最新高中数学必修课件-【数学】1.4.3 正切函数的性质与图象

k
2
(k
Z
)
例题分析
例３ 求函数 y tan 3x 的周期.
解： 因为tan(3x ) tan 3x,
即tan3(x+ )=tan3x,
3
这说明自变量 x ,至少要增加 才能重复取得，所以函数 y
3
tan
，函数的值 3x 的周期
是
3
反馈练习：求下列函数的周期：
(1) y 5 tan x 2
⑵ 值域： R
2
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间
( k , k )
2
2
，k Z 内都是增函数。
(6)渐近线方程：x
k
2
,
kZ
(7)对称中心 (kπ,0) 2
问题讨论
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
(1)tan167o 与tan173o
（2）tan(-
11π) 与
4
tan(- 13π) 5
解:(1) 900 1670 1730 1800
y
tan
x在
2
，
上是增函数，
tan1670 tan1730
说明：比较两个正切值大小，关键是把相 应的角 化到y=tanx的同一单调区间内，再 利用y=tanx的单调递增性解决。
3、正切函数 y tan x 是否具有奇偶性？
思考
由诱导公式知
f x tan x tan x f x, x R, x k , k Z
2
正切函数是奇函数.
思考
4、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?

预习测评 1．f(x)＝tan
1 2
x 是(
)
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
【答案】A
(
2．下列点中，不是函数 y＝tan 3x 的图象的对称中心的坐标为 )
π A. ，0 2 3π B. ，0 2 3π C. ，0 4 π D. ，0 3
π (2)由已知得，f5＝asin
π π ＋btan ＋1＝7， 5 5
2．已知函数 y＝tan ωx(ω≠0)在区间(－π，π)上是增函数，求 实数 ω 的取值范围．
解：由函数是增函数可知，ω＞0，由于正切函数 y＝tan x 在 π π － ， 上是增函数且周期为 π，所以由 y＝tan ωx 在区间(－π，π) 2 2 π 上是增函数，可知 y＝tan ωx 的周期大于 2π.于是ω＞2π，得到 0＜ 1 ω＜2.
思路点拨： (1)将两个函数值转化到同一个单调区间内比较； (2)代入函数解析式，再变形求解．
解：
7π 2π 2π (1)因为 tan－ 5 ＝tan－π－ 5 ＝tan－ 5 ， 12π 2π 2π tan － 7 ＝tan －2π＋ 7 ＝tan 7 .
x＋ 3＜0，
π π 而－ 3＜tan x＜1 的解集为 kπ－3＜x＜kπ＋4(k∈Z)，故所求 3π π π 2π 5π 函数的定义域为－4，－ 4 ∪－3，4∪ 3 ， 4 .
知识点 2 正切函数性质的应用 【例 2】
7π 12π (1)利用正切函数的单调性比较 tan－ 5 与 tan－ 7 的大小； π 99π (2)已知 f(x)＝asin x＋b tan x＋1 满足 f ＝7，求 f 的值． 5 5

1.4.3 正切函数的性质与图象
1.能借助单位圆中的正切线画出 y=tan x 的图象. 2.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性,并能应用.
正切函数的图象与性质 (1)图象:如图所示.
正切函数 y=tan x 的图象叫做正切曲线.
(2)性质:如下表所示.
性质
函数
y=tan x
定义域
(1)y=-tan
3
x
3 5
;
(2)y=|tan x|.
分析:(1)利用 T= 求解;(2)画出函数图象利用图象法求解.
|ω|
解:(1)∵ω= ,∴最小正周期 T= =3.
3
3
(2)函数 y=|tan x|的图象是将函数 y=tan x 图象 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折 上去,其余不变,如图所示.
2
4
答案:B
4
函数
y=tan
x
4
的定义域为
.
解析:要使函数有意义,自变量 x 的取值应满足 x+ ≤kπ+ (k∈Z),解得
4
2
x≠kπ+ .
4
答案:x|x
k
π 4
,
k
Z}
5 比较 tan 1,tan 2,tan 3 的大小.
解:∵tan 2=tan(2-π),tan 3=tan(3-π),
错解:∵1+tan x≠0,即 tan x≠-1,
∴x≠kπ-
4
(k∈Z),即
y=
1
1 tanx
的定义域为
x|x
k
π 4
,
k
Z}.
错因分析:错解忽略了 tan x 本身对 x 的限制.

2
∈ ，解得x.
用“基本函数法”求函数＝ tan + (＞，＞)的单调区间、
定义域及对称中心的步骤：
第一步：写出基本函数y＝tan x的相应单调区间、定义域及对称中心；
第二步：将“＋”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；
第三步：解关于的不等式
例 题 讲 解
5
−
11
)
4
=

tan ,
4
2


又 ∵ 0 < < < , 且 = tan 在(0， )是增函数
4 5
2
2

2
∴ tan < tan
4
5
11
13
∴ tan( − ) < tan( − ).
4
5
课 堂 小 结
y tan x
y

2
正切函数： = tan , ∈ R, 且 ≠ + , ∈
5.4.3正切函数的性质与图像
温 故 知 新
问题1：正切函数的定义是什么？
正切函数： = tan
{x | x R , x k

2
, k Z}
问题2：根据研究正弦函数和余弦函数的经验，你认为应该如何研究正
切函数的图象和性质？你能用不同的方法研究正切函数吗？ Nhomakorabea图象→性质
定义
性质
不是轴对称图形，无对称轴

对称中心：( ，0）
2
π
y tan x，x kπ ，k Z
2
x
归 纳 总 结
定义域



x

反三角函数图象特点分析
反正弦函数图象
反正弦函数的图象是一个上凸的 曲线，关于原点对称。在[-1, 1]
区间内，函数值从-π/2增加到 π/2。
反余弦函数图象
反余弦函数的图象是一个下凸的曲 线，关于y轴对称。在[-1, 1]区间 内，函数值从π减少到0。
反正切函数图象
反正切函数的图象是一个单调递增 的曲线，关于原点对称。在实数范 围内，函数值从-π/2增加到π/2。
正切函数定义域及值域
定义域
正切函数的定义域为所有不等于$kpi + frac{pi}{2}$（$k in mathbb{Z}$）的 实数，即正切函数在$frac{pi}{2} + kpi$（$k in mathbb{Z}$）处不存在。
值域
正切函数的值域为全体实数，即$mathbb{R}$。
周期性、奇偶性与单调性
下一讲预告及预习建议
下一讲将介绍正切函数的复合函数及其应用，包括正切型复合函数的图象与性质 等。
预习建议：提前阅读教材相关内容，了解正切型复合函数的基本概念及性质；思 考如何将正切函数与其他基本初等函数进行复合，并尝试画出其图象。
谢谢聆听
声音的传播和反射特性。
经济学中弹性概念引入
01
价格弹性
正切函数可用于描述商品价格变动对消费者需求量的影响程度，即价格
弹性。通过计算价格弹性系数，可以了解市场对价格变动的敏感程度。
02
收入弹性
正切函数还可用于分析消费者收入变化对商品需求量的影响，即收入弹
性。收入弹性反映了消费者对不同商品的购买能力和偏好。
不连续点
正切函数在$frac{pi}{2} + kpi$（$k in mathbb{Z}$）处不 连续，即在这些点上函数值不存在。这些点称为正切函数的 不可导点或间断点。

[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝Atan(ωx＋φ)的周期公式为 T＝ωπ.( × ) (2)正切函数在 R 上是单调递增函数．( × ) (3)正切函数是奇函数，原点是唯一的一个对称中心．( × )
2．下列说法正确的是( ) A．y＝tan x 是增函数 B．y＝tan x 在第一象限是增函数 C．y＝tan x 在某一区间上是减函数 D．y＝tan x 在区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上是增函数
所以函数的定义域为
{x|x∈R 且 x≠kπ－π4，x≠kπ＋π2，k∈Z}.
3－tan x>0 (2)要使 y＝lg( 3－tan x)有意义，需使x≠kπ＋π2k∈Z ，
所以函数的定义域是xkπ－π2<x<kπ＋π3，k∈Z

.

求函数的定义域注意函数中分母不等于 0，真数大于 0，正切 函数中的 x≠kπ＋π2，k∈Z 等问题．
tan2x＋π2＋π3，所以 fx＋π2＝f(x)，所以周期为 T＝π2. 答案：B
类型一 求函数的定义域
例 1 求下列函数的定义域：
(1)y＝1＋1tan
； x
(2)y＝lg( 3－tan x)．
【解析】
(1)要使函数
y＝1＋1tan
有意义， x
1＋tan x≠0， 需使x≠kπ＋π2k∈Z，
函数 y＝tan x 的图象与性质 解析式
图象
y＝tan x
定义域
值域 周期 奇偶性
单调性
x__x_≠__k_π_＋_2π_，__k_∈__Z__ __R__ __π__
__奇__函_数___
在开区间__k_π_－__π2_，_k_π_＋__2π__，_k_∈__Z_上都是增函数

[规律方法] 正切型函数单调性求法与正、余弦型函数求法一 样，采用整体代入法，但要注意区间为开区间且只有单调增区 间或单调减区间．利用单调性比较大小要把角转化到同一单调 区间内．
【活学活用 2】 (1)求函数 y＝3tanπ4－2x的单调递减区间． (2)比较 tan 65π 与 tan－173π的大小．
课堂小结 1．正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为 x＝kπ＋π2，k∈Z， 相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．
2．正切函数的性质 (1)正切函数 y＝tan x 的定义域是xx≠kπ＋π2，k∈Z ，值域是 R. (2)正切函数 y＝tan x 的最小正周期是 π，函数 y＝Atan(ωx＋ φ)(Aω≠0)的周期为 T＝|ωπ |. (3)正切函数在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上递增，不能写成闭区 间．正切函数无单调减区间.
xπ6＋2kπ≤x≤43π＋2kπ，k∈Z

.

(3)令2x－π3＝0，则 x＝23π. 令2x－π3＝π2，则 x＝53π. 令2x－π3＝－π2，则 x＝－π3. ∴函数 y＝tan2x－π3的图象与 x 轴的一个交点坐标是23π，0， 在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是 x＝－π3， x＝53π.从而得函数 y＝f(x)在一个周期－π3，53π内的简图(如图)．
【例 2】 (1)求函数 y＝tan－12x＋π4的单调区间； (2)比较 tan 1、tan 2、tan 3 的大小． [思路探索] (1)可先将原式转化为 y＝－tan12x－π4，从而把12x－π4 整体代入－π2＋kπ，π2＋kπ，k∈Z 这个区间内，解出 x 便可． (2)可先把角化归到同一单调区间内，即利用 tan 2＝tan (2－π)， tan 3＝tan (3－π)，最后利用 y＝tan x 在－π2，π2上的单调性判 断大小关系．

17π － 【解析】tan ＝－tan 4 22π － tan ＝－tan 5
π ， 4
2π ， 5
π π 2π π 2π π ∵－ < < < ，∴tan ＞tan ， 2 4 5 2 5 4 即
17π 22π － tan－ 4 >tan . 5
)
tan 2x 3．函数 f(x)＝ 的定义域为( tan x
kπ A.xx∈R且x≠ 4 ，k∈Z
)
π B. xx∈R且x≠kπ＋4，k∈Z π C. xx∈R且x≠kπ＋2，k∈Z π D.xx∈R且x≠kπ－4，k∈Z

【答案】A
• 正切函数的性质
【例 1】 求函数 间．
【解题探究】 利用正切函数的定义域， 求出函数的定义域， 通过正切函数的周期公式求出周期，结合正切函数的单调增区 间求出函数的单调增区间．
π π y＝tan2x＋3 的定义域、周期和单调区
π π π 1 【解析】由 x＋ ≠ ＋kπ，k∈Z，解得 x≠ ＋2k，k∈Z. 2 3 2 3
1 ∴定义域为 xx≠3＋2k，k∈Z .
π 周期 T＝ ＝2. π 2 π π π π 由－ ＋kπ＜ x＋ ＜ ＋kπ，k∈Z， 2 2 3 2 5 1 解得－ ＋2k＜x＜ ＋2k，k∈Z. 3 3
5 1 ∴函数的单调递增区间为－3＋2k，3＋2k ，k∈Z.
• 【方法规律】运用正切函数单调性比较大小 的方法 • (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同 一单调区间内． • (2)运用单调性比较大小关系．

问：求
y
tan
3x
3
1
的单调区间和对称中心呢？
【练习 1例】题讲【【练练练习习11】】
（1）【已练知习函1数】（（f 11x）） 已已t知a知n函函 数2数xffx3x，tta则ann下列22对xx该3函3数，，性则则质下下的列列描对对述该该中函函数数性性质质的的描描述述中中
（1）不不 A已．正正知确f确函的的x数是是的f（图（ x像不A不 A．关）．正正）于t确fa确f点n的的xx是是2的的23（（x图,图0像像成3关）关）中于，于心点则点对下称列2323,,0对0该成成函中中心数心对性对B称质称．的f 描 x述 的中最小正BB周．．期ff为xx2的的最最小小正正周周
§5.4.3 正切函数的性质
人教版高中数学必修一
【要点整合】
由 由 由任 任 任意 意 意角 角 角三 三 三角 角 角函 函 函数 数 数的 的 的定 定 定义 义 义知 知 知： ： ：
正 正 正切 切 切函 函 函数 数 数 yyy tttaaannn xxx 的 的 的定 定 定义 义 义域 域 域是 是 是 xxx
, 2 2 ]
]
例题讲练
（2）
y
2 tan x 1, 1 tan x
x
4
,
6
例题讲练
（3）
y
sin
x
cos2 x (cos x sin
, x)
x
4
,
4
例3
例题讲练
求函数 y tan
3x
3
例3
求函数
y
tan
3x
的定义域、值域，最小正周期，单调区间和对称中心．
3
单调区间和对称中心．

3π 7π 解得2kπ＋ 4 ≤x≤2kπ＋ 4 ，k∈Z， 5π π ∴当k＝－1时，－ 4 ≤x≤－4.
3π π 3π π ∴原函数在区间－ 4 ，4上的单调减区间为－ 4 ，－4.
第一章
1.4
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新课引入
∴当cosx＝－1时，即x＝2kπ＋π(k∈Z)时，函数取得最大 值．
第一章
1.4
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π 3π π y＝sinx－4在－ 4 ，4上的单调递减区间．
4．求函数
[解析]
π π 3π 由2kπ＋ ≤x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z， 2 4 2
kπ [拓展](1)正切函数图象的对称中心是 2 ，0 (k∈Z)，不存
在对称轴． π (2)直线x＝ ＋kπ(k∈Z)称为正切曲线的渐近线，正切曲线 2 无限接近渐近线． π (3)函数y＝Atan(ωx＋φ)＋b的周期是T＝|ω|.
第一章
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课前自主预习
第一章
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温故知新 1．下列函数在区间[0，π]上是单调函数的是( A．y＝sinx C．y＝sin2x B．y＝cos2x D．y＝cosx )
[答案]
D
第一章
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[解析] 递减函数．
结合函数 y＝cosx 的图象可知其在[0，π]上为单调
第一章
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