精品 九年级数学上册 圆的基本性质讲义+同步练习题

人教版九年级数学上册《24.1 圆的有关性质》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点1 圆的有关概念（1）圆：平面上到的距离等于的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O。

（2）弦与直径：连接任意两点的叫做弦过圆心的叫做直径直径是圆内最长的。

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做小于半圆的弧叫做大于半圆的弧叫做。

（4）圆心角：顶点在的角叫做圆心角。

（5）圆周角：顶点在并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角。

（6）弦心距：到弦的距离叫做弦心距。

（7）等圆：能够的两个圆叫做等圆。

（8）等弧：在同圆或等圆中能的弧叫等弧。

考点2垂径定理（1）定理：垂直于弦的直径这条弦并且弦所对的两条弧。

（2）推论：①平分弦（不是直径）的直径于弦并且弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过并且弦所对的两条弧。

（3）延伸：根据圆的对称性如图所示在以下五条结论中：①AC AD=③CE＝DE④AB⊥CD⑤AB是直径。

=②BC BD只要满足其中两个另外三个结论一定成立即推二知三。

考点3 弧弦圆心角之间的关系（1）定理：在同圆或等圆中相等的圆心角所对的相等所对的相等。

（2）推论：在同圆或等圆中如果两个圆心角两条弧两条弦中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

考点4圆周角定理及其推论。

（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的的一半．如图a＝12图a图b图c（ 2 ）推论：①在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等．如图b ①A＝。

①直径所对的圆周角是直角．如图c＝90°。

①圆内接四边形的对角互补．如图a ①A＋＝180° ①ABC＋＝180°。

关键点:垂径定理及其运用（1）垂径定理及推论一条直线在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件就可以推出其他三条结论．称为知二得三（知二推三）。

①平分弦所对的优弧②平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）③平分弦④垂直于弦⑤过圆心（或是直径）（2）常用的辅助线作垂直于弦的直径或只画弦心距。

24.1圆的有关性质同步练习一.选择题（共8题）1.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠CAB=25∘，则∠D的度数为 A．85∘B．105∘C．115∘D．130∘2.如图，△ABC内接于⊙O，⊙O的半径为1，BC=3，则∠A的度数为 A．30∘B．45∘C．60∘D．75∘3.如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35∘，则∠AOB的度数是 A．75∘B．70∘C．65∘D．35∘4.如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠AOC=140∘，则∠B的度数是 A．70∘B．80∘C．110∘D．140∘5.如图，⊙A过点O0,0，C3,0，D0,1，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是 A．15∘B．30∘C．45∘D．60∘6.如图，已知⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，若OD=3，OA=5，则AB的长为 A．2B．4C．6D．87.如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M，N，BA，DC的延长线交于点P，连接OP．下列四个说法中：=CD ；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO．正确的个数是 ①ABA．1B．2C．3D．48.如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为 A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸二.填空题（共5题）9.如图，AB为⊙O的直径，C，E在⊙O上，∠BOE=20∘，则∠ACE的度数为．10.如图，⊙O中OA⊥BC，∠CDA=25∘，则∠AOB的度数为度．11.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO=120∘，AB=4，则圆心D的坐标是．的中点，OC交AB于点D．若AB=8 cm，CD=2 cm，则⊙O 12.如图，AB是⊙O的弦，C是AB的半径为cm．13.如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60∘，∠C=70∘，⊙O与边AC相交于点D，连接OD，则∠BOD=．三、解答题（共4题）14.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，联结BC，过点O作OF⊥BC于点F，BD=8，AE=2．(1)求⊙O的半径；(2)求OF的长度．15.如图，AB，CD是⊙O的两条直径，过点A作AE∥CD交⊙O于点E，连接BD，DE．求证：BD=DE．16.如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=8，连接BC．(1)尺规作图：作弦CD，使CD=BC（点D不与点B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．的中点，点P是直径MN上一个动点，圆O的半径为1．17.如图，点A是圆上的一个三等分点，点B是AN(1)找出当AP+BP最小时，点P的位置；(2)求出AP+BP的最小值．。

第二十四章圆24.1 圆（第一课时）知识点1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫，线段OA 叫做。

⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合【特别注意】：1、在一个圆中，圆心决定圆的，半径决定圆的。

2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径。

2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦。

弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类。

3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴。

⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是。

一、选择题1．下列命题正确的有（）①弦是圆上任意两点之间的部分②半径是弦③直径是最长的弦④弧是半圆，半圆是弧A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（）A.38°B.52°C.76°D.104°3.如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C 的度数是（）A.25°B.40°C.30°D.50°4．一个点到圆上的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则圆的半径是（）.A.2.5cm或6.5 cmB.2.5cmC.6.5cmD.5cm或13cm5．如图，已知在⊙O中，AB、CD为直径，则AD与BC的关系是（）.B.AD∥BCC.AD∥BC且AD=BCD.不能确定BCDO6．如图，已知AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上,∠C=15°,则∠BOC 的度数为( )A ．15°B ． 30°C ． 45°D ．60°二、填空题1.⊙O 的半径为2cm ，则它的弦长d cm 的取值范围是.2．⊙O 中若弦AB 等于⊙O 的半径，则△AOB 的形状是 .3．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点D 是BC 的中点，若AC =10cm ，则OD = cm.4．如图4，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于E ，若AB=2DE ，∠E=18°，∠C=______,∠AOC=________；5． P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最长弦长为_______，最短弦长为________；三、解答题1.在Rt △ABC 中，∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,D 为AB 的中点，E 为AC 的中点，以B 为圆心，BC 为半径作⊙B ，A 、C 、D 、E 与⊙B 的位置关系如何？DC BA2、如图， M,N 为线段AB 上的两个三等分点，点A 、B 在⊙O 上，BDO CAABCO求证：∠OMN=∠ONM。

圆的基本性质知识点圆的定义几何定义：线段OA，绕O点旋转一周得到的图形，叫做圆。

其中，O为圆心，OA为半径。

集合定义：到定点等于定长的所有点的集合。

其中，定点为圆心，定长为半径。

圆的书写格式：圆的对称性（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

（3）圆是旋转对称图形。

与圆有关的线段半径：圆上一点与圆心的连线段。

确定一个圆的要素是圆心和半径。

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

直径：经过圆心的弦叫做直径。

弦心距：圆心到弦的垂线段的长。

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

劣弧：小于半圆周的圆弧叫做劣弧。

表示方法：优弧：大于半圆周的圆弧叫做优弧。

表示方法：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

注意：同弧或等弧对应的弦相等。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

注意: 定理中的“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径，深圳可以是过圆心的直线或线段；该定理也可以理解为：若一条直线具有两条性质：①过圆心；②垂直于一条弦，则此直线具有另外三条性质：①平分此弦；②平分此弦所对的优弧；③平分此弦所对的劣弧.推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

在下列五个条件中:①CD是直径;②CD⊥AB;③AM=BM;④AC=BC;⑤AD=BD.只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.注意：(1)在圆中，与已知弦（非直径）相等的弦共有条；共端点且相等的弦共有条。

（2）在圆中，与已知弦（非直径）平行的弦共有条；平行且相等的弦共有条。

例1.如图：OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点，求证：AD=BC.例2.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是E，如果AB=10cm，CD=8cm，求AE的长。

24.1 圆（第二课时 ）------ 垂径定理知识点1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 。

2、推论：平分弦（不是直径）的直径 ，并且平分弦所对的 。

【特别注意：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用；2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的垂线；3、垂径定理常用作计算，在半径r 、弦a 、弦心d 、和拱高h 中已知两个可求另外两个】 一、选择题1.如图，在⊙O 中，OC ⊥弦AB 于点C ，AB=4，OC=1，则OB 的长是（ ）A ．B ．C ．D ．2.如图，⊙O 的半径为5，弦AB =8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（ ）． A.2 B.3 C.4 D.53.在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ,AB =6cm ，CD =8cm ，则AB 和CD 的距离是（ ）． A.7cm B.1cm C.7cm 或4cm D.7cm 或1cm4.如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝2，∠AOB ＝120°，则弦AB 的长是（ ）．B （A ）22 （B ）32 （C ）5 （D ）53 BOA5.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不成立的是（ ） A ．CM=DM B ． CB DB C ．∠ACD=∠ADC D ．OM =MD·AO MB6．如图，在半径为5的⊙O 中，AB 、CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且AB=CD=8，则OP 的长为（ ） A ．3B ．4C ．32D ．427．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，已知CD=12，BE=2，则⊙O 的直径为（ ） A ．8 B ．10 C ．16 D ．208、如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB 宽为8cm ，水面最深地方的高度为2cm ，则该输水管的半径为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm 二、填空题1.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC ，垂足为D ，已知OD =5，则弦AC = ．2、如图AB 是⊙O 的直径，∠BAC=42°，点D 是弦AC 的中点，则∠DOC 的度数是 度．A·C OD3、如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为．4、如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为．Θ与x轴交于O,A 5、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，PΘ的半径为13，则点P的坐标为____________.两点，点A的坐标为（6,0），P6．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为．7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=23，0C=1，则半径OB的长为．BAC ED OFBOEDCA8.如图，⊙O 的半径为5，P 为圆内一点，P 到圆心O 的距离为4，则过P 点的弦长的最小值是 ．OP9.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB ︵），点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，则这段弯路的半径是 m.D10.如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为 cm ．三、解答题1．如图，AB 和CD 是⊙O 的弦，且AB=CD ， E 、F 分别为弦AB 、CD 的中点， 证明：OE=OF 。

人教版九年级数学上册《24.1圆的有关性质》同步测试题及答案一、选择题1．已知⊙O的半径是2cm，则⊙O中最长的弦长是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若AE=2，则⊙O的半径为（）A．3 B．4 C．5 D．6⌢=CD⌢，∠COB=40°，则∠A的度数是（）3．如图，AB是⊙O的直径ADA．50°B．55°C．60°D．65°4．如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，则∠BOC=（）A．140°B．40°C．80°D．60°5．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为8米，⊙O半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．2米B．4米C．(6−2√5)米D．(6+2√5)米6．如图，⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，连接BD．若CD=8，OE=3，则BD的长为（）A．√10B．2√3C．√17D．2√57．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上一点OC⊥AB，垂足为D，若∠A=20°，则∠ABC=（）A．20°B．30°C．35°D．55°8．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，已知∠ADC=60°，∠BDC=40°，则∠ACB=（）A．60°B．70°C．79°D．80°二、填空题9．如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠AOB=40°，点D在⊙O上，连接CD，AD，则∠ADC=.10．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽AB=48cm，则水的最大深度为cm．11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC=29°，则∠D=．12．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD=CD=8，OD=6，则BD的长为.13．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=130°，则∠BOD=．三、解答题14．如图，AB是⊙O的直径，点C，D均在⊙O上∠ACD=30°，弦AD=4cm，求⊙O的直径．⌢=BC⌢，求∠ABC的度数．15．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，△OAB是等边三角形AB16．石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图①），赵州桥是我国古代石拱桥的代表，图②是根据⌢，桥的跨度（弧所对的弦长）AB=30m，设AB⌢该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为AB所在圆的圆心为O，OB，OC为半径，半径OC⊥AB，垂足为D.拱高（弧的中点到弦的距离）CD=5m．（1）直接写出AD与BD的数量关系；（2）求这座石拱桥主桥拱的半径．̂的中点，连结CF交OB于点G，连结BC．17．如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是BF（1）求证：GE＝BE；（2）若AG＝6，BG＝4，求CD的长．参考答案1．D2．C3．B4．C5．C6．D7．C8．D9．20°10．1611．61°12．414．解：∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°．∵同弧所对的圆周角相等∴∠ABD=∠ACD=30°．∵AD=4∴AB=8．∴⊙O的直径为8cm15．解：∵△OAB是等边三角形∴∠AOB=60°∴∠ADB=12∠AOB=30°∵AB⌢=BC⌢∴∠CDB=∠ADB=30°，∠ADC=60°∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形∴∠ABC=180°−∠ADC=120°．16．（1）AD=BD（2）解：设主桥拱半径为R∵AB=30，CD=5，OC⊥AB∴BD=12AB=12×30=15，OD=OC−CD=R−5在Rt△OBD中，由勾股定理，得OB2=BD2+OD2即R2=152+(R−5)2解得R=25因此，这座石拱桥主桥拱半径约为25m．17．（1）证明：∵D是BF̂的中点∴∠ECG＝∠ECB∵CD⊥AB∴∠CEG＝∠CEB＝90°∴∠CGE＝∠CBE∴CG＝CB∵CE⊥BG（2）解：∵AG＝6，BG＝4 ∴AB＝6+4＝10AB＝5∴OC＝OB＝12∴OG＝OB﹣BG＝5﹣4＝1BG＝2 由（1）知GE＝BE＝12∴OE＝OG+GE＝1+2＝3∴CE＝√OC2−OE2＝4∵直径AB⊥CD∴CD＝2CE＝2×4＝8．。

24.1圆的有关性质同步练习(二)一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、下列结论正确的是（）.A. 过圆心的线段是直径B. 半圆是弧C. 弧是半圆D. 弦是直径2、如图，是的外接圆，，则的度数等于（）A.B.C.D.3、给出下列命题：垂直于弦的直线平分弦；平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦的直线必过圆心；弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，其中正确的命题有个.A.B.C.D.4、如图，是的直径，是垂直于的半径，过上的一点作弦，分别交和与点且，那么与的数量关系是（）A.B.C.D.5、下列命题正确的是（）A. 若两弧的度数相等，则两条弧是等弧B. 若两弧不等，则大弧所对的圆心角较大C. 若弦长等于半径，则弦所对的劣弧的度数为D. 若两弦相等，则它们所对的弧相等6、如图，正方形内接于圆点，在弧上，( ).A.B.C.D.7、图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，若两只小虫同时出发，以相同的速度从点到点，甲虫沿、、、路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是（）A. 无法确定B. 甲、乙同时到C. 乙先到点D. 甲先到点8、如图，已知点平面直角坐标系内三点、、，经过点、、，则点的坐标为（）A.B.C.D.9、如图，是的外接圆的直径，为上一点，，垂足为，，，则的长为（）A.B.C.D.10、给定下列图形可以确定一个圆的是（）A. 已知圆心B. 已知半径C. 已知直径D. 三个点11、如图，在中，，，为上的任意一点，、、、是上的四个点，则的角度为（）A.B.C.D.12、如图，是的直径，，则的度数为（）A.B.C.D.13、如图，是的直径，，，则的度数是（）A.B.C.D.14、如图，在中，弦，于点，于点，若，，则的半径的长为（）A.B.C.D.15、已知如图，是的直径，弦于，，，则的直径为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、如图，是的直径，点在上，，点在线段上运动，设，则的取值范围是____.17、如图，在四边形中，、、三点在以为圆心的圆周上，延长交于点。

24.1圆的有关性质同步练习(一)一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、如图：是的直径，为弦，且相交于点，则下列结论不成立的是（）.A.B.C.D.2、下列命题中，正确的是（）.A. 在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心B. 弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心C. 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦D. 平分一条直径的弦垂直于这条直径3、经过圆内一点（不包括圆心），可以作直径的条数是（）A. 无数条B. 条C. 条D. 条4、以点为圆心，可以作几个圆（）A. 无数个B. 个C. 个D. 只能个5、下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③过圆上任意一点有无数条弦，且这些弦都相等；④直径是圆中最长的弦．其中正确的是（）A. 个B. 个C. 个D. 个6、下列说法，正确的是（）A. 过圆心的线段是直径B. 半圆是弧C. 弧是半圆D. 弦是直径7、如图，四边形是的内接四边形，的半径为，，则的长（）A.B.C.D.8、下列命题正确的个数有（）①过两点可以作无数个圆；②经过三点一定可以作圆；③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；④任意一个圆有且只有一个内接三角形．A. 个B. 个C. 个D. 个9、如图，在的内接五边形中，，则______．A.B.C.D.10、如图，、是的两条互相垂直的直径，点从点出发，沿的路线匀速运动，设（单位：度），那么与点运动的时间（单位：秒）的关系图是（）A.B.C.D.11、如图，将沿弦折叠，圆弧恰好经过圆心，点是优弧上一点，则的度数为（）A.B.C.D.12、如图，已知，，，则的度数为（）A.B.C.D.13、如图，四边形内接于，已知，则的大小是（）A.B.C.D.14、如图，是的直径，为弦，且相交于点，则下列结论中不成立的是（）A.B.C.D.15、已知的直径，是的弦，，且，垂足为，则的长为（）A. 或B. 或C.D.二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、如图，点，，在上，，则．17、圆内接四边形中，，则（）度．18、如图，是的直径，点在上，，点在线段上运动，设，则的取值范围是____.19、小明不慎把玻璃打碎了其中四碎片如图，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃应该是第（）块.20、如图，边长为的菱形的两个顶点、恰好落在扇形的弧上．若，则弧的长度等于______（结果保留）．三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）21、如图，是半圆的直径，是的中点，，则度.22、如图，在中，，，，点为延长线上的一点，且，为的外接圆．(1) 求的长．(2) 求的半径．23、如图，已知四边形内接于圆，对角线与相交于点，在上，，．(1) 若，求的度数．的度数为．(2) 求证：．24.1圆的有关性质同步练习(一) 答案部分一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、如图：是的直径，为弦，且相交于点，则下列结论不成立的是（）.A.B.C.D.【答案】A【解析】解：在同侧，同弦所对的圆周角相等，成立；，根据垂径定理得，，成立；直径所对的圆周角为直角，成立；等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的倍，不成立故不成立.2、下列命题中，正确的是（）.A. 在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心B. 弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心C. 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦D. 平分一条直径的弦垂直于这条直径【答案】A【解析】解：任何两条直径都互相平分，但不一定垂直，平分一条直径的弦垂直于这条直径，所以错误，平分一条弧的直线过圆心时才垂直于这条弧所对的弦，所以错误，弦的垂线有很多条，不一定要经过这条弦所在圆的圆心，故错误，在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故正确故答案为：在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心.3、经过圆内一点（不包括圆心），可以作直径的条数是（）A. 无数条B. 条C. 条D. 条【答案】C【解析】解：过圆内的一点（非圆心）有且只有一条直径．4、以点为圆心，可以作几个圆（）A. 无数个B. 个C. 个D. 只能个【答案】A【解析】解：以一点为圆心，以任意长为半径可以画无数个同心圆．5、下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③过圆上任意一点有无数条弦，且这些弦都相等；④直径是圆中最长的弦．其中正确的是（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】解：① 因为直径的两个端点在圆上，直径是连接圆上这两个端点的线段．所以直径是弦是正确的；②弦是连接圆上两点的线段，如果过圆心就是直径，不过圆心就不是直径．所以弦是直径不正确；③过圆内一点是有无数多条弦，但这些弦不一定相等，其中过圆心的弦是最长的．所以③不正确；④直径是过圆心的弦，当然是圆中最长的弦．所以④正确．6、下列说法，正确的是（）A. 过圆心的线段是直径B. 半圆是弧C. 弧是半圆D. 弦是直径【答案】B【解析】解：弦是连接圆上任意两点的线段，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有的弦都是直径．故本选项错误；弧是圆上任意两点间的部分，只有直径的两个端点把圆分成的两条弧是半圆，不是所有的弧都是半圆．故本选项错误；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．所以半圆是弧是正确的．过圆心的弦才是直径，不是所有过圆心的线段都是直径，故本选项错误．7、如图，四边形是的内接四边形，的半径为，，则的长（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：连接、，，，，则的长．8、下列命题正确的个数有（）①过两点可以作无数个圆；②经过三点一定可以作圆；③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；④任意一个圆有且只有一个内接三角形．A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【解析】解：①过两点可以作无数个圆，正确；②经过三点一定可以作圆，错误，三点共线时不能作圆；③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆，正确；④任意一个圆有且只有一个内接三角形，错误，圆上的三点构成圆内接三角形，有无数个，正确的有个．9、如图，在的内接五边形中，，则______．A.B.C.D.【答案】B【解析】解：如答图，连接，和是圆内接四边形的对角，．又和是同圆中同弧所对的圆周角，且，．．10、如图，、是的两条互相垂直的直径，点从点出发，沿的路线匀速运动，设（单位：度），那么与点运动的时间（单位：秒）的关系图是（）A.B.C.D.【答案】C(1) 当点沿运动时，当点在点的位置时，，当点在点的位置时，，，由逐渐减小到；(2) 当点沿运动时，根据圆周角定理，可得；(3) 当点沿运动时，当点在点的位置时，，当点在点的位置时，，由逐渐增加到．故正确的图像为11、如图，将沿弦折叠，圆弧恰好经过圆心，点是优弧上一点，则的度数为（）A.B.C.D.【答案】A作半径于，连结、，如图，将沿弦折叠，圆弧恰好经过圆心，，，，而，，，．12、如图，已知，，，则的度数为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：如图，，点、、在以点为圆心，以的长为半径的圆上；，，，，而，．13、如图，四边形内接于，已知，则的大小是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：四边形是的内接四边形，，．．14、如图，是的直径，为弦，且相交于点，则下列结论中不成立的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：，正确；，正确；，正确；，故“”错误．15、已知的直径，是的弦，，且，垂足为，则的长为（）A. 或B. 或C.D.【答案】B【解析】解：连接，的直径，，，，，当点位置如图所示时，，，，，；当点位置如图所示时，同理可得，，，在中，．故的长为或．二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、如图，点，，在上，，则．【答案】70【解析】解：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．故答案是：．17、圆内接四边形中，，则（）度．【答案】【解析】解：设为，则为，为，四边形是圆内接四边形，，则，解得：，，．故答案为：．18、如图，是的直径，点在上，，点在线段上运动，设，则的取值范围是____.【答案】.【解析】解：当点和点重合时，，，已知，，当点从点运动到点时，点和重合，是直径，，的取值范围是.故正确答案应选：.19、小明不慎把玻璃打碎了其中四碎片如图，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃应该是第（）块.【答案】②【解析】解：因为第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任意做两条弦，作出这两弦的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长，故选第②块.20、如图，边长为的菱形的两个顶点、恰好落在扇形的弧上．若，则弧的长度等于______（结果保留）．【答案】【解析】解：菱形中，，又，，即是等边三角形．，弧的长是：．三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）21、如图，是半圆的直径，是的中点，，则度.【解析】解：，且，，又知为直径，，，是的中点，，，.正确答案是：.22、如图，在中，，，，点为延长线上的一点，且，为的外接圆．(1) 求的长．【解析】解：过点作，垂足为，，在中，，，，，，在中，，，．(2) 求的半径．【解析】解：连接并延长到上一点，连接，由（1）得，在中，，，，，，解得：，的半径为．23、如图，已知四边形内接于圆，对角线与相交于点，在上，，．(1) 若，求的度数．的度数为．【解析】解：，，，又，，，，．(2) 求证：．【解析】证明：令，则，四边形是圆的内接四边形，，即，又，，，，，即．。

新课标人教版九年级数学上册——《圆的有关性质》讲义与课堂同步练习一、知识梳理圆的概念如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．固定的端点 O 叫做圆心；线段 OA 叫做半径;以点 O 为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”．圆心相同，半径不同半径相同，圆心不同确定一个圆的两个要素:一是圆心，一是半径动态：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．静态：圆心为 O、半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图中的 AC．经过圆心的弦叫做直径，如图中的 AB．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以 A、B 为端点的弧记作，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．劣弧与优弧：小于半圆的弧叫做劣弧．大于半圆的弧（用三个字母表示，）叫做优弧．等弧：在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧．练习1．判断下列说法的正误：（1）弦是直径（2）半圆是弧；（3）过圆心的线段是直径（4）半圆是最长的弧；（5）圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆（6）半径相等的两个半圆是等弧．二：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 练习：1下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？2如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB 交小圆于 C，D么关系？变式2如图，连接 OA ，OB ，设 AO=BO ，求证：AC=BD ．三：圆心角 圆是中心对称图形。

它的对称中心是圆心，它具有旋转不变性.性质：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合．圆心角：把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度．我们把顶点在圆心的角叫做圆心角．如∠NON ′是圆 O 的一个圆心角．性质：把圆心角等分成 360 份，则每一份的圆心角是 1°，同时整个圆也被分成了 360 份． 则每一份这样的弧叫做 1°的弧．这样1°的圆心角对着 1°的弧，1°的弧对着 1°的圆心角.n °的圆心角对着 n °的弧，n °的弧对着 n °的圆心角. 性质：弧的度数和它所对圆心角的度数相等.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角______ ， 所对的弦______； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角______，所对的弧______． 同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等二、同步题型分析B（一）圆的定义解析：准确理解圆的定义，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

人教版九年级数学上册圆的有关性质同步训练一、选择题1．（2020•镇江）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，106∠=︒，则CAB∠等于()ADCA．10︒B．14︒C．16︒D．26︒2．（2018•苏州）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是AC上的点，若40∠BOC∠=︒，则D 的度数为()A．100︒B．110︒C．120︒D．130︒3．（2018•盐城）如图，AB为O的直径，CD是O的弦，35∠的度数为()∠=︒，则CABADCA．35︒B．45︒C．55︒D．65︒4．（2019•梧州）如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（）A．2B．2C．2D．45．（2019•柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是（）A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D6．（2019•贵港）如图，AD是⊙O的直径，，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°7．（2018•河池）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，则∠ADC的大小为（）A ．20°B ．25°C ．50°D ．100°8．（2018•柳州）如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，∠A ＝60°，∠B ＝24°，则∠C 的度数为（ ）A ．84°B ．60°C ．36°D ．24°9．（2018•贵港）如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上，若∠A ＝66°，则∠OCB 的度数是（ ）A ．24°B ．28°C ．33°D ．48°10．（2020•十堰）如图，点A ，B ，C ，D 在O 上，OA BC ⊥，垂足为E ．若30ADC ∠=︒，1AE =，则(BC = )A ．2B ．4C ．3D ．2311．（2020•黄石）如图，点A 、B 、C 在O 上，CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ，若40DCE ∠=︒，则ACB ∠的度数为( )A ．140︒B ．70︒C ．110︒D ．80︒12.（2020•宜昌）如图，E ，F ，G 为圆上的三点，50FEG ∠=︒，P 点可能是圆心的是( ) A ． B ． C ． D ．13．（2020•荆门）如图，O 中，OC AB ⊥，28APC ∠=︒，则BOC ∠的度数为( )A ．14︒B ．28︒C ．42︒D ．56︒14．（2020•武汉）如图，在半径为3的O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是AC 的中点，AC 与BD 交于点E ．若E 是BD 的中点，则AC 的长是( )A ．532B ．33C ．32D ．42 15．（2019•十堰）如图，四边形ABCD 内接于O ，AE CB ⊥交CB 的延长线于点E ，若BA 平分DBE ∠，5AD =，13CE =，则(AE = )A ．3B ．32C ．43D ．23二、填空题16．（2020•河池）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D ，E 都在⊙O 上，∠1＝55°，则∠2＝ °．17．（2018•梧州）如图，已知在⊙O 中，半径OA ，弦AB ＝2，∠BAD ＝18°，OD 与AB 交于点C ，则∠ACO ＝ 度．18．（2019•辽阳）如图，A ，B ，C ，D 是O 上的四点，且点B 是AC 的中点，BD 交OC 于点E ，100AOC ∠=︒，35OCD ∠=︒，那么OED ∠= ．19．（2020•攀枝花）如图，已知锐角三角形ABC 内接于半径为2的O ，OD BC ⊥于点D ，60BAC ∠=︒，则OD = ．20．（2020•甘孜州）如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点H ，若10AB =，8CD =，则OH 的长度为 ．21．（2019•阿坝州）如图，在半径为5的O 中，M 为弦AB 的中点，若4OM =，则AB 的长为 ．22．（2019•盘锦）如图，ABC ∆内接于O ，BC 是O 的直径，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，半径OE BC ⊥，连接EA ，EA BD ⊥于点F ．若2OD =，则BC = ．答案：一、选择题1．（2020•镇江）如图，AB 是半圆的直径，C 、D 是半圆上的两点，106ADC ∠=︒，则CAB ∠等于( )A ．10︒B ．14︒C ．16︒D ．26︒解：连接BD ，如图，AB 是半圆的直径，90ADB ∴∠=︒，1069016BDC ADC ADB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，16CAB BDC ∴∠=∠=︒．故选：C ．2．（2018•苏州）如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是AC 上的点，若40BOC ∠=︒，则D∠的度数为( )A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒解：40BOC ∠=︒，18040140AOC ∴∠=︒-︒=︒，1(360140)1102D ∴∠=⨯︒-︒=︒， 故选：B ．3．（2018•盐城）如图，AB 为O 的直径，CD 是O 的弦，35ADC ∠=︒，则CAB ∠的度数为( ) A ．35︒ B ．45︒ C ．55︒D ．65︒ 解：由圆周角定理得，35ABC ADC ∠=∠=︒，AB 为O 的直径，90ACB ∴∠=︒，9055CAB ABC ∴∠=︒-∠=︒，故选：C ．4．（2019•梧州）如图，在半径为的⊙O 中，弦AB 与CD 交于点E ，∠DEB ＝75°，AB ＝6，AE ＝1，则CD 的长是（ ）A．2B．2C．2D．4解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：则DF＝CF，AG＝BG AB＝3，∴EG＝AG﹣AE＝2，在Rt△BOG中，OG2，∴EG＝OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG＝45°，OE OG＝2，∵∠DEB＝75°，∴∠OEF＝30°，∴OF OE，在Rt△ODF中，DF，∴CD＝2DF＝2；故选：C．5．（2019•柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是（）A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D解：∵∠A与∠D都是所对的圆周角，∴∠D＝∠A．故选：D．6．（2019•贵港）如图，AD是⊙O的直径，，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°解：∵，∠AOB＝40°，∴∠COD＝∠AOB＝40°，∵∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°，∴∠BOC＝100°，∴∠BPC∠BOC＝50°，故选：B．7．（2018•河池）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，则∠ADC的大小为（）A ．20°B ．25°C ．50°D ．100°解：如图，连接OC ，∵OA ⊥BC ， ∴，∴∠AOC ＝∠AOB ＝50°，∴∠ADC ∠AOC ＝25°，故选：B ．8．（2018•柳州）如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，∠A ＝60°，∠B ＝24°，则∠C 的度数为（ ）A ．84°B ．60°C ．36°D ．24°解：∵∠B 与∠C 所对的弧都是，∴∠C ＝∠B ＝24°，故选：D ．9．（2018•贵港）如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上，若∠A ＝66°，则∠OCB 的度数是（ ）A ．24°B ．28°C ．33°D ．48°解：∵∠A ＝66°，∴∠COB ＝132°，∵CO ＝BO ， ∴∠OCB ＝∠OBC （180°﹣132°）＝24°，故选：A ．10．（2020•十堰）如图，点A ，B ，C ，D 在O 上，OA BC ⊥，垂足为E ．若30ADC ∠=︒，1AE =，则(BC = )A ．2B ．4C ．3D ．23解：连接OC ，如图，30ADC ∠=︒，60AOC ∴∠=︒，OA BC ⊥，CE BE ∴=，在Rt COE ∆中，12OE OC =，3CE OE =， 1OE OA AE OC =-=-，112OC OC ∴-=， 2OC ∴=，1OE ∴=， 3CE ∴=，223BC CE ∴==．故选：D ．11．（2020•黄石）如图，点A 、B 、C 在O 上，CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ，若40DCE ∠=︒，则ACB ∠的度数为( )A ．140︒B ．70︒C ．110︒D ．80︒解：如图，在优弧AB 上取一点P ，连接AP ，BP ，CD OA ⊥，CE OB ⊥，90ODC OEC ∴∠=∠=︒，40DCE ∠=︒，360909040140AOB ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒，1702P AOB ∴∠=∠=︒， A 、C 、B 、P 四点共圆，180P ACB ∴∠+∠=︒，18070110ACB ∴∠=︒-︒=︒，故选：C ．12.（2020•宜昌）如图，E，F，G为圆上的三点，50FEG∠=︒，P点可能是圆心的是() A．B．C．D．解：50FEG∠=︒，若P点圆心，2100FPG FEG∴∠=∠=︒．故选：C．13．（2020•荆门）如图，O中，OC AB⊥，28APC∠=︒，则BOC∠的度数为()A．14︒B．28︒C．42︒D．56︒解：在O中，OC AB⊥，∴AC BC=，28APC∠=︒，256BOC APC∴∠=∠=︒，故选：D．14．（2020•武汉）如图，在半径为3的O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是()A 532B．33C．32D．42解：连接OD，交AC于F，D 是AC 的中点，OD AC ∴⊥，AF CF =，90DFE ∴∠=︒，OA OB =，AF CF =，12OF BC ∴=， AB 是直径，90ACB ∴∠=︒，在EFD ∆和ECB ∆中90DFE BCE DEF BECDE BE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()EFD ECB AAS ∴∆≅∆，DF BC ∴=， 12OF DF ∴=， 3OD =，1OF ∴=，2BC ∴=，在Rt ABC ∆中，222AC AB BC =-，22226242AC AB BC ∴=-=-=，故选：D ．15．（2019•十堰）如图，四边形ABCD 内接于O ，AE CB ⊥交CB 的延长线于点E ，若BA 平分DBE ∠，5AD =，13CE =，则(AE = )A ．3B ．32C ．43D ．23解：连接AC ，如图，BA 平分DBE ∠，12∴∠=∠，1CDA ∠=∠，23∠=∠，3CDA ∴∠=∠，5AC AD ∴==，AE CB ⊥，90AEC ∴∠=︒， 22225(13)23AE AC CE ∴--=．故选：D ．二、填空题16．（2020•河池）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝35 °．解：如图，连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵∠1＝∠ADE，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1＝55°，∴∠2＝35°，故答案为35．17．（2018•梧州）如图，已知在⊙O中，半径OA，弦AB＝2，∠BAD＝18°，OD与AB交于点C，则∠ACO＝81 度．解：∵OA，OB，AB＝2，∴OA2+OB2＝AB2，OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，∴∠OBA＝45°，∵∠BAD＝18°，∴∠BOD＝36°，∴∠ACO＝∠OBA+∠BOD＝45°+36°＝81°，故答案为：81．18．（2019•辽阳）如图，A，B，C，D是O上的四点，且点B是AC的中点，BD交OC于点E，100AOC∠=︒，∠=60︒．∠=︒，那么OED35OCD解：连接OB ．AB BC =，50AOB BOC ∴∠=∠=︒，1252BDC BOC ∴∠=∠=︒， OED ECD CDB ∠=∠+∠，35ECD ∠=︒，60OED ∴∠=︒，故答案为60︒．19．（2020•攀枝花）如图，已知锐角三角形ABC 内接于半径为2的O ，OD BC ⊥于点D ，60BAC ∠=︒，则OD = 1 ．解：连接OB 和OC ，ABC ∆内接于半径为2的O ，60BAC ∠=︒，120BOC ∴∠=︒，2OB OC ==，OD BC ⊥，OB OC =，60BOD COD ∴∠=∠=︒，30OBD ∴∠=︒，112OD OB ∴==， 故答案为：1．20．（2020•甘孜州）如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点H ，若10AB =，8CD =，则OH 的长度为 3 ．解：连接OC ，CD AB ⊥， 118422CH DH CD ∴===⨯=， 直径10AB =，5OC ∴=，在Rt OCH ∆中，223OH OC CH =-=，故答案为：3． 21．（2019•阿坝州）如图，在半径为5的O 中，M 为弦AB 的中点，若4OM =，则AB 的长为 6 ．解：连接OA ，M 为弦AB 的中点，OM AB ∴⊥， 2222543AM OA OM ∴=-=-=，26AB AM ∴==，故答案为：6．22．（2019•盘锦）如图，ABC ∆内接于O ，BC 是O 的直径，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，半径OE BC ⊥，连接EA ，EA BD ⊥于点F ．若2OD =，则BC = 45 ．解：OD AC ⊥， AD DC ∴=，BO CO =，2224AB OD ∴==⨯=， BC 是O 的直径，90BAC ∴∠=︒，OE BC ⊥，90BOE COE ∴∠=∠=︒， ∴BE EC =，11904522BAE CAE BAC ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒，EA BD ⊥，45ABD ADB ∴∠=∠=︒， 4AD AB ∴==，4DC AD ∴==，8AC ∴=，22224845BC AB AC ∴=+=+= 故答案为：5。

人教版 九年级数学上册 24.1 圆的有关性质同步训练一、选择题 1. 2019·葫芦岛 如图，在⊙O 中，∠BAC ＝15°，∠ADC ＝20°，则∠ABO 的度数为( )A ．70°B ．55°C ．45°D ．35°2. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC ，若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( )A . 45°B . 50°C . 55°D . 60°3. 与圆心的距离不大于半径的所有点组成的图形是()A ．圆的外部(包括边界)B ．圆的内部(不包括边界)C ．圆D ．圆的内部(包括边界)4. (2019•贵港)如图，AD 是O 的直径，AB CD =，若40AOB ∠=︒，则圆周角BPC ∠的度数是A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒5. 如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为( )A. 5 B ．2 5 C ．3 D ．2 36. 2019·聊城如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是BC ︵上的两点，连接BD ，CE并延长交于点A ，连接OD ，OE .如果∠A ＝70°，那么∠DOE 的度数为( )A ．35°B ．38°C ．40°D ．42°7. 如图，从A 地到B 地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A 地到B 地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行(怕被猫吃掉)，就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是( )A ．猫先到达B 地 B ．老鼠先到达B 地C ．猫和老鼠同时到达B 地D ．无法确定8. 如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB ，CD 所对的圆心角分别是∠AOB ，∠COD ，若∠AOB与∠COD 互补，弦CD ＝6，则弦AB 的长为( )A ．6B ．8C ．5 2D ．5 3二、填空题9. 如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm ，下雨前水面宽为60 cm ，一场大雨过后，水面宽为80 cm ，则水位上升了 cm .10. 2018·毕节如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为半圆的三等分点，CE ⊥AB 于点E ，则∠ACE 的度数为________．11. 如图，已知等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝120°且AC ＝BC ＝4，在平面内任作∠APB ＝60°，则BP 的最大值为________．12. (2019•娄底)如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=︒，则AD =__________．13. 如图，以△ABC 的边BC 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E ，连接OD ，OE .若∠A ＝65°，则∠DOE ＝________°.14. 如图，AB ，CD是半径为5的⊙O 的两条弦，AB ＝8，CD ＝6，MN 是⊙O 的直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF 上的任意一点，则PA ＋PC 的最小值为________．15. 如图所示，在半圆O 中，AB为直径，P 为AB ︵的中点，分别在AP ︵和PB ︵上取其中点A 1和B 1，再在P A ︵1和PB ︵1上分别取其中点A 2和B 2.若一直这样取下去，则∠A n OB n ＝________°.16. 如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动(点C ，D 与点A ，B 不重合)，M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P.若CD ＝3，AB ＝8，PM ＝l ，则l 的最大值是________．三、解答题17. 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，将劣弧AC 沿弦AC 翻折与AB 的交点恰好是圆心O ，作OD ⊥AC ，垂足为E ，交⊙O 于点D ，连接BC ，CD .求证：四边形BCDO 是菱形．18. 如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上．(1)尺规作图：作BAC 的平分线，与O 交于点D ；连接OD ，交BC 于点E (不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑)； (2)探究OE 与AC 的位置及数量关系，并证明你的结论．19. 如图，在⊙O 中，M ，N分别是半径OA ，OB 的中点，且CM ⊥OA 交⊙O 于点C ，DN ⊥OB 交⊙O 于点D .求证：AC ︵＝BD ︵.20. 2019·十堰改编如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CB 交CB 的延长线于点E .若BA 平分∠DBE ，AD ＝5，CE ＝13，求AE 的长度．21. 如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上(不与点A，B重合)，点D 为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E.射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G.设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ.(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据α30°40°50°60°β120°130°140°150°γ150°140°130°120°猜想：β关于α(2)若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．人教版 九年级数学上册 24.1 圆的有关性质同步训练-答案一、选择题 1. 【答案】B2. 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∠ABC ＝105°，∴∠ADC＝75°，∵＝，∴∠BAC ＝∠DCF ＝25°，∴∠E ＝∠ADC －∠DCF ＝50°.3. 【答案】D4. 【答案】B【解析】∵AB CD =，40AOB ∠=︒，∴40COD AOB ∠=∠=︒， ∵180AOB BOC COD ∠+∠+∠=︒，∴100BOC ∠=︒，∴1502BPC BOC ∠=∠=︒，故选B ．5. 【答案】D[解析] 如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA .根据题意，得OD ＝12OA ＝1.再根据勾股定理，得AD ＝ 3.根据垂径定理，得AB ＝2 3.6. 【答案】C7. 【答案】C8. 【答案】B [解析] 如图，延长AO 交⊙O 于点E ，连接BE ，则∠AOB ＋∠BOE ＝180°. 又∵∠AOB ＋∠COD ＝180°， ∴∠BOE ＝∠COD ， ∴BE ＝CD ＝6.∵AE 为⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°， ∴AB ＝AE 2－BE 2＝8.二、填空题9. 【答案】10或70 [解析]作OD ⊥AB 于C ，OD 交☉O 于点D ，连接OB.由垂径定理得:BC=AB=30 cm . 在Rt △OBC 中，OC==40(cm).当水位上升到圆心以下且水面宽80 cm 时， 圆心到水面距离==30(cm)，水面上升的高度为:40-30=10(cm).当水位上升到圆心以上且水面宽80 cm 时，水面上升的高度为:40+30=70(cm). 综上可得，水面上升的高度为10 cm 或70 cm . 故答案为10或70.10. 【答案】30°[解析] 如图，连接OC .∵AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝60°. ∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形， ∴∠A ＝60°.∵CE ⊥OA ，∴∠AEC ＝90°， ∴∠ACE ＝90°－60°＝30°.11. 【答案】8[解析] 由题意可得A ，P ，B ，C 在同一个圆上，所以当BP 为圆的直径时，BP 最大，此时∠P AB ＝90°.过点C 作CD ⊥AB 于点D ，可求得AB＝4 3，进而可求得BP 的最大值为8.12. 【答案】1【解析】∵AB 为直径，∴90ADB ∠=︒，∵30B ACD ∠=∠=︒，∴112122AD AB ==⨯=． 故答案为：1．13. 【答案】50[解析] 由三角形的内角和定理，得∠B ＋∠C ＝180°－∠A .再由OB ＝OD ＝OC ＝OE ，得到∠BDO ＝∠B ，∠CEO ＝∠C .在等腰三角形BOD 和等腰三角形COE 中，∠DOB ＋∠EOC ＝180°－2∠B ＋180°－2∠C ＝360°－2(∠B ＋∠C )＝360°－2(180°－∠A )＝2∠A ，所以∠DOE ＝180°－2∠A ＝50°.14. 【答案】72 [解析] 如图，连接OB ，OC ，BC ，则BC 的长即为P A ＋PC的最小值．过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则四边形EFCH 为矩形， ∴CH ＝EF ，EH ＝CF .根据垂径定理，得BE ＝12AB ＝4，CF ＝12CD ＝3， ∴OE ＝OB 2－BE 2＝52－42＝3，OF ＝OC 2－CF 2＝52－32＝4， ∴CH ＝EF ＝OE ＋OF ＝3＋4＝7，BH ＝BE ＋EH ＝BE ＋CF ＝4＋3＝7. 在Rt △BCH 中，由勾股定理，得BC ＝7 2，则P A ＋PC 的最小值为7 2.15. 【答案】(902n －1)[解析] 当n ＝1时，∠A 1OB 1＝90°；当n ＝2时，∠A 2OB 2＝90°2＝45……所以∠A n OB n ＝(902n －1)°.16. 【答案】34 [解析] 如图，当CD ∥AB 时，PM 的长最大，连接OM ，OC .∵CD∥AB，CP⊥AB，∴CP⊥CD.∵M为CD的中点，OM过点O，∴OM⊥CD，∴∠OMC＝∠PCD＝∠CPO＝90°，∴四边形CPOM是矩形，∴PM＝OC.∵⊙O的直径AB＝8，∴半径OC＝4，∴PM＝4.三、解答题17. 【答案】证明：如图，连接AD，OC.∵OD⊥AC，∴AE＝EC.由翻折的性质，得AC是OD的垂直平分线，∴OE＝DE，∴四边形OADC是平行四边形，∴OA∥CD，OA＝CD.∵OA＝OB，∴OB＝CD，OB∥CD，∴四边形BCDO是平行四边形．又∵OB＝OD，∴四边形BCDO是菱形．18. 【答案】(1)如图所示：(2)OE AC ∥，12OE AC =． 理由如下：∵AD 平分BAC ∠， ∴12BAD BAC ∠=∠， ∵12BAD BOD ∠=∠， ∴BOD BAC ∠=∠，∴OE AC ∥，∵OA OB =，∴OE 为ABC △的中位线，∴OE AC ∥，12OE AC =．19. 【答案】 证明：如图，连接OC ，OD ，则OC ＝OD .∵M ，N 分别是半径OA ，OB 的中点，∴OM ＝ON .∵CM ⊥OA ，DN ⊥OB ，∴∠OMC ＝∠OND ＝90°.在Rt △OMC 和Rt △OND 中，⎩⎨⎧OC ＝OD ，OM ＝ON ，∴Rt △OMC ≌Rt △OND (HL)，∴∠MOC ＝∠NOD ，∴AC ︵＝BD ︵.20. 【答案】解：连接AC ，如图．∵BA平分∠DBE，∴∠1＝∠2.∵∠1＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠CDA＝180°，∴∠1＝∠CDA.又∵∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA，∴AC＝AD＝5.∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，∴AE＝AC2－CE2＝52－（13）2＝2 3.21. 【答案】【思维教练】(1)观察表格可猜想β＝90°＋α，γ＝180°－α.连接BG，由直径所对的圆周角为90°和圆内接四边形的对角和为180°即可得出β＝90°＋α；由题干条件易知△EBD≌△EGD，∠EBC＝∠ECB，再由三角形的外角和定理和β＝90°＋α，利用角度之间的转化即可得出结论；(2)由(1)的结论可以得出α＝∠BAG＝45°，β＝∠ACB＝135°，∴∠ECB＝45°，∠CEB＝90°，△ECD、△BEC、△ABG 都是等腰直角三角形，由CD的长，可得出BE和CE的长，再由题干条件△ABE 的面积是△ABC的面积的4倍可得出AC的长，利用勾股定理在△ABE中求出AB的长，再利用勾股定理在△ABG求出AG的长，即可求出半径长．①(1)①β＝90°＋α，γ＝180°－α证明：如解图①，连接BG，∵AG是⊙O的直径，∴∠ABG＝90°，∴α＋∠BGA＝90°，(1分)又∵四边形ACBG内接于⊙O，∴β＋∠BGA＝180°，∴β－α＝90°，即β＝90°＋α；(3分)②∵D是BC的中点，且DE⊥BC，∴△EBD≌△ECD，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EAG＋∠EBA＝γ，∴∠EAB＋α＋∠EBC＋∠CBA＝γ，∵∠EAB＋∠CBA＝∠ECB，∴2∠ECB＋α＝γ，(4分)∴2(180°－β )＋α＝γ，由①β＝90°＋α代入后化简得，γ＝180°－α；(6分)(2)如解图②，连接BG，②∵γ＝135°，γ＝180°－α，∴α＝45°，β＝135°，∴∠AGB＝∠ECB＝45°，(8分)∴△ECD和△ABG都是等腰直角三角形，又∵△ABE的面积是△ABC的面积的4倍，∴AE＝4AC，∴EC＝3AC，(9分)∵CD＝3，∴CE＝32，AC＝2，∴AE＝42，(10分)∵∠BEA＝90°，∴由勾股定理得，AB＝BE2＋AE2＝（32）2＋（42）2＝50＝52，(11分)∴AG＝2AB＝2×52＝10，∴r＝5.(12分)。

圆的性质一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，在⊙O 中，∠AOB ＝100°，则弧AB 的度数为（ ）A ．50°B ．80°C ．100°D ．200°第1题图 第2题图 第3题图 第4题图2．如图，AB 是⊙O 的直径，∠D ＝40°，则∠AOC ＝（ ）A ．80°B ．100°C ．120°D ．140°3．如图，AB 为⊙O 直径，点D 是AB 上方圆上异于A 、B 的一点，若∠BOC ＝130°，则∠D 的度数（ ）A ．50°B ．25°C ．70°D ．35°4．如图，AB 为⊙O 直径，点C ，D 在⊙O 上，AĈ=BC ̂，AD 与CO 交于点E ，∠DAB ＝30°，若AO =√3，则CE 的长为（ ）A ．1B ．√32C ．√3−1D ．2√3−25．如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 均在⊙O 上，若∠ABC ＝28°，则∠OAC 的大小是（ ）A ．42°B ．52°C ．62°D ．72°第5题图 第6题图 第7题图 第8题图6．如图，在⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB ，∠OBA ＝26°，D 为⊙O 上一点，则∠ADC 的度数是（ ）A．52°B．64°C．37°D．32°7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝28°，则∠D 的度数是（）A．56°B．58°C．60°D．62°8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．100°C．140°D．160°9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DE是⊙O的直径，连接BD．若∠BCD＝2∠BAD，则∠BDE的度数是（）A．25°B．30°C．32.5°D．35°第9题图第10题图第11题图10．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，AB=√2，BC＝1，则⊙O的半径为（）A．√3B．√52C．√102D．√2+12二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AĈ的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是．12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD＝DC，∠DAC＝25°，则∠ABC＝°．第12题图第14题图第16题图是17题图13．若一条弦把圆周分成2：3的两段弧，则劣弧所对圆心角的度数是．14．如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝26°，则∠BOC＝．15．在半径为4cm的⊙O中，弦CD平行于弦AB，AB=4√3cm，∠COD＝90°，则AB与CD之间的距离是cm．16．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝15°，则∠BCD的度数为．17．如图，四边形BCDE内接于⊙O，AB是⊙O的直径，满足AB⊥CD于点F，连接AE，BD．若∠ABC＝∠DBE，CF＝2AF＝4，则点E到线段AB的距离为．三．解答题一（共3小题，每小题6分，共18分）18．有一圆柱形木材，埋在墙壁中，其横截面如图所示，测得木材的半径为15cm，露在墙体外侧的弦长AB＝18cm，其中半径OC垂直平分AB，则埋在墙体内的弓形高CD等于多少cm？̂=AD̂，AC交BD于点G．若∠COD 19．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB＝126°，求∠AGB的度数．20．如图，AB是⊙O的直径，点C，E都在⊙O上，OC⊥AB，CÊ=2AÊ，DE∥AB交OC 于点D，延长OC至点F，使FC＝OC，连接EF．（1）求证：CD＝OD．（2）若⊙O的直径是4，求EF的长．四．解答题二（共3小题，每小题8分，共24分）21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝35°，（1）求∠D的度数；（2）若∠ACD＝65°，求∠CEB的度数．22．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD、CD．（1）判断△BDE的形状，并说明理由；（2）若AB＝13，BC＝12，求BD的长．23．如图，AB，CD为⊙O直径，弦DE，BF分别交半径AO，CO于点G，H，且∠FBA＝∠EDC．（1）求证：DE＝BF．̂=EF̂=FĈ，且∠DOB＝∠EGO，求AĈ的度数．（2）若AE五．解答题二（共3小题，每小题10分，共20分）24．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC．（1）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；（2）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．25．如图，四边形APBC内接于圆，∠APC＝60°，AB＝AC，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若AP＝3，BP＝2，求PC的长；（3）若∠P AC＝90°，AB＝2√3，求PD的长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．【解答】解：∵圆心角∠AOB＝100°，∴弧AB的度数为100°，故选：C．2．【解答】解：∵∠D＝40°，∴∠BOC＝2∠D＝80°，∴∠AOC＝100°．故选：B．3．【解答】解：∵∠BOC＝130°，∴∠AOC＝50°，∴∠D=12∠AOC=12×50°＝25°．故选：B．4．【解答】解：∵AĈ=BĈ，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∵∠DAB＝30°，AO=√3，∴OE＝OA•tan30°=√3×√33=1，∵OA＝OC=√3，∴CE＝OC﹣OE=√3−1．故选：C．5．【解答】解：∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝28°，∴∠AOC＝56°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA=12×（180°﹣56°）＝62°．故选：C．6．【解答】解：∵OC⊥AB，∴AĈ=BĈ，∠BOC+∠OBA＝90°，∴∠ADC=12∠BOC，∵∠OBA＝26°，∴∠BOC＝90°﹣26°＝64°，∴∠ADC=12×64°＝32°，故选：D．7．【解答】解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝28°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝62°，∴∠B＝∠D＝62°，故选：D．8．【解答】解：∵∠AOC＝160°，∴∠ADC=12∠AOC＝80°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣80°＝100°，故选：B．9．【解答】解：连接BE，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BAD＝60°，由圆周角定理得：∠BED＝∠BAD＝60°，∵DE是⊙O的直径，∴∠EBD＝90°，∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°，故选：B．10．【解答】解：过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E连接AC．∵∠AOC＝90°，∴∠ABC=12（360°﹣90°）＝135°，∴∠ABE＝45°，∵∠E＝90°，AB=√2，∴AE＝EB＝1，∵BC＝1，∴EC＝2，∴AC=√AE2+CE2=√22+12=√5，∴OA＝OC=√22AC=√102．故选：C．二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．【解答】解：如图，连接OD ，交AC 于F ，∵D 是AC ̂的中点，∴OD ⊥AC ，AF ＝CF ，∴∠DFE ＝90°，∵OA ＝OB ，AF ＝CF ，∴OF =12BC ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，在△EFD 和△ECB 中，{∠DBE =∠BCE =90°∠DEF =∠BEC DE =BE，∴△EFD ≌△ECB （AAS ），∴DF ＝BC ，∴OF =12DF ，∵OD ＝3，∴OF ＝1，∴BC ＝2，∴AC =√AB 2−BC 2=√62−22=4√2．故答案为：4√2．12．【解答】解：∵AD ＝AC ，∴∠DAC ＝∠DCA ＝25°，∴∠D＝180°﹣∠DAC﹣∠DCA＝180°﹣25°﹣25°＝130°，∴∠ABC＝180°﹣∠D＝180°﹣130°＝50°，故答案为：50．【点评】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补，难度不大．13．【解答】解：∵一条弦把圆周分成2：3的两段弧，∴劣弧所对圆心角的度数为360°×25=144°．故答案为：144°．14．【解答】解：连接AC，∵AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD，∴BĈ=BD̂，∴∠BAC＝∠BAD＝26°，∴∠BOC＝2∠BAC＝52°，故答案为：52°．15．【解答】解：如图1，过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∵OE过圆心，OE⊥AB，∴EB=12AB＝2√3cm，∵OA＝4cm，在Rt△AOE中，EO=√AO2−AE2=√16−12=2（cm），∵∠COD＝90°，∴∠COF＝45°，∵OF⊥CD，∴CF＝OF＝OC•sin45°＝4×√22=2√2（cm），如图1，若AB、CD位于圆心同侧，则AB与CD之间的距离为（2√2−2）cm，如图2，若AB、CD位于圆心异侧，则AB与CD之间的距离为（2√2+2）cm．综上所述，AB与CD之间的距离为（2√2+2）cm或（2√2−2）cm．故答案为：2√2−2或2√2+2．16．【解答】解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠AED＝15°，∴∠ACD＝15°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝105°，故答案为：105°．17．【解答】解：如图，连接OC，过点E作ER⊥AB于点R．设OA＝OC＝r．∵AB⊥CD，AB是直径，∴CF＝DF＝4，AĈ=AD̂，在Rt△OCF中，r2＝42+（r﹣2）2，∴r＝5，∴AB＝10，∵∠ABC＝∠DBE，∴AĈ=DÊ=AD̂，∴CD̂=AE ̂， ∴CD ＝AE ＝8，∵AB 是直径，∴∠AEB ＝90°，∴BE =√AB 2−AE 2=√102−82=6，∵ER ⊥AB ，∴S △ABE =12•AB •ER =12•AE •BE ，∴ER =245，∴点E 到线段AB 的距离为245． 故答案为：245．三．解答题一（共3小题，每题6分，共18分）18．【解答】解：∵OC ⊥AB ，∴AD ＝BD ＝9cm ，∵OD 2＝AO 2﹣AD 2，∴OD 2＝152﹣92，∴OD ＝12cm ，∵CD ＝OC ﹣OD ，∴CD ＝15﹣12＝3（cm ），∴埋在墙体内的弓形高CD 等于3cm ．19．【解答】解：∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°，∵AB̂=AD ̂， ∴∠B ＝∠D ＝45°，∵∠DAC =12∠COD =12×126°＝63°， ∴∠AGB ＝∠DAC +∠D ＝63°+45°＝108°．所以∠AGB 的度数为108°．20．【解答】（1）证明：连接OE 、CE ，如图，∵OC ⊥AB ，∴∠AOC ＝90°，∵CÊ=2AE ̂， ∴∠COE ＝2∠AOE ，∴∠COE ＝60°，而OE＝OC，∴△OCE为等边三角形，∵DE∥AB，OC⊥AB，∴DE⊥OC，∴CD＝OD；（2）解：∵⊙O的直径是4，∴OE＝OC＝CF＝2，CD＝OD＝1，在Rt△ODE中，DE=√22−12=√3，在Rt△EFD中，EF=√DE2+DF2=√(√3)2+32=2√3．四．解答题二（共3小题，每题8分，共24分）21．【解答】解：（1）连接CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝35°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝55°，∴∠ABC＝∠D＝55°，∴∠D的度数为55°；（2）∵∠CEB是△ACE的一个外角，∴∠CEB＝∠BAC+∠ACD＝100°，∴∠CEB的度数为100°．22．【解答】解：（1）△BDE是等腰直角三角形，理由：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠EBC，∵∠CBD＝∠CAD，∴∠CBD＝∠BAD，∵∠DBE＝∠CBD+∠EBC，∠BED＝∠BAD+∠ABE，∴∠DBE＝∠BED，∴BD＝DE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形；（2）连接OC，连接OD交BC于点F，∵∠CBD＝∠CAD，∠BCD＝∠BAD，∠BAD＝∠CAD，∴∠CBD＝∠BCD，∴BD＝DC，∵OB＝OC，∴OD是BC的垂直平分线，∴OF⊥BC，BF=12BC＝6，在Rt△OBF中，OB=12AB＝6.5，∴OF=√OB2−BF2=√6．52−62=2.5，∴DF＝OD﹣OF＝4，∴BD=√BF2+DF2=√62+42=2√13，∴BD的长为2√13．23．【解答】（1）证明：如图，连接AD，BD，∵∠AOD＝∠BOC，∴AD̂=BĈ，∵∠FBA＝∠EDC，∴AF̂=CÊ，∴AF̂−EF̂=CÊ−EF̂，即AÊ=CF̂，∴AD̂+AÊ=BĈ+CF̂，即DÊ=BF̂，∴DE＝BF；（2）解：如图，∵OB＝OD，∴∠1＝∠2，∴∠DOB＝180°﹣2∠1，∵∠EGO＝∠EDB+∠ABD＝∠3+∠1+∠2＝∠3+2∠1，∠DOB＝∠EGO，∴180°﹣2∠1＝∠3+2∠1，∴∠3＝180°﹣4∠1，∵AÊ=EF̂=FĈ，∴∠3＝2∠ADE，∴∠ADE=12∠3，∵CD为⊙O直径，∴AD̂+AÊ+CÊ=180°，∴∠2+∠ADE+∠3＝90°，∴∠1+12×（180°﹣4∠1）+（180°﹣4∠1）＝90°，∴5∠1＝180°，∴∠1＝36°，∴∠DOB＝180°﹣36°×2＝108°，∴∠AOC＝108°，∴AĈ的度数为108°．五．解答题三（共2小题，每题10分，共20分）24．【解答】证明：∵∠E＝∠F，∠DCE＝∠BCF，∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠BCF+∠F，∴∠ADC＝∠ABC，（1）解：∵∠ADC＝∠ABC，∵∠EDC＝∠ABC，∴∠EDC＝∠ADC，∴∠ADC＝90°，∴∠A＝90°﹣42°＝48°；（2）解：连接EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD＝∠A，∵∠ECD＝∠1+∠2，∴∠A＝∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD＝180°，∴2∠A+∠AEB+∠AFD＝180°，即∠A＝90°−12（α+β）．25．【解答】（1）证明：∵∠APC＝60°，∴∠ABC＝∠APC＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形；（2）解：如图1中，在PC上截取PT，使得PT＝P A．∵∠APT＝60°，∴△APT是等边三角形，∴AP＝AT，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠P AT＝∠BAC＝60°，∴∠P AB＝∠TAC，∴△P AB≌△TAC（SAS），∴PB＝TC＝2，∵PT＝P A＝3，∴PC＝PT+CT＝3+2＝5；（3）解：在Rt△P AC中，∠APC＝60°，∠P AC＝90°，AC＝AB＝2√3，∴∠PCA＝30°，∴PC＝2P A．∵PC2＝P A2+AC2，∴P A＝2，PC＝4．同理，可求出CD＝4√3，AD＝6，∴PD＝AD﹣P A＝4．。

人教版数学九年级上册第24章圆 24.1 圆的有关性质同步练习题及答案2019-2019人教版数学九年级上册 第24章 圆 24.1 圆的有关性质 同步练习题1. 如图，CD 是⊙O 的直径，已知∠1＝30°，则∠2＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．70°2. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P 与x 轴相切，与y 轴相交于A(0，2)，B(0，8)，则圆心P 的坐标是( )A ．(5，3)B ．(5，4)C ．(3，5)D ．(4，5)3. 在直径为200 cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB ＝160 cm ，则油的最大深度为( )A ．40 cmB ．60 cmC ．80 cmD ．100 cm4. 把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC︵的度数是( )A ．120°B ．135°C ．150°D ．165°5. 如图，圆O 通过五边形OABCD 的四个顶点．若ABD ︵＝150°，∠A ＝65°，∠D＝60°，则BC ︵的度数为何？( )A ．25B ．40C ．50D ．556. 如图，点A ，B ，C ，P 在⊙O 上，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∠DCE ＝40°，则∠P 的度数为( )A ．140°B ．70°C ．60°D ．40°7. 如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，∠BOD ＝48°，则∠BAC 的大小是( )A ．60°B ．48°C ．30°D ．24°8. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，分别连接AC ，BC ，CD ，OD.若∠DOB ＝140°，则∠ACD ＝( )A ．20°B ．30°C ．40°D ．70°(2)∵OC ∥BD ，∴△OCF ∽△DBF ，△EOC ∽△EBD ，∴OC BD ＝OF DF ＝23，∴OC BD ＝OE BE ＝23，∵OA ＝OB ，∴AE ＝OA ＝OB ，∴OC ＝12OE ，∵∠ECO ＝90°，∴∠E ＝30°。

初中数学试卷 桑水出品24.1 圆（第四课时 ）--------圆周角知识点1、圆周角定义：顶点在 ，并且两边都和圆 的角叫圆周角。

2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于这条弧所对的圆心角的 。

推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 ，那么它们所对的弧 。

推论2、半圆（或直径）所对的圆周角是 ； 900的圆周角所对的弦是 。

3、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做 ，这个圆叫做 。

性质：圆内接四边形的对角一、选择题1.如图，在⊙O 中，若C 是»BD的中点，则图中与∠BAC 相等的角有（ ） A.1个 B.2 个 C.3个 D.4个2.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A =40°，则∠BOC 的度数为（ ）A . 20°B . 40°C . 60° D.80°3.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠A=40 º，则∠B 的度数为（ ）A ．80 ºB ．60 ºC ．50 ºD ．40 º4.如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°5.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC，若∠BAD=60°，则∠BCD的度数为（）A.40°B.50°C.60°D.70°6.如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内⊙C上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径为（）A．6 B．5 C．3 D．327、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，OP⊥AC于点P，OP=23，则⊙O的半径为（）A．43B．63C．8 D．128、如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）B．A F=BF C．O F=CF D．∠DBC=90°»»A.AD BD二、填空题1．如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC=60°，则∠ABC的度数是．2．如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB=度．3.已知如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝60°，则∠DCE＝.4.如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD＝50°，则∠ACD＝..5、如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC=70°，则∠OCB=．6、如图，若AB是⊙O的直径，AB=10cm，∠CAB=30°，则BC=cm．7、如图所示⊙O中，已知∠BAC=∠CDA=20°，则∠ABO的度数为．8、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=．9、如图，圆心角∠AOB=30°，弦CA∥OB，延长CO与圆交于点D，则∠BOD=．10、如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒，点E在量角器上对应的读数是度．A B CO三、解答题1、如图，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD ，BD 的长.2． 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是»BD的中点，CE ⊥AB 于 E ，BD 交CE 于点F ． （1）求证：CF ﹦BF ；（2）若CD ﹦6， AC ﹦8，则⊙O 的半径为 ，CE 的长是 ．3、如图，A ，P ，B ，C 是半径为8的⊙O 上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，（1）求证：△ABC 是等边三角形；（2）求圆心O 到BC 的距离OD ．4、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，OD ⊥AC ，垂足为E ，连接BD（1）求证：BD 平分∠ABC ；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD ．CBDE FO5、如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．24.1 圆（第四课时）--------圆周角知识点1.圆上相交2.相等一半相等一定相等直角直径3.圆内接多边形这个多边形的外接圆互补一、选择题1.C2.D3.C4.C5. C6.C7、A8、C二、填空题1．150°2．25°3.60°4. 40°.5、20°6、57、50°8.9、30°10、144°三、解答题1、ArrayA B»»2222222BC AB AC1068cmCD ACBACD BCD45AD BDAD BDBD AB100100AD BD52cm2∴∠∠︒∴=-=-=∠∴∠=∠=︒∴=∴=+==∴===Q eVQV解：AB是O的直径ACB=ADB=90在Rt ABC中,AB=10cm,AC=6cm,平分在Rt ADC中,AB=10cmAD2．解：(1) 证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB﹦90°又∵CE⊥AB，∴∠CEB﹦90°∴∠2﹦90°－∠A﹦∠1又∵C是弧BD的中点，∴∠1﹦∠A∴∠1﹦∠2,∴CF﹦BF﹒(2) ⊙O的半径为5，CE的长是524﹒3、CBDEFO12解：（1）在△ABC中，∵∠BAC=∠APC=60°，又∵∠APC=∠ABC，∴∠ABC=60°，∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-60°=60°，∴△ABC是等边三角形；（2）∵△ABC为等边三角形，⊙O为其外接圆，∴O为△ABC的外心，∴BO平分∠ABC，∴∠OBD=30°，∴OD=8×12=4．4、证明：（1）∵OD⊥AC OD为半径，∴»»CD AD=，∴∠CBD=∠ABD，∴BD平分∠ABC；（2）∵OB=OD，∴∠OBD=∠0DB=30°，∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA=90°，∴∠A=180°-∠OEA-∠AOD=180°-90°-60°=30°，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，BC=12 AB，∵OD=»»CD AD=AB，∴BC=OD．5、（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D；（2）解：设BC=x，则AC=x﹣2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴（x﹣2）2+x2=42，解得：x1=1+，x2=1﹣（舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∵CD=CB，∴CE=CB=1+．。

第二十四章 24.1 圆的有关性质同步练习圆的定义同步练习（答题时间：30分钟）1. 下列说法中，结论错误的是（）A. 直径相等的两个圆是等圆B. 长度相等的两条弧是等弧C. 圆中最长的弦是直径D. 一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧2. 如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连接AC、BC。

若∠ABC＝54°，则∠1的大小为（）A. 36°B. 54°C. 72°D. 73°3. 已知点A的坐标为（2，0），点P在直线y＝x上运动，当以点P为圆心，PA的长为半径的圆的面积最小时，点P的坐标为（）A. （1，－1）B. （0，0）C. （1，1）D. （2，2）*4. 如图，已知⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP 以及⊙O上，并且∠POM＝45°，则AB的长为（）A. 5B. 4C. 3D. 55. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD＝__________。

6. 如图，在扇形AEF中，∠A＝90°，点C为上任意一点（不与点E、F重合），四边形ABCD为矩形，则当点C在上运动时（不与E、F点重合），BD长度的变化情况是__________。

7. 如图所示，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是四边的中点。

试说明E、F、G、H四个点在以点O为圆心，OE长为半径的圆上。

ABCDOE FGH8. 如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB ＝2DE，∠AEC＝20°，求∠AOC的度数。

OABCDE12**9. 让我们借助平面直角坐标系，一起探索圆的一种奇特的性质。

如图，以平面直角坐标系xOy的原点O为圆心，2个单位长为半径作⊙O，⊙O分别交x轴的负半轴及y轴正半轴于C、D两点，已知A（1，0），B（4，0）。