第5章 Hilbert 空间只要一门科学分支能提出大量的问题,它就充满着生命力, 而问题缺乏则预示独立发展的终止或衰亡.Hilbert D .(希尔伯特)(1862-1943,德国数学家)Hilbert 空间在历史上比赋范空间出现得早,2l 是最早提出来的Hilbert 空间,它是 1912年Hilbert D .在研究积分方程时给出的,而Hilbert 空间的公理化定义直到1927年才由Neumann V J ..在量子力学的的数学基础这一论文中给出,但它的定义包含了可分性的条件,llich F Lowig H Re .,.和Riesz F .在1934年指出,对于绝大部分理论,可分性是不必要的,因此可分性的条件就去掉了.5.1 内积空间在2R 中,把一个点看成一个向量,对于2R 的任意两个点),(),,(2121y y y x x x ==,定义内积2211),(y x y x y x +=,则可把向量的垂直、交角、投影等用内积来刻画,并且内积具有很好的性质.定义 5.1.1 设X 是线性空间,若存在X X ⨯到K 的一个映射,使得对任意X z y x ∈,,, 有（1） ),(),(x y y x =；（2） ),(),(),(z y z x z y x βαβα+=+；（3） 0),(≥x x , 且0),(=x x 当且仅当0=x 时成立.则称X 内积空间.在.}C ,)||(,|){(21212为复数这里+∞<∈=∑∞=i ii i x C x x l 上,定义内积为∑∞==1),(i i i y x y x ,则明显地,2l 是一个内积空间.n R 中的S c h w a r C a u c h y -不等式可以追溯Lagrange 和Cauchy ,积分形式的S c h w a r z C a u c h y -不等式是ky Bouniakows 在1859年和Schwarz 在1885证明的.2l 中的S c h w a r z C a u c h y -不等式则是Schmidt 在1908年得到的.抽象的Schwarz Cauchy -不等式是Neumann von 在1930年证明的.在内积空间X 中,有下面的Schwarz Cauchy -不等式成立.定理5.1.1(Schwarz Cauchy -不等式) 若X 是内积空间,则对任意X y x ∈,,有),(),(|),(|2y y x x y x ⋅≤证明 明显地,只须证明0≠y 时不等式成立.对于任意0,≠∈y K λ,有2||),(}),Re{(2),(),(λλλλ⋅++=++y y y x y x y x y x 取),(),(y y y x -=λ, 则 0),(),(|),(|),(|),(|2),(222≥+-y y y y y x y y y x x x 因此),(),(|),(|2y y x x y x ⋅≤.利用S ch wa r z Ca u ch y -不等式,可以证明任意的内积空间X 都可以定义范数),(||||x x x =,使之成为赋范空间.定理5.1.2 设X 是内积空间,),(||||x x x =,则||||⋅是X 的范数.证明 由内积的定义可知0||||=x 时,有0=x . 由于),(||),(),(2x x x x x x λλλλλ==因此,||||||),(||),(||||x x x x x x λλλλλ===.对于任意X y x ∈,,由Cauchy 不等式,有),(),(),(2),(),()],Re[(2),(),(||||21212y y y y x x x x y y y x x x y x y x y x ++≤++=++=+ 因而||||||||||||y x y x +≤+,所以||||⋅是X 的范数.由上面定理可知,对于任意内积空间,),(||||x x x =是X 的范数,一般称这一范数为内积),(y x 诱导的范数,在这一范数的意义下,可以把内积空间X 看成赋范空间||)||,(⋅X ,这样的内积空间X 上可以使用赋范空间||)||,(⋅X 的所有概念,如序列的收敛和子集的列紧性、完备性等.定义 5.1.2 若内积空间X 在范数),(||||x x x =下是B a n a c h 空间,则称X 是Hilbert 空间.容易证明,2l 是Hilbert 空间. 内积空间还具有许多很好的性质.定理5.1.3 设X 是内积空间,若y y x x n n →→,,则),(),(y x y x n n →.证明 由于 |||||||||||||||||),(||),(||),(),(||),(),(||),(),(|y y x y x x y y x y x x y x y x y x y x y x y x n n n n n n n n n n n n -⋅+⋅-≤-+-=-+-≤-因此y y x x n n →→,时,有),(),(y x y x n n →.不难证明,对于内积空间X ,有如下的极化恒等式成立.定理5.1.4 设X 是实内积空间,则对任意X y x ∈,,有)||||||(||41),(22y x y x y x --+= 定理5.1.5 设X 是复内积空间,则对任意X y x ∈,,有)||||||||||||||(||41),(2222iy x i iy x i y x y x y x --++--+=由于内积空间具有很好的几何直观性,而每一个内积空间都可以引入范数),(||||x x x =, 使之成为赋范空间,因此可以考虑如下问题.问题 5.1.1 对于任意赋范空间X ,可否定义内积使之成为内积空间,且满足),(||||x x x = ?例如,在赋范空间1l 中,对于任意1,l y x ∈,定义∑∞==1),(i i i y x y x ,则),(y x 是否为 1l 的内积,并满足),(||||x x x =？定理 5.1.6 设X 是赋范线性空间,则在X 可以定义内积),(,使之成为内积空间,且),(||||x x x =的充要条件为对任意X y x ∈,,有)||||||(||2||||||||2222y x y x y x +=-++证明 若X 可以定义内积,使之成为内积空间,且),(||||x x x =,则2222||||2||||2),(2),(2),(),(||||||||y x y y x x y x y x y x y x y x y x +=+=--+++=-++反过来,若对于任意X y x ∈,,有)||||||(||2||||||||2222y x y x y x +=-++.为了简明起见,这里只证X 是实赋范空间的情形.令 )||||||(||41),(22y x y x y x --+=,则 （1） ),(),(x y y x =；（2） 0),(≥x x 且0),(=x x 且当仅当0=x ;（3） 对于任意X z y x ∈,,,有)]||2||||)2((||2)||2||||)2((||2[41])||2)2(||||2)2((||)||2)2(||||2)2([(||41)||)(||||)((||41),(2222222222y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x z y x z y x z y x +++--++++=+--++++-+-+-+++++++=-+-++=+ )||2||||2(||2122z y x z y x -+-++= 由于)||2||||2(||21)]||2||||2(||2)||2||||2(||2[41])||2)2(||||2)2((||)||2)2(||||2)2([(||41)||||||||||||||(||41),(),(22222222222222z y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x z y z y z x z x z y z x -+-++=-+-+--+++=---++-+-+---+++-+++=--++--+=+ 因此,),(),(),(z y z x z y x +=+.对于任意X y x R ∈∈,,λ,令),()(y x f λλ=,则)(λf 为连续函数,且)()()(2121λλλλf f f +=+,因此)(λf 是线性的,即λλ⋅=)1()(f f ,因而),(),(y x y x λλ=. 由222||||)||||||(||41),(x x x x x x x =--+=可知),(||||x x x =,因此),(y x 是X 上的内积,且),(||||x x x =.在上面定理的证明中,当X 是复赋范空间时,令)||||||||||||||(||41),(2222iy x i iy x i y x y x y x --++--+=, 则可证明),(y x 就是X 上的内积,且满足),(||||x x x =.由以上定理可知,一般的赋范线性空间||)||,(⋅X 不一定可以定义内积),(⋅⋅,使之成为内积空间,且满足),(||||x x x =.例 5.1.1 在∞l 中,取),0,1,1(),,0,0,1,1( -==y x ,则1||||,1||||==y x ,但2||||||||=-=+y x y x ,因此)||||||(||2||||||||2222y x y x y x +≠-++,所以在∞l 上不能定义内积,使得∞l 成为内积空间,且满足),(||||x x x =.利用前面定理,还可以证明内积空间一定是严格凸的.定理5.1.8 设X 是内积空间,则X 一定是严格凸的赋范空间.证明 对于任意X y x ∈,,若y x ≠,且1||||||||==y x ,则由 )||||||(||2||||||||2222y x y x y x +=-++可知4||||4||||22<--=+y x y x ,因而1||2||<+y x ,所以X 是严格凸的.5.2 投影定理内积空间是n R 的自然推广,在内积空间X 上,可以把向量空间n R 的正交和投影等概念引进来.定义5.2.1 设X 是内积空间,X y x ∈,,若0),(=y x ,则称x 与y 正交,记为y x ⊥. 若X M X x ⊂∈,,且对任意M y ∈,有0),(=y x ,则称x 与M 正交,记为M x ⊥.若对任意N y M x ∈∈,,都有0),(=y x ,则称M 与N 正交,记为N M ⊥.若X M ⊂,则称}|{M x X x M ⊥∈=⊥为M 的正交补.例题 5.2.1 设]1,1[-C 为[-1, 1]上的实连续函数全体,内积为⎰-=11)()(),(dt t y t x y x ,若M为[-1, 1]上的实连续奇函数全体,试证明M 的正交补为[-1, 1]上的实连续偶函数全体.证明 (1) 若y 为[-1, 1]上的实连续偶函数,则对所有,M x ∈)()(t y t x 都是[-1, 1]上的实连续奇函数,从而0)()(),(11==⎰-dt t y t x y x ,因此⊥∈M y . (2) 反过来，若⊥∈M y ，令)()()(t y t y t z --=,则)()()()(t z t y t y t z -=--=-,从而)(t z为奇函数,因此M z ∈,所以0),(=z y .由于)()()()()()]()([)(2t z t y t z t y t z t y t y t z --+=--=,因此 0),(),()()()()()(1111112=+=--+=⎰⎰⎰---z y z y dt t z t y dt t z t y dt t z从而 0)]()([112=--⎰-dt t y t y 由)(t y 是连续函数可知)()(t y t y -=,即)(t y 一定是偶函数.由(1)和(2)可知,M 的正交补为[-1, 1]上的实连续偶函数全体.明显地,由以上的定义可以看出下面定理成立.定理5.2.1 设X 为内积空间,X M X x ⊂∈,,则（1） 当y x ⊥时,有222||||||||||||y x y x +=+；（2） 当y x ⊥且z x ⊥时,有)(21z y x λλ+⊥对于任意K ∈21,λλ都成立；（3） 当N M ⊥时,有⊥⊂N M ,且⊥⊂M N ；（4） 当N M ⊂时,有⊥⊥⊃N M ；（5） }0{⊂⊥M M ,对任意X M ⊂成立.定理5.2.2 设X 是内积空间,X M ⊂,则⊥M 是X 的闭线性子空间.证明 对于任意 ⊥∈M y x ,,及M z ∈,有 0),(=z x 且 0),(=z y因此,对任意 K ∈βα,,有0),(),(),(=+=+z y z x z y x βαβα故⊥∈+M y x βα,即⊥M 是线性子空间.若x x M x n n →∈⊥,,则对任意M z ∈,有0),(lim ),(==∞→z x z x n n , 因此⊥∈M x ,所以,⊥M 是X 的闭线性子空间.定理5.2.3 设X 是内积空间,X M ⊂,则⊥⊥=M M span ))((.证明: 对于M M span ⊃)(因此⊥⊥⊂M M span ))((.反过来,对任意⊥∈M x ,有⊥⊂}{x M ,由上面定理可知⊥}{x 是闭子空间, 故⊥⊂}{x M span ,因而⊥∈))((M span x ,所以⊥⊥⊂))((M span M ,从而⊥⊥=M M span ))((. 定义 5.2.2设X 是内积空间,M ,N 是X 的线性子空间,若N M ⊥,则称},|{N y M x y x H ∈∈+=为M 与N 的正交和,记为N M H +=.如在2R 中,取}|),0{(},|)0,{(2211R x x N R x x M ∈=∈=,则N M ⊥,且N M R +=2.定义5.2.3 设M 是内积空间X 的线性子空间,X x ∈,若存在⊥∈∈M y M x ,0,使得y x x +=0则称0x 为x 在M 上的投影.在3R 中,对},|)0,,{(2121R x x x x M ∈=,及任意 X x x x x ∈=),,(321,有⊥∈=∈=M x y M x x x ),0,0(,)0,,(3210,使得y x x +=0即0x 为x 在M 上的投影.定理5.2.4 设X 是内积空间,M 是X 的子空间,X x ∈,若0x 是x 在M 上的投影,则||||inf ||||0z x x x Mz -=-∈ 证明 由于0x 是x 在M 上的投影,因此M x ∈0且M x x ⊥-0,故对于任意M z ∈,有M z x ∈-0,因而z x x x -⊥-00,故2020202002||||||||||||||)()(||||||x x z x x x z x x x z x -≥-+-=-+-=-,所以,||||inf ||||0z x x x Mz -=-∈. 在3R 中,若取},|)0,,{(2121R x x x x M ∈=,则对任意X x x x x ∈=),,(321,x 在M 上的投影)0,,(210x x x =与x 的距离是x 到M 上的最短距离.Schmidt E .在讨论 Hilbert 的原型2l 空间时,在2l 证明了对任一固定的闭子空间M ,若x 是2l 的任一点,则存在唯一的⊥∈∈M y M x ,0,使得y x x +=0,这就是现在的投影定理.定理5.2.5 设M 是Hilbert 空间X 的闭子空间,则对任意X x ∈,x 在M 上存在唯一的投影,即存在⊥∈∈M y M x ,0,使得y x x +=0,且这种分解是唯一的.证明 对于X x ∈,令||||inf ),(z x M x d d Mz -==∈,则存在M x n ∈,使得 d x x n n =-∞→||||lim . 由于M x x n m ∈+2,因此d x x x n m ≥-+||2||. 故 ||)2||||||(||2)||2||2||||||(||2)||2||2(2||||22222222d x x x x x x x x x x x x x x x n m n m n m n m n m --+-≤-+--+-=-=- 由d x x n →-||||,可知}{n x 是Cauchy 列.由于X 是Hilbert 空间,且M 是闭凸集,因此存在M x ∈0,使得0x x n →,所以),(||||0M x d x x =-.令0x x y -=,则y x x +=0,因此下面只须证明M y ⊥.对任意0,≠∈z M z ,及任意K ∈λ,有M z x ∈+λ0.因此d z x x ≥+-||)(||0λ,故22202020||||||)),(Re(2||||||)(||d z z x x x x z x x ≥+---=--λλλ.取20||||),(z z x x -=λ,则 22202022022020|||||),(||||||||||),(||||||),(|2||||d z z x x x x z z x x z z x x x x ≥---=-+---由d x x =-||||0可知,一定有 0),(0=-z x x ,因此z x x ⊥-0对于任意M z ∈成立,即M y ⊥. 由上面讨论可知对于任意M x ∈,存在⊥∈∈M y M x ,0,使得y x x +=0.现证这种分解是唯一的.假设存在另一个M x ∈'0及⊥∈M y ',使得''0y x x +=,则⊥∈-∈-M y y M x x ''00,,故由M x x x x x x y y ∈-=---=-'00'00')()(,可知'y y =.结合前面的定理,还可以得下面推论.推论 5.2.1 设X 是Hilbert 内积空间,M 是X 的闭子空间,X x ∈则M x ∈0使得),(||||0M x d x x =-当且仅当M x x ⊥-0.问题 5.2.1 若M 是Hilbert 空间X 的子空间,但M 不是闭的子空间,那对任意X x ∈,x 在M 上是否存在投影呢？例5.2.2 在2l 中,M 为只有有限项非零的实数列全体构成的子空间,则M 不是2l 的闭子空间。
