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水力学第六章相似原理及量纲分析

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2020/4/5
16
第一章 绪论
1.3 作用在液体上的力
1.3.1 表面力定义
表面力是作用于液体的表面上的力，是相邻液体 或其他物体作用的结果，通过相互接触面传递。
表面力按作用方向可分为： 压力： 垂直于作用面。 切力： 平行于作用面
lim p
P
A0 A
lim
T
A0 A
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17
第一章 绪论
2020/4/5
1
第一章 绪论
第1章 绪 论 第2章 水静力学 第3章 液体运动学 第4章 水动力学基础 第5章 流动阻力和水头损失 第6章 量纲分析与相似原理 第7章 孔口、管嘴出流和有压管流 第8章 明渠均匀流 第9章 明渠非均匀流 第10章 堰流及闸孔出流 第11章 渗流
2020/4/5
2
第一章 绪论
11
第一章 绪论
Isaac Newton(1642-1727)
➢ Laws of motion
➢ Laws of viscosity of Newtonian fluid
2020/4/5
12
第一章 绪论
19th century
Navier (1785-1836) & Stokes (1819-1905)
N-S equation
viscous flow solution
Reynolds (1842-1912) 发现紊流（Turbulence） 提出雷诺数（ReynoldsNumber）
2020/4/5
13
第一章 绪论
20th century
Ludwig Prandtl (1875-1953) Boundary theory(1904)

量纲分析和相似原理

量纲分析和相似原理

（3）确定无量纲量π的方法： 1> 从 n 个物理量中选出 m 个相互独立的基本量； 2> 由 m 个基本量纲冪的乘积作为分母，未列入基 本量纲的其它各物理量分别作为分子，设分子
分母量纲相同，即可求得无量纲量π。
如 m=3，
π1 = x4 /(x1α1 x2β1 x3γ1)
π2 = x5 /(x1α2 x2β2 x3γ2 )
3、量纲分析的具体应用： （1）量纲分析法 ——即应用量纲的和谐原理，来推求各物理量 之间的函数关系的方法。 （2）应用： 1> 检查所建立的物理方程是否正确； 2> 可用于同一量纲的单位换算； 3> 确定各物理量之间的合理形式； 4> 设计系统实验及分析实验结果。
三、量纲分析法 1、瑞利法： （1）特点： 可直接利用量纲一致原则进行量纲分析； （2）适用范围： 方程中物理量较少（一般4～5个），各量纲 间的关系较易确定。
（2）表达式：
1> 时间比尺： 2> 速度比尺： λ t= t p / t m λv = vp / v m=λl /λt
3> 加速度比尺：
（3）意义：
λa= ap / am=λl /λt2 =λv2 /λl
运动相似是模型实验的真正目的。
3、动力相似 ——指两个流动对应点上受到同名力的作用， 力的方向相同、大小成比例。 （1）条件： 1> 几何相似； 2> 对应点上同物理性质的力方向相对应， 大小成比例。
（2）选基本量，组成π 项。基本量d,ρ ,υ , n=7, m=3, π 数n-m=4个
（3）决定各π项基本量指数 对π1：
对π 2 ：
同理得 ：
（4）整理方程式 设
f 4 (Re,

水力学 第六章 量纲分析和相似原理

水力学 第六章 量纲分析和相似原理
量纲归类：
几何学量纲：0，=0，=0 运动学量纲：0，0，=0
动力学量纲：0，（0或=0 ），0
6、无量纲数或称量纲为1（纯数，如相似准数）：
=0，=0，=0，即 [x] = [1]。 特点： （1）无量纲单位，它的大小与所选单位无关；
（2）普适性。
2012-12-30 水力学基础 5
（三）本章的内容用于解决以下问题
1、定性分析：建立各相关参数间的关系。 2、指导试验：针对所建立的定性关系（公式结构形式），对无量纲系数进 行实验，形成定量关系。 3、模型实验设计——相似准数与相似律
2012-12-30 水力学基础 2
第六章 量纲分析和相似理论
北京工业大学市政工程系
二、定性分析与实验量化
(i 1,2,3, n m )
4）确定无量纲参数：由量纲和谐原理解联立指数方程，求出
各项的指数a1，a2，….，am；从而定 出各无量纲参数。
5）写出描述现象的关系式
f( 1 , 2 , n - m ) 0
或显解一个参数，如：
2012-12-30
1 f( 2 , 3 , n - m )
第六章量纲分析和相似理论北京工业大学市政工程系第六章量纲分析和相似原理2020720水力学基础本章内容一概述二定性分析与实验量化一量纲和单位二量纲和谐原理三量纲分析法四实验量化三相似准数与模型实验一基本概念二相似准数方程三模型相似律相似准则的适用本章小结第六章量纲分析和相似理论北京工业大学市政工程系2020720水力学基础一流体力学研究问题的方法1解析法
（1） 确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量，如管道流体输送中 单位长度的压强损失：
p F (u, D, , , ) L

水力学第六章 量纲分析和相似原理

水力学第六章 量纲分析和相似原理
• 2 定理
任何一物理过程，包括有量纲物理量 k+1 个： x1, x2 ,, xk1 ；
而在这些物理量中的基本物理量为 m 个，于是就可以把这些量排
列成 k+1—m 个独立的无因次参数 1, 2 ,, k1m 。 f (x1, x2 , x3, xk1) f1(1, 2 , 3, k1m ) 定理应用依赖于理论分析和实验研究。
流动的动力相似，要求同名力作用，相应的同名力成比例。 同名力成比例
Fp Gp Tp Pp S p E p I p Fm Gm Tm Pm Sm Em I m
在水流实验中主要有
Fp Fm
Gp Gm
Tp Tm

Pp Pm

Ip Im
或 F
G
T
P
I
§6-2 相似原理 • 2运动相似
要求两流动的相应流线几何相似，或相应点的流速大小成比例，方向相同。
时间比尺
t

tp tm
速度比尺
up um
lp /tp lm / tm
l t
u
加速度比尺
a
up /tp um / tm
u t
l t2
§6-2 相似原理 • 3动力相似
• ②糙率相似；
• ③流动尽可能处于阻力平方区；
• ④模型对最小水深的要求(表面张力影响)；
• ⑤模型应遵守的规范。
hm0.05m
本章小结： 1量纲和谐原理。 2流动相似概念，几何、运动、动力相似。 3相似准数，雷诺准数，弗汝德准数。 本章无习题，熟悉基本概念 例6－1的推导过程。
以压力表示
Fp Fm

Ep Em

《水力学》课件——第六章 量纲分析与相似理论

《水力学》课件——第六章 量纲分析与相似理论

• 物理过程的有量纲表达形式为 f (x1, x2,", xn ) = 0 ，其中 m 个物
理量的量纲被选为基本量纲，余下 n-m 个物理量可各自与这m
个物理量组合成无量纲量 1, 2,", ， 定理的结论是：物理
过程的无量纲表达形式为 F(
1,
nm
2,", n m =
)0
例 初速为零的自由落体运动位移s
形）得到流动的相似准数：
斯特劳哈尔数
S UT
t
L
弗劳德数
Fr U gL
欧拉数
P
En
U2
雷诺数
Re UL
它们分别是时变惯性力、重力、压差力、粘性力相似的准数。
斯特劳哈尔数
UT St L
表征
位变惯性力 时变惯性力
雷诺数
R UL e
表征
位变惯性力
弗劳德数
Fr U gL
表征 位变惯性力
欧拉数
P
En
U2
粘性力 表征
• 应用 定理要点（也是难点）在于：确定物理过程涉及的物
理量时，既不能遗漏，也不要多列。
ห้องสมุดไป่ตู้6—2 相似理论
一. 流动相似概念
• 本节在量纲分析基础上，讨论两个规模不同的不可压流体流
动的相似问题。这是进行有关流体力学模型试验时必须面对的 问题。
• 几何相似：流场几何形状相似，相应长度成比例，相应角度
• 在两个相似
流动中，对应 的无量纲量是 相同的。
• 不可压流体的流动都受N-S方程的控制，那么
我们怎样来保证两个不同规模的流动是相似的 呢？两个相似的不可压流体流动的无量纲解应 是相等的，这意味着控制流动的无量纲方程和 无量纲边界条件和初始条件应是完全一样的。

第6章 量纲分析及相似理论

第6章 量纲分析及相似理论

同 一 介 质 情 况 下
流速比尺
u l1

u l
流量比尺
时间比尺 力的比尺
Q l
T l2
Q l2.5
.5 T 0 l
0 l
F
F
3 l
6.4.3
模型设计应注意的问题
通过以上介绍可知，进行物理模拟一般无法满足全部相似 条件，必须忽略一些影响小的因素，设法满足最基本的最重要 的条件，因此，模型中的物理现象也只能在一定范围内与原型 的物理现象相似。 所以，次要因素就必须关注，即成为水工模型应用限制条件。

0.5 l
力的比尺： F l2u2 l2 (l0.5 )2 l3 l3
6.4.2
粘滞力起主导作用的水流模型
粘滞力起主导作用的流动，保证原型和模型的雷诺德 数相等，按雷诺准则设计模型。 u l 1 若用同一介质 1 u l 1
3 L g
2 2 u L
u u 1 gL p gL m g L
2 u
2 2
弗劳德数
Fr
v gh
( Fr )p ( Fr )m
6.3.3 粘滞力相似准则（雷诺准则）
当作用力主要为粘滞力时： T A du
dy
du p Ap dy p T u L du m Am dy m
T F uL
u L 1
雷诺数
2 2 u L
uL uL p m
Re
vL

( Re )p ( Re )m
6.3.4 欧拉准则 当作用力主要为压力时：

水力学第六章 量纲分析与相似原理

水力学第六章 量纲分析与相似原理

gJ l3
以
T
代替式

F l2v2
1中的，则有
g J l3 1 l2v2
即
v2 1
gJ l
因为 J hf
l ，hf

l d
v2 2g
，所以 J

v2 ，将 l g
值代
J
入上式，得
1
即
P m
表明，要保证原型与模型在阻力作用下流动相似， 必须使原型与模型相应流段上的沿程阻力系数相等。
c、可用来建立物理方程式的结构形式。为科学的组 织实验过程、整理实验成果提供理论指导。
6.1.3 量纲分析法及其应用
量纲分析法：依据量纲和谐原理，从量纲的规律性入 手来推求物理量之间的函数关系，从而找到物体的运动 规律。
量纲分析法
瑞利法 π定理
1、π定理
若某一物理过程包含有 x1, x2 , , xn 等n个物理量

1
量纲一的量
特点：
几个有量纲 物理量组合
如
Re vd v


A u3dA v3 A
（1）无量纲量的大小与所选单位无关，具有客观性；
（2）不受运动规模的影响，模型与原模型常用同一无
量纲数。
6.1.2 量纲和谐原理
量纲和谐原理:正确、完整地反映客观规律的物理方 程，其各项的量纲都必须是相同的。
的指数i、i、 i
。
（5）整理方程，写出该物理过程的函数关系式
F 1,2 ,nm 0
选择基本变量的原则： 1)基本变量与基本量纲相对应。 2）选择基本变量时，应选择重要的变量。 3）不能有任何两个基本变量的量纲是完全一样的， 换言之，基本变量应在每组量纲中只能选择一个。

工程流体力学 第6章 相似理论和量纲分析

工程流体力学 第6章 相似理论和量纲分析
FESTO气动中心
第6章 相似理论和量纲分析
2020年1月10日
FESTO气动中心
6.1 量纲分析
量纲的概念 量纲齐次性原理 量纲分析法
2020年1月10日
FESTO气动中心
6.1 单位和量纲
• 物理量——物理现象中有关的各种变量称为物理量。物理 量是用数值和单位表示的。
时间t的单位：秒、分、小时等。
由量纲齐次性知，等式两边各基本量纲的指数应分别相等，于是有
2020年1月10日
FESTO气动中心
ab 1 a 3b c d 1 a c 2
三个方程有四个未知数，为此任意指定一个未知量为待定指数，如选 a为 待定指数，则可从上式解出
于是有
b 1a c 2a d 2a
CS

lm2
l
2 p
Cl2
体积比尺
CV

lm3
l
3 p
Cl3
长度比尺是基本比尺，面积比尺和体积比尺
是导出比尺。导出比尺与基本比尺的关系为
导出物理量量纲与基本物理量间的关系。
2020年1月10日
FESTO气动中心
2.运动相似
——流动的速度场相似。即满足几何相似的两系统
对应瞬时、对应点上的速度方向相同，大小成同一
比例。
速度比尺
Cv

vm vp
时间比尺 加速度比尺
Ct

tm tp
lm / vm lp / vp Nhomakorabea
Cl Cv
Ca

am ap

vm / tm vp / tp
Cv Ct
Cv2 Cl
2020年1月10日

相似理论与量纲分析

相似理论与量纲分析
因此
运动相似需要建立在几何相似基础上.因此 运动相似只需确定时间比例系数 就可以 了。故运动相似也就被称之为时间相似 。
运动学物理量的比例系数都可以表示为长度比 尺和时间比尺的不同组合形式。
如：
的单位是m2/s Q的单位是m3/t
三 动力相似（受力相似）
定义：两流动的对应点上质点所受F的方 向相同,大小成比例。 引入力比例系数
解： 首先根据流动性质确定决定性相似 准则数，这里选取Re作为决定性相似 准则数，Rem=Rep，即CvCl/C=1， 再根据决定型相似准数相等，确定几个 比尺的相互约束关系，这里C=1，所 以 Cv=Cl-1，由于Cl=lp/lm=3/2，那么 Cv=vp/vm=1/Cl=2/3 最后得到风洞实验段内的气流速度应该 是
(4）
求解方程（1） M: 1=0 T: 1=0 L: -3 1+ 1+1+1=0 → 1= -1
所以 1=l/d 求解方程（2） M: 2=0
T: 2=0 L: 1-3 2+ 2+2=0 → 2= -1
▪ 所以 2= /d
求解方程（3） M: 1+3=0 → 3= -1 T: -1-3=0 → 3= -1 L: -1-3 3+ 3+3=0 → 3=
9.4.4量纲分析法
对于复杂的流动,常用量纲分析法和实验相结合 进行研究。 量纲分析法是根据量纲齐次性原理寻求物理量 之间函数关系的一种方法，也可以得出相似准 则。
量纲分析法有两种：雷利法和π定理
雷利法
解题步骤：首先找出影响流动的物理量， 并用它们写出假拟的指数方程；
然后以对应的量纲代替方程中的物理量本 身，并根据量纲和谐性原理求出各物理量 的指数，整理出最后形式。

水力学-第6章相似原理与量纲分析 - 发

水力学-第6章相似原理与量纲分析 - 发
应用量纲和谐原理来探求物理量之间的函数关系的方法 称为量纲分析法。
❖ 量纲分析法有两种： ❖ 一种适用于影响因素间的关系为单指数形式的场合，
称瑞利法； ❖ 另一种具有普遍性的方法，称定理 。
❖
❖ (1) 瑞利法
❖ 如果对某一物理现象经过大量的观察、实验、分析，找出影响 该物理现象的主要因素为y,x1,x2,….,xn,他们之间的函数关系式为
dim LaT b M c
(2-1)
变换基本量纲的指数a,b,c的值，就可表示出不 同性质的导出量纲。
d im La T b M c
❖ 按照基本量纲的指数a、b、c的值，可分为以 下三类：
▪ 如果a≠0，b=0，c=0为几何学量纲
❖ 长度L、面积L2、体积L3、高度L
▪ 如果a≠0，b≠0，c=0为运动学量纲
模拟堰流、明渠流、孔流等式，应选用雷诺模型
本章结束
Fp Fm
plp2vp2 mlm2vm2
l2v2 F F l / v F t 1Fra bibliotek2 l
2 v
3 l
v
mv
动
Ne
F
l2v2
(Ne )p (Ne)m
力 相 似
两个流动的动力相似，归结为牛顿数相等
在相似原理中，量纲一的量，如牛顿数，称相似准数； 动力相似条件（如相似准数相等）称相似准则，作为判断流动是否相似的根据
成比例，方向相同，主要是指两个流动的力场相似。
❖ 如密度比尺，动力粘度比尺，作用力比尺可分别表示为
❖
p m
(2-12)
❖ ❖
p m
(2-13)
❖
❖
F
Fp Fm
(2-14)
• （4）初始条件与边界条件相似

流体力学第六章相似原理与量纲分析

流体力学第六章相似原理与量纲分析
• 物理过程的有量纲表达形式为 f (x1, x2,, xn ) 0 ，其中 m 个物
理量的量纲被选为基本量纲，余下 n-m 个物理量可各自与这m 个物理量组合成无量纲量 1,2,,nm ，定理的结论是：物理 过程的无量纲表达形式为 F(1, 2,, nm ) 0
例 初速为零的自由落体运动位移 s
量纲和谐原理的重要性：
a.一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验 经验公式的 正确性和完整性。
b.量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。
c.可用来建立物理方程式的结构形式。
1. 定理
• 物理过程涉及 n 个物理量，其中有 m 个物理量的量纲是互
相独立的，选这量纲为基本量纲，可组成 n-m 个无量纲量， 物理过程则可由这 n-m 个无量纲量的关系式描述。否则就违反 了量纲和谐原理。
该相同，确定物理量的指数x,y,z,a ，代入指
数方程式即得各物理量之间的关系式。
应用范围：一般情况下，要求相关变量未知
数n小于等于4~5个.
第二节 相似的基本概念
原型：天然水流和实际建筑物称为原型。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）
的代表物，称为模型。 水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑
应点（包括边界上各点）的速度u及加速度a方向相同，且大小
各具有同一比值。 速度比尺： （6-4） 加速度比尺： （6-5）
3.动力相似 动力相似：是指两流动各相应点上流体质点所受的同名力
方向相同，其大小比值相等。 力的比尺：
（6-6）
4.初始条件和边界条件的相似 初始条件：适用于非恒定流。 边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。
流体运动状态的改变是惯性力和其他各种作用力相互作用 的结果。因此，各种作用力之间的比例关系应以惯性力为一方 来相互比较。

非均匀流概念--《水力学》第六章

非均匀流概念--《水力学》第六章

1． 流动特点由于水流重力在流动方向上的分力与阻力不平衡，所以断面流速和水深一般沿程变化，水面线为曲线，水力坡度J 、水面坡度J p 和渠道底坡i 一般互不相等。

2． 流态及其判别不同流态的现象：根据恒定流连续方程和能量方程可推得静水中干扰微波波速得计算公式：h g BAgv w == 比较明渠流实际流速v 和微波波速v w ，可判别流态：当BA g v v w =<时，微波可向上游传播，水流为缓流；当BA g v v w =>时，微波只向下游传播，水流为急流；当BA g v v w ==时，微波只向下游传播，水流为临界流。

通过无量纲数——弗汝德数Fr判别流态：当时，缓流； 当1>Fr 时，急流； 当1=Fr 时，临界流；从量纲分析知，弗汝德数Fr 的力学意义是水流惯性力与重力的比值，重力作用占优势时为缓流，水深流缓；惯性作用占优势时，水浅流急。

3． 断面单位能与明渠流态 断面单位能（断面比能）E s 定义：22222gA Q h gv h E s αα+=+=断面单位能E s 沿程可能增大、减小或不变，这一点与断面单位重量水体的总机械能E （g v h z E 220α++=）不同。

比能曲线——当流量Q 和渠道断面形状大小一定时，断面单位能仅仅是水深h 的函数，)(h f E s =曲线即比能曲线。

为进一步了解比能曲线的变化规律，将E s 对h 取导：2211Fr BAg v dh dE s -=-=α 由此可见断面比能随水深的变化与断面流态的关系。

临界水深h c ——流量、渠道断面形状和大小一定时，相比较实际水深和临界水深判断断面流态：h>h c ；缓流 h<h c ；急流 h=h c ；临界流4．底坡与明渠均匀流流态缓坡上的均匀流为缓流；陡坡上的均匀流为急流。

显然，临界底坡既要满足临界流方程又要满足均匀流基本方程，据此计算临界底坡值。

量纲分析与相似理论

量纲分析与相似理论
11
例：已知过坝的单宽流量q和堰上水头H、水的密度 及重力 加速度g有关，求q的表达式。
(1)将有关影响因素列如下式：
q f ( H、g、 )
（2）写成指数乘积形式，为
q CH a1 g a 2 a3
（3）写成量纲关系式，根据量纲 和谐原理求解指数项：
12
LT
2
1
L ( LT ) (ML )
项。
e.写出描述现象的关系式
F（1， 2，…， n-m）=0
19
3．

定理举例与小结
求文德利管的流量关系（参照图）。影响喉道处流速v2
的因素有：文丘里管进口断面直径D1，喉道断面直径D2， 水的密度，粘度及两个断面间的压强差 p （假设文丘里管 为水平放置），现用 定理来求流量表达式。
26
由上述实例可知，量纲分析法的作用具体体现在： 在仅知与物理过程有关的物理量的情况下，利用量纲和谐原 理即可求出表述该物理过程关系式的基本结构形式，并找出 进一步研究该问题的途径； 而且可使一些纯经验公式具有理论上（量纲和谐性）的形式，
找出继续改进的方向；
同时依靠定理定出的无量纲项，用来作为模型试验的相似准 数及正确处理数据的主要参量。 因此，量纲分析定理在水力学研究和模型试验领域被广泛应用， 成为一个有效的研究手段。
2
x4 x1 1 x21 x31
x5 x1 2 x22 x32
a b c
a
b c
.....，
n 3
xn x1 n 3 x2n 3 x3n 3
18
a
b
c
d.每个 项即是无量纲数，即dim=L0T0M0，因此可根据量纲 和谐原理，求出各 纲

水力学第六章相似原理及量纲分析

水力学第六章相似原理及量纲分析

也称纯数。
基本量与导出量适当组合可以组合成无量纲量。 无量纲量有如下特点：
①量纲表达式中的指数均为零；
②没有单位； ③量值与所采用的单位制无关。 由于基本量是彼此互相独立的，故它们之间不能组成无量纲量
量纲和谐
量纲和谐原理：一个完整正确的物理方程，不仅其等号两边的 数值相等，而且其中各项的量纲也一定相同。 由于物理方程的量纲具有一致性，可以用任意一项去除方程两 边，使方程每一项变为无量纲量，这样原方程就变为无量纲方程。 例如，动能方程 E 1
f N , , Q, H 0
(2)写出指数乘积关系式
N K a Q b H c
（3）写出量纲式：
，
，
[ N ] [ ]a [Q]b [ H ]c
(4) 按式（1），以基本量纲（[M]、[L]、[T]）表示各物理量量纲
M L T
2
3
(M L T ) (L T ) (L) c
量纲和谐原理是量纲分析的基础原理。凡正确反映客 观规律的物理方程，其各项的量纲一定是一致的，这是被 无数事实证实了的客观原理。例如粘性流体运动微分方程 式在x方向的公式:
u x u x u x u x 1 p 2 X u x ux uy uz x t x y z
压强
dim p = M L-1 T-2
有量纲量和无量纲量： 水力学中任何物理量C的量纲可写成 [C]=[ M ][ L ][ T ] 当α、β、γ不全为0时，C称为有量纲量。 当α、β、γ全部为0时，C称为无量纲量或无量纲数。 有量纲量可分为三类： 1、几何学的量，α＝γ＝0，β≠0；
2、运动学的量， α＝0， γ ≠0；
1、量纲
表示物理量的种类，称为这个物理量的量纲（或称因次）。 同一物理量，可以用不同的单位来度量，但只有唯一的量纲。
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压强
dim p = M L-1 T-2
有量纲量和无量纲量： 水力学中任何物理量C的量纲可写成 [C]=[ M ][ L ][ T ] 当α、β、γ不全为0时，C称为有量纲量。 当α、β、γ全部为0时，C称为无量纲量或无量纲数。 有量纲量可分为三类： 1、几何学的量，α＝γ＝0，β≠0；
2、运动学的量， α＝0， γ ≠0；
量纲和谐原理是量纲分析的基础原理。凡正确反映客 观规律的物理方程，其各项的量纲一定是一致的，这是被 无数事实证实了的客观原理。例如粘性流体运动微分方程 式在x方向的公式:
u x u x u x u x 1 p 2 X u x ux uy uz x t x y z
2 2 a 3 1 b
得 (5) 根据量纲和谐原理求量纲指数 [M]： 1 a [L]: 2 2a 3b c
[T]:
得 ：a
3 2a b
， 1
， b
1
c 1
(6) 整理方程式：N KQH K为由实验确定的系数。 求圆管层流的流量关系式。 [解] 圆管层流运动将在下一章详述，这里仅作为量纲 分析的方法来讨论。 (1) 找出影响圆管层流流量的物理量，包括管段两端的 压强差 p、管段长 l、半径 r0 、流体的粘度 。根据经 验和已有实验资料的分析，得知流量 Q与压强差p 成正 比，与管段长 l 成反比。因此，可将 p、l 归并为 项 p l ，得到： f (Q, p l , r0 , ) 0
式中各项的量纲一致，都是 LT 。又如粘性流体总流的伯 努力方程式:
p1 11 p2 2 2 z1 z2 hw g 2 g g 2g
2 2
2
式中各项的量纲均为[L]。凡正确反映客观规律的物理方程，量纲之间的关系均如 此。
第二节 量纲分析法
在量纲和谐原理基础上发展起来的量纲分析法有两种：一 种称瑞利(Rayleigh)法，用于比较简单的问题；另一种称布 金汗（Buckingham，1867~1940） 定理，是一种具有普 遍性的方法。
将量纲式中各物理量的量纲按式(1)表示为基本量纲 的指数乘积形式，并根据量纲和谐原理，确定指数a、b、…p, 就可得出表达该物理过程的方程式。 下面通过例题说明瑞利法的应用步骤。
求水泵输出功率的表达式。
（1）找出同水泵输出功率N有关的物理量，包括单位体 积水的重量
g 、流量Q、扬程H，即：
3、动力学的量， α ≠0。 无量纲量
L dH J , J 1 dL L
1 LT L d Re , Re 1 2 1 L T
无量纲量
dim x L T M 量纲公式
物理量x的性质可由量纲指数α，β，γ来反映。 如α，β，γ有一个不为零，则x为有量纲量。 如α，β，γ均为零，即dim x =L0 T0 M0 = 1,则称x为无量纲量，
f N , , Q, H 0
(2)写出指数乘积关系式
N K a Q b H c
（3）写出量ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ式：
，
，
[ N ] [ ]a [Q]b [ H ]c
(4) 按式（1），以基本量纲（[M]、[L]、[T]）表示各物理量量纲
M L T
2
3
(M L T ) (L T ) (L) c
相似原理与量纲分析
• 1960年10月十一届国际计量大会确定了国际通用的国 际单位制，简称SI制。
• SI制：七个基本单位：长度m，时间s，质量kg，热力 学温度（Kelvin温度）K，电流单位A，光强度单位cad （坎德拉），物质的量mol
• 二个辅助单位：平面角弧度rad，立体角球面度Sr
量纲分析法
2 mv 2 p1 v12 p2 v2 z2 又如，理想流体能量方程：z1 2g 2g
也可改写成
z1 z 2 p1 p 2 v 2 1 2 2 v1 (2 g ) v1 2 v1
2
1 2 E mv 2
可改写为
2

量纲分析法就是应用量纲和量纲和谐来探求物理现象的函数关 系，即建立物理方程的一种方法。
也称纯数。
基本量与导出量适当组合可以组合成无量纲量。 无量纲量有如下特点：
①量纲表达式中的指数均为零；
②没有单位； ③量值与所采用的单位制无关。 由于基本量是彼此互相独立的，故它们之间不能组成无量纲量
量纲和谐
量纲和谐原理：一个完整正确的物理方程，不仅其等号两边的 数值相等，而且其中各项的量纲也一定相同。 由于物理方程的量纲具有一致性，可以用任意一项去除方程两 边，使方程每一项变为无量纲量，这样原方程就变为无量纲方程。 例如，动能方程 E 1
由基本量纲推导出来的量纲，称导出量纲。它可用三个基本量
纲的指数乘积形式来表示。对于任何一个物理量x，其量纲可写作
dim x L T M
（1）
dim x L T M
导出量纲 速度 加速度 密度 力 dim v = LT-1 dim a = LT-2 dim ρ= M L-3 dim F = M L T-2
1、量纲
表示物理量的种类，称为这个物理量的量纲（或称因次）。 同一物理量，可以用不同的单位来度量，但只有唯一的量纲。
在物理量的代表符号前面加“dim” 表示量纲，例如速度v 的量纲表
示为dim v。 量纲可分为基本量纲和导出量纲。
基本量纲必须具有独立性，不能从其它基本量纲推导出来，而
且可以用它来参与表示其它各物理量的量纲。在流体力学中常用长 度、时间、质量（L、T、M）作为基本量纲。
一、瑞利法
瑞利法的基本原理是某一物理过程同几个物理量有关：
f (q1 , q2 , q3 , qn ) 0
其中的某个物理量 qi可表示为其他物理量的指数乘积：
qi Kq1 q2 qn1
a b p
（1）
写出量纲式：
[qi ] [q1 ]a [q2 ]b [qn1 ] p