高中数学人教A版必修四1.4.3正切函数的性质与图象 课件
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高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象课件1 新人教A版必修4
想一想：结合正切函数的周期性, 如何画出正切函数在整 个定义域内的图象？
正切函数的图象（正切曲线）是被互相平行的直线所 隔开的无穷多支相同形状的曲线组成的。
想一想：正切函数在整个定义域内是增函数吗？ 正切函数会不会在某一区间内是减函数？
小结：
１、正切函数的性质和图象
２、数形结合的思想方法 作业：
高中数学必修4 1.4.3 正切函数的性质与图象
正切函数的定义： ta n y k,kZ
x
2
正切函数的几何意义： tanAT
有向线段AT——正切线
y
α的终边
T
1 •P(x, y)
O
A（1,0）x
知识探究（一）：正切函数的性质
思考1：正切函数的解析式：__y___t_a_nｘ ___ 定义域是 _{x_x__2__k_,_k __Z} 用区间表示为 __( _ _ 2 _ _k _ __ _ _k _ ___ _
思考2：正切函数是周期函数吗？最小正周期 T=_______
正切函数是周期函数，周期是 k（ k Z， k0)
思考3：正切函数具有奇偶性吗？
正切函数是奇函数
思考4：当角x在 (
2
,) 2
内增加时，正切值发生什
么变化?正切函数的单调性如何？
正切函数在开区间
(kk 2
内都是增函数
思考5：当x小于 2 当x大于
且无限接近 且无限接近
2
时, 正切值如何变化？ 时正切值又如何变化？
正切函数有2 没有最大最小值2 ？它的值域是____R___
正切函数y=tanx的性质：
定义域 值域
{xxk,kZ}
2
R
周期性
高中数学 1.4.3正切函数图象与性质课件 新人教A版必修4
/ 1
(3) 平移 (4) 连线
6
o1
M -11 A
o 6
3
2
2 3
5
7
6
6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
-
-
精品
6
思考
4、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?
y
y
T
x
o x (1,0) A
o x x (1,0) A
正切线AT
y
x
o x (1,0) A
T
y
T
x
o
(1,0)
，
8
，8
，4
3 ，8
(4) 连线
o
3 0 3
2 848
84 8 2
精品
9
二:性质 你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗?
y
1 x
-3/2 - t- -/2 0 t /2 t+ 3/2 -1
函数 定义域 值域
y=tanx
{x|xk,kZ}
2
R
周期性
T=
奇偶性
奇函数
单调性 增区间精品 (k,k)kZ
C. ( , 0 ) 6
D. ( , 0 ) 4
精品
14
合作学习
精品
15
例题分析
精品
16
例题分析
例 2 解 不 等 式 ： tanx 3
解：
y
3
0 x 32
解法1 解法2
由精图 品 x 可 k 3 知 ,k ： 2 (k 1Z 7 )
例题分析
精品
高中数学 1.4.3正切函数的性质与图像课件 新人教A版必修4
第一页，共23页。
自学导引 1．正切函数
y＝tan
x
的定义域是__x|_x_∈__R_，___x≠ ___π2_＋__k_π_，__k_∈__Z．
值域是____R_____．
2．就奇偶性而言，正切函数是_奇___函数．
3．就单调性而言，正切函数在每个开区间_________________
__－__π_2_＋__k_π_，__π2_＋__k_π__，__k_∈__Z__都是_增___函数．
第二页，共23页。
自主探究 函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)是否为周期函数？如果是，它 的最小正周期是多少？ 解 ： 由 诱 导 公 式 可 知 ， Atan(ωx ＋ φ ＋ π) ＝ Atan(ωx ＋ φ) ， 即 Atanωx＋ωπ ＋φ＝Atan(ωx＋φ)，也就是 fx＋ωπ ＝f(x)． 可见函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)是周期函数，它的最小正 周期为 T＝|ωπ |.
第十一页，共23页。
知识点 2 正切函数性质的应用 【例 2】 (1)利用正切函数的单调性比较 tan－75π与 tan－127π的大小； (2)已知 f(x)＝asin x＋b tan x＋1 满足 fπ5＝7，求 f995π的值． 思路点拨： (1)将两个函数值转化到同一个单调区间内比较； (2)代入函数解析式，再变形求解．
第二十三页，共23页。
第十七页，共23页。
方法点评： 求解正切函数不等式，关键是要熟知正切函数的图象，切不可 只注意－π2，π2这一支图象，而忘记考虑其周期性．
第十八页，共23页。
3．求满足－ 3＜tan x≤1 的 x 的集合． 解：根据正切函数的图象可知，在－π2，π2上，－ 3＜tan x≤1 的 x 的范围是－π3＜x≤π4，而正切函数的周期是 π，故满足－ 3＜ tan x≤1 的 x 的集合是x|kπ－π3＜x≤kπ＋4π，k∈Z.
自学导引 1．正切函数
y＝tan
x
的定义域是__x|_x_∈__R_，___x≠ ___π2_＋__k_π_，__k_∈__Z．
值域是____R_____．
2．就奇偶性而言，正切函数是_奇___函数．
3．就单调性而言，正切函数在每个开区间_________________
__－__π_2_＋__k_π_，__π2_＋__k_π__，__k_∈__Z__都是_增___函数．
第二页，共23页。
自主探究 函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)是否为周期函数？如果是，它 的最小正周期是多少？ 解 ： 由 诱 导 公 式 可 知 ， Atan(ωx ＋ φ ＋ π) ＝ Atan(ωx ＋ φ) ， 即 Atanωx＋ωπ ＋φ＝Atan(ωx＋φ)，也就是 fx＋ωπ ＝f(x)． 可见函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)是周期函数，它的最小正 周期为 T＝|ωπ |.
第十一页，共23页。
知识点 2 正切函数性质的应用 【例 2】 (1)利用正切函数的单调性比较 tan－75π与 tan－127π的大小； (2)已知 f(x)＝asin x＋b tan x＋1 满足 fπ5＝7，求 f995π的值． 思路点拨： (1)将两个函数值转化到同一个单调区间内比较； (2)代入函数解析式，再变形求解．
第二十三页，共23页。
第十七页，共23页。
方法点评： 求解正切函数不等式，关键是要熟知正切函数的图象，切不可 只注意－π2，π2这一支图象，而忘记考虑其周期性．
第十八页，共23页。
3．求满足－ 3＜tan x≤1 的 x 的集合． 解：根据正切函数的图象可知，在－π2，π2上，－ 3＜tan x≤1 的 x 的范围是－π3＜x≤π4，而正切函数的周期是 π，故满足－ 3＜ tan x≤1 的 x 的集合是x|kπ－π3＜x≤kπ＋4π，k∈Z.
高中数学人教版必修四《1.4.3正切函数的性质与图像》课件
由T ,
得T
2
所以y tan( x ) 的最小正周期为 。
23
由
k
x
2
k ,
k Z,
解得 5 2k x 1 2k, k Z,
2
2 32
3
3
因此，函数的单调递增区间是
5 3
2k，1 3
2k
，k
Z
y
1
x
-3/2
- -/2
0 /2
3/2
-1
性质 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性
2、通过学生自己动手作图，调动学生的积极性 和情感投入，培养学生数形结合的思想方法。
3、培养学生发觉数学规律，实践第一的观点，增 强学习数学的爱好。
重点：
学绘画正切函数的简图，推导正切函数的性质。
难点：
体验正切函数基本性质的运用
知识探究（一）：正切函数的图象
摸索1：类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线作正切 函数在区间 ( , ) 的图象，具体应如何操作？
(x R, x k , k Z )
2
正切函数是周期函数， 最小周期是
［例2］求函数 小正周期.
y 5 tan x , x (2k 1)
2
(k Z ) 的最
解：由T ,
得T
1
2
2
所以y 5 tan x , x (2k 1) (k Z ) 的最小正周期为2 。
2
f (x) tan(x) tan x f (x)
4 5
解：(1) tan1380 tan1430
(2) tan- 13 tan 17
4 5
［例5］ 求函数y tan( x )的定义域，周期和单调区间。
人教A版高中数学必修4课件：1.4.3 正切函数的性质与图象
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝Atan(ωx＋φ)的周期公式为 T＝ωπ.( × ) (2)正切函数在 R 上是单调递增函数．( × ) (3)正切函数是奇函数，原点是唯一的一个对称中心．( × )
2．下列说法正确的是( ) A．y＝tan x 是增函数 B．y＝tan x 在第一象限是增函数 C．y＝tan x 在某一区间上是减函数 D．y＝tan x 在区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上是增函数
所以函数的定义域为
{x|x∈R 且 x≠kπ－π4，x≠kπ＋π2，k∈Z}.
3－tan x>0 (2)要使 y＝lg( 3－tan x)有意义，需使x≠kπ＋π2k∈Z ，
所以函数的定义域是xkπ－π2<x<kπ＋π3，k∈Z
.
求函数的定义域注意函数中分母不等于 0，真数大于 0，正切 函数中的 x≠kπ＋π2，k∈Z 等问题．
tan2x＋π2＋π3，所以 fx＋π2＝f(x)，所以周期为 T＝π2. 答案：B
类型一 求函数的定义域
例 1 求下列函数的定义域：
(1)y＝1＋1tan
； x
(2)y＝lg( 3－tan x)．
【解析】
(1)要使函数
y＝1＋1tan
有意义， x
1＋tan x≠0， 需使x≠kπ＋π2k∈Z，
函数 y＝tan x 的图象与性质 解析式
图象
y＝tan x
定义域
值域 周期 奇偶性
单调性
x__x_≠__k_π_＋_2π_，__k_∈__Z__ __R__ __π__
__奇__函_数___
在开区间__k_π_－__π2_，_k_π_＋__2π__，_k_∈__Z_上都是增函数
人教A版高中数学必修四课件第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象.pptx
正切函数在开区间
2
k
,
2
k
,
k
Z
内都是增函数。
（1）正切函数在整个定义域内是增函 数吗？为什么？
（2）正切函数会不会在某一区间内是 减函数呢？为什么？
例1求函数
y
tan
2
x
3
的 定义域、周期和单调区间.
解:函数的自变量 x应满足 x k , k Z,
23
2
即 x 2k , k Z, 3
2
所以正切函数式奇函数.
单调性
v
T
xA
O
u
(2)
v
xA
O
u
T
(3)
如图(1)(2),由正切线
v
的变换规律可得，正
A
Ox u
(1)
T
v
切函数在
2
,
2
内
是增函数，又由正切
函数的周期性可知组
x T 卷网
A
O
u ，正 切2 函k数, 2在开k区,间
(4)
k Z
v
值域
A 如图（1）,当x大于 且无限接近 时，
2
4．不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
(1) tan138与tan143;
(2) tan( 13 )与tan( 17 ).
4
5
Ox u
2
2
T 正切线AT向Ov轴的负方向无限延伸；
(1)
v
T 如图（2）,当x小于 且无限接近 时，
xA
2
2
O
u 正切线AT向Ov轴的正方向无限延伸；
(2)
所以正切函数的值域是实数集R.
人教A版高中数学必修四1.4.3正切函数的图象与性质课件
6
6
C.{ x R | x 2k , k Z} D.{x R | x 2k - , k Z}
6
6
2、函数y 2 tan(3x )的周期是（ C ）
4
A、2 B、 C、 D、
3
2
3
6
【拓 展】根据正切函数的图象，求满足下列不等式的 x 的范围：
（1） 1 tan x 3 3
5、周期性： T
题型点拔:形如 y Atan( x ) 的函数性质
例:求函数
的定义域、周期和单调区间。
解：原函数要有意义，自变量x应满足 即 所以，原函数的定义域是
由于
所以原函数的周期是2.
由
【点评解】得对于形如 y Atan( x ) 的函数应注意 将 x 看成一个整体，再结合正切函数的性质解
题 所以原函数的单调递增区间是
变式题：求函数y 3tan(- x )的单调区间.
24 解：原函数的解析式可化为y -3tan( x - )
24
令u
x
-
，则
y
tan u 的递增区间为:
[k
-
, k], k Z Nhomakorabea24
22
由u 1 x - 得 : k - 1 x - k ,k Z
所隔开的无数多条曲线组成的。 2
探究（三）：正切函数的图象与性质
观察正切函数的图象，获得其性质：
1、定义域： 2、值域： 3、单调性：
问题：正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
A
B
在每一个开区间( k , k ), k Z 内都是增
函数。
2
2
观察正切函数的图象，获得其性质：
1、定义域： 2、值域： 3、单调性： 4、奇偶性：奇函数
2015-2016高一数学人教A版必修四课件：1.4.3 正切函数的性质与图像
：八点 十四分。
小结
3
2
2
0 2
3
2x
⑴ 定义域：{x | x k, k Z} ⑵ 值域：R
2
⑶ 周期性： ⑷ 奇偶性：奇函数
⑸
单调性：
增区间(
2
k ,
2
k
)
kZ
(6)渐近线方程：x k , k Z
2
第十一页，编辑于星期五：八点 十四分。
2
所以，正切函数是周期函数，周期是 .
奇偶性
由诱导公式得 tan(x) tan x, x R,x k, k Z
2
所以正切函数是奇函数.
第三页，编辑于星期五：八点 十四分。
探究正切函数的图像
y tan x , x ( , ) y
22
1
A
0'
3
2 8 48
0 3
2
第七页，编辑于星期五：八点 十四分。
正切函数性质的初步应用
例1 求函数 调区间．
y tan(2的x 定 3义) 域、周期和单
第八页，编辑于星期五：八点 十四分。
正切函数性质的初步应用
例2、比较 tan 1与3
4
练习:
的tan大 小17.
5
(1) tan138 _____ tan143
1.4.3 正切函数的性质与图象
第一页，编辑于星期五：八点 十四分。
回忆正切函数的一些性质
正切函数： y tan x
定义域是
{x x kπ π , k Z} 2
值域是 R
第二页，编辑于星期五：八点 十四分。
周期性
由诱导公式得 tan(x ) tan x, x R,x k, k Z
小结
3
2
2
0 2
3
2x
⑴ 定义域：{x | x k, k Z} ⑵ 值域：R
2
⑶ 周期性： ⑷ 奇偶性：奇函数
⑸
单调性：
增区间(
2
k ,
2
k
)
kZ
(6)渐近线方程：x k , k Z
2
第十一页，编辑于星期五：八点 十四分。
2
所以，正切函数是周期函数，周期是 .
奇偶性
由诱导公式得 tan(x) tan x, x R,x k, k Z
2
所以正切函数是奇函数.
第三页，编辑于星期五：八点 十四分。
探究正切函数的图像
y tan x , x ( , ) y
22
1
A
0'
3
2 8 48
0 3
2
第七页，编辑于星期五：八点 十四分。
正切函数性质的初步应用
例1 求函数 调区间．
y tan(2的x 定 3义) 域、周期和单
第八页，编辑于星期五：八点 十四分。
正切函数性质的初步应用
例2、比较 tan 1与3
4
练习:
的tan大 小17.
5
(1) tan138 _____ tan143
1.4.3 正切函数的性质与图象
第一页，编辑于星期五：八点 十四分。
回忆正切函数的一些性质
正切函数： y tan x
定义域是
{x x kπ π , k Z} 2
值域是 R
第二页，编辑于星期五：八点 十四分。
周期性
由诱导公式得 tan(x ) tan x, x R,x k, k Z
高一数学人教A版必修4课件：1.4.3 正切函数的性质与图象
第一章 三角函数
§1.4 三角函数的图象与性质
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点
1.了解正切函数图象的画法,理解掌握正切函数的性 质. 2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.
明目标、知重点
填要点·记疑点
函数y＝tan x的性质与图象
③是奇函数的是( C )
A.y＝tan x
B.y＝cos x
C.y＝tan
x 2
D.y＝－tan x
明目标、知重点
1234
4.方程 tan2x＋π3＝ 3在区间[0,2π)上的解的个数是( B )
A.5
B.4
C.3
D.2
解析 由 tan2x＋π3＝ 3解得 2x＋π3＝π3＋kπ(k∈Z)，∴x＝k2π (k∈Z)，又 x∈[0,2π)，∴x＝0，π2，π，32π.故选 B.
明目标、知重点
例3 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小. (1)tan－65π与 tan－173π； 解 ∵tan－65π＝tan－π－π5＝tan－π5， tan－173π＝tan－2π＋π7＝tan π7， 又函数 y＝tan x 在－π2，π2上是增函数，
明目标、知重点
(2)把单位圆中的右半圆平均分成8份,并作出相应终边的正切线. (3)在 x 轴上，把－π2，π2这一段分成 8 等份，依次确定单位圆上 7 个分点的位置. (4)把角x的正切线向右平移,使它的起点与x轴上的点x重合.
明目标、知重点
(5)用光滑的曲线把正切线的终点连接起来,就得到y＝tan x,x∈ －π2，π2 的图象,如图所示.
§1.4 三角函数的图象与性质
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点
1.了解正切函数图象的画法,理解掌握正切函数的性 质. 2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.
明目标、知重点
填要点·记疑点
函数y＝tan x的性质与图象
③是奇函数的是( C )
A.y＝tan x
B.y＝cos x
C.y＝tan
x 2
D.y＝－tan x
明目标、知重点
1234
4.方程 tan2x＋π3＝ 3在区间[0,2π)上的解的个数是( B )
A.5
B.4
C.3
D.2
解析 由 tan2x＋π3＝ 3解得 2x＋π3＝π3＋kπ(k∈Z)，∴x＝k2π (k∈Z)，又 x∈[0,2π)，∴x＝0，π2，π，32π.故选 B.
明目标、知重点
例3 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小. (1)tan－65π与 tan－173π； 解 ∵tan－65π＝tan－π－π5＝tan－π5， tan－173π＝tan－2π＋π7＝tan π7， 又函数 y＝tan x 在－π2，π2上是增函数，
明目标、知重点
(2)把单位圆中的右半圆平均分成8份,并作出相应终边的正切线. (3)在 x 轴上，把－π2，π2这一段分成 8 等份，依次确定单位圆上 7 个分点的位置. (4)把角x的正切线向右平移,使它的起点与x轴上的点x重合.
明目标、知重点
(5)用光滑的曲线把正切线的终点连接起来,就得到y＝tan x,x∈ －π2，π2 的图象,如图所示.
人教A版高考数学必修4课件1.4.3《正切函数图象与性质》课件
2
渐 进 线
渐 进 线
3
0
2
正
渐
切
进 线
函
数
渐
图
进 线
像
性质 :
⑴ 定义域：
{x | x
k, k Z}
⑵ 值域： R
2
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间
( k , k )
2
2
，k Z 内都是增函数。
(2) 作正切线
(3) 平移 (4) 连线
3
8
，
4
，
8
，8
，4
3
，8
o
3 0 3
2 8 48
84 8 2
二:性质 你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗?
y
1 x
-3/2 - t- -/2 0 t /2 t+ 3/2 -1
思考
由诱导公式知
f x tan x tan x f x, x R, x k , k Z
2
正切函数是奇函数.
2. 函数 y sin x, x 0,2 图象的几何作法
P1
6
o1M-11 Ay来自1p1/作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
1.4.3正切函数的图象及性质
函数 图形 定义域 值域 最值
单调性 奇偶性
周期 对称性
y
1
2
0
-1
y=sinx
3
2
2
xR
2 5 x
人教新课标A版高中数学高一必修4课件1.4.3正切函数的性质与图象
1.4.3 正切函数的性质与图象
6
[预习导引] 正切函数y＝tan x的性质与图象
y＝tan x
图象
1.4.3 正切函数的性质与图象
7
定义域
{x|x∈R，且 x≠kπ＋2π，k∈Z}
值域 周期
R 最小正周期为 π
1.4.3 正切函数的性质与图象
8
奇偶性
奇函数
单调性
在开区间 kπ－π2，kπ＋2π (k∈Z) 内递增
2.正切函数的性质
(1)正切函数y＝tan x的定义域是 x|x≠kπ＋π2，k∈Z ，值域是R.
1.4.3 正切函数的性质与图象
39
(2)正切函数y＝tan x的最小正周期是π，函数y＝Atan(ωx＋φ)
(A，ω≠0)的周期为T＝|ωπ| . (3)正切函数在－2π＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上递增，不能写成闭区 间.正切函数无单调减区间.
1.4.3 正切函数的性质与图象
30
跟踪演练3 画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单 调区间、奇偶性、周期性. 解 由y＝|tan x|得， y＝t－antaxn，xk，π≤－xπ2<＋kπk＋π<2πx<kk∈πZk∈，Z.
1.4.3 正切函数的性质与图象
31
其图象如图.
由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数，
x≠π3＋kπ.
所以函数的定义域为
π4＋kπ，3π＋kπ∪π3＋kπ，π2＋kπ(k∈Z).
1.4.3 正切函数的性质与图象
11
规律方法 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件， 另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线.
1.4.3 正切函数的性质与图象
高中数学人教A版必修4第一章1.4.3正切函数的性质与图像课件
1.4.2 正切函数的性质与图像
目标： 1.了解正切函数图像的几何画法； 2.掌握正切函数的性质； 3.能对应正切函数的图像和性质解决问题.
重难点：正切函数的图像及性质
探究1：正切函数的性质
思考1：正切函数的定义域是什么？
思考2：根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？
探究2：正切函数的图像
目标： 1.了解正切函数图像的几何画法； 2.掌握正切函数的性质； 3.能对应正切函数的图像和性质解决问题.
重、难点：正切函数的图像及性质
正切函数的性质：
1.定义域： 2.值域： 3.单调性： 4.奇偶性：奇函数 5.周期性： 6.对称性：
1
思考：如何画出正切函数在其他区间上的图像？
可以利用正切函数的周期性
探究3：正切函数的图像与性质
观察正切函数的图像，得到正切函数的以下性质：
1.定义域： 2.值域： 3.单调性：
思考：正切函数在整个定义域上是增函数吗？为什么？
观察正切函数的图像，得到正切 函数的以下性质：
1.定义域： 2.值域： 3.单调性： 4.奇偶性：奇函数 5.周期性： 6.对称性：
目标： 1.了解正切函数图像的几何画法； 2.掌握正切函数的性质； 3.能对应正切函数的图像和性质解决问题.
重难点：正切函数的图像及性质
探究1：正切函数的性质
思考1：正切函数的定义域是什么？
思考2：根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？
探究2：正切函数的图像
目标： 1.了解正切函数图像的几何画法； 2.掌握正切函数的性质； 3.能对应正切函数的图像和性质解决问题.
重、难点：正切函数的图像及性质
正切函数的性质：
1.定义域： 2.值域： 3.单调性： 4.奇偶性：奇函数 5.周期性： 6.对称性：
1
思考：如何画出正切函数在其他区间上的图像？
可以利用正切函数的周期性
探究3：正切函数的图像与性质
观察正切函数的图像，得到正切函数的以下性质：
1.定义域： 2.值域： 3.单调性：
思考：正切函数在整个定义域上是增函数吗？为什么？
观察正切函数的图像，得到正切 函数的以下性质：
1.定义域： 2.值域： 3.单调性： 4.奇偶性：奇函数 5.周期性： 6.对称性：
高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象课件 新人教A版必修4
第十三页，共44页。
【解析】1.因为sin x∈［-1,1］，所以y=tan(sin x)的定义
域为R，值域为［tan(-1),tan 1］.
答案(dá àn)：R ［tan(-1),tan 1］
2.y=(tan x-1)2+2，由于tan x∈R，所以当tan x=1时，函数
取最小值2.
答案(dá àn)：2
x 5由，于φ k 5 .
φ 0，
2 故当k=1时，得
φ
由 3x k 得，k
18
26
2
故3Z函，，数(所hxá以ns函kh数ù)(解5há析，n式skhf为ùZx)，的 定tan(3x
3
).
义域为
3 {x
|
x
2 R且x
k值域5为，Rk.由3Z于}正. 18切函数(hánshù)
y=tan x在区间
心.( )
x k ，k Z.
2
(3)正切曲线(qūxiàn)有无数条对称轴，其对称轴是
()
第五页，共44页。
提示：(1)错误. 正切函数的定义域为 值域为R.
(k , k )，k Z.
2
2
(2)正确(zhè(nkgq, 0u)è(k).点Z)
是其对称中心.
2
(3)错误.正切曲线没有对称轴.
把 4转化到 2 2 上再比较大小.
【解析】选A.
f
1
tan (1
) 4
tan (1
34又)，
1 3 1 ，
2
44 4
所以f(0)>f(-1)>f(1).
第二十五页，共44页。
类型 三 正切函数的奇偶性与周期(zhōuqī)
【解析】1.因为sin x∈［-1,1］，所以y=tan(sin x)的定义
域为R，值域为［tan(-1),tan 1］.
答案(dá àn)：R ［tan(-1),tan 1］
2.y=(tan x-1)2+2，由于tan x∈R，所以当tan x=1时，函数
取最小值2.
答案(dá àn)：2
x 5由，于φ k 5 .
φ 0，
2 故当k=1时，得
φ
由 3x k 得，k
18
26
2
故3Z函，，数(所hxá以ns函kh数ù)(解5há析，n式skhf为ùZx)，的 定tan(3x
3
).
义域为
3 {x
|
x
2 R且x
k值域5为，Rk.由3Z于}正. 18切函数(hánshù)
y=tan x在区间
心.( )
x k ，k Z.
2
(3)正切曲线(qūxiàn)有无数条对称轴，其对称轴是
()
第五页，共44页。
提示：(1)错误. 正切函数的定义域为 值域为R.
(k , k )，k Z.
2
2
(2)正确(zhè(nkgq, 0u)è(k).点Z)
是其对称中心.
2
(3)错误.正切曲线没有对称轴.
把 4转化到 2 2 上再比较大小.
【解析】选A.
f
1
tan (1
) 4
tan (1
34又)，
1 3 1 ，
2
44 4
所以f(0)>f(-1)>f(1).
第二十五页，共44页。
类型 三 正切函数的奇偶性与周期(zhōuqī)
人教A版数学必修4第一章1.4.3 正切函数的性质和图象课件(共24张PPT)
( kπ 2
,0 )
三.例题解析
例 1.1 ()求函 yt数 a（ nx）的定 . 义域
解：
由 xk
4
kz,
4
2
可x得 k kz
4
所以y函 ta数 nx()的定义域为
4
xxk,kZ
4
练：求函数 y 1 的定义域 tanx1
解： xtaknx12 xxkk4
2
所以xxk4且xk2,kz
小结：注意正切函数y=tanx自身的定义域。
思考
由诱导公式知
f x t a x n tx a f x n , x R , x k , k Z
2
正切函数是奇函数.
回顾角在各个象限的正切线
y
T
x
o x (1,0) A
正切线AT
y
x
o x (1,0) A
T
y
o x(1,0) A
x
T
y
T
x
o
(1,0)
A
x
问题：如何利用正切线画出函数 图像？
而 ytax在 n9,0 18 上 0 是增函数，
tan1670 tan1730
说明：比较两个正切值大小，关键是把相 应的角 化到y=tanx的同一单调区间内，再 利用y=tanx的单调递增性解决。
三.例题解析
例３：求函数 y tan 3x 的周期.
解： 因为tan(3x ) tan 3x,
三.例题解析
例1.（2）求函数 y tanx 3的定义域
解： 解不等 ta式 nx 3
y
3
0 x
32
由图 x 可 k 3知 ,k 2 ： (k Z )
三.例题解析
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(2) 作正切线 (3) 平移
3
8
，
4
，
8
，8
，4
3
，8
(4) 连线
o
3 0 3
2 8 48
84 8 2
7
利用正切函数的周期性,把图象向左,右扩展,得到正切函数 y tan x, x R且x k , (k Z )的图象,并把它叫做正切曲线.
2 y
3
2
2
0
3
2
2
0
2
3 2
x
结正合切正函切数函的数性图质像：研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、
奇函偶数性．① ② ⑤ 正⑥⑦④中和定值单切渐渐对奇x∴心单义域调函近近称偶正调对域：性数2线线性性切性:：在称R方：：：k函．每图程奇x数(个k形是函x是开：：数Z奇x2区对)．函间称且正kk数中切x，．t心曲ak2n(线，kk22Z关x,于0Zk),原(，kt2点anZOkx)对(称k ．Z
3180
4
tan 13 tan 3
又 ∵
又∵
y
3
tan x
3
，5在 390，270， 5函上数是 增y 函ta数n
∴ tan2167 4tan1753 2
x
，x
3
2
，
2
是增函数，
∴
tan
3
4
tan
3
5
即
tan
11
4
tan
13 5
．
15
五、小结：
（1）y
tan
2
3 2
x
从图中可以看出, 正切曲线是由被相互平行的 直线x k, k Z所隔开的无穷多支曲线组成的. 8
2
正切函数图象的简单画法：三点两线法（同学们跟着画）
“三点”: (0,0)、（ ，1）、 ，1 4 4
“两线”:x
2
和x
2
y
1
4
3
2
2
0
42
-1
3 2
x
9
思考
你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗? y
1、利用正切函数的定义(课本P12)，说出正切函数的定义域；
tan y x 0 的终边不在y轴上
x
k
(k
z)
2
所以正切函数的定义域：{ | k (k z)}
2
4
周期性
2、正切函数是周期函数吗？ 思考 如何求出正切函数的周期呢？ 它的最小正周期和正弦函数一样是2π吗？
由诱导公式二得 tan(x ) tan x, x R,x k, k Z
x
x
2k
3
,
k
Z.
y
由于
y
tan
2
x
3
tan
2
x
3
tan
2
x
2
3
f
(x
2),
2
0
x
2
因此函数的周期为2.
13
例1 求函数
y
tan
2
x
3
的定义域、周期和单调区间.
由 k ＜ x ＜k , k Z,
22 3
2
y
解得 2k ＜x＜2k , k Z.
3
3
因此,函数的单调递增区间是:
2
0
x
2
2k
，2k 3
3
,
k
Z.
14
正切函数的图像和性质
例2．不求值，利用正切函数单调性比较下列各组中两个正切函数 值的大小：
（1）tan
167
与
tan
173
；（2）tan
11 4
与
tan 141167
t1a7n3
1.4.3正切函数的性质与图象
y tan x
1
1.前面，我们研究了正弦函数的图像与性 质我们是如何画正弦函数图象的呢？
2. 我们是从哪些方面研究正弦函数的性质？ 定义域 值域 周期性 单调性 奇偶性
2
合作探究1 如何研究正切函数的性质？ 你能类比研究正弦函数的性
质，探索正切函数的性质吗？
3
定义域
A 是奇函数 B在整个定义域上是增函数 C 在定义域内无最大值和最小值
D 平行于 x 轴的的直线被正切曲线各支
所截线段相等
12
例1 求函数
y
tan
2
x
3
的定义域、周期和单调区间.
解:函数的自变量 x应满足 x k , k Z,
23
2
即 x 2k , k Z, 3
所以,函数的定义域是
)
内都是增
10
y
正切函数的主 要性质如下:
3 2
2
0
2
3
2
x
定义域 值域
x x k , k Z
2
周期性
T
奇偶性 奇函数(正切曲线关于原点对称)
单调性
在（ k， k），k Z内为增函数
2
2
对称性
对称中心（k ,0）(k Z )
11
基础练习
1．关于正切函数 y tan x , 下列判断不正确的是（B ）
2
结论1：正切函数是周期函数，周期是 .
5
奇偶性
3、如何研究正切函数是的奇偶性呢？
由诱导公式三得 tan(x) tan x, x R,x k, k Z
2
f (x) f (x)
结论2：正切函数为奇函数.
6
利用正切线画出函数 y tan x ，x ， 的图像:
2 2 作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。
x
的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得
2
，
2
上图象后，再利用周期性把该段图象向左右延伸、平移。
（2） y tan x 性质:
定义域
值 周 奇 单调增区间 域 期偶
性
对称中 心
R
x
x
k
，k
2
Z
奇 函
k
，k
2
2
数
kZ
k ，0
2 kZ
16