向量的坐标及其运算

向量的坐标运算公式向量是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学等。

在进行向量运算时，我们经常需要进行向量的坐标运算。

向量的坐标运算包括向量的加法、减法、数量乘法和点乘运算。

在本文中，我们将详细介绍向量的坐标运算公式及其应用。

1. 向量的加法向量的加法是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。

设有两个向量A和B，其坐标分别为(A₁,A₂, A₃)和(B₁,B₂, B₃)，则它们的加法结果为：A +B = (A₁ + B₁,A₂ + B₂, A₃ +B₃)向量的加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A 和 A + (B + C) = (A + B) + C。

向量的加法在几何上表示两个向量的相对位移，例如在物理学中，可以用来计算物体在不同力的作用下的位移。

2. 向量的减法向量的减法是将一个向量的对应分量减去另一个向量的对应分量得到一个新的向量。

设有两个向量A和B，其坐标分别为(A₁, A₂, A₃)和(B₁, B₂, B₃)，则它们的减法结果为：A -B = (A₁ - B₁, A₂ - B₂, A₃ - B₃)向量的减法也满足交换律和结合律，即A - B ≠ B - A 和 A - (B - C) ≠ (A - B) - C。

向量的坐标表示及其运算教案一、教学目标：1. 理解向量的概念，掌握向量的坐标表示方法。

2. 学会向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。

3. 能够运用向量的坐标表示和运算解决实际问题。

二、教学内容：1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量。

2. 向量的坐标表示：在二维和三维空间中，向量可以用坐标表示，如\(\vec{a} = (a_x, a_y)\) 和\(\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)\)。

3. 向量的加法：两个向量\(\vec{a}\) 和\(\vec{b}\) 的和向量为\(\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y)\) 和\(\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z)\)。

4. 向量的减法：两个向量\(\vec{a}\) 和\(\vec{b}\) 的差向量为\(\vec{a} \vec{b} = (a_x b_x, a_y b_y)\) 和\(\vec{a} \vec{b} = (a_x b_x, a_y b_y, a_z b_z)\)。

5. 向量的数乘：一个标量\(k\) 乘以向量\(\vec{a}\) 得到\(k\vec{a} = (ka_x, ka_y)\) 和\(k\vec{a} = (ka_x, ka_y, ka_z)\)。

6. 向量的点乘：两个向量\(\vec{a}\) 和\(\vec{b}\) 的点乘为\(a_x b_x + a_y b_y\) 和\(a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\)。

三、教学方法：1. 采用讲授法，讲解向量的概念、坐标表示和运算方法。

2. 利用多媒体演示向量的加法、减法、数乘和点乘运算。

3. 引导学生通过小组讨论和实例分析，掌握向量的坐标表示和运算。

4. 利用练习题巩固所学知识，提高学生的实际运用能力。

空间向量的坐标表示与计算空间向量是三维空间中的一个重要概念，可以用来表示空间中的一个点或者空间中的两个点之间的位移向量。

为了方便计算和表示，我们可以使用坐标表示来描述和计算空间向量。

一、空间向量的坐标表示在三维坐标系中，可以使用三个坐标轴（通常是x轴、y轴、z轴）来表示一个空间向量的坐标。

这三个坐标轴是相互垂直的，构成一个直角坐标系。

对于一个空间向量v，可以使用v的起点在坐标原点的坐标表示来表示该向量。

假设v的坐标表示为(x, y, z)，其中x、y、z分别表示v在x轴、y轴、z轴上的坐标值。

例如，对于一个空间向量v，如果它的起点在坐标原点，终点的坐标分别为(3, 4, 5)，那么可以表示为v = (3, 4, 5)。

二、空间向量的计算1. 向量的加法空间向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

假设有两个向量a和b，它们的坐标表示分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)。

那么它们的和向量c的坐标表示为(c1, c2, c3)，其中c1 = a1 + b1，c2 = a2 + b2，c3 = a3 + b3。

+ b的坐标表示为(c1, c2, c3) = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9)。

2. 向量的减法空间向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

假设有两个向量a和b，它们的坐标表示分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)。

那么它们的差向量c的坐标表示为(c1, c2, c3)，其中c1 = a1 - b1，c2 =a2 - b2，c3 = a3 - b3。

例如，对于向量a = (1, 2, 3)和向量b = (4, 5, 6)，它们的差向量c = a - b的坐标表示为(c1, c2, c3) = (1 - 4, 2 - 5, 3 - 6) = (-3, -3, -3)。

3. 向量的数量积空间向量的数量积是指将两个向量相乘得到一个标量（即一个数）。

向量的坐标表示及运算知识回顾：一、概念：a 是平面内任意一个向量，i 、j 分别是与x 轴，y 轴同向的两个单位向量，a =x i +y j ，()y x ,叫做a 的坐标，记作a =()y x ,。

二、向量的坐标的运算： 设a =()11,y x ，b =()22,y x⑴ 加法运算： ⑵ 减法运算：⑶ 实数与向量的积： ⑷ 向量的数量积：⑸ 已知两点A ()11,y x ，B ()22,y x ，则的坐标可以表示为：⑹ a 的模 |a |=三、三种关系：设a =()11,y x ，b =()22,y x⑴ 相等：a =b ⇔ ⑵ 共线：a //b ⇔ ⑶垂直：a ⊥b ⇔知识的运用：例1：设向量a =()2,1-，b =()1,2-，求（a • b ）（a +b ）。

例2：平面向量a ，b 中，已知()3,4-=a ，1=b ，且a ·b 0=，求b 。

例3：已知a =()2,1，b =()2,3-，当k 为何值时，⑴ k a +b 与a –3b 垂直？ ⑵ k a +b 与a –3b 平行？平行时它们是同向还是反向？例4：已知ABC ∆是等腰直角三角形， 90=∠ABC ，()1,2A ，()2,3-B ，求C 点坐标。

课后练习1．已知点()5,1--A 和向量()3,2=a ，若a AB 3=，则点B 的坐标为 。

2．若平面向量b 与向量()2,1-=a 的夹角是90°53=，则=b 。

3．若平面向量b 与向量()2,1-=的夹角是180°53=，则=b 。

4．已知e 为单位向量，()13,13+-=且e 与a 夹角为45°，则=e 。

5．已知向量()2,2-=a ，()k ,5=b 。

若b a +不超过5，则k 的取值范围是A 、[]6,4-B 、[]4,6-C 、[]2,6-D 、[]6,2-6．已知向量()2,1=a ，()4,2--=b ，5=c ，若()b a +·25=c ，则a 与c 的夹角为A 、30°B 、60°C 、120°D 、150°。

a
位置向量.
j
O i1
1）平面内每一点都有对应的位置向量。
Ab
x
2)平面内任一向量都有唯一的与它相等的位置向量。
思考:与一个位置向量相等的向量有 ______ 个。
பைடு நூலகம்
-2
调用几何画板
4
怎样用i, j表示位置向量OP？
3
P（3，2）
N2
2j
1
j
Oi
2
M
4
3i
6
-1
OP OM ON 3i 2 j
例2：设ABC三个顶点坐标分别为A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ),G是ABC的重心，求G的坐标。
重心坐标公式
x
y
x1 y1
x2 3 y2 3
x3 y3
例3 : 线段AB的端点为A( x, 5), B(2, y), 直线AB上的点C(1,1),使 AC 2 BC , 求x, y的值.
存在唯一实数 ，使 b a ，则
(x2 , y2 ) (x1, y1) ( x1, y1)
因此 x1 y2 x2 y1 x1( y1) ( x1) y1 0
平面向量平行条件的坐标表示
定理：已知任意向量 a (x1, y1),b (x2, y2),
a//b 的充要条件是 x1 y2 x2 y1 0
②求点A关于点B的对称点H的坐标
③若点C分有向线段 AB 的比 ＝2，求点C的坐标 ④求点D(0.5，y)分有向线段 AB 的比 及y值。
⑤若 AE 5 AB ,求点E的坐标 22
3, 若P是分 P1 P2定比为2的分点, 则P是分P2P1定比为 ___的分点， 则P1是分PP2定比为 ___的分点， 则P2是分PP1定比为 ___的分点。

向量的坐标表示与运算公式向量的坐标表示：1. 在二维平面中，一个向量可以用有序实数对 (x, y) 表示，其中 x 和 y 分别表示向量的横坐标和纵坐标。

2. 在三维空间中，一个向量可以用有序实数三元组 (x, y, z) 表示，其中 x、y 和 z 分别表示向量的三个坐标分量。

向量的运算公式：1. 向量的加法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A + B = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。

- 几何意义：向量加法就是把两个向量的起点放在一起，然后把两个向量终点连起来的向量。

2. 向量的数乘：- 定义：对于任意实数 k，如果向量 A = (x, y)，则 kA = (kx, ky)。

- 几何意义：数乘就是把向量按比例放大或缩小。

3. 向量的减法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A - B = (x₁ - x₂, y₁- y₂)。

- 几何意义：向量减法就是从第一个向量的终点指向第二个向量的终点的向量。

4. 向量的数量积（点乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A · B = xx' + yy'。

- 几何意义：数量积等于两向量的长度之积和它们夹角的余弦值的乘积。

5. 向量的向量积（叉乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A × B 是一个垂直于A 和B 的向量，其大小等于A × B × sin(θ)，其中θ 是 A 和 B 之间的夹角，方向按照右手定则确定。

- 几何意义：向量积表示一个向量相对于另一个向量的旋转。

以上是向量的基本坐标表示和运算公式，是解析几何和线性代数中的基础概念。

y
j
O
1 2
a
A(x, y)
a
（3）两个向量 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ) 相等的充要条件：a b x x
i
x
且y1 y2
(4)如图以原点O为起点作 OA a ，点A的位置 被 a 唯一确定. 此时点A的坐标即为 a 的坐标 （5）区别点的坐标和向量坐标 相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同
3．若 A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则 AB ＋2 BC ＝________.
解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)， ∴ AB ＝(2,3)， BC ＝(－3,3)． ∴ AB ＋2 BC ＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
(x2－x1，y2－y1)
例1：已知 a (2,1), b ( 3, 4), 求a b, a b, 3a 4b 的坐 .
解： a b (2,1) (3,4) (1,5)
a b (2,1) (3,4) (5, 3)
3 a 4 b 3(2,1) 4( 3, 4) (6, 3) ( 12,16) ( 6,19)
例2、 1已知A(2,3), B (3,5), 求BA的坐标.
解： BA
2已知AB (1, 2), A(2,1), 求B的坐标.
解：设B x,y ,
2,3 3,5 5, 2.
AB 1, 2 x, y 2,1 ,
j
-4 -3
-1 -2
i1
2
3
4
x
c 2i 3 j ( 2, 3)

向量的坐标表示及其运算教案第一章：向量的概念及其坐标表示1.1 向量的定义解释向量的概念，即有大小和方向的量。

强调向量与标量的区别。

1.2 向量的表示方法介绍用箭头表示向量，并标注大小和方向。

讲解用坐标表示向量，特别是二维和三维空间中的向量。

1.3 坐标系的引入介绍坐标系的概念，包括直角坐标系和柱面坐标系等。

解释坐标系在表示向量中的应用。

第二章：向量的运算2.1 向量的加法讲解向量加法的定义和几何意义。

给出向量加法的坐标表示公式。

2.2 向量的减法解释向量减法的定义和几何意义。

推导向量减法的坐标表示公式。

2.3 向量的数乘讲解向量数乘的定义和几何意义。

展示向量数乘的坐标表示方法。

第三章：向量的线性组合3.1 线性组合的定义解释向量的线性组合及其概念。

强调线性组合中系数的选择。

3.2 线性组合的坐标表示给出向量的线性组合的坐标表示方法。

讲解线性组合的坐标运算规则。

3.3 线性相关与线性无关介绍向量组线性相关的概念。

解释线性无关的概念及其判断方法。

第四章：向量的数量积（点积）4.1 数量积的定义讲解数量积的概念和几何意义。

强调数量积的计算公式。

4.2 数量积的性质介绍数量积的基本性质，包括交换律、结合律等。

讲解数量积与向量长度的关系。

4.3 数量积的应用展示数量积在解决向量垂直、夹角等问题中的应用。

讲解数量积在坐标系中的运算规则。

第五章：向量的向量积（叉积）5.1 向量积的定义解释向量积的概念和几何意义。

强调向量积的计算公式。

5.2 向量积的性质介绍向量积的基本性质，包括交换律、结合律等。

讲解向量积与向量长度和夹角的关系。

5.3 向量积的应用展示向量积在解决向量垂直、平行等问题中的应用。

讲解向量积在坐标系中的运算规则。

第六章：向量的长度和单位向量6.1 向量长度的概念解释向量长度的定义和几何意义。

强调向量长度是标量，表示向量的大小。

6.2 向量长度的计算讲解如何利用坐标计算向量的长度。

给出向量长度计算的坐标公式。

资源信息表8.1（1）向量的坐标表示及其运算（1）上海市莘庄中学 徐辉一．教学内容分析按现行上海市中小学数学课程标准，本章内容是在初中学习了向量的基本概念、向量的加法、减法、实数与向量的积等基础之上的后继学习.但与初中有所不同的是，初中教材对向量的学习是以“形”为主，主要从“形”的角度展开，而本章内容则主要是以“数”为主，从“数”的角度进行论述.当然，由于向量本身所具有的数形结合的特点，本章教材在以“数”为主旨处理教学内容的同时并没有弱化向量的“形”的方面的特征，而是二者相得益彰，互为依赖、互为补充.以“数”为主旨研究向量，其核心手段是向量及其运算的坐标表示.向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，向量的加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积等就完全可以用它们的坐标的加法、减法、数乘、数量积等运算来进行，使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来.这样，就使得很多问题，可以转化为熟知的数量的运算进行解决.向量及其运算的坐标表示，一方面为用代数方法处理几何问题提供了通道，另一方面也为向量概念推广到高维空间指明了途径，同时，它也是高中数学中描述与处理如立几、解几、三角等诸多问题的一个有力的工具，在高考中也占有一个重要的地位.作为本章的第一课时，本节课的主要内容是向量的坐标表示及其运算.它是本章重要的基础性与前提性内容，它引入了将向量问题代数化的基本手段与方法——向量的坐标表示.本节内容课本上的基本处理方法是在引入一些相关的基础性的概念之后，通过任意向量都可以正交分解为基本单位向量,i j的线性组合，在向量的正交分解的基础上抽象概括出向量的坐标表示形式，并依据向量的正交分解的本质得到向量坐标形式下的运算法则.本节课要着力解决三个问题：一是要解决引入向量的坐标形式的必要性的问题，以引起学生学习的动机，二是要解决如何引入向量的正交分解及如何由此抽象出向量的坐标形式或者说是如何让学生理解向量坐标的本质的问题，三是要解决引入向量坐标形式以后如何以坐标形式进行运算的问题.作为本节课（本章的第一个课时）来说，第二个问题是重中重之中，因为如果学生不能理解向量的坐标是怎么来的，它的本质是什么，就会对后继学习带来一定的困难.因此，我们在课上要对这一点特别的重视.二．教学目标设计1.了解基本单位向量、位置向量、向量的正交分解等概念；会用坐标表示向量；会用两向量的坐标形式的和、差及实数与向量的积等运算解决相关问题.2. 经历如何将位置向量及任意向量表示为基本单位向量的线性组合这一正交分解的过程，以及经历如何通过向量的正交分解的本质概括抽象出向量的坐标表示的过程，初步形成抽象思维的能力；理解平面向量与一对有序实数对的一一对应关系，理解向量的坐标表示方法及其运算法则；体会数形结合的思想方法.3.感知数学中的运动、变化、相互联系与相互转化的规律，加深对辩证唯物主义观点的体验；发展从数学的角度分析和解决问题的能力，以及通过积极参与数学学习和问题解决的过程，增强学习的主体意识，形成数学的应用意识，养成严谨、慎密的思维习惯.三．教学重点及难点教学重点是如何写向量的坐标以及向量坐标形式的运算及其应用；教学难点是对向量的正交分解的过程的理解以及由向量的正交分解抽象出向量的坐标表示的过程的理解.四．教学流程设计五．教学过程设计一.情境引入上海市莘庄中学的健美操队四名队员A、B、C、D在一个长10米，宽8米的矩形表演区域EFGH 内进行健美操表演.（1）若在某时刻1t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图1所示的平行四边形队形.队员A 位于点F 处，队员B 在边FG 上距F 点3米处，队员D 位于距EF 边2米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗？GHG[说明] 此时队员C 在位于距EF 边5米距FG 边5米处.这个图形比较特殊，学生很快就会得到答案，这时教师引入第二个问题.（2）若在某时刻2t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图2所示的平行四边形队形.队员A 位于距EF 边2米距FG 边1米处，队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员D 位于距EF 边4米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗？[说明]不要求学生写出结果，只引导学生思考.这个图形更为一般一些，学生解决的可能不是很顺，这时，教师就可以说，这一节我们就来学习一个新的内容：向量的坐标表示及其运算，学习了这个内容之后，同学们只要花上两分钟或者只要一分钟的时间就可以解决这个问题了，引起学生学习的兴趣与探究的欲望.二．学习新课1. 向量的正交分解我们称在平面直角坐标系中，方向与x 轴和y 轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为,i j，如图，称以原点O 为起点的向量为位置向量，如下图左，OA即为一个位置向量.思考1：对于任一位置向量OA，我们能用基本单位向量,i j 来表示它吗？ 如上图右，设如果点A 的坐标为(),x y ，它在小x 轴，y 轴上的投影分别为M ，N ，那么向量OA 能用向量OM 与ON来表示吗？（依向量加法的平行四边形法则可得OA OM ON =+ ），OM 与ON能用基本单位向量,i j 来表示吗？（依向量与实数相乘的几何意义可得,OM xi ON y j ==），于是可得：OA OM ON xi y j =+=+由上面这个式子，我们可以看到：平面直角坐标系内的任一位置向量OA都能表示成两个相互垂直的基本单位向量,i j的线性组合，这种向量的表示方法我们称为向量的正交分解.2.向量的坐标表示思考2：对于平面直角坐标系内的任意一个向量a，我们都能将它正交分解为基本单位向量,i j的线性组合吗？如下图左.显然，如上图右，我们一定能够以原点O 为起点作一位置向量OA，使OA a = .于是，可知：在平面直角坐标系内，任意一个向量a都存在一个与它相等的位置向量OA.由于这一点，我们研究向量的性质就可以通过研究其相应的位置向量来实现.由于任意一个位置向量都可以正交分解为基本单位向量,i j 的线性组合，所以平面内任意的一个向量a 都可以正交分解为基本单位向量,i j的线性组合.即：a =OA =xi y j +上式中基本单位向量,i j 前面的系数x,y 是与向量a 相等的位置向量OA的终点A 的坐标.由于基本单位向量,i j是固定不可变的，为了简便，通常我们将系数x,y 抽取出来，得到有序实数对（x,y ）.可知有序实数对（x,y ）与向量a的位置向量OA 是一一对应的.因而可用有序实数对（x,y ）表示向量a，并称（x,y ）为向量a的坐标，记作：a=（x,y ） [说明]（x,y ）不仅是向量a 的坐标，而且也是与a 相等的位置向量OA的终点A 的坐标！当将向量a的起点置于坐标原点时，其终点A 的坐标是唯一的，所以向量a的坐标也是唯一的.这样，我们就将点与向量、向量与坐标统一起来，使复杂问题简单化.显然，依上面的表示法，我们有：(1,0),(0,1),0(0,0)i j ===.例1.（课本例题）如图，写出向量,,a b c的坐标.解：由图知()1,2a =与向量b 相等的位置向量为OA，可知()1,2b OA ==与向量c 相等的位置向量为OB，可知()1,2c OB ==-[说明] 对于位置向量a，它的终点的坐标就是向量的坐标；对于起点不在原点的向量,b c，我们是通过先找到与它相等的位置向量，再利用位置向量的坐标得到它们的坐标.那么，有没有不通过位置向量，直接就写出任意向量的坐标的方法呢？答案是肯定的，而且很简便，但我们需几分钟后再来解决这个问题.让我们先学习向量坐标表示的运算：3.向量的坐标表示的运算我们学过向量的运算，知道向量有加法、减法、实数与向量的乘法等运算，那么，在学习了向量的坐标表示以后，我们怎么用向量的坐标形式来表示这些运算呢？设λ是一个实数，1122(,),(,).a x y b x y ==由于1111(,),a x y x i y j ==+ 2222(,)b x y x i y j ==+所以1122(,)(,)a b x y x y ±=±()()1122x i y j x i y j =+±+()()()()()121212121212,x i x i y j y jx x i y y j x x y y =±+±=±+±=±±()()11111111(,),a x y x i y j x i y j x y λλλλλλλ==+=+=于是有：1122(,)(,)x y x y ±()1212,x x y y =±±()1111(,),x y x y λλλ=[说明]上面第一个式子用语言可表述为：两个向量的和(差)的横坐标等于它们对应的横坐标的和(差)，两个向量的和(差)的纵坐标也等于它们对应的纵坐标的和(差)，可笼统地简称为：两个向量和(差)的坐标等于对应坐标的和(差)；同样，第二个式子用语言可表述为：数与向量的积的横坐标等于数与向量的横坐标的积，数与向量的积的纵坐标等于数与向量的纵坐标的积，也可笼统地简称为：数与向量积的坐标等于数与向量对应坐标的积.4.应用与深化下面我们来研究刚才提出的不通过位置向量，如何直接写出任意向量的坐标的问题：例2.如下图左，设()11,P x y 、()22,Q x y 是平面直角坐标系内的任意两点，如何用P 、Q 的坐标来表示向量PQ？解：如上图右，向量PQ OQ OP =-()()()22112121,,,x y x y x x y y =-=--从而有 ()2121,PQ x x y y =--[说明]上面这个式子告诉我们：平面直角坐标系内的任意向量的横坐标等于它终点的横坐标与它起点的横坐标的差，纵坐标也等于它终点的纵坐标与它起点的纵坐标的差，可简称为“任意向量坐标=终点坐标-起点坐标”.例3.（课本例题）如图，平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为()2,1、()3,2-、()1,3-.（1）写出向量,AC BC的坐标； （2）如果四边形ABCD 是平行四边形，求D 的坐标.解：（1）()()12,313,2AC =---=-()()()13,322,1BC =----=（2）在上图中，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以DC AB =设点D 的坐标为(),D D x y ，于是有()1,3D D x y AB ---=又 ()()32,215,1AB =---=-故 ()()1,35,1D D x y ---=- 由此可得1531D D x y --=-⎧⎨-=⎩ 解得42D D x y =⎧⎨=⎩因此点D 的坐标为()4,2.练习：（1）请大家用两分钟的时间解答本节课一开始我们所提出的在某时刻2t ，健美操队员C 的位置问题.即：在某时刻2t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图所示的平行四边形队形.如下图左，队员A 位于距EF 边2米距FG 边1米处，队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员D 位于距EF 边4米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗？GH解：以点F 为坐标原点，以边FG 为x 轴，以边FE 为y 轴，建立如上图右所示直角坐标系.则依题意有A(2,1),B(6,3),D(4,5),设C(x,y),则由ABCD 是平行四边形可得：(4,2)(2,4)(6,6)AC AB AD =+=+=又(,)(2,1)(2,1)AC x y x y =-=--故(2,1)(6,6)x y --=于是 x=8, y=7,即C （8，7）.答：队员C 位于距EF 边8米、距FG 边7米处.（2）在某时刻3t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持平行四边形队形.已知队员A 位于距EF 边2米距FG 边1米处，队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员C 位于如下图左所示的矩形阴影部分区域内（包括边界）某一位置.你能确定此时队员D 可能的位置区域吗？解：以点F 为坐标原点，以边FG 为x 轴，以边FE 为y 轴，建立如上图右所示直角坐标系.依题意有A(2,1),B(6,3),设D(x,y),则由ABCD 是平行四边形可得：(4,2)DC AB ==又D(x,y)，所以可得C(x+4,y+2)由题意54101642826x x y y ≤+≤≤≤⎧⎧⇒⎨⎨≤+≤≤≤⎩⎩ 于是可得队员D 可能的位置区域如图所示阴影部分（除去点B ）：例4.已知向量()4,1a =- 与()5,2b = ，求23a b + 的坐标.解：因为()28,2a =- ，()315,6b =所以 ()()23815,2623,4a b +=+-+=三．巩固练习1. 如图，写出向量,,a b c的坐标.2.已知(1,2)a =-，若其终点坐标是(2,1),则其起点的坐标是 ；若其起点坐标是(2,1),则其终点的坐标是 .3.已知向量()2,3a =- 与()1,5b =-，求3a b - 及3b a -的坐标.解：1.由题意：()()()()()()2,1,1,1,2,11,121,1(1)1,2a b c ==-=--=---=2.设起点的坐标是(x,y)，则(2,1)-(x,y)=(-1,2),解得：(x,y)=(3,-1)，即起点的坐标是(3,-1)；设终点的坐标是(x,y)，则(x,y)-(2,1) =(-1,2),解得：(x,y)=(1,3)，即起点的坐标是(1,3).3. 3a b -=3()7,14---()()1,57,14-=- 3b a -=()1,5--3()2,3-()7,14=-[另法]：3b a -=()3a b -- =()7,14--()7,14=-四．课堂小结：本节课我们讲了哪些内容？（请学生作答）1.向量的正交分解（是如何对向量进行正交分解的？）2.向量的坐标表示（是用什么表示向量的坐标的？）3.向量的坐标运算（运算法则是什么？）五．作业布置1.已知(2,0),(1,3),a b ==- 则a b + 与a b -的坐标分别为( ) (A)(3,3),(3,-3) (B)(3,3),(1,-3) (C)(1,3),(3,3) (D)(1,3),(3,-3)2.若点A 坐标为(2,-1),AB的坐标为(4,6),则B 点的坐标为( ) (A)(-2,-7) (B)(2,7) (C)(6,5) (D)(-2,5)3.已知(,4),(3,2).a x b y ==- 若1,2a b =则x= ,y= .4.已知AB (1)i x j +- =(2-x)，且AB的坐标所表示的点在第四象限，则x 的取值范围是 .5.已知A(5,-2),B(2,-5),C(7,4),D(4,1),求证：AB=CD.6.已知(1,2),(3,1),(11,7),a b c =-=-=- 并且.c xa yb =+求x,y 的值.7.已知22(,2),(5,)a m n b mn =+= ，且.a b = 求,.m n 的值.六．教学设计说明及反思在本节课的设计上，我是先用一个实际的情境问题引入，引起学生学习的兴趣，同时也在最后通过应用向量坐标这个工具对于这个问题的简便解决以及对于这一问题的进一步深化，使学生体会到引入向量坐标形式这个工具的必要性，并培养学生数学的应用意识，体会到数学是有用的，是有价值的；另外，在新授课内容的设计上，主要采用了以知识内容本身的逻辑关系而形成的继承关系为顺序的直线型的设计，主要有四个板块：一是向量的正交分解，二是向量的坐标表示，三是向量的坐标运算，四是应用与深化.其中向量的正交分解是从介绍基本单位向量与位置向量的概念入手，然后通过先处理位置向量的正交分解，再处理任意向量的正交分解；向量的坐标表示也是先处理位置向量的坐标表示然后再处理可化为位置向量的向量的坐标表示，最后在研究了坐标形式的运算之后才以例题的形式处理任意向量的坐标表示，这样设计的思路与课本上先交代任意向量都可以作一个与之相等的位置向量，然后只要研究位置向量就能得到原来向量的性质的思路略有不同，这样设计的出发点主要是希望能够给学生的学习创造一个按知识自身的逻辑顺序而层层递进的、螺旋上升的学习过程，使学生能够步步为营的在充分弄清前一个问题的基础上进入下一个问题，从而达到有效分散学生在学习中的难点的目的.在应用与深化这一板块上，我主要设计了五个问题，第一个问题是例1，置于向量的坐标表示这一板块之中，其目的是为了在初次接触坐标表示时，加深对位置向量与可化为位置向量的坐标的理解，以及舒缓一下学生在较长时间的数学纯理论学习中所聚集的紧张或疲劳情绪，为下面的学习作点准备；第二个问题是例2，解决任意向量的坐标表示问题，这也是这一节课必须要解决的一个重点问题；第三个问题是例3，其目的是通过对任意向量的坐标表示公式的应用，强化对这一公式的记忆与掌握，同是也为下一问题即引入问题的解决作知识与方法上的铺垫；第四个问题是解决引入的情境问题并作进一步深化；第五个问题是对向量坐标表示运算公式的应用.同时，最后又设置了三个小题，作为课内练习，机动使用.整个一节课，如果用一句话概括基本的设计思路，那就是：低起点（使学生容易入手）、小步走（使学生容易理解）、重视过程（重视知识的发生过程及重视学生的学习过程）、强化训练（训练是掌握与提高的有效途径）.11。

以下是向量坐标运算中常用的公式总结：
向量加法：若有向量 A = (A₁, A₂, A₃) 和向量B = (B₁, B₂, B₃)，则它们的和向量 C = A + B 的坐标表示为：C₁ = A₁ + B₁ C₂ = A₂ + B₂ C₃ = A₃ + B₃
向量减法：若有向量A = (A₁, A₂, A₃) 和向量B = (B₁, B₂, B₃)，则它们的差向量 C = A - B 的坐标表示为：C₁ = A₁ - B₁ C₂ = A₂ - B₂ C₃ = A₃ - B₃
向量数量乘法：若有向量A = (A₁, A₂, A₃) 和一个标量k，则它们的数量乘积向量B = kA 的坐标表示为：B₁ = k * A₁ B₂ = k * A₂ B₃ = k * A₃
点乘（内积）：若有向量A = (A₁, A₂, A₃) 和向量B = (B₁, B₂, B₃)，则它们的点乘结果为：A · B = A₁ * B₁ + A₂ * B₂ + A₃ * B₃
叉乘（外积）：若有向量A = (A₁, A₂, A₃) 和向量B = (B₁, B₂, B₃)，则它们的叉乘结果为向量C = A × B，其坐标表示为：C₁ = A₂ * B₃ - A₃ * B₂ C₂ = A₃ * B₁ - A₁ * B₃ C₃ = A₁ * B₂ - A₂ * B₁
向量模长：若有向量 A = (A₁, A₂, A₃)，则它的模长（长度）为：|A| = √(A₁² + A₂² + A₃²)
这些公式可以用于进行向量的加法、减法、数量乘法、点乘、叉乘等基本运算。

它们在向量代数和向量分析中非常常见，并在多个学科领域中得到广泛应用。

请注意，在实际应用中，还可以根据需要进行更复杂的向量运算和组合。

高中数学公式大全向量的基本运算与坐标系转换公式高中数学公式大全：向量的基本运算与坐标系转换公式向量是高中数学中的重要内容之一，它在几何、代数和物理等领域中都有广泛的应用。

本文将详细介绍向量的基本运算以及坐标系的转换公式。

1. 向量的基本运算在向量的基本运算中，常用到以下几种运算：加法、减法、数量乘法和点积。

1.1 向量的加法设有两个向量a和b，它们的加法可以表示为a + b。

向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。

向量的加法可以简单地将它们的对应分量相加。

1.2 向量的减法向量的减法可以表示为a - b。

减法运算可以通过将被减向量b取反，即-b，然后进行加法运算来实现。

1.3 数量乘法数量乘法是指将一个标量与向量的每个分量相乘。

设有向量a和标量k，数量乘法可以表示为ka。

数量乘法满足结合律，即k(la) = (kl)a。

点积，也称为数量积或内积，在向量的运算中起着重要的作用。

设有向量a和b，它们的点积可以表示为a · b。

点积具有以下性质：- a · b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ为它们夹角的余弦。

- 点积满足交换律，即a · b = b · a。

- 如果a与b垂直，则它们的点积为0，即a · b = 0。

2. 坐标系转换公式在数学中，常用的坐标系有直角坐标系、极坐标系和球坐标系。

在进行向量运算时，有时需要在不同的坐标系之间进行转换。

下面介绍一些常见的坐标系转换公式。

2.1 直角坐标系与极坐标系的转换在直角坐标系中，一个二维向量可以由其x和y的分量表示为a = (x, y)。

在极坐标系中，向量的长度用其模长r表示，与x轴的夹角用θ表示。

直角坐标系到极坐标系的转换公式为：- r = √(x^2 + y^2)- θ = arctan(y/x) (其中arctan为反正切函数)极坐标系到直角坐标系的转换公式为：- y = rsinθ2.2 直角坐标系与球坐标系的转换在直角坐标系中，一个三维向量可以由其x、y和z的分量表示为a = (x, y, z)。

们的交点。
极坐标系
以原点为极点，以正x轴为极 轴，用极角和极径表示点的位
置。
圆柱坐标系
适用于描述旋转对称或柱面结 构的问题，其中z轴与旋转轴
重合。
球坐标系
适用于描述空间中距离和角度 的问题，其中原点与球心重合
。
向量的模
Байду номын сангаас
1 2
向量的模
表示向量的大小或长度，记作 $|overset{longrightarrow}{AB}|$。
2023
PART 04
向量的向量积
REPORTING
定义与性质
定义
向量积是一个向量运算，其结果是 一个向量，记作a×b。
性质
满足反交换律，即a×b=-b×a；不 满足结合律，即 (a+b)×c≠a×c+b×c。
几何意义
方向
向量积的方向垂直于作为运算两向量的平面，其指向按照右手定则确定。
长度
向量积的长度等于两向量构成的平行四边形的面积。
2023
PART 02
向量的基本运算
REPORTING
向量的加法
01
向量加法定义
向量加法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点 为共同起点，以第二个向量的终点为共同终点，所得到的 向量。
02 03
向量加法的几何意义
向量加法的几何意义可以理解为平行四边形的对角线向量 ，即两个向量的和等于以这两个向量为邻边的平行四边形 的对角线向量。
坐标系
向量的坐标表示
在直角坐标系中，向量可以用有序实 数对表示，即 $overset{longrightarrow}{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。

d A,B ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
（3）中点坐标公式: ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
2
2
2
2.两个向量夹角公式
cos a,b a b | a || b |
注意：
a1b1 a2b2 a3b3
;
a12 a22 a32 b12 b22 b32
Z
x轴: 横坐标 y轴: 纵坐标 z轴: 竖坐标
坐标平面: xoy,yoz,zox
O
Y
X
3. 空间中点的直角坐标表示
在空间直角坐标系O--xyz中, 对空间任一点A,对应 一个向量OA, 于是存在唯一的有序实数组x,y,z, 使 OA=xi+yj+zk
在单位正交基底i, j, k中与向量OA对 应的有序实数组(x,y,z), 叫做点A在此 空间直角坐标系中的坐标, 记作 A(x,y,z), 其中x叫做点A的横坐标, y叫 做点A的纵坐标, z叫做点A的竖坐标.
共线向量定理: b 0,则a // b 存在 共面向量定理: a、b不共线，p与a,b
实数,使a b.
共面 存在实数x、y,使p xa yb
对比表1
练习一:
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) a (2 , 3 , 3) , b (1, 0 , 0) ; (2) a (1, 1,1) , b (1, 0 ,1) ;
对比表4
平面向量
空间向量
平面向量基本定理：
如果e1
,
e
是同一平面内的两个不共线
2
的向量，那么对于这个平面内的任一
向量a，有且仅有一对实数x, y，使a
xe1 ye2.

非零向量与自己的向量积是零向量。
向量积的坐标计算公式
01
在三维空间中，对于两个向量a = (a1, a2, a3)和b = (b1, b2, b3)，它们的向量积的坐标计算公式为
02
a×b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)
03
这个公式可以用来计算两个向量的向量积的坐标。
05
向量的向量积与运算
向量积的定义及性质
定义
向量积是一种二元运算，其结果是一个向量而不是一个 标量。对于两个向量a和b，它们的向量积记作a×b。
性质
向量积满足以下性质
反交换律
a×b = -b×a
分配律
(a+b)×c = a×c + b×c
与零向量的运算
任何向量与零向量的向量积都是零向量。
与自己的运算
向量的方向角
向量的方向角是指向量与坐标轴正方向之间的夹角。在二维平面中，向量与x轴正方向的夹角记作$alpha$，取值 范围为$[0,pi]$；在三维空间中，向量与x轴、y轴、z轴正方向的夹角分别记作$alpha$、$beta$、$gamma$， 取值范围均为$[0,pi]$。
向量的线性运算性质
向量的加法
混合积在几何中的应用举例
01
x_2 & y_2 & z_2 & 1
02
x_3 & y_3 & z_3 & 1
x_4 & y_4 & z_4 & 1
03
混合积在几何中的应用举例
end{matrix} right|$
应用3：求解平面方程。设平面过点$P(x_0, y_0, z_0)$，且平面的法向量为$vec{n} = (A, B, C)$，则平 面的方程可表示为

向量的坐标表示及其运算教案第一章：向量的概念及其坐标表示1.1 向量的定义引导学生回顾初中阶段所学到的向量概念，向量是有大小和方向的量。

解释向量在高中数学中的重要性，特别是在坐标系中的运用。

1.2 向量的表示方法介绍向量的表示方法，包括用箭头表示和用字母表示。

强调在坐标系中，向量可以用有序数对(a, b) 表示，其中a 表示向量在x 轴上的分量，b 表示向量在y 轴上的分量。

1.3 向量的模解释向量的模是指向量的大小，用||v|| 表示。

引导学生利用坐标系计算向量的模，即||v|| = √(a²+ b²)。

第二章：向量的加法和减法2.1 向量的加法解释向量的加法是指将两个向量首尾相接，形成一个新的向量。

引导学生利用坐标系进行向量的加法运算，即将对应分量相加。

2.2 向量的减法解释向量的减法是指从第一个向量中减去第二个向量，即加上第二个向量的相反向量。

引导学生利用坐标系进行向量的减法运算，即将对应分量相减。

第三章：向量的数乘3.1 向量的数乘概念解释向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。

强调数乘不改变向量的方向，只改变向量的大小。

3.2 向量的数乘运算引导学生利用坐标系进行向量的数乘运算，即将每个分量与实数相乘。

举例说明数乘运算的性质，如a(b·c) = (a·b)c 等。

第四章：向量的点积4.1 向量的点积概念解释向量的点积是指两个向量的对应分量相乘后相加的结果，用v·w 表示。

强调点积的计算结果是一个标量，而不是向量。

4.2 向量的点积运算引导学生利用坐标系进行向量的点积运算，即将对应分量相乘后相加。

举例说明点积的性质，如v·w = w·v、v·(w+z) = v·w + v·z 等。

第五章：向量的叉积5.1 向量的叉积概念解释向量的叉积是指两个非共线的向量形成的平行四边形的面积，用v×w 表示。

向量坐标运算公式总结向量是现代数学和物理学的基础，它能准确表示运动的轨迹和物体的外形。

向量坐标系是一种可以把向量可视化，并用来做出实际决策的工具。

本文将介绍向量坐标系的基本概念及其常见的应用，以及相关的公式。

一、什么是向量坐标？向量坐标就是把空间内的向量投影到一个平面上，形成一个以原点为中心的坐标系，以不同的系数显示向量在坐标系中的位置。

一般用矢量坐标系来表示向量坐标，矢量坐标系使用x和y轴表示距离及方向，用系数表示向量的大小。

二、向量坐标的基本概念1、向量的基本概念：向量由起点和终点组成，并由x轴和y轴表示，通过以下公式可以计算出向量的大小：向量大小=根号[(x轴距离)^2+(y轴距离)^2]2、向量的方向：向量的方向是从起点到终点的方向，使用极角来表示向量的方向，极角是由x轴和y 轴组成，极角公式为：极角=tan^-1(y轴距离/x轴距离)3、向量的模：向量的模是向量的大小，可以用以下公式求出：向量模=根号[(x轴距离)^2+(y轴距离)^2]三、向量坐标的常见应用1、矢量图：矢量图可以用来表示物体的外形，它使用矢量坐标来表示一系列的点，然后根据这些点连线形成一张图。

2、轨迹预测：轨迹预测可以使用矢量坐标来模拟受力情况，推导出物体今后行走的轨迹。

3、导航系统：矢量坐标是用来构建导航系统的一种重要工具。

两个不同点之间的路径可以通过计算矢量坐标来找到，从而完成导航任务。

四、向量坐标常用公式1、向量加法公式：两个向量的和等于各自x轴距离的和减去各自y轴距离的和，公式如下：(x1+x2, y1+y2)2、向量减法公式：两个向量的差等于各自x轴距离的差减去各自y轴距离的差，公式如下：(x1-x2, y1-y2)3、向量乘法公式：一个向量按照另一个向量方向做出的垂直投射，公式如下：向量乘法 = 两个向量的大小的乘积乘以cos夹角4、向量的点积公式：向量的点积是两个向量同向乘积，公式如下：向量点积= x1 * x2 + y1 * y2五、总结以上就是本文关于向量坐标运算公式的总结，本文提到向量系统的基本概念，如向量的基本概念、向量方向和向量模，以及它们在日常生活中常见的应用，如矢量图、轨迹预测和导航系统，以及相关的公式有向量加法、减法、乘法和点积等。

1.3 空间向量及其坐标的运算1.空间向量的坐标表示(1)设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，那么对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，我们把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标(x，y，z)．(2)向量p的坐标是把向量p的起点平移到坐标原点O，则OP的终点P的坐标就是向量p的坐标，这样就把空间向量坐标化了.2．空间向量的坐标运算3．(1)空间向量a，b，其坐标形式为：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)a·a＝|a|2＝222 123 a a a++.3.空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则【题型精讲】考点一坐标的运算【例1】（1）（2020·宜昌天问教育集团高二期末）设,x y R∈，向量(,1,1),b(1,,1),c(2,4,2)a x y===-，,ca c b⊥，则||a b+=（）A．B C．3D．4（2）（2020·宜昌天问教育集团高二期末）已知空间向量()1,0,1a =，()1,1,b n =，3a b ⋅=则向量a 与bλ（0λ≠）的夹角为（ ）A ．6πB ．6π或56πC ．3πD ．3π或23π 【玩转跟踪】1．（2020·全国高二课时练习）下列向量中与向量()010a =，，平行的向量是（ ）A ．()100b =，， B ．()010c =-，，C ．()111d =--，，D ．()001e =-，，2．（2020·全国高二课时练习）已知向量()1,0,1a =，()2,0,2b =-，若()()2ka b a kb +⋅+=，则k 的值等于（ ）A ．1B ．35C ．25D ．153．（2020·广西北流市实验中学高一期中）在空间直角坐标系O ﹣xyz 中,点A （2,﹣1,3）关于yOz 平面对称的点的坐标是( )A ．（2,1,3）B ．（﹣2,﹣1,3）C ．（2,1,﹣3）D ．（2,﹣1,﹣3）4．（2020·全国高二课时练习）已知(1,1,2),(6,21,2)a b m λλ=+=-.（1）若//a b ，分别求λ与m 的值；（2）若||5a =，且与(2,2,)c λλ=--垂直，求a .考点二 坐标运算在几何中的运用【例2】（2020·全国高二课时练习）如图，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M ，N 分别是AA1，CB1的中点.（1）求BM ，BN 的长. （2）求△BMN 的面积.【玩转跟踪】1．（2020·天水市第一中学高二月考（理））如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，2CA CB=，13CC CB=，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）.A． B．C． D ．2352．（2020·全国高二课时练习） 在直三棱柱ABO­A1B1 O1中，∠AOB ＝π2 ，AO ＝4，BO ＝2，AA1＝4，D 为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求1,DO A B 的坐标．考点三 最值问题【例3】（2020·全国高二课时练习）已知点()1,1,A t t t --，()2,,B t t ，则A ，B 两点的距离的最小值为（ ）B． C．D ．35【玩转跟踪】1．（2020·江西高安中学高一期中（理））已知()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．241,,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．58,1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．258,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭2．已知点(1,2,3)A ，(2,1,2)B ，(1,1,2)P ，(0,0,0)O ，点Q 在直线OP 上运动，当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为________________．。