(完整word版)中考二次函数含参问题小综合~2018年九年级中考数学模拟篇

2018年全国各地中考数学试题《二次函数》解答题试题汇编（含答案解析）1．（2018•达州）如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点．（1）求抛物线解析式；（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．2．（2018•眉山）传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：y=（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）3．（2018•河南）如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M 的坐标．4．（2018•抚顺）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 元最大？最大利润是多少元？5．（2018•张家界）如图，已知二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．（1）求a值并写出二次函数表达式；（2）求b值；（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．6．（2018•资阳）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．7．（2018•葫芦岛）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？（3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？8．（2018•新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2018•山西）综合与探究如图，抛物线y=x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE ∥AC交x轴于点E，交BC于点F．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．10．（2018•青岛）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=﹣x+26．（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．11．（2018•福建）已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．12．（2018•乐山）已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5=0（m≠0）．（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）若抛物线y=mx2+（1﹣5m）x﹣5=0与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|=6，求m的值；（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．13．（2018•襄阳）襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y=，且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W 元（利润=销售收入﹣成本）．（1）m=，n=；（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？（3）在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？14．（2018•荆门）随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a=，y与t的函数关系如图所示．（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；（2）求y与t的函数关系式；（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）15．（2018•贵阳）六盘水市梅花山国际滑雪自建成以来，吸引大批滑雪爱好者，一滑雪者从山坡滑下，测得滑行距离y（单位：cm）与滑行时间x（单位：s）之间的关系可以近似的用二次函数来表示．（1）根据表中数据求出二次函数的表达式．现测量出滑雪者的出发点与终点的距离大约800m，他需要多少时间才能到达终点？（2）将得到的二次函数图象补充完整后，向左平移2个单位，再向上平移5个单位，求平移后的函数表达式．16．（2018•盐城）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．（1）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．17．（2018•天津）在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P．（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．18．（2018•邵阳）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM 为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN 的值；若不存在，请说明理由．19．（2018•济宁）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2018•杭州）设二次函数y=ax2+bx﹣（a+b）（a，b是常数，a≠0）．（1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．（2）若该二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．（3）若a+b＜0，点P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0．21．（2018•温州）如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y=2x 经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B．（1）求a，b的值．（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K=．求K关于m的函数表达式及K的范围．22．（2018•黔西南州）某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是抛物线）（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本）（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？23．（2018•黄冈）已知直线l：y=kx+1与抛物线y=x2﹣4x．（1）求证：直线l与该抛物线总有两个交点；（2）设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k=﹣2时，求△OAB的面积．24．（2018•河南）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y （个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表：（注：日销售利润=日销售量×（销售单价﹣成本单价））（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值；（2）根据以上信息，填空：该产品的成本单价是元，当销售单价x=元时，日销售利润w最大，最大值是元；（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？25．（2018•黄冈）我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y（万件）与月份x（月）的关系为：y=，每件产品的利润z（元）与月份x（月）的关系如下表：（1）请你根据表格求出每件产品利润z（元）与月份x（月）的关系式；（2）若月利润w（万元）=当月销售量y（万件）×当月每件产品的利润z（元），求月利润w（万元）与月份x（月）的关系式；（3）当x为何值时，月利润w有最大值，最大值为多少？26．（2018•娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B （3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．27．（2018•黑龙江）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．28．（2018•北京）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．29．（2018•淄博）如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B（3，﹣），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．30．（2018•兰州）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4经过A（﹣3，0），B（5，﹣4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：AB平分∠CAO；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．31．（2018•绍兴）学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1，P2，P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形．若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式．请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式．（1）P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）；（2）P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）．32．（2018•巴中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣2），OB=4OA，tan∠BCO=2．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M、N分别是线段BC、AB上的动点，点M从点B出发以每秒个单位的速度向点C运动，同时点N从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，当点M、N中的一点到达终点时，两点同时停止运动．过点M作MP⊥x轴于点E，交抛物线于点P．设点M、点N的运动时间为t（s），当t为多少时，△PNE 是等腰三角形？33．（2018•绵阳）如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（，﹣3）和点B（3，0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得S=S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；△AOC若不存在，请说明理由．34．（2018•安徽）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）．（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？35．（2018•遵义）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C （0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．36．（2018•随州）为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x 天（1≤x≤15，且x为整数）每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表：任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：y=设李师傅第x天创造的产品利润为W元．（1）直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围：（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？（3）任务完成后，统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？37．（2018•广东）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y=ax2+b（a≠0）与x 轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y=ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．38．（2018•怀化）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A （﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．39．（2018•黄石）已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，），且∠BDC=90°，求点C的坐标；（3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．①求证：∠PDQ=90°；②求△PDQ面积的最小值．40．（2018•达州）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．（1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？（2）若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？41．（2018•遂宁）如图，已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3，且与x 轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解折式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．42．（2018•岳池县三模）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．43．（2018•温州）温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排x人生产乙产品．（1）根据信息填表：（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润．（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W（元）的最大值及相应的x值．44．（2018•宜宾）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M 到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．45．（2018•深圳）已知顶点为A抛物线经过点，点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN ∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．46．（2018•湖州）已知抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．47．（2018•岳阳）已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．48．（2018•无锡）已知：如图，一次函数y=kx﹣1的图象经过点A（3，m）（m ＞0），与y轴交于点B．点C在线段AB上，且BC=2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．若AC=CD．（1）求这个一次函数的表达式；（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（﹣，0），求这条抛物线的函数表达式．49．（2018•青海）如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴交点分别为A（﹣1，0），B （3，0），C（0，2），作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的横坐标为t（0＜t＜3），求△ABP的面积S与t的函数关系式；（3）条件同（2），若△ODP与△COB相似，求点P的坐标．50．（2018•日照）如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．51．（2018•湖北）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系．（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？52．（2018•郴州）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B （3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．53．（2018•东营）如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B 两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．54．（2018•扬州）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？。

中考数学专项突破——含参二次函数类型一 函数类型确定型1. 已知抛物线y ＝3ax 2＋2bx ＋c .(1)若a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝k ＋1，试说明此类函数图象都具有的性质； (2)若a ＝13，c ＝2＋b ，且抛物线在－2≤x ≤2区间上的最小值是－3，求b 的值； -(3)若a ＋b ＋c ＝1，是否存在实数x ，使得相应的y 值为1，请说明理由．解：(1)∵a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝k ＋1，∴抛物线y ＝3ax 2＋2bx ＋c 可化为y ＝9kx 2＋10kx ＋k ＋1＝(9x 2＋10x ＋1)k ＋1，∴令9x 2＋10x ＋1＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝－19，。

∴图象必过点(－1，1)，(－19，1)， ∴对称轴为直线x ＝－10k 2×9k ＝－59；(2)∵a ＝13，c ＝2＋b ，∴抛物线y ＝3ax 2＋2bx ＋c 可化为y ＝x 2＋2bx ＋2＋b ，∴对称轴为直线x ＝－2b2＝－b ，.当－b ＞2时，即b ＜－2，∴x ＝2时，y 取到最小值为－3.∴4＋4b ＋2＋b ＝－3，解得b ＝－95(不符合题意，舍去)，当－b＜－2时即b ＞2，∴x ＝－2时，y 取到最小值为－3. ∴4－4b ＋2＋b ＝－3，解得b ＝3；~当－2＜－b ＜2时，即－2＜b ＜2，当x ＝－b 时，y 取到最小值为－3，∴4（2＋b ）－4b 24＝－3，解得b 1＝1＋212(不符合题意，舍去)，b 2＝1－212， 综上所述，b ＝3或1－212； (3)存在．理由如下：∵a ＋b ＋c ＝1， ∴c －1＝－a －b ，、令y ＝1，则3ax 2＋2bx ＋c ＝1.∴Δ＝4b 2－4(3a )(c －1)＝4b 2＋4(3a )(a ＋b )＝9a 2＋12ab ＋4b 2＋3a 2＝(3a ＋2b )2＋3a 2，∵a ≠0，∴(3a ＋2b )2＋3a 2＞0，∴Δ＞0，…∴必存在实数x ，使得相应的y 值为1.2. 在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴、y 轴分别相交于A (－3，0)、B (0，－3)两点，二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象经过点A .(1)求一次函数y ＝kx ＋b 的表达式；(2)若二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象顶点在直线AB 上，求m ，n 的值；(3)①设m ＝－2，当－3≤x ≤0时，求二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的最小值； ！②若当－3≤x ≤0时，二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的最小值为－4，求m ，n 的值．解：(1)将点A (－3，0)，B (0，－3)代入y ＝kx ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝0b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝－3. ∴一次函数y ＝kx ＋b 的表达式为y ＝－x －3；(2)二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象顶点坐标为(－m2，4n －m 24)，】∵顶点在直线AB 上， ∴4n －m 24＝m2－3，又∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象经过点A (－3，0)，∴9－3m ＋n ＝0，∴组成方程组为⎩⎪⎨⎪⎧4n －m 24＝m 2－39－3m ＋n ＝0，…解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6n ＝9；(3)①当m ＝－2时，由(2)得9－3m ＋n ＝0， 解得 n ＝－15， ∴y ＝x 2－2x －15.∵二次函数对称轴为直线x ＝1，在－3≤x ≤0右侧，（∴当x ＝0时，y 取得最小值是－15.②∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象经过点A ， ∴9－3m ＋n ＝0，二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的对称轴为直线x ＝－m 2，i)如解图①，!当对称轴－3＜－m2＜0时，最小值为4n －m 24＝－4，联立⎩⎪⎨⎪⎧4n －m 24＝－49－3m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝10n ＝21(由－3＜－m2＜0知不符合题意舍去) ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝－3；ii)如解图②，当对称轴－m2＞0时，∵－3≤x ≤0，∴当x ＝0时，y 有最小值为－4，把(0，－4)代入y ＝x 2＋mx ＋n ，得n ＝－4，%把n ＝－4代入9－3m ＋n ＝0，得m ＝53. ∵－m2＞0， ∴m ＜0，∴此种情况不成立；iii)当对称轴－m2＝0时，y ＝x 2＋mx ＋n 当x ＝0时，取得最小值为－4， 》把(0，－4)代入y ＝x 2＋mx ＋n 得n ＝－4， 把n ＝－4代入9－3m ＋n ＝0，得m ＝53. ∵－m2＝0， ∴m ＝0，∴此种情况不成立；{iiii)当对称轴－m2≤－3时，∵－3≤x ≤0，∴当x ＝－3时，y 取得最小值－4，∵当x ＝－3时，y ＝0，不成立．综上所述，m ＝2，n ＝－3.第2题解图3. 在平面直角坐标系中，二次函数y1＝x2＋2(k－2)x＋k2－4k＋5.*(1)求证：该二次函数图象与坐标轴仅有一个交点；(2)若函数y2＝kx＋3经过y1图象的顶点，求函数y1的表达式；(3)当1≤x≤3时，二次函数的最小值是2，求k的值．(1)证明：∵b2－4ac＝4(k－2)2－4(k2－4k＋5)＝－4<0，∴函数图象与x轴没有交点，当x＝0时，y1＝k2－4k＋5＝(k－2)2＋1>0，\∴二次函数与坐标轴仅有一个交点；(2)解：∵y1＝(x＋k－2)2＋1，∴函数y1的顶点坐标为(2－k，1)，代入函数y2＝kx＋3得(2－k)k＋3＝1，解得k＝1＋3或k＝1－3，∴y1＝x2＋2(3－1)x＋5－23或y1＝x2－2(3＋1)x＋5＋23；(3)解：①当对称轴x＝－b2a＝2－k≤1时，k≥1，》当x＝1时，y1取得最小值2，即1＋2(k－2)＋k2－4k＋5＝2，解得k＝0(舍去)或k＝2；②当对称轴1<2－k <3时，－1<k <1， 当x ＝2－k 时，最小值恒为1，无解； ③当对称轴x ＝2－k ≥3时，k ≤－1，：当x ＝3时，y 1取得最小值2，即9＋6(k －2)＋k 2－4k ＋5＝2，化简得k 2＋2k ＝0，解得k ＝0(舍去)或k ＝－2.综上所述，k 的值为2或－2.4. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过A (1，1)、B (2，4)和C 三点．(1)用含a 的代数式分别表示b 、c ； …(2)设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(p ，q )，用含a 的代数式分别表示p 、q ；(3)当a ＞0时，求证：p ＜32，q ≤1.(1)解：∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A (1，1)、B (2，4)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ＋b ＋c4＝4a ＋2b ＋c ， 化解得3＝3a ＋b ，{∴b ＝3－3a ，∴1＝a ＋3－3a ＋c ， ∴c ＝2a －2；(2)解：由(1)得b ＝3－3a ，c ＝2a －2，∴p ＝－b 2a ＝3a －32a ；.∴q ＝4a （2a －2）－（3－3a ）24a ＝－a 2＋10a －94a ；(3)证明：∵a ＞0， ∴－32a ＜0，∴p ＝3a －32a ＝32－32a ＜32； ∵－（a －3）24a≤0， ;∴q ＝－a 2＋6a －94a ＋4a 4a ＝－（a －3）24a＋1≤1.5. 已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ≠c )过点A (1，0)，顶点为B ，且抛物线不经过第三象限． (1)用含a 、c 的代数式表示b ； (2)判断点B 所在象限，并说明理由；(3)若直线y 2＝2x ＋m 经过点B ，且与该抛物线交于另一点C (ca ，b ＋8)，求当x ≥1时，y 1的取值范围． ，解：(1)∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ≠c )经过点A (1，0)，把点A (1，0)代入即可得到a ＋b ＋c ＝0，即b ＝－a －c ； (2)点B 在第四象限．理由如下：∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ≠c )过点A (1，0)，|∴抛物线y 1与x 轴至少有1个交点，令ax 2＋bx ＋c ＝0， ∴x 1·x 2＝ca ，∴x 1＝1，x 2＝ca ，∵a ≠c ，∴抛物线与x 轴有两个不同的交点， 又∵抛物线不经过第三象限，^∴a ＞0，且顶点B 在第四象限； (3)∵点C (ca ，b ＋8)在抛物线上， 令b ＋8＝0，得b ＝－8， 由(1)得a ＋c ＝－b ， ∴a ＋c ＝8，"把B (－b 2a ，4ac －b 24a )、C (ca ，b ＋8)两点代入直线解析式得⎩⎪⎨⎪⎧4ac －b 24a ＝2×（－b2a ）＋mb ＋8＝2×c a＋ma ＋c ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝2b＝－8c＝6m＝－6或⎩⎪⎨⎪⎧a＝4b＝－8c＝4m＝－2(a≠c，舍去)，如解图所示，C在A的右侧，∴当x≥1时，y1≥4ac－b24a＝－2.^第5题解图6. 在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝ax2＋2ax＋3(a≠0)．(1)若函数y1的图象经过点(－1，4)，求函数y1的表达式；(2)若一次函数y2＝bx＋a(b≠0)的图象经过y1图象的顶点，探究实数a，b满足的关系式；（(3)已知点P(1，m)和Q(x0，n)在函数y1的图象上，若m＞n，求x0的取值范围．解：(1)∵二次函数y1＝ax2＋2ax＋3的图象经过点(－1，4)，∴4＝a－2a＋3，∴a＝－1，∴函数y1的表达式为y1＝－x2－2x＋3；…(2)∵y1＝ax2＋2ax＋3＝a(x＋1)2＋3－a，∴y 1图象的顶点坐标为(－1，3－a )．∵一次函数y 2＝bx ＋a (b ≠0)的图象经过y 1图象的顶点， ∴3－a ＝－b ＋a ，∴实数a 、b 满足的关系式为b ＝2a －3；~(3)∵二次函数y 1＝ax 2＋2ax ＋3的图象的对称轴为直线x ＝－2a2a ＝－1，∴当m ＝n 时，x 0＝－3.当a ＞0时，如解图①所示，第6题解图∵m ＞n ，∴－3＜x 0＜1；[当a ＜0时，如解图②所示， ∵m ＞0，∴x 0＜－3或x 0＞1. 综上所述：x 0的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧－3＜x 0＜1 （a ＞0）x 0＜－3或x 0＞1 （a ＜0）.类型二 函数类型不确定型"1. 已知函数y ＝(n ＋1)x m ＋mx ＋1－n (m ，n 为实数)．(1)当m ，n 取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数它一定与x轴有交点吗请判断并说明理由；(2)若它是一个二次函数，假设n ＞－1，那么：①当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；②它一定经过哪个点请说明理由． …解：(1)①当m ＝1，n ≠－2时，函数y ＝(n ＋1)x m ＋mx ＋1－n (m ，n 为实数)是一次函数，它一定与x 轴有一个交点，∵当y ＝0时，(n ＋1)x m ＋mx ＋1－n ＝0， ∴x ＝n －1n ＋2，∴函数y ＝(n ＋1)x m ＋mx ＋1－n (m ，n 为实数)与x 轴有交点；.②当m ＝2，n ≠－1时，函数y ＝(n ＋1)x m ＋mx ＋1－n (m ，n 为实数)是二次函数，当y ＝0时，(n ＋1)x m ＋mx ＋1－n ＝0， 即(n ＋1)x 2＋2x ＋1－n ＝0， ∴Δ＝22－4(n ＋1)(1－n )＝4n 2≥0，∴函数y ＝(n ＋1)x m ＋mx ＋1－n (m ，n 为实数)与x 轴有交点；/③当n ＝－1，m ≠0时，函数y ＝(n ＋1)x m ＋mx ＋1－n 是一次函数，当y ＝0时，x ＝n －1m ，∴函数y ＝(n ＋1)x m ＋mx ＋1－n (m ，n 为实数)与x 轴有交点； (2)①假命题，若它是一个二次函数，则m ＝2，函数y ＝(n ＋1)x 2＋2x ＋1－n ， ∵n ＞－1，∴n ＋1＞0，*抛物线开口向上，对称轴：x ＝－b 2a ＝－22（n ＋1）＝－1n ＋1＜0，∴对称轴在y 轴左侧，当x ＜0时，y 可能随x 的增大而增大，也可能随x 的增大而减小，故为假命题；②它一定过点(1，4)和(－1，0)，理由如下： 当x ＝1时，y ＝n ＋1＋2＋1－n ＝4.）当x ＝－1时，y ＝0.∴它一定经过点(1，4)和(－1，0)．2. 设函数y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1(k 为实数)．(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并且在同一坐标系中，用描点法画出它们的图象；(2)根据所画图象，猜想出：对任意实数k ，函数的图象都具有的特征，并给予证明；（(3)对于任意负实数k ，当x ＜m 时，y 随x 的增大而增大，试求m 的取值范围．第2题图解：(1)令k＝0，k＝1，则这两个函数为y＝x＋1，y＝x2＋3x＋1，描点法画函数图象如解图所示；"第2题解图(2)不论k取何值，函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1的图象必过定点(0，1)，(－2，－1)，且与x轴至少有1个交点．证明：①∵当x＝0时，y＝1；当x＝－2时，y＝－1.…∴函数图象必过(0，1)，(－2，－1)；②∵当k＝0时，函数为一次函数，∴y＝x＋1的图象是一条直线，且与x轴有一个交点；∵当k ≠0时，函数为二次函数，y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1的图象是一条抛物线．Δ＝(2k ＋1)2－4×k ×1＝4k 2＋4k ＋1－4k ＝4k 2＋1＞0，∴抛物线y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1与x 轴有两个交点．]综上所述，函数y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1(k 为实数)与x 轴至少有一个交点； (3)∵k ＜0，∴函数y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1的图象在对称轴直线x ＝－2k ＋12k 的左侧时，y 随x 的增大而增大．根据题意，得m ≤－2k ＋12k ，而当k ＜0时，－2k ＋12k ＝－1－12k ＞－1，%∴m ≤－1.3. 已知函数y ＝kx 2＋(43－3k )x －4.(1)求证：无论k 为何值，函数图象与x 轴总有交点；(2)当k ≠0时，A (n －3，n －7)、B (－n ＋1，n －7)是抛物线上的两个不同点．①求抛物线的表达式； (②求n 的值．(1)证明：当k ＝0时，函数为一次函数，即y ＝43x －4，与x 轴交于点(3，0)；当k ≠0时，函数为二次函数，∵Δ＝(43－3k )2－4k ×(－4)＝(3k ＋43)2≥0， ∴函数与x 轴有一个或两个交点；。

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1．如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A(3，0）,与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过点A，B．(1）求点B的坐标和抛物线的解析式;（2）M(m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动,若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M,P，N三点成为“共谐点”的m的值．2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点,顶点为D（0，4），AB=4，设点F(m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．（1)求抛物线C的函数表达式；(2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点,它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′,设M是C上的动点,N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N 能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．3．在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q,使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．(1）当⊙O的半径为2时,①在点P1(，0），P2（，)，P3（，0）中，⊙O的关联点是．②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点,求点P的横坐标的取值范围．(2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2,直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0）,B(3，0)两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．（1)求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；（2)当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标;（3)在(2)的条件下,求sin∠OCB的值．5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C，点B坐标为（6，0）,点C坐标为(0，6)，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线,垂足为E，连接BD．（1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N,点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．6．已知抛物线y=x2+bx﹣3（b是常数）经过点A(﹣1，0)．（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标;（2）P（m，t)为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．①当点P’落在该抛物线上时，求m的值；②当点P'落在第二象限内，P’A2取得最小值时,求m的值．7．在同一直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2﹣2x﹣3与抛物线C2:y=x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．（1）求抛物线C1，C2的函数表达式;（2)求A、B两点的坐标;（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在,请说明理由．8．已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是．A.0B.1C.2 D。

2018 届初三数学中考复习二次函数专项复习练习1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a ≠0， a，b，c 为常数 ) 的图象如图， ax2＋bx＋c ＝m有实数根的条件是 ()A．m≥－ 2 B．m≥5 C ．m≥0 D ．m＞42.已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a ，b，c 为常数， a≠0) 的图象如下图，以下结论正确的选项是 ()A．2a＋b＜0 BC．m(am＋b) ＞a＋b(m 为大于 1 的实数 ) 3.在以下二次函数中，其图象的对象轴为．4a＋2b＋c＞0 D．3a＋c＜0x＝－ 2 的是 ()A．y＝(x ＋2) 2 B．y＝2x2－2 C ．y＝－ 2x2－2 D ．y＝2(x －2) 2 4.二次函数y＝ax2＋ bx－1(a ≠0) 的图象经过点(1 ，1) ，则 a＋ b＋1 的值是()A．－3B．－1C．2D．35．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图，点 C 在 y 轴的正半轴上，且OA＝OC，则()A．ac＋1＝b B．ab＋1＝c C．bc＋1＝a D．以上都不是6.二次函数 y＝x2＋x＋c 的图象与 x 轴有两个交点 A(x 1，0) ，B(x 2，0) ，且 x1<x2，点 P(m，n) 是图象上一点，那么以下判断正确的选项是()A．当n<0 时， m<0 B ．当n>0 时， m>x2C．当n<0 时， x1<m<x2 D．当n>0 时， m<x17.二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a ≠0) 的图象如下图，以下结论：①2a＋b＞0；②a bc＜0；③b2－4ac＞0；④a＋b＋c＜0；⑤4a－2b＋c＜0，此中正确的个数是 ( )A．2 B．3C．4D．58.将抛物线 y＝x2向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位后，抛物线的分析式为()9.设抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过 A(0 ，2)，B(4，3)，C 三点，此中点 C 在直线 x＝2 上，且点 C 到抛物线的对称轴的距离等于 1，则抛物线的函数分析式为．10.利用配方，可以把二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 表示成_______________________.11.将抛物线 y＝(x －3) 2＋1 先向上平移 2 个单位，再向左平移 1 个单位后，获得的抛物线分析式为 ______________12.如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋3 的图象经过点 A( －1，0) ，B(3 ，0) ，那么一元二次方程 ax2＋bx＝0 的根是 ______________．13.如图，一段抛物线 y＝－ x(x －1)(0 ≤x≤1) 记为 m1，它与 x 轴交点为 O，A1，极点为 P1；将 m1绕点 A1旋转 180°得 m2，交 x 轴于点 A2，极点为 P2；将 m2绕点A2旋转 180°得 m3，交 x 轴于点 A3，极点为 P3，，这样进行下去，直至得m10，极点为 P10，则 P10的坐标为 _____________．14.如图，抛物线 y＝x2－bx＋c 交 x 轴于点 A(1 ，0) ，交 y 轴于点 B，对称轴是x＝2.(1)求抛物线的分析式；(2)点 P 是抛物线对称轴上的一个动点，能否存在点 P，使△ PAB的周长最小？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明原因．参照答案：1—8 ACADA CBB1 2 1 1 2 39. y ＝8x －4x＋2 或 y＝－8x ＋4x＋2b 2 4ac－b210. y ＝a(x ＋2a) ＋4a11.y ＝(x －2) 2＋312.x 1＝0，x2＝213.(9.5 ，－ 0.25)1－b＋c＝0，14. 解：(1) 由题意得， b 解得b＝4，c＝3，∴抛物线的分析式为．y2＝2，＝x2－4x＋3(2)∵点 A 与点 C对于 x＝2 对称，∴连结 BC与 x＝2 交于点 P，则点 P 即为所求，依据抛物线的对称性可知，点 C 的坐标为 (3 ，0) ，y＝x2－4x＋3 与 y 轴的交点为(0 ，3) ，∴设直线 BC的分析式为： y＝kx＋b，则有3k＋b＝0，解得， k＝－b＝3，1，b＝3，∴直线 BC的分析式为： y＝－ x＋3，则直线 BC与 x＝2 的交点坐标为：(2 ，1) ，∴存在点 P 使△ PAB的周长最小，点P 的坐标为： (2 ，1)。

中考數學真題彙編:二次函數一、選擇題1. 已知學校航模組設計製作の火箭の升空高度h（m）與飛行時間t（s）滿足函數運算式h＝﹣t2＋24t＋1．則下列說法中正確の是（）A. 點火後9s和點火後13sの升空高度相同B. 點火後24s火箭落於地面C. 點火後10sの升空高度為139mD. 火箭升空の最大高度為145m【答案】D2. 關於二次函數，下列說法正確の是（）A . 圖像與軸の交點座標為 B. 圖像の對稱軸在軸の右側C. 當時，の值隨值の增大而減小D. の最小值為-3【答案】D3. 如圖,函數和( 是常數,且)在同一平面直角坐標系の圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】B4.二次函數の圖像如圖所示，下列結論正確是( )A. B. C. D. 有兩個不相等の實數根【答案】C5. 給出下列函數：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函數中符合條作“當x＞1時，函數值y隨引數x增大而增大“の是（）A. ①③B. ③④C. ②④D. ②③【答案】B6.若拋物線y=x2+ax+b與x軸兩個交點間の距離為2，稱此拋物線為定弦拋物線。

已知某定弦拋物線の對稱軸為直線x=1，將此拋物線向左平移2個單位，再向下平移3個單位，得到の拋物線過點（）A. （-3，-6）B. （-3，0）C. （-3，-5）D. （-3，-1）【答案】B7. 如圖，若二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）圖象の對稱軸為x=1，與y軸交於點C，與x軸交於點A、點B（﹣1，0），則①二次函數の最大值為a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④當y＞0時，﹣1＜x＜3，其中正確の個數是（）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B8. 若拋物線與軸兩個交點間の距離為2，稱此拋物線為定弦拋物線，已知某定弦拋物線の對稱軸為直線，將此拋物線向左平移2個單位，再向下平移3個單位，得到の拋物線過點( )A. B. C. D.【答案】B9.如圖是二次函數（，，是常數，）圖象の一部分，與軸の交點在點和之間，對稱軸是.對於下列說法：①；②；③；④（為實數）；⑤當時，，其中正確の是（）A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤【答案】A10.如圖，二次函數y=ax2+bxの圖象開口向下，且經過第三象限の點P．若點Pの橫坐標為-1，則一次函數y=（a-b）x+bの圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】D11.四位同學在研究函數（b，c是常數）時，甲發現當時，函數有最小值；乙發現是方程の一個根；丙發現函數の最小值為3；丁發現當時，．已知這四位同學中只有一位發現の結論是錯誤の，則該同學是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B12.如圖所示,△DEF中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B是斜邊DF上一動點,過B作AB⊥DF於B,交邊DE(或邊EF)於點A,設BD=x,△ABDの面積為y,則y與x之間の函數圖象大致為（）A. （B.C. D. （【答案】B二、填空題13.已知二次函數，當x＞0時，y隨xの增大而________（填“增大”或“減小”）【答案】增大14.右圖是拋物線型拱橋，當拱頂離水面2m時，水面寬4m，水面下降2m，水面寬度增加________m。

2018 中考数学试题分类汇编：考点16 二次函数一．选择题（共 33 小题）1．（ 2018?青岛）已知一次函数 y= x+c 的图象如图，则二次函数 y=ax 2+bx+c 在平面直角坐标 系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．2．（ 2018?德州）如图，函数 y=ax 2﹣2x+1 和 y=ax ﹣ a （a 是常数，且 a ≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．．（ 临安区）抛物线y=3（ x ﹣ 1） 2+1 的极点坐标是（ ）3 2018?A ．（ 1， 1）B ．（﹣ 1，1）C ．（﹣ 1，﹣ 1）D ．（ 1，﹣ 1）．（ 上海）以下对二次函数 2﹣x 的图象的描绘，正确的选项是（ ）4 2018? y=xA ．张口向下B ．对称轴是 y 轴C ．经过原点D ．在对称轴右边部分是降落的22ax 3a 23（此中 x 是自变量），当 x ≥2 时， y 随 x 的 5．（ 2018?泸州）已知二次函数 y=ax + + + 增大而增大，且﹣ 2≤x ≤ 1 时， y 的最大值为 9，则 a 的值为（ ）A ．1 或﹣ 2B ． 或C ．D ．1．（ 岳阳）抛物线 y=3（x ﹣2） 2+5 的极点坐标是（）6 2018?A ．（﹣ 2，5）B ．（﹣ 2，﹣ 5）C ．（ 2，5）D ．（ 2，﹣ 5）7．（2018?遂宁）已知二次函数 y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象以下图，则以下结论同时成立的是（）A．B．C．D．8．（ 2018?滨州）如图，若二次函数2 bx c（a≠0）图象的对称轴为 x=1，与 y 轴交于点y=ax + +C，与 x 轴交于点 A、点 B（﹣ 1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；② a﹣b+c＜0；③ b2﹣ 4ac＜0；④当 y＞ 0 时，﹣ 1＜ x＜3，此中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．（ 2018?白银）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a， b，c 是常数， a≠0）图象的一部分，与 x 轴的交点 A 在点（ 2，0）和（3，0）之间，对称轴是 x=1．对于以下说法：① ab＜0；②2a+b=0；③ 3a+c＞0；④ a+b≥m（am+b）（m 为实数）；⑤当﹣ 1＜ x＜3 时，y＞ 0，此中正确的选项是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤10．（ 2018?达州）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（﹣ 1，0），与 y 轴的交点 B 在（ 0，2）与（ 0，3）之间（不包含这两点），对称轴为直线 x=2．以下结论：① abc＜0；② 9a+3b+c＞0；③若点 M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则 y1＜y2；④﹣＜a＜﹣．此中正确结论有（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个．11．（ 2018?恩施州）抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴为直线x=﹣1，部分图象以下图，以下判断中：① abc＞0；② b2﹣ 4ac＞ 0；③ 9a﹣ 3b+c=0；④若点（﹣ 0.5，y1），（﹣ 2， y2）均在抛物线上，则 y1＞y2；⑤ 5a﹣ 2b+c＜0．此中正确的个数有（）A．2B．3C．4D．512．（ 2018?衡阳）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（﹣ 1， 0），极点坐标（ 1， n）与 y 轴的交点在（ 0，2），（ 0，3）之间（包含端点），则以下结论：① 3a+b＜0；②﹣ 1≤a ≤﹣；③对于随意实数 m，a+b≥am2+bm 总成立；④对于 x 的方程 ax2+bx+c=n﹣1 有两个不相等的实数根．此中结论正确的个数为（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个13．（2018?荆门）二次函数 y=ax2 +bx+c（a≠0）的大概图象以下图，极点坐标为（﹣2，﹣和 x2，且 x1＜ x2，则﹣ 5＜x1＜x2＜ 1；④若方程 | ax2 +bx+c| =1 有四个根，则这四个根的和为﹣ 4．其中正确的结论有（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个14．（ 2018?枣庄）如图是二次函数y=ax2+bx+c 图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，以下结论正确的选项是（）A．b2＜4ac B．ac＞ 0C．2a﹣ b=0 D．a﹣b+c=015．（2018?湖州）在平面直角坐标系xOy 中，已知点 M，N 的坐标分别为（﹣ 1， 2），（ 2，），若抛物线2﹣x+2（a≠0）与线段 MN 有两个不一样的交点，则 a 的取值范围是（）1y=axA．a≤﹣ 1 或≤a＜ B．≤ a＜ C． a≤或 a＞D． a≤﹣ 1 或 a≥16．（ 2018?深圳）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象以下图，以下结论正确是（）A．abc＞ 0B．2a b＜02 bx c﹣3=0有两个不相等的实数根C．3a c＜0 D． ax + +++17．（ 2018?河北）对于题目“一段抛物线 L：y=﹣ x（ x﹣ 3） c（0≤x≤ 3）与直线 l： y=x 2有++独一公共点，若 c 为整数，确立所有 c 的值，”甲的结果是 c=1，乙的结果是 c=3 或 4，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一同才正确D．甲、乙的结果合在一同也不正确18．（ 2018?长沙）若对于随意非零实数a，抛物线 y=ax2+ax﹣2a 总不经过点 P（ x0﹣ 3，x02﹣16），则切合条件的点P（）A．有且只有 1 个B．有且只有 2 个C．有且只有 3 个D．有无量多个19（．2018?广西）将抛物线 y=x2﹣ 6x+21 向左平移2 个单位后，获取新抛物线的分析式为（）A．y=（x﹣8）2+5 B．y=（x﹣4）2 +5 C．y=（x﹣8）2+3 D．y=（ x﹣4）2+3 20．（2018?哈尔滨）将抛物线 y=﹣ 5x2+1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所获取的抛物线为（）A．y=﹣5（x+1）2﹣1 B．y=﹣ 5（ x﹣ 1）2﹣1 C．y=﹣5（x+1）2+3 D．y=﹣5（x﹣1）2+3 21．（2018?广安）抛物线 y=（x﹣2）2﹣ 1 能够由抛物线 y=x2平移而获取，以下平移正确的选项是（）A．先向左平移 2 个单位长度，而后向上平移 1 个单位长度B．先向左平移 2 个单位长度，而后向下平移 1 个单位长度C．先向右平移 2 个单位长度，而后向上平移 1 个单位长度D．先向右平移 2 个单位长度，而后向下平移 1 个单位长度22．（ 2018?潍坊）已知二次函数y=﹣（ x﹣ h）2（h 为常数），当自变量 x 的值知足 2≤x≤5时，与其对应的函数值y 的最大值为﹣ 1，则 h 的值为（）A．3或6 B．1或 6 C．1或3 D．4或6223．（ 2018?黄冈）当 a≤x≤a+1 时，函数 y=x ﹣2x+1 的最小值为1，则a 的值为（）A．﹣ 1 B．2C．0或2D．﹣1 或 2．（山西）用配方法将二次函数2﹣8x﹣ 9 化为 y=a（x﹣ h）2+k 的形式为（）242018?y=xA．y=（x﹣4）2+7B．y=（x﹣4）2﹣25C． y=（x+4）2+7D．y=（ x+4）2﹣ 25 25．（2018?杭州）四位同学在研究函数y=x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现﹣ 1 是方程 x2+bx+c=0 的一个根；丙发现函数的最小值为 3；丁发现当 x=2时， y=4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁26．（ 2018?贵阳）已知二次函数y=﹣x2+x+6 及一次函数 y=﹣ x+m，将该二次函数在x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方，图象的其他部分不变，获取一个新函数（以下图），请你在图中画出这个新图象，当直线y=﹣x m 与新图象有 4个交点时， m 的取值范围是（）+A．﹣＜m＜3B．﹣＜m＜2C．﹣ 2＜ m＜3 D．﹣ 6＜m＜﹣ 227．（2018?大庆）如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（﹣ 1，0）、点 B（3，0）、点 C（4，y1），若点 D（ x2，y2）是抛物线上随意一点，有以下结论：①二次函数 y=ax2+bx+c 的最小值为﹣ 4a；②若﹣ 1≤x2≤4，则 0≤y2≤5a；③若y2＞ y1，则 x2＞4；④一元二次方程 cx2+bx+a=0 的两个根为﹣ 1 和此中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．428．（2018?天津）已知抛物线y=ax2+bx+c（ a，b，c 为常数， a≠0）经过点（﹣ 1，0），（0，3），其对称轴在y 轴右边．有以下结论：①抛物线经过点（ 1，0）；②方程 ax2+bx+c=2 有两个不相等的实数根；③﹣3＜a+b＜3此中，正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．329．（2018?陕西）对于抛物线y=ax2+（2a﹣1）x+a﹣3，当 x=1 时， y＞0，则这条抛物线的顶点必定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限30．（2018?绍兴）若抛物线 y=x2+ax+b 与 x 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，获取的抛物线过点（）A．（﹣ 3，﹣ 6）B．（﹣ 3，0） C．（﹣3，﹣ 5）D．（﹣ 3，﹣ 1）31．（ 2018?随州）以下图，已知二次函数2 bx c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y y=ax + +轴交于点C 对称轴为直线 x=1．直线 y=﹣x c 与抛物线y=ax2 bx c 交于 C、 D 两点， D 点在 x++ +轴下方且横坐标小于3，则以下结论：①2a+b+c＞ 0；② a﹣b+c＜0；③ x（ax+b）≤ a+b；④ a＜﹣ 1．此中正确的有（）A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个二．填空题（共 2 小题）1．（ 2018?乌鲁木齐）把拋物线y=2x2﹣4x+3 向左平移 1 个单位长度，获取的抛物线的分析式为．2．（2018?淮安）将二次函数y=x2﹣1 的图象向上平移 3 个单位长度，获取的图象所对应的函数表达式是．三．解答题（共15 小题）1．（ 2018?淮安）某景区商铺销售一种纪念品，每件的进货价为40 元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50 元时，每日可销售200 件；当每件的销售价每增添 1 元，每日的销售数目将减少10 件．（ 1）当每件的销售价为52 元时，该纪念品每日的销售数目为件；（ 2）当每件的销售价x 为多少时，销售该纪念品每日获取的收益y 最大？并求出最大收益．2．（2018?天门）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假定生产出的产品能所有售出．如图，线段 EF、折线 ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本 y2（元）与产量 x（kg）之间的函数关系．（1）求该产品销售价 y1（元）与产量 x（kg）之间的函数关系式；（2）直接写出生产成本 y2（元）与产量 x（ kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少时，这类产品获取的收益最大？最大收益为多少？3．（ 2018?扬州）“扬州漆器”名扬天下，某网店特意销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30 元/件，每日销售 y（件）与销售单价 x（元）之间存在一次函数关系，以下图．（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）假如规定每日漆器笔筒的销售量不低于 240 件，当销售单价为多少元时，每日获取的收益最大，最大收益是多少？（ 3）该网店店东热情公益事业，决定从每日的销售收益中捐出150 元给希望工程，为了保证捐钱后每日节余收益不低于3600 元，试确立该漆器笔筒销售单价的范围．4．（ 2018?衢州）某游玩园有一个直径为 16 米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心 3 米处达到最高，高度为 5 米，且各方向喷出的水柱恰幸亏喷水池中心的装修物处集合．以下图，以水平方向为 x 轴，喷水池中心为原点成立直角坐标系．（ 1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（ 2）王师傅在喷水池内维修设备时期，喷水管不测喷水，为了不被淋湿，身高 1.8 米的王师傅站即刻一定在离水池中心多少米之内？（3）经检修评估，游玩园决定对喷水设备做以下设计改良：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到 32 米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保存的原装修物（高度不变）处集合，请研究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．5．（ 2018?威海）为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：供给10 万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收 5 名职工，销售一种火爆的电子产品，并商定用该网店经营的收益，逐月归还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件 4 元，员工每人每个月的薪资为4 千元，该网店还需每个月支付其他花费1 万元．该产品每个月销售量y（万件）与销售单价x（元）万件之间的函数关系以下图．（ 1）求该网店每个月收益w（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（ 2）小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10 万元的无息贷款？6．（ 2018?福建）如图，在足够大的空地上有一段长为 a 米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，此中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100 米木栏．（ 1）若 a=20，所围成的矩形菜园的面积为450 平方米，求所利用旧墙AD 的长；（ 2）求矩形菜园 ABCD面积的最大值．7．（2018?十堰）为早日实现脱贫奔小康的雄伟目标，我市联合当地丰富的山川资源，鼎力发展旅行业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，特意招待旅客，合作社共有80间客房．依据合作社供给的房间单价x（元）和游旅居住宅间数y（间）的信息，乐乐绘制出y 与 x 的函数图象以下图：（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）合作社规定每个房间价钱不低于 60 元且不超出 150 元，对于旅客所居住的每个房间，合作社每日需支出 20 元的各样花费，房价定为多少时，合作社每日赢利最大？最大收益是多少？8．（2018?眉山）传统的端午节马上到临，某公司接到一批粽子生产任务，商定这批粽子的出厂价为每只 4 元，按要求在 20 天内达成．为了准时达成任务，该公司招收了新工人，设新工人李明第 x 天生产的粽子数目为y 只， y 与 x 知足以下关系：y=（ 1）李明第几日生产的粽子数目为280 只？（ 2）如图，设第 x 天生产的每只粽子的成本是 p 元， p 与 x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第 x 天创建的收益为 w 元，求 w 与 x 之间的函数表达式，并求出第几日的收益最大？最大收益是多少元？（收益 =出厂价﹣成本）9．（ 2018?青岛）某公司投入研发花费 80 万元（ 80 万元只计入第一年景本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量 =销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为 6 元/ 件．此产品年销售量 y（万件）与售价 x（元 / 件）之间知足函数关系式 y=﹣ x+26．（1）求这类产品第一年的收益 W1（万元）与售价 x（元 / 件）知足的函数关系式；（2）该产品第一年的收益为 20 万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）第二年，该公司将第一年的收益 20 万元（ 20 万元只计入第二年景本）再次投入研发，使产品的生产成本降为 5 元/ 件．为保持市场据有率，公司规定第二年产品售价不超出第一年的售价，此外受产能限制，销售量没法超出12 万件．请计算该公司第二年的收益W2起码为多少万元．10．（2018?温州）温州某公司安排65 名工人生产甲、乙两种产品，每人每日生产 2 件甲或1件乙，甲产品每件可赢利15 元．依据市场需乞降生产经验，乙产品每日产量许多于 5 件，当每日生产 5 件时，每件可赢利 120 元，每增添 1 件，当日均匀每件收益减少 2 元．设每日安排x人生产乙产品．（ 1）依据信息填表产品种类每日工人数每日产量每件产品可获收益（人）（件）（元）甲15乙x x（ 2）若每日生产甲产品可获取的收益比生产乙产品可获取的收益多550 元，求每件乙产品可获取的收益．（ 3）该公司在不增添工人的状况下，增添生产丙产品，要求每日甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每日可生产 1 件丙（每人每日只好生产一件产品），丙产品每件可赢利 30 元，求每日生产三种产品可获取的总收益 W（元）的最大值及相应的 x 值．ABACD CCBAD BDBDA． CABDA．DBDBB DBCCB．Ay=2x2+1 ;y=x2+2;1.【解答】解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）=200﹣20=180（件），故答案为： 180；（2）由题意得： y=（ x﹣ 40）[ 200﹣10（x﹣ 50）] =﹣10x2+1100x﹣ 280002250∴每件销售价为 55元时，获取最大收益；最大收益为2250 元．2=﹣10（x﹣55）+【解答】解：（ 1）设 y1与 x 之间的函数关系式为y1=kx b，+∵经过点（ 0，168）与（ 180，60），∴，解得：，∴产品销售价 y1（元）与产量 x（ kg）之间的函数关系式为y1=﹣x+168（0≤x≤ 180）；（2）由题意，可适当 0≤x≤50 时， y2=70；当 130≤x≤180 时， y2=54；当 50＜ x＜ 130 时，设 y2与 x 之间的函数关系式为 y2=mx+n，∵直线 y2=mx+n 经过点（ 50， 70）与（ 130，54），∴，解得，∴当 50＜x＜130 时， y2=﹣x+80．综上所述，生产成本y2（元）与产量 x（kg）之间的函数关系式为y2=；（ 3）设产量为xkg 时，获取的收益为W 元，①当0≤x≤50 时， W=x（﹣x+168﹣70） =﹣（x﹣） 2+，∴当x=50 时， W 的值最大，最大值为3400；②当50＜x＜130 时， W=x[ （﹣x+168）﹣（﹣x+80）] =﹣（x﹣ 110）2+4840，∴当x=110 时， W 的值最大，最大值为4840；③当 130≤ x≤180 时， W=x（﹣x+168﹣54） =﹣（x﹣95）2+5415，∴当 x=130 时， W 的值最大，最大值为4680．所以当该产品产量为 110kg 时，获取的收益最大，最大值为4840 元．【解答】解：（ 1）由题意得：，解得：．故 y 与 x 之间的函数关系式为： y=﹣10x+700，（ 2）由题意，得﹣ 10x+700≥ 240，解得 x≤46，设收益为 w=（x﹣ 30）?y=（ x﹣30）（﹣ 10x+700），w=﹣10x2 +1000x﹣ 21000=﹣10（ x﹣ 50）2+4000，∵﹣ 10＜ 0，∴x＜ 50 时， w 随 x 的增大而增大，∴x=46 时， w 大 =﹣10（ 46﹣50）2+4000=3840，答：当销售单价为46 元时，每日获取的收益最大，最大收益是3840 元；（3） w﹣150=﹣10x2+1000x﹣21000﹣150=3600，﹣ 10（x﹣50）2=﹣250，x﹣50=± 5，x1=55， x2 =45，以下图，由图象得：当 45≤ x≤ 55 时，捐钱后每日节余收益不低于3600 元．【解答】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x﹣3）2 5（a+≠ 0），将（ 8，0）代入 y=a（x﹣3）2+5，得： 25a+5=0，解得： a=﹣，∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．（2）当 y=1.8时，有﹣（x﹣3）2 5=1.8，+解得： x1=﹣1，x2=7，∴为了不被淋湿，身高 1.8 米的王师傅站即刻一定在离水池中心7 米之内．（3）当 x=0时， y=﹣（x﹣3）2 5=．+设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+bx+，∵该函数图象过点（16，0），∴ 0=﹣× 162+16b+，解得： b=3，∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+3x+=﹣（x﹣）2+．∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．【解答】解：（ 1）设直线 AB 的分析式为： y=kx+b，代入 A（4，4）， B（ 6， 2）得：，解得：，∴直线 AB 的分析式为： y=﹣x+8，（ 2 分）同理代入 B（6，2）， C（8，1）可得直线 BC的分析式为： y=﹣x+5，（ 3 分）∵薪资及其他花费为：0.4×5+1=3 万元，∴当 4≤x≤6 时， w1=（x﹣4）（﹣ x+8）﹣ 3=﹣ x2+12x﹣ 35，（ 5 分）当 6≤x≤8 时， w2 =（x﹣ 4）（﹣ x+5）﹣ 3=﹣ x2+7x﹣ 23；（ 6 分）（ 2）当 4≤x≤6 时，w1=﹣ x2+12x﹣ 35=﹣（ x﹣6）2+1，∴当 x=6 时， w1取最大值是 1，（ 8 分）当 6≤x≤8 时，w2=﹣x2+7x﹣23=﹣（x﹣7）2+，当 x=7 时， w2取最大值是 1.5，（ 9 分）∴==6，即最快在第 7 个月可还清 10 万元的无息贷款．（ 10 分）【解答】解：（ 1）设 AB=xm，则 BC=（100﹣ 2x）m，依据题意得 x（100﹣2x）=450，解得 x1=5， x2=45，当x=5 时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去；当 x=45 时， 100﹣ 2x=10，答： AD 的长为 10m；（2）设 AD=xm，∴S= x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250，当 a≥50 时，则 x=50 时， S 的最大值为 1250；当 0＜a＜50 时，则当 0＜x≤a 时， S 随 x 的增大而增大，当 x=a 时， S 的最大值为 50a﹣ a2，综上所述，当 a≥ 50 时， S 的最大值为 1250；当 0＜a＜50 时， S 的最大值为 50a﹣a2．【解答】解：（ 1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b，，得，即 y 与 x 之间的函数关系式是 y=﹣0.5x+110；（ 2）设合作社每日获取的收益为 w 元，w=x（0.5x+110）﹣ 20（0.5x+110）=0.5x2+100x﹣2200=0.5（x+100）2﹣ 7200，∵60≤x≤150，∴当 x=150 时， w 获得最大值，此时w=24050，答：房价定为 150 元时，合作社每日赢利最大，最大收益是24050 元．【解答】解：（ 1）设李明第 x 天生产的粽子数目为280 只，由题意可知： 20x+80=280，解得 x=10．答：第 10 天生产的粽子数目为420 只．（2）由图象得，当 0≤ x＜ 10 时， p=2；当 10≤ x≤ 20 时，设 P=kx+b，把点（ 10，2），（ 20，3）代入得，，解得，∴p=0.1x+1，①0≤ x≤6 时， w=（4﹣2）× 34x=68x，当 x=6 时， w 最大 =408（元）；② 6＜ x≤10 时， w=（ 4﹣ 2）×（ 20x+80）=40x+160，∵ x 是整数，∴当 x=10 时， w 最大 =560（元）；③ 10＜x≤20 时， w=（4﹣0.1x﹣1）×（ 20x+80） =﹣ 2x2+52x+240，∵ a=﹣3＜0，∴当 x=﹣=13 时， w 最大 =578（元）；综上，当 x=13 时， w 有最大值，最大值为578．【解答】解：（ 1）W1=（x﹣6）（﹣ x+26）﹣ 80=﹣x2+32x﹣236．（2）由题意： 20=﹣x2+32x﹣236．解得： x=16，答：该产品第一年的售价是16 元．（ 3）由题意： 14≤ x≤16，W2=（x﹣ 5）（﹣ x+26）﹣ 20=﹣x2+31x﹣ 150，∵14≤x≤16，∴x=14 或16 时，W2有最小值，最小值=88（万元），答：该公司第二年的收益 W2起码为 88 万元．【解答】解：（ 1）由已知，每日安排 x 人生产乙产品时，生产甲产品的有（ 65﹣x）人，共生产甲产品 2（65﹣x）件．在乙每件 120 元赢利的基础上，增添 x 人，收益减少 2x 元每件，则乙产品的每件收益为（ 130﹣ 2x）元．故答案为： 65﹣ x；2（65﹣x）； 130﹣ 2x（ 2）由题意15×2（65﹣ x）=x（130﹣2x）+550∴x2﹣80x+700=0 解得 x1=10，x2=70（不合题意，舍去）∴130﹣2x=110（元）答：每件乙产品可获取的收益是110 元．（ 3）设生产甲产品m 人W=x（130﹣2x）+15×2m+30（65﹣x﹣ m）=﹣2（x﹣25）2+3200∵2m=65﹣ x﹣ m∴m=∵ x、 m 都是非负数∴取 x=26 时， m=13，65﹣x﹣ m=26即当 x=26 时， W 最大值 =3198答：安排 26 人生产乙产品时，可获取的最大收益为3198 元．。

二次函数检测题（一）（本检测题满分：100分，时间：90分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1.二次函数y ＝ax 2＋bx －1(a ≠0)的图象经过点(1，1)，则代数式1－a －b 的值为（ ） A ．－3 B ．－1 C ．2 D ．52.把抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得到的抛物线是（ ） A.B.C.D.3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为,则下列结论正确的是（ ） A.B.错误！未找到引用源。

＜0,错误！未找到引用源。

＞0C.错误！未找到引用源。

＜0,错误！未找到引用源。

＜0D.错误！未找到引用源。

＞0,错误！未找到引用源。

＜0 4.在二次函数的图象上，若错误！未找到引用源。

随错误！未找到引用源。

的增大而增大，则错误！未找到引用源。

的取值范围是（ ） A.1B.1C.-1D.-15.将二次函数223y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，结果为（ ） A.2(1)4y x =++ B.2(1)2y x =++ C.2(1)4y x =-+ D.2(1)2y x =-+6. 抛物线轴交点的纵坐标为（ ）A.-3B.-4C.-5 Ｄ.-1 7.已知二次函数，当取 ，（≠）时，函数值相等，则当取时，函数值为（ ） A.B .C.D.c8.已知二次函数，当取任意实数时，都有，则的取值范围是（ ）A ． ．C ．D ．9.如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点二次函数图象的对称轴为给出四个结论：①②③④，其中正确的结论是( ) A.②④B.①③C.②③D.①④10.已知二次函数的图象如图所示,其对称轴为直线，给出下列结论:(1)；(2)＞0；(3)；(4)；(5).则正确的结论是（ ）A.(1)(2)(3)(4)B.(2)(4)(5)C.(2)(3)(4)D.(1)(4)(5)二、填空题（每小题3分，共24分）11.在平面直角坐标系中，直线为常数）与抛物线交于两点，且错误！未找到引用源。

§3.3二次函数一、选择题1．(原创题)函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是() A．k<3 B．k<3且k≠0C．k≤3且k≠0 D．k≤3解析当k＝0时，y＝－6x＋3的图象与x轴有交点；当k≠0时，令y＝kx2－6x＋3＝0，∵y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，∴Δ＝36－12k≥0，∴k≤3.综上，k的取值范围为k≤3.答案 D2．(原创题)抛物线y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)的对称轴是直线() A．x＝1 B．x＝－1C．x＝－3 D．x＝3解析∵－1，3是方程a(x＋1)(x－3)＝0的两根，∴抛物线y＝a(x＋1)(x－3)与x轴交点横坐标是－1，3.∵这两个点关于对称轴对称，∴对称轴是x＝－1＋32＝1.答案 A3．(原创题)已知抛物线y＝x2－x－2与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2－m＋2 013的值为() A．2 013 B．2 014C．2 015 D．2 016解析把(m，0)代入y＝x2－x－2，得m2－m－2＝0，即m2－m＝2.∴m2－m ＋2 013＝2＋2 013＝2 015.故选C.答案 C4．(改编题)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是( ) A ．－1<x <5 B ．x >5 C ．x <－1且x >5D ．x <－1或x >5解析 由图象可知，抛物线与x 轴的一个交点为(5，0)，对称轴是x ＝2，根据抛物线的对称性可知抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(－1，0)．由图象看出当－1＜x ＜5时，函数图象在x 轴上方，所以不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是－1＜x ＜5.故选A. 答案 A5．(改编题)已知A (2，y 1)，B (3，y 2)，C (0，y 3)在二次函数y ＝ax 2＋c (a ＞0)的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是( )A ．y 3＜y 2＜y 1B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＜y 1＜y 3D. y 3＜y 1＜y 2解析 由题意可知，当x ≥0时，y 随x 的增大而增大．∵0＜2＜3，∴y 3＜y 1＜y 2. 答案 D 二、填空题6．(原创题)若二次函数y ＝x 2－2x ＋c 有最小值6，则c 的值为________． 解析 ∵y ＝x 2－2x ＋c ＝(x －1)2－1＋c ，∴－1＋c ＝6，解得c ＝7. 答案 77．(原创题)已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴的两个交点的横坐标分别是m ，n ，则m 2n ＋mn 2＝________．解析 由题意，得m ，n 是－x 2－2x ＋3＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系得m ＋n ＝－2，mn ＝－3.∴m 2n ＋mn 2＝mn (m ＋n )＝－3×(－2)＝6. 答案 68. (原创题)已知二次函数y ＝－23x 2－43x ＋2的图象与x 轴分别交于A ，B 两点(如图所示)，与y 轴交于点C ，点P 是其对称轴上一动点，当PB ＋PC 取得最小值时，点P 的坐标为________．解析 连结AC 交对称轴于P ，则此时PB ＋PC 有最小值．把x ＝0代入y ＝ －23x 2－43x ＋2，得y ＝2，即OC ＝2.把y ＝0代入y ＝－23x 2－43x ＋2，得x 1＝1，x 2＝－3，即OA ＝3，OB ＝1.∵y ＝－23x 2－43x ＋2＝－23(x ＋1)2＋83，∴抛物线的对称轴是x ＝－1.设对称轴与x 轴的交点为D ，则OD ＝1.由△ADP ∽△AOC 可得23＝DP 2，解得DP ＝43.∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，43.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，43三、解答题9．(原创题)如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (3，0)，B (1，0)，交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动(点P 不与A 重合)，过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D .(1)求抛物线的解析式；(2)求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值；(3)△APD 能否构成直角三角形？若能请直接写出点P 坐标，若不能请说明理由；(4)在抛物线对称轴上是否存在点M 使|MA －MC |最大？若存在，请求出点M 的坐标，若不存在请说明理由．解 (1)把点A (3，0)和点B (1，0)代入抛物线y ＝x 2＋bx ＋c ， 得：⎩⎨⎧9＋3b ＋c ＝0，1＋b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝3.∴y ＝x 2－4x ＋3.(2)把x ＝0代入y ＝x 2－4x ＋3，得y ＝3.∴C (0，3)． 又∵A (3，0)，设直线AC 的解析式为：y ＝kx ＋m ，把点A ，C 的坐标代入得：⎩⎨⎧m ＝3，k ＝－1.∴直线AC 的解析式为：y ＝－x ＋3. PD ＝－x ＋3－(x 2－4x ＋3) ＝－x 2＋3x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94.∵0<x <3，∴x ＝32时，PD 最大为94.即点P 在运动的过程中，线段PD 长度的最大值为94. (3)∵PD 与y 轴平行，且点A 在x 轴上，∴要使△APD 为直角三角形，只有当点P 运动到点B 时，此时点P 的坐标为：(1，0)．(4)∵点A ，B 关于抛物线的对称轴对称，∴作直线CB ，交抛物线的对称轴于点M ，则此时点M 即为使得|MA －MC |最大的点，∴|MA －MC |＝|MC －MB |＝BC . ∵B (1，0)，C (0，3)，∴设BC 的解析式为y ＝k ′x ＋n ，则⎩⎨⎧k ′＋n ＝0，n ＝3.∴⎩⎨⎧k ′＝－3，n ＝3.即y ＝－3x ＋3.当x ＝2时，y ＝－3.∴M (2，－3)．。

二次函数参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．（2018•泰安）一元二次方程（x+1）（x﹣3）=2x﹣5根的情况是（）A．无实数根B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3【分析】直接整理原方程，进而解方程得出x的值．【解答】解：（x+1）（x﹣3）=2x﹣5整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5，则x2﹣4x+2=0，（x﹣2）2=2，解得：x1=2+＞3，x2=2﹣，故有两个正根，且有一根大于3．故选：D．2．（2018•杭州）四位同学在研究函数y=x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】假设两位同学的结论正确，用其去验证另外两个同学的结论，只要找出一个正确一个错误，即可得出结论（本题选择的甲和丙，利用顶点坐标求出b、c的值，然后利用二次函数图象上点的坐标特征验证乙和丁的结论）．【解答】解：假设甲和丙的结论正确，则，解得：，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+4．当x=﹣1时，y=x2﹣2x+4=7，∴乙的结论不正确；当x=2时，y=x2﹣2x+4=4，∴丁的结论正确．∵四位同学中只有一位发现的结论是错误的，∴假设成立．故选：B．3．（2018•潍坊）已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（）A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6【分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．【解答】解：当h＜2时，有﹣（2﹣h）2=﹣1，解得：h1=1，h2=3（舍去）；当2≤h≤5时，y=﹣（x﹣h）2的最大值为0，不符合题意；当h＞5时，有﹣（5﹣h）2=﹣1，解得：h3=4（舍去），h4=6．综上所述：h的值为1或6．故选：B．4．（2018•泸州）已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（）A．1或﹣2 B．或C．D．1【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a．【解答】解：∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），∴对称轴是直线x=﹣=﹣1，∵当x≥2时，y随x的增大而增大，∴a＞0，∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9，∴3a2+3a﹣6=0，∴a=1，或a=﹣2（不合题意舍去）．故选：D．5．（2018•滨州）如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案．【解答】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；②当x=﹣1时，a﹣b+c=0，故②错误；③图象与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），∴A（3，0），故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．故选：B．6．（2018•连云港）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h=﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（）A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同B．点火后24s火箭落于地面C．点火后10s的升空高度为139mD．火箭升空的最大高度为145m【分析】分别求出t=9、13、24、10时h的值可判断A、B、C三个选项，将解析式配方成顶点式可判断D选项．【解答】解：A、当t=9时，h=136；当t=13时，h=144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同，此选项错误；B、当t=24时h=1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误；C、当t=10时h=141m，此选项错误；D、由h=﹣t2+24t+1=﹣（t﹣12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确；故选：D．7．（2018•成都）关于二次函数y=2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小D．y的最小值为﹣3【分析】根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否在成立，从而可以解答本题．【解答】解：∵y=2x2+4x﹣1=2（x+1）2﹣3，∴当x=0时，y=﹣1，故选项A错误，该函数的对称轴是直线x=﹣1，故选项B错误，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，当x=﹣1时，y取得最小值，此时y=﹣3，故选项D正确，故选：D．8．（2018•凉州区）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x 轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b=0；当x=﹣1时，y=a﹣b+c；然后由图象确定当x 取何值时，y＞0．【解答】解：①∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，故正确；②∵对称轴x=﹣=1，∴2a+b=0；故正确；③∵2a+b=0，∴b=﹣2a，∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故错误；④根据图示知，当m=1时，有最大值；当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．故正确．⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故错误．故选：A．9．（2018•岳阳）抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（）A．（﹣2，5）B．（﹣2，﹣5）C．（2，5） D．（2，﹣5）【分析】根据二次函数的性质y=a（x+h）2+k的顶点坐标是（﹣h，k）即可求解．【解答】解：抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标为（2，5），故选：C．10．（2018•宁波）如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P 的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a﹣b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．【解答】解：由二次函数的图象可知，a＜0，b＜0，当x=﹣1时，y=a﹣b＜0，∴y=（a﹣b）x+b的图象在第二、三、四象限，故选：D．11．（2018•达州）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣＜a＜﹣．其中正确结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【解答】解：①由开口可知：a＜0，∴对称轴x=＞0，∴b＞0，由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，∴abc＜0，故①错误；②∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为x=2，∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），∴x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，故②正确；③由于＜2，且（，y2）关于直线x=2的对称点的坐标为（，y2），∵，∴y1＜y2，故③正确，④∵=2，∴b=﹣4a，∵x=﹣1，y=0，∴a﹣b+c=0，∴c=﹣5a，∵2＜c＜3，∴2＜﹣5a＜3，∴﹣＜a＜﹣，故④正确故选：C．12．（2018•青岛）已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据反比例函数图象一次函数图象经过的象限，即可得出＜0、c＞0，由此即可得出：二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．【解答】解：观察函数图象可知：＜0、c＞0，∴二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴．故选：A．13．（2018•天津）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（﹣1，0），（0，3），其对称轴在y轴右侧．有下列结论：①抛物线经过点（1，0）；②方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根；③﹣3＜a+b＜3其中，正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】①由抛物线过点（﹣1，0），对称轴在y轴右侧，即可得出当x=1时y＞0，结论①错误；②过点（0，2）作x轴的平行线，由该直线与抛物线有两个交点，可得出方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根，结论②正确；③由当x=1时y＞0，可得出a+b＞﹣c，由抛物线与y轴交于点（0，3）可得出c=3，进而即可得出a+b＞﹣3，由抛物线过点（﹣1，0）可得出a+b=2a+c，结合a＜0、c=3可得出a+b＜3，综上可得出﹣3＜a+b＜3，结论③正确．此题得解．【解答】解：①∵抛物线过点（﹣1，0），对称轴在y轴右侧，∴当x=1时y＞0，结论①错误；②过点（0，2）作x轴的平行线，如图所示．∵该直线与抛物线有两个交点，∴方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根，结论②正确；③∵当x=1时y=a+b+c＞0，∴a+b＞﹣c．∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（0，3），∴c=3，∴a+b＞﹣3．∵当a=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，∴b=a+c，∴a+b=2a+c．∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴a+b＜c=3，∴﹣3＜a+b＜3，结论③正确．故选：C．14．（2018•德州）如图，函数y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A．B． C．D．【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．【解答】解：A、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，故选项正确；C、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；D、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．故选：B．15．（2018•威海）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（）A．abc＜0 B．a+c＜b C．b2+8a＞4ac D．2a+b＞0【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【解答】解：（A）由图象开口可知：a＜0由对称轴可知：＞0，∴b＞0，∴由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，∴abc＜0，故A正确；（B）由图象可知：x=﹣1，y＜0，∴y=a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故B正确；（C）由图象可知：顶点的纵坐标大于2，∴＞2，a＜0，∴4ac﹣b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，故C正确；（D）对称轴x=＜1，a＜0，∴2a+b＜0，故D错误；故选：D．16．（2018•衡阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，再由抛物线的对称轴方程得到b=﹣2a，则3a+b=a，于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c=﹣3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n﹣1有两个交点可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，而抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，所以①正确；∵2≤c≤3，而c=﹣3a，∴2≤﹣3a≤3，∴﹣1≤a≤﹣，所以②正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴x=1时，二次函数值有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以③正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n﹣1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选：D．17．（2018•枣庄）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（）A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b=0 D．a﹣b+c=0【分析】根据抛物线与x轴有两个交点有b2﹣4ac＞0可对A进行判断；由抛物线开口向上得a ＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称轴是x=1对C选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c=0，则可对D选项进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴ac＜0，所以B选项错误；∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，∴﹣=1，∴2a+b=0，所以C选项错误；∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，所以D选项正确；故选：D．18．（2018•随州）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C对称轴为直线x=1．直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b=﹣2a，则2a+b+c=c ＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则当x=﹣1时，y＜0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x=1时，二次函数有最大值，则ax2+bx+c≤a+b+c，于是可对③进行判断；由于直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，然后把b=﹣2a代入解a的不等式，则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴2a+b+c=2a﹣2a+c=c＞0，所以①正确；∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以②正确；∵x=1时，二次函数有最大值，∴ax2+bx+c≤a+b+c，∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；∵直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，∴x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，而b=﹣2a，∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确．故选：A．19．（2018•襄阳）已知二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（）A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2【分析】根据已知抛物线与x轴有交点得出不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，∴△=（﹣1）2﹣4×1×（m﹣1）≥0，解得：m≤5，故选：A．20．（2018•台湾）已知坐标平面上有一直线L，其方程式为y+2=0，且L与二次函数y=3x2+a 的图形相交于A，B两点：与二次函数y=﹣2x2+b的图形相交于C，D两点，其中a、b为整数．若AB=2，CD=4．则a+b之值为何？（）A．1 B．9 C．16 D．24【分析】判断出A、C两点坐标，利用待定系数法求出a、b即可；【解答】解：如图，由题意A（1，﹣2），C（2，﹣2），分别代入y=3x2+a，y=﹣2x2+b可得a=﹣5，b=6，∴a+b=1，故选：A．21．（2018•绍兴）若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A．（﹣3，﹣6）B．（﹣3，0）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，﹣1）【分析】根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论．【解答】解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），∴该抛物线解析式为y=x（x﹣2）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1．将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x﹣1+2）2﹣1﹣3=（x+1）2﹣4．当x=﹣3时，y=（x+1）2﹣4=0，∴得到的新抛物线过点（﹣3，0）．故选：B．22．（2018•安顺）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①由抛物线的开口方向，抛物线与y轴交点的位置、对称轴即可确定a、b、c的符号，即得abc的符号；②由抛物线与x轴有两个交点判断即可；③分别比较当x=﹣2时、x=1时，y的取值，然后解不等式组可得6a+3c＜0，即2a+c＜0；又因为a＜0，所以3a+c＜0．故错误；④将x=1代入抛物线解析式得到a+b+c＜0，再将x=﹣1代入抛物线解析式得到a﹣b+c＞0，两个不等式相乘，根据两数相乘异号得负的取符号法则及平方差公式变形后，得到（a+c）2＜b2，【解答】解：①由开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，然后由对称轴在y轴左侧，得到b与a同号，则可得b＜0，abc＞0，故①错误；②由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故②正确；③当x=﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0 （1）当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0 （2）（1）+（2）×2得：6a+3c＜0，即2a+c＜0又∵a＜0，∴a+（2a+c）=3a+c＜0．故③错误；④∵x=1时，y=a+b+c＜0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即[（a+c）+b][（a+c）﹣b]=（a+c）2﹣b2＜0，∴（a+c）2＜b2，故④正确．综上所述，正确的结论有2个．故选：B．。

一元二次方程与二次函数的含参问题一，堂前测1.如果关于x 的方程(m+2)x 2-2(m+1)x+m=0有且只有一个实数根，那么关于x 的 方程(m+1)x 2-2mx+m-1=0的根为（ ）A. －1或－3B. 1或３C. －1或３D. 1或－32. 已知关于x 的方程2(12)10k x---=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。

3. 当m 取何值时，关于x 的方程22210x mx m m ++--=有两个小于1的根?4. 已知函数y=x 2-x+4-2m 在-1≤x≤1时与x 轴有交点，求实数m 的取值范围。

5，已知关于x 的方程. 220 (0)kx x k k--=≠ （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数k 的值。

6已知关于 x 的方程x 2-(m+1)x+ =0 的两根是一矩形的两邻边长，当矩形的对角线长为 时，求m 的值7已知函数y= x 2-6x+m+4与x 轴有两个交点（x1,0）,(x2,0),若x1,x2满足3x1=|x2|+2,求m 的值。

二，例题1，已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（m +1）x + =0有实根。

（1）求m 的值（2）先作函数 的图像关于x 轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位，再向上平移2个单位，写出变化后的图像解析式。

（3）在（2）的条件下，第直线y=2x+n(n>m)与变化后的图像有公共点时，求n2-4n 的最大值和最小值。

2， 已知：关于x 的一元二次方程mx 2﹣（3m +1）x +2m +2=0 （m ＞1）。

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2（其中x 1＞x 2），若y 是关于m 的函数，且y =m x 2﹣2x 1，求这个函数的解析式；（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m =2的左侧部分沿直线m =2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当关于m 的函数y =2m +b 的图象与此图象有两个公共点时，求b 的取值范围。

××市各区2018届九年级中考二模数学试卷精选汇编：二次函数专题××区、××区24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） 已知平面直角坐标系xOy （如图7），直线m x y +=的经过点)0,4(-A 和点)3,(n B .（1）求、的值；（2）如果抛物线c bx x y ++=2经过点、，该抛物线的顶点为点，求ABP ∠sin 的值；（3）设点在直线m x y +=上，且在第一象限内，直线m x y +=与轴的交点为点，如果DOB AQO ∠=∠，求点的坐标.24.解：（1）∵直线m x y +=的经过点)0,4(-A∴04=+-m ……………………1分∴4=m ………………………………1分∵直线m x y +=的经过点)3,(n B∴34=+n ……………………1分∴1-=n …………………………………………1分（2）由可知点的坐标为)3,1(-∵抛物线c bx x y ++=2经过点、 ∴⎩⎨⎧=+-=+-310416c b c b ∴6=b ，8=c∴抛物线c bx x y ++=2的表达式为862++=x x y …………………1分∴抛物线862++=x x y 的顶点坐标为)1,3(--P ……………1分 ∴23=AB ,2=AP ,52=PB∴222PB BP AB =+∴︒=∠90PAB ……………………………………1分 图7∴PBAP ABP =∠sin ∴1010sin =∠ABP …………………………………………1分 （3）过点作x QH ⊥轴，垂足为点，则QH ∥轴∵DOB AQO ∠=∠,QBO OBD ∠=∠∴△OBD ∽△QBO ∴OBDB QB OB =……………1分 ∵直线4+=x y 与轴的交点为点∴点的坐标为)4,0(,4=OD 又10=OB ，2=DB ∴25=QB ，24=DQ ……………1分 ∵23=AB ∴28=AQ ,24=DQ∵QH ∥轴 ∴AQ AD QH OD = ∴28244=QH ∴8=QH ……………………………………1分即点的纵坐标是又点在直线4+=x y 上点的坐标为)8,4(……………1分××区24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）如图在直角坐标平面内，抛物线32-+=bx ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （-1，0）、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点.（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）联结AD 、DC ，求ACD ∆的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．。

2018年全国中考数学真题分类 二次函数概念、性质和图象（一）一、选择题1.（2018山东滨州，10，3分）如图，若二次函数（a ≠0）图象的对称轴为x ＝1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、点B （－1，0）则①二次函数的最大值为a ＋b ＋c ；②a －b ＋c ＜0；③b ²－4ac ＜0；④当y ＞0时，－1＜x ＜3．其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第10题图【答案】B【解析】由图像可知，当x ＝1时，函数值取到最大值，最大值为：a ＋b ＋c ,故①正确；因为抛物线经过点B （－1,0），所以当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝0,故②错误；因为该函数图象与x 轴有两个交点A 、B ，所以b ²－4ac ＞0，故③错误；因为点A 与点B 关于直线x ＝1对称，所以A (3，0)，根据图像可知，当y ＞0时，－1＜x ＜3，故④正确；故选B ． 【知识点】数形结合、二次函数的图像和性质2. （2018四川泸州，10题，3分）已知二次函数22233y ax ax a =+++（其中x 是自变量），当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，且21x -≤≤时，y 的最大值为9，则a 的值为（ ） A.1或2- B.2-或2 C.2 D.1【答案】D【解析】原函数可化为y=a(x+1)2+3a 2-a+3，对称轴为x=-1，当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，所以a>0，抛物线开口向上，因为21x -≤≤时，y 的最大值为9，结合对称轴及增减性可得，当x=12y ax bx c =++xy -1BOCAx =1时，y=9，带入可得，a 1=1，a 2=-2，又因为a>0，所以a=1 【知识点】二次函数，增减性3. （2018甘肃白银，10，3）如图是二次函数2(,,y ax bx c a b c =++是常数，0)a ≠图像的一部分，与x 轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x =1，对于下列说法：①0ab <，②20a b +=，③30a c +>，④()(a b m am b m +≥+为常数），⑤当13-<x <时，0y >，其中正确的是（ ）A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤【答案】A【思路分析】由抛物线的图像结合对称轴、与x 轴的交点逐一判断即可。

§3.3 二次函数一、选择题1．(2015·浙江温州模拟(2)，1，4分)若二次函数y ＝2x 2的图象经过点P (1，a )，则a 的值为 ( )A.12B ．1C ．2D ．4解析 把P (1，a )代入y ＝2x 2得a ＝2×1＝2. 答案 C2．(2015·浙江温州模拟(2)，6，4分)如图，已知抛物线与x 轴的一个交点A (1，0)，对称轴是x ＝－1，则该抛物线与x 轴的另一交点坐标是 ( ) A ．(－3，0) B ．(－2，0) C ．(3，0)D ．(2，0)解析 抛物线与x 轴的另一个交点为B (b ，0)， ∵抛物线与x 轴的一个交点A (1，0)，对称轴是x ＝－1， ∴1＋b2＝－1，解得b ＝－3，∴B (－3，0)． 答案 A3．(2014·浙江宁波期中，5，3分)对于y ＝2(x －3)2＋2的图象，下列叙述正确的是() A．顶点坐标为(－3，2)B．对称轴为y＝3C．当x≥3时y随x增大而增大D．当x≥3时y随x增大而减小解析形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数的顶点坐标为(h，k)，不难得出y＝2(x －3)2＋2的顶点坐标是(3，2)，对称轴是x＝3，故A和B都错误；因为a＝2＞0，则图象开口向上，且当x≥3时，y随x增大而增大；当x≤3时y随x 增大而减小，故C正确，D错误．故选C.答案 C4．(2013·浙江湖州中考模拟七，8，3分)函数y＝ax＋b与y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象大致是()解析本题可用排除法．A中，对于y＝ax＋b来说a＜0，对于y＝ax2＋bx ＋c来说，a＞0，故排除A；B中，对于y＝ax＋b来说a＞0，b＞0，对于y ＝ax2＋bx＋c来说，a＞0，b＜0，故排除B；C中，对于y＝ax＋b来说a＞0，b＜0，对于y＝ax2＋bx＋c来说，a＞0，b＜0，故C符合；D中，对于y＝ax ＋b来说a＞0，b＜0，对于y＝ax2＋bx＋c来说，a＜0，b＞0，故排除D.综上所述，选C.答案 C5．(2013·浙江湖州中考模拟十，8，3分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)过A(－2，0)，O(0，0)，B(－3，y1)，C(3，y2)四点，则y1与y2的大小关系是() A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定解析y＝ax2＋bx＋c(a＜0)过A(－2，0)、O(0，0)，∴抛物线的对称轴为x＝－1.∴抛物线上点B的对称点是(1，y1)．∵a＜0，∴当x＞－1时，y随x的增大而减小．∵1＜3，∴y1＞y2.故选A.答案 A6．(2014·浙江杭州朝晖中学三模，8，3分)设函数y＝kx2＋(3k＋2)x＋1，对于任意负实数k，当x<m时，y随x的增大而增大，则m的最大整数值为() A．2 B．－2C．－1 D．0解析∵k<0，∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大．∵当x＜m时，y随x的增大而增大，对称轴为x＝－b2a＝－3k＋22k，∴m≤－3k＋22k.又∵－3k＋22k＝－3 2－1k，k＜0，∴－3k＋22k>－32，∴m的最大整数值为－2.故选B.答案 B二、填空题7．(2015·浙江吴兴区一模，11，4分)二次函数y＝x2＋2x＋2的最小值为________．解析配方得：y＝x2＋2x＋2＝y＝x2＋2x＋12＋1＝(x＋1)2＋1，当x＝－1时，二次函数y＝x2＋2x＋2取得最小值为1.答案 18．(2014·浙江台州温岭四中一模，14，5分)将抛物线y＝－12x2＋bx＋c向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到的抛物线为y＝－12x2，则b＝____，c＝____．解析由y＝－12x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到y＝－12(x＋1)2－2，即y＝－12x2－x－52.故b＝－1，c＝－52.答案－1－5 29. (2014·浙江杭州江干一模，16，4分)如图，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y轴正半轴上，B(4，2)，一次函数y＝kx－1的图象平分它的面积．若关于x的函数y＝mx2－(3m＋k)x＋2m＋k的图象与坐标轴只有两个交点，则m的值为________．解析过B作BE⊥AD于E，连结OB，CE交于点P，∵P为矩形OCBE的对称中心，则过点P 的直线平分矩形OCBE 的面积．∵P 为OB 的中点，而B (4，2)，∴P 点坐标为(2，1)，∵P 点坐标为(2，1)，点P 在直线y ＝kx －1上，∴2k －1＝1，k ＝1.∵关于x 的函数y ＝mx 2－(3m ＋1)x ＋2m ＋1的图象与坐标轴只有两个交点，∴①当m ＝0时，y ＝－x ＋1，其图象与坐标轴有两个交点(0，1)，(1，0)；②当m ≠0时，函数y ＝mx 2－(3m ＋1)x ＋2m ＋1的图象为抛物线，且与y 轴总有一个交点(0，2m ＋1)，若抛物线过原点时，2m ＋1＝0，即m ＝－12，此时，Δ＝(3m ＋1)2－4m (2m ＋1)＝(m ＋1)2>0，故抛物线与x 轴有两个交点且过原点，符合题意．若抛物线不过原点，且与x 轴只有一个交点，也符合题意，此时Δ＝(m ＋1)2＝0，m ＝－1.综上所述，m 的值为：m ＝0或－1或－12. 答案 m ＝0或－1或－12 三、解答题10．(2015·浙江杭州模拟(35)，22，12分)阅读材料：若a ，b 都是非负实数，则a ＋b ≥2ab .当且仅当a ＝b 时，“＝”成立．证明：∵(a －b )2≥0，∴a －2ab ＋b ≥0，∴a ＋b ≥2ab .当且仅当a ＝b 时，“＝”成立．(1)已知x >0，求函数y ＝2x ＋2x 的最小值． (2)问题解决：汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时(含70公里和110公里)，每公里耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫118＋450x 2升．若该汽车以每小时x 公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y 升． ①求y 关于x 的函数关系式(写出自变量x 的取值范围)；②求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量(结果保留小数点后一位)． 解 (1)y ＝2x ＋2x ≥22x ×2x ＝4.当且仅当2x ＝2x ，即x ＝1时，“＝”成立．当x ＝1时，函数取得最小值，y 最小＝4；(2)①∵汽车在每小时70～110公里之间行驶时(含70公里和110公里)，每公里耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫118＋450x 2升，∴y ＝x ×⎝ ⎛⎭⎪⎫118＋450x 2＝x 18＋450x (70≤x ≤110)；②根据材料得：当x 18＝450x 时有最小值， 解得：x ＝90.经检验x ＝90是原方程的解， ∴该汽车的经济时速为90千米/时；当x ＝90时百公里耗油量为100×⎝ ⎛⎭⎪⎫118＋4508 100≈11.1(升)．。

2018年中考二次函数压轴题汇编2．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．3．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．5．如图，点P为抛物线y=x2上一动点．（1）若抛物线y=x2是由抛物线y=（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．6．已知直线y=x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点M在线段OA上，从O点出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点N在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位的速度匀速运动，连接MN，设运动时间为t秒（1）求抛物线解析式；（2）当t为何值时，△AMN为直角三角形；（3）过N作NH∥y轴交抛物线于H，连接MH，是否存在点H使MH∥AB，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点．（1）求抛物线解析式；（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．8．如图，已知二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．（1）求a值并写出二次函数表达式；（2）求b值；（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．9．如图，已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B 两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解折式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．10．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．综合与探究如图，抛物线y=x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE ∥AC交x轴于点E，交BC于点F．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．13．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．14．如图，已知抛物线y=ax2+bx与x轴分别交于原点O和点F（10，0），与对称轴l交于点E（5，5）．矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且AB=1，边AD，BC与抛物线分别交于点M，N．当矩形ABCD沿x轴正方向平移，点M，N位于对称轴l的同侧时，连接MN，此时，四边形ABNM的面积记为S；点M，N位于对称轴l的两侧时，连接EM，EN，此时五边形ABNEM的面积记为S．将点A 与点O重合的位置作为矩形ABCD平移的起点，设矩形ABCD平移的长度为t（0≤t≤5）．（1）求出这条抛物线的表达式；的值；（2）当t=0时，求S△OBN（3）当矩形ABCD沿着x轴的正方向平移时，求S关于t（0＜t≤5）的函数表达式，并求出t为何值时，S有最大值，最大值是多少？15．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D 与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF 是平行四边形？（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；（3）试求出AM+AN的最小值．17．如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．（1）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．18．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M 到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．19．在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P．（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．20．如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM 为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN 的值；若不存在，请说明理由．21．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知顶点为A抛物线经过点，点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN ∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．23．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°．（1）求抛物线的解析式；（2）若MN与直线y=﹣2x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1＞y2，解决以下问题：①求证：BC平分∠MBN；②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．24．如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．25．如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C （0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．26．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于B、C两点（点B在左，点C在右），交y轴于点A，且OA=OC，B（﹣1，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图2，点D为抛物线的顶点，连接CD，点P是抛物线上一动点，且在C、D两点之间运动，过点P作PE∥y轴交线段CD于点E，设点P的横坐标为t，线段PE长为d，写出d与t的关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD，在BD上有一动点Q，且DQ=CE，连接EQ，当∠BQE+∠DEQ=90°时，求此时点P的坐标．27．已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．28．已知：如图，一次函数y=kx﹣1的图象经过点A（3，m）（m＞0），与y 轴交于点B．点C在线段AB上，且BC=2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．若AC=CD．（1）求这个一次函数的表达式；（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（﹣，0），求这条抛物线的函数表达式．29．如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（，﹣3）和点B（3，0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC =S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．30．如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x 轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N 的坐标：若不存在，请说明理由．31．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D （4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．32．如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y=ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B 两点，直线y=x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y=ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．33．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B （3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．34．已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，），且∠BDC=90°，求点C的坐标；（3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．①求证：∠PDQ=90°；②求△PDQ面积的最小值．35．抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y=t（t＜）上方的部分沿直线l 向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点A，B，D的坐标分别为，，；（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；（3）如图②，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．36．如图，抛物线y=ax2+4x+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），点E（4，5），与y 轴交于点B，连接AB．（1）求该抛物线的解析式；（2）将△ABO绕点O旋转，点B的对应点为点F．①当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和△ABF的面积；②当点F到直线AE的距离为时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标．37．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．38．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于原点及点A，且经过点B（4，8），对称轴为直线x=﹣2．（1）求抛物线的解析式；（2）设直线y=kx+4与抛物线两交点的横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），当时，求k的值；（3）连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点Q，当S△POQ：S△BOQ=1：2时，求出点P的坐标．（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN=）39．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．40．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O 顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．2018年07月10日139****3005的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．如图，点A，B在双曲线y=（x＞0）上，点C在双曲线y=（x＞0）上，若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC=BC，则AB等于（）A．B．2 C．4 D．3【解答】解：点C在双曲线y=上，AC∥y轴，BC∥x轴，设C（a，），则B（3a，），A（a，），∵AC=BC，∴﹣=3a﹣a，解得a=1，（负值已舍去）∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），∴AC=BC=2，∴Rt△ABC中，AB=2，故选：B．二．解答题（共39小题）2．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，，解得：，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1．当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形．∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2．又∵t≠2，∴不存在．（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=PF•OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+．②∵﹣＜0，∴当t=时，S取最大值，最大值为．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC==3，∴P点到直线BC的距离的最大值为=，此时点P的坐标为（，）．3．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题可知当y=0时，a（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0），∴OA=1，OB=3∵△OCA∽△OBC，∴OC：OB=OA：OC，∴OC2=OA•OB=3，则OC=；（2）∵C是BM的中点，即OC为斜边BM的中线，∴OC=BC，∴点C的横坐标为，又OC=，点C在x轴下方，∴C（，﹣），设直线BM的解析式为y=kx+b，把点B（3，0），C（，﹣）代入得：，解得：b=﹣，k=，∴y=x﹣，又∵点C（，﹣）在抛物线上，代入抛物线解析式，解得：a=，∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2；（3）点P存在，设点P坐标为（x，x2﹣x+2），过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q，则Q（x，x﹣），∴PQ=x﹣﹣（x2﹣x+2）=﹣x2+3x﹣3，当△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大，S△BCP=PQ（3﹣x）+PQ（x﹣）=PQ=﹣x2+x﹣，有最大值，四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为当x=﹣=时，S△BCP（，﹣）．4．如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x﹣10），∵当t=2时，AD=4，∴点D的坐标为（2，4），∴将点D坐标代入解析式得﹣16a=4，解得：a=﹣，抛物线的函数表达式为y=﹣x2+x；（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t，∴AB=10﹣2t，当x=t时，AD=﹣t2+t，∴矩形ABCD的周长=2（AB+AD）=2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）]=﹣t2+t+20=﹣（t﹣1）2+，∵﹣＜0，∴当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；（3）如图，当t=2时，点A、B、C、D的坐标分别为（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4），∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为（5，2），当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为（4，4），此时GH不能将矩形面积平分；当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为（6，0），此时GH也不能将矩形面积平分；∴当G、H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不可能将矩形的面积平分，当点G、H分别落在线段AB、DC上时，直线GH过点P，必平分矩形ABCD的面积，∵AB∥CD，∴线段OD平移后得到的线段GH，∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P，在△OBD中，PQ是中位线，∴PQ=OB=4，所以抛物线向右平移的距离是4个单位．5．如图，点P为抛物线y=x2上一动点．（1）若抛物线y=x2是由抛物线y=（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．【解答】解：（1）∵抛物线y=（x+2）2﹣1的顶点为（﹣2，﹣1）∴抛物线y=（x+2）2﹣1的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y=x2的图象．（2）①存在一定点F，使得PM=PF恒成立．如图一，过点P作PB⊥y轴于点B设点P坐标为（a，a2）∴PM=PF=a2+1∵PB=a∴Rt△PBF中BF=∴OF=1∴点F坐标为（0，1）②由①，PM=PFQP+PF的最小值为QP+PM的最小值当Q、P、M三点共线时，QP+PM有最小值，最小值为点Q纵坐标加M纵坐标的绝对值．∴QP+PF的最小值为6．6．已知直线y=x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点M在线段OA上，从O点出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点N在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位的速度匀速运动，连接MN，设运动时间为t秒（1）求抛物线解析式；（2）当t为何值时，△AMN为直角三角形；（3）过N作NH∥y轴交抛物线于H，连接MH，是否存在点H使MH∥AB，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线y=x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，3）．将A（﹣3，0）、B（0，3）代入y=x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线解析式为y=x2+4x+3．（2）当运动时间为t秒时，点M的坐标为（﹣t，0），点N的坐标为（t﹣3，t），∴AM=3﹣t，AN=t．∵△AMN为直角三角形，∠MAN=45°，∴△AMN为等腰直角三角形（如图1）．当∠ANM=90°时，有AM=AN，即3﹣t=2t，解得：t=1；当∠AMN=90°时，有t﹣3=﹣t，解得：t=．综上所述：当t为1秒或秒时，△AMN为直角三角形．（3）设NH与x轴交于点E，如图2所示．当运动时间为t秒时，点M的坐标为（﹣t，0），点N的坐标为（t﹣3，t），∴点E的坐标为（t﹣3，0），点H的坐标为（t﹣3，t2﹣2t）．∵MH∥AB，∴∠EMH=45°，∴△EMH为等腰直角三角形，∴ME=HE，即|2t﹣3|=|t2﹣2t|，解得：t1=1，t2=3（舍去），t3=，t4=﹣（舍去）．当t=时，点E在点M的右边，点H在x轴下方，∴此时MH⊥AB，∴t=1．∴存在点H使MH∥AB，点H的坐标为（﹣2，﹣1）．7．如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点．（1）求抛物线解析式；（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x﹣），把A（1，1）代入得a•1（1﹣）=1，解得a=﹣，∴抛物线解析式为y=﹣x（x﹣），即y=﹣x2+x；（2）延长CA交y轴于D，如图1，∵A（1，1），∴OA=，∠DOA=45°，∴△AOD为等腰直角三角形，∵OA⊥AC，∴OD=OA=2，∴D（0，2），易得直线AD的解析式为y=﹣x+2，解方程组得或，则C（5，﹣3），∴S△AOC =S△COD﹣S△AOD=×2×5﹣×2×1=4；（3）存在．如图2，作MH⊥x轴于H，AC==4，OA=，设M（x，﹣x2+x）（x＞0），∵∠OHM=∠OAC，∴当=时，△OHM∽△OAC，即=，解方程﹣x2+x=4x得x1=0（舍去），x2=﹣（舍去），解方程﹣x2+x=﹣4x得x1=0（舍去），x2=，此时M点坐标为（，﹣54）；当=时，△OHM∽△CAO，即=，解方程﹣x2+x=x得x1=0（舍去），x2=，此时M点的坐标为（，），解方程﹣x2+x=﹣x得x1=0（舍去），x2=﹣，此时M点坐标为（，﹣）；∵MN⊥OM，∴∠OMN=90°，∴∠MON=∠HOM，∴△OMH∽△ONM，∴当M点的坐标为（，﹣54）或（，）或（，﹣）时，以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似．8．如图，已知二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．（1）求a值并写出二次函数表达式；（2）求b值；（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），∴2=4a+1，解得：a=，∴二次函数表达式为y=x2+1．（2）∵一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2），∴2=k×0+b，∴b=2．（3）证明：过点M作ME⊥y轴于点E，如图1所示．设点M的坐标为（x，x2+1），则MC=x2+1，∴ME=|x|，EB=|x2+1﹣2|=|x2﹣1|，∴MB=，=，=，=，=x2+1．∴MB=MC．（4）相切，理由如下：过点N作ND⊥x轴于D，取MN的中点为P，过点P作PF⊥x轴于点F，过点N 作NH⊥MC于点H，交PF于点Q，如图2所示．由（3）知NB=ND，∴MN=NB+MB=ND+MC．∵点P为MN的中点，PQ∥MH，∴PQ=MH．∵ND∥HC，NH∥DC，且四个角均为直角，∴四边形NDCH为矩形，∴QF=ND，∴PF=PQ+QF=MH+ND=（ND+MH+HC）=（ND+MC）=MN．∴以MN为直径的圆与x轴相切．9．如图，已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B 两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解折式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3，∴﹣=3，解得：a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．当y=0时，﹣x2+x+4=0，解得：x1=﹣2，x2=8，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．（2）当x=0时，y=﹣x2+x+4=4，∴点C的坐标为（0，4）．设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）．将B（8，0）、C（0，4）代入y=kx+b，，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x+4．假设存在，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），过点P作PD∥y轴，交直线BC 于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），如图所示．∴PD=﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）=﹣x2+2x，∴S=PD•OB=×8•（﹣x2+2x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16．△PBC∵﹣1＜0，∴当x=4时，△PBC的面积最大，最大面积是16．∵0＜x＜8，∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16．（3）设点M的坐标为（m，﹣m2+m+4），则点N的坐标为（m，﹣m+4），∴MN=|﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）|=|﹣m2+2m|．又∵MN=3，∴|﹣m2+2m|=3．。

第三部分函数及其图象3.9 二次函数综合题【一】知识点清单二次函数综合题【二】分类试题汇编及参考答案与解析一、选择题1．（2018年湖北省随州市-第10题-3分）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C对称轴为直线x=1．直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【知识考点】二次函数与不等式（组）；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．【思路分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b=﹣2a，则2a+b+c=c ＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则当x=﹣1时，y＜0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x=1时，二次函数有最大值，则ax2+bx+c≤a+b+c，于是可对③进行判断；由于直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，然后把b=﹣2a代入解a的不等式，则可对④进行判断．【解答过程】解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴2a+b+c=2a﹣2a+c=c＞0，所以①正确；∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以②正确；∵x=1时，二次函数有最大值，∴ax2+bx+c≤a+b+c，∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；∵直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，∴x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，而b=﹣2a，∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确．故选：A．【总结归纳】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．也考查了二次函数图象与系数的关系．2．（2018年湖北省孝感市-第9题-3分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=6cm，动点P 从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．【知识考点】动点问题的函数图象．【思路分析】根据题意表示出△PBQ的面积S与t的关系式，进而得出答案．【解答过程】解：由题意可得：PB=3﹣t，BQ=2t，则△PBQ的面积S=PB•BQ=（3﹣t）×2t=﹣t2+3t，故△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下．故选：C．【总结归纳】此题主要考查了动点问题的函数图象，正确得出函数关系式是解题关键．二、填空题三、解答题1．（2018年湖北省随州市-第22题-11分）为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（1≤x≤15，且x为整数）每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表：任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：y=设李师傅第x天创造的产品利润为W元．（1）直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围：（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？（3）任务完成后．统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？【知识考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【思路分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围：（2）根据题意和题目中的函数表达式可以解答本题；（3）根据（2）中的结果和不等式的性质可以解答本题．【解答过程】解：（1）设p与x之间的函数关系式为p=kx+b，，解得，，即p与x的函数关系式为p=0.5x+7（1≤x≤15，x为整数），当1≤x＜10时，W=[20﹣（0.5x+7）]（2x+20）=﹣x2+16x+260，当10≤x≤15时，W=[20﹣（0.5x+7）]×40=﹣20x+520，即W=；（2）当1≤x＜10时，W=﹣x2+16x+260=﹣（x﹣8）2+324，∴当x=8时，W取得最大值，此时W=324，当10≤x≤15时，W=﹣20x+520，∴当x=10时，W取得最大值，此时W=320，∵324＞320，∴李师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元；（3）当1≤x＜10时，令﹣x2+16x+260=299，得x1=3，x2=13，当W＞299时，3＜x＜13，∵1≤x＜10，∴3＜x＜10，当10≤x≤15时，令W=﹣20x+520＞299，得x＜11.05，∴10≤x≤11，由上可得，李师傅获得奖金的月份是4月到11月，李师傅共获得奖金为：20×（11﹣3）=160（元），即李师傅共可获得160元奖金．【总结归纳】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解不等式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．2．（2018年湖北省随州市-第24题-12分）如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，m），代入所设解析式求解可得；（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN 均为钝角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=﹣1于点H，证△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解．【解答过程】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），∴OA=1，∴OC=3OA，∴点C的坐标为（0，3），将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c，得：，解得：，∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，所以点G的坐标为（1，4）．（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，过点G′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，∵△A′B′G′为等边三角形，∴G′D=B′D=m，则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，m），将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，得：，解得：（舍），，∴k=1；（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），∴PQ=OA=1，∵∠AOQ、∠PQN均为钝角，∴△AOQ≌△PQN，如图2，延长PQ交直线y=﹣1于点H，则∠QHN=∠OMQ=90°，又∵△AOQ≌△PQN，∴OQ=QN，∠AOQ=∠PQN，∴∠MOQ=∠HQN，∴△OQM≌△QNH（AAS），∴OM=QH，即x=﹣x2+2x+2+1，解得：x=（负值舍去），当x=时，HN=QM=﹣x2+2x+2=，点M（，0），∴点N坐标为（+，﹣1），即（，﹣1）；或（﹣，﹣1），即（1，﹣1）；如图3，同理可得△OQM≌△PNH，∴OM=PH，即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1，解得：x=﹣1（舍）或x=4，当x=4时，点M的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6，∴点N的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；综上点M1（，0）、N1（，﹣1）；M2（，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．【总结归纳】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点．3．（2018年湖北省恩施州-第24题-12分）如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为（﹣1，0），OC=2，OB=3，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；（3）若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面积均为定值S，求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）由OC与OB的长，确定出B与C的坐标，再由A坐标，利用待定系数法确定出抛物线解析式即可；（2）分三种情况讨论：当四边形CBPD是平行四边形；当四边形BCPD是平行四边形；四边形BDCP 是平行四边形时，利用平移规律确定出P坐标即可；（3）由B与C坐标确定出直线BC解析式，求出与直线BC平行且与抛物线只有一个交点时交点坐标，确定出交点与直线BC解析式，进而确定出另一条与直线BC平行且与BC距离相等的直线解析式，确定出所求M坐标，且求出定值S的值即可．【解答过程】解：（1）由OC=2，OB=3，得到B（3，0），C（0，2），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），把C（0，2）代入得：2=﹣3a，即a=﹣，则抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+x+2；（2）抛物线y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣1）2+，∴D（1，），当四边形CBPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（4，）；当四边形CDBP是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（2，﹣）；当四边形BCPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（﹣2，）；（3）设直线BC解析式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，2）代入得：，解得：，∴y=﹣x+2，设与直线BC平行的解析式为y=﹣x+b，联立得：，消去y得：2x2﹣6x+3b﹣6=0，当直线与抛物线只有一个公共点时，△=36﹣8（3b﹣6）=0，解得：b=，即y=﹣x+，此时交点M1坐标为（，）；可得出两平行线间的距离为，同理可得另一条与BC平行且平行线间的距离为的直线方程为y=﹣x+，联立解得：M2（，﹣），M3（，﹣﹣），此时S=1．【总结归纳】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．4．（2018年湖北省荆门市-第24题-12分）如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于原点及点A ，且经过点B （4，8），对称轴为直线x=﹣2． （1）求抛物线的解析式；（2）设直线y=kx+4与抛物线两交点的横坐标分别为x 1，x 2（x 1＜x 2），当211112x x -=时，求k 的值； （3）连接OB ，点P 为x 轴下方抛物线上一动点，过点P 作OB 的平行线交直线AB 于点Q ，当S △POQ ：S △BOQ =1：2时，求出点P 的坐标．（坐标平面内两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）之间的距离MN =【知识考点】二次函数综合题【思路分析】（1）先利用对称轴公式得出b=4a ，进而利用待定系数法即可得出结论；（2）先利用根与系数的关系得出，x 1+x 2=4（k ﹣1），x 1x 2=﹣16，转化已知条件，代入即可得出结论； （3）先判断出OB=2PQ ，进而判断出点C 是OB 中点，再求出AB 解析式，判断出PC ∥AB ，即可得出PC 解析式，和抛物线解析式联立解方程组即可得出结论．【解答过程】解：（1）根据题意得，，∴，∴抛物线解析式为y=x 2+x ；（2）∵直线y=kx+4与抛物线两交点的横坐标分别为x 1，x 2， ∴x 2+x=kx+4，∴x 2﹣4（k ﹣1）x ﹣16=0，根据根与系数的关系得，x 1+x 2=4（k ﹣1），x 1x 2=﹣16，∵，∴2（x1﹣x2）=x1x2，∴4（x1﹣x2）2=（x1x2）2，∴4[（x1+x2）2﹣4x1x2]=（x1x2）2，∴4[16（k﹣1）2+64]=162，∴k=1；（3）如图，取OB的中点C，∴BC=OB，∵B（4，8），∴C（2，4），∵PQ∥OB，∴点O到PQ的距离等于点O到OB的距离，∵S△POQ：S△BOQ=1：2，∴OB=2PQ，∴PQ=BC，∵PQ∥OB，∴四边形BCPQ是平行四边形，∴PC∥AB，∵抛物线的解析式为y=x2+x②，令y=0，∴x2+x=0，∴x=0或x=﹣4，∴A（﹣4，0），∵B（4，8），∴直线AB解析式为y=x+4，设直线PC的解析式为y=x+m，∵C（2，4），∴直线PC的解析式为y=x+2②，联立①②解得，（舍）或，∴P（﹣2，﹣2+2）．【总结归纳】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，一元二次方程的根与系数的关系，平行四边形的判定和性质，等高的两三角形面积的比等于底的比，判断出OB=2PQ是解本题的关键．5．（2018年湖北省黄石市-第25题-10分）已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，14），且∠BDC=90°，求点C的坐标；（3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．①求证：∠PDQ=90°；②求△PDQ面积的最小值．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）将点（3，1）代入解析式求得a的值即可；（2）设点C的坐标为（x0，y0），其中y0=（x0﹣1）2，作CF⊥x轴，证△BDO∽△DCF得=，即==据此求得x0的值即可得；（3）①设点P的坐标为（x1，y1），点Q为（x2，y2），联立直线和抛物线解析式，化为关于x的方程可得，据此知（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16，由PM=y1=（x1﹣1）2、QN=y2=（x2﹣1）2、DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1知PM•QN=DM•DN=16，即=，从而得△PMD∽△DNQ，据此进一步求解可得；②过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则DG=4，根据S△PDQ=DG•MN列出关于k的等式求解可得．【解答过程】解：（1）将点（3，1）代入解析式，得：4a=1，解得：a=，所以抛物线解析式为y=（x﹣1）2；（2）由（1）知点D坐标为（1，0），设点C的坐标为（x0，y0），（x0＞1、y0＞0），则y0=（x0﹣1）2，如图1，过点C作CF⊥x轴，∴∠BOD=∠DFC=90°、∠DCF+∠CDF=90°，∵∠BDC=90°，∴∠BDO+∠CDF=90°，∴∠BDO=∠DCF，∴△BDO∽△DCF，∴=，∴==，解得：x0=17，此时y0=64，∴点C的坐标为（17，64）．（3）①证明：设点P的坐标为（x1，y1），点Q为（x2，y2），（其中x1＜1＜x2，y1＞0，y2＞0），由，得：x2﹣（4k+2）x+4k﹣15=0，∴，∴（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16，如图2，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为M、N，则PM=y1=（x1﹣1）2，QN=y2=（x2﹣1）2，DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1，∴PM•QN=DM•DN=16，∴=，又∠PMD=∠DNQ=90°，∴△PMD∽△DNQ，∴∠MPD=∠NDQ，而∠MPD+∠MDP=90°，∴∠MDP+∠NDQ=90°，即∠PDQ=90°；②过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则点G的坐标为（1，4），所以DG=4，∴S△PDQ=DG•MN=×4×|x1﹣x2|=2=8，∴当k=0时，S△PDQ取得最小值16．【总结归纳】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质及一元二次方程根与系数的关系等知识点．6．（2018年湖南省株洲市-第26题-12分）如图，已知二次函数y=ax2﹣（a＞0）的图象抛物线与x轴相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，（1）若抛物线的对称轴为x a值；（2）若a=15，求c的取值范围；（3）若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且∠OBD=60°，抛物线的对称轴l与x轴相交点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为132a，连接AF，满足∠ADB=∠AFE，求该二次函数的解析式．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）根据抛物线的对称轴公式代入可得a的值；（2）根据已知得：抛物线与x轴有两个交点，则△＞0，列不等式可得c的取值范围；（3）根据60°的正切表示点B的坐标，把点B的坐标代入抛物线的解析式中得：ac=12，则c=，从而得A和B的坐标，表示F的坐标，作辅助线，构建直角△ADG，根据已知的角相等可得△ADG∽△AFE，列比例式得方程可得a和c的值．【解答过程】解：（1）抛物线的对称轴是：x=﹣=﹣=，解得：a=；（2）由题意得二次函数解析式为：y=15x2﹣5+c，∵二次函数与x轴有两个交点，∴△＞0，∴△=b2﹣4ac=﹣4×15c，∴c＜；（3）∵∠BOD=90°，∠DBO=60°，∴tan60°===，∴OB=c，∴B（c，0），把B（c，0）代入y=ax2﹣5x+c中得：5+c=0，﹣5c+c=0，∵c≠0，∴ac=12，∴c=，把c=代入y=ax2﹣5x+c中得：y=a（x2﹣+）=a（x﹣）（x﹣），∴x1=，x2=，∴A（，0），B（，0），D（0，），∴AB=﹣=，AE=，∵F的纵坐标为3+，∴F（，），过点A作AG⊥DB于G，∴BG=AB=AE=，AG=，DG=DB﹣BG=﹣=，∵∠ADB=∠AFE，∠AGD=∠FEA=90°，∴△ADG∽△AFE，∴，∴=，∴a=2，c=6，∴y=2x2﹣5x+6．【总结归纳】本题是二次函数综合题，涉及的知识点有：代入法的运用，根与判别式的关系，对称轴公式，解方程，三角形相似的性质和判定，勾股定理等知识，第3问有难度，利用特殊角的三角函数表示A 、B 两点的坐标是关键，综合性较强．7．（2018年湖南省益阳市-第26题-12分）如图，已知抛物线21322y x x n =--（n ＞0）与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴交于点C ．（1）如图1，若△ABC 为直角三角形，求n 的值；（2）如图1，在（1）的条件下，点P 在抛物线上，点Q 在抛物线的对称轴上，若以BC 为边，以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点的坐标；（3）如图2，过点A 作直线BC 的平行线交抛物线于另一点D ，交y 轴于点E ，若AE ：ED=1：4，求n 的值．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）利用三角形相似可求AO•OB ，再由一元二次方程根与系数关系求AO•OB 构造方程求n ；（2）求出B 、C 坐标，设出点Q 坐标，利用平行四边形对角线互相平分性质，分类讨论点P 坐标，分别代入抛物线解析式，求出Q 点坐标；（3）设出点D 坐标（a ，b ），利用相似表示OA ，再由一元二次方程根与系数关系表示OB ，得到点B 坐标，进而找到b 与a 关系，代入抛物线求a 、n 即可． 【解答过程】解：（1）若△ABC 为直角三角形∴△AOC∽△COB∴OC2=AO•OB当y=0时，0=x2﹣x﹣n由一元二次方程根与系数关系﹣OA•OB=OC2n2=解得n=0（舍去）或n=2∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2（2）由（1）当x2﹣x﹣2=0时解得x1=﹣1，x2=4∴OA=1，OB=4∴B（4，0），C（0，﹣2）∵抛物线对称轴为直线x=﹣∴设点Q坐标为（，b）由平行四边形性质可知当BQ、CP为平行四边形对角线时，点P坐标为（，b+2）代入y=x2﹣x﹣2解得b=则P点坐标为（，）当CQ、PB为为平行四边形对角线时，点P坐标为（﹣，b﹣2）代入y=x2﹣x﹣2解得b=则P坐标为（﹣，）综上点P坐标为（，）（﹣，）；（3）设点D坐标为（a，b）∵AE：ED=1：4则OE=，OA=∵AD∥AB∴△AEO∽△BCO∵OC=n∴∴OB=由一元二次方程根与系数关系x1x2=∴b=将点A（﹣，0），D（a，）代入y=x2﹣x﹣n解得a=6或a=0（舍去）则n=【总结归纳】本题是代数几何综合题，考查了二次函数图象性质、一元二次方程根与系数关系、三角形相似以及平行四边形的性质，解答关键是综合运用数形结合分类讨论思想．8．（2018年江苏省南通市-第27题-12分）已知，正方形ABCD，A（0，﹣4），B（l，﹣4），C（1，﹣5），D（0，﹣5），抛物线y=x2+mx﹣2m﹣4（m为常数），顶点为M．（1）抛物线经过定点坐标是，顶点M的坐标（用m的代数式表示）是；（2）若抛物线y=x2+mx﹣2m﹣4（m为常数）与正方形ABCD的边有交点，求m的取值范围；（3）若∠ABM=45°时，求m的值．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）判断函数图象过定点时，可以分析代入的x值使得含m的同类项合并后为系数为零．（2）由（1）中用m表示的顶点坐标，可以得到在m变化时，抛物线顶点M抛物线在y=﹣x2+4x ﹣4上运动，分析该函数图象和正方形ABCD的顶点位置关系可以解答本题；（3）由已知点M在过点B且与AB夹角为45°角的直线与抛物线在y=﹣x2+4x﹣4的交点上，则问题可解．【解答过程】解：（1）y=x2+mx﹣2m﹣4=（x2﹣4）+m（x﹣2）=（x﹣2）（x+2+m），当x=2时，y=0，∴抛物线经过定点坐标是（2，0）．∵抛物线的解析式为y=x2+mx﹣2m﹣4，∴顶点M的对称轴为直线x=﹣=﹣当x═﹣时，y=（﹣）2+m•（﹣）﹣2m﹣4=﹣故答案为：（2，0）；（﹣，﹣）．（2）设x=﹣，y=﹣则m=﹣2x，带入y=﹣，﹣．整理得y=﹣x2+4x﹣4即抛物线的顶点在抛物线y=﹣x2+4x﹣4上运动．其对称轴为直线x=2，当抛物线顶点直线x=2右侧时即m＜﹣4时，抛物线y=x2+mx﹣2m﹣4与正方形ABCD无交点．当m＞﹣4时，观察抛物线的顶点所在抛物线y=﹣x2+4x﹣4恰好过点A（0，﹣4），此时m=0当抛物线y=x2+mx﹣2m﹣4过点C（1，﹣5）时﹣5=1+m﹣2m﹣4，得m=2∴抛物线y=x2+mx﹣2m﹣4（m为常数）与正方形ABCD的边有交点时m的范围为：0≤m≤2（3）由（2）抛物线顶点M在抛物线y=﹣x2+4x﹣4上运动当点M在线段AB上方时，过点B且使∠ABM=45°的直线解析式为y=﹣x﹣3联立方程﹣x2+4x﹣4=﹣x﹣3求交点横坐标的x1=（舍去）x2=m=﹣5+当点M在线段AB下方时过点B且使∠ABM=45°的直线解析式为y=x﹣5联立方程﹣x2+4x﹣4=x﹣5求交点横坐标为x1=（舍去）x2=m=﹣3∴m的值为﹣5+或﹣3【总结归纳】本题考查含有字母参数的二次函数图象及其性质，解答过程中注意数形结合，关注m 的变化过程中，抛物线的变化趋势．9．（2018年江苏省镇江市-第28题-10分）如图，二次函数y=x2﹣3x的图象经过O（0，0），A（4，4），B（3，0）三点，以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，得到△OA′B′，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过O，A′，B′三点．（1）画出△OA′B′，试求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的表达式；（2）点P（m，n）在二次函数y=x2﹣3x的图象上，m≠0，直线OP与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点Q（异于点O）．①求点Q的坐标（横、纵坐标均用含m的代数式表示）②连接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范围；③当点Q在第一象限内，过点Q作QQ′平行于x轴，与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交于另一点Q′，与二次函数y=x2﹣3x的图象交于点M，N（M在N的左侧），直线OQ′与二次函数y=x2﹣3x的图象交于点P′．△Q′P′M∽△QB′N，则线段NQ的长度等于．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）由位似求出A′、B′坐标，代入解析式即可；（2）①用m表示P的坐标及OP解析式，用m表示OP与抛物线交点Q的坐标，表示用m表示AP、OQ，代入2AP＞OQ，求出m范围；②用m表示QQ′解析式，得到P′坐标，求出M、N坐标，应用△Q′P′M∽△QB′N构造方程求m．【解答过程】解：（1）由以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，得==∵A（4，4），B（3，0）∴A′（8，8），B′（6，0）将O（0，0），A′（8，8），B′（6，0）代入y=ax2+bx+c得解得∴二次函数的解析式为y=x2﹣3x；（2）①∵点P在y=x2﹣3x的图象上，∴n=m2﹣3m，∴P（m，m2﹣3m），设直线OP的解析式为y=kx将点P代入，得mk=m2﹣3m，解得k=m﹣3，∴OP：y=（m﹣3）x∵直线OP与y=x2﹣3x交于点Q∴x2﹣3x=（m﹣3）x，解得x1=0（舍），x2=2m，∴Q（2m，2m2﹣6）②∵P（m，n）在二次函数y=x2﹣3x的图象上∴n=m2﹣3m∴P（m，m2﹣3m）设直线OP的解析式为y=kx，将点P（m，m2﹣3m）代入函数解析式，得mk=m2﹣3m∴k=m﹣3∴OP的解析是为y=（m﹣3）x∵OP与y═x2﹣3x交于Q点∴解得（不符合题意舍去）∴Q（2m，2m2﹣6m）过点P作PC⊥x轴于点C，过点Q作QD⊥x轴于点D 则OC=|m|，PC=|m2﹣3m|，OD=|2m|，QD=|22﹣6m|∵==2∴△OCP∽△ODQ∴OQ=2OP∵2AP＞OQ∴2AP＞2OP，即AP＞OP∴＞化简，得m2﹣2m﹣4＜0，解得1﹣＜m＜1+，且m≠0；③P（m，m2﹣3m），Q（2m，2m2﹣6m）∵点Q在第一象限，∴，解得＞3由Q（2m，2m2﹣6m），得QQ′的表达式是y=2m2﹣6m ∵QQ′交y=x2﹣3x交于点Q′解得（不符合题意，舍）∴Q′（6﹣2m，2m2﹣6m）设OQ′的解析是为y=kx，（6﹣2m）k=2m2﹣6m解得k=﹣m，OQ′的解析式为y=﹣m∵OQ′与y=x2﹣3x交于点P′∴﹣mx=x2﹣3x解得x1=0（舍），x2=3﹣m∴P′（3﹣m，m2﹣3m）∵QQ′与y=x2﹣3x交于点P′∴﹣mx=x2﹣3x解得x1=0（舍去），x2=3﹣m∴P′（3﹣m，m2﹣3m）∵QQ′与y=x2﹣3x交于点M、N∴x2﹣3x=2m2﹣6m解得x1=，x2=∵M在N左侧∴M（，2m2﹣6m）N（，2m2﹣6m）∵△Q′P′M∽△QB′N∴∵即化简得m2﹣12m+27=0解得：m1=3（舍），m2=9∴N（12，108），Q（8，108）∴QN=6故答案为：6【总结归纳】本题二次函数背景的代数几何综合题，综合考查二次函数、一次函数、三角形相似的性质，应用数形结合的数学思想．10．（2018年江苏省徐州市-第27题-8分）已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B （2，﹣5）①求该函数的关系式；②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【知识考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．【思路分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B点坐标代入，即可求出二次函数的解析式．（2）根据的函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标．（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【解答过程】解：（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3）令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0）当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位故A'（2，4），B'（5，﹣5）∴S△OA′B′=×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．【总结归纳】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象交点、图形面积的求法等知识．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．11．（2018年江苏省宿迁市-第27题-12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）根据函数解析式可以直接得到抛物线与x轴的两个交点坐标；令x=0，即可求得点D的纵坐标；（2）由抛物线顶点坐标公式求得点C的坐标，易得线段PB、PC的长度；①若△AOD∽△BPC时，则=，将相关线段的长度代入求得a的值；②若△AOD∽△CPB时，则=，将相关线段的长度代入求得a的值；（3）能．理由如下：联结BD，取中点M，则D、O、B在同一个圆上，且圆心M为（，a）．若点C也在圆上，则MC=MB．根据两点间的坐标求得相关线段的长度，借助于方程解答即可．【解答过程】解：（1）∵y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3），∴A（a，0），B（3，0）．当x=0时，y=3a，∴D（0，3a）；（2）∵A（a，0），B（3，0），∴对称轴直线方程为：x=．当x=时，y=﹣（）2，∴C（，﹣（）2），PB=3﹣，PC=（）2，①若△AOD∽△BPC时，则=，即=，解得a=±3（舍去）；②若△AOD∽△CPB时，则=，即=，解得a=3（舍去）或a=．所以a的值是．（3）能．理由如下：联结BD，取中点M∵D、O、B在同一个圆上，且圆心M为（，a）．若点C也在圆上，则MC=MB．即（﹣）2+（a+（）2）2=（﹣3）2+（a﹣0）2，整理，得a4﹣14a2+45=0，所以（a2﹣5）（a2﹣9）=0，解得a1=，a2=﹣（舍），a3=3（舍），a4=﹣3（舍），∴a=．【总结归纳】考查了二次函数综合题，需要掌握二次函数解析式的三种形式，抛物线对称轴的求法，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，方程思想的应用．解题时，注意“分类讨论”、“方程思想”等数学思想的应用，难度较大．12．（2018年江苏省连云港市-第26题-12分）如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m（k ＜0）与y2=ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．（1）直接写出这两个二次函数的表达式；（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E 是对应顶点）的点E的坐标【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；（2）先确定出MM'=（1﹣m2）﹣（3m2﹣3）=4﹣4m2，进而建立方程2m=4﹣4m2，即可得出结论；（3）先利用勾股定理求出AD=，同理：CD=，BC=，再分两种情况：①如图1，当△DBC∽△DAE时，得出，进而求出DE=，即可得出E（0，﹣），再判断出△DEF∽△DAO，得出，求出DF=，EF=，再用面积法求出E'M=，即可得出结论；②如图2，当△DBC∽△ADE时，得出，求出AE=，当E在直线AD左侧时，先利用勾股定理求出PA=，PO=，进而得出PE=，再判断出即可得出点E坐标，当E'在直线DA右侧时，即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵点A（1，0），B（0，1）在二次函数y1=kx2+m（k＜0）的图象上，∴，∴，∴二次函数解析式为y1=﹣x2+1，∵点A（1，0），D（0，﹣3）在二次函数y2=ax2+b（a＞0）的图象上，∴，∴，∴二次函数y2=3x2﹣3；（2）设M（m，﹣m2+1）为第一象限内的图形ABCD上一点，M'（m，3m2﹣3）为第四象限的图形上一点，∴MM'=（1﹣m2）﹣（3m2﹣3）=4﹣4m2，由抛物线的对称性知，若有内接正方形，∴2m=4﹣4m2，∴m=或m=（舍），∵0＜＜1，∴存在内接正方形，此时其边长为；（3）在Rt△AOD中，OA=1，OD=3，∴AD==，同理：CD=，在Rt△BOC中，OB=OC=1，∴BC==，①如图1，当△DBC∽△DAE时，∵∠CDB=∠ADO，∴在y轴上存在E，由，∴，∴DE=，∵D（0，﹣3），∴E（0，﹣），由对称性知，在直线DA右侧还存在一点E'使得△DBC∽△DAE'，连接EE'交DA于F点，作E'M⊥OD于M，连接E'D，∵E，E'关于DA对称，∴DF垂直平分线EE'，∴△DEF∽△DAO，∴，∴，∴DF=，EF=，∵S△DEE'=DE•E'M=EF×DF=，∴E'M=，∵DE'=DE=，在Rt△DE'M中，DM==2，∴OM=1，∴E'（，﹣1），②如图2，当△DBC∽△ADE时，有∠BDC=∠DAE，，∴，∴AE=，当E在直线AD左侧时，设AE交y轴于P，作EQ⊥AC于Q，∵∠BDC=∠DAE=∠ODA，∴PD=PA，设PD=n，∴PO=3﹣n，PA=n，在Rt△AOP中，PA2=OA2+OP2，∴n2=（3﹣n）2+1，∴n=，∴PA=，PO=，∵AE=，∴PE=，在AEQ中，OP∥EQ，∴，∴OQ=，∵，∴QE=2，∴E（﹣，﹣2），当E'在直线DA右侧时，根据勾股定理得，AE==，∴AE'=∵∠DAE'=∠BDC，∠BDC=∠BDA，∴∠BDA=∠DAE'，∴AE'∥OD，∴E'（1，﹣），综上，使得△BDC与△ADE相似（其中点C与E是对应顶点）的点E的坐标有4个，即：（0，﹣）或（，﹣1）或（1，﹣）或（﹣，﹣2）．【总结归纳】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，相似三角形的判定和性质，对称性，正确作出辅助线和用分类讨论的思想是解本题的关键．。