不知有多少数学家绞尽脑汁，但唯有我国数学家对它的贡献最大．魏晋时，我国数学家刘徽就用割圆术求得了π=3.1416．最辉煌的成就，要数南北朝时的科学家祖冲之，他精确地推算出π值在3.1415926和3.1415927之间，这一成果比法国的奥托和荷兰的安托尼兹早了1000多年，这真是祖国的光荣！现在人们已经知道π是一个无限小数．练习341．有两个圆C1、C2，它们的直径分别为1米和3753米．现在分别把两直径都加长4米，问：（1）哪一个圆的周长增加的多些？（2）哪一个圆的面积增加的多些？2．有一个圆的直径是10米，在它的一条直径上排满了10个大小不等、相邻两圆都相切的圆．我们不知道这10个圆的直径分别是多少，你能求出它们的周长之和吗？3．用怎样的最短线可以把一个正三角形分成等面积的两个部分？4．把一个生日蛋糕切n刀（不许折叠），最多可以切多少块？5．（1）在平面上画两两相交的三个圆，把平面分成了8块区域．试将1、2、3、4、5、6、7分别填入圆中的7块区域，使得每个圆内所填的数字之和相等．图34-12（2）平面上放20个呼啦圈，它们最多可以把平面分成多少部分？6．古代几何学家梁拉多达维奇采用下面的方法，仅用圆规和直尺就巧妙地化圆为长方形．如图34-13，他先作一个直圆柱，它的底半径等于圆的半径，高等于圆半径的一半．再把它沿AB剪开展在平面上，即得一与圆面积相等的长方形．同学们你能用圆规和直尺作出与圆等面积的正方形吗？图34-13练习34答案问题34．6仍相等．问题34．8最多可排107个圆（见图）．（问题34-8图）1．（1）一样多．（2）C2增加的多些．2．它们的周长之和为10π米．3．仿“问题34．9”去做．如图可知所求最短线段是以下顶点为圆心的一段圆弧．“退”的思想方法）5．（1）填法见图．（2）分成2+20×（20-1）=382个区域．本题可用“退”的思想，也可用“以进求退”的思想：一般地：n个圆把平面最多分成2+n（n-1）个区域．（第5题图）6．不可能．这是世界著名的平面几何作图“三大不能”问题之一（即圆不能化方）．。

圆的基本性质知识定位圆在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识如圆与正多边形的关系，圆心角、三角形外接圆、弧、弦、弦心距间的关系，垂径定理是今后我们学习综合题目的重要基础。

圆的基本性质以及应用，必须熟练掌握。

本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中圆相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理1、圆的定义：（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 随之转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．⊙”，（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O读作“圆O”。

（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：同圆或等圆的半径相等．2、弦和弧：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．、为端点的圆弧记作AB，读作（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B弧AB．（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3、垂径定理：（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．4、圆心角和圆周角：（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．（3）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（4）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．5、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。

圆的基本性质
1 圆的概念
圆是这样一种几何形状，它的特点是沿着一个完美的圆弧，所有距离它中心点的距离都是相等的。

圆的英文名字是circle，它的半径是圆的一个重要的基本概念，由它构成。

2 圆的基本性质
（1）圆的中心点。

圆的中心点是指圆的左右两侧的点的位置，也就是圆的基本位置。

（2）圆的外切矩形。

圆的外切矩形是圆的外围定义出的矩形，即圆的正视图形：它是一个有两条边的矩形，与圆弧围成了一个空间图形。

（3）圆形面积。

圆形面积是指一个圆内部的面积，它是与半径相关的定量特性，它可以用“角度”来近似描述，但可以实际测量圆弧和圆心之间的距离求出准确的圆形面积。

（4）圆的周长。

圆的周长是指圆的围成的周长，它是等于圆弧形长度乘以半径的积，公式为：2πr=2πR（R为圆的半径）。

（5）圆的曲率。

圆的曲率是指圆的弧线的曲率，也就是圆弧形上一点处的曲率，其定义为：曲率=∆l÷∆s（∆l为圆弧的余弦值；∆s为弧的长度）。

通过以上描述，我们可以了解到圆的基本性质。

圆是一种十分美丽且有规律性的几何形状，可以用于制作各种精美的艺术品和实用仪器，从而在各类领域中发挥多种k作用。

第三章圆的基本性质第一节圆第1课时[基础训练]1．下列结论正确的是（ )A．弦是直径 B．弧是半圆 C．半圆是弧 D．过圆心的线段是直径2．两圆的圆心都是O，半径分别是r1, r2 ( r l < r2 ) , 若r l ＜OP＜r2、则点P在（ )A．大圆外 B．小圆内 C．大圆内，小圆外 D．无法确定3．若OP的半径为13，圆心P的坐标为（5, 12 ), 则平面直角坐标系的原点O与OP的位置关系是（ )A．在⊙P内 B．在⊙P内上 C．在⊙P外 D．无法确定4. 已知⊙O的半径长6cm，P为线段O A的中点，若点P在⊙O上，则OA的长是（ )A．等于6cm B．等于12cm C．小于6cm D ．大于12cm5.圆上各点到圆心的距离都等于 , 到圆心距离等于半径的点都在 .6.在Rt△ABC中，∠C=900, CD⊥AB, AB=2, BC=3，若以C为圆心，以2为半径作⊙C，则点A在⊙C ，点 B 在⊙C ，点D在⊙C .7.一个点到定圆上最近点的距离为4，最远点的距离为9，则此圆的半径是__________.8．如图，AB, CD为⊙O的两条直径，E, F 分别为OA, OB的中点，求证：四边形CEDF是平行四边形．[综合提高]1. ⊙0的半径为13cm，圆心O到直线l的距离d=OD=5cm．在直线l上有三点P,Q,R，且PD = 12cm , QD<12cm, RD>12cm，则点P在，点Q在，点R在 .2.在以AB=5cm为直径的圆上，到直线AB的距离为2.5cm的点有（ )A．无数个个 C. 2个 D. 4个3. AB为⊙0的直径，C为⊙O上一点，过C作CD⊥AB于点D，延长CD至E，使DE=CD，那么点E的位置（ )A．在⊙0 内 B．在⊙0上 C．在⊙0外 D．不能确定4. 在⊙0中，半径为6，圆心O在坐标原点上，点P的坐标为(3,5)，则点P与⊙0的位置关系是( )A．点P在⊙0内 B．点P在⊙0上 C．点P在⊙0外 D．不能确定5.如图，点A,D,G,M在半圆上，四边形ABOC, DEOF,HMNO均为矩形，BC=a,EF=b, NH=C，则下列各式中正确的是( )>b>c =b=c >a>b >c>a6.在平面直角坐标系内，以原点O为圆心、5为半径作O，已知A、B、C）.试判断A、B、三点的坐标分别为A（3，4），B（-3，-3），C（4，10C三点与O的位置关系.7.⊙0的半径为2，点P到圆心的距离OP=m, 且m使关于二的方程2x2-22x+m-1=0有实根，试确定点P的位置．[拓展延伸]如图，点P的坐标为（4,0), p的半径为5，且p与x轴交于点A,B，与y轴交于点 C,D, 试求出点A , B,C,D的坐标．第2课时[基础训练]1．判断正误．(1）三点确定一个圆． ( )(2）已知圆心和半径可以确定一个圆． ( )(3）已知圆心和圆上一点可以确定一个圆． ( )(4) 已知半径和圆上一点可以确定一个圆． ( )(5）已知半径和圆上两点可以确定一个圆． ( )2．下列说法正确的是（ )A．一个点可以确定一条直线 B．两个点可以确定两条直线C．三个点可以确定一个圆 D．不在同一直线上的三点确定一个圆3. 直角三角形两直角边长分别为3和l，那么它的外接圆的直径是（ ).2 C4. 下列命题中，正确的是（）A．三角形的外心是三角形的三条高线的交点B．等腰三角形的外心一定在它的内部C．任何一个三角形有且仅有一个外接圆D．任何一个四边形都有一个外接圆5. 下图是一个圆形轮子的一部分，请你用直尺和圆规把它补完整．[综合提高]三角形的外心在它的内部,_______三角形的外心在它的外部；直角三角形的外心在______________.2.如果以平行四边形的对角线的交点为圆心，以它和一边中点的距离为半径画圆，若这个四边形四条边的中点都在这个圆上，那么这个四边形是 （ ） A ．矩形 B ．正方形 C ．等腰梯形 D ．菱形3. 下列命题正确的个数有（ )① 矩形的四个顶点在同一个圆上； ② 梯形的四个顶点在同一个圆上； ③ 菱形的四边中点在同一个圆上； ④ 平行四边形的四边中点在同一个圆上． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4.在Rt △ABC 中，AB=6 , BC=8，那么这个三角形的外接圆直径是（ ） A. 5 .10 C 或 4 D. 10或8 5.已知等腰三角形ABC 中，AB=AC ，O 是ABC ∆的外接圆，若 O 的半径是4，120BOC ∠=，求AB 的长.6.如图所示，平原上有三个村庄A 、B 、C ，现计划打一口水井p ，使水井到三个村庄的距离相等。

初中数学竞赛辅导讲义---圆的基本性质到定点(圆心)等于定长(半径)的点的集合叫圆，圆常被人们看成是最完美的事物，圆的图形在人类进程中打下深深的烙印．圆的基本性质有：一是与圆相关的基本概念与关系，如弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角等；二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一中心对称图形．用圆的基本性质解题应注意：1．熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明；2．了解弧的特性及中介作用；3．善于促成同圆或等圆中不同名称等量关系的转化．熟悉如下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 度数为 ．作出辅助线，解直角三角形，注意AB 与AC 有不同的位置关系．注： 由圆的对称性可引出许多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与圆弧的关系，应用的一般方法是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结 合起来．圆是一个对称图形，注意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性．【例2】 如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( )A ．2B ．25C ．45D ．16175思路点拨 所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点，通过设未知数求解．【例3】 如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在⊙O 上，AB=BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM=DC+CM ．思路点拨 用截长(截AM)或补短(延长DC)证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它．【例4】 如图甲，⊙O 的直径为AB ，过半径OA 的中点G 作弦C E ⊥AB ，在CB 上取一点D ，分别作直线CD 、ED ，交直线AB 于点F ，M ．(1)求∠COA 和∠FDM 的度数；(2)求证：△FDM ∽△COM ； (3)如图乙，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一点，点D 改取在EB 上，仍作直线CD 、ED ，分别交直线AB 于点F 、M ，试判断：此时是否有△FDM ∽△COM? 证明你的结论．思路点拨 (1)在Rt △COG 中，利用OG=21OA=21OC ；(2)证明∠COM=∠FDM ，∠CMO= ∠FMD ；(3)利用图甲的启示思考．注：善于促成同圆或等圆中不同名称的相互转化是解决圆的问题的重要技巧，此处，要努力把圆与直线形相合起来，认识到圆可为解与直线形问题提供新的解题思路，而在解与圆相关问题时常用到直线形的知识与方法(主要是指全等与相似)．【例5】 已知：在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B=∠CAE ，EF ：FD ＝4：3．(1)求证：AF ＝DF ；(2)求∠AED 的余弦值；(3)如果BD ＝10，求△ABC 的面积．思路点拨 (1)证明∠ADE ＝∠DAE ；(2)作AN ⊥BE 于N ，cos ∠AED ＝AEEN ，设FE=4x ，FD ＝3x ，利用有关知识把相关线段用x 的代数式表示；(3)寻找相似三角形，运用比例线段求出x 的值．⌒ ⌒ ⌒ ⌒注：本例的解答，需运用相似三角形、等腰三角形的判定、面积方法、代数化等知识方法思想，综合运用直线形相关知识方法思想是解与圆相关问题的关键．学历训练1．D是半径为5cm的⊙O内一点，且OD＝3cm，则过点D的所有弦中，最小弦AB= ．2．阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．例如：图甲中的三角形被一个圆所覆盖，图乙中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：(1)边长为lcm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm；(2)边长为lcm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm；(3)长为2cm，宽为lcm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是cm．(2003年南京市中考题)3．世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．(1)请问以下三个图形中是轴对称图形的有，是中心对称图形的有(分别用下面三个图的代号a，b，c填空)．(2)请你在下面的两个圆中，按要求分别画出与上面图案不重复的图案(草图) (用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些)．a ．是轴对称图形但不是中心对称图形．b ．既是轴对称图形又是中心对称图形．4．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，若AB=10cm ，CD ＝8cm ，那么A 、B 两点到直线CD 的距离之和为( )A ．12cmB ．10cmC ． 8cmD ．6cm5．一种花边是由如图的弓形组成的，ACB 的半径为5，弦AB ＝8，则弓形的高CD 为( )A ．2B ．25C ．3D ．316 6．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB 、CD 、EF ，如果AB+CD=EF ，那么AB+CD 与E 的大小关系是（ ）A ．AB+CD ＝EFB ．AB+CD=FC ． AB+CD<EFD ．不能确定7．电脑CPU 芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄形圆片，叫“晶圆片”．现为了生产某种CPU 芯片，需要长、宽都是1cm 的正方形小硅片若干．如果晶圆片的直径为10．05cm ，问：一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张?请说明你的方法和理由(不计切割损耗)．8．如图，已知⊙O 的两条半径OA 与OB 互相垂直，C 为AmB 上的一点，且AB 2+OB 2=BC 2，求∠OAC 的度数．9．不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l ，垂足为E ，BF ⊥l ，垂足为F ．(1)在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒10．以AB 为直径作一个半圆，圆心为O ，C 是半圆上一点，且OC 2＝AC ×BC ， 则∠CAB=．11．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在BC 的中点A ′上，若BC=5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为 ．12．如图，已知AB 为⊙O 的弦，直径MN 与AB 相交于⊙O 内，MC ⊥AB 于C ，ND ⊥AB 于D ，若MN=20，AB=68，则MC —ND= ．13．如图，已知⊙O 的半径为R ，C 、D 是直径AB 同侧圆周上的两点，AC 的度数为96°，BD 的度数为36°，动点P 在AB 上，则CP+PD 的最小值为 ．14．如图1，在平面上，给定了半径为r 的圆O ，对于任意点P ，在射线OP 上取一点P ′，使得OP ×OP ′=r 2，这种把点P 变为点P ′的变换叫作反演变换，点P 与点P ′叫做互为反演点．(1)如图2，⊙O 内外各有一点A 和B ，它们的反演点分别为A ′和B ′，求证：∠A ′=∠B ；(2)如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形．①选择：如果不经过点O 的直线与⊙O 相交，那么它关于⊙O 的反演图形是( )A ．一个圆B ．一条直线C ．一条线段D ．两条射线②填空：如果直线l 与⊙O 相切，那么它关于⊙O 的反演图形是 ，该图形与圆O 的位置关系是 ．15．如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点为P ，AB=BD ，且PC=0．6，求四边形ABCD 的周长．16．如图，已知圆内接△ABC 中，AB>AC ，D 为BAC 的中点，DE ⊥AB 于E ，求证：BD 2-AD 2=AB×AC ．⌒ ⌒ ⌒17．将三块边长均为l0cm 的正方形煎饼不重叠地平放在圆碟内，则圆碟的直径至少是多少?(不考虑其他因素，精确到0．1cm)18．如图，直径为13的⊙O ′，经过原点O ，并且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，线段OA 、OB(OA>OB)的长分别是方程0602=++kx x 的两根．(1)求线段OA 、OB 的长； (2)已知点C 在劣弧OA 上，连结BC 交OA 于D ，当OC 2=CD ×CB 时，求C 点坐标；(3)在⊙O ，上是否存在点P ，使S △POD =S △ABD ?若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．⌒参考答案。

圆的基本性质和计算圆是一种几何形状，其在数学和日常生活中都扮演着重要的角色。

本文将介绍圆的基本性质，并探讨一些与圆相关的计算方法。

一、圆的基本性质圆由一条闭合曲线组成，其内部的所有点到圆心的距离都相等。

以下是圆的一些基本性质：1. 圆心和半径：- 圆心是圆的中心点，通常用大写字母O表示。

- 半径是圆心到圆上任意一点的距离，通常用小写字母r表示。

2. 直径和周长：- 直径是通过圆心的两个点之间的距离，它等于半径的两倍，通常用字母d表示。

- 周长是圆的边界长度，也称为圆的周长或圆周长，通常用字母C 表示。

周长可以通过以下公式计算：C = 2πr，其中π是一个数学常数，近似值为3.14159。

3. 弧长和扇形面积：- 弧长是圆上一段弧的长度。

弧长的计算公式可以通过以下方式推导得出：弧长 = (圆心角/360°) × 2πr，其中圆心角是弧对应的圆心的角度。

- 扇形面积是由一个圆心角所确定的圆上的一个扇形部分的面积。

扇形面积的计算方法可以通过以下公式得出：扇形面积= (圆心角/360°) × πr²。

二、圆的计算方法1. 已知半径求周长、面积：- 周长的计算公式为：C = 2πr。

- 面积的计算公式为：A = πr²。

2. 已知直径求周长、面积：- 周长的计算公式为：C = πd。

- 面积的计算公式为：A = π(d/2)²。

3. 已知弧长和圆心角求半径：- 根据弧长公式，我们可以得到：弧长 = (圆心角/360°) × 2πr，通过该公式可以解出半径r。

4. 已知扇形面积和圆心角求半径：- 根据扇形面积公式，我们可以得到：扇形面积 = (圆心角/360°) ×πr²，通过该公式可以解出半径r。

5. 已知两点求圆心和半径：- 如果我们已知圆上的两点坐标，我们可以通过计算两点之间的距离得到半径，并计算出圆心的坐标。