第四讲 椭球面上几种曲率半径讲解材料

中学生数理化·教与学2009.12科学思想方法椭圆曲率半径的四种求法◆广西柳州铁一中 温黎明要分析沿曲线运动的质点在曲线上某点的运动情况,往往要先弄清曲线在这一点切线的方向及曲折程度,切线方向可由斜率反映出来,弯曲程度可用极限圆曲率半径反映出来.如果在曲线上某点附近取极短的一段,只要取得足够短,那么,这一小段就可以看成一段很短的圆弧,此圆弧所在的圆叫做曲线在该点的极限圆,极限圆的半径叫曲线在该点的曲率半径.求曲线曲率半径通常用到的依据是向心加速度公式:an =ν2ρ,得ρ=ν2an.故求曲率半径所要解决的问题是:质点经过该位置时速度和在该点法线方向的加速度.对于任意曲线,关键在于如何构建一个合理的模型,使其合运动来满足曲线方程.下面就以求椭圆端点的曲率半径为例,来说明如何构造物理模型.如图1,质点运动的椭圆轨道方程为x2a2+y2b2=1,试用物理的方法求出A(a,0)和B(0,b)两点处的曲率半径.构造模型:将质点的椭圆运动看成两个互相垂直的同频率简谐振动的叠加.解法一:设质点的两个分运动为:x=a s i nωt,y=b c o sωt.它们的合运动的轨道方程就是题中给出的椭圆方程.求速度　νx=aωc o sωt,νy=-bωs i nωt.求加速度　ax=-aω2s i nωt,ay=-bω2c o sωt.在点A处,y=0,x=a;νy =-bω;ax=-aω2,ay=0.由ρ=ν2an解得ρA=b2a.同理可得B点曲率半径ρA =a2b.点评:椭圆的参数方法可以写为x=a s i nωt,y=b c o sωt,此方法将复杂的椭圆运动利用数学中的参数方法,巧妙地分解为两个基本的同频率的简谐振动,将本来没有实际物理意义的参数方程赋予新的物理意义,这样,就简化为讨论两个基本的同121中学生数理化·教与学 2009.12科学思想方法频率的简谐振动问题.利用这个思想,我们可以将任何一个复杂的运动,利用它的参数方程来进行适当的运动分解.从而化复杂为简单,化抽象为具体,这将为我们讨论复杂运动带来很多便利.半径为b 的圆柱面被两平面相截,其中一个平面与圆柱面轴线垂直,第二个平面与第一个平面交角为θ,且满足c o s θ=ba .两平面的交线与圆柱面相切.如图1所示,可得第一个平面与圆柱面的交线是一个半径为b 的圆,第二个平面与圆柱的交线是一个半长轴为a 、半短轴为b 的椭圆.构造模型:将椭圆按上述方法投影成一个圆.解法二:设质点在半径为b 的圆周上作速率为ν的匀速圆周运动,则质点在椭圆上的投影必然沿椭圆轨道运动,轨迹方程就是题中给出的椭圆方程.如图2,点A 速度为ν,法向加速度为ν2b ,点A 的投影A ′的速度和法向加速度为νA ′=νc o s θ=ab ν,(a A ′)n =(a A )n =ν2b .由此可得A ′处的椭圆曲率半径ρA ′=ν2A ′(a A ′)n =a 2b.同理可得B ′处的椭圆曲率半径ρB ′=ν2B ′(a B ′)n =b2b.点评:此方法利用投影的思想,把一个复杂的椭圆运动简化,这是物理学中的一个重要思想.行星绕太阳的运动轨迹为椭圆,同样,我们可以用万有引力的方法来求解.构造模型:设质量为m 的质点在万有引力的作用下绕质量为M 的质点做椭圆运动,轨道的半长轴为a ,半短轴为b ,质量为M 的质点处在椭圆的一个焦点上,如图3.解法三:略.可见,物理模型的建立在物理学习中十分重要.掌握一些物理模型的特点和研究方法,学会将研究对象简化成理想模型、将新的物理情景抽象成我们熟知的物理模型并加以解决,并且于实际情景中构建新的物理模型,这需要大家不断探索和总结.122。

曲率半径曲率半径，也称为半径或曲率半径，是指曲线或曲面在某一点处曲率圆的半径大小。

曲率圆是指在曲线或曲面上的某一点处，与其切线相切并且曲率最大的圆。

曲率半径的大小决定了曲线或曲面的弯曲程度，曲率半径越小，则曲线或曲面越弯曲。

下面我们将详细探讨曲率半径的相关知识。

一、平面曲线上的曲率半径在平面曲线上，曲率半径的计算公式为：r = [(1 + (dy/dx)^2)^(3/2)] / |d^2y/dx^2|其中，dy/dx表示曲线在该点处的斜率（切角），d^2y/dx^2表示曲线在该点处的加速度。

由此可见，曲率半径的计算需要用到曲线的一阶导数（dy/dx）和二阶导数（d^2y/dx^2），因此需要对曲线进行微积分。

二、空间曲面上的曲率半径在空间曲面上，曲率半径的计算公式稍微复杂一些，可以分为几种情况。

1.参数式曲面上某一点P处的曲率半径为：r = [E(u)v'^2 + 2F(u)v'u' + G(u)u'^2]^(-1/2)其中，E、F、G为曲面的第一基本形式系数，u'和v'为曲面上u和v方向的单位法向量，u''和v''为曲面上u和v方向的单位切向量。

E、 F、 G 的计算公式为：E = |r_u|^2,F = r_u•r_v,G = |r_v|^2其中，r_u和r_v分别为曲面上u、v两个参数方向的切向量。

2.一般曲面方程的曲率半径计算需要求出曲面上某一点处的二阶偏导数来计算。

在曲面上，一个点P的曲率半径r和法向量n以及曲面上所有过该点的切平面交曲面得到的圆的半径ρ之间有下列关系：r = 1/ρ其中，圆的半径ρ可以通过下列公式计算得到：ρ = |n •∂^2r/∂u^2 ∧∂r/∂u + 2n •∂^2r/∂u∂v ∧ (∂r/∂u ×∂r/∂v) + n •∂^2r/∂v^2 ∧∂r/∂v| / (|∂r/∂u ×∂r/∂v|^2)^(1/2)其中，“∧”表示向量积， | | 表示向量的模长。

椭球面知识点总结一、基本概念1.椭球面的定义椭球面是指以一个椭圆绕着其长轴旋转一周所形成的曲面。

它可以用一个方程来表示，在三维笛卡尔坐标系中，椭球面的方程可以写为：x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1其中，a、b、c分别代表在x、y、z轴上的半轴长度。

2.椭球面的参数方程椭球面也可以通过参数方程来表示，参数方程的形式为：x = a*cos(u)*sin(v)y = b*sin(u)*sin(v)z = c*cos(v)其中，u和v分别是参数，0≤u≤2π，0≤v≤π。

3.椭球面的性质椭球面是一个闭曲面，它在每一点处的曲率是不同的，除了在两个半轴的端点处，椭球面的主曲率在其他点处都不相等。

二、性质1.椭球面的焦点椭球面有两个焦点，这两个焦点的距离等于长轴的长度。

当我们在空间中绘制一个椭球面时，可以通过这两个焦点来确定椭球面的位置和形状。

2.椭球面的直径椭球面的直径是椭球面上两点之间的最大距离，它是长轴的长度。

3.椭球面的离心率椭球面的离心率是一个衡量椭球形状的参数，它定义为焦点距离的一半除以长轴的长度。

离心率的取值范围为0到1，当离心率为0时，椭球退化为一个点，当离心率为1时，椭球变成一个长方体。

4.椭球面的体积椭球面的体积可以通过积分的方法来求解，其体积的表达式为:V = 4/3 * π * a * b * c5.椭球面的曲率在任意一点处，椭球面的曲率可以通过一组数来表示。

根据椭球面的参数方程，可以求出其曲率在不同点处的值，从而得到整个椭球面上曲率的分布情况。

6.椭球面的法向量椭球面上任意点处的法向量可以通过梯度的方法来求解。

可以求得椭球面上每一点处的法向量分量，从而得到整个椭球面的法向量分布情况。

三、应用1.几何学中的应用椭球面在几何学中有着广泛的应用，它可以用来描述三维空间中的曲面。

在绘图和建模中，椭球面的形状和性质对于设计和制造具有曲面的产品是非常重要的。

2.物理学中的应用椭球面在物理学中也有着重要的应用，例如地球的形状就接近一个椭球面，而行星的轨道也可以用椭球面来描述。

曲率半径的概念曲率半径是描述一个曲面或曲线的形状的物理量。

它指的是在一个给定点上，曲面或曲线在该点处的弯曲程度。

简单地说，曲率半径就是曲面或曲线在一个点上的半径，这个半径是构成这个曲面或曲线时所需的圆的半径。

在几何学上，曲率半径是在曲面或曲线上的法线上，经过该点，并具有相同切线方向和切线方向的垂线长度的倒数。

这个长度就是曲率半径。

因此，曲率半径是一个表示曲线或曲面在某个点上的弯曲程度的量，也是一个表示曲线或曲面在某个点上的曲率大小的量。

为了更好地理解曲率半径的概念，可以比较直线和圆的情况。

在直线上，曲率半径是无限大的，因为直线在任何一个点上都没有弯曲。

而在圆上，曲率半径等于圆的半径，因为圆的每个点都具有相同的弯曲半径和半径大小。

曲率半径在物理学和工程学中具有广泛的应用。

例如，在机械设计中，曲率半径通常用来描述机械零件的弯曲程度和曲线形状。

在光学中，折射率和曲率半径通常用来描述透镜的形状。

在物理学中，曲率半径通常用来描述曲面的形状和反射性质。

曲率半径也是计算曲线或曲面的曲率的重要参量。

曲率是描述曲面或曲线在某个点上的弯曲程度的物理量。

计算曲率的方法是通过比较曲面或曲线的小段弧长和相应段的曲率半径大小来确定。

因此，曲率半径是曲率计算的重要输入参数。

曲率半径的概念还可以应用于处理曲线或曲面的形状数据。

曲率半径可以用来表征数字三维曲面模型和图像数据的特征，例如，在医学成像和地质勘探中，曲率半径通常用来提取数据中的重要特征和构造几何模型。

在工程领域中，曲率半径的概念也是非常重要的。

当模拟各种机械结构和工作装置的强度和稳定性时，曲率半径的变化可以导致应力分布和失稳的发生。

在汽车设计和制造中，曲率半径也是非常重要的因素。

例如在车身设计中，曲率半径需要根据车身部件的弯曲程度来设置，以确保车身的结构强度和稳定性。

总之，曲率半径是一个重要的物理量，它可以用来描述曲面或曲线的形状和曲率。

它在物理学、工程学和计算机图形学等领域中都有着广泛的应用。

椭圆的曲率半径
椭圆的曲率半径指的是：椭圆上某点附近的非常短的一段弧可以近似为圆弧，而椭圆在某点的曲率半径就是指这个圆的半径。

平面曲线的曲率就是是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。

在微分几何中，曲率的倒数就是曲率半径，即R=1/K，平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度，对于曲线，它等于最接近该点处曲线的圆弧的半径，对于表面，曲率半径是最适合正常截面或其组合的圆的半径。