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第四章 3椭球面上的弧长(大地线)计算

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第四章椭球数学变换4146

第四章椭球数学变换4146

径乘以两截弧平面夹角的余弦。
15
椭球面上几种曲率半径
rNcoBs
xr acosB W
N a W
Nc V
PnNPO ' r coBs coBs
16
椭球面上几种曲率半径
卯酉圈曲率半径的特点: 卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短轴
之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位在椭球的旋转 轴上。
为求子午线上两个纬度B１及Ｂ２间的弧长，只需按 (11.42)式分别算出相应的X１及X２，而后取差：Δ Ｘ＝ Ｘ２－Ｘ１，该Δ Ｘ即为所求的弧长。
当弧长甚短(例如X≤40km，计算精度到0.001m)，可视 子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度点的 子午圈的曲率半径Mｍ
30
由子午弧长求大地纬度
(NH)cosBsinL

Z [N(1e2)H]sinB
10
常用坐标系及其关系
由空间直角坐标计算相应大地坐标
L arctan L arcsin L arccos
Y

X

Y

X
2

Y2

X


X 2Y2
tanBZNe2sinB X2 Y2
ＲＡ不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法 截弧的方位角A有关。
当Ａ＝０°时，变为计算子午圈曲率半径的，即 Ｒ０＝Ｍ；
当ＲＡ＝90°时，为卯酉圈曲率半径，即Ｒ９０＝
Ｎ。主曲率半径M及N分别是ＲＡ的极小值和极大值。
当A由0°→90°时，ＲＡ之值由Ｍ→Ｎ，当A由 90°→180°时，ＲＡ值由N→Ｍ，可见ＲＡ值的变化是以 90°为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。
a0

m0
将地面观测的水平方向归算至椭球面

将地面观测的水平方向归算至椭球面


二、将地面观测的长度归算至椭球面 1.基线尺量距的归算
垂线偏差对长度归算的影响 高程对长度归算的影响
S

S0
(1
Hm R
)1

u1 u2
2
(H2

H1)
S0
A
Hm
S
R
SH B
Hm
2.电磁波测距的归算
S

D
1 2
h2 D

D
Hm RA

D3 24RA2



测线变 平距变 弦线变
上结回顾
• 4.4 椭球面上的弧长计算
1.子午线弧长计算公式 2.由子午弧长求大地纬度 3.平行圈弧长公式 4.子午线弧长和平行圈弧长变化的比较
• 4.5 大地线
1.相对法截线 2.大地线的定义和性质 3.大地线的微分方程和克莱劳方程
本节主要内容
• 将地面观测值归算至椭球面
一、将地面观测的水平方向归算至椭球面 1.垂线偏差改正 2.标高差改正 3.截面差改正
N
3.截面差改正 g
法截弧方向 大地线方向
B S
g A1' A1
计算公式：


g


e2S 2
12N12

cos2
B1

sin
2
A1
A1' A1
A
g
a
目的：经过u，h ， g 三差改正，地面的水平方向观测值 椭
A
球面上相应大地线的方向值。
D
说明：⑴ u h g
B C
⑵ 三差改正 意义（目的） 主要关系量
数值
第四章 地球椭球及其数学计算讲解

第四章 地球椭球及其数学计算讲解


4.5 椭球面上的弧长计算
基本知识
三角函数级数展开
4.5 椭球面上的弧长计算
基本知识
弧度和度的定义
角度是表示角的大小的量，通常用度或弧度来表示 角度制：规定周角的360分之一为1度的角 弧度制：规定长度等于半径的弧长所对的圆心角为1弧度
周长=2 R
180
4.4 地球椭球上的曲率半径
子午圈曲率半径M
M

a(1 e2 ) W3
M
c V3
B
M
极点处的子午曲率半径 说明
4.4 地球椭球上的曲率半径
卯酉圈
过椭球面上任意一点P可作一条垂直 于椭球面的法线PF，包含这条法线的 平面叫作法截面，法截面与椭球面的 交线叫法截线
过椭球面上一点的法线，可作无限个 法截面，其中与子午面垂直的法截面 称为卯酉面，卯酉面与椭球面的交线 称为卯酉圈
4.3 地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系
Bu
大地纬度、地心纬度、归化纬度之间 的差异很小，经过计算，当B=45°时：
(B u)max 5.9'
(u )max 5.9'

Bu
(B )max 11.8'
第四章 地球椭球及其数学计算 第四节 地球椭球上的曲率半径

1 1 e2
1
a b 1 e '2
1 1 e2 e2 2 2
1 e2 1 e '2 1
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系
辅助参数（为简化后续公式推导）
极点处的子午曲率半径
第四章 地球椭球及其数学计算
第二节 大地坐标系、空间直角坐标系 及其相互关系
椭球面上的测量计算

椭球面上的测量计算

[知识点及学习要求] 1．地球椭球的定义及其几何意义； 2．常用测量坐标系统的建立及其在控制测量中的应用； 3．各种测量坐标系统之间的相互转换； 4．椭球面上几种曲率、弧长、大地线的计算； 5．地面测量值（水平方向和边长）归算到椭球面的方法。
[难点]在对本章的学习中，有大量的公式推导与应用。
各种常用测量坐标系统的建立与相互转换； 几种常用的椭球计算公式； 地面观测值归算到椭球面的方法与计算。
1
7-1地球椭球的基本几何参数及相互关系（了解）

1.地球椭球的基本几何参数
五个基本几何参数
椭圆的长半轴： a 椭圆的短半轴： b 椭圆的扁率：
a b a
椭圆的第一偏心率：
a2 b2 e b
椭圆的第二偏心率：
2
a2 b2 e a
注 意


决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中 的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如 a或b）。 为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：


法截面：过椭球面上任意一点可作 垂直于椭球面的法线，包含这条法 线的平面就叫法截面。 法截线（法截弧）：法截面与椭球 面的交线。 卯酉圈：过某点法线的无数个法截 面中，与子午面相垂直的法截面同 椭球面相截形成的闭合圈就称为卯 酉圈。
7

1、子午圈曲率半径
a (1 e 2 ) M W3
W 1 e2 sin 2 B
dS
DE dx sin B sin B
dx 1 M dB sin B
a cos B x W

dW sin BW cos B dx dB a dB W2
W 1 e sin B
中国地质大学(北京)《测量学》期末考试拓展学习(六)80

中国地质大学(北京)《测量学》期末考试拓展学习(六)80

地大《测量学》（六）
第六章 小地区控制测量
椭球面上的测量计算
主要介绍：地球椭球的基本几何参数及相互关系，椭球面上的常用坐标系及其相互关系，椭球面上的几种曲率半径，椭球面上的弧长计算，大地线，将地面观测的方向值归算到椭球面，将地面观测的长度归算到椭球面，椭球面上三角形的解算，大地主题解算的高斯平均引数公式
一、地球椭球的基本几何参数及相互关系
（一）、五个基本几何参数
椭圆的长半轴： a
椭圆的短半轴： b
椭圆的扁率：
a b a
α-=
椭圆的第一偏心率：
e b
'= 椭圆的第二偏心率：
e =
注 意
决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如a 或b ）。

为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：
2
222,tan ,cos a c t B e B b
η===' 22221sin ,1cos W e B V e B =-=-'
式中，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数。

我国所采用的的1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数；以后采用的1980。

椭圆弧长计算公式积分

椭圆弧长计算公式积分

椭圆弧长计算公式积分
椭圆弧长计算公式积分是一种将椭圆弧长表示为积分形式的方法。

椭圆弧长是指椭圆上两个点之间的弧长，由于椭圆的形状比较复杂，所以计算其弧长比较困难。

使用积分公式可以将椭圆弧长表示为一个数学式子，从而简化计算过程。

具体公式如下：
L=∫_0^π√(a^2sin^2θ+b^2cos^2θ)dθ
其中，L表示椭圆弧长，a和b分别表示椭圆长轴和短轴的长度，θ为椭圆上的参数角度。

这个公式可以通过换元法、分部积分等方法进行求解。

在实际应用中，这个公式可以用于计算椭圆形轨道上的物体运动路径长度、曲线长度等。

- 1 -。

第四章 3椭球面上的弧长(大地线)计算

第四章 3椭球面上的弧长(大地线)计算

3
三、大地线的微分方程（推导）
MdB dS cos A
N cos BdL dS sin A
§4.4 椭球面上的弧长计算
在高斯投影计算和弧度测量计算中， 往往用到子午线弧长和平行圈弧长
一、子午线弧长计算公式
dx MdB
X MdB
0 B
X (m0 m2 sin 2 B m4 sin 4 B m6 sin 6 B m8 sin8 B)dB
0
B
为了便于积分通常将正弦的幂函数展开为余弦的倍数函数。 如：
如果以B＝90°代入，则得子午椭圆在一个象限内的 弧长约为10 002 137m。旋转椭球的子午圈的整个弧 长约为40 008 549.995m。即一象限子午线弧长约为 10 000km，地球周长约为40 000km。 为求子午线上两个纬度B１及Ｂ２间的弧长，只需按 上式分别算出相应的X１及X２，而后取差：
三、平行圈弧长公式
任一平行圈都是半径相等的圆， 纬度为B的平行圈的半径为：
rB N cos B a cos B 1 e2 sin 2 B
平行圈上经差L L2 L1的一段弧长 : S1 2 N cos BL a cos B( L2 L1 ) l N cos B b1l 1 e2 sin 2 B
代入上式，积分得：
X 1 2 a(1 e2 )[ A(arcB2 arcB1 ) B(sin B2 cos B2 sin B1 cos B1 ) C (sin 3 B2 cos B2 sin 3 B1 cos B1 ) D(sin 5 B2 cos B2 sin 5 B1 cos B1 ) E (sin 7 B2 cos B2 sin 7 B1 cos B1 ) F (sin 9 B2 cos B2 sin 9 B1 cos B1 ) G(sin11 B2 cos B2 sin11 B1 cos B1 ) ]
第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论

第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论


sin B V sin u
cos B W cosu
14
常用坐标系及其关系

U、φ之间的关系 y y tan 1 e 2 tan u x x Ｂ、φ之间的关系
tan 1 e 2 tan u

tan (1 e2 ) tan B
大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经 过计算，当B=45°时
dx a sin B (1 e 2 ) dB W3
17
椭球面上几种曲率半径
a (1 e 2 ) M W3
c M 3 V
18
椭球面上几种曲率半径 卯酉圈曲率半径(N)
卯酉圈:过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面， 其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截 形成的闭合的圈称为卯酉圈。 麦尼尔定理: 假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧， 一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线， 这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半 径乘以两截弧平面夹角的余弦。
13
常用坐标系及其关系 • B、u、 φ之间的关系 B和u之间的关系
x a cos u , y b sin u a a b sin B 2 x cos B , y (1 e ) sin B W W V
sin u
1 e2 sin B W
1 cosu cos B W
第四章 地球椭球数学投影的基本理论
1
4.1地球椭球基本参数及其互相关系
地球椭球是选择的旋转椭球,旋转椭球的形状和大小 常用子午椭圆的五个基本几何参数(或称元素): • 长半轴ａ a b • 短半轴ｂ a • 椭圆的扁率 a 2 b2 • 椭圆的第一偏心率 e e a e • 椭圆的第二偏心率 a 2 b2 通常用a , '
椭球面上的测量计算

椭球面上的测量计算

别考虑加垂线偏差改正和标高差改正。
25
4.6.2 将地面观测的长度归算到椭球面
1、基线尺量距高程对长度归算的影响：
S0 R Hm 1 Hm
SR
R
S
S0 (1
Hm R
) 1
基线两端点平 均大地高程
基线方向法截 线曲率半径
将上式展开级数，取至二次项
S
S0 (1
Hm R
H
2 m
Байду номын сангаас
R2
)
SH
S
S0
是由弦长改 化为弧长的 改正项。
1 ( H2 H1 )2
d D
D
(1 H1 )(1 H 2 )
28
RA
RA
注意
决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中 的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如 a或b）。
为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：
c a2 ,t tan B, 2 e2 cos2 B
b
W 1 e2 sin2 B,V 1 e2 cos2 B
式中，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数。
RA相应的圆弧长。
SD
1 ( H2 H1 )2 D
(1 H1 )(1 H2 )
D3 24RA2
27
RA
RA
简化后：
S D 1 h2 D H m D3
2D
RA 24RA2
由于控制点 之高差引起 的倾斜改正 的主项，经 过此项改正， 测线已变成 平距。
由于平均测 线高出参考 椭球面而引 起的投影改 正，经过此 项改正后， 测线已变为 弦线。
8
3）大地极坐标系
M为椭圆体面上任意 一点，MN为过M点的子 午线，S为连结MP的大 地线长，A为大地线在M 点的大地方位角。以M 为极点、MN为极轴、S 为极径、A为极角，就构 成了大地极坐标系。P点 位置用S、A表示。
1椭球面上的测量计算

1椭球面上的测量计算

2


a c 2 b 1 e
y P b y
a
2
dx 1 M dB sin B
a
o
Q n
B x
90+B T x
三、椭球面上的几种曲率半径
子午圈曲率半径
推导：
由x=acosB/W和 W 1 e 2 sin 2 B 可推得
dx a sin B 2 1 e 3 dB W
所以
b x cot B 2 a y 2 y x 1 e tan B



…
二、椭球面上的常用坐标系及其相互关系
子午面直角坐标系(L，x，y ，H大)与大地坐标系(L、B ， H大)的关系: 法线Pn=N=x/cosB=a/W：
所以y=N(1－e2)sinB 又y=PQsinB 故PQ=N(1－e2) 所以Qn=Ne2
三、椭球面上的几种曲率半径
平均曲率半径
M、N、R的关系
N>R>M
b c N a 2 R MN 2 2 2 1 e W V V W
N90=R90=M90=c
c a 1 e N 1 1 V W c a 1 e R 2 2 V W
2
0
2
1
c a 1 e M 3 3 V W
空间直角坐标系 (X，Y，Z)
Z
y P
G O Y
P Z
y o x x
X Y
X
子午面直角坐标系 (L，x，y ，H大)
二、椭球面上的常用坐标系及其相互关系
地心纬度坐标系 (L，，，H大)
P
u P
o
o
归化纬度坐标系 (L，u，H大)
二、椭球面上的常用坐标系及其相互关系
椭球面上大地坐标的计算

椭球面上大地坐标的计算





2 2 2 4 cos2 Am 2 7m 9t m m 5m


以上3式具有4次方精度，可用于解算200公里下的大地主题。
2.3.3 大地主题解算
因计算Bm , Lm要用到B2 , L2，因此需要叠代计算。其初值为：
S sin A12 2 N1
3
a2 b2 c2 1 2 ab sin 1 2 2R 24 R
当边长小于40公里时，第二项影响小于0.0004“，可略去
1 2 ab sin 2R
2.3.2 椭球面上三角形解算
2、解算球面三角形的勒让德定理 勒让德定理：对于较小的球面三角形，可用平面三角公 式来解算，只需使三个平面角等于相应的球面角减去 三分之一的球面角超，而边长保持不变。
2 Vm dB sin A A dS m Nm
d2A d2A dS 2 dS 2 M m
dB 代入 2 式，得 的计算公式。并取 dS M
d 3B d 3B dS 3 dS 3 M m
H D H 2 H 1 2 S D 2 H 2 H 1 1 m R 24 R 2
2

2 32

不难证明：椭球半径的误差对边长归算结果影响很 小，而高差误差对边长归算比较敏感。
2.3.2 椭球面上三角形解算
1、球面角超
2 F 4R 2 R 2 2 F 4R 2 2R 2 2 2 F 4R 2 R 2 2 三块面积之和为：
代入
1 式，求出各阶导数后整理得：
2.3.3 大地主题解算

地面观测值归算至椭球面


.
52
本章小结
1.地球椭球的几何性质。几个重要概念：法截线、 子午圈曲率半径、卯酉圈曲率半径、大地线、相 对法截弧。
2.地面观测值归算到椭球面的原理及过程：方向 归算、长度归算。
知识回顾椭球面上的几种法截线的曲率半径11子午圈曲率半径子午圈曲率半径知识回顾椭球面上的几种法截线的曲率半径过椭球面上一点的法过椭球面上一点的法线线可作无限个法截可作无限个法截面面其中一个与该点其中一个与该点于午面相垂直的法截于午面相垂直的法截面同椭球面相截形成面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉的闭合的圈称为卯酉圈圈
.
38
二、电磁波测距的归算
电磁波测距仪测得的长度是连接地面两点问的直线斜 距，也应将它归算到参考椭球面上
.
39
二、电磁波测距的归算
将上式按反正弦函数展开级数，舍去五次项，得
.
40
4.3 大地测量主题解算概述
4.3.1 大地主题解算的一般说明
大地元素:大地经度L、大地纬度B、两点间的大地 线长度S及其正反大地方位角A12、A21。
于相对法截线之间，并靠
近正法截线。
.
22
二、大地线的定义和性质
在一等三角测量中，
数值可达干分之一二秒，可 见在一等或相当于一等三角 测量精度的工程三角测量中 是不容忽略的。
大地线与法截线长度之差
只有百万分之一毫米，所以
在实际计算中，这种长度差
异总是可忽略不计的。
.
23
三、大地线的微分方程和克莱劳方程
.
21
二、大地线的定义和性质
大地线:大地线是一条空间曲面曲线，是椭球面上两点间的最 短线。大地线上每点的密切面(无限接近的三个点构成的平面) 都包含该点的曲面法线，大地线上各点的主法线与该点的曲 面法线重合。

弧长计算公式微积分

弧长计算公式微积分
弧长计算公式是微积分中的重要概念，用于计算曲线的长度。

该公式可以用于计算任意曲线的弧长，包括直线、圆、椭圆、双曲线等等。

在微积分中，我们通常将曲线表示为函数的形式，即y=f(x)。

假设我们要计算曲线y=f(x)在区间[a,b]上的弧长，则可以使用如下的弧长计算公式：
L = ∫[a,b] √(1 + (dy/dx)) dx
其中，dy/dx表示曲线的斜率，即f'(x)。

公式中的√(1 + (dy/dx))可以看作是曲线的微小弧长元素ds，即：
ds = √(1 + (dy/dx)) dx
将微小弧长元素ds沿曲线上所有的点上积分，即可得到曲线在区间[a,b]上的总弧长L。

需要注意的是，如果曲线不能表示为y=f(x)的形式，我们可以使用参数方程的形式来表示曲线。

此时，弧长计算公式变为：
L = ∫[t1,t2] √( (dx/dt) + (dy/dt) ) dt
其中，dx/dt和dy/dt分别表示曲线在参数t处的x和y的导数，即：
dx/dt = x'(t)
dy/dt = y'(t)
公式中的√( (dx/dt) + (dy/dt) )可以看作是曲线在参数t处的微小弧长元素ds，即：
ds = √( (dx/dt) + (dy/dt) ) dt
将微小弧长元素ds沿曲线上所有的点上积分，即可得到曲线在参数区间[t1,t2]上的总弧长L。

弧长计算公式是微积分中的重要概念，对于许多实际问题的求解都具有重要意义。

通过理解和掌握弧长计算公式，可以更好地应用微积分知识解决实际问题。

关于地球椭圆体面上等角航线解算的实用公式

关于地球椭圆体面上等角航线解算的实用公
式
地球椭圆体面上等角航线解算实用公式是飞机飞行过程中比较常用的一种航线解算方法，可以根据它来计算航线飞行时间和飞行距离等参数。

地球椭圆体面上等角航线的解算公式要求航线两点的维度和经度要满足以下公式：
1.纬度φ：（φ1+φ2）/2=φ0
2.经度：L0= 180/π*tan^(-1)[(tan φ1-tan φ2)/(1+tan φ1*tan φ2)]
3.航线长度：R＝Rf*[cos^(-1)(2*cos^2θ-1)-2*θ]
其中，θ＝(φ2-φ1)/2，Rf为地球椭圆体赤道半径，φ0为航线中点的纬度。

由上面的公式可以得出地球椭圆体面上得角航线的航程长度R、终点维度φ2和起点维度φ1，从而可以计算出航线飞行时间和飞行距离等参数。

同时，由于等角航线的航程长度在椭圆体上比较精确，也可以用于机场代码的空间查找和坐标定位等应用。

总之，地球椭圆体面上等角航线解算实用公式可以用于航线等角计算，以计算出航线飞行时间和飞行距离等参数，以及用于机场代码的空间查找和坐标定位等应用。

计算椭圆弧长计算公式

计算椭圆弧长计算公式
椭圆是一种非常特殊的几何图形，其形状很像椭球，因此也被称为椭球形。

椭圆的周长并不是一个简单的数学公式可以计算出来的，因为它的周长是由一系列曲线组成的。

这些曲线被称为椭圆弧。

椭圆弧的长度可以通过一个特殊的公式来计算。

计算椭圆弧长的公式是由数学家Ramanujan提出的，他提出了下面的公式：
L = π(a + b)(1 + (3h/(10 + (4 - 3h))))
其中，a和b是椭圆的半长轴和半短轴，h是椭圆的偏心率。

偏心率是用来衡量椭圆形状的因素之一。

它的值介于0和1之间，可以通过以下公式计算：
h = √((a^2 - b^2)/a^2)
在使用上述公式计算椭圆弧长时，需要先计算出椭圆的偏心率，然后再代入公式中计算即可。

这个公式的精度非常高，可以得到非常准确的结果。

但是，在实际使用中，需要注意确保输入的数据正确无误，以避免出现计算错误。

- 1 -。

椭球面的几何特征与测量计算


r N cos B
平 行 圈 弧 长 ：Y N cos B L2 L1

对于经度差相同，纬度差不同的 平行圈，弧长是不同的。
N
r
PB
E O
K
六 梯形图幅的面积
针对小比例尺1：5000的地形图 实质是两条子午圈和两条平行圈所包围的椭球面面积
AD
B C
AB MdB 面积
BC N cos Bdl dP MN cos BdBdl
卯酉圈曲率半径与椭球面上一点的子午圈相垂直的法截线称为该点的卯酉圈赤道平行圈不包含法线的平面与椭球面的截线称为斜截线平行圈就是一条重梅尼埃定理假若通过曲面上一点引两条截线一为法截线一为斜截线且在该点上这两条截线具有同一公切线则斜截线的曲率半径等于法截线曲率半径乘以两截线平面间夹角的余弦
7.2 椭球面上法截线曲率半径


4
e2
N
2 m
s2 cos2
Bm
sin 2 A1
s 两点间的法截线长度； A=Bm=45º
Bm 两端点的平均纬度； s
Δ
Nm

Bm处
的
卯
酉
圈
曲
率
半
径
；
100km
0.042"
A1 正法截线的大地方位角。
A
60
0.015
30
0.004
B
三角形不闭合
大地线
C
九 大地线及其几何特征
密切
1.A 900或或182070 2.大正地反线法与 法 截截线线重重合 合
3. 0
大地线和法截线的长度相差甚微，一般不加以区分
十 大地线的解析特征——大地线微分方程 克莱劳方程

椭球面上大地坐标的计算

k 1 Am A12 ak 2
0 Am A12
叠代计算公式为：
k 1 Bm B1 bk 2
直到
k 1 k B Bm Bm 0.000 1 为止。 k 1 k A Am Am 0.001
2

2 32

RA12
RA21
2.3.1 水平方向、边长观测值归算到椭球面
3. 工程控制网中的地面观测元素的归算
以平均高程面作投影面，范围小，可以用球代替椭 球；球半径采用高斯平均曲率半径。计算公式为：
H D H 2 H1 2 S D 2 H 2 H1 1 m R 24R 2
D 2 H 2 H 1 1 H1 RA12 1 H 2 RA21
2
P2


RA12
RA21
省略H/R的二次项，得：
d D 2 H 2 H 1 1 H m RA 2Hm 来自1 H 1 H 2 2
RA
1 RA12 R A21 2


2.3.1 水平方向、边长观测值归算到椭球面
2.3.3 大地主题解算
2 Vm S2 2 2 2 b B2 B1 S cos Am 1 sin A 2 3 t 2 m m m 2 Nm 24 N m



同理可得：
2 2 2 2 2 3m cos2 Am 1 t m m 4t m m



2 2 2 4 cos2 Am 2 7m 9t m m 5m


以上3式具有4次方精度，可用于解算200公里下的大地主题。
2.3.3 大地主题解算
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椭球面积
• • • • • 若取L2-L1=2π，B2=π/2，B1=0 可得出北半球的椭球面面积； 再乘以2得到椭球面的总面积。 克氏椭球总面积约为5.1亿km2 梯形图幅的面积，直接代入经纬度计算。
• 对于形状不规则的区域面积可将该区域分割成 若干个规则格网的子块，然后求和。
§4.5 大地线的概念与计算
第四章 Ⅲ椭球面上的弧长计算
——子午线弧长计算公式 ——由子午线弧长求大地纬度 ——平行圈弧长计算公式 ——椭球面梯形图幅面积的计算 ——大地线的概念与克莱劳方程
上一讲应掌握的内容
1、椭球面上法截线有关概念
法截线 子午圈(线) 2、子午线曲率半径
在赤道上M小于a，M随纬度增加而增加
卯酉圈 (线)
曲率
1 1 sin B cos 2 B 2 2
2
3 1 1 sin B cos 2 B cos 4 B 8 2 8
4
子午线弧长计算公式推导（方法1）
子午圈曲率半径公式可变为：
M a0 a2 cos2B a4 cos4B a6 cos6B a8 cos8B
m2 3m4 5m6 35m8 a0 m0 2 b 16 128 m m 15m6 7m8 a2 2 4 2 2 32 16 m4 3m6 7m8 a4 8 16 32 m m a6 6 8 32 16 m a8 8 128
如果以B＝90°代入，则得子午椭圆在一个象限内的 弧长约为10 002 137m。旋转椭球的子午圈的整个弧 长约为40 008 549.995m。即一象限子午线弧长约为 10 000km，地球周长约为40 000km。 为求子午线上两个纬度B１及Ｂ２间的弧长，只需按 上式分别算出相应的X１及X２，而后取差：
子午线弧长计算公式推导(方法2)
X1 2 a(1 e ) (1 e2 sin 2 B)3/ 2 dB
2 B1 B2
将被积函数按二项式作级数展开，有：
3 15 (1 e 2 sin 2 B) 3/ 2 1 e2 sin 2 B e4 sin 4 B 2 8 35 315 8 8 693 10 10 e6 sin 6 B e sin B e sin B 16 128 256
代入上式，积分得：
X 1 2 a(1 e2 )[ A(arcB2 arcB1 ) B(sin B2 cos B2 sin B1 cos B1 ) C (sin 3 B2 cos B2 sin 3 B1 cos B1 ) D(sin 5 B2 cos B2 sin 5 B1 cos B1 ) E (sin 7 B2 cos B2 sin 7 B1 cos B1 ) F (sin 9 B2 cos B2 sin 9 B1 cos B1 ) G(sin11 B2 cos B2 sin11 B1 cos B1 ) ]
1 e
2
2
sin B
2
2
B+dB MdB
d
NcosBdL B
1 e
2
sin B
2
dBdL
L
上式利用二项式展开并积分，得：
P b L2 L1 (1 e2 sin 2 B) 2 cos B d B
2 B1 B2
L+dL
2 3 4 =b 2 L2 L1 sin B e2 sin 3 B e 4 sin 5 B e6 sin 7 B 3 5 7 B1
§4.4 椭球面上的弧长计算
在高斯投影计算和弧度测量计算中， 往往用到子午线弧长和平行圈弧长
一、子午线弧长计算公式
dx MdB
X MdB
0 B
X (m0 m2 sin 2 B m4 sin 4 B m6 sin 6 B m8 sin8 B)dB
0
B
为了便于积分通常将正弦的幂函数展开为余弦的倍数函数。 如：
二、大地线的定义与性质
定义1：椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线（测地线）。 定义2：大地线是主法线与曲面法线处处重合的曲线。 大地线的性质： 1、曲面上连接任何两点的最短弧线必为大地线； 2、大地线上任何点的密切平面就是该点的法截面； 3、大地线的测地曲率等于0； 4、大地线位于相对法截线之间，并靠近 正法截线，它与正法截线间的夹角 1 5、在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为 依据。在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地 线的方向、距离。 长度差异可忽略（40km以内）， 但方向差异需改化。
两点间的最短距离，在平面上是两点间的直线，在球面 上是两点间的大圆弧，那么在椭球面上又是怎样的一条 线呢? 它应是大地线。
一、相对法截弧
法截弧：由椭球面上A点的法线与B点所确定的法截面与 椭球面相割得到的曲线称为A到B的法截弧。 相对法截弧： A到B的法截弧与B到A的法截弧。 互为正反法截弧
On a Q1na sin B1 On b Q2 nb sin B2
子午线弧长和平行圈弧长变化的比较
四、椭球面梯形图幅面积的计算
只要求出经纬格网的面积，就可度量出椭球面的整个面积 或局部区域的面积。
d MN cos BdBdL
a 2 1 e2 cos BdBdL
P d
D
B2 L2
B1 L1

a 1 e cos B
2 2
曲率半径
a(1 e2 ) c M 3 3 W V
3、卯酉线曲率半径
在赤道上N等于a，N随纬度增加而增加
a c N W V
MN RA N cos 2 A M sin 2 A
4、任意法截弧的曲率半径
主曲率半径M及N分别是 RA的极小值和极大值。R0＝M，R90＝N
5、平均曲率半径
Ｘ1 2＝Ｘ２－Ｘ１，该Δ Ｘ即为所求的弧长。
子午线弧长计算（续）
• 对于400km以下的子午线弧长计算公式 （精确到：0.001m ）
X1 2 X1 2 e2 M m B(1 cos 2 Bm B 2 ) 8 M m B
写
若弧长＜45km,仅取△B一次项，即可精确到：0.001m 当弧长甚短(例如X≤45km，计算精度到0.001m)，可 视子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度 点的子午圈的曲率半径Mm
B1 f X / a0
Bif1 ( X F ( Bif ) / a0
• 直接解法：
对于75国际椭球：
（弧度） X / 6367452. 133
B f 2.518828475 103 sin 2 3.701007 106 sin 4 7.447 109 sin 6
三、平行圈弧长公式
任一平行圈都是半径相等的圆， 纬度为B的平行圈的半径为：
rB N cos B a cos B 1 e2 sin 2 B
平行圈上经差L L2 L1的一段弧长 : S1 2 N cos BL a cos B( L2 L1 ) l N cos B b1l 1 e2 sin 2 B
对于75国际椭球，子午线弧长的具体计算公式为：
X 111133.005B 32009.858sin B cos B 133.960sin 3 B cos B 0.698sin 5 B cos B
二、由子午弧长求大地纬度 由子午弧长求大地纬度可以采用迭代解法和直接解法 • 迭代解法:
X a(1 e2 )( AarcB B sin B cos B C sin 3 B cos B D sin 5 B cos B E sin 7 B cos B F sin 9 B cos B G sin11 B cos B)
写
子午线弧长计算公式（2）系数
3 45 175 6 11025 8 43659 10 693693 12 式中：A 1 e 2 e 4 e e e e 4 64 256 16384 65536 1048576 3 2 45 4 175 6 11025 8 43659 10 693693 12 B e e e e e e 4 64 256 16384 65536 1048576 15 4 175 6 3675 8 14553 10 231231 12 C e e e e e 32 384 8192 32768 524288 35 6 735 8 14553 10 231231 12 D e e e e 96 2048 40960 655360 G 1001 12 e 4096
3 2
N a(1 e2 sin 2 B)

1 2
M m0 m2 sin 2 B m4 sin 4 B m6 sin 6 B m8 sin8 B
N n0 n2 sin 2 B n4 sin 4 B n6 sin6 B n8 sin8 B
不同的椭球元素对应不同的系数 写在黑板
（不是地球平均半径）
a R 2 W
c N 1 e 2 V V
2
MN
6、椭球面上几种曲率半径的关系
N RM
N90 R90 M90 c
主曲率半径的计算公式
子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半径N，是两个互相垂直 的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统称为主曲率半 径。
M a(1 e2 )(1 e2 sin 2 B)
积分，整理得： a6 a8 a2 a4 X a0 B sin 2 B sin 4 B sin 6 B sin 8B 2 4 6 8
板书
子午线弧长计算 对于75国际椭球，子午线弧长的具体计算公式为：
X 111133.005B 16038.528sin 2B 16.833sin 4B 0.022sin 6B