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第四章 3椭球面上的弧长(大地线)计算

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第四章椭球数学变换4146

第四章椭球数学变换4146
径乘以两截弧平面夹角的余弦。
15
椭球面上几种曲率半径
rNcoBs
xr acosB W
N a W
Nc V
PnNPO ' r coBs coBs
16
椭球面上几种曲率半径
卯酉圈曲率半径的特点: 卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短轴
之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位在椭球的旋转 轴上。
为求子午线上两个纬度B１及Ｂ２间的弧长，只需按 (11.42)式分别算出相应的X１及X２，而后取差：Δ Ｘ＝ Ｘ２－Ｘ１，该Δ Ｘ即为所求的弧长。
当弧长甚短(例如X≤40km，计算精度到0.001m)，可视 子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度点的 子午圈的曲率半径Mｍ
30
由子午弧长求大地纬度
(NH)cosBsinL

Z [N(1e2)H]sinB
10
常用坐标系及其关系
由空间直角坐标计算相应大地坐标
L arctan L arcsin L arccos
Y

X

Y

X
2

Y2

X


X 2Y2
tanBZNe2sinB X2 Y2
ＲＡ不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法 截弧的方位角A有关。
当Ａ＝０°时，变为计算子午圈曲率半径的，即 Ｒ０＝Ｍ；
当ＲＡ＝90°时，为卯酉圈曲率半径，即Ｒ９０＝
Ｎ。主曲率半径M及N分别是ＲＡ的极小值和极大值。
当A由0°→90°时，ＲＡ之值由Ｍ→Ｎ，当A由 90°→180°时，ＲＡ值由N→Ｍ，可见ＲＡ值的变化是以 90°为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。
a0

m0

将地面观测的水平方向归算至椭球面

将地面观测的水平方向归算至椭球面

二、将地面观测的长度归算至椭球面 1.基线尺量距的归算
垂线偏差对长度归算的影响 高程对长度归算的影响
S

S0
(1
Hm R
)1

u1 u2
2
(H2

H1)
S0
A
Hm
S
R
SH B
Hm
2.电磁波测距的归算
S

D
1 2
h2 D

D
Hm RA

D3 24RA2



测线变 平距变 弦线变
上结回顾
• 4.4 椭球面上的弧长计算
1.子午线弧长计算公式 2.由子午弧长求大地纬度 3.平行圈弧长公式 4.子午线弧长和平行圈弧长变化的比较
• 4.5 大地线
1.相对法截线 2.大地线的定义和性质 3.大地线的微分方程和克莱劳方程
本节主要内容
• 将地面观测值归算至椭球面
一、将地面观测的水平方向归算至椭球面 1.垂线偏差改正 2.标高差改正 3.截面差改正
N
3.截面差改正 g
法截弧方向 大地线方向
B S
g A1' A1
计算公式：


g


e2S 2
12N12

cos2
B1

sin
2
A1
A1' A1
A
g
a
目的：经过u，h ， g 三差改正，地面的水平方向观测值 椭
A
球面上相应大地线的方向值。
D
说明：⑴ u h g
B C
⑵ 三差改正 意义（目的） 主要关系量
数值

第四章 地球椭球及其数学计算讲解

第四章 地球椭球及其数学计算讲解

4.5 椭球面上的弧长计算
基本知识
三角函数级数展开
4.5 椭球面上的弧长计算
基本知识
弧度和度的定义
角度是表示角的大小的量，通常用度或弧度来表示 角度制：规定周角的360分之一为1度的角 弧度制：规定长度等于半径的弧长所对的圆心角为1弧度
周长=2 R
180
4.4 地球椭球上的曲率半径
子午圈曲率半径M
M

a(1 e2 ) W3
M
c V3
B
M
极点处的子午曲率半径 说明
4.4 地球椭球上的曲率半径
卯酉圈
过椭球面上任意一点P可作一条垂直 于椭球面的法线PF，包含这条法线的 平面叫作法截面，法截面与椭球面的 交线叫法截线
过椭球面上一点的法线，可作无限个 法截面，其中与子午面垂直的法截面 称为卯酉面，卯酉面与椭球面的交线 称为卯酉圈
4.3 地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系
Bu
大地纬度、地心纬度、归化纬度之间 的差异很小，经过计算，当B=45°时：
(B u)max 5.9'
(u )max 5.9'

Bu
(B )max 11.8'
第四章 地球椭球及其数学计算 第四节 地球椭球上的曲率半径

1 1 e2
1
a b 1 e '2
1 1 e2 e2 2 2
1 e2 1 e '2 1
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系
辅助参数（为简化后续公式推导）
极点处的子午曲率半径
第四章 地球椭球及其数学计算
第二节 大地坐标系、空间直角坐标系 及其相互关系

椭球面上的测量计算

椭球面上的测量计算
[知识点及学习要求] 1．地球椭球的定义及其几何意义； 2．常用测量坐标系统的建立及其在控制测量中的应用； 3．各种测量坐标系统之间的相互转换； 4．椭球面上几种曲率、弧长、大地线的计算； 5．地面测量值（水平方向和边长）归算到椭球面的方法。
[难点]在对本章的学习中，有大量的公式推导与应用。
各种常用测量坐标系统的建立与相互转换； 几种常用的椭球计算公式； 地面观测值归算到椭球面的方法与计算。
1
7-1地球椭球的基本几何参数及相互关系（了解）

1.地球椭球的基本几何参数
五个基本几何参数
椭圆的长半轴： a 椭圆的短半轴： b 椭圆的扁率：
a b a
椭圆的第一偏心率：
a2 b2 e b
椭圆的第二偏心率：
2
a2 b2 e a
注 意


决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中 的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如 a或b）。 为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：


法截面：过椭球面上任意一点可作 垂直于椭球面的法线，包含这条法 线的平面就叫法截面。 法截线（法截弧）：法截面与椭球 面的交线。 卯酉圈：过某点法线的无数个法截 面中，与子午面相垂直的法截面同 椭球面相截形成的闭合圈就称为卯 酉圈。
7

1、子午圈曲率半径
a (1 e 2 ) M W3
W 1 e2 sin 2 B
dS
DE dx sin B sin B
dx 1 M dB sin B
a cos B x W

dW sin BW cos B dx dB a dB W2
W 1 e sin B

中国地质大学(北京)《测量学》期末考试拓展学习(六)80

中国地质大学(北京)《测量学》期末考试拓展学习(六)80

地大《测量学》（六）
第六章 小地区控制测量
椭球面上的测量计算
主要介绍：地球椭球的基本几何参数及相互关系，椭球面上的常用坐标系及其相互关系，椭球面上的几种曲率半径，椭球面上的弧长计算，大地线，将地面观测的方向值归算到椭球面，将地面观测的长度归算到椭球面，椭球面上三角形的解算，大地主题解算的高斯平均引数公式
一、地球椭球的基本几何参数及相互关系
（一）、五个基本几何参数
椭圆的长半轴： a
椭圆的短半轴： b
椭圆的扁率：
a b a
α-=
椭圆的第一偏心率：
e b
'= 椭圆的第二偏心率：
e =
注 意
决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如a 或b ）。

为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：
2
222,tan ,cos a c t B e B b
η===' 22221sin ,1cos W e B V e B =-=-'
式中，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数。

我国所采用的的1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数；以后采用的1980。

椭圆弧长计算公式积分

椭圆弧长计算公式积分

椭圆弧长计算公式积分
椭圆弧长计算公式积分是一种将椭圆弧长表示为积分形式的方法。

椭圆弧长是指椭圆上两个点之间的弧长，由于椭圆的形状比较复杂，所以计算其弧长比较困难。

使用积分公式可以将椭圆弧长表示为一个数学式子，从而简化计算过程。

具体公式如下：
L=∫_0^π√(a^2sin^2θ+b^2cos^2θ)dθ
其中，L表示椭圆弧长，a和b分别表示椭圆长轴和短轴的长度，θ为椭圆上的参数角度。

这个公式可以通过换元法、分部积分等方法进行求解。

在实际应用中，这个公式可以用于计算椭圆形轨道上的物体运动路径长度、曲线长度等。

- 1 -。

第四章 3椭球面上的弧长(大地线)计算

3
三、大地线的微分方程（推导）
MdB dS cos A
N cos BdL dS sin A
§4.4 椭球面上的弧长计算
在高斯投影计算和弧度测量计算中， 往往用到子午线弧长和平行圈弧长
一、子午线弧长计算公式
dx MdB
X MdB
0 B
X (m0 m2 sin 2 B m4 sin 4 B m6 sin 6 B m8 sin8 B)dB
0
B
为了便于积分通常将正弦的幂函数展开为余弦的倍数函数。 如：
如果以B＝90°代入，则得子午椭圆在一个象限内的 弧长约为10 002 137m。旋转椭球的子午圈的整个弧 长约为40 008 549.995m。即一象限子午线弧长约为 10 000km，地球周长约为40 000km。 为求子午线上两个纬度B１及Ｂ２间的弧长，只需按 上式分别算出相应的X１及X２，而后取差：
三、平行圈弧长公式
任一平行圈都是半径相等的圆， 纬度为B的平行圈的半径为：
rB N cos B a cos B 1 e2 sin 2 B
平行圈上经差L L2 L1的一段弧长 : S1 2 N cos BL a cos B( L2 L1 ) l N cos B b1l 1 e2 sin 2 B
代入上式，积分得：
X 1 2 a(1 e2 )[ A(arcB2 arcB1 ) B(sin B2 cos B2 sin B1 cos B1 ) C (sin 3 B2 cos B2 sin 3 B1 cos B1 ) D(sin 5 B2 cos B2 sin 5 B1 cos B1 ) E (sin 7 B2 cos B2 sin 7 B1 cos B1 ) F (sin 9 B2 cos B2 sin 9 B1 cos B1 ) G(sin11 B2 cos B2 sin11 B1 cos B1 ) ]

第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论


sin B V sin u
cos B W cosu
14
常用坐标系及其关系

U、φ之间的关系 y y tan 1 e 2 tan u x x Ｂ、φ之间的关系
tan 1 e 2 tan u

tan (1 e2 ) tan B
大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经 过计算，当B=45°时
dx a sin B (1 e 2 ) dB W3
17
椭球面上几种曲率半径
a (1 e 2 ) M W3
c M 3 V
18
椭球面上几种曲率半径 卯酉圈曲率半径(N)
卯酉圈:过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面， 其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截 形成的闭合的圈称为卯酉圈。 麦尼尔定理: 假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧， 一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线， 这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半 径乘以两截弧平面夹角的余弦。
13
常用坐标系及其关系 • B、u、 φ之间的关系 B和u之间的关系
x a cos u , y b sin u a a b sin B 2 x cos B , y (1 e ) sin B W W V
sin u
1 e2 sin B W
1 cosu cos B W
第四章 地球椭球数学投影的基本理论
1
4.1地球椭球基本参数及其互相关系
地球椭球是选择的旋转椭球,旋转椭球的形状和大小 常用子午椭圆的五个基本几何参数(或称元素): • 长半轴ａ a b • 短半轴ｂ a • 椭圆的扁率 a 2 b2 • 椭圆的第一偏心率 e e a e • 椭圆的第二偏心率 a 2 b2 通常用a , '

椭球面上的测量计算

别考虑加垂线偏差改正和标高差改正。
25
4.6.2 将地面观测的长度归算到椭球面
1、基线尺量距高程对长度归算的影响：
S0 R Hm 1 Hm
SR
R
S
S0 (1
Hm R
) 1
基线两端点平 均大地高程
基线方向法截 线曲率半径
将上式展开级数，取至二次项
S
S0 (1
Hm R
H
2 m
Байду номын сангаас
R2
)
SH
S
S0
是由弦长改 化为弧长的 改正项。
1 ( H2 H1 )2
d D
D
(1 H1 )(1 H 2 )
28
RA
RA
注意
决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中 的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如 a或b）。
为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：
c a2 ,t tan B, 2 e2 cos2 B
b
W 1 e2 sin2 B,V 1 e2 cos2 B
式中，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数。
RA相应的圆弧长。
SD
1 ( H2 H1 )2 D
(1 H1 )(1 H2 )
D3 24RA2
27
RA
RA
简化后：
S D 1 h2 D H m D3
2D
RA 24RA2
由于控制点 之高差引起 的倾斜改正 的主项，经 过此项改正， 测线已变成 平距。
由于平均测 线高出参考 椭球面而引 起的投影改 正，经过此 项改正后， 测线已变为 弦线。
8
3）大地极坐标系
M为椭圆体面上任意 一点，MN为过M点的子 午线，S为连结MP的大 地线长，A为大地线在M 点的大地方位角。以M 为极点、MN为极轴、S 为极径、A为极角，就构 成了大地极坐标系。P点 位置用S、A表示。

1椭球面上的测量计算

2


a c 2 b 1 e
y P b y
a
2
dx 1 M dB sin B
a
o
Q n
B x
90+B T x
三、椭球面上的几种曲率半径
子午圈曲率半径
推导：
由x=acosB/W和 W 1 e 2 sin 2 B 可推得
dx a sin B 2 1 e 3 dB W
所以
b x cot B 2 a y 2 y x 1 e tan B



…
二、椭球面上的常用坐标系及其相互关系
子午面直角坐标系(L，x，y ，H大)与大地坐标系(L、B ， H大)的关系: 法线Pn=N=x/cosB=a/W：
所以y=N(1－e2)sinB 又y=PQsinB 故PQ=N(1－e2) 所以Qn=Ne2
三、椭球面上的几种曲率半径
平均曲率半径
M、N、R的关系
N>R>M
b c N a 2 R MN 2 2 2 1 e W V V W
N90=R90=M90=c
c a 1 e N 1 1 V W c a 1 e R 2 2 V W
2
0
2
1
c a 1 e M 3 3 V W
空间直角坐标系 (X，Y，Z)
Z
y P
G O Y
P Z
y o x x
X Y
X
子午面直角坐标系 (L，x，y ，H大)
二、椭球面上的常用坐标系及其相互关系
地心纬度坐标系 (L，，，H大)
P
u P
o
o
归化纬度坐标系 (L，u，H大)
二、椭球面上的常用坐标系及其相互关系
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椭球面积
• • • • • 若取L2-L1=2π，B2=π/2，B1=0 可得出北半球的椭球面面积； 再乘以2得到椭球面的总面积。 克氏椭球总面积约为5.1亿km2 梯形图幅的面积，直接代入经纬度计算。
• 对于形状不规则的区域面积可将该区域分割成 若干个规则格网的子块，然后求和。
§4.5 大地线的概念与计算
第四章 Ⅲ椭球面上的弧长计算
——子午线弧长计算公式 ——由子午线弧长求大地纬度 ——平行圈弧长计算公式 ——椭球面梯形图幅面积的计算 ——大地线的概念与克莱劳方程
上一讲应掌握的内容
1、椭球面上法截线有关概念
法截线 子午圈(线) 2、子午线曲率半径
在赤道上M小于a，M随纬度增加而增加
卯酉圈 (线)
曲率
1 1 sin B cos 2 B 2 2
2
3 1 1 sin B cos 2 B cos 4 B 8 2 8
4
子午线弧长计算公式推导（方法1）
子午圈曲率半径公式可变为：
M a0 a2 cos2B a4 cos4B a6 cos6B a8 cos8B
m2 3m4 5m6 35m8 a0 m0 2 b 16 128 m m 15m6 7m8 a2 2 4 2 2 32 16 m4 3m6 7m8 a4 8 16 32 m m a6 6 8 32 16 m a8 8 128
如果以B＝90°代入，则得子午椭圆在一个象限内的 弧长约为10 002 137m。旋转椭球的子午圈的整个弧 长约为40 008 549.995m。即一象限子午线弧长约为 10 000km，地球周长约为40 000km。 为求子午线上两个纬度B１及Ｂ２间的弧长，只需按 上式分别算出相应的X１及X２，而后取差：
子午线弧长计算公式推导(方法2)
X1 2 a(1 e ) (1 e2 sin 2 B)3/ 2 dB
2 B1 B2
将被积函数按二项式作级数展开，有：
3 15 (1 e 2 sin 2 B) 3/ 2 1 e2 sin 2 B e4 sin 4 B 2 8 35 315 8 8 693 10 10 e6 sin 6 B e sin B e sin B 16 128 256
代入上式，积分得：
X 1 2 a(1 e2 )[ A(arcB2 arcB1 ) B(sin B2 cos B2 sin B1 cos B1 ) C (sin 3 B2 cos B2 sin 3 B1 cos B1 ) D(sin 5 B2 cos B2 sin 5 B1 cos B1 ) E (sin 7 B2 cos B2 sin 7 B1 cos B1 ) F (sin 9 B2 cos B2 sin 9 B1 cos B1 ) G(sin11 B2 cos B2 sin11 B1 cos B1 ) ]
1 e
2
2
sin B
2
2
B+dB MdB
d
NcosBdL B
1 e
2
sin B
2
dBdL
L
上式利用二项式展开并积分，得：
P b L2 L1 (1 e2 sin 2 B) 2 cos B d B
2 B1 B2
L+dL
2 3 4 =b 2 L2 L1 sin B e2 sin 3 B e 4 sin 5 B e6 sin 7 B 3 5 7 B1
§4.4 椭球面上的弧长计算
在高斯投影计算和弧度测量计算中， 往往用到子午线弧长和平行圈弧长
一、子午线弧长计算公式
dx MdB
X MdB
0 B
X (m0 m2 sin 2 B m4 sin 4 B m6 sin 6 B m8 sin8 B)dB
0
B
为了便于积分通常将正弦的幂函数展开为余弦的倍数函数。 如：
二、大地线的定义与性质
定义1：椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线（测地线）。 定义2：大地线是主法线与曲面法线处处重合的曲线。 大地线的性质： 1、曲面上连接任何两点的最短弧线必为大地线； 2、大地线上任何点的密切平面就是该点的法截面； 3、大地线的测地曲率等于0； 4、大地线位于相对法截线之间，并靠近 正法截线，它与正法截线间的夹角 1 5、在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为 依据。在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地 线的方向、距离。 长度差异可忽略（40km以内）， 但方向差异需改化。
两点间的最短距离，在平面上是两点间的直线，在球面 上是两点间的大圆弧，那么在椭球面上又是怎样的一条 线呢? 它应是大地线。
一、相对法截弧
法截弧：由椭球面上A点的法线与B点所确定的法截面与 椭球面相割得到的曲线称为A到B的法截弧。 相对法截弧： A到B的法截弧与B到A的法截弧。 互为正反法截弧
On a Q1na sin B1 On b Q2 nb sin B2
子午线弧长和平行圈弧长变化的比较
四、椭球面梯形图幅面积的计算
只要求出经纬格网的面积，就可度量出椭球面的整个面积 或局部区域的面积。
d MN cos BdBdL
a 2 1 e2 cos BdBdL
P d
D
B2 L2
B1 L1

a 1 e cos B
2 2
曲率半径
a(1 e2 ) c M 3 3 W V
3、卯酉线曲率半径
在赤道上N等于a，N随纬度增加而增加
a c N W V
MN RA N cos 2 A M sin 2 A
4、任意法截弧的曲率半径
主曲率半径M及N分别是 RA的极小值和极大值。R0＝M，R90＝N
5、平均曲率半径
Ｘ1 2＝Ｘ２－Ｘ１，该Δ Ｘ即为所求的弧长。
子午线弧长计算（续）
• 对于400km以下的子午线弧长计算公式 （精确到：0.001m ）
X1 2 X1 2 e2 M m B(1 cos 2 Bm B 2 ) 8 M m B
写
若弧长＜45km,仅取△B一次项，即可精确到：0.001m 当弧长甚短(例如X≤45km，计算精度到0.001m)，可 视子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度 点的子午圈的曲率半径Mm
B1 f X / a0
Bif1 ( X F ( Bif ) / a0
• 直接解法：
对于75国际椭球：
（弧度） X / 6367452. 133
B f 2.518828475 103 sin 2 3.701007 106 sin 4 7.447 109 sin 6
三、平行圈弧长公式
任一平行圈都是半径相等的圆， 纬度为B的平行圈的半径为：
rB N cos B a cos B 1 e2 sin 2 B
平行圈上经差L L2 L1的一段弧长 : S1 2 N cos BL a cos B( L2 L1 ) l N cos B b1l 1 e2 sin 2 B
对于75国际椭球，子午线弧长的具体计算公式为：
X 111133.005B 32009.858sin B cos B 133.960sin 3 B cos B 0.698sin 5 B cos B
二、由子午弧长求大地纬度 由子午弧长求大地纬度可以采用迭代解法和直接解法 • 迭代解法:
X a(1 e2 )( AarcB B sin B cos B C sin 3 B cos B D sin 5 B cos B E sin 7 B cos B F sin 9 B cos B G sin11 B cos B)
写
子午线弧长计算公式（2）系数
3 45 175 6 11025 8 43659 10 693693 12 式中：A 1 e 2 e 4 e e e e 4 64 256 16384 65536 1048576 3 2 45 4 175 6 11025 8 43659 10 693693 12 B e e e e e e 4 64 256 16384 65536 1048576 15 4 175 6 3675 8 14553 10 231231 12 C e e e e e 32 384 8192 32768 524288 35 6 735 8 14553 10 231231 12 D e e e e 96 2048 40960 655360 G 1001 12 e 4096
3 2
N a(1 e2 sin 2 B)

1 2
M m0 m2 sin 2 B m4 sin 4 B m6 sin 6 B m8 sin8 B
N n0 n2 sin 2 B n4 sin 4 B n6 sin6 B n8 sin8 B
不同的椭球元素对应不同的系数 写在黑板
（不是地球平均半径）
a R 2 W
c N 1 e 2 V V
2
MN
6、椭球面上几种曲率半径的关系
N RM
N90 R90 M90 c
主曲率半径的计算公式
子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半径N，是两个互相垂直 的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统称为主曲率半 径。
M a(1 e2 )(1 e2 sin 2 B)
积分，整理得： a6 a8 a2 a4 X a0 B sin 2 B sin 4 B sin 6 B sin 8B 2 4 6 8
板书
子午线弧长计算 对于75国际椭球，子午线弧长的具体计算公式为：
X 111133.005B 16038.528sin 2B 16.833sin 4B 0.022sin 6B