空间向量坐标运算

空间向量数量积及坐标运算在空间解析几何中，向量是研究的重要对象之一，而向量的数量积和坐标运算是向量运算中的基本概念。

本文将介绍空间向量的数量积及其坐标运算方法。

一、空间向量的数量积空间中的向量可以用其坐标表示，记作a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2,z2)，其中a、b分别是空间中的两个向量，xi、yi、zi为它们在笛卡尔坐标系中的坐标。

向量的数量积（又称点积或内积）定义为两个向量的对应坐标的乘积之和，即：a ·b = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2其中·表示数量积运算。

性质：1.数量积是实数。

2.数量积的结果等于向量乘积和坐标乘积之和。

3.数量积满足交换律：a · b = b · a。

4.数量积满足分配率：(a + b) · c = a · c + b · c。

二、向量的坐标运算1. 向量的加法设a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2, z2)是空间中的两个向量，它们的和记为c，则c的坐标为：x = x1 + x2y = y1 + y2z = z1 + z2即向量的和的每个坐标等于对应向量的坐标之和。

性质：1.向量的加法满足交换律：a + b = b + a。

2.向量的加法满足结合律：(a + b) + c = a + (b + c)。

2. 向量的减法设a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2, z2)是空间中的两个向量，它们的差记为c，则c的坐标为：x = x1 - x2y = y1 - y2z = z1 - z2即向量的差的每个坐标等于对应向量的坐标之差。

3. 向量的数乘设k为实数，a = (x, y, z)是空间中的一个向量，ka为向量a的数乘，即ka 的坐标为：x' = k * xy' = k * yz' = k * z性质：1.数乘满足结合律：k(ka) = (k * k')a。

空间向量的3种坐标运算洋葱数学摘要：1.空间向量的概念及坐标表示2.空间向量的加法运算3.空间向量的减法运算4.空间向量的数乘运算5.空间向量的坐标运算应用举例正文：一、空间向量的概念及坐标表示空间向量是指在三维空间中的有向线段，它可以用来表示空间中的物体和运动。

空间向量通常用有序的三元组(x, y, z) 来表示，其中x, y, z 分别代表向量在x, y, z 三个坐标轴上的分量。

二、空间向量的加法运算空间向量的加法是指将两个空间向量相加，得到一个新的空间向量。

空间向量的加法满足平行四边形法则，即两个向量的和等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线。

设向量A = (x1, y1, z1) 和向量B = (x2, y2, z2)，则向量A 和向量B 的和为：A +B = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)三、空间向量的减法运算空间向量的减法是指将两个空间向量相减，得到一个新的空间向量。

空间向量的减法也满足平行四边形法则，即两个向量的差等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线。

设向量A = (x1, y1, z1) 和向量B = (x2, y2, z2)，则向量A 和向量B 的差为：A -B = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)四、空间向量的数乘运算空间向量的数乘是指将一个向量与一个标量相乘，得到一个新的空间向量。

数乘运算满足分配律和结合律。

设向量A = (x, y, z) 和标量k，则向量A 与标量k 的乘积为：kA = (kx, ky, kz)五、空间向量的坐标运算应用举例假设有一个空间直角坐标系，原点为O，向量A = (2, 3, 4) 和向量B = (1, 2, 3)。

现在需要求解向量A 和向量B 的和、差以及向量A 与向量B 的数乘。

向量的坐标表示与运算公式向量的坐标表示：1. 在二维平面中，一个向量可以用有序实数对 (x, y) 表示，其中 x 和 y 分别表示向量的横坐标和纵坐标。

2. 在三维空间中，一个向量可以用有序实数三元组 (x, y, z) 表示，其中 x、y 和 z 分别表示向量的三个坐标分量。

向量的运算公式：1. 向量的加法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A + B = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。

- 几何意义：向量加法就是把两个向量的起点放在一起，然后把两个向量终点连起来的向量。

2. 向量的数乘：- 定义：对于任意实数 k，如果向量 A = (x, y)，则 kA = (kx, ky)。

- 几何意义：数乘就是把向量按比例放大或缩小。

3. 向量的减法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A - B = (x₁ - x₂, y₁- y₂)。

- 几何意义：向量减法就是从第一个向量的终点指向第二个向量的终点的向量。

4. 向量的数量积（点乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A · B = xx' + yy'。

- 几何意义：数量积等于两向量的长度之积和它们夹角的余弦值的乘积。

5. 向量的向量积（叉乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A × B 是一个垂直于A 和B 的向量，其大小等于A × B × sin(θ)，其中θ 是 A 和 B 之间的夹角，方向按照右手定则确定。

- 几何意义：向量积表示一个向量相对于另一个向量的旋转。

以上是向量的基本坐标表示和运算公式，是解析几何和线性代数中的基础概念。

.空间向量的直角坐标运算律：（1）若，，则．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

（2）若，，则，，，，，；，．夹角公式：．（3）两点间的距离公式：若，，则或。

对于垂直问题，一般是利用进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．2．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式。

3．用向量法求距离的公式设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为（如图）。

向量法在求空间角上的应用平面的法向量的求法：设n=(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线的向a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量（如图）。

线线角的求法：设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为。

（注意：线线角的范围[00,900]）线面角的求法：设n是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为（如图）。

二面角的求法：设n1，n2分别是二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）利用法向量求空间距离⑴点A到平面的距离：，其中，是平面的法向量。

⑵直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。

⑶两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。

①线线平行的判定：判定定理性质定理判定定理判定定理性质定理判定定理总结：从中可以看出，一般情况下，往往借助一些“性质定理”来构造满足“判定定理”的条件。

(2)还会考查到的位置关系：异面直线的判定。

判定方法：定义(排除法与反证法)、判定定理。

二、基本例题例1已知：分析：利用线面平行的性质与平行公理。

注意严格的公理化体系的推理演绎。

说明：过l分别作平面∴l∥m同理l∥n∴m∥n又又例2. 已知：AB是异面直线a、b的公垂线段，P是AB的中点，平面经过点P且与AB垂直，设M是a上任意一点，N是b 上任意一点。

3.1 空间向量及其运算3.1.3 空间向量的正交分解及其坐标表示【基础知识在线】知识点一 空间向量基本定理★★★考点： 寻找合适的基底来表示题目中的向量 知识点二 单位正交基底★★★ 考点： 用坐标表示向量知识点三 空间直角坐标系★★★★ 考点： 选择合适的位置建系知识点四 空间向量的坐标表示★★★★★ 考点： 能在坐标系下用坐标表示空间向量 能够进行坐标运算【解密重点·难点·疑点】 问题一：空间向量基本定理若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．若三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{},,,p p xa yb zc x y z R =++∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，{},,a b c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．推论：设C B A O ,,,是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的一个有序实数组(z y x ,,}，使OC z OB y OA x OP ++=．注意：（1） 由定理可知，作为基底的三个向量不共面，因此，基底中不存在零向量. (2)一个基底是一组向量，一个基向量是说基底中的某一向量.(3)空间中三个向量只要不共面，即可作为基底，即空间中的基底是不唯一的；当选定一组基底后，空间中任一向量的表示却是唯一的.问题二:空间直角坐标系的建立和坐标表示空间直角坐标系的建立：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{i ，j ，k }，如图，以点O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴．O —x y z 为空间直角坐标系，O 为坐标原点，向量i ，j ，k 为单位坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面．设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．在空间直角坐标系中，坐标平面xOy 上的点的竖坐标为0；坐标平面xOz 上的点的纵坐标为0；坐标平面yOz 上点的横坐标为0．x 轴上的点纵坐标、竖坐标为0，y 轴上的点横坐标、竖坐标为0，z 轴上的点横坐标、竖坐标为0．注意：（1）空间直角坐标系的建立，必须寻求两两垂直且交于一点的直线.（2）表示坐标的三个数据的位置是不能改变的.如若顺序变了，则对应的向量也随之改变.【点拨思维·方法技巧】 一.基底的概念例1已知向量{}c b a ,,是空间的一个基底，那么向量,,-+能构成空间的一个基底吗？为什么？【思维分析】解答该题适用反证法.假设不能构成基底，则共面，利用共面基本定理推出矛盾，从而假设不成立.【解析】 能构成空间一个基底．图3-1-28假设,,-+共面，则存在y x ,,使()()y x -++=,()()y x y x -++=∴.从而由共面向量定理知，c 与b a ,共面． 这与向量{},,是空间的一个基底矛盾． ∴c b a b a ,,-+不共面．【评析】 判断三个向量能否作为基底，关键是正确理解概念，只有空间中三个向量不共面才能构成空间向量的一个基底，常用反证法.变式训练１.有以下命题：①如果向量b a ,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底.其中正确的命题是（ ）.A.①②B.①③C.②③D.①②③ 答案：C.【解析】对于①“如果向量,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,的关系一定共线”；所以①错误.②③正确二.用基底表示向量例2如图，在三棱柱111C B A ABC -中，设===,,1，M 是B A 1的中点，点N 在CM 上，且4:1:=CM CN ，试用基底},,{表示N C 1.【思维分析】结合图形，利用空间向量的加减和数乘运算，把相关的向量均用基底表示. [解析]M 是B A 1的中点，点N 在CM 上，且4:1:=CM CN ，图3-1-29∴)(21)(21)(11AA BA b c BA AB CA BM CB CM +++-=++=+= .2121)(21c b a a b b c -+=+-++-=418187)2121(4141111-+-=+-+-=+=+=∴A C C .c【评析】(1)空间中的一组基底可以表示任意的向量，在选定的基底下，某一向量的表达形式是唯一的.(2)注意结合图形，灵活应用向量的基本运算和三角形、平行四边形法则. (3)用基底表示向量要彻底，不可在有其他向量，只含基底中的向量. 变式训练2．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，=a ，=b ，1=c ，P 是1CA 的中点，M 是1CD 的中点，N 是11D C 的中点，点Q 在1CA 上，且1:4:1=QA CQ用基底{、、}表示以下向量：（1），（2），（3）．[解析]（１）()()c b a AD AB AA AC AA AP ++=++=+=21)(212111； （２）C D AA D D A AA ++=++=++=21211111111； （３）)(51511111AA A A AA -+=+=+= AA 545151515151)(511++=-++=-++=三.求点和向量的坐标例3如下图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标．图3-1-30【思维分析】分别以 AB 、AD 、AA 1为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，找出各顶点到x,y,z 轴的距离．[解析]分别以 A B 、AD 、AA 1为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，找出各顶点到x,y,z 轴的距离,这个距离恰是正方体的棱长，所以各顶点的坐标是：A （0,0,0），B （2,0,0），C （2,2,0），D （0,2,0），A 1（0,0,2），B 1（2,02，）C 1（2,2,2），D 1（0,2,2）．【评析】（1）建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量寻找三条互相垂直且交于一点的直线，如果找不到，要想办法构造．（2）找出各点在坐标轴上的射影，便于得到该点的坐标，但要注意符号． 变式训练3．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB ，PC 的三等分点且PN ＝2NC ，AM ＝2MB ，PA ＝AB ＝1，求 MN 的坐标．[解析] ∵PA=AB=AD=1，且PA 垂直于平面ABCD ，AD ⊥AB ， ∴可设 ,,,=== 建立如图所示的空间直角坐标系． ∵MN ＝MA →＋AP →＋PN ＝－23 AB ＋AP →＋23PC →图3-1-31图3-1-32＝－23AB ＋AP →＋23(－AP →＋AD →＋AB )=13AP ＋23AD → 3132+= .31,0,32⎪⎭⎫⎝⎛=∴【课后习题答案】 练习（第94页）1.答案：向量c 一定可以与q p ,一起构成空间的另一个基底. 解析：-=+=, 与,共面，只有c 不与,共面.2. 答案：点,,,O A B C 四点共面.解析：,, 不构成空间的一个基底，,,∴共面，C B A O ,,,∴四点共面.3.(1)答案：C B B O +-='-='++=',,; 解析： （2）答案：1122OG a b c =++ 解析：()B B 212121++='++=+=.【自主探究提升】夯实基础1.若向量{},,是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（ ） A.3,2, B.+++,, C.93,32,2-++ D.,,++ 答案：C.提示：在C 选项中()(),3232393c b b a c a +-+=-由共面定理知，此三个向量共面. 2.以下四个命题中正确的是( )A ．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B ．若{}c b a ,,为空间向量的一组基底，则c b a ,,全不是零向量 C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是0=⋅AC ABD ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 答案 B提示： 使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A 不正确；△ABC 为直角三角形并不一定是0=⋅AC AB ，可能是0=⋅BA BC ，也可能是0=⋅CB CA ，故C 不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D 不正确，故选B.3.已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G在线段MN 上，且2=，现用基组{},,表示向量，有=x z y ++，则= ．答案 :313161++.提示：313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+= 4. 设O-ABC 是四面体，1G 是ABC ∆的重心，G 是1OG 上的一点，且13GG OG =，若OG ＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则()z y x ,,为( ) A ．(14，14，14) B ．(34，34，34)C ．(13，13，13)D ．(23，23，23)答案 A 提示：()114343AG OG +==()()()[]-+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+=414321324343OC OB OA 414141++=.＝14OA →＋14OB →＋14OC →.故选A. 5．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，设===1,,，F E ,分别是BD AD ,1的中点．（1）用向量 c b a ,,，表示1,D B EF；（2）若c z b y a x F D ++=1，求实数.,,z y x解 （1）1D B =1D D +DB = - 1AA +EF =EA +AF =121D A +12AC ()()()AA +=+++-=2121211.(2) 1D F = 111()2AA AB AD -+-111()2AA AB D D =-+-c b a --=2121,.1,21,21-=-==∴z y x拓展延伸6．在以下3个命题中，真命题的个数是( )①三个非零向量,,不能构成空间的一个基底，则,,共面；②若两个非零向量b a ,与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则b a ,共线； ③若,是两个不共线向量，而()0,≠∈+=λμμλμλ且R ，则{},,构成空间的一个基底．A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C 提示：命题①，②是真命题，命题③是假命题．7．若{}c b a ,,是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是( ) A ．3,2,a,2b,3c B ．+++,, C ．93,32,2-++ D ．,,++AC1A1C图3-1-33答案 C提示：()()()09332323=-++++-c a c b b a 即三向量c a c b b a 93,32,2-++共面. ∴选C.8. 已知正方体1111D C B A ABCD -中，点O 为1AC 与1BD 的交点，1CC z y x ++=，则x ＋y ＋z ＝________.答案 32,提示：()12121CC ++==． 9. 从空间一点P 引出三条射线PC PB PA ,,，在PC PB PA ,,上分别取,,,===，点G 在PQ 上，且PG ＝2GQ ，H 为RS 的中点，则GH →＝__________________. 答案: ().2132c b a ++-10.（2009.四川卷理）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧 棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大小是 .解析：不妨设棱长为2，选择基向量{},,1，则11121,BB BC BM BA BB AB -=-=()5222111-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-=BB BB05220220=--+-=，故填写o 90.11.已知三棱锥A —BCD.1BAB 1AC1CM图3-1-34(1)化简()AD AC AB -+21并标出化简结果的向量； (2)设G 为△BCD 的重心，试用AD AC AB ,,表示向量.解析：设AB ，AC ，AD 中点为E ，F ，H ，BC 中点为P. (1)1(2AB ＋AC →－AD →)＝AE → ＋AF = AP －AH →＝HP →. （2）AG ＝AP →＋PG → = AP →＋13PD →= AP →＋13(AD →－AP →)＝23AP →＋13AD →＝()312132++⨯ ＝13( AB ＋AC →＋AD →)．12.在直三棱柱111O B A ABO -中，∠AOB=2π424===|，D 为11B A 的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，求1,DO A B的坐标.解析：∵11(),DO OD OO O D =-=-+11111[()]222OO OA OB OO OA OB =-++=--- 又1||OO = 4，|OA →|＝4，|OA →|＝4，|OB →|＝2， ∴DO →＝(－2，－1，－4)， ∴1A B ＝ (－4,2，－4)．13. 在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求：异面直线BA 1与AC 所成的角. 解析：因为BC AB AC BB BA BA +=+=,11, 所以)()(11+∙+=∙ =BC BB AB BB BC BA AB BA ∙+∙+∙+∙11ABO1A1OD图3-1-35 图3-1-36因为AB ⊥BC ，BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， 所以BB ∙=∙1,0=0, AB BA BC BB ∙=∙,01=-a 2. 所以AC BA ∙1=-a 2.又,,cos 11><=∙BA .2122,cos 21-=⨯->=<a a a AC BA 所以〈AC BA ,1〉=120°. 所以异面直线BA 1与AC 所成的角为60°．图3-1-37。

空间向量坐标运算空间向量是指在空间中有大小和方向的线段。

空间向量的坐标运算包括向量的加法、减法、数乘和内积。

下面将对这些运算进行详细介绍。

一、向量的加法设空间中有两个向量A和B，它们的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)。

向量的加法即将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量C。

它的坐标为(Ax+Bx, Ay+By, Az+Bz)。

例如，设A = (1, 2, 3)和B = (4, 5, 6)，则A+B = (1+4, 2+5, 3+6) = (5, 7, 9)。

二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量。

设向量A和B的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)，则向量A减去向量B的坐标为(Ax-Bx, Ay-By, Az-Bz)。

例如，设A = (1, 2, 3)和B = (4, 5, 6)，则A-B = (1-4, 2-5, 3-6) = (-3, -3, -3)。

三、向量的数乘向量的数乘是指一个向量乘以一个实数。

设向量A的坐标为(Ax, Ay, Az)，实数k，则向量A乘以实数k的坐标为(kAx, kAy, kAz)。

例如，设A = (1, 2, 3)，k = 2，则kA = (2*1, 2*2, 2*3) = (2, 4,6)。

四、向量的内积向量的内积又称为点乘，它是两个向量之间的一种运算。

设向量A和B的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)，则向量A与向量B的内积为Ax*Bx + Ay*By + Az*Bz。

例如，设A = (1, 2, 3)和B = (4, 5, 6)，则A·B = 1*4 + 2*5 +3*6 = 32。

向量的内积有以下几个性质：1. 交换律：A·B = B·A；2. 分配律：(A+B)·C = A·C + B·C；3. 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B) = A·(kB)。

空间向量坐标运算空间向量是指具有大小和方向的直线段，在三维空间中通常用坐标表示。

空间向量的坐标运算包括向量的加法、减法、数量乘法、点乘和叉乘等。

下面将详细介绍这些运算。

1. 向量的加法和减法向量的加法和减法是指将两个向量相加或相减得到一个新的向量，其坐标运算规律如下：- 加法：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的和的坐标为(u1+v1, u2+v2, u3+v3)；- 减法：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的差的坐标为(u1-v1, u2-v2, u3-v3)。

2. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量，其坐标运算规律如下：- 数量乘法：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，实数k，则向量u 乘以k的坐标为(k*u1, k*u2, k*u3)。

3. 向量的点乘向量的点乘又称为内积，是指将两个向量进行乘法运算得到一个标量（实数），其计算公式如下：- 点乘：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的点乘的结果为u1*v1 + u2*v2 + u3*v3。

4. 向量的叉乘向量的叉乘又称为外积，是指将两个向量进行乘法运算得到一个新的向量，其计算公式如下：- 叉乘：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的叉乘的坐标为((u2*v3 - u3*v2), (u3*v1 -u1*v3), (u1*v2 - u2*v1))。

通过以上的描述可以看出，向量的加法、减法、数量乘法都是按照对应位置进行运算，只要对应坐标进行相加、相减或乘以相同的实数即可。

点乘和叉乘则需要对应坐标进行特定的运算。

需要注意的是，向量的坐标运算不关心向量的起点和终点，只关心向量的大小和方向。

9.6 空间向量的坐标运算一、空间直角坐标系：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，这个基底叫做单位正交基底，常用{},,i j k r r u r表示。

在空间选定一点O 和一个单位正交基底{},,i j k r r u r，以点O 为原点，分别以i r 、j r 、k u r的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴。

这时我们称建立了一个空间直角坐标系-O xyz ，点O 叫做原点，向量i r 、j r 、k u r都叫做坐标向量。

通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面。

注意：O xyz时，一般使①作空间直角坐标系-?xOy135o（或45o），?yOz90o。

②在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。

说明右手直角坐标系的特点是：从Ox到Oy是逆时针方向。

③如无特别说明，以后建立的坐标系都是右手直角坐标系。

给定一个空间直角坐标系和向量a r，且设i r 、j r 、k u r为坐标向量，根据空间向量基本定理可知：存在唯一的有序实数组(),,a a a 123，使=++a a i a j a k 123r r r u r有序实数组(),,a a a 123叫做向量a r在空间直角坐标系-O xyz 中的坐标，可简记作()=,,a a a a 123r在空间直角坐标系-O xyz 中，对空间任一点A ，对应一个向量OA uu u r，于是存在唯一的有序实数组x 、y 、z ，使=++OA xi y j zk u u u r r r u r有序实数组(),,x y z 叫做点A 的坐标，记作(),,A x y z ，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标。

二、空间向量的直角坐标运算：Ⅰ．设()=,,a a a a 123r ，()=,,b b b b 123r，则 ①()+=+++,,a b a b a b a b 112233r r； ②()-=---,,a b a b a b a b 112233r r；③()()=?,,a a a a R l l l l l 123r； ④?++a b a b a b a b 112233r r； ⑤^?+=a b a b a b a b 1122330r r；⑥()ì=ïïï??íïïï=ïî//a b a b a b R a b l l l l 112233r r 。

空间向量运算的坐标表示1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标．2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直．3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．1．空间向量的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)，a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)，λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3．2．空间向量的平行、垂直及模、夹角设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )；a ⊥b ⇔a ·b|a |＝a ·a cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1122a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23. 3．空间中两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则A ，B 两点间的距离d ＝|AB →|1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间向量a ＝(1，1，1)的长度为1.( )(2)若向量a·b ＝0，则向量a 与向量b 垂直．( )(3)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3.( ) (4)任给向量a ，b ，都有a·b ≤|a ||b |.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是( )A ．a ＋b ＝(10，－5，－6)B ．a －b ＝(2，－1，－6)C ．a ·b ＝10D ．|a |＝6答案：D3．已知A (3，3，3)，B (6，6，6)，O 为原点，则OA→与BO →的夹角是( )A ．0B ．πC.3π2 D ．2π答案：B4．已知a ＝(2，1，3)，b ＝(－4，5，x )，若a ⊥b ，则x ＝________． 答案：1探究点一 空间向量的坐标运算已知O 为原点，A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为A (2，－4，1)，B (3，2，0)，C (－2，1，4)，D (6，3，2)．求满足下列条件的点P 的坐标．(1)OP→＝2(AB →－AC →)；(2)AP →＝AB →－DC →. [解] (1)AB→－AC →＝CB → ＝(3，2，0)－(－2，1，4)＝(5，1，－4)，所以OP→＝2(5，1，－4)＝(10，2，－8)， 所以点P 的坐标为(10，2，－8)．(2)设P (x ，y ，z )，则AP→＝(x －2，y ＋4，z －1)． 又AB→＝(1，6，－1)，DC →＝(－8，－2，2)， 所以AB→－DC →＝(9，8，－3)， 所以(x －2，y ＋4，z －1)＝(9，8，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝9，y ＋4＝8，z －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11，y ＝4，z ＝－2，所以点P 的坐标为(11，4，－2)．向量的坐标即终点坐标减去起点坐标所得的坐标．求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标．1.(1)设向量a ＝(2，1，6)，b ＝(－8，－3，2)，则①3a －4b ＝________；②12a ·b ＝________．(2)已知△ABC 中，A (2，－5，3)，AB→＝(4，1，2)，BC →＝(3，－2，5)，求顶点B 、C 的坐标及CA →.解：(1)①3a －4b ＝3(2，1，6)－4(－8，－3，2)＝(6，3，18)－(－32，－12，8)＝(38，15，10)．故填(38，15，10)．②12a ·b ＝12[2×(－8)＋1×(－3)＋6×2]＝12×(－7)＝－72.故填－72.(2)设B (x ，y ，z )，C (x 1，y 1，z 1)，所以AB →＝(x －2，y ＋5，z －3)，BC →＝(x 1－x ，y 1－y ，z 1－z )．因为AB →＝(4，1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝4，y ＋5＝1，z －3＝2解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－4，z ＝5.所以B 的坐标为(6，－4，5)．因为BC →＝(3，－2，5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x1－6＝3，y 1＋4＝－2，z 1－5＝5解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝9，y 1＝－6，z 1＝10.所以C 的坐标为(9，－6，10)，CA →＝(－7，1，－7).探究点二 坐标形式下的平行与垂直已知空间三点A (－2，0，2)、B (－1，1，2)、C (－3，0，4)．设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)设|c |＝3，c ∥BC →，求c ；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k .[解] (1)因为BC →＝(－2，－1，2)且c ∥BC →，所以设c ＝λBC →＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R )，所以|c |＝ （－2λ）2＋（－λ）2＋（2λ）2＝3|λ|＝3. 解得λ＝±1.所以c ＝(－2，－1，2)或c ＝(2，1，－2)．(2)因为a ＝AB→＝(1，1，0)，b ＝AC →＝(－1，0，2)， 所以k a ＋b ＝(k －1，k ，2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)．因为(k a ＋b )⊥(k a －2b )，所以(k a ＋b )·(k a －2b )＝0，即(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0.解得k ＝2或k ＝－52.将本例(2)中“若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直”改为“若k a ＋b 与a ＋k b 互相平行”，其他条件不变，求k 的值．解：a ＝(－1＋2，1－0，2－2)＝(1，1，0)，b ＝(－3＋2，0－0，4－2)＝(－1，0，2)，所以k a ＋b ＝(k ，k ，0)＋(－1，0，2)＝(k －1，k ，2)． a ＋k b ＝(1，1，0)＋(－k ，0，2k )＝(1－k ，1，2k )，因为k a ＋b 与a ＋k b 平行，所以k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －1，k ，2)＝λ(1－k ，1，2k )，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1＝λ（1－k ），k ＝λ·1，2＝λ·2k ，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，λ＝1.(1)平行与垂直的判断①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线；②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.(2)平行与垂直的应用①适当引入参数(比如向量a ，b 平行，可设a ＝λb )，建立关于参数的方程；②选择坐标形式，以达到简化运算的目的．2.设a ＝(1，5，－1)，b ＝(－2，3，5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ；(2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k .解：k a ＋b ＝(k －2，5k ＋3，－k ＋5)．a －3b ＝(1＋3×2，5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．(1)因为(k a ＋b )∥(a －3b )，所以k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13. (2)因为(k a ＋b )⊥(a －3b )，所以(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0，解得k ＝1063.探究点三 向量夹角与长度的计算如图所示，正四棱锥S -ABCD 的侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，O 为底面ABCD 的中心．(1)求CE 的长；(2)求异面直线BE 与SC 所成角的余弦值．[解] 如图，以O 为原点，以OA→，OB →，OS →所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．因为侧棱长为2，底面边长为3，E 为SA 的中点，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0，0，S ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，22， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，62，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫64，0，24. (1)CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫364，0，24， 所以|CE →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3642＋02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫242 ＝142，即CE ＝142.⎝⎭SC →＝⎝⎛⎭⎪⎫－62，0，－22， 所以cos 〈BE →，SC →〉＝BE →·SC →|BE →|·|SC →|＝－12×2＝－12， 故异面直线BE 与SC 所成角的余弦值为12.运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系； (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标；(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算；(4)转化：转化为几何结论．3.(1)已知a ＋b ＝(2，2，23)，a －b ＝(0，2，0)，则cos 〈a ，b 〉＝( )A.13B.16C.63D.66(2)已知△ABC 的顶点分别为A (1，－1，2)，B (5，－6，2)，C (1，3，－1)，则边AC 上的高BD ＝( )A ．5 B.41C ．4D ．2 5解析：(1)选C.由已知得a ＝(1，2，3)，b ＝(1，0，3)，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1＋0＋36×4＝63. (2)选A.设AD→＝λAC →(λ∈R )，因为AC →＝(0，4，－3)，所以AD →＝(0，4λ，－3λ)．又AB→＝(4，－5，0)， 所以BD→＝AD →－AB →＝(－4，4λ＋5，－3λ)． 由AC →·BD →＝0，得λ＝－45，所以BD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，95，125，所以|BD→|＝5，即BD ＝5.1．判断空间两向量(直线)平行与垂直的思路(1)空间两个向量平行、垂直与平面两个向量平行、垂直的表达式不一样，但实质是一致的．(2)判定空间两直线平行或垂直只需判断两直线对应的方向向量是否平行或垂直．2．特殊向量的坐标表示(1)当向量a 平行于x 轴时，纵坐标、竖坐标都为0，即a ＝(x ，0，0)(x ∈R )；(2)当向量a 平行于y 轴时，横坐标、竖坐标都为0，即a ＝(0，y ，0)(y ∈R )；(3)当向量a 平行于z 轴时，横坐标、纵坐标都为0，即a ＝(0，0，z )(z ∈R )；(4)当向量a 平行于xOy 平面时，竖坐标为0，即a ＝(x ，y ，0)(x ，y ∈R )；(5)当向量a 平行于yOz 平面时，横坐标为0，即a ＝(0，y ，z )(y ，z ∈R )；(6)当向量a 平行于xOz 平面时，纵坐标为0，即a ＝(x ，0，z )(x ，z ∈R )．1．已知a ＝(1，1，0)，b ＝(0，1，1)，c ＝(1，0，1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．－2解析：选A.因为p ＝a －b ＝(1，0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0，3，1)，所以p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1，故选A.2．已知a ＝(1，0，1)，b ＝(x ，1，2)，且a ·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为( )A.5π6B.2π3C.π3D.π6解析：选D.因为a ·b ＝x ＋2＝3，所以x ＝1.所以b ＝(1，1，2)．所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |所以a 与b 的夹角为π6.3．已知点A (－1，3，1)，B (－1，3，4)，若AP→＝2PB →，则点P 的坐标是________．解析：设点P (x ，y ，z )，则由AP→＝2PB →，得(x ＋1，y －3，z －1)＝2(－1－x ，3－y ，4－z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2－2x ，y －3＝6－2y ，z －1＝8－2z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，z ＝3，即P (－1，3，3)． 答案：(－1，3，3)4．已知向量a ＝(x ，4，1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，且a ∥b ，b ⊥c .(1)求向量a ，b ，c ；(2)求向量a ＋c 与向量b ＋c 所成角的余弦值．解：(1)因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1， 解得x ＝2，y ＝－4，此时a ＝(2，4，1)，b ＝(－2，－4，－1)．又由b ⊥c 得b·c ＝0，故(－2，－4，－1)·(3，－2，z )＝－6＋8－z ＝0，得z ＝2，此时c ＝(3，－2，2)．(2)由(1)得，a ＋c ＝(5，2，3)，b ＋c ＝(1，－6，1)，因此向量a ＋c 与向量b ＋c 所成角θ的余弦值为cos θ＝5－12＋338×38＝－219.[A 基础达标]1．已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，则|3a ＋b |为( ) A.15 B ．4C ．5 D.17解析：选D.3a ＋b ＝3(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(3，3，0)＋(－1，0，2)＝(2，3，2)，故|3a ＋b |＝4＋9＋4＝17.2．若向量a ＝(1，1，x )，b ＝(1，2，1)，c ＝(1，1，1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x 的值为( )A ．2B ．－2C ．0D ．1解析：选A.因为c －a ＝(0，0，1－x )，2b ＝(2，4，2)， 所以(c －a )·(2b )＝2(1－x )＝2－2x ＝－2.所以x ＝2.3．若△ABC 中，∠C ＝90°，A (1，2，－3k )，B (－2，1，0)，C (4，0，－2k )，则k 的值为( ) A.10 B ．－10C ．2 5D ．±10解析：选D.CB→＝(－6，1，2k )， CA→＝(－3，2，－k )， 则CB→·CA →＝(－6)×(－3)＋2＋2k ×(－k ) ＝－2k 2＋20＝0，所以k ＝±10.4．已知a ＝(x ，1，2)，b ＝(1，2，－y )，且(2a ＋b )∥(－a ＋2b )，则( )A ．x ＝13，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－4C ．x ＝2，y ＝－14D ．x ＝1，y ＝－1解析：选B.2a ＋b ＝(2x ＋1，4，4－y )，－a ＋2b ＝(2－x ，3，－2y －2)，因为(2a ＋b )∥(－a ＋2b )，则存在非零实数λ，使得2a ＋b ＝λ(－a ＋2b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝（2－x ）λ，4＝3λ，4－y ＝（－2y －2）λ，所以⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－4. 5．若A (x ，5－x ，2x －1)，B (1，x ＋2，2－x )，则当|AB→|取最小值时，x 的值等于( )A ．19B ．－87C.87D.1914解析：选C.因为AB→＝(1－x ，2x －3，3－3x )， 所以|AB→|＝ （1－x ）2＋（2x －3）2＋（3－3x ）2 ＝ 14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －872＋57. 故当x ＝87时，|AB→|有最小值． 6．已知a ＝(1，m ，3)，b ＝(－2，4，n )，若a ∥b ，则m －n ＝________． 解析：因为a ∥b ，所以b ＝λa .所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，m λ＝4，3λ＝n .所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，m ＝－2，n ＝－6.所以m －n ＝4.答案：47．已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则〈b ，c 〉＝________．解析：由题意，得|c |＝3，(2a ＋b )·c ＝0×1＋(－5)×(－2)＋10×(－2)＝－10，所以2a ·c ＋b ·c ＝－10.又a ·c ＝4，所以b ·c ＝－18，所以cos〈b ，c 〉＝b ·c |b |·|c |＝－12，所以〈b ，c 〉＝120°. 答案：120°8．若a ＝(x ，2，2)，b ＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是________．解析：a·b ＝2x －2×3＋2×5＝2x ＋4，设a ，b 的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝a·b |a ||b |＜0，又|a |＞0，|b |＞0，所以a·b ＜0，即2x ＋4＜0，所以x ＜－2.又a ，b 不会反向，所以实数x 的取值范围是(－∞，－2)． 答案：(－∞，－2)9．已知向量a ＝(6，－3，2)，b ＝(4，－2，－4)．求：(1)|a |；(2)(3a ＋2b )·(－2a ＋b )．解：(1)|a |＝a 2＝62＋（－3）2＋22＝7.(2)因为|b |＝b 2＝42＋（－2）2＋（－4）2＝6，a ·b ＝6×4＋(－3)×(－2)＋2×(－4)＝22，所以(3a ＋2b )·(－2a ＋b )＝－6a 2＋3a ·b －4a ·b ＋2b 2＝－244.10．已知四边形ABCD 的顶点坐标分别是A (3，－1，2)，B (1，2，－1)，C (－1，1，－3)，D (3，－5，3)，求证：四边形ABCD 是一个。