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第24章 圆的有关性质综合训练1．下列命题中，正确的个数是（ ）⑴直径是弦，但弦不一定是直径； ⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑶圆周角等于圆心角的一半；⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧。
A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．⊙O 中∠AOB ＝∠84°则弦AB 所对圆周角的度数为（ ）A ．42°B ．138°C ．69°D ．42°或138° 3．如图1，⊙O 的直径CD 垂直于弦EF ，垂足为G ，若∠EOD=40°,则∠CDF 等于（ ）A ．80°B ． 70°C ． 40°D ． 20°图1 图2 图3 图44．如图2,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB,垂足为E,如果AB=20,CD=16, 那么线段OE 的长为（ ） A 、10 B 、8 C 、 6 D 、4 5．已知O 的半径为5cm ,弦AB ∥CD ,且6AB cm =，8CD cm =,则弦AB,CD 间的距离为（ ）.A ．1cmB ．7cmC ．5cmD ．7cm 或1cm6．如图3， AD ⊥BC 于点D ，AD=4cm ，AB=8cm ，AC=6cm ，则⊙O 的直径是（ ）A ．4cmB ．12cmC ．8cmD ．16cm7．如图4，矩形与O 相交，若AB=4，BC=5，DE=3，则EF 的长为（ ） A ． 3.5 B ．6.C ．7 D ．8 8． 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（ ）A ． 45°B ． 90°C ． 135°D ． 270° 9．已知，如图5，在ABC 中，70A ∠=，O 截ABC 的三边所得的弦长相等，则BOC ∠=（ ） A ． 140B ． 135C ． 130D ． 12510．如图6，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，OD ∥AC ，下列结论错误的是 （ ）A ．∠BOD ＝∠BACB ．∠BOD ＝∠COD C ．∠BAD ＝∠CAD D ．∠C＝∠D图5图6 图711．在平面内到定点A 的距离等于3cm 的点组成的图形是 .12．如图7，在圆O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，若AC=2cm ，则圆O 的半径为____________cm 。
九年级数学 圆周角 圆心角知识点：圆心角： 弧度：圆周角：圆心角与圆周角的关系: 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，反过来，90°的圆周角所对的弦是直径。
例1.如图，已知P 是O 外任意一点，过点P 作直线PAB ，PCD ，分别交O 于点A ，C ，D ． 求证：12P ∠=（BD 的度数AC -的度数）．例2.如图①，点A 、B 、C 在⊙O 上，连结OC 、OB ：⑴ 求证：∠A=∠B+∠C ；⑵ 若点A 在如图②的位置，以上结论仍成立吗？说明理由。
例3.如图,⊙O 的直径AB=8cm,∠CBD=300,求弦DC 的长.30︒DCBAO例4.如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ．（1）求证：∠ACO=∠BCD ；（2）若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径．例5.如图,在⊙O 中,AB 是直径,CD 是弦,AB ⊥CD.(1)P 是CAD 上一点(不与C 、D 重合),试判断∠CPD 与∠COB 的大小关系, 并说明理由. (2)点P /在劣弧CD 上(不与C 、D 重合时),∠CP /D 与∠COB 有什么数量关系?请证明你的结论.DCBPAO例6.如图,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且AD=6cm,若∠ABC=∠CAD,求弦AC 的长.DCBA O例7.如图所示，在△ABC 中，∠BAC 与∠ABC 的平分线AE 、BE 相交于点E ，延长AE 交△ABC 的外接圆于D 点，连接BD 、CD 、CE ，且∠BDA=600.(1)求证△BDE 是等边三角形；(2)若∠BDC=1200，猜想BDCE 是怎样的四边形，并证明你的猜想。
同步练习：1.在⊙O 中同弦所对的圆周角（ ）A.相等B.互补C.相等或互补D.以上都不对 2.下列说法正确中的是（ ）A.顶点在圆周上的角称为圆周角B.相等的圆周角所对的弧相等C.若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这一边必为此三角形外接圆的直径D.圆周角等于圆心角的一半3.如图，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ）A.∠4<∠1<∠2<∠3B.∠4<∠1=∠3<∠2C.∠4<∠1<∠3∠2D.∠4<∠1<∠3=∠2CBA ODCBAO4.如图,已知圆心角∠BOC=1000,则圆周角∠BAC 的度数是( )A.50°B.100°C.130°D.200°5.如图,A 、B 、C 、D 四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( )A.2对B.3对C.4对D.5对 6.如图,D 是AC 的中点,则图中与∠ABD 相等的角的个数是( )A.4个B.3个C.2个D.1个DCBACBAO7.如图,∠AOB=100°,则∠A+∠B 等于( )A.100°B.80°C.50°D.40° 8.如图,A 、B 、C 三点都在⊙O 上,点D 是AB 延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( ) A.40° B.50° C.70° D.110° 9.在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( )A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120° 10.半径为R 的⊙O 中，弦AB=2R ，弦CD=R ，若两弦的弦心距分别为OE 、OF ，则OE ∶OF 等于( )A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.0 11.点P 为⊙O 内一点，且OP=4，若⊙O 的半径为6，则过点P 的弦长不可能为 （ ）A 302B 12C 8D 10.512.如图所示，⊙O的半径为5，弧AB所对的圆心角为1200，则弦AB的长为（）A.1033 B.532C.8D.5313.如图所示，正方形ABCD内接于⊙O中，P是弧AD上任意一点，则∠ABP+∠DCP等于（）A.90°B.45°C.60°D.30°14.如图，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( )A.3∶2B.5∶2C.5∶2D.5∶415.如图，AB是⊙O的直径，BC CD DE==，∠COD=35°，则∠AOE的度数为_________．16.如图所示，已知AB、CD是⊙O的两条直径，弦DE∥AB，∠DOE=70°,则∠BOD=__________17.如图，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．18.如图所示，在△ABC中，∠ACB=900，∠B=250，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，则∠ACD=______19.如图, AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC=300，点P在线段OB上运动.设∠ACP=x，则x的取值范围是20.如图,CD是圆的直径,O是圆心，E是圆上一点且∠EOD=450，A是DC延长线上一点,AE交圆于B,如果AB=OC,则∠EAD=______21.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是__________22.如图，CD 是半圆的直径，O 为圆心，E 是半圆上一点，且93EOD ∠=，A 是DC 延长线上一点，AE 与半圆相交于点B ，如果AB=OC ，则EAD ∠=，EOB ∠=，ODE ∠=．23.如图，将某月手机费中各项费用的情况制成扇形统计图，则表示短信费的扇形圆心角的度数为______ 24.⊙O 中，弦AB 垂直直径CD 于点P ，半径OA=4cm ，OP=2cm ，则∠AOB=__________，∠ADC=__________，弧BD 度数为__________，△ADC 周长为__________ cm 。
圆的基本性质知识点圆的定义几何定义：线段OA，绕O点旋转一周得到的图形，叫做圆。
其中，O为圆心，OA为半径。
集合定义：到定点等于定长的所有点的集合。
其中，定点为圆心，定长为半径。
圆的书写格式：圆的对称性（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
（3）圆是旋转对称图形。
与圆有关的线段半径：圆上一点与圆心的连线段。
确定一个圆的要素是圆心和半径。
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
直径：经过圆心的弦叫做直径。
弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
劣弧：小于半圆周的圆弧叫做劣弧。
表示方法：优弧：大于半圆周的圆弧叫做优弧。
表示方法：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
注意：同弧或等弧对应的弦相等。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
注意: 定理中的“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径，深圳可以是过圆心的直线或线段；该定理也可以理解为：若一条直线具有两条性质：①过圆心；②垂直于一条弦，则此直线具有另外三条性质：①平分此弦；②平分此弦所对的优弧；③平分此弦所对的劣弧.推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
在下列五个条件中:①CD是直径;②CD⊥AB;③AM=BM;④AC=BC;⑤AD=BD.只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.注意：(1)在圆中，与已知弦（非直径）相等的弦共有条；共端点且相等的弦共有条。
（2）在圆中，与已知弦（非直径）平行的弦共有条；平行且相等的弦共有条。
例1.如图：OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点，求证：AD=BC.例2.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是E，如果AB=10cm，CD=8cm，求AE的长。
24.1 圆（第四课时 ）--------圆周角知识点1、圆周角定义：顶点在 ，并且两边都和圆 的角叫圆周角。
2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于这条弧所对的圆心角的 。
推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 ，那么它们所对的弧 。
推论2、半圆（或直径）所对的圆周角是 ； 900的圆周角所对的弦是 。
3、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做 ，这个圆叫做 。
性质：圆内接四边形的对角一、选择题1.如图，在⊙O 中，若C 是BD 的中点，则图中与∠BAC 相等的角有（ ）A.1个B.2 个C.3个D.4个2.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A=40°，则∠BOC 的度数为（ ）A. 20°B. 40°C. 60°D.80°C · BD OA3.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A=40 º，则∠B的度数为（）A．80 ºB．60 ºC．50 ºD．40 º4.如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°5.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC，若∠BAD=60°，则∠BCD的度数为（）A.40°B.50°C.60°D.70°A CBO6.如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内⊙C上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径为（）A．6 B．5 C．3 D．327、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，OP⊥AC于点P，OP=23，则⊙O的半径为（）A．43B．63C．8 D．128、如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）B．A F=BF C．O F=CF D．∠DBC=90°A.AD BD二、填空题1．如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC=60°，则∠ABC的度数是．2．如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB= 度．3.已知如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝60°，则∠DCE＝ .4.如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD＝50°，则∠ACD＝ ..5、如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC=70°，则∠OCB= ．6、如图，若AB是⊙O的直径，AB=10cm，∠CAB=30°，则BC= cm．7、如图所示⊙O中，已知∠BAC=∠CDA=20°，则∠ABO的度数为．8、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC= ．9、如图，圆心角∠AOB=30°，弦CA∥OB，延长CO与圆交于点D，则∠BOD= ．10、如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒，点E在量角器上对应的读数是度．A BC D O三、解答题1、如图，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD ，BD 的长.2． 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是BD 的中点，CE ⊥AB 于 E ，BD 交CE 于点F ．（1）求证：CF ﹦BF ；（2）若CD ﹦6， AC ﹦8，则⊙O 的半径为 ，CE 的长是 ．3、如图，A ，P ，B ，C 是半径为8的⊙O 上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，（1）求证：△ABC 是等边三角形； A CBDE FO（2）求圆心O到BC的距离OD．4、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．5、如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．24.1 圆（第四课时）--------圆周角知识点1.圆上相交2.相等一半相等一定相等直角直径3.圆内接多边形这个多边形的外接圆互补一、选择题1.C2.D3.C4.C5. C6.C7、A8、C二、填空题1．150°2．25°3.60°4. 40° .5、20°6、57、50° 8.239、30°10、144°三、解答题1、A B CD O2222222BC AB AC 1068cm CD ACBACD BCD 45AD BDAD BDBD AB 100100AD BD 52cm 2∴∠∠︒∴=-=-=∠∴∠=∠=︒∴=∴=+==∴===解：AB 是O 的直径ACB=ADB=90在Rt ABC 中,AB=10cm,AC=6cm,平分在Rt ADC 中,AB=10cmAD 2．解：(1) 证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ﹦90° 又∵CE ⊥AB ， ∴∠CEB ﹦90° ∴∠2﹦90°－∠A ﹦∠1又∵C 是弧BD 的中点，∴∠1﹦∠A ∴∠1﹦∠2,∴ CF ﹦BF ﹒(2) ⊙O 的半径为5 ， CE 的长是524﹒3、解：（1）在△ABC 中，∵∠BAC=∠APC=60°，又∵∠APC=∠ABC ，∴∠ABC=60°， ACB D E FO 1 2∴△ABC是等边三角形；（2）∵△ABC为等边三角形，⊙O为其外接圆，∴O为△ABC的外心，∴BO平分∠ABC，∴∠OBD=30°，∴OD=8×12=4．4、证明：（1）∵OD⊥AC OD为半径，∴CD AD，∴∠CBD=∠ABD，∴BD平分∠ABC；（2）∵OB=OD，∴∠OBD=∠0DB=30°，∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA=90°，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，BC=12 AB，∵OD=CD ADAB，∴BC=OD．5、（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D；（2）解：设BC=x，则AC=x﹣2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴（x﹣2）2+x2=42，解得：x1=1+，x2=1﹣（舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∵CD=CB，∴CE=CB=1+．。
24.1 圆（第三课时 ）--------- 弧、弦、圆心角知识点1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角2、定理：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 ，它们所对应的其余各组量也分别 。
一、选择题1．如果两个圆心角相等，那么（ ）A ．这两个圆心角所对的弦相等;B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D ．以上说法都不对2.下列语句中不正确的有（ ）①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧A.3个B.2个C.1个D.以上都不对3.已知、是同圆的两段弧，且=2，则弦AB 与CD 之间的关系为（ ）A.AB=2CDB.AB<2CDC.AB>2CDD.不能确定4. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C ，D 是BE 上的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE 是（ ）A ． 40° B. 60° C. 80° D. 120 °OED C B A5、如图，半圆O 的直径AB=10cm ，弦AC=6cm ，AD 平分∠BAC ，则AD 的长为（ ）． cm ． cm cmA.4B.82C.24D.16二、填空题1.已知圆O 的半径为5,弦AB 的长为5,则弦AB 所对的圆心角∠AOB = .2. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，BC ⌒ =BD ⌒ ,∠A=25°， 则∠BOD= .OD CBA3.在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆周的41，圆的半径等于12，则圆心角∠AOB ＝ ；弦AB 的长为 .4.如图，在⊙O 中，AB AC ，∠B =70°，则∠A 等于 ．5．如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=___ _____．6. 等腰△ABC 的顶角∠A ＝120°，腰AB ＝AC ＝10，△ABC 的外接圆半径等于 .A三、解答题 1、如图，在⊙O 中 ,AB =AC ,∠ACB=60°，求证∠AOB＝∠BOC＝∠AOC .2、如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ．（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE=OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？为什么？∠AOB 与∠COD 呢？D3．如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N •在⊙O 上．（1）求证：AM =BN ；（2）若C 、D 分别为OA 、OB 中点，则AM MN NB ==成立吗？BA4．如图，∠AOB=90°，C 、D 是AB 三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F ，求证：AE=BF=CD ．5、如图，以⊙O 的直径BC 为一边作等边△ABC,AB 、AC 交⊙O 于D 、E,求证：BD=DE=ECO F E D C24.1 圆（第三课时 ）--------- 弧、弦、圆心角知识点1.圆心2.相等 相等一、选择题1．D2.C 下列语句中不正确的有（ ）①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧A.3个B.2个C.1个D.以上都不对3.B 已知、是同圆的两段弧，且=2，则弦AB 与CD 之间的关系为（ ）A.AB=2CDB.AB<2CDC.AB>2CDD.不能确定4. C 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C ，D 是BE 上的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE 是（ ）A ． 40° B. 60° C. 80° D. 120 °OED C B A5、A6.B二、填空题1. 60°2.50°3.90°, 122 .4. 40° ．5．36. 10 三、解答题1∠︒∴∴∴∠∠∠、证明：AB=AC,ACB=60ABC 是等边三角形AB=AC=BCAOB=AOC=BOC2、D解：（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE=OF理由是：∵∠AOB=∠COD∴AB=CD∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD∴AE=12AB ，CF=12CD ∴AE=CF又∵OA=OC∴Rt △OAE ≌Rt △OCF∴OE=OF（2）如果OE=OF ，那么AB=CD ，AB =CD ，∠AOB=∠COD理由是：∵OA=OC ，OE=OF∴Rt △OAE ≌Rt △OCF∴AE=CF又∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD∴AE=12AB ，CF=12CD ∴AB=2AE ，CD=2CF∴AB=CD∴AB =CD ，∠AOB=∠COD3．（1）连结OM 、ON ，在Rt △OCM 和Rt △ODN 中OM=ON ，OA=OB ，∵AC=DB ，∴OC=OD ，∴Rt △OCM ≌Rt △ODN ，∴∠AOM=∠BON ，∴AM NB =（2）AM MN NB ==BA4．AOFE DC连结AC 、BD ，∵C 、D 是AB 三等分点，∴AC=CD=DB ，且∠AOC=13×90°=30°， ∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA=75°，又∠AEC=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°， ∴AE=AC ，同理可证BF=BD ，∴AE=BF=CD5,OEC ∴∠∠︒∴∴∠︒∠︒∴∠︒∠∠︒∴∠∠∠∴、证明：连接OD 、OEABC 是等边三角形B=C=60OB=OD,OE=OCOBD是等边三角形是等边三角形BOD=60,EOC=60DOE=180-BOD-EOC=60BOD=DOE=EOCBD=DE=EC。
九年级数学下练习题（圆的基本性质）一、 填空题：（21分）1、如图，在⊙O 中，弦AB ∥OC ，115AOC ∠=︒，则BOC ∠=_________2、如图，在⊙O 中，AB 是直径，15C ∠=︒，则BAD ∠=__________3、如图，点O 是ABC ∆的外心，已知40OAB ∠=︒，则ACB ∠=___________（（（44、如图，AB 是⊙O 的直径，弧BC=弧BD ，25A ∠=︒，则BOD ∠= ． 5、如图，⊙O 的直径为8，弦CD 垂直平分半径OA ，则弦CD ＝ ．6、已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB ＝2cm ，P 点为弦AB 上一动点，则线段OP 的范围是 ．7、如图，在⊙O 中，∠B=50º，∠C=20º，则∠BOC 的=____________（5题图） （6题图） （7题图） （二、解答题1题） 二、解答题（70分）1、如上图4，AB 是⊙O 的直径. (1)若OD ∥AC ，与 的大小有什么关系？为什么？ (2)把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由.2、已知：如图，在⊙O 中，弦AB=CD.求证：⑴弧AC=弧BD ； ⑵∠AOC=∠BOD3、如图，已知：⊙O 中，AB 、CB 为弦，OC 交AB 于D ，求证：（1）∠ODB>∠OBD ，BBBDCA（2）∠ODB =∠OBC ；4、已知如图,AB 为⊙O 的弦,半径OE 、OF 分别交AB 于点C 、D ，且AC=BD 。
求证：CE=DF5、已知如图，，AB 、AC 为弦，OM ⊥AB 于M ，ON ⊥AC 于N ，MN 是△ABC 的中位线吗？6、已知⊙O 中，M 、N 分别是不平行的两条弦AB 和CD 的中点，且AB = CD ， 求证：∠AMN=∠CNM7、已知如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，DF 、BE 是弦，且DF=BE ，CDC求证：∠D=∠B8、已知如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，CD ⊥AB 于D ，CE 平分∠DCO ，交⊙O 于E ， 求证：弧AE=弧EB9、已知如图，以等腰△ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交另一腰于F ，交底边BC 于D ，则BC 与DF 的关系，证明你的观点。
圆的定义、垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习1. 如下图，已知CD 是⊙O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若∠D 的度数是50o ，则∠C 的度数是（ ）A ）50oB ）40oC ）30oD ）25o第1题图 第2题图 第4题图2. 如上图，两正方形彼此相邻,且大正方形内接于半圆，若小正方形的面积为16cm 2，则该半圆的半径为（ ）．A ） (45)+ cmB ） 9 cmC ） 45cmD ） 62cm 3. ⊙O 中，M 为的中点，则下列结论正确的是( )A ．AB >2AM B ．AB =2AMC ．AB <2AMD ．AB 与2AM 的大小不能确定4. 如上图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A ，点B ，点A 的坐标为（0，3），M 是第三象限内上一点，，则⊙C 的半径为（ ） A. 6 B. 5 C 3 D.5. 如下图，P 为⊙O 的弦AB 上的点，PA =6，PB =2，⊙O 的半径为5，则OP =______．第5题图 第6题图 第7题图6. 如上图，扇形的半径是cm 2，圆心角是︒40，点C 为弧AB 的中点，点P 在直线OB 上，则PCPA +的最小值为 cm 7. 如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB=6，点C 是优弧上一点（不与A 、B 重合），则的值为 .8. 圆的一条弦长等于它的半径，求这条弦所对的圆周角的度数为： .OB BMO ∠=12032AB cos C9. 如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，O 点在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=________°.第9题图 第10题图 第11题图10. 如图，点D 为边AC 上一点，点O 为边AB 上一点，AD =DO .以O 为圆心，OD 长为半径作半圆，交AC 于另一点E ，交AB 于点F ，G ，连接EF .若∠BAC =22º，则∠EFG =_____.11. 如图，以原点O 为圆心的圆交x 轴于点A 、B 两点，交y 轴的正半轴于点C ，D 为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = _____________．12. 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于E ，若AB =2DE ，∠E =18°，求∠C 及∠AOC 的度数．13. 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于E 点，BE =1，AE =5，∠AEC =30°，求CD 的长．14. 如图，AB 为⊙O 的弦，C 、D 为弦AB 上两点， 且OC=OD ,延长OC 、OD 分别交⊙O 于E 、F ，证明：AE=BF.FE DOBAC15.已知：如图，P是∠AOB的角平分线OC上的一点，⊙P与OA相交于E，F点，与OB相交于G，H点，试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论．16.已知：⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别为2，3，求∠BAC的度数．17.已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离．18.已知：△ABC的三个顶点在⊙O 上，AB=AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为7cm，求:AB的长.19.⊙O的直径为10，弦AB=8，连接弦AB的中点C与⊙O上一动点M作线段CM，求线段CM的范围.．20.如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF AD1)证明：E 是OB 的中点； 2)若8AB =，求CD 的长．21. 如图，射线PG 平分∠EPF ，O 为射线PG 上一点，以O 为圆心，10为半径作⊙O ，分别与∠EPF两边相交于A 、B 和C 、D ，连结OA ，此时有OA ∥PE . 1)求证：AP ＝AO ；2）若弦AB ＝12，求tan∠OPB 的值；3）若以图中已标明的点（即P 、A 、B 、C 、D 、O ）构造四边形，则能构成菱形的四个点为，能构成等腰梯形的四个点为 或 或 .22. 如图，内接于⊙O ，过点的直线交⊙O 于点，交的延长线于点，且AB 2=AP ·AD（1） 求证：；（2） 如果，⊙O 的半径为1，且P 为弧AC 的中点，求AD 的长.23. 如图，内接于⊙O ，过点的直线交⊙O 于点，交的延长线于点，且AB 2=AP ·ADABC △A P BC D AB AC =60ABC ∠=ABC △A P BC D OP DC B A（1）求证：；（2）如果，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长.24.如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是BF的中点，AD⊥BC于D，a)求证：AD =12BF.AB AC=60ABC∠=B。
九年级数学上册圆⼼⾓与圆周⾓练习题 九年级数学上册圆⼼⾓与圆周⾓的练习积累越多，掌握越熟练。
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九年级数学上册圆⼼⾓与圆周⾓练习题⽬ ⼀、选择题 1.在同圆中，同弦所对的圆周⾓ ( )A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.互余 2.3-63所⽰，A，B，C，D在同⼀个圆上，四边形ABCD的两条对⾓线把四个内⾓分成的8个⾓中，相等的⾓共有 ( )A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 3.3-64所⽰，⊙O的半径为5，弦AB，C是圆上⼀点，则∠ACB的度数是. 4.四边形 ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为( )A.50°B.80°C.100°D.130° 5.是中国共产主义青年团团旗上的案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是( )A.180°B.15 0°C.135°D.120° 6.下列命题中，正确的命题个数是( ) ①顶点在圆周上的⾓是圆周⾓; ②圆周⾓度数等于圆⼼⾓度数的⼀半; ③900的圆周⾓所对的弦是直径; ④圆周⾓相等，则它们所对的弧也相等。
A、1个B、2个C、3个D、4个 ⼆、填空题 7.3-65所⽰，在⊙O中，∠AOB=100°，C为优弧ACB的中点，则∠CAB= 8.3-66所⽰，AB为⊙O的直径，AB=6，∠CAD=30°，则弦DC= . 9.3-67所⽰，AB是⊙O的直径，∠BOC=120°，CD⊥AB，求∠ABD的度数. 10.已知AB是⊙O的直径，AD ∥ OC弧AD的度数为80°，则∠BOC=_________ 11.⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD则中和∠1相等的⾓有______。
12.弦AB的长等于⊙O的半径，点C在AB上，则∠C的度数是________-. 三、解答题 13.3-68所⽰，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，以AB为直径的半圆分别交AC，BC于D，E，O为圆⼼，求∠DOE的度数. 14.(2014年天津市，第21题10分)已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D. (Ⅰ)①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长; (Ⅱ)②，若∠CAB=60°，求BD的长. 15.3-70所⽰，在⊙O中，AB是直径，弦AC=12 cm，BC=16 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AD的长. 16.3-71所⽰，AB是半圆O的直径，C是半圆上⼀点，D是 AC的中点，DH⊥AB，H是垂⾜，AC分别交BD，DH于E，F，试说明DF=EF. 九年级数学上册圆⼼⾓与圆周⾓练习题答案 1.C 2.C 3.60°[提⽰：3-72所⽰，作OD⊥AB，垂⾜为D，则BD sin∠BOD BOD=60°，∴∠BOA=120°，∴∠BCA BOA=60°.故填60°.] 4.分析：因为∠BOD=100°，所以∠C=50°，所以∠A=130°，因为圆内接四边形的对⾓互补。
圆的基本性质第一节 圆 第二节 圆的轴对称性 第三节 圆心角 第四节 圆周角 第五节 弧长及扇形的面积 第六节 侧面积及全面积 六大知识点：1、圆的概念及点与圆的位置关系2、三角形的外接圆3、垂径定理4、垂径定理的逆定理及其应用5、圆心角的概念及其性质6、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 【课本相关知识点】1、圆的定义：在同一平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O ，另一端点P 所经过的 叫做圆，定点O 叫做 ，线段OP 叫做圆的 ，以点O 为圆心的圆记作 ，读作圆O 。
2、弦和直径：连接圆上任意 叫做弦，其中经过圆心的弦叫做 ， 是圆中最长的弦。
3、弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做 。
小于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。
4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆5、点与圆的三种位置关系：若点P 到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，则：点P 在⊙O 外 ；点P 在⊙O 上 ； 点P 在⊙O 内 。
6、线段垂直平分线上的点 距离相等；到线段两端点距离相等的点在 上7、过一点可作 个圆。
过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。
8、过 的三点确定一个圆。
9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。
三角形的外心是三角形三条边的【典型例题】【题型一】证明多点共圆例1、已知矩形ABCD ，如图所示，试说明：矩形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 在同一个圆上【题型二】相关概念说法的正误判断例1、（甘肃兰州中考数学）有下列四个命题：① 直径是弦；② 经过三个点一定可以作圆；③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④ 半径相等的两个半圆是等弧。
九年级圆的垂径定理与圆心角圆周角的大题精选(含答案)九年级圆的垂径定理与圆心角圆周角的大题精选（含答案）圆的性质大题一、解答题（共25小题）1.如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H。
1）当∠B+∠D=90°时，求证：H是CD的中点。
证明：∠B+∠D=90°，∠B=90°-∠D，又∠ADC=90°（直径所对的角为直角），所以∠___∠B，因此三角形ADC与三角形BDC相似，所以BD/DC=DC/BD，即BD²=DC²，所以BH=HD，即H为CD的中点。
2）若H为CD的中点，且CD=2，BD=√3，求AB的长。
连接OH，由勾股定理得OH=√3，又因为H为CD的中点，所以CH=1，从而CO=√3+1，又AO=CO，所以AB=2AO=2(√3+1)。
2.如图，∠BAC=60°，AD平分∠___于点D，连接OB、OC、BD、CD。
1）求证：四边形OBDC是菱形。
证明：由角平分线定理得∠OAD=∠OBD，又∠OAB=∠OBA=30°，所以∠OBD=30°，又∠OCD=∠OAD=30°，所以∠___∠OCD，所以BD=CD，又∠___∠OCD=30°，所以∠___∠OBC，所以三角形OBD与三角形OBC全等，所以OB=OC，又∠___∠OCD=30°，所以OB=BC，所以四边形OBDC是菱形。
2）当∠BAC为多少度时，四边形OBDC是正方形？当∠BAC=90°时，∠___∠OCD=45°，所以BD=CD，又∠___∠OCD=45°，所以OB=BC，所以四边形OBDC是正方形。
3.如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=84°，AE交⊙O于点B，且AB=OB，求∠A的度数。
由圆心角的性质得∠ACB=2∠A，又∠ACB=90°，所以∠A=45°，所以∠EAB=∠OAB-∠OAE=45°-42°=3°，又∠___∠OAB=45°，所以∠DBA=∠OBD-∠OBA=45°-3°=42°，所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-42°=93°。
