第六讲 相似原理与量纲分析(练习题)

[量纲分析]习题习题1、量纲是否就是单位，两者之间有什么关系？2、“Dimension”一词包含什么涵义？说说它的历史演变。

3、自由落体问题有哪几种提法？各有哪些基本量和导出量？4、从物理上分析摆锤质量与单摆周期无关的原因。

5、求谐振子的自振频率。

6、从量纲幂次式的讨论中得到的偏导数关系，求出量纲函数的最终表达式。

7、查阅基尔比契夫提出的“相似三定理”说的是什么？它与π定理的说法不同，哪种说法更为本质？8、从隐函数法证明π定理。

9、求盛水容器底侧的小孔出流速度。

10、若溢洪道的断面为三角形，讨论溢洪流量。

11、分析定常管流问题中的摩擦系数和总管阻；并问什么情况下可不考虑密度的影响？说明其物理原因。

12、能否用水洞做机翼的模型实验，或用风洞做潜艇的模型实验？如果可以，问尺寸和速度的缩比范围？13、作船舶润湿面积的量纲分析。

14、轴承问题中是否应该考虑惯性力的作用？说明理由。

15、用量纲分析法求小球在粘性流体中下落最终速度和粘性阻力（结果与Stokes公式对照）。

16、什么条件下可以不考虑表面张力对水波波速的影响，从物理上做简单分析。

17、讨论两端固定的梁在分布载荷作用下的挠度。

18、讨论悬臂梁在自重作用下的最大挠度与梁长的关系。

19、讨论方形空心简支梁的挠度分布，若用实心梁来模拟，要求符合什么条件？20、什么样的结构物质需要考虑重力的作用？21、调查一下国内做结构物的重力效应实验的离心机有多大，写出主要参数。

22、求有限弹性体的固有周期。

23、弹性体中体波的传播有无色散现象，说说物理原因？24、杆径对杆中弹性波波速起什么物理作用？25、求两块平板正面相撞引起的弹性波的波速（与有关弹性波书中的结果作对比）。

26、若硬度计的压头不是锥形而是球形，可否分析硬度和强度在什么条件下成正比？27、什么是几何相似？什么是几何相似率？举例说明。

28、相似率是否一定要求几何相似？为什么？29、估计和比较几种典型金属材料中弹性变形和热传导的传播时间。

流体力学（量纲分析和相似原理）历年真题试卷汇编1(总分：62.00，做题时间：90分钟)一、判断题请判断下列各题正误(总题数：6，分数：12.00)1.(武汉大学2009年考研试题)雷诺相似准则其主要作用力是紊动阻力。

（分数：2.00）A.正确B.错误2.(武汉大学2008年考研试题)雷诺相似准则考虑的主要作用力是粘滞阻力。

（分数：2.00）A.正确B.错误3.(武汉大学2007年考研试题)佛洛德数F r可以反映液体的惯性力与重力之比。

（分数：2.00）A.正确B.错误4.(天津大学2003年考研试题)凡是正确反映客观规律的物理方程式，必然是一个齐次量纲式。

（分数：2.00）A.正确B.错误5.(河海大学2007年考研试题)如果两个液流中作用于相应点上的相同性质的力的大小成一定比例，且方向一致，则两个液流就是动力相似的。

（分数：2.00）A.正确B.错误6.(河海大学2006年考研试题)将物理量压强△p、密度ρ、流速V组成的无量纲数为△p／ρV。

（分数：2.00）A.正确B.错误二、解答题(总题数：3，分数：6.00)7.(东南大学2003年考研试题)试用开定理推导圆柱绕流阻力D的表达式。

已知圆柱直径为d，来流流速为U 0，流体的密度为ρ，流体的动力粘滞系数为μ。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 8.(湖南大学2007年考研试题)在风速为8m／s的条件下，在模型上测得建筑物模型背风面压强为一24N／m 2，迎风面压强为+40BN／m 2。

试估计在实际风速为10m／s的条件下，原建筑物背风面和迎风面的压强为多少?（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 9.(中国石油大学2005年考研试题)通过汽轮机叶片的气流产生噪声，假设产生噪声的功率为P，它与旋转速度w，叶轮直径D，空气密度ρ，声速c有关，试证明汽轮机噪声功率满足：P=ρw 2D 5f(wD／c)。

1、下面四种有关流体的质量和重量的说法，正确而严格的说法是。

A:流体的质量和重量不随位置而变化B:流体的质量和重量随位置而变化C:流体的质量随位置变化，而重量不变D:流体的质量不随位置变化，而重量随位置变化答案:D2、单位质量力的量纲是( )A:L*T-2B:M*L2*TC:M*L*T(-2)D:L(-1)*T答案:A3、一密闭容器内下部为密度为的水，上部为空气，空气的压强为p0。

若容器由静止状态自由下落，则在下落过程中容器内水深为h处的压强为：A:B:C:0D:答案:B4、液体受到表面压强p作用后，它将_____地传递到液体内部任何一点。

A:毫不改变B:有所增加C:有所减小D:只传压力不传递压强答案:A5、变直径管，直径D1=320mm，D2=160mm，流速v1=1.5m/s，v2为( ) A:3m/sB:4m/sC:6m/sD:9m/s答案:C6、欧拉运动微分方程在每点的数学描述是：( )A:流入的质量流量等于流出的质量流量B:单位质量力等于加速度C:能量不随时间而改变D:服从牛顿第二定律答案:D7、不可压缩气体流动时，下述论述中正确的为（）A:总压线、势压线及位压线总是沿程下降的；B:总压线、势压线及位压线均可能沿程有升有降C:总压线及位压线总是沿程下降的，势压线沿程可能有升有降D:总压线沿程总是下降的，势压线与位压线沿程可能有升有降答案:D8、水力半径是( )A:湿周除以过水断面积B:过水断面积除以湿周的平方C:过水断面积的平方根D:过水断面积除以湿周答案:D9、在孔口外接一管嘴，管嘴的出流量比同样断面积的孔口出流量大，其主要原因是_______。

A:管嘴阻力增加；B:管嘴收缩系数增大；C:管嘴收缩断面处产生了真空；D:孔口收缩断面处产生了真空。

答案:C10、串联管路作为长管计算，忽略局部水头损失与流速水头则( )A:测压管水头线与管轴线重合B:测压管水头线与总水头线重合C:测压管水头线是一条水平线D:测压管水头线位于总水头线上方答案:B。

水力学（量纲分析与相似原理）-试卷1(总分：64.00，做题时间：90分钟)一、判断题请判断下列各题正误。

(总题数：2，分数：4.00)1.模型中测得闸孔收缩断面处的平均流速v m =1．5m／s，采用的长度比尺λi =25，则原型中收缩断面处的平均流速v p =7．5m／s。

( )（分数：2.00）A.正确√B.错误解析：2.沿程水头损失系数λ的量纲与谢才系数C的量纲相同。

( )（分数：2.00）A.正确B.错误√解析：二、单项选择题(总题数：4，分数：8.00)3.单项选择题下列各题的备选答案中，只有一个是符合题意的。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：4.水流在紊流粗糙区时，要做到模型与原型流动的重力和阻力相似，只要模型与原型的相对粗糙度相等，进行模型设计时就可用______。

( )（分数：2.00）A.雷诺相似准则B.佛汝德相似准则√C.欧拉相似准则D.韦伯相似准则解析：5.佛汝德相似准则考虑起主导作用的力是_______。

( )（分数：2.00）A.重力√B.表面张力C.黏滞阻力D.紊动阻力解析：6.雷诺相似准则考虑起主要作用的力是_______。

( )（分数：2.00）A.重力B.压力C.黏滞阻力√D.紊动阻力解析：三、填空题(总题数：6，分数：12.00)7.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：8.某模型按雷诺相似准则设计，模型长度比尺λl =10，选用的模型液体与原型相同。

若测得模型某断面平均流速v m =100cm／s，则原型中相应的平均流速v p =_____。

相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是物理学中常用的分析方法。

这两个方法都可以帮助我们简化和理解复杂的物理问题，并从中得到有用的结论。

相似原理是指在某些情况下，两个或多个物理系统在某些方面具有相似性。

通过找到这些相似性，我们可以将一个物理问题转化为另一个更简单的问题，并从中得到有关原问题的信息。

量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。

在量纲分析中，我们将物理量表示为其单位的乘积，例如长度（L）、质量（M）和时间（T）。

通过对物理方程中各项的量纲进行分析，我们可以得到物理问题的量纲关系。

现在让我们更详细地讨论这两种方法。

首先，我们来看看相似原理。

相似原理的核心思想是，如果两个物理系统具有相似的形状、相似的流动条件和相似的物理特性，那么它们在某些方面具有相似性。

这种相似性可以通过无量纲参数来描述。

无量纲参数是一个相对于单位的比率或比值，因此在不同的物理系统中具有相同的值。

通过选择适当的无量纲参数，我们可以把一个复杂的问题转化为一个简单的问题。

例如，假设我们想研究飞机的气动性能。

我们可以选择无量纲参数如升力系数（Cl）、阻力系数（Cd）和升阻比（Cl/Cd），来描述飞机的飞行特性。

通过比较不同飞机的这些无量纲参数，我们可以得出有关它们性能优劣的结论。

相似原理的应用非常广泛。

它常用于流体力学、热传导和振动等领域的问题研究。

通过利用相似原理，我们可以设计模型实验来研究某一问题，从而避免对真实系统进行复杂和昂贵的实验。

接下来，我们来谈谈量纲分析。

量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。

在物理方程中，各个物理量的量纲必须相等。

这就是说，物理方程中各项的量纲必须保持平衡。

通过量纲分析，我们可以得到物理问题的一些量纲关系。

这些量纲关系可以帮助我们推导出物理方程中的无量纲参数，并进一步简化问题。

例如，假设我们要研究物体自由落体的运动规律。

我们可以通过对物理量的量纲进行分析，得到物体自由落体的无量纲形式。

《力学实验原理与技术》复习提纲 （参考）第一章 相似准则与量纲分析1. 相似的概念2. 相似准则的理论推导3. 相似准则介绍 4． 量纲分析1.1 相似的概念1. 回顾相似的概念：三角形相似如果两个三角形的三组对应边成比例那么这两个三角形相似。

模型试验中如何选择风洞参数？力学相似▪ 几何相似▪ 运动相似 ▪动力相似热相似2. 力学相似(1) 几何相似定义：模型的边界形状和原型的边界形状相似δL 模型比尺，Ly 原型的特征长度，Lm 模型的特征长度思考题1: 几何相似＝几何尺寸相似？ （2）运动相似δv 速度比尺，Vy 原型某点的速度，Vm 模型对应点的速度。

推导：几何相似δt 思考题2: 运动相似＝速度矢量图相似？（3）动力相似∙ 定义：大小成比例。

表达式：力的比尺：推导加速度比尺：力的比尺思考3：几何相似和运动相似是否为动力相似的必要条件？（4）热相似定义：原型流动和模型流动中对应点（微元）的温度成比例，热流量方向相同、大小成比例。

表达式：本节小结• 力学相似－－几何相似、运动相似 、动力相似及边界和初始条件相似； • 动力相似 在流体力学实验中是基本的相似准则1.2 相似准则的理论推导模型流场原型流场与模型流场相似的条件: 选δL 为长度比尺，δv 速度比尺。

δt 、δp 、δρ、δν分别为时间、密度、压力、粘度的比尺：将这些相似条件代入原型流场微分方程用δv2/δL1R e vLν-=1.3 相似准则介绍1. 相似准则的概念相似准则－－满足上述无量纲组合量，则两个流动相似。

因此这些数成为判断两个流动之间相似的判据，称为相似准则（相似参数、相似判据）；相似准则数－－可作为相似判据的无量纲数。

相似准则数都是有物理含义。

v v ','',v v '',',','L L t p x x y y u u t t p p ρνδδδδδρδρδνδν⎧==⎪==⎨⎪====⎩相似准则数的推导：由微分方程或由作用力定义。

相似原理与量纲分析在物理学和工程学领域中，相似原理和量纲分析是两个非常重要的概念。

它们可以帮助我们理解和解决各种复杂的问题，从流体力学到结构力学，从热传导到电磁场，都可以用相似原理和量纲分析来进行分析和研究。

首先，让我们来看看相似原理。

相似原理是指在某些条件下，两个物体或系统在某些方面具有相似性质。

这种相似性质可以是几何形状、运动状态、流动特性等。

通过相似原理，我们可以将一个复杂的问题简化为一个相似的简单问题，从而更容易地进行分析和解决。

例如，在流体力学中，我们可以利用相似原理将实际的飞机机翼模型缩小到实验室中进行风洞测试，从而得到与实际飞机飞行状态相似的流场特性。

接下来，让我们来了解一下量纲分析。

量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理现象的方法。

在自然界中，存在着很多不同的物理量，它们之间可能存在着某种关系。

通过量纲分析，我们可以找到这些物理量之间的关系，并且可以得到一些重要的结论。

例如，在热传导问题中，通过量纲分析可以得到热传导方程中的无量纲参数，从而可以简化和统一热传导问题的分析和解决方法。

相似原理和量纲分析在工程实践中有着广泛的应用。

例如，在设计新型飞机时，我们可以利用相似原理来进行风洞测试，从而验证飞机的飞行性能；在设计新型建筑结构时，我们可以利用量纲分析来研究结构的受力特性，从而优化结构设计。

这些方法不仅可以帮助我们更好地理解和解决实际工程中的问题，还可以节约时间和成本，提高工程设计的效率和质量。

总之，相似原理和量纲分析是物理学和工程学中非常重要的概念，它们可以帮助我们简化复杂问题，找到物理量之间的关系，从而更好地理解和解决各种实际问题。

在工程实践中，我们可以充分利用这些方法来提高工程设计的效率和质量，推动科学技术的发展。

希望大家能够深入学习和理解这些方法，将它们运用到实际工程中，为社会发展做出更大的贡献。

第6章 相似理论和量纲分析----习题参考答案(6原为5)6.1 解：贮水箱贮水主要受重力作用，所以动力相似的条件为傅汝德数相等。

即：v =，m p v v ==v C =又 =⨯流量速度面积522m m m Q v S v l l p p p Q v S C C C C C C Q v S =====因 33333///p m m m mQ l t p p p p m t Q l t l C C C Q l t l t ====则 532/llt C C C =， 12mt l pt C C t ==求得实物贮水箱贮水的时间为12/460min p m lt t C ===6.2 解：依题意只计重力影响，可得动力相似的条件为傅汝德数相等。

即：v =，m v v v ==, 已知 21400l S C C ==， 则 120l C =， 所以模型长度为 160 3 m 20m p l l l C ==⨯=，船速为6 1.34 m/s m v =≈. 6.3 解：由量纲分析推得汽车所受的阻力为：22(Re)R v l f ρ=两流动若要动力相似，它们的雷诺数必须相等，即 由p pm mpmv l v l νν=，已知16m l p l C l ==，p m ννν==得：16p m l mp v l C v l === 又 222222221mpp p p pm m m m R v l v l R v l v lρρ===，于是得原型的阻力为：510p m R R ==N 。

6.4 解：(1)与兴波阻力有关的相似准数为傅汝德数。

由v =， 已知 3700010.28 m/s 3600p v =≈，船模速度 (拖车速度)为10.28 1.88 m/s m v v =≈≈； (2) 由兴波阻力系数相等： 22221122p m p p m m R R v l v l ρρ=，得：223310.1930275130 N p p p p m m m m m v l l R R R v l l ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6.5 解： 已知25e v =m/s ，30e m h h ==m ，/1/6m e g g =。

水力学（量纲分析与相似原理）-试卷1(总分：64.00，做题时间：90分钟)一、判断题请判断下列各题正误。

(总题数：2，分数：4.00)1.模型中测得闸孔收缩断面处的平均流速v m =1．5m／s，采用的长度比尺λi =25，则原型中收缩断面处的平均流速v p =7．5m／s。

( )（分数：2.00）A.正确√B.错误解析：2.沿程水头损失系数λ的量纲与谢才系数C的量纲相同。

( )（分数：2.00）A.正确B.错误√解析：二、单项选择题(总题数：4，分数：8.00)3.单项选择题下列各题的备选答案中，只有一个是符合题意的。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：4.水流在紊流粗糙区时，要做到模型与原型流动的重力和阻力相似，只要模型与原型的相对粗糙度相等，进行模型设计时就可用______。

( )（分数：2.00）A.雷诺相似准则B.佛汝德相似准则√C.欧拉相似准则D.韦伯相似准则解析：5.佛汝德相似准则考虑起主导作用的力是_______。

( )（分数：2.00）A.重力√B.表面张力C.黏滞阻力D.紊动阻力解析：6.雷诺相似准则考虑起主要作用的力是_______。

( )（分数：2.00）A.重力B.压力C.黏滞阻力√D.紊动阻力解析：三、填空题(总题数：6，分数：12.00)7.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：8.某模型按雷诺相似准则设计，模型长度比尺λl =10，选用的模型液体与原型相同。

若测得模型某断面平均流速v m =100cm／s，则原型中相应的平均流速v p =_____。

流体力学（量纲分析和相似原理）历年真题试卷汇编1(总分：62.00，做题时间：90分钟)一、判断题请判断下列各题正误(总题数：6，分数：12.00)1.(武汉大学2009年考研试题)雷诺相似准则其主要作用力是紊动阻力。

（分数：2.00）A.正确B.错误2.(武汉大学2008年考研试题)雷诺相似准则考虑的主要作用力是粘滞阻力。

（分数：2.00）A.正确B.错误3.(武汉大学2007年考研试题)佛洛德数F r可以反映液体的惯性力与重力之比。

（分数：2.00）A.正确B.错误4.(天津大学2003年考研试题)凡是正确反映客观规律的物理方程式，必然是一个齐次量纲式。

（分数：2.00）A.正确B.错误5.(河海大学2007年考研试题)如果两个液流中作用于相应点上的相同性质的力的大小成一定比例，且方向一致，则两个液流就是动力相似的。

（分数：2.00）A.正确B.错误6.(河海大学2006年考研试题)将物理量压强△p、密度ρ、流速V组成的无量纲数为△p／ρV。

（分数：2.00）A.正确B.错误二、解答题(总题数：3，分数：6.00)7.(东南大学2003年考研试题)试用开定理推导圆柱绕流阻力D的表达式。

已知圆柱直径为d，来流流速为U 0，流体的密度为ρ，流体的动力粘滞系数为μ。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 8.(湖南大学2007年考研试题)在风速为8m／s的条件下，在模型上测得建筑物模型背风面压强为一24N／m 2，迎风面压强为+40BN／m 2。

试估计在实际风速为10m／s的条件下，原建筑物背风面和迎风面的压强为多少?（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 9.(中国石油大学2005年考研试题)通过汽轮机叶片的气流产生噪声，假设产生噪声的功率为P，它与旋转速度w，叶轮直径D，空气密度ρ，声速c有关，试证明汽轮机噪声功率满足：P=ρw 2D 5f(wD／c)。

相似原理和量纲分析习题第三节流动相似条件流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理量都成⽐例。

相似流动必然满⾜以下条件：1．任何相似的流动都是属于同⼀类的流动，相似流场对应点上的各种物理量，都应为相同的微分⽅程所描述；2．相似流场对应点上的各种物理量都有唯⼀确定的解，即流动满⾜单值条件；3．由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流动相似也必须满⾜的条件。

模型实验主要解决的问题：1．根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模型，选择流动介质；2．在实验过程中应测定各相似准则数中包含的⼀切物理量；3．⽤数学⽅法找出相似准则数之间的函数关系，即准则⽅程式。

该⽅程式便可推⼴应⽤到原型及其他相似流动中去。

第四节近似模拟试验完全相似和不完全相似动⼒相似可以⽤相似准则数表⽰，若原型和模型流动动⼒相似，各同名相似准数应均相等，如果满⾜则称为完全的动⼒相似。

但是事实上，不是所有的相似准数之间都是相容的，满⾜了甲，不⼀定就能满⾜⼄。

所以通常考虑主要因素忽略次要因素，只能做近似的模型实验。

例如：粘滞⼒相似：由得重⼒相似：由得由此可以看出，有时要想做到完全相似是不可能的，只能考虑主要因素做近似模型实验。

以相似原理为基础的模型实验⽅法，按照流体流动相似的条件，可设计模型和安排试验。

这些条件是⼏何相似、运动相似和动⼒相似。

前两个相似是第三个相似的充要条件，同时满⾜以上条件为流动相似，模型试验的结果⽅可⽤到原型设备中去。

在⼯程实际中的模型试验，好多只能满⾜部分相似准则，即称之为局部相似。

如上⾯的粘性不可压定常流动的问题，不考虑⾃由⾯的作⽤及重⼒的作⽤，只考虑粘性的影响，则定性准则只考虑雷诺数Re，因⽽模型尺⼨和介质的选择就⾃由了。

有压粘性管流中，当雷诺数⼤到⼀定数值时，继续提⾼雷诺数，管内流体的紊乱程度及速度剖⾯⼏乎不再变化，沿程能量损失系数也不再变化，雷诺准则已失去判别相似的作⽤。

称这种状态为⾃模化状态，称⾃模化状态的雷诺数范围为⾃模化区。

例5-1 有一直径为15cm的输油管，管长5m，管中要通过的流量为0.18m3/s ,现用水来作模型试验，当模型管径和原型一样，水温为10℃（原型中油的运动粘度νp= 0.13cm2/s ），问水的模型流量应为多少时才能达到相似？若测得5m长模型输水管两端的压差为3cm，试求在5m 长输油管两端的压差应为多少（用油柱高表示）？解（1）因为圆管中流动主要受粘滞力作用，所以应满足雷诺准则，即两者的雷诺数相等由于d p=d m，故上式可写成或将已知条件νp= 0.13cm2/s ，νm= 0.0131cm2/s代入上式，得即当模型中流量Q m为0.0181m3/s时，原型与模型相似。

（2）由于已经满足雷诺准则，故两者的欧拉数也会自动满足已知，则原型输油管的压强差为也可以写成这里，引入了A p=A m(d p=d m)及g p=g m。

所以，5m长输油管的压差油柱为例5-2 长度比λL=50的船舶模型，在水池中以1m/s的速度牵引前进时，则得波浪阻力为0.02N。

求（1）原型中的波浪阻力；（2）原型中船舶航行速度；（3）原型中需要的功率？解由于重力在起主要作用，所以原型和模型的弗劳德数应相等。

即由于由于g p=g m，故上式可写成所以或例5-3 :设有油罐，直径d为4m，油温t为20℃，已知油的运动粘度νp=0.74cm2/s ，长度比λL采用4左右，试进行下面各项研究：（1）选定何种相似准则？（2）模型流体的选定？（3）各项比例的计算。

解（1）油自油管流出，自由表面受重力作用，由于油的粘度较大，故又受粘性力的作用。

因此，重力和粘性力都是重要作用力，所以，这里的相似准则应该选定同时满足雷诺数和弗劳德数。

（2）由于n正好等于0.0925cm2/s的流体极难找到，所以只好挑选一些近似的流体。

现在选用20℃的59%的甘油溶液，其运动粘度0.0892cm2/s，与计算值很接近，但在试验过程中要保持20℃的温度。