初三数学-2018年江苏中考二次函数 最新

二次函数2018最新中考试题一．选择题（共50小题）1．抛物线y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）2．四位同学在研究函数y=x2+b x+c（b，c是常数）时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+b x+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁3．下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．经过原点D．在对称轴右侧部分是下降的4．用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y=（x﹣4）2+7B．y=（x﹣4）2﹣25C．y=（x+4）2+7D．y=（x+4）2﹣255．已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（）A．3或6B．1或6C．1或3D．4或66．已知二次函数y=a x2+2a x+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x 的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（）A．1或﹣2B．或C．D．17．已知二次函数y=a x2+b x+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（）试卷第2页，总2页※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A ．B ．C ．D ．8．如图，若二次函数y =a x 2+b x +c （a ≠0）图象的对称轴为x =1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、点B （﹣1，0），则①二次函数的最大值为a +b +c ；②a ﹣b +c ＜0；③b 2﹣4a c ＜0；④当y ＞0时，﹣1＜x ＜3，其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）满足函数表达式h =﹣t 2+24t +1．则下列说法中正确的是（）A ．点火后9s 和点火后13s 的升空高度相同B ．点火后24s 火箭落于地面C ．点火后10s 的升空高度为139mD ．火箭升空的最大高度为145m10．关于二次函数y =2x 2+4x ﹣1，下列说法正确的是（）A ．图象与y 轴的交点坐标为（0，1）B ．图象的对称轴在y 轴的右侧C ．当x ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小D ．y 的最小值为﹣311．如图是二次函数y =a x 2+b x +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x =1．对于下列说法：①a b ＜0；②2a +b =0；③3a +c ＞0；④a +b ≥m （a m +b ）（m为实数）；⑤当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，其中正确的是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤12．抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（）A．（﹣2，5）B．（﹣2，﹣5）C．（2，5）D．（2，﹣5）13．如图，二次函数y=a x2+b x的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（）A．B．C．D．14．如图，二次函数y=a x2+b x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：①a b c＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣＜a＜﹣．其中正确结论有（）试卷第2页，总2页※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．如图，二次函数y =a x 2+b x +c 的图象经过点A （﹣1，0）、点B （3，0）、点C （4，y 1），若点D （x 2，y 2）是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数y =a x 2+b x +c 的最小值为﹣4a ；②若﹣1≤x 2≤4，则0≤y 2≤5a ；③若y 2＞y 1，则x 2＞4；④一元二次方程c x 2+b x +a =0的两个根为﹣1和其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．416．已知一次函数y =x +c 的图象如图，则二次函数y =a x 2+b x +c 在平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．17．对于题目“一段抛物线L ：y =﹣x （x ﹣3）+c （0≤x ≤3）与直线l ：y =x +2有唯一公共点，若c 为整数，确定所有c 的值，”甲的结果是c =1，乙的结果是c=3或4，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确18．已知抛物线y=a x2+b x+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（﹣1，0），（0，3），其对称轴在y轴右侧．有下列结论：①抛物线经过点（1，0）；②方程a x2+b x+c=2有两个不相等的实数根；③﹣3＜a+b＜3其中，正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．319．对于抛物线y=a x2+（2a﹣1）x+a﹣3，当x=1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限20．抛物线y=a x2+b x+c的对称轴为直线x=﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①a b c＞0；②b2﹣4a c＞0；③9a﹣3b+c=0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a﹣2b+c＜0．其中正确的个数有（）A．2B．3C．4D．5试卷第2页，总2页※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………21．如图，函数y =a x 2﹣2x +1和y =a x ﹣a （a 是常数，且a ≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．22．抛物线y =a x 2+b x +c （a ≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（）A ．a b c ＜0B ．a +c ＜bC ．b 2+8a ＞4a cD ．2a +b ＞023．如图，抛物线y =a x 2+b x +c 与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标（1，n ）与y 轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①3a +b ＜0；②﹣1≤a ≤﹣；③对于任意实数m ，a +b ≥a m 2+b m总成立；④关于x 的方程a x 2+b x +c =n ﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个24．二次函数y =a x 2+b x +c （a ≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a ），下列结论：①4a +2b +c ＞0；②5a ﹣b +c =0；③若方程a （x +5）（x ﹣1）=﹣1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则﹣5＜x 1＜x 2＜1；④若方程|a x 2+b x +c |=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个25．如图是二次函数y=a x2+b x+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（）A．b2＜4a cB．a c＞0C．2a﹣b=0D．a﹣b+c=026．在平面直角坐标系x O y中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y=a x2﹣x+2（a≠0）与线段M N有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．a≤﹣1或≤a＜B．≤a＜C．a≤或a＞D．a≤﹣1或a≥27．已知二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（）A．m≤5B．m≥2C．m＜5D．m＞228．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x （单位：m）近似满足函数关系y=a x2+b x+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）试卷第2页，总2页※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A ．10mB ．15mC ．20mD ．22.5m29．已知坐标平面上有一直线L ，其方程式为y +2=0，且L 与二次函数y =3x 2+a 的图形相交于A ，B 两点：与二次函数y =﹣2x 2+b 的图形相交于C ，D两点，其中a 、b 为整数．若A B =2，C D =4．则a +b 之值为何？（）A ．1B ．9C ．16D ．2430．当a ≤x ≤a +1时，函数y =x 2﹣2x +1的最小值为1，则a 的值为（）A ．﹣1B ．2C ．0或2D ．﹣1或231．若对于任意非零实数a ，抛物线y =a x 2+a x ﹣2a 总不经过点P （x 0﹣3，x 02﹣16），则符合条件的点P （）A ．有且只有1个B ．有且只有2个C ．有且只有3个D ．有无穷多个32．已知二次函数y =a x 2+b x +c 的图象如图所示，O A =O C ，则由抛物线的特征写出如下含有a 、b 、c 三个字母的等式或不等式：①=﹣1；②a c +b +1=0；③a b c ＞0；④a ﹣b +c ＞0．其中正确的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个33．二次函数y =a x 2+b x +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论正确是（）A ．a b c ＞0B．2a+b＜0C．3a+c＜0D．a x2+b x+c﹣3=0有两个不相等的实数根34．已知二次函数y=a x2+b x+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①a b c＜0；②b2﹣4a c＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个35．如图，二次函数y=a x2+b x+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0），下列结论：①a b＜0，②b2＞4，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0．其中正确结论的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个36．对于函数y=5x2，下列结论正确的是（）A．y随x的增大而增大B．图象开口向下C．图象关于y轴对称D．无论x取何值，y的值总是正的37．已知关于x的二次函数y=x2﹣2x﹣2，当a≤x≤a+2时，函数有最大值1，则a的值为（）A．﹣1或1B．1或﹣3C．﹣1或3D．3或﹣338．抛物线y=（x﹣1）2+3（）A．有最大值1B．有最小值1C．有最大值3D．有最小值339．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每试卷第2页，总2页※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为（）A ．y =（x ﹣40）（500﹣10x ）B ．y =（x ﹣40）（10x ﹣500）C ．y =（x ﹣40）[500﹣10（x ﹣50）]D ．y =（x ﹣40）[500﹣10（50﹣x ）]40．小明从右边的二次函数y =a x 2+b x +c 图象中，观察得出了下面的五条信息：①a ＜0，②c =0，③函数的最小值为﹣3，④当x ＜0时，y ＞0，⑤当0＜x 1＜x 2＜2时，y 1＞y 2，⑥对称轴是直线x =2．你认为其中正确的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．541．下列函数中，二次函数是（）A ．y =﹣4x +5B ．y =x （2x ﹣3）C ．y =（x +4）2﹣x 2D ．y =42．若二次函数y =（a ﹣1）x 2+3x +a 2﹣1的图象经过原点，则a 的值必为（）A ．1或﹣1B ．1C ．﹣1D ．043．下列函数中，y 关于x 的二次函数是（）A ．y =a x 2+b x +cB ．y =x （x ﹣1）C ．D ．y =（x ﹣1）2﹣x244．已知二次函数y =a x 2+b x +c 的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（）A ．a ＞0B ．b ＜0C ．c ＜0D ．b +2a ＞045．已知二次函数的图象（0≤x ≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值2，有最小值﹣2.5B．有最大值2，有最小值1.5C．有最大值1.5，有最小值﹣2.5D．有最大值2，无最小值46．如图，已知二次函数y=a x2+b x+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①a b c＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（a m+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（）A．①②③B．①③④C．③④⑤D．②③⑤47．已知二次函数y=x2﹣5x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（）A．（﹣1，0）B．（4，0）C．（5，0）D．（﹣6，0）48．已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，并且a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）=3的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（）A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b49．若二次函数y=x2+2x+k b+1图象与x轴有两个交点，则一次函数y=k x+b 的大致图象可能是（）※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A ．B ．C ．D ．50．定义运算“※”为：a ※b =，如：1※（﹣2）=﹣1×（﹣2）2=﹣4．则函数y =2※x 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二次函数2018最新中考试题参考答案与试题解析一．选择题（共50小题）1．抛物线y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【分析】已知抛物线顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．【解答】解：∵抛物线y=3（x﹣1）2+1是顶点式，∴顶点坐标是（1，1）．故选A．【点评】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．2．四位同学在研究函数y=x2+b x+c（b，c是常数）时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+b x+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】假设两位同学的结论正确，用其去验证另外两个同学的结论，只要找出一个正确一个错误，即可得出结论（本题选择的甲和丙，利用顶点坐标求出b、c的值，然后利用二次函数图象上点的坐标特征验证乙和丁的结论）．【解答】解：假设甲和丙的结论正确，则，解得：，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+4．当x=﹣1时，y=x2﹣2x+4=7，∴乙的结论不正确；当x=2时，y=x2﹣2x+4=4，∴丁的结论正确．∵四位同学中只有一位发现的结论是错误的，∴假设成立．故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质求出b、c值是解题的关键．3．下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．经过原点D．在对称轴右侧部分是下降的【分析】A、由a=1＞0，可得出抛物线开口向上，选项A不正确；B、根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；C、代入x=0求出y值，由此可得出抛物线经过原点，选项C正确；D、由a=1＞0及抛物线对称轴为直线x=，利用二次函数的性质，可得出当x＞时，y随x值的增大而减小，选的D不正确．综上即可得出结论．【解答】解：A、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；B、∵﹣=，∴抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；C、当x=0时，y=x2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C正确；D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x=，∴当x＞时，y随x值的增大而减小，选的D不正确．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，利用二次函数的性质逐一分析四个选项的正误是解题的关键．4．用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y=（x﹣4）2+7B．y=（x﹣4）2﹣25C．y=（x+4）2+7D．y=（x+4）2﹣25【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．【解答】解：y=x2﹣8x﹣9=x2﹣8x+16﹣25=（x﹣4）2﹣25．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．5．已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（）A．3或6B．1或6C．1或3D．4或6【分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．【解答】解：当h＜2时，有﹣（2﹣h）2=﹣1，解得：h1=1，h2=3（舍去）；当2≤h≤5时，y=﹣（x﹣h）2的最大值为0，不符合题意；当h＞5时，有﹣（5﹣h）2=﹣1，解得：h3=4（舍去），h4=6．综上所述：h的值为1或6．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h＜2、2≤h ≤5和h＞5三种情况求出h值是解题的关键．6．已知二次函数y=a x2+2a x+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x 的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（）A．1或﹣2B．或C．D．1【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a．【解答】解：∵二次函数y=a x2+2a x+3a2+3（其中x是自变量），∴对称轴是直线x=﹣=﹣1，∵当x≥2时，y随x的增大而增大，∴a＞0，∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9，∴3a2+3a﹣6=0，∴a=1，或a=﹣2（不合题意舍去）．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=a x2+b x+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=a x2+b x+c（a ≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=a x2+b x+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a ＜0时，抛物线y=a x2+b x+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．7．已知二次函数y=a x2+b x+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（）A．B．C．D．【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴在直线x=1的右侧得到b＜0，b＜﹣2a，即b+2a＜0，利用抛物线与y轴交点在x轴下方得到c＜0，也可判断a b c＞0，利用抛物线与x轴有2个交点可判断b2﹣4a c＞0，利用x=1可判断a+b+c＜0，利用上述结论可对各选项进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在直线x=1的右侧，∴x=﹣＞1，∴b＜0，b＜﹣2a，即b+2a＜0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∴a b c＞0，∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4a c＞0，∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2﹣4a c＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4a c=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4a c＜0时，抛物线与x轴没有交点．8．如图，若二次函数y=a x2+b x+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4a c＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案．【解答】解：①∵二次函数y=a x2+b x+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；②当x=﹣1时，a﹣b+c=0，故②错误；③图象与x轴有2个交点，故b2﹣4a c＞0，故③错误；④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），∴A（3，0），故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键．9．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h=﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（）A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同B．点火后24s火箭落于地面C．点火后10s的升空高度为139mD．火箭升空的最大高度为145m【分析】分别求出t=9、13、24、10时h的值可判断A、B、C三个选项，将解析式配方成顶点式可判断D选项．【解答】解：A、当t=9时，h=136；当t=13时，h=144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同，此选项错误；B、当t=24时h=1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误；C、当t=10时h=141m，此选项错误；D、由h=﹣t2+24t+1=﹣（t﹣12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．10．关于二次函数y=2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小D．y的最小值为﹣3【分析】根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．【解答】解：∵y=2x2+4x﹣1=2（x+1）2﹣3，∴当x=0时，y=﹣1，故选项A错误，该函数的对称轴是直线x=﹣1，故选项B错误，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，当x=﹣1时，y取得最小值，此时y=﹣3，故选项D正确，故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．11．如图是二次函数y=a x2+b x+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①a b＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（a m+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b=0；当x=﹣1时，y=a﹣b+c；然后由图象确定当x取何值时，y＞0．【解答】解：①∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴a b＜0，故正确；②∵对称轴x=﹣=1，∴2a+b=0；故正确；③∵2a+b=0，∴b=﹣2a，∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故错误；④根据图示知，当m=1时，有最大值；当m≠1时，有a m2+b m+c≤a+b+c，所以a+b≥m（a m+b）（m为实数）．故正确．⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故错误．故选：A．【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即a b＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即a b＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．12．抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（）A．（﹣2，5）B．（﹣2，﹣5）C．（2，5）D．（2，﹣5）【分析】根据二次函数的性质y=a（x+h）2+k的顶点坐标是（﹣h，k）即可求解．【解答】解：抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标为（2，5），故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质，正确记忆y=a（x+h）2+k的顶点坐标是（﹣h，k）（a≠0）是关键．13．如图，二次函数y=a x2+b x的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a﹣b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．【解答】解：由二次函数的图象可知，a＜0，b＜0，当x=﹣1时，y=a﹣b＜0，∴y=（a﹣b）x+b的图象在第二、三、四象限，故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．14．如图，二次函数y=a x2+b x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：①a b c＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣＜a＜﹣．其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【解答】解：①由开口可知：a＜0，∴对称轴x=＞0，∴b＞0，由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，∴a b c＜0，故①正确；②∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为x=2，∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），∴x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，故②正确；③由于＜2，且（，y2）关于直线x=2的对称点的坐标为（，y2），∵，∴y1＜y2，故③正确，④∵=2，∴b=﹣4a，∵x=﹣1，y=0，∴a﹣b+c=0，∴c=﹣5a，∵2＜c＜3，∴2＜﹣5a＜3，∴﹣＜a＜﹣，故④正确故选：D．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．15．如图，二次函数y=a x2+b x+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数y=a x2+b x+c的最小值为﹣4a；②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；③若y2＞y1，则x2＞4；④一元二次方程c x2+b x+a=0的两个根为﹣1和其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用交点式写出抛物线解析式为y=a x2﹣2a x﹣3a，配成顶点式得y=a （x﹣1）2﹣4a，则可对①进行判断；计算x=4时，y=a•5•1=5a，则根据二次函数的性质可对②进行判断；利用对称性和二次函数的性质可对③进行判断；由于b=﹣2a，c=﹣3a，则方程c x2+b x+a=0化为﹣3a x2﹣2a x+a=0，然后解方程可对④进行判断．【解答】解：抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=a x2﹣2a x﹣3a，∵y=a（x﹣1）2﹣4a，∴当x=1时，二次函数有最小值﹣4a，所以①正确；当x=4时，y=a•5•1=5a，∴当﹣1≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，所以②错误；∵点C（1，5a）关于直线x=1的对称点为（﹣2，﹣5a），∴当y2＞y1，则x2＞4或x＜﹣2，所以③错误；∵b=﹣2a，c=﹣3a，∴方程c x2+b x+a=0化为﹣3a x2﹣2a x+a=0，整理得3x2+2x﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=，所以④正确．故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=a x2+b x+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．16．已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=a x2+b x+c在平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据一次函数图象经过的象限，即可得出＜0、c＞0，由此即可得出：二次函数y=a x2+b x+c的图象对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．【解答】解：观察函数图象可知：＜0、c＞0，∴二次函数y=a x2+b x+c的图象对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴．故选：A．【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据一次函数图象经过的象限，找出＜0、c＞0是解题的关键．17．对于题目“一段抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确【分析】两函数组成一个方程组，得出一个方程，求出方程中的△=﹣4+4c=0，求出即可．【解答】解：把y=x+2代入y=﹣x（x﹣3）+c得：x+2=﹣x（x﹣3）+c，即x2﹣2x+2﹣c=0，所以△=（﹣2）2﹣4×1×（2﹣c）=﹣4+4c=0，解得：c=1，所以甲的结果正确；故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式等知识点，能得出一个关于x的一元二次方程是解此题的关键．18．已知抛物线y=a x2+b x+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（﹣1，0），（0，3），其对称轴在y轴右侧．有下列结论：①抛物线经过点（1，0）；②方程a x2+b x+c=2有两个不相等的实数根；③﹣3＜a+b＜3其中，正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】①由抛物线过点（﹣1，0），对称轴在y轴右侧，即可得出当x=1时y＞0，结论①错误；②过点（0，2）作x轴的平行线，由该直线与抛物线有两个交点，可得出方程a x2+b x+c=2有两个不相等的实数根，结论②正确；③由当x=1时y＞0，可得出a+b＞﹣c，由抛物线与y轴交于点（0，3）可得出c=3，进而即可得出a+b＞﹣3，由抛物线过点（﹣1，0）可得出a+b=2a+c，结合a＜0、c=3可得出a+b＜3，综上可得出﹣3＜a+b＜3，结论③正确．此题得解．【解答】解：①∵抛物线过点（﹣1，0），对称轴在y轴右侧，∴当x=1时y＞0，结论①错误；②过点（0，2）作x轴的平行线，如图所示．∵该直线与抛物线有两个交点，∴方程a x2+b x+c=2有两个不相等的实数根，结论②正确；③∵当x=1时y=a+b+c＞0，∴a+b＞﹣c．∵抛物线y=a x2+b x+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（0，3），∴c=3，∴a+b＞﹣3．∵当a=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，∴b=a+c，∴a+b=2a+c．∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴a+b＜c=3，∴﹣3＜a+b＜3，结论③正确．故选：C．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．19．对于抛物线y=a x2+（2a﹣1）x+a﹣3，当x=1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把x=1代入解析式，根据y＞0，得出关于a的不等式，得出a的取值范围后，利用二次函数的性质解答即可．【解答】解：把x=1，y＞0代入解析式可得：a+2a﹣1+a﹣3＞0，解得：a＞1，所以可得：﹣，，所以这条抛物线的顶点一定在第三象限，故选：C．【点评】此题考查抛物线与x轴的交点，关键是得出a的取值范围，利用二次函数的性质解答．20．抛物线y=a x2+b x+c的对称轴为直线x=﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①a b c＞0；②b2﹣4a c＞0；③9a﹣3b+c=0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a﹣2b+c＜0．其中正确的个数有（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据二次函数的性质一一判断即可．【解答】解：∵抛物线对称轴x=﹣1，经过（1，0），∴﹣=﹣1，a+b+c=0，∴b=2a，c=﹣3a，∵a＞0，∴b＞0，c＜0，∴a b c＜0，故①错误，∵抛物线与x轴有交点，∴b2﹣4a c＞0，故②正确，∵抛物线与x轴交于（﹣3，0），∴9a﹣3b+c=0，故③正确，∵点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，﹣1.5＞﹣2，则y1＜y2；故④错误，∵5a﹣2b+c=5a﹣4a﹣3a=﹣2a＜0，故⑤正确，故选：B．【点评】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．如图，函数y=a x2﹣2x+1和y=a x﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．【解答】解：A、由一次函数y=a x﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=a x2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数y=a x﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=a x2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，故选项正确；C、由一次函数y=a x﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=a x2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；D、由一次函数y=a x﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=a x2﹣2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．故选：B．【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=a x﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．22．抛物线y=a x2+b x+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（）A．a b c＜0B．a+c＜b C．b2+8a＞4a c D．2a+b＞0【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【解答】解：（A）由图象开口可知：a＜0由对称轴可知：＞0，∴b＞0，∴由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，∴a b c＜0，故A正确；（B）由图象可知：x=﹣1，y＜0，∴y=a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故B正确；（C）由图象可知：顶点的纵坐标大于2，∴＞2，a＜0，∴4a c﹣b2＜8a，∴b2+8a＞4a c，故C正确；（D）对称轴x=＜1，a＜0，∴2a+b＜0，故D错误；故选：D．【点评】本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是正确理解二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于中等题型．23．如图，抛物线y=a x2+b x+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣；③对于任意实数m，a+b≥a m2+b m总成立；④关于x的方程a x2+b x+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，再由抛物线的对称轴方程得到b=﹣2a，则3a+b=a，于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c=﹣3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y=a x2+b x+c与直线y=n﹣1有两个交点可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，而抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，所以①正确；∵2≤c≤3，而c=﹣3a，∴2≤﹣3a≤3，∴﹣1≤a≤﹣，所以②正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴x=1时，二次函数值有最大值n，∴a+b+c≥a m2+b m+c，即a+b≥a m2+b m，所以③正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴抛物线y=a x2+b x+c与直线y=n﹣1有两个交点，∴关于x的方程a x2+b x+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别。

中考数学真题汇编:二次函数一、选择题1.给出以下函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y 随自变量x增大而增大“的是（）A. ①③B. ③④C. ②④D. ②③【答案】B2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】B3.关于二次函数，以下说法正确的选项是（）A. 图像与轴的交点坐标为B. 图像的对称轴在轴的右边C. 当时，的值随值的增大而减小D. 的最小值为-3【答案】D4.二次函数的图像如下图，以下结论正确是( )A. B. C. D. 有两个不相等的实数根【答案】C5.假设抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，取得的抛物线过点( )A. B. C. D.【答案】B6.假设抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。

已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，取得的抛物线过点（）A. （-3，-6）B. （-3，0）C. （-3，-5）D. （-3，-1）【答案】B7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时刻t（s）知足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．那么以下说法中正确的选项是（）A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同B. 点火后24s火箭落于地面C. 点火后10s的升空高度为139mD. 火箭升空的最大高度为145m【答案】D8.如图，假设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），那么①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部份，与轴的交点在点和之间，对称轴是.关于以下说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，其中正确的选项是（）A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤【答案】A10.如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且通过第三象限的点P．假设点P的横坐标为-1，那么一次函数y=（a-b）x+b的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D11.四位同窗在研究函数（b，c是常数）时，甲发觉当时，函数有最小值；乙发觉是方程的一个根；丙发觉函数的最小值为3；丁发觉当时，．已知这四位同窗中只有一名发觉的结论是错误的，那么该同窗是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B12.如下图,△DEF中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B是斜边DF上一动点,过B作AB⊥DF于B,交边DE(或边EF)于点A,设BD=x,△ABD的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为（）A. （B.C. D. （【答案】B二、填空题13.已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）【答案】增大14.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。

2017-2018学年苏科版（新课标）九年级下册5.1 二次函数【学习目标】1. 了解二次函数的有关概念．2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。

3. 确定实际问题中二次函数的关系式。

【学法指导】类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。

【学习过程】一、课前导学：1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。

2. 形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数；二、模仿学习：1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。

分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = .2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________．3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是4.归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。

其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________．三、合作交流：（1）二次项系数a 为什么不等于0？答： 。

（2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？答： .四、当堂练习：1．观察：①26y x =；②235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④32y x x =-；⑤213y x x=-+；⑥()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。

（只填序号）2.2(1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________．3.若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为252s t t =+，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。

2018中考数专题二次函数(共40题)线于点G .(1 )求抛物线 y= - x 2+bx+c 的表达式;(2)连接GB , E0,当四边形GEOB 是平行四边形时，求点 G 的坐标;(3)①在y 轴上存在一点 H ,连接EH , HF ,当点E 运动到什么位置时，以 A , E , 顶点的四边形是矩形？求出此时点 E , H 的坐标;②在①的前提下，以点 E 为圆心，EH 长为半径作圆，点 M 为O E 上一动点，求(x -3)与x 轴交于A , B 两点，与y 轴的正半轴交于点 C,其(1) 写出C, D 两点的坐标(用含 a 的式子表示); (2 )设 & BCD ： Sz\ABD =k ,求 k 的值；(3)当厶BCD 是直角三角形时，求对应抛物线的解析式.1.如图，抛物线 y=- x 2+bx+c 与直线AB 交于A (- 4, - 4) , B (0, 4)两点，直线 -_ x 2-6交y 轴于点C .点E 是直线 AB 上的动点，过点 E 作EF 丄x 轴交AC 于点F , AC: y= 交抛物F ，H 为AM+CM 它 顶点为D .3.如图，直线y=kx+b ( k 、b 为常数)分别与 x 轴、y 轴交于点A (- 4, 0)、B (0, 3),抛 物线y=- X 1 2+2X +1与y 轴交于点 C . (1) 求直线y=kx+b 的函数解析式;(2) 若点P ( X , y )是抛物线y=- X 2+2X +1上的任意一点，设点 P 到直线AB 的距离为d , 求d 关于x 的函数解析式，并求 d 取最小值时点P 的坐标;(3)若点E 在抛物线y=- X 2+2X +1的对称轴上移动，点 F 在直线AB 上移动，求CE+EF 的最1 求此抛物线的解析式以及点 B 的坐标.2 动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 X 轴正方向运动，同时动点 N 从 点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿 y 轴正方向运动，当 N 点到达A 点时，M 、N 同 时停止运动.过动点 M 作X 轴的垂线交线段 AB 于点Q ,交抛物线于点 P ,设运动的时间为 t 秒. ① 当t 为何值时，四边形 OMPN 为矩形.② 当t >0时，△ BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由.(0, 3),与X 正半轴相交于点 B,对称轴是直线X =15.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴分别交于A (- 1, 0), B (5, 0)两点.(1)求抛物线的解析式；(2)在第二象限内取一点C,作CD垂直X轴于点D,链接AC,且AD=5, CD=8,将Rt A ACD 沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；(3)在(2)的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E,点P是抛物线对称轴上一点. 试探究：在抛物线上是否存在点Q,使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.6 .我们知道，经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx (a丰0)表示，对于这样的抛物线：(1 )当抛物线经过点(-2，0)和(-1，3)时，求抛物线的表达式；(2 )当抛物线的顶点在直线y=- 2x上时，求b的值；(3)如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点人、A2、…，A n在直线y=- 2x上，横坐标依次为-1，- 2，- 3，…，-n (n为正整数，且n< 12)，分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1、B2，…，B n，以线段A n B n为边向左作正方形A n B n C n D n，如果这组抛物线中的某一条经过点D n，求此时满足条件的正方形A n B n C n D n的边长.7 .如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 A (- 1, 0),B (4, 0), C( 0,-4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点卩，使厶POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点P运动到什么位置时，△ PBC面积最大，求出此时P点坐标和厶PBC的最大面积.&如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3,若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E 的坐标分别为(3，0)，(0，1).(1)求抛物线的解析式；(2)猜想△ EDB的形状并加以证明；(3)点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.y 丄x+2与x 轴交于点A ,与y 轴交于点C ,抛物线y= -_x 2+bx+c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B (1) 求抛物线的函数表达式;(2 )点D 为直线AC 上方抛物线上一动点;①连接BC CD,设直线BD 交线段AC 于点E, △ CDE 的面积为 0, △ BCE 的面积为 9 , 求^ 的最大值;②过点D 作DF 丄AC,垂足为点F ,连接CD,是否存在点 D ,使得△ CDF 中的某个角恰好等①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程;③若二次函数的图象与 x 轴交于点A ( x i , 0) , B ( x 2, 点M ,以AB 为直径的半圆恰好过点 M ,二次函数的对称轴I与x 轴、直线BM 、直线AM 分 斗丄，求二次函数的表达式.②若c=- 〒b 2-2b ，问：b 为何值时，二次函数的图象与x 轴相切?0),且x i v X 2,与y 轴的正半轴交于 别交于点D 、E 、F ,且满足请说明理由.10 .已知二次函数 y= - x 2+bx+c+1,点Q 在坐标平面内，以线段 MN 为对角线作正方形 MPNQ ，请写出点 12•抛物线 y=ax 2+bx+3 经过点 A (1, 0)和点 B (5, 0). (1) 求该抛物线所对应的函数解析式；(2 )该抛物线与直线 y 二x+3相交于C 、D 两点，点P 是抛物线上的动点且位于 x 轴下方，E直线PM / y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N .① 连结PC PD ,如图1,在点P 运动过程中，△ PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求 出这个最大值；若不存在，说明理由；② 连结PB,过点C 作CQ 丄PM ,垂足为点 Q ,如图2,是否存在点 P,使得△ CNQ 与厶PBM 相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由.\>1iNC,点B 坐标为(6, 0),点C 坐标为(0, 6),点D 是抛物线的顶点，过点 D 作x 轴的垂线,垂足为E,连接BD.当/ FBA=/ BDE 时，求点 F 的坐标; (3) 若点M 是抛物线上的动点，过点 M 作MN // x 轴与抛物线交于点N ，点P 在x 轴上,Q 的坐标. A 和点B ,与y 轴交于点点F 是抛物线上的动点, (2)13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c (a丰0)与y轴交与点C (0, 3)，与x轴交于A、B两点，点B坐标为(4, 0),抛物线的对称轴方程为x=1.(1)求抛物线的解析式；(2)点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S,点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；(3)在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△ MBN为直角三角形？若存在，求出t14•如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A (- 3, 0)，B (- 2，3)，C ( 0, 3 )，其顶点为D.(1)求抛物线的解析式；(2)设点M (1，m)，当MB+MD的值最小时，求m的值；(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△ APC的面积的最大值；(4)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EF// ND 交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由.15•如图，已知二次函数 y=ax 2+bx+c (0)的图象经过 A (- 1, 0 )、B (4, 0)、C (0, 2) 三占 - 八、、♦(1) 求该二次函数的解析式； (2) 点D 是该二次函数图象上的一点，且满足/ DBA=/ CAO (O 是坐标原点)，求点D 的坐标；(3)点P 是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA 分别交BC 、y 轴于点E 、16•如图，抛物线 y=/+bx+c 经过B (- 1 , 0), D (-2, 5)两点，与x 轴另一交点为 A , 点H 是线段AB 上一动点，过点 H 的直线PQ 丄x 轴，分别交直线 AD 、抛物线于点 Q , P . (1) 求抛物线的解析式;(2) 是否存在点P ,使/ APB=90 ,若存在，求出点 P 的横坐标，若不存在，说明理由; (3) 连接BQ , 一动点M 从点B 出发，沿线段BQ 以每秒1个单位的速度运动到 Q ,再沿线 段QD 以每秒一：个单位的速度运动到 D 后停止，当点Q 的坐标是多少时，点M 在整个运动 过程中用时t 最少?9,求Si -住的最大值.17. 如图1，抛物线C i: y=x2+ax与Q：y=- x2+bx相交于点0、C, C i与C2分别交x轴于点B、A,且B为线段A0的中点.(1)求亘的值；b(2 )若0C丄AC,求厶0AC的面积；(3)抛物线C2的对称轴为I，顶点为皿，在(2)的条件下：①点P为抛物线C2对称轴I上一动点，当△ PAC的周长最小时，求点P的坐标;②如图2，点E在抛物线C2上点0与点M之间运动，四边形0BCE的面积是否存在最大值?若存在，求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由18. 如图，已知直角坐标系中，A、B、D三点的坐标分别为A (8, 0) , B ( 0, 4), D (- 1,0),点C与点B关于x轴对称，连接AB、AC.(1)求过A、B、D三点的抛物线的解析式；(2)有一动点E从原点0出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点P,交线段CA于点M,连接PA PB,设点E运动的时间为t ( O V t V 4)秒，求四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；(3)抛物线的对称轴上是否存在一点H,使得△ ABH是直角三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由.19. 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx- 5与x轴交于A (- 1, 0), B( 5,0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D是y轴上的一点，且以B, C, D为顶点的三角形与△ ABC相似，求点D的坐标；(3)如图2, CE// x轴与抛物线相交于点E,点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC, CE分别相交于点F, G,试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；(4)若点K为抛物线的顶点，点M (4, m)是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P, Q,使四边形PQKM的周长最小，求出点P, Q的坐标.20. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c (a* 0)的图象的顶点坐标是(2, 1),并且经过点(4,2),直线ypx+1与抛物线交于B, D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C,圆C与直线m 交于对称轴右侧的点M (t, 1),直线m上每一点的纵坐标都等于1.(1)求抛物线的解析式；(2 )证明：圆C与x轴相切；(3)过点B作BE X m,垂足为E,再过点D作DF丄m,垂足为F,求BE: MF的值.21 •如图1，抛物线y」-/+bx+c经过A (- , 0)、B ( 0,- 2)两点，点C在y轴上,△ ABC为等边三角形，点D从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒(t>0),过点D作DE丄AC于点E,以DE为边作矩形DEGF使点F若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.23 .如图1,点A坐标为(2, 0)，以OA为边在第一象限内作等边△ OAB,点C为x轴上一动点，且在点A右侧，连接BC,以BC为边在第一象限内作等边△ BCD,连接AD交BC于E.如图2,设BC 交抛物线的对称轴于点 F ,作直线CD,点M 是直线CD 上的动点，点N 是平面内一点，当以点 B , F , M , N 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点 M 的坐标.25 .抛物线y=x 3+bx+c 与x 轴交于A (1, 0) , B ( m , 0),与y 轴交于C.如图1，在(1)的条件下，设抛物线的对称轴交x 轴于D ,在对称轴左侧的抛物线上—& ACD,求点E 的坐标；(3) 如图2,设F (- 1, - 4), FG 丄y 于G ,在线段0G 上是否存在点 P ,使/ OBP=/ FPG ? 若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.26. 如图，O M 的圆心M (- 1, 2), O M 经过坐标原点 0,与y 轴交于点A .经过点A 的 一条直线l 解析式为：y=-二x+4与x 轴交于点B ,以M 为顶点的抛物线经过 x 轴上点D( 2,x 轴交于点E ,第四象限的抛物线上有一点卩，将厶EBP 沿直线 EP 折叠，使点B 的对应点 B'落在抛物线的对称轴上，求点P 的坐标;(3) m=- 3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴;如图1,抛物线的对称轴与(2) (1) 若0)和点C (- 4, 0).(1)求抛物线的解析式；(2)求证：直线I是O M的切线；(3)点P为抛物线上一动点，且PE与直线I垂直，垂足为E；PF// y轴，交直线I于点F, 是否存在这样的点卩，使厶PEF的面积最小.若存在，请求出此时点P的坐标及厶PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由.27. 如图，抛物线y=ax"+bx+4交y轴于点A,并经过B (4, 4)和C (6, 0)两点，点D的坐标为(4, 0),连接AD, BC,点E从点A出发，以每秒甘勺个单位长度的速度沿线段AD 向点D运动，到达点D后，以每秒1个单位长度的速度沿射线DC运动，设点E的运动时间为t 秒，过点E作AB的垂线EF交直线AB于点F,以线段EF为斜边向右作等腰直角厶EFG.(1)求抛物线的解析式；(2)当点G落在第一象限内的抛物线上时，求出t的值；(3)设点E从点A出发时，点E, F, G都与点A重合，点E在运动过程中，当△ BCG的面(2)有一点E，使&AC28.抛物线y=ax2+bx+c过A (2, 3), B (4, 3) , C (6,- 5)三点.(2)如图①，抛物线上一点D在线段AC的上方，DE丄AB交AC于点E,若满足斗二一, 求点D的坐标；(3)如图②，F为抛物线顶点，过A作直线I丄AB,若点P在直线I上运动，点Q在x轴上运动，是否存在这样的点P、Q,使得以B P、Q为顶点的三角形与△ ABF相似，若存在，求P、Q的坐标，并求此时△ BPQ的面积；若不存在，请说明理由.29.如图，已知抛物线y=a/+—x+c与x轴交于A, B两点，与y轴交于丁C,且A (2 , 0),5C (0, - 4),直线I: y=-寺x-4与x轴交于点D,点P是抛物线y=ax2^-x+c上的一动点，(1 )试求该抛物线表达式；(2)如图(1),过点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标；(3)如图(2),过点P作PH丄y轴，垂足为H,连接AC.①求证：△ ACD是直角三角形；②试问当P点横坐标为何值时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ ACD相似？30•如图，已知抛物线y=ax2-出ax-9a与坐标轴交于A, B, C三点，其中C ( 0, 3), / BAC的平分线AE交y轴于点D,交BC于点E,过点D的直线I与射线AC, AB分别交于点M , N .(1 )直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴； (2)点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△ PAD 为等腰三角形，求出点 P 的坐标; (3) 证明：当直线I 绕点D 旋转时， + 丄均为定值，并求出该定值.AM AN【操作】将图①中抛物线在 x 轴下方的部分沿x 轴折叠到x 轴上方，将这部分图象与原抛物 线剩余部分的图象组成的新图象记为G ,如图②•直接写出图象 G 对应的函数解析式.【探究】在图②中，过点 B (0, 1)作直线I 平行于x 轴，与图象G 的交点从左至右依次为 点C, D, E , F ,如图③.求图象 G 在直线I 上方的部分对应的函数 y 随x 增大而增大时x 的取值范围.【应用】P 是图③中图象 G 上一点，其横坐标为 m ，连接PD, PE.直接写出厶PDE 的面积32 .如图，在平面直角坐标系中，矩形0ABC 的边0A 、0C 分别在x 轴、y 轴上，点B 坐标为(4, t ) (t >0),二次函数y=x 2+bx (b v 0)的图象经过点 B ,顶点为点D . (1 )当t=12时，顶点D 到x 轴的距离等于 __________ ;(2 )点E 是二次函数y=x 2+bx ( b v 0 )的图象与x 轴的一个公共点(点 E 与点O 不重合)， 求OE?EA 的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；(3)矩形OABC 的对角线OB 、AC 交于点F ,直线I 平行于x 轴，交二次函数y=x 2+bx ( b v 0)31•《函数的图象与性质》拓展学习片段展示： 【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线一个交点为 A ，贝U a= _____ .y=a (x — 2) 2峙经过原点0,与x 轴的另圏① 圏② 图③的图象于点M、N，连接DM、DN,当厶DMN◎△ FOC时，求t的值.y/\OV1P 133.在平面直角坐标系中，直线y=-「x+1交y轴于点B,交x轴于点A,抛物线y=-・x2+bx+c4 2经过点B,与直线y=- x+1交于点C (4,- 2).4(1)求抛物线的解析式；(2)如图，横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上，过点M作ME// y轴交直线BC于点E,以ME为直径的圆交直线BC于另一点D,当点E在x轴上时，求△ DEM的周长.(3)将厶AOB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90°得到△ A1O1B1，点A, O, B的对应点分别是点A1, O1, B1，若△ A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点B两点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=1, D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE丄.(1) 求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2) 求证：直线DE是厶ACD外接圆的切线；(3) 在直线AC上方的抛物线上找一点P,使ACD,求点P的坐标；2(4) 在坐标轴上找一点M，使以点B、C、M为顶点的三角形与△ ACD相似，直接写出点M的坐标.35.如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=- +bx+c的图象与坐标轴交于A, B, C 三点，其中点A的坐标为(-3, 0)，点B的坐标为(4, 0)，连接AC, BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点0出发，在线段0B上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒.连接PQ.(1)填空：b= _______ , c= _______ ;(2)在点P, Q运动过程中，△ APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；(3)在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t ;若不存在，请说明理由；(4)如图②，点N的坐标为(-£, 0)，线段PQ的中点为H,连接NH,当点Q关于直线36. 如图，已知直线y=- x+3与x轴、y轴分别交于A, B两点，抛物线y=- /+bx+c经过A, B两点，点P在线段0A上，从点0出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒.个单位的速度匀速运动，连接PQ,设运动时间为t秒.(1)求抛物线的解析式；(2)问：当t为何值时，△ APQ为直角三角形；(3)过点P作PE// y轴，交AB于点E,过点Q作QF// y轴，交抛物线于点F,连接EF,当EF// PQ时，求点F的坐标；(4)设抛物线顶点为M，连接BP, BM, MQ，问：是否存在t的值，使以B, Q, M为顶点的三角形与以O, B, P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说37. 如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B, C,经过B, C两点的抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的另一交点为A,顶点为P,且对称轴是直线x=2.(1)求该抛物线的函数表达式；(2)请问在抛物线上是否存在点Q,使得以点B, C, Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)过S(0, 4)的动直线l交抛物线于M , N两点，试问抛物线上是否存在定点T,使得不过定点T的任意直线I都有/ MTN=90 ?若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明(1 )直接写出抛物线C1的对称轴是，用含a的代数式表示顶点P的坐标=ax2+2ax (a>0)与x轴交于点A,顶点为点P.(2 )把抛物线C1绕点M (m , 0)旋转180。

§3.3二次函数一、选择题1．(原创题)函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是() A．k<3 B．k<3且k≠0C．k≤3且k≠0 D．k≤3解析当k＝0时，y＝－6x＋3的图象与x轴有交点；当k≠0时，令y＝kx2－6x＋3＝0，∵y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，∴Δ＝36－12k≥0，∴k≤3.综上，k的取值范围为k≤3.答案 D2．(原创题)抛物线y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)的对称轴是直线() A．x＝1 B．x＝－1C．x＝－3 D．x＝3解析∵－1，3是方程a(x＋1)(x－3)＝0的两根，∴抛物线y＝a(x＋1)(x－3)与x轴交点横坐标是－1，3.∵这两个点关于对称轴对称，∴对称轴是x＝－1＋32＝1.答案 A3．(原创题)已知抛物线y＝x2－x－2与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2－m＋2 013的值为() A．2 013 B．2 014C．2 015 D．2 016解析把(m，0)代入y＝x2－x－2，得m2－m－2＝0，即m2－m＝2.∴m2－m ＋2 013＝2＋2 013＝2 015.故选C.答案 C4．(改编题)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是( ) A ．－1<x <5 B ．x >5 C ．x <－1且x >5D ．x <－1或x >5解析 由图象可知，抛物线与x 轴的一个交点为(5，0)，对称轴是x ＝2，根据抛物线的对称性可知抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(－1，0)．由图象看出当－1＜x ＜5时，函数图象在x 轴上方，所以不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是－1＜x ＜5.故选A. 答案 A5．(改编题)已知A (2，y 1)，B (3，y 2)，C (0，y 3)在二次函数y ＝ax 2＋c (a ＞0)的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是( )A ．y 3＜y 2＜y 1B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＜y 1＜y 3D. y 3＜y 1＜y 2解析 由题意可知，当x ≥0时，y 随x 的增大而增大．∵0＜2＜3，∴y 3＜y 1＜y 2. 答案 D 二、填空题6．(原创题)若二次函数y ＝x 2－2x ＋c 有最小值6，则c 的值为________． 解析 ∵y ＝x 2－2x ＋c ＝(x －1)2－1＋c ，∴－1＋c ＝6，解得c ＝7. 答案 77．(原创题)已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴的两个交点的横坐标分别是m ，n ，则m 2n ＋mn 2＝________．解析 由题意，得m ，n 是－x 2－2x ＋3＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系得m ＋n ＝－2，mn ＝－3.∴m 2n ＋mn 2＝mn (m ＋n )＝－3×(－2)＝6. 答案 68. (原创题)已知二次函数y ＝－23x 2－43x ＋2的图象与x 轴分别交于A ，B 两点(如图所示)，与y 轴交于点C ，点P 是其对称轴上一动点，当PB ＋PC 取得最小值时，点P 的坐标为________．解析 连结AC 交对称轴于P ，则此时PB ＋PC 有最小值．把x ＝0代入y ＝ －23x 2－43x ＋2，得y ＝2，即OC ＝2.把y ＝0代入y ＝－23x 2－43x ＋2，得x 1＝1，x 2＝－3，即OA ＝3，OB ＝1.∵y ＝－23x 2－43x ＋2＝－23(x ＋1)2＋83，∴抛物线的对称轴是x ＝－1.设对称轴与x 轴的交点为D ，则OD ＝1.由△ADP ∽△AOC 可得23＝DP 2，解得DP ＝43.∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，43.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，43三、解答题9．(原创题)如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (3，0)，B (1，0)，交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动(点P 不与A 重合)，过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D .(1)求抛物线的解析式；(2)求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值；(3)△APD 能否构成直角三角形？若能请直接写出点P 坐标，若不能请说明理由；(4)在抛物线对称轴上是否存在点M 使|MA －MC |最大？若存在，请求出点M 的坐标，若不存在请说明理由．解 (1)把点A (3，0)和点B (1，0)代入抛物线y ＝x 2＋bx ＋c ， 得：⎩⎨⎧9＋3b ＋c ＝0，1＋b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝3.∴y ＝x 2－4x ＋3.(2)把x ＝0代入y ＝x 2－4x ＋3，得y ＝3.∴C (0，3)． 又∵A (3，0)，设直线AC 的解析式为：y ＝kx ＋m ，把点A ，C 的坐标代入得：⎩⎨⎧m ＝3，k ＝－1.∴直线AC 的解析式为：y ＝－x ＋3. PD ＝－x ＋3－(x 2－4x ＋3) ＝－x 2＋3x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94.∵0<x <3，∴x ＝32时，PD 最大为94.即点P 在运动的过程中，线段PD 长度的最大值为94. (3)∵PD 与y 轴平行，且点A 在x 轴上，∴要使△APD 为直角三角形，只有当点P 运动到点B 时，此时点P 的坐标为：(1，0)．(4)∵点A ，B 关于抛物线的对称轴对称，∴作直线CB ，交抛物线的对称轴于点M ，则此时点M 即为使得|MA －MC |最大的点，∴|MA －MC |＝|MC －MB |＝BC . ∵B (1，0)，C (0，3)，∴设BC 的解析式为y ＝k ′x ＋n ，则⎩⎨⎧k ′＋n ＝0，n ＝3.∴⎩⎨⎧k ′＝－3，n ＝3.即y ＝－3x ＋3.当x ＝2时，y ＝－3.∴M (2，－3)．。

2018中考数学真题汇编:二次函数试题1-8页+试题答案8-25页一、选择题1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y 随自变量x增大而增大“的是（）A. ①③B. ③④C. ②④D. ②③2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A. B.C. D.3.关于二次函数，下列说法正确的是（）A. 图像与轴的交点坐标为B. 图像的对称轴在轴的右侧C. 当时，的值随值的增大而减小D. 的最小值为-34.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( )A. B.C. D. 有两个不相等的实数根5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )A. B.C. D.6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。

已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A. （-3，-6）B. （-3，0）C. （-3，-5）D. （-3，-1）7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（）A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同B. 点火后24s火箭落于地面C. 点火后10s的升空高度为139mD. 火箭升空的最大高度为145m8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 49.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，其中正确的是（）A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤10.如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为-1，则一次函数y=（a-b）x+b的图象大致是（）A. B. C. D.11.四位同学在研究函数（b，c是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当时，．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁12.如图所示,△DEF中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B是斜边DF上一动点,过B作AB⊥DF于B,交边DE(或边EF)于点A,设BD=x,△ABD的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为（）A. B.C. D.二、填空题13.已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）14.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。

二次函数一、选择题1．（2018•山东枣庄•3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（）A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b=0 D．a﹣b+c=0【分析】根据抛物线与x轴有两个交点有b2﹣4ac＞0可对A进行判断；由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称轴是x=1对C选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c=0，则可对D选项进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴ac＜0，所以B选项错误；∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，∴﹣=1，∴2a+b=0，所以C选项错误；∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，所以D选项正确；故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．2．（2018•四川成都•3分）关于二次函数，下列说法正确的是（）A. 图像与轴的交点坐标为B. 图像的对称轴在轴的右侧C. 当时，的值随值的增大而减小D. 的最小值为-3【答案】D【考点】二次函数的性质，二次函数的最值【解析】【解答】解：A、当x=0时，y=-1，图像与轴的交点坐标为（0，-1），因此A不符合题意；B、对称轴为直线x=-1，对称轴再y轴的左侧，因此B不符合题意；C、当x＜-1时y的值随值的增大而减小，当-1＜x＜0时，y随x的增大而增大，因此C不符合题意；D、 a=2＞0，当x=-1时,y的最小值=2-4-1=-3，因此D符合题意；故答案为：D【分析】求出抛物线与y轴的交点坐标，可对A作出判断；求出抛物线的对称轴，可对B作出判断；根据二次函数的增减性，可对C作出判断；求出抛物线的顶点坐标，可对D作出判断；即可得出答案。

2018年全国中考数学真题分类 二次函数概念、性质和图象（一）一、选择题1.（2018山东滨州，10，3分）如图，若二次函数（a ≠0）图象的对称轴为x ＝1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、点B （－1，0）则①二次函数的最大值为a ＋b ＋c ；②a －b ＋c ＜0；③b ²－4ac ＜0；④当y ＞0时，－1＜x ＜3．其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第10题图【答案】B【解析】由图像可知，当x ＝1时，函数值取到最大值，最大值为：a ＋b ＋c ,故①正确；因为抛物线经过点B （－1,0），所以当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝0,故②错误；因为该函数图象与x 轴有两个交点A 、B ，所以b ²－4ac ＞0，故③错误；因为点A 与点B 关于直线x ＝1对称，所以A (3，0)，根据图像可知，当y ＞0时，－1＜x ＜3，故④正确；故选B ． 【知识点】数形结合、二次函数的图像和性质2. （2018四川泸州，10题，3分）已知二次函数22233y ax ax a =+++（其中x 是自变量），当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，且21x -≤≤时，y 的最大值为9，则a 的值为（ ） A.1或2- B.2-或2 C.2 D.1【答案】D【解析】原函数可化为y=a(x+1)2+3a 2-a+3，对称轴为x=-1，当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，所以a>0，抛物线开口向上，因为21x -≤≤时，y 的最大值为9，结合对称轴及增减性可得，当x=12y ax bx c =++xy -1BOCAx =1时，y=9，带入可得，a 1=1，a 2=-2，又因为a>0，所以a=1 【知识点】二次函数，增减性3. （2018甘肃白银，10，3）如图是二次函数2(,,y ax bx c a b c =++是常数，0)a ≠图像的一部分，与x 轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x =1，对于下列说法：①0ab <，②20a b +=，③30a c +>，④()(a b m am b m +≥+为常数），⑤当13-<x <时，0y >，其中正确的是（ ）A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤【答案】A【思路分析】由抛物线的图像结合对称轴、与x 轴的交点逐一判断即可。

中考数学真题汇编:二次函数一、选择题1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（）A. ①③B. ③④C. ②④D. ②③【答案】B2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A. B. C.D.【答案】B3.关于二次函数，下列说法正确的是（）A. 图像与轴的交点坐标为B. 图像的对称轴在轴的右侧C. 当时，的值随值的增大而减小D. 的最小值为-3【答案】D4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( )A. B.B.C. D. 有两个不相等的实数根【答案】C5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )A. B.C. D.【答案】B6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。

已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A. （-3，-6） B. （-3，0）C. （-3，-5）D. （-3，-1）【答案】B7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t ＋1．则下列说法中正确的是（）A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同B. 点火后24s火箭落于地面C. 点火后10s的升空高度为139mD. 火箭升空的最大高度为145m【答案】D8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B （﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，其中正确的是（）A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤【答案】A10.如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为-1，则一次函数y=（a-b）x+b的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D11.四位同学在研究函数（b，c是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当时，．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B12.如图所示,△DEF中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B是斜边DF上一动点,过B作AB⊥DF于B,交边DE(或边EF)于点A,设BD=x,△ABD的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为（）A. （B.C. D. （【答案】B二、填空题13.已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）【答案】增大14.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。

图解中考题——用二次函数求线段的最值（2018苏州中考第
18题）
一、题目
（2018 苏州中考）如图，已知AB=8,P为线段AB上的一个动点，分别以PA、PB为边，在AB的同侧作菱形APCD、PBFE,点P、C、E 在一条直线上，∠DAP=60°，M、N分别是对角线AC、BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M、N之间的距离最短为_______________.
二、分析：MN的长是怎样变化的呢？看下图
从上图可以看出，MN的长是大→小→大的一个变化过程，所以最小值不是在端点处，也不在中点处。

那会在什么位置呢？
根据已知条件，我们将图形分解来看看，左边的菱形分解如下：
右边的菱形同样如此，
分解然后组合
找到MN是直角三角形的斜边这个关键之后，接下来，MN的长与点P的位置有怎样的关联呢？
最后
三、思路流程：
四、解答
五、反思
1.出现等腰三角形，构造底边上的中线是一条常用的辅助线。

2.通过构造辅助线将已知和未知集中到一个三角形中。

这是一种常用的方法。

⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值． 10．（2018四川绵阳24，12）已知抛物线:y=x²-2x+m-1 与x 轴只有一个交点，且与y 轴交于A 点, 如图，设它的顶点为B (1)求m 的值；(2)过A 作x 轴的平行线，交抛物线于点C ，求证是△ABC 是等腰直角三角形；(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C'，且与x 轴的左半轴交于E 点，与y 轴交于F 点，如图.请在抛物线C'上求点P ，使得△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形.yxCEA O BF11. （2018贵州贵阳，21，10分）如图所示，二次函数y=-x2+2x+m 的图象与x 轴的一个交点为A （3，0），另一个交点为B ，且与y 轴交于点C ． （1）求m 的值；（3分）（2）求点B 的坐标；（3分）（3）该二次函数图象上有一点D （x ，y ）（其中x ＞0，y ＞0），使S △ABD=S △ABC ， 求点D 的坐标．（4分）（第21题图）13. （2018广东肇庆，25，10分）已知抛物线2243m mx x y -+=（m >0）与x 轴交于A 、B 两点． （1）求证：抛物线的对称轴在y 轴的左侧；（2）若3211=-OA OB （O 是坐标原点），求抛物线的解析式；（3）设抛物线与y 轴交于点C ，若∆ABC 是直角三角形，求∆ABC 的面积．14. （2018江苏盐城，23，10分）已知二次函数y = - 12 x2 - x + 32 .（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；（2）根据图象，写出当y ＜ 0时，x 的取值范围；（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．xyO11Oyx15. (20011江苏镇江,24,7分)如图,在△ABO中,已知点A(3,3),B(-1,-1),O(0,0),正比例y=-x的图象是直线l,直线AC∥x轴交直线l于点C.(1)C点坐标为_____;(2)以点O为旋转中心,将△ABO顺时针旋转角a(0°<a<180°),使得点B落在直线l上的对应点为B',点A 的对应点为A',得到△A OB''.①∠a=_____; ②画出△A OB''; (3)写出所有满足△DOC∽△AOB的点D的坐标.16. （2018广东中山，15,6分）已知抛物线212y x x c=++与x轴有两个不同的交点．(1)求c的取值范围；(2)抛物线212y x x c=++与x轴两交点的距离为2，求c的值．17. （2018贵州安顺，27，12分）如图，抛物线y=21x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．18. （2018湖北孝感，25，2分）如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD,使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m,0），其中m＞0.第27题图（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；（5分）（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；3）如图（2），设抛物线y=a(x－m－6)2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值. （5分）19. （2018湖南湘潭市，25，10分）（本题满分10分）如图，直线33+=xy交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）. ⑴求抛物线的解析式;⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.20．（2018湖北荆州，22，9分）（本题满分9分）如图，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y轴正半轴是，B（4,2），一次函数1-=kxy的图象平分它的面积，关于x的函数yxO CBAkmxkmmxy+++-=2)3(2的图象与坐标轴只有两个交点，求m的值.21. （2018湖北宜昌，24，11分）已如抛物线y = ax2+bx+c 与直线y=m x+n 相交于两点，这两点的坐标分别是(0，21-)和(m-b，m2 – mb + n，其中a，b,c,m，n为实数，且a，m不为0.(1)求c的值；(2)设抛物线y = ax2+bx+c与x轴的两个交点是(1x，0)和(2x，0)，求21xx的值；(3)当11≤≤-x时，设抛物线y = ax2+bx+c与x轴距离最大的点为P（0x，0y），求这时0y的最小值.课后小结上课情况：课后需再巩固的内容：配合需求：家长_________________________________学管师_________________________________。

题库：二次函数综合题 类型一 线段问题1. 如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (3，0)，B (1，0)，交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动(点P 不与点A 重合)，过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D .(1)求抛物线的解析式；(2)求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值；(3)在抛物线对称轴上是否存在点M ，使|MA －MC |最大？若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (3，0)，B (1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9＋3b ＋c ＝01＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4c ＝3， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3； （2）令x ＝0，则y ＝3，∴C (0，3)， 则直线AC 的解析式为y ＝－x ＋3， 设点P (x ，x 2－4x ＋3)， ∵PD ∥y 轴，∴点D (x ，－x ＋3)，∴PD ＝(－x ＋3)－(x 2－4x ＋3) ＝－x 2＋3x ＝－(x －32)2＋94，∵a ＝－1<0，∴当x ＝32时，线段PD 的长度有最大值，最大值为94；（3）存在．由抛物线的对称性得，对称轴垂直平分线段AB ，∴MA ＝MB ，当M 、B 、C 不在同一条直线上时，由三角形的三边关系得， |MA －MC |＝|MB －MC |<BC ， 当M 、B 、C 三点共线时， |MA －MC |＝|MB －MC |＝BC ，∴|MA －MC |≤BC ，即当点M 在BC 的延长线上时，|MA －MC |最大，最大值即为BC 的长度，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，∵B (1，0)，C (0，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0b ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3b ＝3，∴直线BC 的解析式为y ＝－3x ＋3， ∴当x ＝2时，y ＝－3×2＋3＝－3， ∴点M (2，－3)，即抛物线对称轴上存在点M (2，－3)，使|MA －MC |最大．2. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1经过点(2，6)，且与直线y ＝12x ＋1相交于A ，B 两点，点A 在y 轴上，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C (4，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)若P 是直线AB 上方该抛物线上的一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交AB 于点E ，求线段PE 的最大值；(3)在(2)的条件下，设PC 与AB 相交于点Q ，当线段PC 与BE 互相平分时，请求出点Q 的坐标．第2题图解：（1）∵BC ⊥x 轴，垂足为点C (4，0)，且点B 在直线y ＝12x ＋1上，∴点B 的坐标为(4，3)，∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1经过点(2，6)和点B (4，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋1＝616a ＋4b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝92，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋92x ＋1；（2）设动点P 的坐标为(x ，－x 2＋92x ＋1)(0<x <4)，则点E 的坐标为(x ，12x ＋1)，∵PD ⊥x 轴于点D ，且点D 在x 轴上， ∴PE ＝PD －ED＝(－x 2＋92x ＋1)－(12x ＋1)＝－x 2＋4x＝－(x －2)2＋4，则当x ＝2时，线段PE 的值最大，最大值为4； （3）∵线段PC 与BE 互相平分， ∴△PEQ ≌△CBQ ， ∴PE ＝BC ，∴－x 2＋4x ＝3，即x 2－4x ＋3＝0， 解得x 1＝1，x 2＝3，∵点Q 分别是PC ，BE 的中点，且点Q 在直线y ＝12x ＋1上，∴①当x ＝1时，点Q 的横坐标为1＋42＝52，则点Q 的坐标为(52，94)；②当x ＝3时，点Q 的横坐标为3＋42＝72，则点Q 的坐标为(72，114)．综上所述，点Q 的坐标为(52，94)或(72，114)．类型二 面积问题1. 如图，已知抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点B ，E 两点，与y 轴交于点A ，OB＝8，tan ∠ABD ＝1，动点C 从原点O 开始沿OA 方向以每秒1个单位长度移动，动点D 从点B 开始沿BO 方向以每秒1个单位长度移动，动点C ，D 同时出发，当动点D 到达原点O 时，点C ，D 停止运动．(1)求抛物线的解析式；(2)求△CED 的面积S 与D 点运动时间t 的函数解析式；当t 为何值时，△CED 的面积最大？最大面积是多少？(3)当△CED 的面积最大时，在抛物线上是否存在点P (点E 除外)，使△PCD 的面积等于△CED 的最大面积，若存在，直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图解：（1）∵OB ＝8，tan ∠ABD ＝1， ∴OA ＝OB ＝8，∴A (0，8)，B (8，0)．把点A (0，8)，B (8，0)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝8－12×82＋8b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c ＝8，∴抛物线解析式为y ＝－12x 2＋3x ＋8；（2）令y ＝0时，有－12x 2＋3x ＋8＝0，解得x 1＝－2，x 2＝8， ∴E (－2，0)， ∴BE ＝10，∵S △CED ＝12DE ·OC ，∴S ＝12t (10－t )＝－12t 2＋5t ，∴S 与t 的函数解析式为S ＝－12t 2＋5t ＝－12(t －5)2＋252(0≤t ≤8)，∴当t ＝5时，△CED 的面积最大，最大面积为252；（3）存在，P 点坐标为(8，0)或(43，1009)或(343，－2009)．【解法提示】当△CED 的面积最大时，t ＝5，即BD ＝DE ＝5，此时要使S △PCD ＝S △CED ，CD 为公共边，只需求出过点B 、或点E 且平行于CD 的直线即可，如下：第1题解图设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋b ， 由(2)可知OC ＝5，OD ＝3， ∴C (0，5)，D (3，0)，把C (0，5)、D (3，0)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝53k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－53b ＝5， ∴直线CD 的解析式为y ＝－53x ＋5，∵DE ＝DB ＝5，∴过点B 且平行于CD 的直线为y ＝－53(x －5)＋5，过点E 且平行于CD 的直线为y ＝－53(x ＋5)＋5，与抛物线解析式联立得方程①：－12x 2＋3x ＋8＝－53(x －5)＋5，解得x 1＝8，x 2＝43，方程②：－12x 2＋3x ＋8＝－53(x ＋5)＋5，解得x 3＝343，x 4＝－2，分别将x 的值代入抛物线的解析式，得y 1＝0，y 2＝1009，y 3＝－2009，y 4＝0，又∵P 点不与E 点重合，∴满足题意的P 点坐标有3个，分别是P 1(8，0)，P 2(43，1009)，P 3(343，－2009)．2. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于点A (1，0)和点B ，与y 轴交于点C ，且其对称轴l 为直线x ＝－1，点P 是抛物线上B ，C 之间的一个动点(点P 不与点B ，C 重合)．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)小唐探究点P 的位置时发现：当动点N 在对称轴l 上时，存在PB ⊥NB ，且PB ＝NB 的关系，请求出点P 的坐标；(3)是否存在点P 使得四边形PBAC 的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC 面积的最大值，若不存在，请说明理由．第2题图解：（1）y ＝x 2＋2x －3；【解法提示】∵A (1，0)，对称轴l 为直线x ＝－1， ∴B (－3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －3＝09a －3b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3；（2）如解图①，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，连接BP ，过点B 作BN ⊥PB 交直线l 于点N ，设抛物线的对称轴与x 轴交于点Q ， ∵PB ⊥NB ，∴∠PBN ＝90°， ∴∠PBM ＋∠NBQ ＝90°. ∵∠PMB ＝90°，∴∠PBM ＋∠BPM ＝90°. ∴∠BPM ＝∠NBQ . 又∵PB ＝NB ， ∴△BPM ≌△NBQ . ∴PM ＝BQ .由(1)得y ＝x 2＋2x －3， ∵Q (－1，0)，B (－3，0) ∴BQ ＝2， ∴PM ＝BQ ＝2.∵点P 是抛物线y ＝x 2＋2x －3上B 、C 之间的一个动点，且点P 的纵坐标为－2， 将y ＝－2代入y ＝x 2＋2x －3，得－2＝x 2＋2x －3， 解得x 1＝－1－2，x 2＝－1＋2(不合题意，舍去)，∴点P 的坐标为(－1－2，－2)；第2题解图①（3）存在．如解图②，连接AC ，BC ，CP ，PB ，过点P 作PD ∥y 轴交BC 于点D ， ∵A (1，0)，B (－3，0)，C (0，－3)， ∴S △ABC ＝12×3×4＝6，直线BC 的解析式为y ＝－x －3.设P (t ，t 2＋2t －3)，则D (t ，－t －3)，∴S △BPC ＝12×3×(－t －3－t 2－2t ＋3)＝－32t 2－92t ，∴S 四边形PBAC ＝－32t 2－92t ＋6＝－32(t ＋32)2＋758，当t ＝－32时，S 四边形PBAC 存在最大值，最大值为758.此时点P 的坐标为(－32，－154)．第2题解图②类型二 特殊三角形的存在探究问题1. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －8与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE .已知点A ，D 的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)分别求出点B 和点E 的坐标；(3)若点P 是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m )，直线PB 与直线l 交于点Q .试探究：当m 为何值时，△OPQ 是等腰三角形．第1题图解：（1）抛物线的函数表达式为y ＝12x 2－3x －8；（2）点B 的坐标为(8，0)． 点E 的坐标为(3，－4)；（3）需分两种情况进行讨论：①当OP ＝OQ 时，△OPQ 是等腰三角形，如解图①，第1题解图①∵点E 的坐标为(3，－4)，∴OE ＝32＋42＝5，过点E 作直线ME ∥PB ，交y 轴于点M ，交x 轴于点H ， 则OM OP ＝OEOQ， ∴OM ＝OE ＝5，∴点M 的坐标为(0，－5)，设直线ME 的函数表达式为y ＝k 1x －5， ∴3k 1－5＝－4，解得k 1＝13，∴直线ME 的函数表达式为y ＝13x －5，H 在直线ME 上， 令y ＝0，解得x ＝15， ∴点H 的坐标为(15，0)． 又∵MH ∥PB ， ∴OP OM ＝OBOH ，即－m 5＝815， ∴m ＝－83；②当QO ＝QP 时，△OPQ 是等腰三角形，如解图②， ∵当x ＝0时，y ＝12x 2－3x －8＝－8，第1题解图②∴点C 的坐标为(0，－8)，∴CE ＝32＋（8－4）2＝5， ∴OE ＝CE ， ∴∠1＝∠2， 又∵QO ＝QP ， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴CE ∥PB .设直线CE 交x 轴于点N ，其函数表达式为y ＝k 2x －8， ∴3k 2－8＝－4，解得k 2＝43，∴直线CE 的函数表达式为y ＝43x －8，令y ＝0，得43x －8＝0，∴x ＝6，∴点N 的坐标为(6，0)． ∵CN ∥PB . ∴OP OC ＝OB ON， ∴－m 8＝86，解得m ＝－323. 综上所述，当m 的值为－83或－323时，△OPQ 是等腰三角形．。