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安徽省合肥八中等2014届高三下学期联考（五）数学（理）试题扫描版含答案合肥八中2014年第三次适应性考试数学(理)参考答案选择题（5分×10＝50分）1．【答案】：B【解析】：1z i =--，22z i = 2．【答案】：D【解析】：2{|1}{|11}A x x x x x =>=><-或，2{|log 0}{|1}B x x x x =>=> 3．【答案】：A 【解析】：直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行的充要条件是2a =-或1 4．【答案】：C 5．【答案】：A 【解析】：sin sin(2)sin[2()]6y x y x y x π=→=→=+6．【答案】：C【解析】：21222(log )(log )2(2)(log )(2)2log 2f a f a f f a f a +≤⇒≤⇒-≤≤144a ⇒≤≤ 7．【答案】：B 【解析】：如图，即A BCDE - 体积为214362432⨯⨯⨯⨯= 8．【答案】：C【解析】：由题意知(,0)2p F ，不妨取双曲线的渐近线为b y x a =，由22b y xay px⎧=⎪⎨⎪=⎩得222pa x b =.因为x AF ⊥，所以2A p x =，即2222pa px b ==，解得224b a =，即22224b a c a ==-，所以225c a =，即25e =，所以离心率e = 9．【答案】：B【解析】：222222222cos ,cos ,cos ,222A B C b c a a c b a b c bc A ac B ab C ωωω+-+-+-======222222222A B b c a a c b c ωω+-+-+=+=，故A 正确，C显然正确，1tan sin 2A ABC A bc A S ω∆==,同理，11tan ,tan 22B ABC C ABC B S C S ωω∆∆==，故D 正确10．【答案】：A【解析】：令()()(1)()x f x xf x x x f x m ++=++=，x 为偶数时，1x +为奇数，当()f x 为偶数时m 才是偶数，故0的像有2个x 为奇数时，1x +为偶数，不论()f x 是偶数还是奇数，m 都是偶数，故1，1-的像都是5个则这样的映射f 有50个 填空题11．【答案】14【解析】z 取最大值的最优解为(1,1)，取最小值的最优解为(,)a a ，则z 的最大值为3，最小值为3a ，由334a =⋅，14a = 12．【答案】10【解析】在51()(21)ax x x+-中令1x =，得12,1a a +==，51()(21)x x x+-中，5(21)x -展开式的通项为5515(1)2k k k k k T C x --+=-，则常数项为4415(1)210C -=13．【解析】直线l 0y -+=，圆C 的普通方程为22(2)1x y -+=，由点到直线的距离公式即可14．【答案】(1,)-+∞1232100(32)()2=⎰+=+=a x x dx x x ，设()()(24)F x f x x =-+,则(1)(1)(24)220F f -=---+=-=，'()'()2F x f x =-，对任意x R ∈，有'()'()20F x f x =->，即函数()F x 在R 上单调递增，则()0F x >的解集为(1,)-+∞，即()24f x x >+的解集为(1,)-+∞ 15．【答案】①③⑤【解析】作出函数()f x 的图象，(1)当0k -<时,1个不相等的实根(2)当0k -=时,3个不相等的实根(3)当01k <-<时，5个不相等的实根 (4)当1k -=时, 3个不相等的实根 (5)当1k ->时, 1个不相等的实根16．(本小题满分12分)【解析】：（1）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===， 则B C R B A R C B R cos sin 2cos sin 8cos sin 2-=， (2)分故B C B A C B cos sin cos sin 4cos sin -=， 可得B A B C C B cos sin 4cos sin cos sin =+， 即BA CB cos sin 4)sin(=+，可得B A A cos sin 4sin =， …………4分又0sin ≠A ，因此41cos =B ．…………6分（2）解：由2=⋅，可得2cos =B a ，又41cos =B ，故8=ac ． …………8分又B ac c a b cos 2222-+=，可得1622=+c a ， …………10分所以0)(2=-c a ，即c a =． 所以22==c a ． …………12分17．(本小题满分12分)【解析】：(1)证明： ABC APB ∆⊥∆ 且交线为AB,又 PAB ∠为直角所以ABC AP 平面⊥ 故 CM AP ⊥ 又 ABC ∆为等边三角形，点M 为AB 的中点 所以AB CM ⊥ 又 A AB PA =所以PAB CM 平面⊥ 又ABC CM ∆⊂ 所以平面PAB ⊥平面PCM ·········6分 （2）假设PA=a ，则AB=2aP M C B M B C P V V --=,PMC B MBC S h S PA ∙=∙3131,而三角形PMC 为直角三角形，故面积为226a ·故a h B 22= ··················9分所以直线BP 与平面PMC 所成角的正弦值 sin B h PB θ==所以余弦值为10103cos =θ · ············12分18 (本小题满分12分)解：（1）甲城市空气质量总体较好．…………………2分（2）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为321510=， …………………3分乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为31155=， …………………4分在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为923132=⨯． ……………………6分（3）X 的取值为2,1,0，…………………7分73)0(21521005===C C C X P ，2110)1(21511015===C C C X P ，212)0(21501025===C C C X P 所以X 的分布列为：…………………10分数学期望32212221101730=⨯+⨯+⨯=EX…………………12分19．（本小题满分13分）【解析】 (1)当1n =时时,由1121S a =-得113a =, 当 2≥n 时, 21n n S a =-①1121n n S a --=-②上面两式相减,得113n n a a -= 所以数列{}n a 是以首项为13,公比为13的等比数列,求得1()3nn a = ····· (6)分 (2) 11331111log11log ()13n n n b a n ===+++，nc====22n T =············13分 20．（本小题满分13分）(Ⅰ) 由|PE |＋|PF |＝4＞|EF |及椭圆定义知，点P 的轨迹是以E ，F 为焦点，4为长轴长的椭圆．设P (x ，y )，则点P 的轨迹方程为24x＋y 2＝1． ………… 5分(Ⅱ) 设圆P 与圆F 的另一个公共点为T ，并设P (x 0，y 0)，Q (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则由题意知，圆P 的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝x 02＋y 02．又Q 为圆P 与圆F 的一个公共点，故22112222101000(5,()(),x y x x y y x y -+=-+-=+⎧⎨⎩ 所以(x 0x 1＋y 0 y 1－1＝0．同理(x 0x 2＋y 0 y 2－1＝0．因此直线QT 的方程为(x 0x ＋y 0y －1＝0．连接PF 交QT 于H ，则PF ⊥QT ．设|QH |＝d (d ＞0)，则在直角△QHF 中|FH ||1|x --．又220014x y +=，故|FH |22==．在直角△QHF 中d1=．所以点Q 到直线PF 的距离为1． ………… 13分21. （本小题满分13分）(1)因为函数定义域为(0,)+∞，所以1ln 0ax x --≥即1ln x a x +≥，令1ln ()xg x x+=， 2ln ()0xg x-'==得1x =(第21题图)因此max ()(1)1g x g ==，所以1a ≥ ………… 6分(2)由(1)知1a =时，1ln 0ax x --≥，即l n 1x x ≤-，则l n (1)x x +≤(当0x =时等号成立)，令1()x i N i *=∈，得11ln(1)i i+<，即1111,()i i i e e i i ++<<，取1,2,i n = ，并累乘得23123234(1)(1)123!nn nn n n en n ++⋅⋅=<1 ，所以(1)!n n n n e +<，(1)!n n n e n +<即e < ………… 13分。
2014年考研数三真题与答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ） （A ）2n a a >（B ）2n a a <（C ）1n a a n >-（D ）1n a a n<+（2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+（C ）1siny x x =+ （D ）21sin y x x=+（3）设23(x)a P bx cx dx =+++ ，当0x → 时，若(x)tanx P - 是比x 3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是 （A ）0a = （B ）1b = （C ）0c = （D ）16d =（4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥（5）行列式00000000a b abc d c d= （A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a d b c -（D ）2222b c a d -（6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件（7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4（8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ的简单随机样本，则统计量1232X X X -服从的分布为（A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2)二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。
一、填空题（每小题3分，共15分） 1、极限2sin 0lim(13)x x x →+= ．2、设2arctan()y x x =，则y ' ． 3、设()f x 的一个原函数为2x e-，则()________xf x dx '=⎰．4、曲线xe y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r eθ=从0=θ至2πθ=的一段弧长=l ____________．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、当1x →-时，31x +与3(1)x +为（）(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是（ ）(A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x -3、设()f x 在0x =处连续，且0()lim 11cos x f x x→=-，则在点0x =处（ ）． (A) (0)f '不存在 (B) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f '存在，且(0)0f '≠ (D) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极大值4、下列广义积分发散的是（ ）(A)1+∞⎰(B)111sin dx x -⎰ (C)221ln dx x x+∞⎰(D) 2x xe dx +∞--∞⎰5、曲线2211x x e y e--+=-（）(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1、222111lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++L ． 2、)cos 1)(1(1cossin 3lim 20x e x x x xx +---→． 3、求sin (0)xy xx =>的导数()y x '． 4、已知()2ln 1,arctan ,x t y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩求22d d ,d d y yx x ． 5、2arctan x dx x ⎰． ６、设2ln(1)0()101x x f x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪+⎩，求20(1)f x dx -⎰． 四、（本题满分10分）设 ()()22021cos , 0, 1, 0,1cos d , 0,xx x x f x x t t x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩⎰ 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性．五、（本题满分10分）设曲线2xe y =，切线2ey x =及y 轴围成的平面图形为D ，求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V .六、（本题满分8分）证明不等式：0>x 时，有11ln ≥+xx . 七、（本题满分6分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)(≠x f （01x <<），且0)1()0(==f f ，证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使()2015()f f ξξ'=．。
合肥八中2014年第三次适应性考试数学(理)参考答案选择题（5分×10＝50分）1．【答案】：B【解析】：1z i =--，22z i = 2．【答案】：D【解析】：2{|1}{|11}A x x x x x =>=><-或，2{|log 0}{|1}B x x x x =>=> 3．【答案】：A 【解析】：直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行的充要条件是2a =-或1 4．【答案】：C 5．【答案】：A 【解析】：sin sin(2)sin[2()]6y x y x y x π=→=→=+6．【答案】：C【解析】：21222(log )(log )2(2)(log )(2)2log 2f a f a f f a f a +≤⇒≤⇒-≤≤144a ⇒≤≤ 7．【答案】：B 【解析】：如图，即A BCDE - 体积为214362432⨯⨯⨯⨯= 8．【答案】：C【解析】：由题意知(,0)2p F ，不妨取双曲线的渐近线为b y x a =，由22b y xay px⎧=⎪⎨⎪=⎩得222pa x b =.因为x AF ⊥，所以2A px =，即2222pa p x b ==，解得224b a =，即22224b a c a ==-，所以225c a =，即25e =，所以离心率e = 9．【答案】：B【解析】：222222222cos ,cos ,cos ,222A B C b c a a c b a b c bc A ac B ab C ωωω+-+-+-======222222222A B b c a a c b c ωω+-+-+=+=，故A 正确，C显然正确，1tan sin 2A ABC A bc A S ω∆==,同理，11tan ,tan 22B ABC C ABC B S C S ωω∆∆==，故D 正确10．【答案】：A【解析】：令()()(1)()x f x xf x x x f x m ++=++=，x 为偶数时，1x +为奇数，当()f x 为偶数时m 才是偶数，故0的像有2个x 为奇数时，1x +为偶数，不论()f x 是偶数还是奇数，m 都是偶数，故1，1-的像都是5个则这样的映射f 有50个 填空题11．【答案】14【解析】z 取最大值的最优解为(1,1)，取最小值的最优解为(,)a a ，则z 的最大值为3，最小值为3a ，由334a =⋅，14a = 12．【答案】10【解析】在51()(21)ax x x +-中令1x =，得12,1a a +==，51()(21)x x x+-中，5(21)x -展开式的通项为5515(1)2kk k k k T C x --+=-，则常数项为4415(1)210C -=13．【解析】直线l 0y -+=，圆C 的普通方程为22(2)1x y -+=，由点到直线的距离公式即可14．【答案】(1,)-+∞1232100(32)()2=⎰+=+=a x x dx x x ，设()()(24)F x f x x =-+,则(1)(1)(24)220F f -=---+=-=，'()'()2F x f x =-，对任意x R ∈，有'()'()20F x f x =->，即函数()F x 在R 上单调递增，则()0F x >的解集为(1,)-+∞，即()24f x x >+的解集为(1,)-+∞ 15．【答案】①③⑤【解析】作出函数()f x 的图象，(1)当0k -<时,1个不相等的实根(2)当0k -=时,3个不相等的实根(3)当01k <-<时，5个不相等的实根 (4)当1k -=时, 3个不相等的实根 (5)当1k ->时, 1个不相等的实根16．(本小题满分12分)【解析】：（1）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===， 则B C R B A R C B R cos sin 2cos sin 8cos sin 2-=， …………2分故B C B A C B cos sin cos sin 4cos sin -=， 可得B A B C C B cos sin 4cos sin cos sin =+，即B AC B cos sin 4)sin(=+，可得B A A c o s s i n 4s i n =， …………4分又0sin ≠A ，因此41c o s =B ．…………6分（2）解：由2=⋅BC BA ，可得2cos =B a ，又41cos =B ，故8=ac ． …………8分又B ac c a b cos 2222-+=， 可得1622=+c a ， (10)分所以0)(2=-c a ，即c a =．所以22==c a ． …………12分17．(本小题满分12分)【解析】：(1)证明： ABC APB ∆⊥∆ 且交线为AB,又 PAB ∠为直角所以ABC AP 平面⊥ 故 CM AP ⊥ 又 ABC ∆为等边三角形，点M 为AB 的中点 所以AB CM ⊥ 又 A AB PA =所以PAB CM 平面⊥ 又ABC CM ∆⊂所以平面P AB ⊥平面PCM ·········6分 （2）假设PA=a ，则AB=2aPMC B MBC P V V --=,PMC B MBC S h S PA ∙=∙3131,而三角形PMC 为直角三角形，故面积为226a ·故a h B 22= ··················9分所以直线BP 与平面PMC 所成角的正弦值 sin B h PBθ==所以余弦值为10103cos =θ · ············12分 18 (本小题满分12分)解：（1）甲城市空气质量总体较好．…………………2分（2）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为321510=， …………………3分乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为31155=， …………………4分在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为923132=⨯．……………………6分 （3）X 的取值为2,1,0，…………………7分73)0(21521005===C C C X P ，2110)1(21511015===C C C X P ，212)0(21501025===C C C X P 所以X 的分布列为：…………………10分数学期望32212221101730=⨯+⨯+⨯=EX…………………12分19．（本小题满分13分）【解析】 (1)当1n =时时,由1121S a =-得113a =, 当 2≥n 时, 21n n S a =-①1121n n S a --=-②上面两式相减,得113n n a a -= 所以数列{}n a 是以首项为13,公比为13的等比数列,求得1()3n n a = ·········6分 (2) 11331111log 11log ()13n n n b a n ===+++，nc====1n T n =++=+ ············13分 20．（本小题满分13分）(Ⅰ) 由|PE |＋|PF |＝4＞|EF |及椭圆定义知，点P 的轨迹是以E ，F 为焦点，4为长轴长的椭圆．设P (x ，y )，则点P 的轨迹方程为24x＋y 2＝1． ………… 5分(Ⅱ) 设圆P 与圆F 的另一个公共点为T ，并设P (x 0，y 0)，Q (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则由题意知，圆P 的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝x 02＋y 02．又Q 为圆P 与圆F 的一个公共点，故22112222101000(5,()(),x y x x y y x y -+=-+-=+⎧⎨⎩ 所以(x 0x 1＋y 0 y 1－1＝0．同理(x 0x 2＋y 0 y 2－1＝0．因此直线QT 的方程为(x 0x ＋y 0y －1＝0．连接PF 交QT 于H ，则PF ⊥QT ．设|QH |＝d (d ＞0)，则在直角△QHF 中|FH |．又220014x y +=，故|FH |22==．在直角△QHF 中d1=．所以点Q 到直线PF 的距离为1． ………… 13分21. （本小题满分13分）(1)因为函数定义域为(0,)+∞，所以1ln 0ax x --≥即1ln x a x +≥，令1ln ()xg x x+=， 2ln ()0xg x x -'==得1x =(第21题图)因此max ()(1)1g x g ==，所以1a ≥ ………… 6分(2)由(1)知1a =时，1ln 0ax x --≥，即ln 1x x ≤-，则ln(1)x x +≤(当0x =时等号成立)，令1()x i N i *=∈，得11ln(1)i i+<，即1111,()i i i e e i i ++<<，取1,2,i n =，并累乘得23123234(1)(1)123!n n n n n n e n n ++⋅⋅=<1，所以(1)!n n n n e +<，(1)!n n n e n +<即e < ………… 13分。
2014-2015试卷 一、填空题1、极限2sin 0lim(13)x x x →+=． 2、设2arctan()y x x =，则y ′ ． 3、设()f x 的一个原函数为2x e−，则()________xf x dx ′=∫．4、曲线xe y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r e θ=从0=θ至2πθ=的一段弧长=l ____________．二、选择题 1、当1x →−时，31x+与3(1)x +为（）(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是（ ）(A) 1sin x + (B) 1sin x − (C) 1cos x + (D) 1cos x −3、设()f x 在0x =处连续，且0()lim11cos x f x x→=−，则在点0x =处（ ）． (A) (0)f ′不存在 (B) (0)0f ′=，且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f ′存在，且(0)0f ′≠ (D) (0)0f ′=，且(0)f 为()f x 的极大值4、下列广义积分发散的是（ ）(A)1∫(B)111sin dx x −∫ (C)221ln dx x x+∞∫(D) 2x xe dx +∞−−∞∫5、曲线2211x x e y e−−+=−（）(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1、222111lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++ ． 2、)cos 1)(1(1cossin 3lim 20x e x x x xx +−−−→．3、求sin (0)xy xx =>的导数()y x ′．4、已知()2ln 1,arctan ,x t y t =+ = 求22d d ,d d y y x x ．5、2arctan x dx x∫． ６、设2ln(1)0()101x x f x x x+≥= < + ，求20(1)f x dx −∫． 四、（本题满分10分）设 ()()22021cos , 0, 1, 0,1cos d , 0,xx x x f x x t t x x −<== > ∫ 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性．五、（本题满分10分）设曲线2xe y =，切线2ey x =及y 轴围成的平面图形为D ，求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V .六、（本题满分8分）证明不等式：0>x 时，有11ln ≥+xx . 七、（本题满分6分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)(≠x f （01x <<），且0)1()0(==f f ，证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使()2015()f f ξξ′=2013-2014高数试卷一、填空题 1、极限0_________x →=．2、曲线221x xy y −+=在点(1,1)处的切线方程为 ．3、设曲线()y f x =过点(0,0)，且当x 在0x =处取得增量x ∆时相应的函数值增量3()(0)y x o x x ∆=∆+∆∆→，则2lim ()________n nf n→∞=．4、设连续函数()f x 满足1()2()d f x x f x x =，则1()d __________f x x =∫．5、积分121[ln(]_________x x −+=∫．二、选择题1、设lim n n x →∞与lim n n y →∞均不存在，那么下列命题正确的是（ ）．（A ）若lim()n n n x y →∞+不存在，则lim()n n n x y →∞−必也不存在（B ）若lim()n n n x y →∞+存在，则lim()n n n x y →∞−必也存在（C ）lim()n n n x y →∞+与lim()n n n x y →∞−均不存在（D ）lim()n n n x y →∞+与lim()n n n x y →∞−中只要有一个存在，另一个必定不存在2、已知0x =是函数ln()()sin a x f x x bx+=−的可去间断点，则常数,a b 的取值情况为（ ）．（A ）1,a b =为任意实数 （B ）1,b a =为任意实数 （C ）1,a b ≠为任意实数 （D ）=1,1a b ≠3、设21sin ,0()0,0,x x f x xx ≠= = 那么()f x 在0x =处（ ）． (A) 不连续 (B) 连续但不可导 (C) 可导但()f x ′不连续 (D) 可导且()f x ′也连续 4、极限22212lim()12n nn n n n→∞++⋅⋅⋅+=+++（ ）. (A) 14 (B) 13 (C) 12(D) 15、设2sin 1x +为)(x f 的一个原函数，则()d x f x x ′=∫（ ）．(A) 22cos x x C + (B) 2222cos sin x x x C −+ (C) 2222sin cos x x x C −+ (D) 222cos sin x x x C ++三、计算下列各题（每小题５分，共3０分）1、011lim()ln(1)x x x →−+．2、设,0,(),0,x e x f x x x ≤= >求()21sin 0lim()d xxx f t t+−∞→∫．3、设y =d y 及y ′′．4、设()y y x =由220ln(1),d 1,1u t x te y u u =+ −= +∫确定，求1d d t y x =．5、x ．６、设20sin ()d 1cos xt f x t t=+∫，求220()d 1()f x x f x π′+∫． 四、（本题满分８分）已知0x →时，22cos sin ()x x A Bx Cx o x +=+++，其中2()o x 是2x 的高阶无穷小，求常数,,A B C 的值．五、（本题满分10分）设2()1xf x x x =+−，（１）求函数()f x 的单调区间，（２）求函数()f x 的极值．六、（本题满分10分）如图所示1D 是由抛物线22y x x =−与直线(0)y kx k =>围成的图形，2D 是由曲线22y x x =−与直线y kx =及x 轴围成的图形，设1D 的面积为1S ，2D 的面积为2S ，若12:1:7S S =． （１）求常数k 的值；（２）求1D 绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积x V 及2D 绕y 轴旋转一周所得到的旋转体的体积y V ． 七、（本题满分6分）证明：0x ≠时，2cos 12x x >−．八、（本题满分6分）设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且1(0)(1)0,(0)()02f f f f ><．证明：（１）在()0,1内存在两个不同的点,ξη，使得()()0f f ξη==成立；（２）(0,1)ζ∃∈使得()()0f f ζζζ′−=成立。
2014年安徽省某校高考数学五模试卷（文科）一．选择题 1. 复数2−i 1+i（其中i 是虚数单位，满足i 2=−1）的实部与虚部之和为（ ）A −1B 1C −2D 22. 设全集U =R ，且A ={x||x −1|>2}，B ={x|−x 2+6x −8>0}，则(∁U A)∩B =( )A [−1, 4)B (2, 3)C (2, 3]D (−1, 4)3. “−2≤a ≤2”是“实系数一元二次方程x 2+ax +1=0无实根”的（ ）A 必要不充分条件B 充分不必要条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 4. 已知向量a →=(2, m)，b →=(−1, m)，若2a →−b →与b →垂直，则|a →|=( ) A 1 B 2 C 3 D 45. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B 等于（ ）A 15B 29C 31D 636. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图），为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在(2500, 3000)（元）月收入段应抽出的人数为（ ） A 25 B 30 C 35 D 407.如图，在三棱锥S −ABC 中，∠ACB =90∘，SA ⊥面ABC ，且SA =AC =BC =1，点P 在边SC 上，且PC =2SP ，则三棱锥A −SPB 的体积为（ ） A 13 B 16 C 19 D 1188. 将函数f(x)=2sin(ωx −π3)(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y =g(x)的图象．若y =g(x)在[0,π4]上为增函数，则ω的最大值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 49. 设F 1(−c, 0)、F 2(c, 0)是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >0, b >0)的两个焦点，P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点，若2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，则椭圆的离心率为（ ） A √3−1 B √3+1 C √2−1 D √2+110. 在平面直角坐标系中，不等式组{x +y ≥0x −y ≥0x ≤a （a 为常数）表示的平面区域的面积8，则x 2+y 的最小值（ ） A −14 B 0 C 12 D 20二．填空题11. 若函数f(x)满足f(3x)=f(3x −32)，x ∈R ，则f(x)的最小正周期________．12. 已知函数f(x)＝f′(π4)cosx +sinx ，则f(π4)的值为________．13. 设公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 22+a 32=a 42+a 52，则S 6=________． 14. 已知直线x −y −k =0(k >0)与圆x 2+y 2=4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →+OB →|≥√33|AB →|，则k 的取值范围是________． 15. 若在曲线f(x, y)=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x, y)=0的“自公切线”．下列方程： ①x 2−y 2=1； ②y =x 2−|x|；③y =3sinx +4cosx ；④|x|+1=√4−y 2对应的曲线中存在“自公切线”的有________．三、解答题16. 已知函数f(x)=2√3sinxcosx −3sin 2x −cos 2x +2． (1)求f(x)的最大值；(2)若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b =√3a ，sin(2A +C)=2sinA +2sinAcos(A +C)，求f(B)的值．17. 把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，给定方程组{ax +by =3x +2y =2（1）试求方程组只有一解的概率；（2）求方程组只有正数解(x >0, y >0)的概率．18.在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，过A 1、C 1、B 三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体ABCD −A 1C 1D 1，且这个几何体的体积为403．（1）求A 1A 的长；（2）在线段BC 1上是否存在点P ，使直线A 1P 与C 1D 垂直，如果存在，求线段A 1P 的长，如果不存在，请说明理由．19. 已知椭圆C 的中心在原点O ，离心率e =√32，右焦点为F(√3，0)． （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的上顶点为A ，在椭圆C 上是否存在点P ，使得向量OP →+OA →与FA →共线？若存在，求直线AP 的方程；若不存在，简要说明理由．20. 已知定义在R 上的函数f(x)=x 2(ax −3)，其中a 为常数． （1）若x =1是函数f(x)的一个极值点，求a 的值；（2）若函数f(x)在区间(−1, 0)上是增函数，求a 的取值范围；（3）若函数g(x)=f(x)+f′(x)，x ∈[0, 2]，在x =0处取得最大值，求正数a 的取值范围． 21. 已知f(x)=−√4+1x 2，点P n (a n , −1a n+1)在曲线y =f(x)上(n ∈N ∗)且a 1=1，a n >0．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足1b n=−1a n2−n +1，对于任意n ≥2，n ∈N ∗都有λb n +1bn+1≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．2014年安徽省某校高考数学五模试卷（文科）答案1. A2. C3. A4. C5. C6. A7. D8. B9. A10. A11. 3212. 113. 014. [√2, 2√2)15. ②③16. 解：(I)f(x)=√3sin2x−3sin2x−cos2x+2(sin2x+cos2x)=√3sin2x+cos2x−sin2x =√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6 )∴ f(x)的最大值是2．(II)由条件得sin(2A+C)=2sinA+2sinAcos(A+C)，∴ sinAcos(A+C)+cosAsin(A+C)=2sinA+2sinAcos(A+C)，化简得sinC=2sinA，由正弦定理得：c=2a，又b=√3a，由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccosA=3a2+4a2−4√3a2cosA⇒cosA=√32⇒A=π6，B=π3，C=π2，∴ f(B)=f(π3)=2sin5π6=1．17. 解：（1）当且仅当a≠b2时，方程组有唯一解．因a=b2的可能情况为a=1，b=2或a=2，b=4或a=3，b=6三种情况而先后两次投掷骰子的总事件数是36种，所以方程组有唯一解的概率P=1−336=1112…（2）因为方程组只有正数解，所以两直线的交点在第一象限，由它们的图象可知{3b<1 3a >2或{3b>13a<2解得(a, b)可以是(1, 4)，(1, 5)，(1, 6)，(2, 1)，(2, 2)，(3, 1)，(3, 2)，(4, 1)，(4, 2)，(5, 1)，(5, 2)，(6, 1)，(6, 2)，所以方程组只有正数解的概率P=1336…18. 解：（1）∵ V ABCD−A1C1D1=V ABCD−A1B1C1D1−V B−A1B1C1=2×2×AA1−13×12×2×2×AA1=103AA1=403，∴ AA1=4．（2）在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，过Q作QP // CB交BC1于点P，则A1P⊥C1D．因为A 1D 1⊥平面CC 1D 1D ，C 1D ⊂平面CC 1D 1D ，∴ C 1D ⊥A 1D 1，而QP // CB ，CB // A 1D 1，∴ QP // A 1D 1， 又∵ A 1D 1∩D 1Q =D 1，∴ C 1D ⊥平面A 1PQC 1， 且A 1P ⊂平面A 1PQC 1，∴ A 1P ⊥C 1D ． ∵ △D 1C 1Q ∽Rt △C 1CD ，∴ C 1QCD =D 1C 1C 1C，∴ C 1Q =1又∵ PQ // BC ，∴ PQ =14BC =12．∵ 四边形A 1PQD 1为直角梯形，且高D 1Q =√5， ∴ A 1P =√(2−12)2+5=√292． 19. 解：（1）设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， ∵ 椭圆C 的离心率e =√32，右焦点为F(√3，0)，∴ c a=√32，c =√3，∵ a 2=b 2+c 2，∴ a =2,b =1,c =√3， 故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）假设椭圆C 上是存在点P(x 0, y 0)，使得向量OP →+OA →与FA →共线， ∵ OP →+OA →=(x 0,y 0+1)，FA →=(−√3,1)，∴ 0−√3=y 0+11，即x 0=−√3(y 0+1)，（1）又∵ 点P(x 0, y 0)在椭圆x 24+y 2=1上，∴x 024+y 02=1(2)，由（1）、（2）组成方程组解得{x 0=0y 0=−1，或{x 0=−8√37y 0=17， ∴ P(0, −1)，或P(−8√37，17)， 当点P 的坐标为(0, −1)时，直线AP 的方程为x =0，不成立． 当点P 的坐标为P(−8√37，17)时，直线AP 的方程为√3x −4y +4=0，故椭圆上存在满足条件的点P ，直线AP 的方程为√3x −4y +4=0．20. （1）a =2； （2）a ≥−2； （3）a ∈(0,65]21. 解：（1）∵ 点P n (a n , −1a n+1)在曲线y =f(x)上，f(x)=−√4+1x 2，∴ −1a n+1=−√4+1a n2，且a n >0．∴ 1a n+12−1a n2=4．∴ 数列{1a n2}是等差数列，首项1a12=1，公差d=4．∴ 1a n2=1+4(n−1)，∴ a n2=14n−3．∵ a n>0，∴ a n=√4n−3∈N∗)．（2）1b n =1a n2−n+1=4n−3−n+1=3n−2，∴ b n=13n−2，代入λb n+1b n+1≥λ并整理得λ(1−13n−2)≤3n+1，∴ λ≤(3n+1)(3n−2)3n−3，原命题等价于该式对任意n≥2的整数恒成立．设C n=(3n+1)(3n−2)3n−3，则C n+1−C n=(3n+1)(3n−4)3n(n−1)>0，故C n+1>C n，∴ {c n}单调递增，C n的最小值为C2=283，∴ λ的取值范围是(−∞,283]．。
2014安徽省省级示范高中名校高三联考数学（文科）参考答案（1）D 解析：()()122i 13i 55i.z z ⋅=-⋅+=+（2）A 解析：{}{}{}0123456,|3,4,5,6A B x x A B ==>∴⋂=，，，，，，.（3）B 解析：双曲线方程可化为221x y c c a b-=，即22142x y -=，∴离心率62e =. （4）D 解析：由指数、对数函数的图像可知1,0,01,.a b c a c b ><<<∴>> （5）C 解析：3322()()0.a b a b a ab b a b -=-++<⇔<（6）C 解析：由题意得011(0)201,(1)(1)212f b b f f -=-=⇒=∴=--=-+=. （7）A 解析：约束条件表示的是以()()()1,1,3,2,2,4A B C 为顶点的三角形区域，x y∴的最小值为12. （8）B 解析：()232f x ax bx c '=++，∴()2430b a c ∆=-=，故函数()f x 在R 上单调，∴()f x 有且只有一个零点.（9）A 解析：2111sin ,4442m m m m θ+==+≥∴π5π2π2π,66k k θ+≤≤+ππ2π36k θ+≤+ π2π,k Z k ≤+∈，故π11cos .62θ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭（10）C 解析：由题意可知,B C 两点关于原点O 对称，∴24AB AC AO +==． （11）()0,2 解析：220x x ->，解得()0,2x ∈.（12）159 解析：程序运行如下：2419100;29119100a a =⨯+=<=⨯+=<；219139100;2391791002791159100,159.a a a =⨯+=<=⨯+=<=⨯+=>；输出（13）32 解析：圆心到直线的距离22=120231d AOB ==∴∠+，，AOB S ∆∴ 13=sin 22OA OB AOB ⋅⋅⋅∠=.（14）45 解析：记()()1,2n n S n +=如果最下层摆圆木n 根，最多能把圆木堆到()S n 根.把1000根圆木堆起来，若最下层摆圆木1n -根会剩下一些，摆n 根能摆完，则()()11000,S n S n -<≤即()()11100022n n n n -+<≤,∴()12000n n -<()1,n n ≤+由于44451980200045462070,⨯=<<⨯=∴45.n = （15）①②④ 解析：由PB ⊥AE ，PD ⊥AG AB AD =，，可得PB ,,PD PE PG ==//,BD//EG BD ∴∴平面AEFG ,①正确；由已知可得BC ⊥平面PAB ，CD ⊥平面PAD ，,AE BC AG CD ∴⊥⊥,又PB ⊥AE ，PD ⊥AG ，,,AE PC AG PC ∴⊥⊥∴PC ⊥平面AEFG ,②正确；由②可知EF PC EF ⊥∴，与BC 必相交，假设//EF 平面PAD ，由//BC 平面PAD 可得平面PAD //平面PBC ，显然矛盾，③错误；由②可知1,2O A O B O C O D O E O F O G A C =======∴点,,,,,,A B CD E F G 在同一球面上,④正确；连接AF ，取AF 的中点M ，连接OM ，则//,OM PC OM AEFG ∴⊥平面,由已知可得2663,2363AE AF EF OM ==∴==∴，，，四棱锥O A E -的体积1,318A EE F O MV ⋅⋅==⑤错误.（16）解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得222222221,2,a b ab a b c ab c c ++=+-=- 22cos ,22ab C ab -∴==-3π4C ∴=.（6分） （Ⅱ）由正弦定理得sin 1sin 2a C A c ==，又π02A <<，π6A ∴=， 故3ππtan tan46tan tan()2 3.3ππ1tan tan46B AC +=-+=-=--⋅（12分） （17）解析：（Ⅰ）面试分数在[)50,60内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，分数在[)90,100内同样有2 人，由2100.01n=⨯，得20n =.（2分）由茎叶图可知面试成绩的中位数为7476=752+.（4分） 分数在[)80,90内的人数为()2025724-+++=.（6分）（Ⅱ）将[)80,90内的4人编号为a b c d ,,,,[)90,100内的2人编号为A B ,, 在[)80,100内任取两人的基本事件为：,,ab ac ad aA aB ,,,bc bd ,,,bA bB ,cd cA cB dA dB AB ,,,,,,共15个，其中恰好有一人分数在[)90,100内的基本事件为：,aA aB ,,bA bB ,,cA cB dA ,,dB ,共8个,∴恰好有一人分数在[)90,100内的概率为815.（12分） （18）解析：（Ⅰ)连接AC,BD 交于点O ，连接OF ，则OF 12PA ,又//,//,DE PA DE OF ∴////,EF ABCD ODEF ABCD OD EF OD ⋂=∴平面，平面平面，∴ODEF 为平行四边形，1,2DE PA ∴=又4,CD DE 3 1.PA CD DE +=+=∴=，（6分） （Ⅱ）//EF BD BD PAC EF PAC ⊥∴⊥，平面，平面,过点A 作AG PC ⊥，垂足为G ，则AG ⊥平面PCE ，22226=348AG ⨯=+，即点A 到平面PCE 的距离为263.（12分） （亦可用体积相等法求解） （19）解析：（Ⅰ）()1a x af x x x-'=-=，()f x 的定义域为()0,+∞， 令()0f x '=，得x a =，此时()f x ，()f x '随x 的变化情况如下表：∴()f x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞.(6分) （Ⅱ）由（Ⅰ）及题意知()()min 1ln 0f x f a a a a ==--≥， 令()1ln g a a a a =--，可得()ln g a a '=-， ∴()g a 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，∴()()max 10g a g ==，故使1ln 0a a a --≥成立的解只有1a =， ∴实数a 的取值集合为{}1.（13分）x ()0,aa(),a +∞()f x ' -+()f x↓ 极小值↑（20）解析：（Ⅰ）由已知得220n n n a a S +-=,①当2n ≥时,021121=-+---n n n S a a ,②①-②得11111()()20()(1)0n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ------++--=+--=，即， 数列{}n a 的各项都是正数，11n n a a -∴-=,当1n =时，021121=-+a a a ，11,1(1)n a a n n ∴=∴=+-=.（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知得01111112222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①两边同乘以12得121111122222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②①-②得111112222n n n n T -=+++-, 11124(1)44222n n n n n n T --+=--=-<,又1132144 =0222n n n n n n n n T T +-+++-=--+>,∴11n T T ≥=,故存在正整数1m =满足要求.（13分）（21）解析：（Ⅰ）由已知得222261412a b a b ⎧⎪⎪+=⎨⎪-=⎪⎩，解得2242a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴椭圆C 的方程为.12422=+y x （4分） （Ⅱ）设1122(,),(,),P x y Q x y 由椭圆C 的方程为22142x y +=知 2222111112||(2)(2)2222x PF x y x x =++=++-=+，同理222|Q |2,||2.22F x MF =+=+ .2),(224)222(2|,|||||22121=+∴++=+∴+=x x x x QF PF MF ①当221112222224,24x y x x x y ⎧+=⎪≠⎨+=⎪⎩时由，得22221212()2()0x x y y -+-=， 由12x x ≠可得12y y ≠±,从而有.2121212121y y x x x x y y ++⋅-=--设线段PQ 的中点为(1,)0,N n n ≠（）则121212PQ y y k x x n-==--， 得线段PQ 的中垂线方程为2(1)y n n x -=-,(21)0,x n y ∴--=该直线恒过一定点1(,0).2②当126666,(1,),(1,)(1,),(1,)2222x x P Q Q P =--时或, 线段PQ 的中垂线是x 轴，也过点1(,0)2.∴线段PQ 的垂直平分线经过一个定点1(,0)2.（13分）。
