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弹性力学 第8章_空间问题的基本理论与解答

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弹性力学徐芝纶版第8章

弹性力学徐芝纶版第8章

移项缩写为：

2
ij
ij l j 0
2 2
考虑方向余弦关系式，有
l m n 1. 或 li li 1
求主应力
2. 求主应力 σ
将式(a)改写为：
(σ x σ )l yx m zx n 0, xy l (σ y σ )m zy n 0, xz l yz m (σ z σ )n 0。




(7 12)


⑵ 应力用应变表示，用于按位移求解方法：
E E x ( x ), yz yz 1 1 2 2(1 ) E E y ( y ), zx zx 1 1 2 2(1 ) E E z ( z ), xy xy 1 1 2 2(1 )
斜面应力
§8-2 物体内任一点的应力状态
在空间问题中，同样需要解决：由直
角坐线为 n ）上的应力。
斜面应力
斜面的全应力p 可表示为两种分量形式： p沿坐标向分量:
p ( px , p y , pz ).
p沿法向和切向分量:
p (σ n , n ).
空间问题的几何方程，可以从平面问 题推广得出： 现仅考虑只有xy平面内的位移 u , v 时的 情况进行推导： 通过点P(x,y)作两正坐标向的微分线段 PA dx, PB dy,
定义
变形前位置： P, A, B,
变形后位置： P, A, B －－各点的位置如图。
几何方程
u x , x
求主应力
上式是求解 l , m , n 的齐次代数方程。由于l , m , n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得

弹性力学空间问题的解答

弹性力学空间问题的解答

第八章 空间问题的解答§8-1 按位移求解空间问题将几何方程代入物理方程，得出用位移分量表示应力分量的弹性方程如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+=∂∂-+=∂∂+-+=∂∂+-+=),()1(2)()1(2),()1(2),21(1),21(1),21(1y u x E x z u E z y E z E y E x u E xy zx yz z y x υμτωμτυωμτωθμμμσυθμμμσθμμμσ （8-1） 其中zy x u ∂∂+∂∂+∂∂=ωυθ。

再将上面的弹性方程（8-1）代入平衡微分方程（7-1），并采用记号2222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇，得到⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=+∇+∂∂-++=+∇+∂∂-+=+∇+∂∂-+.0)211()1(2,0)211()1(2,0)211()1(2222z y x f z E f y E f u x E ωθμμυθμμθμμ （8-2） 这是用位移分量表示的平衡微分方程，也就是按位移求解空间问题时所需用的基本微分方程。

如果将工（8-1）代入式（7-5），就能把应力边界条件用位移分量来表示，但由于这样得出的方程太长，我们宁愿把应力边界条件保留为式（7-5）的形式，而理解其中的应力分量系通过式（8-1）用位移分量表示。

位移边界条件则仍然如式（7-9）所示。

§8-2 半空间体受重力及均布压力设有半空间体，密度为ρ，在水平边界上受均布压力q ，图8-1，以边界面为xy 面，z 轴铅直向下。

这样，体力分量就是g f f f z y x ρ===,0,0。

采用按位移求解。

由于对称（任一铅直平面都是对称面），试假设)(,0,0z u ωωυ===。

（a ）这样就得到可见基本微分方程（8-2）中的前二式自然满足，而第三式成为 简化以后得,)1()21)(1(22μρμμω--+-=E g dz d （b ） 积分以后得 ),()1()21)(1(A z E g dz d +--+-==μρμμωθ （c ）.)()1(2)21)(1(2B A z E g ++--+=μρμμω (d) 其中A 和B 是待定常数。

弹性力学 空间问题基本理论共55页文档

弹性力学 空间问题基本理论共55页文档
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联来自弹性力学 空间问题基本理论
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔

弹力8-空间问题的基本理论

弹力8-空间问题的基本理论
m1 n1 由此可求出 、 , 再考虑l 2 + m 2 + n 2 = 1得：1 = l l1 l1
1 m1 2 n1 2 1+ ( ) + ( ) l1 l1
三个主方向相互垂直（σ 1 ≠ σ 2 ≠ σ 3）
§8－4 最大与最小的应力
正应力 取主轴坐标系，任意斜面上正应力：
σ N = l 2σ 1 + m 2σ 2 + n 2σ 3 = (1 − m 2 − n 2 )σ 1 + m 2σ 2 + n 2σ 3
§8－1 平衡微分方程
弹性力学分析： 弹性力学分析： 静力学方面、几何方面、 静力学方面、几何方面、物理方面
一点的应力状态
C
σz +
∂σz dz ∂z
z
σy
τ zx +
∂τ zx dz ∂z
τ zy +
∂τ zy ∂z
dz
τ yx
τ xz +
τ yz
∂τ xz dx ∂x
τ xy
σx
τ xz
∂τ xy ∂x dx
dy
∂σ y ∂y dy
τ zx = τ xz ,
τ yz = τ zy ,
τ xy = τ yx
x
τ xy
τ yz
σx +
∂σ x dx ∂x
a τ xz ∂τ yx ∂τ τ xy + xy dx τ yx + ∂y dy ∂x
σy +
B
A
平衡方程：
σz
y
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + fx = 0 + + ∂y ∂z ∂x ∂σ y ∂τ zy ∂τ xy + + + fy = 0 ∂z ∂x ∂y ∂σ ∂τ xz ∂τ yz z + + + fz = 0 ∂z ∂x ∂y

弹性力学A-08空间问题的基本理论

弹性力学A-08空间问题的基本理论
由此可求得： m1 , n1 l1 l1
由：
l12 m12 n12 1
可求得：
l1
1
1
m1 l1
2
n1 l1
2
同理，可求出： l2、m2、n2， l3、m3、n3 。
思考题 证明，三个主应力方向互相垂直
第八章 空间问题的基本理论
力学与土木工程学院力学系弹性力学电子教案
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
弹性力学的基本规律
外力
应力
应变
位移
静 力 平 衡 规 律
第八章 空间问题的基本理论
线
几
性
何
弹
连
性
续
规
规
律
律
力学与土木工程学院力学系弹性力学电子教案
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
§8-1 平衡微分方程
1.单元体的描述
P 点的应力为：
yxx
xy y
Θ2 ( 2 3 3 1 1 2 )
y
z
z
x
x
y
2 yz
2 zx
2 xy
Θ3
1 2 3
x y z
x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
2 yz zx xy
x xy xz
Θ3 yx y yz
zx zy z
Θ2
x yx
xy y
x zx
xz z
y zy
yz z
x
y
y
zy
z
fy
0
y yx yz
xz

弹性力学-空间问题的解答

弹性力学-空间问题的解答

E
21
μ 12
μ
μ
w y
u x
v z
,,
(x, y,z;u,v,w)
(a)
其中体积应变 u v w。
x y z
3. 将式 (a)代入平衡微分方程，得在 V内求解位移的基本方程：
第八章 空间问题的解答
V内基本方程
E
21
μ
1 12μ
x
2u
fx
0,
(x,y,z;u,v,w) (b)
其中拉普拉斯算子
zx
Φ y
,
zy
Φ 。 x
(d )
第八章 空间问题的解答
相容方程
2. 将式（d）代入6个相容方程，前三式和 第六式自然满足，其余两式为
2 zx 0,
代入（d），得
2 zy 0。
2Φ 0, x
2Φ 0, y
由此得出扭转应力函数Φ应满足的方程：
2Φ C,
第八章 空间问题的解答
扭转问题的提出: （1）等截面柱体；
（2）无体力作用， fx f y fz 0;
（3）柱体侧面无面力作用，fx fy fz 0, 柱体上下端面的面力，合成一对力 矩 M。
第八章 空间问题的解答
按应力求解
引用按应力求解空间问题的方法—应 力应满足3个平衡微分方程，6个相容方程 及 S Sσ 上的应力边界条件。
体不保持连续。 所以相容方程是位移的连续性条件。
第八章 空间问题的解答
（3）相容方程的导出及对(2)的证明，可
参见有关书籍。
（4）相容方程必须为六个。相容方程和平
衡微分方程的数目大于未知函数的数
目，是由于微分方程提高阶数所需要
的。
例如：

第八章弹性力学问题一般解·空间轴对称问题

第八章弹性力学问题一般解·空间轴对称问题

(8 6)
因为 F x F y 0 其第三式为
只与z有关。
又 Fz q
将式(3)代入式(4)得
，再代回式(3)，得
为了确定常数B，可以将无限的边界条件转化为有限的，即假定半空间体在距 平面边界h足够远处已经很小而可以忽略，即 ，则由式(5)得

于是，式(3)给出的位移为
E E G (1 )(1 2 ) 2(1 )
利用式(4-5)，式(1)中 简化后得
，
由式(i)并将下标符号i改为k可得
于是有
由
，式(8-10)可写成
其展开式为（ 用应力表示的协调方程）6个方程可以解6个应力分量）
x y z
当不计体力时，有
式(8—12)和式(8—13)称为Beltrami—Michell(贝尔特拉米—米 歇尔)方程，也即应力协调方程。 由此，用应力法解弹性力学问题归结为按给定边界条件满足平 衡微分方程(4-1)和协调方程。注意到：Beltrami—Michell方程是 以应力形式表示的变形协调方程，并且在推导中虽然用到了平 衡方程(此处引用Lame方程推出)，但推导中进行了对平衡方程 的求导[见式(f)]已不能代表平衡方程本身了，故而要重新考虑 平衡方程，于是得出上述应力法求解的结论。 下一节我们举等截面悬臂梁的弯曲为空间问题按应力求解的实 例。现在我们来讨论两种求解方法的特点： 按位移法求解弹性力学问题时，未知函数的个数比较少，仅有 三个未知量 u 、v 、 w 。但必须求解三个联立的二阶偏微分方 程。
(8 1)
如物体内质点处于运动状态，式(8-1)也可写为
式(8-2)Biblioteka (用位移表示的）平衡(运动)微分方程的展开式为
e 2u 2 ( G ) x G u Fx 0( t 2 ) e 2v 2 G v Fy 0( 2 ) ( G ) y t e 2w 2 G w Fz 0( ) ( G ) 2 z t

弹性力学讲义-第7,8章空间问题的基本理论

弹性力学讲义-第7,8章空间问题的基本理论
体应变 dx xdx dy ydy dz zdz dxdydz dxdydz
(1 x )(1 y )(1 z ) 1 x y z z x y z x y x y z x y z
u v w
x y z
(7-11)
(7-10)
§7-4 几何方程及物理方程
xzl
yz m
zn
n
( x )l yxm zxn 0 xyl ( y )m zyn 0 xzl yzm ( z )n 0
（c）
方向余弦 l 2 m2 n2 1 （b）
§7-3 主应力 最大与最小的应力
l 2 m2 n2 1 必有非零解
( x xyl
)l ( y
yxm )m
zx zy
n n
0 0
xzl yzm ( z )n 0
（c）
齐次方程组有非 零解的充要条件
x xy xz
yx y
yz
zx zy 0 z
3 1 2 2 3 0
1 x y z
2
x
y
y z
z
x
2 xy
2 yz
2 zx
3
1
0
解答 m 0, n 0 l 1 极值1
n 0, m 1 l 1
2
2
§7-3 主应力 最大与最小的应力
1
3
3
总共得出极值时的六组解答
l 1 0 0
0
m 0 1 0 1 2
n 0 0 1 1 2
2 n
0
0
0 2 3 22
1 2 0
1 2
3 1 22
1
1 2 1 2
n l 2 1 m2 2 n2 3
l2 m2 n2 1

弹性力学复习思考题

弹性力学复习思考题

第二章平面问题的基本理(1) 两类平面问题的特点？(几何、受力、应力、应变等)。

(2) 试列出两类平面问题的基本方程，并比较它们的异同。

(3) 在建立平面问题基本方程(平衡方程、几何方程)时，作了哪些近似简化处理？其作用是什么？(4) 位移分量与应变分量的关系如何？是否有位移就有应变？(5) 已知位移分量可唯一确定其形变分量，反过来是否也能唯一确定？需要什么条件？(6) 已知一点的应力分量，如何求任意斜截面的应力、主应力、主方向？(7) 什么是线应变(正应变)、剪应变(切应变、角应变)？如何由一点应变分量求任意方向的线应变、主应变、主应变方向？(8) 平面应力与平面应变问题的物理方程有何关系？(9) 边界条件有哪两类？如何列写？第四章平面问题的极坐标解(1 )极坐标解答适用的问题结构的几何形状(?圆环、圆筒、圆弧形曲杆、楔形体、半无限平面体等)(2) 极坐标下弹性力学平面问题的基本方程？平衡微分方程、几何方程、物理方程、边界条件方程)(3) 极坐标下弹性力学平面问题的相容方程？用应变表示的、用应力函数表示的相容方程等)(4) 极坐标下应力分量与应力函数间关(5) 极坐标下弹性力学平面问题边界条件的列写？(6) 极坐标下轴对称问题应力函数、应力分量、位移分量的特点？(7) 圆弧形曲梁问题应力函数、应力分量、位移分量的确定？(如何利用材料力学中曲梁横截面应力推出应力函数的形式？)(8) 楔形体在力偶、集中力、边界分布力作用下，应力函数、应力分量、位移分量的确定？(10) 何为圣维南原理？其要点是什么？圣维南原理的作用是什么？如何利用圣维南原理列写边界条件？(11) 弹性力学问题为超静定问题，试说明之。

(12) 弹性力学问题按位移求解的基本方程有哪些？(13) 弹性力学平面问题的变形协调方程有哪些形式？各自的使用条件是什么？(14) 按应力求解弹性力学问题，为什么除了满足平衡方程、边界条件外，还必须满足变形协调方程(相容方程)？而按位移求解为什么不需要满足变形协调方程？(15 )应力分量满足平衡方程、相容方程、边界条件，是否就是问题的正确解？为什么？(16) 常体力情况下，如何将体力转化为面力？其意义如何？(17) 何为逆解法？何为半逆解法？(18) Airy应力函数在边界上值的物理意义是什么？应力函数的导数：_________ 在边界上值的物理意义是什么？x ' y (9 )半无限平面体在边界上作用力偶、集中力、分布力下，应力函数、应力分量、位移分量的确定？(10) 圆孔附近应力集中问题应力函数、应力分量、位移分量的确(11) 定加法的应用。

弹性力学第8章空间问题的基本理论与解答

弹性力学第8章空间问题的基本理论与解答

y
0,
0,
F
z
0;
z
(a) (b)
M
0,
y
M
0.
4
§8.1 平衡微分方程
5
§8.1 平衡微分方程
由x 轴向投影的平衡微分方程 F x 0 , 得
ζ x yx zx fx 0 , x y z ( x, y, z ). (c)
因为 x , y , z 轴互相垂直，均为定向，量
21
§8.3 轴对称问题的基本方程
对于空间轴对称问题： 所有物理量仅为(ρ,z)
的函数。
应力中只有 ζ ,ζ ,ζ z , z , z 0;
(a) 形变中只有 , , z , z , z 0; u , uz , 位移中只有 u 0。
d xd y d z
(1 x )(1 y )(1 z ) 1
x y z.
(d)
其中由于小变形假定，略去了形变的2、3次幂。
16
§8.2 几何方程及物理方程 空间问题的物理方程
可表示为两种形式：
x 1 (ζ x ζ y ζ z ), E
14
§8.2 几何方程及物理方程
若在 su 边界上给定了约束位移分量
u , v , w ，则空间问题的位移边界条件为：
(u ) s u ,
(u, v, w).
(c)
15
§8.2 几何方程及物理方程
体积应变定义为：
dv dv dv (d x x d x)(d y y d y )(d z z d z ) d xd yd z
本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。 空间问题的基本方程，边界条件，以

清华大学弹性力学-空间问题

清华大学弹性力学-空间问题

A
ABC S 则：
x面
PABC 的体积为 V
ABC 上的应力为 SN
BPC lS CPA m S APB nS
4
由
z
C N
Fx 0 :
X N S x lS yx m S zx nS XV 0
y
yx ZN yz P zy
xy
x
xz
B y
XN YN
当 PABC → P 时:
X N l x m yx n zx
zx
o
x
A
z
同理，由 F y 0, Fz 0 :
Y N m y n zy l xy Z N n z lz xy m yz
5
X N , Y N , Z N 为S N 在 x , y , z轴上的投影
x z
y （平衡方程）
3
§4-2 应力状态和主应力 1. 一点应力状态 N ― 平面ABC的外法线
z C N
N的方向弦为：
xy xz zx z
SN
y
yx yz P zy
x
cos( N , x ) l cos( N , y ) m
B y
cos( N , z ) n
o x
0 z z 0
o
P z
A d
z dz z
y

x
（柱坐标） d
z
z
z z

只有四个应力分量：
, , z , z z
d z d
z
dz
dz
14
小结：
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y
0,
0,
F
z
0;
z
(a) (b)
M
0,
y
M
0.
4
§8.1 平衡微分方程
5
§8.1 平衡微分方程
由x 轴向投影的平衡微分方程 F x 0 , 得
ζ x yx zx fx 0 , x y z ( x, y, z ). (c)
因为 x , y , z 轴互相垂直，均为定向，量
第8章
空间问题的基本理论 与解答
目录
1
主要内容
§8-1 平衡微分方程
§8-2 几何方程及物理方程
§8-3 轴对称问题的基本方程
§8-4 按位移求解空间问题
§8-5 半空间体受重力及均布压力
§8-6 半空间体在边界上受法向集中力
§8-7 按应力求解空间问题
目录 2
§8.1 平衡微分方程
在空间问题中，应力、形变和位移等基
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ思考题
1、试导出空间问题中 Sζ 上的应力边界条件 （式（c））。 2、试导出空间轴对称问题中用位移表示的 平衡微分方程（书中式（8-4）），并将 sζ上的应力边界条件 (ζ s ) f 用位移来 表示。
37
§8.5 半空间体受重力及均布压力
设有半空间体，受自重体力 f z ρg 及边界的均布压力q。
( x, y, z; u, v, w).
(在sζ 上)
(c)
位移边界条件仍为:
u s u,
( x, y, z; u, v, w). (在su 上)(d)
32
§8.4 按位移求解空间问题
归结：按位移求解空间问题，位移 必须满足： （1）V内的平衡微分方程(b) ； （2）sζ上的应力边界条件(c) ；
14
§8.2 几何方程及物理方程
若在 su 边界上给定了约束位移分量
u , v , w ，则空间问题的位移边界条件为：
(u ) s u ,
(u, v, w).
(c)
15
§8.2 几何方程及物理方程
体积应变定义为：
dv dv dv (d x x d x)(d y y d y )(d z z d z ) d xd yd z
7
§8.1 平衡微分方程
在
sζ 上的应力边界条件 设在 sζ 边界上，给定了
面力分量( f x , f y , f z )则可将微 分四面体移动到边界点上， 并使斜面与边界重合。斜面 应力分量( p x , p y , pz ) 应代之为面力分量 fx, f y , fz , 从而得出空间问题的应力边界条件:
19
§8.2 几何方程及物理方程
思考题
若形变分量为零， x γ 试导出对应的位移分量。
yz
0 ( x,y,z),
20
§8.3 轴对称问题的基本方程
空间轴对称问题 如果弹性体的几何形状，约束情况和所 受的外力都为轴对称，则应力，形变和位 移也是轴对称的。
采用柱坐标 ( , , z ) 表示。
29
§8.4 按位移求解空间问题
E μ u ζx , 1 μ 1 2μ x ( x, y, z; u, v, w). (a) E w v η yz , 2 1 μ y z
u v w 其中体积应变 。 x y z
xy x面 f y , xz x面 f z
9
§8.1 平衡微分方程
如果某一小部分边界上，如S1 上，精确的应力边 界条件（（d）式）难以满足时，按照圣维南原理， 可以用等效的主矢量和等效的主矩的条件来代替。 有两种表达方式： （1）在同一小边界面S1上，应力是主矢量和主矩 分别等于对应的面力主矢量和主矩（6个等式条 件）； （2）在小边界S1附近，切出一小部分的脱离体， 列出脱离体的力的平衡条件。
纲均为L，所以 x , y , z 坐标具有对等性，其
方程也必然具有对等性。因此，式(a)的其余
两式可通过式(c)的坐标轮换得到。
6
§8.1 平衡微分方程
由3个力矩方程得到3个切应力互等定理，
M
x
0 ， yz zy ，
空间问题的平衡微分方程精确到三阶
微量 (d xd yd z )。
2 2 2 2
(b)
31
§8.4 按位移求解空间问题
4. 将式 (a) 代入应力边界条件，得用位移表 示的应力边界条件：
E μ u m v u n w u l f x , 1 μ 1 2μ x 2 x y 2 x z s
(e)
35
§8.4 按位移求解空间问题
其中体积应变
u u u z ; z
轴对称的拉普拉斯算子为
2 1 2 2 2. 2 z
（2） ζ 上的应力边界条件。 S
（3） u 上的位移边界条件。 S
36
§8.4 按位移求解空间问题
10
§8.1 平衡微分方程
思考题
在图中，若点 o的x向正应力分 量为 ζ x ，试表 示点 A , B 的x向 正应力分量。
x dx
z
B dz
dy o A
y
11
§8.2 几何方程及物理方程
空间问题的几何方程，可以从平面问 题推广得出：
u x , x
w v yz , y z
，
(lζ x m yx n zx )s f x , ( x, y, z; l , m, n) . ( 在Sζ 上) (d ) 8
§8.1 平衡微分方程
如果边界面 sζ 是坐标面，则边界条件可以 得到简化。例如边界面为正、负x面，则 l=±1，m=n=0，应力边界条件简化为：
x x面 f x ,
u ,v , w
s （3） u 上的位移边界条件(d) 。
这些条件也是校核位移是否正确的全部条
件。
33
§8.4 按位移求解空间问题
在空间问题中，按位移求解方法尤为 重要：
1.能适用于各种边界条件。
2.未知函数及方程的数目少。而按应力求 解时，没有普遍性的应力函数存在。 3.近似解法中，按位移法求解得到广泛的 应用。
(e)
其中
u u uz z 。 z
26
§8.3 轴对称问题的基本方程
边界条件：
一般用柱坐标表示时，边界面均为坐
标面。所以边界条件也十分简单。
在柱坐标中，坐标分量
, , z
的量
纲、方向性、坐标线的性质不是完全相同
的。因此，相应的方程不具有对等性。
34
§8.4 按位移求解空间问题
按位移求解空间轴对称问题:
在柱坐标 ( , , z ) 中，可以相似地导出：
位移 uρ , u z 应满足：
（1）V内的平衡微分方程，
u 1 E 2 u 2 f 0, 2 1 1 2 E 1 2 u z f z 0, 2(1 ) 1 2 z
本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。 空间问题的基本方程，边界条件，以
及按位移求解和按应力求解的方法，都是
与平面问题相似的。因此，许多问题可以
从平面问题推广得到。
3
§8.1 平衡微分方程
取出微小的平行六面体， v d x d y d z， d 考虑其平衡条件:
F
0, x
x
F
M
由物理方程可以导出
1 2 Θ, （g） E
Θ是第一应力不变量，又称为体积应力。
E 1 2
--称为体积模量。
18
§8.2 几何方程及物理方程
结论：
空间问题的应力，形变，位移等15个未
知函数，它们都是(x ,y ,z)的函数。这些函数
在区域V内必须满足3个平衡微分方程，6个
几何方程及6个物理方程，并在边界上满足3 个应力或位移的边界条件。
(b)
23
§8.3 轴对称问题的基本方程
几何方程：
其中 u 0， z 0, 几何方程为
u z , , z z u z u z 。 z u u ,
(c)
24
§8.3 轴对称问题的基本方程
21
§8.3 轴对称问题的基本方程
对于空间轴对称问题： 所有物理量仅为(ρ,z)
的函数。
应力中只有 ζ ,ζ ,ζ z , z , z 0;
(a) 形变中只有 , , z , z , z 0; u , uz , 位移中只有 u 0。
38
§8.5 半空间体受重力及均布压力
采用按位移求解：
位移u,v,w应满足平衡微分方程及边界
条件。
考虑对称性：本题的任何x面和y面均
为对称面，可设
u 0,
v 0,
( x, y, z; u, v, w)
(a)
( x, y, z; u, v, w)
12
§8.2 几何方程及物理方程
从几何方程同样可得出形变与位移 之间的关系：
⑴ 若位移确定，则形变完全确定。
从数学上看，由位移函数求导数是 完全确定的，故形变完全确定。
13
§8.2 几何方程及物理方程
⑵ 若形变确定，则位移不完全确定。
yz
2(1 ) yz , E
( x ,y ,z ). (e)
17
§8.2 几何方程及物理方程
⑵ 应力用应变表示，用于按位移求解方法：