第五章量纲分析和相似原理

Ρ ρ,ρ rho 电阻系数（小写）
∑ ζ,s sigma 总和（大写），表面密度；跨导（小写） Φ φ phi 磁通；角 Ψ ψ psi 角速；介质电通量（静电力线）；角 Ω ω omega 欧姆（大写）；角速（小写）；角
补充资料
A α 阿尔法 B β 贝塔 Γ γ 伽玛 Δ δ 德尔塔 Ε ε 伊普西隆 Ζ δ 泽塔 Μ κ 米欧 Νλ纽 Ξ μ 克西 Ο ν 欧米克隆 ∏π派 Ρξ柔 ∑ ζ 西格玛 Τη陶
对于不可压缩流体运动，则选取M、L、T三个基本量纲，其 他物理量量纲均为导出量纲。 速度 dimv=LT-1； 力 dimF=MLT-2； 加速度 dima=LT-2 动力粘度 dimκ=ML-1T-1
综合以上各量纲式，可得任一物理量q的量纲dimq都可用3
个基本量纲的指数乘积形式表示。
补充资料
1
2
n
据量纲和谐原理 [L]: 有: [T]: [M]: a = a1 1 ＋ a2 2 +……+an n b = b1 1 ＋ b2 2 +……+bn n c = c1 1 ＋ c2 2 +……+cn n
解出： 1 ， 2 ， 3 ， …….. n
（4）举例：已知影响水泵输入功率的物理量有：水的
2、量纲的分类：
（1）基本量纲（独立量纲） ——不能用其它量纲导出的、互相独立的量纲。 长度量纲： [L] 如： 质量量纲： [M] 时间量纲： [T] 温度量纲： [Θ] （2）导出量纲（非独立量纲）
如： 速度量纲： [ L T –1] ； 流量量纲： [ L3 T –1] 。
——可由基本量纲导出的量纲。
2
1 =1
+
3
2 = －2 1 + 3 －3 = －2 1－
2
2 =1 3 =1
+ 0
故得： N = k γ Q H
[M L2T -3] = [M L-2T -2]α1 [L3T -1]α2 [L]α3
例7-1 已知作用在做匀速圆周运动物体上的离心力 F ， 与物体的质量 m 、速度 v 和圆周半径 R 有关，试用瑞 利法推导离心力公式。
b c 1 x1a x2 x3 x4
1 1 1
b c 2 x1a x2 x3 x5 ………..
2 2 2
b c nm x1a x2 x3 xn
nm n m n m
（2）m 个相互独立量纲的物理量选择：
一般可选 3个（m=3），通常分别选几何学物 理量、运动学物量、动力学物理量各一个。此法一 般可满足量纲相互独立。
[解] 根据已知条件，离心力可以写成以下指数形式
F Kma v b R c
根据量纲和谐性，有
dim F MLT
2
K M LT L
a 1 b
c
M :1 a
L :1 b c
a 1
T : 2 b
b2 c 1
F Kmv 2 / R
b ≠ 0， c ≠ 0 时：

为运动学量纲。
3> 当 a ≠ 0， b ≠ 0， c ≠ 0 时：
为动力学量纲。
4、无量纲量（纯数、无因次量）： （1）定义：当量纲公式中各量纲指数均为零，即a=b=c=0时, 则dimq=1 ，这个物理量即无量纲量。 ①可以由两个具有相同量纲的物理量相比得到； ②也可以由几个有量纲物理量乘积组合，使组合 量的量纲指数为零得到。 （2）特点： 1> 客观性。 2> 其大小与所选单位无关，不受运动规模的限制。 3> 除能进行简单的代数运算外，也可进行对数、 指数、三角函数等超越函数运算。
重度γ ， 流量Q，扬程 H 。求水泵输入功率N
的表达式。 1> 其指数关系式： N k 1 Q 2 H 3
2> 量纲表达式： [M L2T -3] = [M L-2T -2]α1 [L3T -1]α2 [L]α3
3> 据量纲的和谐原理有：
[M]： [L]： [T]：
1=
1
+0 + 0
L:-a1-b1+3c1-1=0
由此a1=1，b1=1，c1=1。类似有：
π2= △ /(υa2Db2ρc2 )
π3=g/(υa3Db3ρc3）
a3=2， b3=-1， c3=0
可得： a2=0， b2=1， c2=0 （4）整理方程式：
即
解得：
常用沿程损失公式形式为：
——称沿程阻力系数，具体由实验决定。
根据， 都可用于一定条件下流动现象的描述，这些 公式孰是孰非，无所适从。量纲分析方法可以从量 纲理论作出判别和权衡，使其中的一些公式从纯经 验的范围内解脱出来。
（3）应用量纲分析方法得到的物理方程式，是否符合客观
规律和所选入的物理量是否正确有关。而量纲分析方 法本身对有关物理量的选取却不能提供任何指导和启 示，可能由于遗漏某一个决定性的物理量，造成方程 中出现累赘的量纲量。这种局限性是方法本身决定的。 弥补它，需要已有的理论分析方法和实验成果，要依 靠研究者的经验和对流动现象的观察认识能力。
连续性方程 伯努利方程 动量方程
v1 A1 v2 A2
2 p1 1v12 p2 2 v2 z1 z2 hw g 2g g 2g
F Q( v
2 2
1v1 )
1、定义 —— 凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲 必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能
例3：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差△p与下列变量有关： 管径d,ρ ,υ ,l,μ ,管壁粗糙度△，试求△p的表达式。 解：（1）找出有关物理量 F（d,ρ,υ,l,μ,△,△p）=0
（2）选基本量，组成π 项。基本量d,ρ ,υ , n=7, m=3, π 数n-m=4个
（3）决定各π项基本量指数 对π1：
2、π定理（布金汉定理）
——是改进了的量纲分析法，可用于物理量相对
较多的情况。
（1）基本原理： 设某一物理过程包含 n个物理量： f (x1，x2，……，xn) =0，
其中有 m 个为基本量（量纲独立，不能相互导出的物理 量），则该物理过程可由n个物理量构成的 (n- m)个 无量纲 项来描述。
即： F（π1，π1，……，πn-m）= 0
表征几何特性: 管径
等
（3）确定无量纲量π的方法： 1> 从 n 个物理量中选出 m 个相互独立的基本量；
2> 由 m 个基本量纲冪的乘积作为分母，未列入基
本量纲的其它各物理量分别作为分子，设分子 分母量纲相同，即可求得无量纲量π。
如 m=3，
π1 = x4 /(x1α1 x2β1 x3γ1) π2 = x5 /(x1α2 x2β2 x3γ2 )
对π 2：
同理得 ：
（4）整理方程式 设
l f 4 (Re, )
则
l v2 h d 2g
关于量纲分析方法的几点讨论：
（1）量纲分析法的理论基础是量纲和谐原理。
（2）量纲和谐原理是判别经验公式是否完善的基础。19 世纪，量纲分析原理未发现之前，水力学中积累了
不少纯经验公式，每一个经验公式都有一定的实验
用L0M0T0表示，实际是一个数，但与单纯的数不 一样，它是几个物理量组合而成的综合物理量，如 相似准则数：
LT L dim Re 2 1 1 LT
1
L dim J 1 L
二、量纲和谐原理
量纲和谐原理是指在一个反映客观规律的物理方程式中，各 项的量纲必须是一致的，它是被无数事实所证明的一个客观 原理。
x1 , x2 , x3 必须相互独立
dim x1 La1T b1 M c1
dim x2 La2 T b2 M c2
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 0 c3
dim x3 L T M
a3 b3
c3
表征流体物性：密度 、粘度 等
d 、管长 l 等 表征运动特性：速度 v 、重力加速度g
成立。量纲和谐原理是量纲分析的基础。
2、量纲的主要特性： （1）量纲与物理量的特性有关，与物理量的大小无关； （2）一个物理量只有一个量纲，不同的量纲不可相加减； （3）一个正确的物理方程其量纲必须和谐一致。
3、量纲分析的具体应用：
（1）量纲分析法 ——即应用量纲的和谐原理，来推求各物理量 之间的函数关系的方法。 （2）应用： 1> 检查所建立的物理方程是否正确； 2> 可用于同一量纲的单位换算； 3> 确定各物理量之间的合理形式； 4> 设计系统实验及分析实验结果。
y, x1 , x2 , x3 …… ,xn
可用函数式： y = f (x1 , x2 , x3 …… ,xn ) 表示。
写成指数形式：
y k x1 x 2 x n
1
2
n
量纲表示式：
dim y dim( x1 x2 x n )
LaT b M c [ La1T b1 M c1 ]1 [ La2 T b2 M c2 ] 2 [ Lan T bn M cn ] n
则有：
……
πn-3 = xn /(x1α（n-3） x2β（n-3） x3γ（n-3）) 3> 按量纲和谐原理求得各指数，即可得出π的具体表达式。
4> 举例：
例2：管中紊流，单位管长沿程水头损失hf/L，取决于下列因素：流速 υ ,管径D，重力g，粘度μ，管壁粗糙度△和密度ρ，试用π定理分 析确定方程的一般形式。
Η ε 伊塔
Θ ζ 西塔 Θ η 约塔
Υ υ 玉普西隆