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（第7章）椭球面上的基本计算第七章椭球面上的基本计算§1 地球椭球的基本知识一、地球形状的概念地球的自然表面——不规则；不能在上面进行计算；大地水准面——平均海水面延伸得到的封闭曲面，最接近大地自然表面；∵大地水准面具有性质：大地水准面上任一点处的垂线（重力方向）与该点处切面正交；又：重力是离心力与地心引力的合力（离心力与地心引力之比约1：300），而大地水准面上各点处引力不等，造成各点处垂线方向各异。
∴各点处切面组成的曲面——大地水准面亦不规则，有微小起伏，是一个具有物理性质的曲面。
实践和理论均可证明：1）在各水准面（与大地水准面的不平行性不很明显）上测得的水平角，因归化到大地水准面上改正极微小，完全可以看成大地水准面上的角值；2）各高程面上测得之边长也可化算到大地水准面上；3）地面点的高程亦从大地水准面起算。
结论：大地水准面是测量外业的基准面；但它是物理曲面而非数学曲面，所以不能作为测量计算的基准面。
大地体——大地水准面包围的形体；地球椭球——代表地球形体的旋转椭球体；椭球面上处处法线与该点的切面正交，是一个具有数学性质的曲面；总地球椭球——与大地体最接近的地球椭球。
应满足：①其中心应与地球质心重合；②旋转轴应与地轴重合，赤道应与地球赤道重合；③体积应与大地体体积相等；④总椭球面与大地水准面之间的高差平方和最小。
参考椭球——与某一局部大地水准面密切配合的椭球。
二、椭球的几何元素与参数1.椭球的元素长半径：a 短半径：b 2.椭球的参数扁率：α＝(a －b)/a 第一偏心率： a b a e /22-= 第二偏心率：b b a e /22-=' 式中：22b a -——椭圆的焦距，即椭圆的焦点到椭圆中心的距离3.关系式21e b a '-= 21e a b -= )1(2e e e -'= )1(2e e e '-='(1＋e ′2) (1－e 2)＝1e 2＝2α －α 2 ≈2 α (α ≈1/300)我国解放前使用海福特椭球等。
第七章椭球面上的基本计算§1 地球椭球的基本知识一、地球形状的概念地球的自然表面——不规则；不能在上面进行计算；大地水准面——平均海水面延伸得到的封闭曲面，最接近大地自然表面；∵大地水准面具有性质：大地水准面上任一点处的垂线（重力方向）与该点处切面正交；又：重力是离心力与地心引力的合力（离心力与地心引力之比约1：300），而大地水准面上各点处引力不等，造成各点处垂线方向各异。
∴各点处切面组成的曲面——大地水准面亦不规则，有微小起伏，是一个具有物理性质的曲面。
实践和理论均可证明：1）在各水准面（与大地水准面的不平行性不很明显）上测得的水平角，因归化到大地水准面上改正极微小，完全可以看成大地水准面上的角值；2）各高程面上测得之边长也可化算到大地水准面上；3）地面点的高程亦从大地水准面起算。
结论：大地水准面是测量外业的基准面；但它是物理曲面而非数学曲面，所以不能作为测量计算的基准面。
大地体——大地水准面包围的形体；地球椭球——代表地球形体的旋转椭球体；椭球面上处处法线与该点的切面正交，是一个具有数学性质的曲面；总地球椭球——与大地体最接近的地球椭球。
应满足：①其中心应与地球质心重合；②旋转轴应与地轴重合，赤道应与地球赤道重合；③体积应与大地体体积相等；④总椭球面与大地水准面之间的高差平方和最小。
参考椭球——与某一局部大地水准面密切配合的椭球。
二、椭球的几何元素与参数1.椭球的元素长半径：a短半径：b2.椭球的参数扁率： α＝(a －b)/a 第一偏心率： a b a e /22-= 第二偏心率： b b a e /22-=' 式中：22b a -——椭圆的焦距，即椭圆的焦点到椭圆中心的距离3.关系式(1＋ e ′2) (1－e 2)＝1e 2＝2α －α 2 ≈2 α (α ≈1/300)我国解放前使用海福特椭球等。
解放后，我国的“1954年北京坐标系”采用克拉索夫斯基椭球，“1980国家大地坐标系”采用“IAG75”椭球，而全球定位系统（GPS ）采用的是WGS-84椭球参数。
椭球面上观测成果归化到高斯平面上计算7.4.1 概述由于高斯投影是正形投影，椭球面上大地线间的夹角与它们在高斯平面上的投影曲线之间的夹角相等。
为了在平面上利用平面三角学公式进行计算，须把大地线的投影曲线用其弦线来代替。
控制网归算到高斯平面上的内容有：（1）起算点大地坐标的归算——将起算点大地坐标),(B L 归算为高斯平面直角坐标),(y x 。
（2）起算方向角的归算。
（3）距离改化计算——椭球面上已知的大地线边长（或观测的大地线边长）归算至平面上相应的弦线长度。
（4）方向改计算——椭球面上各大地线的方向值归算为平面上相应的弦线方向值。
7.4.2 方向改化（1）概念如图所示，若将椭球面上的大地线AB 方向改化为平面上的弦线ab 方向，其相差一个角值ab δ,即称为方向改化值。
（2）方向改化的过程如图所示，若将大地线AB 方向改化为弦线ab 方向。
过A ,B 点，在球面上各作一大圆弧与轴子午线正交，其交点分别为D ,E ，它们在投影面上的投影分别为ad 和be 。
由于是把地球近似看成球，故ad 和be 都是垂直于x 轴的直线。
在a ,b 点上的方向改化分别为ab δ和ba δ。
当大地线长度不大于10km ，y 坐标不大于l00km时，二者之差不大于0.05"，因而可近似认为ab δ=ba δ。
（3）计算公式 球面角超公式为：2)()(2b a b a y y y x R+-''=''ρε适用于三、四等三角测量的方向改正的计算公式：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-''-=-''=)(2)(222b a m bab a m ab x x y R x x y Rρδρδ式中)(21b a my y y +=，为a 、b 两点的y 坐标的自然的平均值。
7.4.3 距离改化（1）概念如图所示，设椭球体上有两点21,P P 及其大地线S ，在高斯投影面上的投影为21,P P ''及s 。
第四部分控制测量练习（7。
椭球⾯计算）第七章椭球⾯上的测量计算1．试写出椭球的基本元素及其基本关系式。
2．在控制测量的椭球解算中，常引⽤下列符号：t 、η、W 、V ，试问它们之间函数关系的⼀个基本共同特点是什么？3．我国解放后主要采⽤哪两种参考椭球?其主要参数是什么? 4．绘图并说明表⽰椭球⾯上点位的三种常⽤坐标系统。
5．在报纸上经常看到X X 号轮船在东经XXX 度，北纬X X 度遇险⼀类的报导，试问这是指的什么坐标系，为什么?6．写出参考椭球体的五个基本元素及相互间的关系。
7．什么叫⼦午圈？什么叫平⾏圈？8．参考椭球体扁率的变化，椭球体的形状发⽣怎样的变形？9．简要说明并图⽰地⾯某⼀点的⼤地⾼、正常⾼以及⼤地⽔准⾯差距的⼏何意义。
10．什么是⼤地测量的基本坐标系？有何优点？11．画图表⽰地⼼纬度坐标系和归化纬度坐标系，这两种坐标系在⼤地测量中有何意义？ 12．⽤公式表⽰空间直⾓坐标系和⼤地坐标系之间的关系。
13．何为⼤地纬度、归化纬度、地⼼纬度？三者间有何关系？ 14．简要叙述M 、N 、R 三种曲率半径之间的关系。
15．⼤地坐标系和天⽂坐标系各以什么作基准⾯和基准线？ 16．试推证卯⾣圈、⼦午圈曲率半径的计算公式。
17．B ≠00的平⾏圈是否有可能是法截线？为什么？18．卯⾣圈曲率半径N 与⼦午圈曲率半径M 何时有最⼤值？何时有最⼩值？19，为什么说任意⽅向法截线曲率半径A R 随A 的变化是以900为周期的？这⼀结论对椭球问题的解算有什么意义？20．什么是法线？什么是法截⾯？它们对椭球解算有什么意义？21．当椭球元素确定之后，椭球⾯上任意⽅向法截线曲率半径的计算值取决于哪两个变量？为什么？ 22．已知欧拉公式：A NA M R A 22sin 1cos 11+= 试由椭球基本元素及公式出发，⽤两种⽅法导出计算任意⽅向法截线曲率半径A R 的公式和平均曲率半径R 的公式。
23．研究平均曲率半径R 对椭球解算有何意义？在我国中纬度地区R 与A R 的最⼤差异是多少？试将它对距离化算（⽤R 代替A R ）的影响作⼀定量分析。
