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(优选)空间问题的基本理论纯黑

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空间问题基本理论英语版演示文稿

空间问题基本理论英语版演示文稿

dφ
φ
φ
ρ
ρ φ
z
z
z
dz
zr
zr
z
dz
r rz
rz
rz r
dr
r
r r
dr
zr
r
z
根据r方向的平衡，可得
r
r
r
d r (r
d r)d
d
z
rr
d
d
z
2
dr
d
z
d
2
r
r
z
d z r d
dr
r r d
dr
Krr d
drdz
0
化简后得到
r
r
r
z
r
r
Kr
0
第十一页，共12页。
第四页，共12页。
N
ZN XN
YN
zx 0 y 由x方向的平衡得到：
XNΔS = lΔSσx+mΔSτyx+nΔSτzx
即 XN = lσx+mτyx +nτzx
注意，这里边界上的外力是坐标轴方向上的分量。
第五页，共12页。
由y、z方向的平衡得到:
YN= lτxy+mσy+nτzy ZN = lτxz +mτyz+nσz
应力边界条件为：
X = lσx+mτyx +nτzx Y = lτxy+mσy+nτzy Z = lτxz +mτyz+nσz
求解的应力应满足平衡方程和应力边界条件，在 空间应力状态有六个未知的应力函数，只有三个 平衡方程；边界条件主要是用来确定解出的应力 中的未定常数。

8空间问题的基本理论

8空间问题的基本理论

对三维 情形( i，j =1，2，3) 排列成矩阵：
⎡δ 11 δ 12 δ 13 ⎤ ⎡1 0 0⎤ ⎥ = ⎢ 0 1 0⎥ δ ij = ⎢ δ δ δ 22 23 ⎥ ⎢ 21 ⎥ ⎢ ⎢ ⎦ ⎣0 0 1⎥ ⎦ ⎢ ⎣δ 31 δ 32 δ 33 ⎥
对二维 情形( i，j =1，2) 排列成矩阵：
x2
A ⋅ S = A S cos( A, S ) = ∑ a k ξ k A ⋅ S = A S cos( A, S ) = ∑ a i ′ξ i ′
k =1 3′ i ′ =1′
3
x1
显然，
A ⋅ S 应与坐标系的选择无关，即有
i ′ =1′
′ x1
∑a ξ = ∑a ξ
i′ i′ k =1 k
F = ∑ akξ k
3
x′ 3
x3 A S P
O′ O
P′
x′ 2
x2
是与坐标有关的三个标量， 它们使得一次形式：
k =1
在坐标变换时不变，则 矢量的变换规律： 设
为矢量。 ( a1 , a 2 , a 3 )
—— 判别任意三个标量是否构成矢量的准则。
x1
′ x1
、( a1′ , a 2′ , a 3′ )分别为 (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 )、 (a1 , a 2 , a 3 ) 和 (ξ 1′ , ξ 2′ , ξ 3′ )
比较式（d）等号的右边，有
x1
′ x1
a k = ∑ a i ′ l i ′k
i ′ =1′
3′
（e）
同理，将式（a）： ξ k = ∑ l i ′k ξ i ′
i ′ =1′
3′
（a）

空间问题基本理论

空间问题基本理论

上式应变分量用位移分量 表示， E u 1 2 1
E z z 1 1 2 E zr zr 2(1 )
u 1 2 E w z 1 1 2 z E 1 E u w z z 2(1 )


1
就得到了平面应变状 态下的物理方程。
5.5
空间轴对称问题
r
rz
z
z dz z zr zr dz z rz rz dr r
θ
r
dr
dθ
dθ
r
z
zr
r
r dr r
θ
r

r
从轴对称物体中取出图 示的单元体。 由于对称性， 并且环向体力分量为零。
以X轴为投影轴，列出平衡方程
F
x
0
整理后便得到x方向的平衡方程:
X
yz 同理可以得到y、z方向的 xz yz dz xz dz z 平衡方程 z yz yz dy yz y y y y dy xz y yx 则空间问题平衡方程如下： x xy yx y d y yx
求解上式得三个实根σ1，σ2，σ3，这即为P点的三 个主应力。 并可得与σ1对应的l1,m1,n1的关系 1 l1 m1 2 n1 2 1 ( ) ( ) l1 l1
5.4
几何方程和物理方程

空间问题的位移分量为：u、v、w u v w x , y , z x y z w v u w v u yz , zx , xy y z z x x y 位移边界条件：u s u , vs v, ws w 物理条件： E 1

空间问题的基本理论

空间问题的基本理论
第七章 空间问题的基本理论
§7-1 平衡微分方程
工程实际中，除经常碰到一些平面问题外，还会 碰到大量的空间问题，对空间问题，必须考虑三个方 向的尺度
分析空间问题，仍然要从三个方面考虑：a、静力 学方面 b、几何学方面 c、物理学方面
空间问题中未知量为： x、y、z、xy、xz、yz x、y、z、xy、xz、yz u、v、w
先从静力学方面考虑，导出空间问题的平衡微分方程 从物体内任一点P，取微小的平行六面体，它的六个面 垂直于坐标轴，棱边长分别为：
PA=dx， PB=dy， PC=dz
各面上的应力分量如图所示，体积力为fx、fy、fz
建立微单元的平衡微分方程：
Fx 0
x
x
yx
y
zx
z
fx
0
Fy 0
y
y
xy
r
E
1
[
1 2
r ]
j
E
1
[
1 2
j ]
z
E
1
[ 1 2
z]
zr
2(1 E
)
zr
(7-20)
小结：
空间轴对称问题的基本未知量为： 应力分量：r、j、z、zr 应变分量：r、j、z、zr 位移分量：ur、uz 这10个未知量应满足2个平衡微分方程；4个几何 方程；4个物理方程；在边界上还要满足边界条件
§ 7-4 几何方程及物理方程
一、几何方程（参照平面问题几何方程）：
x
u x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
xz
u z
w x
yz
v z
w y
位移在边界上满足位移边界条件：

第七章 空间问题的基本理论

第七章 空间问题的基本理论
物理方程
u
E 1 z , E 1 z z , E 2 1 z z E
15
7-5 轴对称问题的基本方程
体积应变
1 2 1 2 z z E E
10
7-4 几何方程及物理方程
空间问题的物理方程
1 x x y z , E 1 y y x z , E 1 z z x y , E 2 1 2 1 2 1 yz yz , xz zx , xy xy E E E
9
7-4 几何方程及物理方程
空间问题的几何方程
u v w x , y , z x y z w v u w v u yz , zx , xy y z z x x y
体应变
x y z
u v w x y z
x
x y
Hale Waihona Puke 0x y
1
q
22
第七章 典型例题
2 11 q z E 1
2 11 q x y z E 1
由于没有摩擦力，因此剪应力分量都为零，所以应力分量 体应变为
第七章 空间问题的基本理论
目 录 §7-1 平衡微分方程
§7-2 物体内任一点的应力状态
§7-3 主应力 最大和最小应力
§7-4 几何方程和物理方程
§7-5 轴对称问题的基本方程
2
7-1 平衡微分方程
在一般空间问题中，包含15个未知函数，即6个应力分 量、6个形变分量和3个位移分量，而且他们都是x,y,z的 函数

弹性力学-05空间问题的基本理论 第五章(1)

弹性力学-05空间问题的基本理论 第五章(1)

B
dz A
d
O x
P
z
y
r
dr
y
z
O
dz
r rz
r
C Z
zr
P
rz rz dr z dr r
r
Kr
r r dr r
A
d
rd
r
dr
Kr

(r+dr)d
x

r r dr r
F
r
0, （略去四阶以上小量）
r r dzdrd drdzrd r zr dzrdrd dzdrd z K r rddrdz 0
物理方程：
x c11 x c12 y c13 z c14 yz c15 zx c16 xy y c21 x c22 y c23 z c24 yz c25 zx c26 xy z c31 x c32 y c33 z c34 yz c35 zx c36 xy yz c41 x c42 y c43 z c44 yz c45 zx c46 xy zx c51 x c52 y c53 z c54 yz c55 zx c56 xy xy c61 x c62 y c63 z c64 yz c65 zx c66 xy
体积应变 e 、体积应力 Θ 不随体积而变。
用应变表示的物理方程：
E r e r e 2G r 1 1 2 E e e 2G 1 1 2 E z e z e 2G z 1 1 2
式中：E 为材料的弹性模量； 为泊松比。

7-空间问题的基本理论

7-空间问题的基本理论

yx
y
dy
B
dy
zx
z
zy
A
z
oy
x
2020/8/7
土木工程与力学学院 蒋一萱
8
§7.1 空间问题的一般理论与基本方程
F 0
z
z z
dz
FF 00 C o
y
zx
yz yx
zx dz
z xy
xy x
x dx
Z xz
xzX
x xy
zy
Y
zy dz
z
x x
第七章 空间问题的基本理论
2020/8/7
土木工程与力学学院 蒋一萱
1
主要内容
§7.1 空间问题的一般理论与基本方程 §7.2 物体中任一点的应力状态 §7.3 空间问题的两种简化形式
2020/8/7
土木工程与力学学院 蒋一萱
2
❖ 为什么要研究空间三维弹性体？
—— 有工程的需要：对于复杂的工程问题，由于结构体的 形状复杂，受力也多种多样，因而有必要对三维的空间问 题予以研究。 —— 某些可看作平面问题的精细化求解：平面问题只是对 某些具有特殊几何与外部载荷特征的（如薄板受面内作用 力、柱形体受与轴向无关的载荷等）三维空间问题的简化 处理。
zx
T zx
w x
u z
T
;
2020/8/7
土木工程与力学学院 蒋一萱
13
§7.1 空间问题的一般理论与基本方程
为了导出刚体位移的表达式，可令各应变分量为零，即
x 0; y 0;
z 0;
xy 0; yz 0;
球对称问题
在球对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标 的函数。 R ， ， R ， ， ij ij 0 ，

CH 7 空间问题的基本理论

CH 7 空间问题的基本理论

7.2 物体内任一点的应力状态
• 应力状态特征方程
• ——确定弹性体内部任意一点主应力和应力主轴方 ——确定弹性体内部任意一点主应力和应力主轴方 向。 • 主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和边界条 主应力和应力主轴方向取决于载荷、 件等，与坐标轴的选取无关。 件等，与坐标轴的选取无关。 • 因此，特征方程的根是确定的，即I1、I2、I3的值是 因此，特征方程的根是确定的， 不随坐标轴的改变而变化的。 不随坐标轴的改变而变化的。 分别称为应力张量的第一 第一、 • I1 、 I2 、 I3 分别称为应力张量的 第一 、 第二和第三 不变量。 不变量。
εy =
σx = λe +2Gεx ,σy = λe +2Gεy ,σz = λe +2Gεz τ yz = Gγ yz , τzx = Gγ zx, τxy = Gγ xy
X = lσx + m yx + nτzx τ Y = m y +nτzy +lτxy σ Z = nσz +lτxz +m yz τ
CH 7 空间问题的基本理论
l (σ x − σ ) + mτ yx + nτ zx = 0 lτ xy + m(σ y − σ ) + nτ zy = 0 lτ xz + mτ yz + n(σ z − σ ) = 0
7.3 主应力与应力主向
σ x −σ τ xy τ xz
σ y −σ τ yz
cos(N, x) = l, cos(N, y) = m cos(N, z) = n ,
设 面 C的 积 ∆S,则 角 B ,CPA APB 面 平 AB 面 为 三 形 PC , 的 积 1 分 为∆s, m s, n∆s。 四 体 体 为 V = ∆x∆y∆z 别 l ∆ 命 面 的 积 ∆ 3

空间问题的基本理论专选课件

空间问题的基本理论专选课件
ρ
轴对称问题
§5-1 平衡微分方程 在外力作用下，物体整体平衡的同时，任
何一部分也将保持平衡。从中取出一个单元体 加以分析。
在物体内的任一点P取一微小的正六面体，其 六面垂直于坐标轴，棱长为dx,dy,dz。
xz
xz
x
dxLeabharlann xzzoy x考虑图示单元体z轴方向的平衡:
在z面的负面z处，正应力为
由x方向的平衡得到：
pxdS - σx ldS-τyx mdS -τzx ndS + fxdv=0
除以ds ,然后令dv/ds→0, 得：
px= l σx + m τyx + n τzx
同理可得 y,z方向的平衡 条件，于是得：
px= l σx + m τyx + n τzx
py= mσy + n τzy + l τxy pz= n σz + l τxz +m τyz
d
x
z
oy x
yz
yz
y
d
y
由 Fz 0:
(z
z
z
dz)dxdy
zdxdy
(yz
yz
y
dy)dxdz
yzdxdz
(xzxxzdx)dydz xzdydzfzdxdyd0z
整理便得到z方向的平衡方程:
z
z
xxzyyzfz
0
同样得到x、y方向的平衡方程。
空间问题中的平衡微分方程：
x
x
yyx zzxfx
0
y
y
zzyx xyfy
0
z
z
xxzyyzfz
0
（5－1）

空间问题的基本理论70页PPT

空间问题的基本理论70页PPT

6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
空间问题的基本理论
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作，பைடு நூலகம்集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
Thank you

第八讲 空间问题基本理论(一)

第八讲 空间问题基本理论(一)

第八讲 空间问题的基本理论（一）与平面问题方法一样，解决空间问题从三方面考虑：静力学方面（平衡）、几何学方面（应变）、物理学方面（胡克定理）。

平衡微分方程在物体内任一点处，用六个两两相 互平行的平面割取一边长分别为 dx 、dy 、dz 的微小六面体，共有九 个应力分量σx 、σy 、σz 、τxy 、τyx 、τyz 、τzy 、τxz 、τzx 。

列各力矩平衡方程∑=0M得到：τyx = τxy ，τzy = τyz ，τzx = τxz ，独立应力分量为六个：σx 、σy 、σz 、τxy 、τyz 、τxz 。

∑=0xFdxdz dxdz dy ydydz dydz dx xxy xy xy x x x τττσσσ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+0=+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂++dxdydz f dxdy dxdy dz z x xy xyxy τττ除以dxdydz 后得到 0=+∂∂+∂∂+∂∂x xzxy x f z y x ττσ 0=+∂∂+∂∂+∂∂y yz y xy f zyxτστ0=+∂∂+∂∂+∂∂z zyz xz f zy x σττ物体内任一点的应力状态问题：已知物体内任一点P 的六个应力分量σx 、σy 、σz 、τxy 、τyz 、τxz ，求经过该点的任一斜面上的应力图示微小四面体P ABC ，外法线为N ，方向余弦 cos(N , x ) = l ，cos(N , y ) = m ，cos(N , z ) = n三角形ABC 上的全应力p 沿坐标轴方向的投影分别为p x 、p y 、p z ，设三角形ABC 的面积为∆S ，由投影关系，则三角形BPC 、CP A 、APB 的面积分别为l ∆S 、m ∆S 、n ∆S 。

平衡方程∑=0xF0=+---V f S n S m S l S p x xz xy x x ∆∆τ∆τ∆σ∆ 得到：xz xy x xx n m l SVf p ττσ∆∆++=+ 注意到：四面体的体积趋于零时，∆V 与∆S 相比是高阶小量，则 xz xy x x n m l p ττσ++= 类似有：yz y xy y n m l p τστ++= z yz xz z n m l p σττ++= 三角形ABC 上的全应力2222zy x p p p p ++= 设三角形ABC 上的正应力为σN ，剪应力为τN ，由关系式222NN p τσ+= z y x N np mp lp ++=σxz yz xy z y x nl mn lm n m l τττσσσ222222+++++= 可以求出一点处任一斜面上的正应力和剪应力。

问题空间理论

问题空间理论

被试的知识状态如何不断转换（片段）
被试的口语记录如下： 有10个不同的字母，每个字母都有一个数值。所以，我可以看看两 个D，（1）一个D是5，因此，（2）T就是0，所以，我想我可 以写下这里的问题作为开始。我要写的是0. 现在，（3）我还有别的T吗？没有了。不过我还有一个D，这意味 着在另一侧还有一个5。 （4）（6）现在我有两个A和两个L，它们各自在某个地方。而这 个R，有3个R呢，两个L等于一个R，当然，要进1，（5）（7） （13）就是说R一定是奇数，因为两个L相加或者任意两个数相 加必然得出偶数，而1是奇数。（8）所以R只能是1或3，但不会 是5、7、9. 现在来看G,（9）（11）由于R可能是奇数，而D是5，（10）G只 能是偶数，现在来看问题的左侧，这里说D+G，哦，也许还要加 上另一个数，（12）如果我从E+O必须进1的话。我想我会暂时 忘记这一点的。
6/22/2012
一个客观的问题结构可以被描述成一系列状 态 开始是初始状态——站在迷宫外面 接着会出现许多中间状态——在迷宫中走动 最后出现目标状态——站到迷宫中央了
牛厄尔和西蒙还把问题空间构想为一些节点的集合，一个 节点代表一种知识状态，不同的节点由称为算子的认知过 程联结起来。通过对心理算子的运用，人们可以从一个知 识状态转移到另一个知识状态。 因此，在牛厄尔和西蒙看来，问题解决就是在问题空间中 移动节点，以达到或进入不同的知识状态。这种移动的过 程就是搜索的过程，它由一个执行系统来控制。
问题空间
问题空间是问题解决的一个基本范畴，是问题 解决者对一个问题所达到的全部认识状态。
在初始状态和目标状态之间存在着大量 的备选路径，这些可能存在的状态和 路径就构成了整个问题空间。
对该问题的有关特征进行编码加工，从而构建相应的内部 表征。

用差分法和变分法解平面问题 (2)

用差分法和变分法解平面问题 (2)
n 0 , p σn σ.
斜面上沿坐标向的应力分量为
px l , py m , pz n .
代入 px , py , pz , 得到
lσ x mσ
m yx n y n zy l
zx xy
lσ, mσ
,
(a)
nσ z l xz m yz nσ。
第五章 空间问题的基本理论
考虑方向余弦关系式,有
y
2 yz
2 zx
2 xy
)σ
(σxσ
yσz
σx
2 yz
σ y
2 zx
σz
2 xy
2
yz
zx
xy
)
0.
(c)
第五章 空间问题的基本理论
应力主向
3.应力主向
设主应力 σ1的主向为l1, m1, n1。代入式
(a)中的前两式，整理后得
yx
(σ y
m1 l1
zx
σ1
)
m1 l1
n1 l1
(σx
zy
第五章 空间问题的基本理论
Fx : Fy : Fz : Mx : My : Mz :
ab
a b (τ zx )z0 d x d y 0,
ab
a b (τ zy )z0 d x d y 0,
ab
a b (σ z )z0 d x d y F;
ab
a b (σ z )z0 y d x d y Fb,
平衡条件
取出微小的平行六面体，d v d x d y d z，
考虑其平衡条件:
F 0, x
Fy 0, Fz 0; (a)
M x 0, M y 0, M z 0. (b)
第五章 空间问题的基本理论

第四章--空间问题的基本理论

第四章--空间问题的基本理论

只包含位移分量的微分方程。
将几何方程代入物理方程，得出 用位移分量表示应力分量的弹性方程。
x
E 1
1
2
e
u x
y
E 1
1
2
e
v y
z
E 1
1
2
e
w z
xy
E
2 1
v x
u y
yz
E
2 1
w y
v z
zx
E
2 1
w x
u z
第四章 空间问题的基本理论
e
2G
w z
n
Z
和平面问题一样，按边界条件也可以把空间问题划分
为三类：位移边界、应力边界和混合边界问题。
第四章 空间问题的基本理论
小结
对于空间问题，共有15个未知函数：6个应力分量
x , y , z , xy , yz , zx ； 6个应变分量 x , y , z , xy , yz , zx ；3个位移
令平面ABC的外法线为N，其方向余弦为 z C
cos N, x l,cosN, y m,cosN, z n
设三角形ABC的面积为S，则三角 形BPC、CPA、APB的面积分别为lS 、 mS、 nS。四面体PABC的体积用V
表示。三角形ABC上的应力 在坐标sN
轴方向的分量用XN、YN、ZN代表。根
样，由平衡条件 Fy 0,Fz 0 可以得出其余两式。
XN
l x
m yx
n
zx
YN l xy m y n zy
ZN
l xz
m yz
n z
设三角形ABC上的正应力为N , 则由投影可得

空间问题的基本理论

空间问题的基本理论

斜面应力
§7-2 物体内任一点的应力
在空间问题中，同样需要解决：由直
角坐标的应力分量 σ x
…

…，来求出斜
yz
面(法线 n）上的应力。
第七章 空间问题的基本理论
斜面应力
斜面全应力p可表示为两种分量形式： p沿坐标向分量:
p ( px, py , pz )
p沿法向和切向分量:
p (σn , n )
M x 0 ， yz zy 。 (x, y , z) (d)
空间问题的平衡微分方程精确到三阶 微量 (dxd ydz)。
第七章 空间问题的基本理论
思考题
z
在图中，若
点o的x向正应 力分量为 σ x ， 试表示点A , B
B dz
的正应力分量。
dy
y
o dx
A
x
第七章 空间问题的基本理论
第七章 空间问题的基本理论
第七章 空间问题的基本理论
n n
2. 求 p (σn , n ) 将 p ( px , py , pz )向法向 n投影，即得
σn lpx mpy npz
l2σx m2σy n2σz 2mn yz 2nlzx 2lmxy . (b)
第七章 空间问题的基本理论
考虑方向余弦关系式,有
l 2 m2 n2 1.
(b)
式(a) , (b)是求主应力及其方向余弦的方程。
第七章 空间问题的基本理论
2. 求主应力 σ
将式(a)改写为
(σx σ)l yxm xyl (σ y σ)m
zzxynn00,,
平衡条件
取出微小的平行六面体，d v d x d y d z，

问题空间理论

问题空间理论

4.评价当前状态 这里包括对算子和策略是否适宜、当前状态是否接近目标 、问题是否已得到解决等作出评估。在一些情况下，经过 评估，可以更换算子和改变策略。有时甚至需要对问题的 起始状态和目标状态重新进行表征，是问题空间发生剧烈 的变化。
6/22/2012
显然，一个人对问题所具备的知识状态是很关键的，对问 题的个人观念（即个人是怎样表征初始问题状态的）和解 决问题是所运用的知识（个人可以运用的算子和策略）决 定了一个人的问题解决行为。 其他学者的研究还表明，问题解决者在解决某一个问题或 某些相似问题时，在从前一个阶段到后面阶段的移动中可 能会在一定程度上形成对某些算子的偏爱。同时，问题解 决者可能对运用哪些算子获得了成功或运用哪些算子遭遇 了失败很敏感。
6/22/2012
问题行为图
排列问题
问题行为图是牛厄尔等人用来表示问题解决者在问题空间中的活动轨迹的方法，也被 其他认知心理学家广泛使用来表现人们在问题解决过程中的思想和行为。
问题行为图有两个组成元素，就是问题解决者的知识状态和所应用的算 子。下面的例子是牛厄尔（1967）制作的一位被试解答密码算题的问 题行为图，该密码算题是：在下面的加法算式中，有10个不同的字母 ，每个字母分别代表0~9的一个数字，先已知D=5，要求被试推导出每 一个字母所代表的数字，运用通常的加法规则，使得下面的算式成立。 DONALD + GERALD ----------ROBERT
6/22/2012
同时，问题解决的所有加工过程 都会受到认知系统的某些限制， 比如，加工可能受到工作记忆容 量的限制， 另外，信息在长时记忆中的贮存 与提取速度也可能对加工产生某 些限制。
6/22/2012
一个具体问题可能有许多可供选择的解决路径，题解决 者如何选择呢？
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ij ij I
(7-5)
特征方程为
f det ij I 3 I12 I2 I3 0 (7-6)
其中I1、I2、I3分别称为应力张量的第一、二、三不变 量，是与应力张量对应的行列式的一、二、三阶主子式
之和，即为
I1 x y z
I2
x xy
xy y y yz
(x xx)(y yy)(z zz)
其单位体积的体积改变也就是所谓体积应变为
(x xx)( y y y)(z zz) x yz
(1 x )(1 y )(1 z ) 1 x y z y z z x x y x yz
忽略二阶以上微量，则有
x y z xx yy zz 11 22 33 kk
此即为体积应变。
广义虎克定律
Lamè形式
x
1 E
x
y
z
y
1 E
y
z
x
z
1 E
z
x
y
yz
1
yz
,
zx
1
zx
,
xy
1
xy
(7-8)
写成张量形式则有
其中
ij
1
E
ij
yz z z zx
zx x
x xy xz I3 xy y yz
xz yz z
例题 已知物体某点的应力分量为x=50a，y=80a， z =-70a，xy=-20a，yz=60a，zx =0。试计算主应力值，
并求出主方向。
解：首先求出应力不变量为
I1 x y z 60a
x
x
yx
y
zx
z
X
0
xy
x
y
y
yz
z
Y
0
xz
yz
z
Z
0
x y z
(7-1) Nevier方程
以及
yx xy , xz zx , yz zy
§7.2 物体内任一点的应力状态
当平面ABC趋近P点 时，平面ABC上的应力就 成为该斜面上的应力。令 n的方向余弦为
n l, m, nT
n
pn2
2 n
X
2 n
Yn2
Zn2
2 n
(7-3)
以上各式用矩阵可以写成
X n x xy xz l Yn xy y yz m Zn xz yz z n
或者
pn ( ij )n
x
n l, m, n xy
xy y
xz l yz m
xz yz z n
n nT ( ij )n
(7-2a) (7-3a)
其中
x xy xz
ij xy y yz
xz
yz
z
称为一点处的应力张量(stress tensor)。它是对称于主 对角线的，即为对称张量。应力张量实质上是该点三
个互相垂直微面上应力分量关系总的特征。应力张量
是反映该点应力状态的特征力学量。
E
ij
x y z 1 2 3 kk
ij
1 0
i j i j
Kronecker-
(7-8)
Young-Poisson形式
x
E
1
1 2
x
y
E
1
1 2
y
z
E
1
1 2zΒιβλιοθήκη yzE21
yz , zx
E
21
zx , xy
E
21
xy
写成张量形式则有
相应的方向余弦为
l1 0.0474 l2 - 0.3140 l3 - 0.9483
m1 - 0.3350 , m2 0.8993 , m3 - 0.2810
n1
0.9410 n2
0.3044
n3
- 0.1478
§7.4 几何方程 物理方程
Geometrical equations & Physical equations
得斜面上的应力为
Xn
l x
m xy
n xz
Yn l xy m y n yz
Zn
l xz
m yz
n z
C
n
yx xy
x
y z
Zn
P yz X n
zy
xz
Yn zx
B
A
z
o
xy
(7-2)
若将斜面ABC上的应力按沿法线和切线方向分解，则 成为
n lX n mYn nZn l 2 x m2 y n2 z 2mn yz 2nl zx 2lm xy
（优选）空间问题的基本理论 纯黑
yy
z
zz
zx
zy
yx yz
xz
xz
xz
x
dx
xx
xx
x
xy
dx
xx
xy xy dx x yx
yz
yz
y
dy
yx
yy dy
yy
y
y
dy
xy
方程推导
图示单元体受力情况属于空间一般力系，由ΣX=0， ΣY=0， ΣZ=0， Σmx=0， Σmy=0， Σmz=0，可得
( )uk,ki ui,kk X i 0 (i 1,2,3)
I2
x xy
xy y y yz
yz z z zx
zx 9100a2 x
x xy xz I3 xy y yz 432000a3
xz yz z
3 60a2 9100a2 432000a3 0
得特征值为
1 91.361a,2 44.0728a,3 107.288a
其中
ij ij 2ij
(7-9)
x y z 1 2 3 kk
E , G E
(1 )(1 2 )
2(1 )
Lamè弹性常数
弹性空间问题位移解法
将Cauchy方程代入物理方程，得到用位移分量 表示的应力分量，而后用此应力分量代入Navier方 程即可。
( )( u),i 2ui Xi 0 (i 1,2,3)
x
u x
,y
v y
, z
w z
xy
u y
v x
,
(7-7)
yz
w y
v z
,
zx
u z
w x
Cauchy方程
记为张量形式则有
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
其中脚标中的逗号表示对坐标的微分。
(7-7)
体积应变(volume strain)
设有微小正平行六面体，起棱边长为x、y、z， 变形前体积为xyz，变形后体积成为
当上述斜面ABC是弹性体的边界面时， (7-2)则成 为弹性体的边界条件
l x l xy
m xy m y
n n
xz yz
X Y
(7-4)
l xz
m yz
n z
Z
§7.3 主应力、主方向的确定
应力张量
x xy xz
ij xy y yz
xz
yz
z
也可以把它看成应力矩阵。而对于矩阵，按线性代数 理论，它存在特征矩阵和特征方程，特征矩阵为