量纲分析和相似原理

5.1 量纲分析 流体力学常用物理量的量纲
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5.1 量纲分析 量纲齐次性原理：完整物理方程中各项的量纲必须相同。 以单位重量的流体沿流线能量守恒形式的伯努利方程为例
V2 p z const 2g g
方程左边各项的量纲依次为
V 2 L2T 2 dim L 2 2 g LT
Finer V 2l 2 Fr 3 gl Fgra g V
③ 弗劳德数
④ 韦伯数
V 2l V 2l 2 Finer We l Fsur
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5.1 量纲分析
V V V 2l 2 Finer Ma 22 a k l Fela k ⑥ 毛细数 V Vl Fvis Ca l Fsur
Fgra mg g l 3
表面张力
Fsur l
弹性力
Fela kA kl 2
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5.1 量纲分析 （3）流体力学中常见的无量纲数组
① 雷诺数
Vl V 2l 2 Finer Re Vl Fvis ② 欧拉数
Fpre p pl 2 Eu 2 2 2 V V l Finer
解得a3=0, b3=0,c3=-1, 故 l 3 d
4 M 0 L0t 0 (ML3 )a 4 (Lt 1 )b4 (L)c4 (L)
解得a4=0, b4=0,c4=-1, 故
4

d
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5.1 量纲分析 （5）所解问题用无量纲数表示的方程为
p l F , , , 0 2 V Vd d d l p F , , 上述公式还可以写成 1 2 V Vd d d
对于给定长度和直径的管道
进行适当的变换后有
p l F2 , 2 V d Vd d p V 2 l F2 , g 2 g d Vd d
2 p V l 令 F2 则 , g 2g d Vd d ——达西公式。为沿程阻力系数。
b c nm x1a x2 x3 xn
nm nm nm
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5.1 量纲分析 应用白金汉定理求某现象的无量纲数组的方法步骤： （1）列与该物理现象相关的全部n个变量
（2）找出基本量纲，设为m个 （3）从n个变量中选出包含全部基本量刚的m个基本变量 （4）用基本变量与其它的任一个变量组成无量纲方程，并解出 n-m 个无量纲数组 （5）利用无量纲数组建立描述该现象的方程
【例5-1】 不可压粘性流体在圆管道内流体流动的压降p与 下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗糙度ε 、管内流体密度、 流体的动力粘度 ，以及断面平均流速v有关。试用定理推出 压降p的表达形式。
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5.1 量纲分析 【解】（1）该流动现象共有7个变量p, d, l, ε, , , v （2）基本量刚为L， M，t，所以m=3 （3）选出m=3个基本变量： 、v 、d （4）组成n-m=4个无量纲数组，求解
无量纲量数组的组成方式：在n个变量中取m个量纲不同的量作 为基本变量，并把基本变量与其它变量中的一个组成数组，共组 成（n-m）个无量纲数组，例取x1,x2,x3 为基本变量，则数组为：
b c 1 x1a x2 x3 x4
1 1 1
b c 2 x1a x2 x3 x5 ………..
2 2 2
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5.1 量纲分析 3. Π 定理的几点说明 （1）无量纲数组的特性 ① 对于确定的物理现象，无量纲数组个数是固定的
但是形式上不是唯一的 ② 无量纲数的算术运算的结果仍是无量纲数
（2）作用在流体上的力 惯性力 黏性力 压力 重力
2 V Finer ma l 3 V 2l 2 l du V Fvis A A l 2 Vl dy l 2 Fpre pA pl
dim z L
p ML1T 2 dim L 3 2 g ML LT
对于量纲齐次的方程用方程中的任一项去除其它项，可以使方 程无量纲化，从而减少方程的变量个数。 2
5.1 量纲分析 2. Π 定理（白金汉定理） 对于某个物理现象或过程，如果可以用n个变量来描述，写 成数学表达式为：f(x1,x2,x3,…,xn)=0, 而这些变量含有m个基本 量纲，则该现象可以用(n-m)个无量纲量数组的表达式来描述， 即 F(1,2, … n-m)=0
1 a1V b1d c1p
2 a 2V b 2 d c 2
3 V d l
a3 b3 c3
4 a 4V b 4 d c 4
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将上述表达式写成量纲形式
1 M 0 L0t 0 (ML3 )a1 (Lt 1 )b1 ( L)c1 (ML1t 2 )
（1）几何相似（空间相似） ——两流动的对应边长成同一比例，对应角相等。
线性比例系数 面积比例系数
l' 基本比例常数 l A ' l '2 CA 2 Cl2 A l Cl
解得a1=-1, b1=-2,c1=0, 故
p 1 V 2
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5.1 量纲分析
2 M 0 L0t 0 (ML3 )a 2 (Lt 1 )b2 (L)c 2 (ML1t 1 )
解得a2=-1, b2=-1,c2=-1, 故 2 Vd
3 M 0 L0t 0 (ML3 )a3 (Lt 1 )b3 (L)c3 ( L)
⑤ 马赫数
（4）量纲分析的物理意义
简化试验方案 物理量量纲的推导 校验方程 确定相似试验条件
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5.2 相似原理与模型实验 1. 相似的概念 为使模型流动能表现出实型流动的主要现象和特性，并从 模型流动上预测出实型流动的结果，就必须使两者在流动上相 似，即两个互为相似流动的对应部位上对应物理量都有一定的 比例关系。