2018年中考总复习专题：二次函数之平行四边形地存在性问题方法总结材料

中考数学压轴题攻略之二次函数中平行四边形存在问题
二次函数综合题是中考每年必考的题型，存在性问题在二次函数综合题中也是一类重点问题，可谓是重中之重，所以广大考生一定要掌握此类题型的解法，做到心中有数，下笔有神。

下面以一道中考题为例，简单分析一下二次函数中平行四边形存在问题的解题思路。

题目
题目图像
第（1）、（2）题不是此次讲解的重点，所以我们就简单对一下答案
（1）（2）答案
（3）分析：从题目中可以看出这道题中平行四边形已经有了两个定点，属于“两定两动”的题型，这种问题可以将两个定点连接为线段，再按这条线段作为平行四边形的边和对角线两种情况进行分类讨论，即可解题。

点评：有时候解题利用平行四边形中心对称的性质会有奇效。

M 1在几何中，平行四边形的判定方法有如下几条：①两组对边互相平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分；⑤两组对角相等。

在压轴题中，往往与函数（坐标轴）结合在一起，运用到④⑤的情况较少，更多的是从边的平行、相等角度来得到平行四边形。

1、 知识内容： 已知三点后，其实已经固定了一个三角形（平行四边形的一半），如图△ABC ．第四个点M 则有3种取法，过3个顶点作对边的平行线且取相等长度即可（如图中3个M 点）．2、 解题思路：（1） 根据题目条件，求出已知3个点的坐标；知识结构知识精讲模块一：已知三点的平行四边形问题知识概述（2） 用一点及其对边两点的关系，求出一个可能点；（3） 更换顶点，求出所有可能的点；（4） 根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．【例1】 如图，抛物线y ＝x 2＋bx －c 经过直线y ＝x －3与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D ．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使S △APC ︰S △ACD ＝5︰4的点P 的坐标；（3）点M 为平面直角坐标系上一点，写出使点M 、A 、B 、D 为平行四边形的点M 的坐标．例题解析【例2】如图，已知抛物线y＝ax2＋3ax＋c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），点B的坐标为(1, 0)，tan∠OBC＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形，若存在，写出点P的坐标；（3）抛物线的对称轴与AC交于点Q，说明以Q为圆心，以OQ为半径的圆与直线BC的关系．1、 知识内容： 在此类问题中，往往是已知一条边，而它的对边为动边，需要利用这组对边平行且相等列出方程，进而解出相关数值．更复杂的有，一组对边的两条边长均为变量，需要分别表示后才可列出方程进行求解．2、 解题思路：（1） 找到或设出一定平行的两条边（一组对边）；（2） 分别求出这组对边的值或函数表达式；（3） 列出方程并求解；（4） 返回题面，验证求得结果．【例3】 如图，抛物线254y x bx c =-++与y 轴交于点A (0,1)，过点A 的直线与抛物线交于另一点B 5(3,)2，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ． （1）求抛物线的表达式；（2）点P 是x 轴正半轴上的一动点，过点P 作PN ⊥x轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ，设OP 的长度为m ．①当点P 在线段OC 上（不与点O 、C 重合）时，试用含m 的代数式表示线段PM 的长度；②联结CM 、BN ，当m 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？知识精讲 模块二：存在动边的平行四边形问题例题解析【例4】如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．【例5】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC 向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度．【习题1】已知平面直角坐标系xOy（如图），一次函数334y x=+的图像与y轴交于点A，点M在正比例函数32y x=的图像上，且MO＝MA．二次函数y＝x2＋bx＋c的图像经过点A、M．（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数334y x=+的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．随堂检测【习题2】如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，F、H分别是AB、CD的中点，E、G分别在AD、BC上，且AE＝CG．（1）求证四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形EFGH是矩形时，求AE的长；（3）当四边形EFGH是菱形时，求AE的长．【作业1】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线243y mx m=-与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在线段AB上，且S△AOB＝2S△AOC．（1）求点C的坐标（用含有m的代数式表示）；（2）将△AOC沿x轴翻折，当点C的对应点C′恰好落在抛物线22 3y x mx m=++上时，求该抛物线的表达式；（3）设点M为（2）中所求抛物线上一点，当以A、O、C、M为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．课后作业【作业2】如图，点A(2, 6)和点B（点B在点A的右侧）在反比例函数的图像上，点C在y 轴上，BC//x轴，tan∠ACB＝2，二次函数的图像经过A、B、C三点．（1）求反比例函数和二次函数的解析式；（2）如果点D在x轴的正半轴上，点E在反比例函数的图像上，四边形ACDE是平行四边形，求边CD的长．。

二次函数与平行四边形存在性问题专题讲义一、知识链接：1.坐标系中的点的平移点P(x,y)的平移方式平移后点的坐标规律沿x轴平移向右平移a个单位长度(x+a,y)左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变向左平移a个单位长度(x-a,y)沿y轴平移向上平移b个单位长度(x,y+b)上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减向下平移b个单位长度(x,y-b)2.图形的平移：从本质上讲就是图形上点的平移例1：如下图，线段AB平移得到线段AB',已知A(-2,2),B(-3,-1)B'(3,1)则:向右平移6个单位长度芳V1)向上平移2个单位长度例2•在平行四边形ABCD中，其中已知A(-1，0)，B(1，-2),C(3，1)，则D点坐标?向右2个单位长度(仁-2)C(31)向上3个单位长度向右2个单位长度(-1,0)D(?,?)向上3个单位长度二、知识迁移例3：如图，在平面直角坐标系中，口ABCD的顶点坐标分别为A(x,y)、B(x,y)、1122点A的坐标是三、对点法①若点A 与点B 相对，则点D 与点C 相对 ②若点A 与点D 相对，则点B 与点C 相对 ③若点A 与点C 相对，则点B 与点D 相对四、典型例题学习五、小试牛刀1. 抛物线中的平行四边形存在性问题(“三定一动”)•.•AB〃CD,AB=CD.•.边CD 可看成由边BA 向右、向上平移n 个单位长度得丿|什平移(爲"牛单位矗U I 兀4J 4RfV1,、|；RT 书乐-叩个单位中厂V”"\ £>1不2」2丿向计移(旳-忖个单位蟲/即：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐⑶4,>+4)例4.如图,平面直角坐标系中，已知A(-l,0),B(l,-2),C(3,l)点D 是平面内一动点,若以点 A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，则点D 的坐标是思路点拨：先求出A(-1,0)B(2,0)C(0,2)设点M(x,y)①点A与点B相对②点A与点C相对③点A与点M相对—1+2二x二0+0二2+y=—1+0二x=30+2二0+、二—1+x二x二0+y二0+7二例5.已知,抛物线y二-X2+x+2与X轴的交点为A、B,与y轴的交点为C,点M是平面内一点，判断有几个位置能使以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出相应的坐•••M(1，-2)或(-3,2)或(3,2)2.抛物线中的平行四边形存在性问题(“两定两动”)1例6•如图，平面直角坐标系中，y=—-x2+x与x轴相交于点B(4,0),点Q在抛物线的对称4轴上，点P在抛物线上,且以点0、B、Q、P为顶点的四边形是平行四边形,写出相应的点P 的坐标.线上的动点，点Q是直线y二-x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点变试题:2.如图，平面直角坐标中，y二X2-2x-3与X轴相交于点A(-1,O),点C的坐标是(2,-3),点P抛物线上的动点，点Q是x轴上的动点，判断有几个位置能使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形,写出相应的点Q的坐标.六、方法分享二次函数综合问题中，平行四边形的存在性问题，无论是“三定一动”，还是“两定两动”，甚至是“四动”问题，能够一招制胜的方法就是“对点法”，需要分三种情况，得出三个方程组求解。

专题6二次函数与平行四边形存在性问题以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考的热点难点之一，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解.解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形.1.平面直角坐标系中，点A 的坐标是11(,)x y ，点B 的坐标是22(,)x y ，则线段AB 的中点坐标是1212(,)22x x y y ++.2.平行四边形ABCD 的顶点坐标分别为(,)A A x y 、(,)B B x y 、(,)C C x y 、(,)D D x y ，则A C B D x x x x +=+，A CB D y y y y +=+. 3.已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ，在平面内找到一个点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况：【例1】（2021•赤峰）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣3，0）、B （1，0）两点，与y 轴交于点C ，对称轴l 与x 轴交于点F ，直线m ∥AC ，点E 是直线AC 上方抛物线上一动点，过点E 作EH ⊥m ，垂足为H ，交AC 于点G ，连接AE 、EC 、CH 、AH ．（1）抛物线的解析式为；（2）当四边形AHCE 面积最大时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，连接EF ，点P 是x 轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以F 、E 、P 、Q 为顶点，以EF 为一边的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．【例2】（2021•湘西州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，求直线BC的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值；（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】（2021•梧州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），顶点为C．平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE．（1）求原抛物线对应的函数表达式；（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F的坐标；（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MN＝CE时，请直接写出点K的坐标．【例4】（2021•郴州）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．【例5】（2021•海南）已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（﹣1，0）、点C的坐标为（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，若该抛物线的顶点为P，求△PBC的面积；（3）如图2，有两动点D、E在△COB的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C和点B同时出发，点D沿折线COB按C→O→B方向向终点B运动，点E沿线段BC按B→C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题：①当t为何值时，△BDE的面积等于；②在点D、E运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接AD、DF、FE、EA得到的四边形ADFE是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标．1．（2021•海州区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点D（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P（m，0）为线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线EF，分别交抛物线与直线l于点E，F，连接CE，CF，BE，求四边形CEBF面积的最大值及此时m的值；（3）点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN∥AC交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2020•平顶山二模）如图，已知二次函数y=−38x2+bx+c的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，直线y=34x+3经过A、B两点．（1）求b、c的值．（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AB于点D，求线段PD的最大值．（3）在（2）的结论下，连接CD，点Q是抛物线对称轴上的一动点，在抛物线上是否存在点G，使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2020•菏泽）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB ＝4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是92时，求△ABD的面积；（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2020•东莞市校级一模）已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交点为A（﹣1，0）和点B，与y轴交点为C （0，﹣3），直线L：y＝kx﹣1与抛物线的交点为点A和点D．（1）求抛物线和直线L的解析式；（2）如图，点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），当点M在直线L下方时，过点M作MN∥x 轴交L于点N，求MN的最大值；（3）点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），M'为直线AD上一动点，是否存在点M，使得以C、D、M、M′为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标，如果不存在，请说明理由．【题组二】5．（2020•雁塔区校级二模）已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和（1，﹣2）两点，抛物线L 关于原点O的对称的为抛物线L′，点A的对应点为点A′．（1）求抛物线L和L′的表达式；（2）是否在抛物线L上存在一点P，抛物线L′上存在一点Q，使得以AA′为边，且以A、A′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．6．（2021•盘龙区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值；连接OC．若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，请求出点P的坐标；（3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2020•碑林区校级三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线L：y＝ax2﹣4ax（a＞0）与x 轴正半轴交于点A．抛物线L的顶点为M，对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线L的对称轴．（2）抛物线L：y＝ax2﹣4ax关于x轴对称的抛物线记为L'，抛物线L'的顶点为M'，若以O、M、A、M'为顶点的四边形是正方形，求L'的表达式．（3）在（2）的条件下，点P在抛物线L上，且位于第四象限，点Q在抛物线L'上，是否存在点P、点Q使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由．8．（2020•泰安二模）如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．（1）试求抛物线解析式；（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．【题组三】9．（2021•铜梁区校级一模）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．与y 轴交于点C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）P是第一象限内的抛物线上一动点，Q为线段PB的中点，求△CPQ面积的最大值时P点坐标：（3）将抛物线沿射线CB方向平移2个单位得新抛物线y'．M为新抛物线y′的顶点．D为新抛物线y'上任意一点，N为x轴上一点．当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N的坐标．并选择一个你喜欢的N点．写出求解过程．10．（2020•烟台模拟）如图，抛物线y＝ax2+43x+c的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），连接AC．点P是x轴上的动点．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作x轴的垂线，交线段AC于点D，E为y轴上一点，连接AE，BE，当AD＝BE时，求AD+AE的最小值；（3）点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．11．（2020•龙城区一模）已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为（﹣1，4），与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），如图．（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得△BCM的周长最小，求出点M的坐标；（3）连结AD、CD，求cos∠ADC的值；（4）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2020•长沙模拟）如图1，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C（0，﹣3），点D为该二次函数图象顶点．（1）求该二次函数解析式，及D点坐标；（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P 的坐标；＝S△AOC，点E为直线AM上一动点，在x轴上是（3）如图2，若M为线段BC上一点，且满足S△AMC否存在点F，使以点F、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由．【题组四】13．（2020•东莞市一模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；（2）若P是线段OB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交BC于点N，设OP＝t时，△BCH的面积为S．求S关于t的函数关系式；若S有最大值，请求出S的最大值，若没有，请说明理由．（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2021•深圳模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，﹣3a），对称轴是直线x＝1，顶点是M．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，满足以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线y＝﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E 三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由．15．（2020•郑州一模）如图，直线y=−23x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+103x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．16.（2021•碑林区校级模拟）如图，抛物线M：y＝ax2+bx+b﹣a经过点（1，﹣3）和（﹣4，12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．（1）求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；（2）若抛物线N：y＝﹣（x﹣h）2+与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．【题组五】17．（2020•东营区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．18．（2020•唐山二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．19．（2020•安定区校级三模）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，−5）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，则点P的坐标为（2，−32）；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2020•高州市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，若点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜3），连接CD、BD、BC、AC，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；（3）若点N为抛物线对称轴上一点，请在图②中探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【题组五】21.（2021•九龙坡区模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PN⊥BC，交BC于点N．（1）求此抛物线的解析式；（2）请用含m的代数式表示PN，并求出PN的最大值以及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+4沿着射线CB的方向平移，使得新抛物线y'过原点，点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，若点E为原抛物线的对称轴上一动点，点F为新抛物线y'上一动点，求点F使得以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标，并写出一个F点的求解过程．22．（2020•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y 轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．（1）如图1，当AC∥x轴时，①已知点A的坐标是（﹣2，1），求抛物线的解析式；②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c．（2）如图2，若b＝﹣2，B B=35，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．23．（2020•遂宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．（2021•滨城区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B（5，0）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝kx+b（k≠0）．（1）求抛物线的解析式．（2）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．（3）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．【题组七】25．（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB 交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；（3）把抛物线y＝x2+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M 的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．26．（2021•凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，AC＝，OB＝OC＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标；（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．27．（2021•武汉）抛物线y＝x2﹣1交x轴于A，B两点（A在B的左边）．（1）▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上；①如图（1），若点C的坐标是（0，3），点E的横坐标是，直接写出点A，D的坐标．②如图（2），若点D在抛物线上，且▱ACDE的面积是12，求点E的坐标．（2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线只有一个公共点，求证：FG+FH的值是定值．28．（2021•广东）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x，都有4x﹣12≤ax2+bx+c ≤2x2﹣8x+6．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．。

专题二二次函数背景下的平行四边形的存在性问题知识梳理平行四边形的存在性问题是分类讨论中的一大难点。

此类题目多在直角坐标平面内，辅以二次函数为背景.一般会根据两个或者三个定点,在某个特定的位置上找另两个顶点或者第四个顶点，这样的顶点往往不止一个,需要仔细考虑解题策略,如:若已知两点构成的线段是平行四边形的一边或者对角线.如何利用平行四边形的性质确定出其他的顶点的位置，否则在分类时就容易漏解.【典型例题】【例1】如图.抛物线y= ax2 +bx+c与y轴正半轴交于点C，与x轴交于点A(1，0)、B (4，0)，∠OCA=∠OBC.(1)求抛物线的解析式;(2)在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点M的坐标.[思路分析]本题在平行四边形分类讨论中已经有三个点是定点,则第四个顶点可利用平行四边形两组对边分别平行的方法去找，AC，AB，BC中任意两边可作为平行四边形的邻边，分别作这两邻边的平行线，它们的交点就是所求的平行四边形的第四个顶点.解：当CA和CB为平行四边形的邻边时，M在第四象限，BH=AO=1,M,=−2所以M3(5, −2)综上所述:M点的坐标为M1(3，2)或M2(−3，2)或M3(5， −2).[点评]M1，M2的坐标相对易求得，而M3的坐标利用平行四边形的性质:对角顶点到对角线距离相等或者三角形全等求得M3的坐标.【例2】如图，抛物线y=ax2+ 2ax+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点(点A和点B分别在x轴的正、负半轴上)，cot∠OCA = 3.(1)求抛物线的解析式;(2)平行于x轴的直线l与抛物线交于点E, F(点F在点E的左边)，如果四边形OBFE是平行四边形,求点E的坐标.[思路分析]由题意得BO不可能是平行四边形的对角线,所以只可能OB = EF =3,又因为EF被对称轴平分,根据对称轴的方程便能求得点E的坐标[点评]本题借助于抛物线的一条重要性质：抛物线关于对称轴对称.因为EF // AB，所以E，F关于对称轴对称,同时线段EF被对称轴垂直平分.【例3】如图,抛物线y= ax2+ bx +3与y轴交于点C,与x轴交于A, B两点，tan∠OCA =1 3S△ABC = 6.(1)求点B的坐标;解：(2)求抛物线的解析式及顶点坐标;(3)若E 点在x 轴上，F 点在抛物线上,如果A, C, E, F 构成平行四边形,写出点E 的坐标。

二次函数与平行四边形存在性问题专题讲义一、知识链接：1・坐标系中的点的平移点P (χ,y)的平移方式平移后点的坐标规律沿X 轴平移向右平移a 个单位长度(X 坦 y)左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变 向左平移a 个单位长度 (×-a√) 沿y 轴平移向上平移b 个单位长度(x,y+b)上下平移，横坐标不变，纵 坐标上加下减向下平移b 个单位长度(χ,y -b) 2・图形的平移：从本质上讲就是图形上点的平移例］：如下图，线段AB 平移得到线段A'B',已知A (-2,2) ,B (-3, -1) B f (3,1)则: 向右平移6个収位长度〃(一 3,-1) 加(3, 1)向上平移2个单位长度例2.在平行四边形ABCD 中，其中已知A (-b O), B (1, -2), C (3, 1),则D 点坐标?向右2个单位长度B (1, -2)C (3,1)向上3个单位长度向右2个单位长度A (-1, 0) D (?,?)向上3个单位长度二、知识迁移ABCD 的顶点坐标分别为A(X I , y l ) B(x 2,y 2)> C(X3*3)、D(Xl ，儿)，已知其中任意3个顶点的坐标，如何确崔第4个顶点的坐标?点/V 的坐标是(2 2» --/—(3, 1)1：OV例3：如图，在平面直角坐标系中,V AB √ CD, AB 二CD∙∙∙边CD 可看成由边BA 向右、向上平移n 个单位长度得到向右平移（X 4-X 1）个唯位总反jΓ）/Y -1,、 向上平移（Nd 个单位鬆 QIK4 Q 4丿向右（.γ3-.v 2）个单位懿（ V -H 、 向上平移（旳-卩；）个单位备3，丿3丿三、对点法即：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐四、典型例题学习例4.如图,平面宜角坐标系中，已知A （-l, O ） ,B （l,-2）,C （3,1）点D 是平而内一动点,若以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形,则点D 的坐标是 ____________________________五、小试牛刀1. 抛物线中的平行四边形存在性问题（“三定一动”）(⅞-^l= ⅞-χ2, 移项：VW!2x 1+x 3=x 2+x 4Fl 勺3=丿2勺4①若点A 与点B 相对, ②若点A 与点D 相对, ③若点A 与点C 相对, 则点D 与点C 相对 则点B 与点C 相对 则点B 与点D 相对-1+1= 3+x 0-2= 1+v（S儿）②点」与点C 相对③点4与点D 相对例5.已知,抛物线y = -x'+x + 2与X 轴的交点为A. B,与y 轴的交点为C,点M 是平而内 一点,判断有几个位置能使以点爪A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形,请写出相应的坐∙∙∙ M (1, -2)或(-3, 2)或(3,2)2. 抛物线中的平行四边形存在性问题(“两定两动”)例6.如图,平而直角坐标系中，y = --X 2 + X 与X 轴相交于点B(4, 0),点Q 在抛物线的对称4轴上,点P 在抛物线上,且以点0、B 、Q 、P 为顶点的四边形是平行四边形,写出相应的点P 的坐标.思路点拨：此题与上一题方法一样，但需设出两动点坐标设点 P ( m , --Iii 1 +m ) , Q (2, a) 4下而请您自己列出方程并解答：1 O变式题：1•如图,平而直角坐标系中.y = -√+x -4与y 轴相交于点B(0,-4)t 点P 是抛物2线上的动点,点Q 是直线y = -X 上的动点,判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四 边形为平行四边形,写岀相应的点Q 的坐标・思路点拨：先求出A (-1,0) B (2,0) C (0,2) 设点M(X f y)①点A 与点B 相对.-l+2=0+x0 ÷ 0 = 2 + V ②点A 与点C 相对鳥雷;③点A 与点M 相对 ∫-l + x = 2 + 0[θ + y = 0 + 2BX变试题:2.如图,平而直角坐标中，y = X 2-2X -3⅛X 轴相交于点A(-l, 0),点C 的坐标是(2, -3),点P 抛物线上的动点,点Q 是X 轴上的动点,判断有几个位置能使以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形,写岀相应的点Q 的坐标.六、方法分享二次函数综合问题中，平行四边形的存在性问题，无论是“三定 一动”，还是“两定两动”，甚至是“四动”问题，能够一招制胜的 方法就是“对点法”，需要分三种情况，得出三个方程组求解。

中考数学二次函数与几何综合之平行四边形的存在性问题
《学习目标分解》
1.熟练掌握二次函数图象和性质；
2.掌握二次函数与几何综合问题的处理方法．
《重难点分析》
1.二次函数图象和性质的综合应用；
2.二次函数与几何问题的综合处理；
3.二次函数与新定义问题的处理．
《专题热点精准分析》
二次函数与几何综合问题
1.二次函数与几何图形的面积问题
二次函数与几何图形的面积问题一般是利用面积公式表达出图形的面积函数关系式
－－一般是二次函数的表达式，再利用函数的解析式的特点求面积的最值问题；此外还会涉及到面积相等、给出面积的值等问题，其核心处理方法都是表示出面积的表达式，再去研究相关的性质。

2.二次函数与等腰三角形
在二次函数的图象中研究等腰三角形的问题，需要注意分类讨论思想的应用，找准顶角与底角是分类讨论的关键，借助等腰三角形的等边对等角、等角对等边、三线合一等性质来转化已知条件是常用的处理手段。

3.二次函数与直角三角形
在二次函数的图象中研究直角三角形的问题，需要注意分类讨论思想的应用，找准直角顶点是分类讨论的关键，借助直角三角形的勾股定理，两锐角互补等性质来转化已知条件是常用的处理手段。

4.二次函数平行四边形
在二次函数的图象中研究平行四边形的问题常会用到平行四边形的一些性质之间的
转化，同时此类问题也会涉及到矩形、菱形、正方形的确定，其
分析思想是互通的。

5.二次函数与线段和、差的最值问题
在二次函数的图象中研究线段的和、差最值问题，一般会用到初二所学的将军饮马问题的思想，其本质一般是三点共线问题。