2018年山东十七地市数学中考题二次函数解答题

2018年全国各地中考数学试题《二次函数》解答题试题汇编（含答案解析）1．（2018•达州）如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点．（1）求抛物线解析式；（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．2．（2018•眉山）传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：y=（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）3．（2018•河南）如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M 的坐标．4．（2018•抚顺）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 元最大？最大利润是多少元？5．（2018•张家界）如图，已知二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．（1）求a值并写出二次函数表达式；（2）求b值；（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．6．（2018•资阳）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．7．（2018•葫芦岛）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？（3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？8．（2018•新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2018•山西）综合与探究如图，抛物线y=x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE ∥AC交x轴于点E，交BC于点F．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．10．（2018•青岛）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=﹣x+26．（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．11．（2018•福建）已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．12．（2018•乐山）已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5=0（m≠0）．（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）若抛物线y=mx2+（1﹣5m）x﹣5=0与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|=6，求m的值；（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．13．（2018•襄阳）襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y=，且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W 元（利润=销售收入﹣成本）．（1）m=，n=；（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？（3）在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？14．（2018•荆门）随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a=，y与t的函数关系如图所示．（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；（2）求y与t的函数关系式；（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）15．（2018•贵阳）六盘水市梅花山国际滑雪自建成以来，吸引大批滑雪爱好者，一滑雪者从山坡滑下，测得滑行距离y（单位：cm）与滑行时间x（单位：s）之间的关系可以近似的用二次函数来表示．（1）根据表中数据求出二次函数的表达式．现测量出滑雪者的出发点与终点的距离大约800m，他需要多少时间才能到达终点？（2）将得到的二次函数图象补充完整后，向左平移2个单位，再向上平移5个单位，求平移后的函数表达式．16．（2018•盐城）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．（1）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．17．（2018•天津）在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P．（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．18．（2018•邵阳）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM 为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN 的值；若不存在，请说明理由．19．（2018•济宁）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2018•杭州）设二次函数y=ax2+bx﹣（a+b）（a，b是常数，a≠0）．（1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．（2）若该二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．（3）若a+b＜0，点P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0．21．（2018•温州）如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y=2x 经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B．（1）求a，b的值．（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K=．求K关于m的函数表达式及K的范围．22．（2018•黔西南州）某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是抛物线）（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本）（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？23．（2018•黄冈）已知直线l：y=kx+1与抛物线y=x2﹣4x．（1）求证：直线l与该抛物线总有两个交点；（2）设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k=﹣2时，求△OAB的面积．24．（2018•河南）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y （个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表：（注：日销售利润=日销售量×（销售单价﹣成本单价））（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值；（2）根据以上信息，填空：该产品的成本单价是元，当销售单价x=元时，日销售利润w最大，最大值是元；（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？25．（2018•黄冈）我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y（万件）与月份x（月）的关系为：y=，每件产品的利润z（元）与月份x（月）的关系如下表：（1）请你根据表格求出每件产品利润z（元）与月份x（月）的关系式；（2）若月利润w（万元）=当月销售量y（万件）×当月每件产品的利润z（元），求月利润w（万元）与月份x（月）的关系式；（3）当x为何值时，月利润w有最大值，最大值为多少？26．（2018•娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B （3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．27．（2018•黑龙江）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．28．（2018•北京）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．29．（2018•淄博）如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B（3，﹣），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．30．（2018•兰州）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4经过A（﹣3，0），B（5，﹣4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：AB平分∠CAO；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．31．（2018•绍兴）学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1，P2，P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形．若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式．请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式．（1）P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）；（2）P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）．32．（2018•巴中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣2），OB=4OA，tan∠BCO=2．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M、N分别是线段BC、AB上的动点，点M从点B出发以每秒个单位的速度向点C运动，同时点N从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，当点M、N中的一点到达终点时，两点同时停止运动．过点M作MP⊥x轴于点E，交抛物线于点P．设点M、点N的运动时间为t（s），当t为多少时，△PNE 是等腰三角形？33．（2018•绵阳）如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（，﹣3）和点B（3，0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得S=S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；△AOC若不存在，请说明理由．34．（2018•安徽）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）．（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？35．（2018•遵义）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C （0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．36．（2018•随州）为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x 天（1≤x≤15，且x为整数）每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表：任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：y=设李师傅第x天创造的产品利润为W元．（1）直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围：（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？（3）任务完成后，统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？37．（2018•广东）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y=ax2+b（a≠0）与x 轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y=ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．38．（2018•怀化）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A （﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．39．（2018•黄石）已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，），且∠BDC=90°，求点C的坐标；（3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．①求证：∠PDQ=90°；②求△PDQ面积的最小值．40．（2018•达州）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．（1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？（2）若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？41．（2018•遂宁）如图，已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3，且与x 轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解折式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．42．（2018•岳池县三模）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．43．（2018•温州）温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排x人生产乙产品．（1）根据信息填表：（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润．（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W（元）的最大值及相应的x值．44．（2018•宜宾）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M 到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．45．（2018•深圳）已知顶点为A抛物线经过点，点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN ∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．46．（2018•湖州）已知抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．47．（2018•岳阳）已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．48．（2018•无锡）已知：如图，一次函数y=kx﹣1的图象经过点A（3，m）（m ＞0），与y轴交于点B．点C在线段AB上，且BC=2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．若AC=CD．（1）求这个一次函数的表达式；（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（﹣，0），求这条抛物线的函数表达式．49．（2018•青海）如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴交点分别为A（﹣1，0），B （3，0），C（0，2），作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的横坐标为t（0＜t＜3），求△ABP的面积S与t的函数关系式；（3）条件同（2），若△ODP与△COB相似，求点P的坐标．50．（2018•日照）如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．51．（2018•湖北）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系．（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？52．（2018•郴州）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B （3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．53．（2018•东营）如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B 两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．54．（2018•扬州）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？。

中考数学真题汇编:二次函数一、选择题1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（）A. ①③B. ③④C. ②④D. ②③【答案】B2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】B3.关于二次函数，下列说法正确的是（）A. 图像与轴的交点坐标为B. 图像的对称轴在轴的右侧C. 当时，的值随值的增大而减小D. 的最小值为-3【答案】D4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( )A. B. C. D. 有两个不相等的实数根【答案】C5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )A. B. C. D.【答案】B6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。

已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A. （-3，-6）B. （-3，0）C. （-3，-5）D. （-3，-1）【答案】B7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（）A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同B. 点火后24s火箭落于地面C. 点火后10s的升空高度为139mD. 火箭升空的最大高度为145m【答案】D8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，其中正确的是（）A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤【答案】A10.如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为-1，则一次函数y=（a-b）x+b的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D11.四位同学在研究函数（b，c是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当时，．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B12.如图所示,△DEF中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B是斜边DF上一动点,过B作AB⊥DF于B,交边DE(或边EF)于点A,设BD=x,△ABD的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为（）A. （B.C. D. （【答案】B二、填空题13.已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）【答案】增大14.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。

二次函数参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．（2018?泰安）一元二次方程（x+1）（x﹣3）=2x﹣5根的情况是（）A．无实数根B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3【分析】直接整理原方程，进而解方程得出x的值．【解答】解：（x+1）（x﹣3）=2x﹣52﹣2x﹣3=2xx﹣5，整理得：2﹣4x+2=0则x，2=2），（x﹣2﹣=2，＞3，解得：x=2x+21故有两个正根，且有一根大于3．故选：D．2+bx+c（b杭州）四位同学在研究函数y=x，c是常数）时，甲发现当x=1时，函数有2．（2018?2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为31是方程x；丁发现当x=2时，最小值；乙发现﹣y=4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】假设两位同学的结论正确，用其去验证另外两个同学的结论，只要找出一个正确一个错误，即可得出结论（本题选择的甲和丙，利用顶点坐标求出b、c的值，然后利用二次函数图象上点的坐标特征验证乙和丁的结论）．解：假设甲和丙的结论正确，则，【解答】解得：，2﹣2x+4∴抛物线的解析式为y=x．2﹣2x+4=71时，y=x，当x=﹣∴乙的结论不正确；2﹣2x+时，y=x4=4，当x=2∴丁的结论正确．∵四位同学中只有一位发现的结论是错误的，∴假设成立．故选：B．2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤﹣3．（2018?潍坊）已知二次函数y=﹣（xh）5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（）A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6【分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意第1页（共14页）不符，可得出该情况不存在；当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．2=﹣）1，2时，有﹣（2﹣h【解答】解：当h＜解得：h=1，h=3（舍去）；212的最大值为0），不符合题意；y=﹣（x﹣h当2≤h ≤5时，2=﹣1，时，有﹣（5﹣h）当h＞5解得：h=4（舍去），h=6．43综上所述：h的值为1或6．故选：B．22+3（其中x是自变量），当x3a≥2时，y随x2018?4．（泸州）已知二次函数y=ax 的增+2ax+大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（）．DC2 B．．1或A．1或﹣【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a．22+3（其中x是自变量）+2ax+3a【解答】解：∵二次函数y=ax，﹣=﹣1∴对称轴是直线x=，∵当x≥2时，y随x的增大而增大，∴a＞0，∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，2+3=9，+2a+3a∴x=1时，y=a2+3a﹣3a6=0，∴∴a=1，或a=﹣2（不合题意舍去）．故选：D．2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为2018?．（滨州）如图，若二次函数y=axx=1，与y轴交于点C，5与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；2﹣4ac＜③b0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）第2页（共14页）4．．3 D．1 B．2 CA轴的交点，进而分别分析得出答案．x【分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与2，且开口向下，x=1≠0）图象的对称轴为bx+c（a【解答】解：①∵二次函数y=ax+，故①正确；c+b+b+c，即二次函数的最大值为a∴x=1时，y=a+，故②错误；c=0b+时，x=﹣1a﹣②当2，故③错误；04ac2个交点，故b＞﹣③图象与x轴有，），0A、点B（﹣1④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点，），0∴A（3，故④正确．3x＜0时，﹣1＜故当y＞．B故选：）满足（s（m）与飞行时间t．6（2018?连云港）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h2）24t+1函数表达式h=﹣t．则下列说法中正确的是（+的升空高度相同和点火后13sA．点火后9s火箭落于地面．点火后24sB139m10s的升空高度为C．点火后145mD．火箭升空的最大高度为三个选项，将解析式配方成顶点、CA、B24、10时h的值可判断【分析】分别求出t=9、13、选项．D式可判断的升空13s；所以点火后9s和点火后时，h=136；当t=13时，h=144【解答】解：A、当t=9高度不相同，此选项错误；，此选项错误；1m，所以点火后24s火箭离地面的高度为t=24时h=1≠0B、当，此选项错误；h=141mt=10时C、当22，此选项正确；145m14512）知火箭升空的最大高度为t﹣++24t+1=﹣（t﹣D、由h=．故选：D2）﹣1，下列说法正确的是（．（2018?成都）关于二次函数y=2x4x+7），1y轴的交点坐标为（0A．图象与轴的右侧yB．图象的对称轴在值的增大而减小x时，y的值随C．当x＜03的最小值为﹣．yD从而可以解答本题．根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否在成立，【分析】22，﹣+1）3【解答】解：∵y=2x4x+﹣1=2（x错误，A﹣1，故选项y=∴当x=0时，错误，B1，故选项x=该函数的对称轴是直线﹣错误，的增大而减小，故选项C时，y随xx当＜﹣1正确，D3取得最小值，此时y=﹣，故选项y1x=当﹣时，143第页（共页）故选：D．2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x8．（2018?凉州区）如图是二次函数y=ax轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b=0；当x=﹣1时，y=a ﹣b+c；然后由图象确定当x取何值时，y＞0．【解答】解：①∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，故正确；﹣=1，②∵对称轴x=∴2a+b=0；故正确；③∵2a+b=0，∴b=﹣2a，∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故错误；④根据图示知，当m=1时，有最大值；2+bm+c≤a+1时，有amb+c，≠当m所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．故正确．⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故错误．故选：A．第4页（共14页）2）的顶点坐标是（） +5．（2018?岳阳）抛物线y=3（x﹣29），﹣5 D．（2 C．（2，5）5A．（﹣2，）B．（﹣2，﹣5）2）即可求解．，kk的顶点坐标是（﹣hy=a（x+）h+【分析】根据二次函数的性质2，5）的顶点坐标为（2x﹣2），+5【解答】解：抛物线y=3（．故选：C2P．若点bx的图象开口向下，且经过第三象限的点（2018?宁波）如图，二次函数y=axP+10．）b的图象大致是（﹣b）x+的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a．．CAD．B．的正负情况，从而可以得到一次函数经过ba﹣a、b、【分析】根据二次函数的图象可以判断哪几个象限，本题得以解决．解：由二次函数的图象可知，【解答】，＜0＜0，ba，＜0时，y=a﹣b当x=﹣1的图象在第二、三、四象限，+bb）x∴y=（a﹣．D故选：2轴的交y），与A（﹣1，0（2018?达州）如图，二次函数y=ax+bx+c的图象与x 轴交于点11．．，对称轴为直线x=20，3）之间（不包括这两点）点B在（0，2）与（）是函数图象上的两，，点Ny（Mc9a；②+3b+＞0；③若点y（，）0abc下列结论：①＜21．ay；④﹣＜＜﹣＜y点，则21145第页（共页）其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【解答】解：①由开口可知：a＜0，x=＞0∴对称轴，∴b＞0，由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，∴abc＜0，故①错误；②∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为x=2，∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），∴x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，故②正确；2＜，③由于的对称点的坐标为（，y）关于直线x=2），且（，y22∵，∴y＜y，故③正确，21④∵=2，∴b=﹣4a，∵x=﹣1，y=0，∴a﹣b+c=0，∴c=﹣5a，∵2＜c＜3，∴2＜﹣5a＜3，＜﹣，故④正确∴﹣＜a故选：C．2+bx+ccy=x+的图象如图，则二次函数y=ax在平面直角坐标2018?．12（青岛）已知一次函数系中的图象可能是（）第6页（共14页）．．．CAD．B，由此即可得0、c【分析】＞根据反比例函数图象一次函数图象经过的象限，即可得出＜02轴负正半轴，再对照四yy轴的交点在﹣＞0出：二次函数y=ax，与+bx+c的图象对称轴x=个选项中的图象即可得出结论．，【解答】0解：观察函数图象可知：＜0、c＞2轴负正半轴．﹣＞0x=，与y轴的交点在y∴二次函数y=ax++bxc的图象对称轴．A故选：2，3），（0，a≠0）经过点（﹣1，0y=ax．（2018?天津）已知抛物线）+bx+c（a，b，c为常数，13轴右侧．有下列结论：其对称轴在y；0）①抛物线经过点（1，2有两个不相等的实数根；+c=2+bx②方程ax3b＜＜a+③﹣3）其中，正确结论的个数为（3．．2 D0 A．B．1 C，结论①错0时y＞0），对称轴在y轴右侧，即可得出当x=1【分析】①由抛物线过点（﹣1，误；2有两c=2bxx轴的平行线，由该直线与抛物线有两个交点，可得出方程ax++）作②过点（0，2个不相等的实数根，结论②正确；，进而即可c=33）可得出y轴交于点（0，＞y0，可得出a+b＞﹣c，由抛物线与③由当x=1时，＜3a+b，结合a＜0、c=3可得出c1得出a+b＞﹣3，由抛物线过点（﹣，0）可得出a+b=2a+，结论③正确．此题得解．3+b＜＜综上可得出﹣3a 轴右侧，y0），对称轴在【解答】解：①∵抛物线过点（﹣1，，结论①错误；0y＞∴当x=1时轴的平行线，如图所示．x2）作②过点（0，∵该直线与抛物线有两个交点，2有两个不相等的实数根，结论②正确；+axc=2+bx∴方程，0+c＞y=a③∵当x=1时+b．cb＞﹣∴a+2，），0）经过点（03≠为常数，，，（+y=ax∵抛物线+bxcabca147第页（共页）∴c=3，∴a+b＞﹣3．∵当a=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，∴b=a+c，∴a+b=2a+c．∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴a+b＜c=3，∴﹣3＜a+b＜3，结论③正确．故选：C．2）在同一平面直角0a≠ay=ax﹣（a．（2018?德州）如图，函数y=ax是常数，且﹣2x+1和14）坐标系的图象可能是（．D．． C A．B【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．2﹣2x+，此时二次函数y=ax1的图象应、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0【解答】解：A该开口向下，故选项错误；2﹣2x+1的图象应该开口向上，＞a的图象可得：a0，此时二次函数y=axB、由一次函数y=ax﹣﹣＞x=0，故选项正确；对称轴2﹣2x+10，此时二次函数y=ax的图象应该开口向上，aC、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：＞﹣＞0x=，和x轴的正半轴相交，故选项错误；对称轴2﹣2x+1的图象应该开口向上，的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax﹣D、由一次函数y=axa故选项错误．故选：B．2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（威海）抛物线（15．2018?y=ax）第8页（共14页）20＞+b4ac D．＜b C．b2a+8a＞A．abc＜0 B．a+c根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【分析】0a＜解：（A）由图象开口可知：【解答】，＞0由对称轴可知：，＞0∴b，＞0∴由抛物线与y轴的交点可知：c正确；，故Aabc＜0∴，＜01，y（B）由图象可知：x=﹣，＜0b+c∴y=a﹣正确；B＜b，故a∴+c，2（C）由图象可知：顶点的纵坐标大于，0，a＜∴＞22，b8a＜∴4ac﹣2正确；C4acb，故+8a＞∴，0a＜x=＜1，（D）对称轴错误；，故0D2a+b＜∴．故选：D2）与n，），顶点坐标（1x轴交于点A（﹣1，016．（2018?衡阳）如图，抛物线y=ax+bx+c与；a≤﹣＜0；②﹣1≤3a），2，（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①+b 轴的交点在（y022有两个不相等的实1﹣bx+x+bm总成立；④关于的方程axc=n++③对于任意实数m，ab≥am）数根．其中结论正确的个数为（个．4．3个D21A．个B．个C，b=a，则2a3a+﹣，再由抛物线的对称轴方程得到＜利用抛物线开口方向得到【分析】a0b=149第页（共页）于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c=﹣3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③2+bx+c与直线y=axy=n﹣1有两个交点可对④进行判断．进行判断；根据抛物线【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，﹣=1，即b=而抛物线的对称轴为直线x=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，所以①正确；∵2≤c≤3，而c=﹣3a，∴2≤﹣3a≤3，≤﹣，所以②正确；≤a∴﹣1∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴x=1时，二次函数值有最大值n，2+bm+≥amc，∴a+b+c2+bm，所以③正确；+b≥am即a∵抛物线的顶点坐标（1，n），2+bx+c与直线y=n∴抛物线y=ax﹣1有两个交点，2+bx+c=n﹣1∴关于x的方程ax有两个不相等的实数根，所以④正确．故选：D．2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0y=ax17．（2018?枣庄）如图是二次函数），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（）2＜4ac B．ac＞0C．2a﹣b=0 D．a﹣b+c=0．Ab2﹣4ac＞0可对A进行判断；x【分析】根据抛物线与轴有两个交点有b由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称轴是x=1对C选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c=0，则可对D选项进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，22＞4ac，所以A0，即b选项错误；∴b4ac﹣＞∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴ac＜0，所以B选项错误；∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，∴﹣=1，∴2a+b=0，所以C选项错误；∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，第10页（共14页）∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，所以D选项正确；故选：D．2+bx+c的图象与x轴交于A、B18．（2018?随州）如图所示，已知二次函数y=ax 两点，与y轴2+bx+c交于C、D两点，y=axy=﹣x+c与抛物线D点在x轴下交于点C对称轴为直线x=1．直线方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b=﹣2a，则2a+b+c=c＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则当x=﹣1时，y＜0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x=1时，二2+bx+c≤a+b+c，于是可对③进行判断；由于直线y=次函数有最大值，则ax﹣x+c与抛物线2+bx+c交于C、D两点，D点在y=axx轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，然后把b=﹣2a代入解a的不等式，则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，﹣=1x=，∵抛物线的对称轴为直线∴b=﹣2a，∴2a+b+c=2a﹣2a+c=c＞0，所以①正确；∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以②正确；∵x=1时，二次函数有最大值，2+bx+c≤a+∴axb+c，2+bx≤a+∴axb，所以③正确；2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于y=axcxy=∵直线﹣+与抛物线3，∴x=3时，一次函数值比二次函数值大，第11页（共14页）即9a+3b+c＜﹣3+c，而b=﹣2a，∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确．故选：A．2+m﹣1的图象与x轴有交点，则y=xm﹣x的取值范围是（）19．（2018?襄阳）已知二次函数A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2【分析】根据已知抛物线与x轴有交点得出不等式，求出不等式的解集即可．2+m﹣1的图象与x【解答】解：∵二次函数y=x轴有交点，﹣x2×（m﹣1）≥01），﹣4×1∴△=（﹣解得：m≤5，故选：A．2+a与二次函数，且Ly=3x台湾）已知坐标平面上有一直线L，其方程式为y+2=020．（2018?2+b的图形相交于C，D两点，其中a、b的图形相交于A，B两点：与二次函数y=﹣2x为整数．若AB=2，CD=4．则a+b之值为何？（）A．1 B．9 C．16 D．24【分析】判断出A、C两点坐标，利用待定系数法求出a、b即可；【解答】解：如图，由题意A（1，﹣2），C（2，﹣2），22+b可得a=﹣5y=﹣2x，b=6，分别代入y=3x+a，∴a+b=1，故选：A．2+ax+b与x轴两个交点间的距离为22018?21．（绍兴）若抛物线y=x，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A．（﹣3，﹣6）B．（﹣3，0）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，﹣1）【分析】根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论．第12页（共14页）【解答】解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），22﹣1．﹣1）=x）﹣2x=（x（∴该抛物线解析式为y=xx﹣2将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x﹣1+2）22﹣4．+1）﹣1﹣3=（x2﹣4=0，+1）﹣3时，y=（x当x=∴得到的新抛物线过点（﹣3，0）．故选：B．2+bx+c（安顺）已知二次函数y=axa≠0）的图象如图，分析下列四个结论：22．（2018? 222，）b＜0；④（a+bc﹣4ac＞0；③3a+c＞0①abc＜；②其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①由抛物线的开口方向，抛物线与y轴交点的位置、对称轴即可确定a、b、c的符号，即得abc的符号；②由抛物线与x轴有两个交点判断即可；③分别比较当x=﹣2时、x=1时，y的取值，然后解不等式组可得6a+3c＜0，即2a+c＜0；又因为a＜0，所以3a+c＜0．故错误；④将x=1代入抛物线解析式得到a+b+c＜0，再将x=﹣1代入抛物线解析式得到a ﹣b+c＞0，两22，＜c）b+个不等式相乘，根据两数相乘异号得负的取符号法则及平方差公式变形后，得到（a【解答】解：①由开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c ＞0，然后由对称轴在y轴左侧，得到b与a同号，则可得b＜0，abc＞0，故①错误；2﹣4ac＞0，故②正确；②由抛物线与x轴有两个交点，可得b③当x=﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0 （1）当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0 （2）（1）+（2）×2得：6a+3c＜0，即2a+c＜0又∵a＜0，∴a+（2a+c）=3a+c＜0．故③错误；④∵x=1时，y=a+b+c＜0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，22＜0﹣b，+]+ac）﹣b=（ac）（b）+（即[ac+][22，b+c）＜a∴（第13页（共14页）故④正确．综上所述，正确的结论有2个．故选：B．第14页（共14页）。

中考數學真題彙編:二次函數一、選擇題1. 已知學校航模組設計製作の火箭の升空高度h（m）與飛行時間t（s）滿足函數運算式h＝﹣t2＋24t＋1．則下列說法中正確の是（）A. 點火後9s和點火後13sの升空高度相同B. 點火後24s火箭落於地面C. 點火後10sの升空高度為139mD. 火箭升空の最大高度為145m【答案】D2. 關於二次函數，下列說法正確の是（）A . 圖像與軸の交點座標為 B. 圖像の對稱軸在軸の右側C. 當時，の值隨值の增大而減小D. の最小值為-3【答案】D3. 如圖,函數和( 是常數,且)在同一平面直角坐標系の圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】B4.二次函數の圖像如圖所示，下列結論正確是( )A. B. C. D. 有兩個不相等の實數根【答案】C5. 給出下列函數：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函數中符合條作“當x＞1時，函數值y隨引數x增大而增大“の是（）A. ①③B. ③④C. ②④D. ②③【答案】B6.若拋物線y=x2+ax+b與x軸兩個交點間の距離為2，稱此拋物線為定弦拋物線。

已知某定弦拋物線の對稱軸為直線x=1，將此拋物線向左平移2個單位，再向下平移3個單位，得到の拋物線過點（）A. （-3，-6）B. （-3，0）C. （-3，-5）D. （-3，-1）【答案】B7. 如圖，若二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）圖象の對稱軸為x=1，與y軸交於點C，與x軸交於點A、點B（﹣1，0），則①二次函數の最大值為a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④當y＞0時，﹣1＜x＜3，其中正確の個數是（）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B8. 若拋物線與軸兩個交點間の距離為2，稱此拋物線為定弦拋物線，已知某定弦拋物線の對稱軸為直線，將此拋物線向左平移2個單位，再向下平移3個單位，得到の拋物線過點( )A. B. C. D.【答案】B9.如圖是二次函數（，，是常數，）圖象の一部分，與軸の交點在點和之間，對稱軸是.對於下列說法：①；②；③；④（為實數）；⑤當時，，其中正確の是（）A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤【答案】A10.如圖，二次函數y=ax2+bxの圖象開口向下，且經過第三象限の點P．若點Pの橫坐標為-1，則一次函數y=（a-b）x+bの圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】D11.四位同學在研究函數（b，c是常數）時，甲發現當時，函數有最小值；乙發現是方程の一個根；丙發現函數の最小值為3；丁發現當時，．已知這四位同學中只有一位發現の結論是錯誤の，則該同學是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B12.如圖所示,△DEF中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B是斜邊DF上一動點,過B作AB⊥DF於B,交邊DE(或邊EF)於點A,設BD=x,△ABDの面積為y,則y與x之間の函數圖象大致為（）A. （B.C. D. （【答案】B二、填空題13.已知二次函數，當x＞0時，y隨xの增大而________（填“增大”或“減小”）【答案】增大14.右圖是拋物線型拱橋，當拱頂離水面2m時，水面寬4m，水面下降2m，水面寬度增加________m。

2018年中考全国部分省市全省统一命题数学试卷《二次函数》压轴题精编（解析版）二次函数综合题：（共17小题）1．（2018•上海）在平面直角坐标系xOy 中（如图）．已知抛物线212y x bx c =-++经过点(1,0)A -和点5(0,)2B ，顶点为C ，点D 在其对称轴上且位于点C 下方，将线段DC 绕点D按顺时针方向旋转90︒，点C 落在抛物线上的点P 处． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求线段CD 的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C 移到原点O 的位置，这时点P 落在点E 的位置，如果点M 在y 轴上，且以O 、D 、E 、M 为顶点的四边形面积为8，求点M 的坐标．2．（2018•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB 距x 轴（水平）18米，与y 轴交于点B ，与滑道(1)ky x x=…交于点A ，且1AB =米．运动员（看成点）在BA 方向获得速度v 米/秒后，从A 处向右下飞向滑道，点M 是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M ，A 的竖直距离h （米)与飞出时间t （秒)的平方成正比，且1t =时5h =，M ，A 的水平距离是vt 米．（1）求k ，并用t 表示h ；（2）设5v =．用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ，并求y 与x 的关系式（不写x 的取值范围），及13y =时运动员与正下方滑道的竖直距离；（3）若运动员甲、乙同时从A 处飞出，速度分别是5米/秒、v 乙米/秒．当甲距x 轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t 的值及v 乙的范围．3．（2018•河南）如图，抛物线26y ax x c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线5y x =-经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．①当AM BC ⊥时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标；②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍时，请直接写出点M 的坐标．4．（2018•天津）在平面直角坐标系中，点(0,0)O ，点(1,0)A ．已知抛物线22(y x mx m m=+-是常数），顶点为P ．（Ⅰ）当抛物线经过点A 时，求顶点P 的坐标；（Ⅱ）若点P 在x 轴下方，当45AOP ∠=︒时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m 取何值，该抛物线都经过定点H ．当45AHP ∠=︒时，求抛物线的解析式． 5．（2018•重庆A 卷）如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线24y x x =-+上，且横坐标为1，点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，直线AB 与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，点E 的坐标为(1,1)． （1）求线段AB 的长；（2）点P 为线段AB 上方抛物线上的任意一点，过点P 作AB 的垂线交AB 于点H ，点F 为y 轴上一点，当PBE ∆的面积最大时，求12PH HF FO ++的最小值；（3）在（2）中，12PH HF FO ++取得最小值时，将CFH ∆绕点C 顺时针旋转60︒后得到△CF H ''，过点F '作CF '的垂线与直线AB 交于点Q ，点R 为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S ，使以点D ，Q ，R ，S 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S 的坐标，若不存在，请说明理由．6．（2018•重庆B 卷）抛物线2y x =-+x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点． （1）如图1，连接CD ，求线段CD 的长；（2）如图2，点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF x ⊥轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是11O B ，当12PE EC +的值最大时，求四边形11PO B C 周长的最小值，并求出对应的点1O 的坐标；（3）如图3，点H 是线段AB 的中点，连接CH ，将OBC ∆沿直线CH 翻折至△22O B C 的位置，再将△22O B C 绕点2B 旋转一周，在旋转过程中，点2O ，C 的对应点分别是点3O ，1C ，直线31O C 分别与直线AC ，x 轴交于点M ，N ．那么，在△22O B C 的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使AMN ∆是以MN 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段2O M 的长；若不存在，请说明理由．7．（2018•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223(0)y ax ax a a =+-<与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，顶点为D ，直线DC 与x 轴相交于点E ． （1）当1a =-时，抛物线顶点D 的坐标为 ，OE = ； （2）OE 的长是否与a 值有关，说明你的理由； （3）设DEO β∠=，4560β︒︒剟，求a 的取值范围；（4）以DE 为斜边，在直线DE 的左下方作等腰直角三角形PDE ．设(,)P m n ，直接写出n 关于m 的函数解析式及自变量m 的取值范围．8．（2018•吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对称中心为坐标原点O ，AD y ⊥轴于点E （点A 在点D 的左侧），经过E 、D 两点的函数211(0)2y x mx x =-++…的图象记为1G ，函数211(0)2y x mx x =---<的图象记为2G ，其中m 是常数，图象1G 、2G 合起来得到的图象记为G ．设矩形ABCD 的周长为L ． （1）当点A 的横坐标为1-时，求m 的值； （2）求L 与m 之间的函数关系式；（3）当2G 与矩形ABCD 恰好有两个公共点时，求L 的值；（4）设G 在42x -剟上最高点的纵坐标为0y ，当0392y 剟时，直接写出L 的取值范围．9．（2018•山西）综合与探究如图，抛物线211433y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C，连接AC ，BC ．点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ，过点P 作//PE AC 交x 轴于点E ，交BC 于点F ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）请用含m 的代数式表示线段QF 的长，并求出m 为何值时QF 有最大值．10．（2018•陕西）已知抛物线2:6L y x x =+-与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），并与y 轴相交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标，并求ABC ∆的面积；（2）将抛物线L 向左或向右平移，得到抛物线L '，且L '与x 轴相交于A '、B '两点（点A '在点B '的左侧），并与y 轴相交于点C '，要使△A B C '''和ABC ∆的面积相等，求所有满11．（2018•海南）如图1，抛物线23y ax bx=++交x轴于点(1,0)B．A-和点(3,0)（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点(2,3)D在该抛物线上．①求四边形ACFD的面积；②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ x⊥轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当AQD∆是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．12．（2018•江西）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：（1）已知抛物线23=-+-经过点(1,0)y x bx-，则b=，顶点坐标为，该抛物线关于点(0,1)成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线2(0)=++≠，以y轴上的点(0,)y ax bx c aM m为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y'，则我们又称抛物线y'为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．（2）已知抛物线225y x x=--+关于点(0,)m的衍生抛物线为y'，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．问题解决：（3）已知抛物线22(0)=+-≠y ax ax b a①若抛物线y的衍生抛物线为22'=-+≠，两抛物线有两个交点，且恰好是2(0)y bx bx a b它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y 关于点2(0,1)k +的衍生抛物线为1y ，其顶点为1A ；关于点2(0,2)k +的衍生抛物线为2y ，其顶点为2A ；⋯；关于点2(0,)k n +的衍生抛物线为n y ，其顶点为(n A n ⋯为正整数）．求1n n A A +的长（用含n 的式子表示）．13．（2018•青海）如图，抛物线2y ax bx c =++与坐标轴交点分别为(1,0)A -，(3,0)B ，(0,2)C ，作直线BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上第一象限内一动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，设点P 的横坐标为(03)t t <<，求ABP ∆的面积S 与t 的函数关系式； （3）条件同（2），若ODP ∆与COB ∆相似，求点P 的坐标．14．（2018•新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线222433y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向B 点运动，同时，点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t 秒，求运动时间t 为多少秒时，PBQ ∆的面积S 最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当PBQ ∆面积最大时，在BC 下方的抛物线上是否存在点M ，使BMC∆的面积是PBQ ∆面积的1.6倍？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2018•安徽）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现： ①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为1W ，2W （单位：元）． （1）用含x 的代数式分别表示1W ，2W ；（2）当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少？16．（2018•福建A 卷）已知抛物线2y ax bx c =++过点(0,2)A ．（1）若点(0)也在该抛物线上，求a ，b 满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 都满足：当120x x <<时，1212()()0x x y y -->；当120x x <<时，1212()()0x x y y --<．以原点O 为心，OA 为半径的圆与拋物线的另两个交点为B ，C ，且ABC ∆有一个内角为60︒． ①求抛物线的解析式；②若点P 与点O 关于点A 对称，且O ，M ，N 三点共线，求证：PA 平分MPN ∠． 17．（2018•福建B 卷）已知抛物线2y ax bx c =++过点(0,2)A ，且抛物线上任意不同两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 都满足：当120x x <<时，1212()()0x x y y -->；当120x x <<时，1212()()0x x y y --<．以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B ，C ，且B 在C 的左侧，ABC ∆有一个内角为60︒． （1）求抛物线的解析式；（2）若MN 与直线y =-平行，且M ，N 位于直线BC 的两侧，12y y >，解决以下问题：①求证：BC 平分MBN ∠；②求MBC ∆外心的纵坐标的取值范围．2018年中考全国部分省市全省统一命题数学试卷《二次函数》压轴题精编参考解析二次函数综合题：（共17小题）1．（2018•上海）在平面直角坐标系xOy 中（如图）．已知抛物线212y x bx c =-++经过点(1,0)A -和点5(0,)2B ，顶点为C ，点D 在其对称轴上且位于点C 下方，将线段DC 绕点D按顺时针方向旋转90︒，点C 落在抛物线上的点P 处． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求线段CD 的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C 移到原点O 的位置，这时点P 落在点E 的位置，如果点M 在y 轴上，且以O 、D 、E 、M 为顶点的四边形面积为8，求点M 的坐标．【解】：（1）把(1,0)A -和点5(0,)2B 代入212y x bx c =-++得10252b c c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得252b c =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴抛物线解析式为215222y x x =-++；（2）219(2)22y x =--+，9(2,)2C ∴，抛物线的对称轴为直线2x =，如图，设CD t =，则9(2,)2D t -，线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90︒，点C 落在抛物线上的点P 处，90PDC ∴∠=︒，DP DC t ==，9(2,)2P t t ∴+-，把9(2,)2P t t +-代入215222y x x =-++得2159(2)2(2)222t t t -++++=-， 整理得220t t -=，解得10t =（舍去），22t =，∴线段CD 的长为2；（3）P 点坐标为5(4,)2，D 点坐标为5(2,)2， 抛物线平移，使其顶点9(2,)2C 移到原点O 的位置，∴抛物线向左平移2个单位，向下平移92个单位， 而P 点5(4,)2向左平移2个单位，向下平移92个单位得到点E ，E ∴点坐标为(2,2)-，设(0,)M m ， 当0m >时，15(2)2822m ++=，解得72m =，此时M 点坐标为7(0,)2；当0m <时，15(2)2822m -++=，解得72m =-，此时M 点坐标为7(0,)2-； 综上所述，M 点的坐标为7(0,)2或7(0,)2-．2．（2018•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB 距x 轴（水平）18米，与y 轴交于点B ，与滑道(1)ky x x=…交于点A ，且1AB =米．运动员（看成点）在BA 方向获得速度v 米/秒后，从A 处向右下飞向滑道，点M 是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M ，A 的竖直距离h （米)与飞出时间t （秒)的平方成正比，且1t =时5h =，M ，A 的水平距离是vt 米．（1）求k ，并用t 表示h ；（2）设5v =．用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ，并求y 与x 的关系式（不写x 的取值范围），及13y =时运动员与正下方滑道的竖直距离；（3）若运动员甲、乙同时从A 处飞出，速度分别是5米/秒、v 乙米/秒．当甲距x 轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t 的值及v 乙的范围．【解】：（1）由题意，点(1,18)A 带入ky x= 得：181k =18k ∴=设2h at =，把1t =，5h =代入5a ∴=25h t ∴=（2）5v =，1AB =51x t ∴=+25h t =，18OB =2518y t ∴=-+由51x t =+ 则1(1)5t x =-2211289(1)185555y x x x ∴=--+=-++当13y =时，2113(1)185x =--+ 解得6x =或4-1x …6x ∴=把6x =代入18y x=3y =∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13310-=（米)（3）把 1.8y =代入2518y t =-+得28125t =解得 1.8t =或 1.8-（负值舍去）10x ∴=∴甲坐标为(10,1.8)恰好落在滑道18y x=上 此时，乙的坐标为(1 1.8v +乙，1.8) 由题意：()1 1.815 1.8 4.5v +-+⨯>乙7.5v ∴>乙3．（2018•河南）如图，抛物线26y ax x c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线5y x =-经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．①当AM BC ⊥时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标；②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍时，请直接写出点M 的坐标．【解】：（1）当0x =时，55y x =-=-，则(0,5)C -， 当0y =时，50x -=，解得5x =，则(5,0)B ，把(5,0)B ，(0,5)C -代入26y ax x c =++得253005a c c ++=⎧⎨=-⎩，解得15a b =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为265y x x =-+-；（2）①解方程2650x x -+-=得11x =，25x =，则(1,0)A ，(5,0)B ，(0,5)C -，OCB ∴∆为等腰直角三角形， 45OBC OCB ∴∠=∠=︒， AM BC⊥，AM B ∴∆为等腰直角三角形，4AM AB ∴=== 以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，//AM PQ ，PQ AM ∴==PQ BC ⊥，作PD x ⊥轴交直线BC 于D ，如图1，则45PDQ ∠=︒，4PD ∴==，设2(,65)P m m m -+-，则(,5)D m m -， 当P 点在直线BC 上方时，2265(5)54PD m m m m m =-+---=-+=，解得11m =，24m =，当P 点在直线BC 下方时，225(65)54PD m m m m m =---+-=-=，解得1m =，2m =， 综上所述，P 点的横坐标为4； ②作AN BC ⊥于N ，NH x ⊥轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于1M ，交AC 于E ，如图2，11M A M C =， 11ACM CAM ∴∠=∠， 12AM B ACB ∴∠=∠，ANB∆为等腰直角三角形，2AH BH NH ∴===，(3,2)N ∴-，易得AC 的解析式为55y x =-，E 点坐标为1(2，5)2-， 设直线1EM 的解析式为15y x b =-+， 把1(2E ，5)2-代入得15102b -+=-，解得125b =-，∴直线1EM 的解析式为11255y x =--，解方程组511255y x y x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩得136176x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则113(6M ，17)6-；作直线BC 上作点1M 关于N 点的对称点2M ，如图2，则212AM C AM B ACB ∠=∠=∠，设2(,5)M x x -，13632x +=， 236x ∴=， 223(6M ∴，7)6-， 综上所述，点M 的坐标为13(6，17)6-或23(6，7)6-．4．（2018•天津）在平面直角坐标系中，点(0,0)O ，点(1,0)A ．已知抛物线22(y x mx m m=+-是常数），顶点为P ．（Ⅰ）当抛物线经过点A 时，求顶点P 的坐标；（Ⅱ）若点P 在x 轴下方，当45AOP ∠=︒时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m 取何值，该抛物线都经过定点H ．当45AHP ∠=︒时，求抛物线的解析式． 【解】：（Ⅰ）抛物线22y x mx m =+-经过点(1,0)A ，012m m ∴=+-，解得：1m =，∴抛物线解析式为22y x x =+-，22192()24y x x x =+-=+-，∴顶点P 的坐标为1(2-，9)4-；（Ⅱ）抛物线22y x mx m =+-的顶点P 的坐标为(2m-，28)4m m +-，由点(1,0)A 在x 轴的正半轴上，点P 在x 轴的下方，45AOP ∠=︒知点P 在第四象限， 如图1，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，则45POQ OPQ ∠=∠=︒，可知PQ OQ =，即2842m m m+=-，解得：10m =，210m =-，当0m =时，点P 不在第四象限，舍去；10m ∴=-，∴抛物线的解析式为21020y x x =-+；（Ⅲ）由222(2)y x mx m x m x =+-=+-可知当2x =时，无论m 取何值时y 都等于4，∴点H 的坐标为(2,4)，过点A 作AD AH ⊥，交射线HP 于点D ，分别过点D 、H 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、G，则90DEA AGH ∠=∠=︒，90DAH ∠=︒，45AHD ∠=︒， 45ADH ∴∠=︒，AH AD ∴=，90DAE HAG AHG HAG ∠+∠=∠+∠=︒， DAE AHG∴∠=∠，ADE HAG ∴∆≅∆，1DE AG ∴==、4AE HG ==，则点D 的坐标为(3,1)-或(5,1)-；①当点D 的坐标为(3,1)-时，可得直线DH 的解析式为31455y x =+， 点(2m P -，28)4m m +-在直线31455y x =+上，28314()4525m m m +∴-=⨯-+，解得：14m =-、2145m =-，当4m =-时，点P 与点H 重合，不符合题意，145m ∴=-； ②当点D 的坐标为(5,1)-时，可得直线DH 的解析式为52233y x =-+， 点(2m P -，28)4m m +-在直线52233y x =-+上，28522()4323m m m +∴-=-⨯-+， 解得：14m =-（舍)，2223m =-，综上，145m =-或223m =-， 则抛物线的解析式为2142855y x x =-+或2224433y x x =-+． 5．（2018•重庆A 卷）如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线24y x x =-+上，且横坐标为1，点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，直线AB 与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，点E 的坐标为(1,1)． （1）求线段AB 的长；（2）点P 为线段AB 上方抛物线上的任意一点，过点P 作AB 的垂线交AB 于点H ，点F 为y 轴上一点，当PBE ∆的面积最大时，求12PH HF FO ++的最小值；（3）在（2）中，12PH HF FO ++取得最小值时，将CFH ∆绕点C 顺时针旋转60︒后得到△CF H ''，过点F '作CF '的垂线与直线AB 交于点Q ，点R 为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S ，使以点D ，Q ，R ，S 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S 的坐标，若不存在，请说明理由．【解】：（1）由题意(1,3)A ，(3,3)B ，2AB ∴=．（2）如图1中，设2(,4)P m m m -+，作//PN y 轴J 交BE 于N ． 直线BE 的解析式为y x =，(,)N m m ∴，2212(3)32PEB S m m m m ∆∴=⨯⨯-+=-+，∴当32m =时，PEB ∆的面积最大，此时3(2P ，15)4，3(2H ，3)，153344PH ∴=-=， 作直线OG 交AB 于G ，使得30COG ∠=︒，作HK OG ⊥于K 交OC 于F ，12FK OF =，12PH HF FO PH FH FK PH HK ∴++=++=+，此时PH HF OF ++的值最小，1122HG OC OG HK =， 33)32HK ⨯∴==+，PH HF OF ∴++的最小值为94+．（3）如图2中，由题意32CH =，CF =，12QF '=，1CQ =，(1,3)Q ∴-，(2,4)D ，DQ①当DQ 为菱形的边时，1(1,3S -，2(1,3S -， ②当DQ 为对角线时，可得3(1,8)S -， ③当DR 为对角线时，可得4(5,3)S综上所述，满足条件的点S 坐标为(1,3-或(1,3-或(1,8)-或(5,3)．6．（2018•重庆B 卷）抛物线2y x =-+x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点． （1）如图1，连接CD ，求线段CD 的长；（2）如图2，点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF x ⊥轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是11O B ，当12PE EC +的值最大时，求四边形11PO B C 周长的最小值，并求出对应的点1O 的坐标；（3）如图3，点H 是线段AB 的中点，连接CH ，将OBC ∆沿直线CH 翻折至△22O B C 的位置，再将△22O B C 绕点2B 旋转一周，在旋转过程中，点2O ，C 的对应点分别是点3O ，1C ，直线31O C 分别与直线AC ，x 轴交于点M ，N ．那么，在△22O B C 的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使AMN ∆是以MN 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段2O M 的长；若不存在，请说明理由．【解】：（1）如图1，过点D 作DK y ⊥轴于K ，当0x =时，y =C ∴，22y x =++(D ∴，DK ∴CK =-CD ∴（4分）（2）在2y x =+0y =，则20，解得：1x =-，2x =(A ∴-，0)，B 0)， (0,6)C ，易得直线AC 的解析式为：y x =+设(E x +，2(,P x x -+，2PF x ∴=-EF =Rt ACO ∆中，AO =OC =AC ∴=30CAO ∴∠=︒，2AE EF ∴==+211(()22PE EC x AC AE ∴+=-+-，212=++，2=-，2x =+，（5分）∴当12PE EC +的值最大时，x =-(P -，（6分）PC ∴=，11O B OB ==∴要使四边形11PO B C 周长的最小，即11PO B C +的值最小，如图2，将点P 1(P ，连接11P B ，则111PO PB =，再作点1P 关于x 轴的对称点2(P ，则1121PB P B =，11211PO B C P B B C ∴+=+，∴连接2P C 与x 轴的交点即为使11PO B C +的值最小时的点1B ，1(B ∴，0)，将1B 1O ，此时112PO B C P C +==，对应的点1O 的坐标为(0)，（7分）∴四边形11PO B C （8分）（3）2O M （12分） 理由是：如图3，H 是AB 的中点，OH ∴= 6OC =CH BC ∴==30HCO BCO ∴∠=∠=︒， 60ACO ∠=︒，∴将CO 沿CH 对折后落在直线AC 上，即2O 在AC 上， 230B CA CAB ∴∠=∠=︒，2//B C AB ∴，2(B ∴-，①如图4，AN MN=，22330MAN AMN O B O ∴∠=∠=︒=∠，由旋转得：2122330CB C O B O ∠=∠=︒，221B C B C =，212175B CC B C C ∴∠=∠=︒，过1C 作12C E B C ⊥于E ，221B C B C ==∴122C E B O ，2B E 22232175O MB B MO B CC ∠=∠=︒=∠， 22190B O M C EC ∠=∠=︒，∴△1C EC ≅△22B O M ，222O M CE B C B E ∴==-=②如图5，AM MN=，此时M 与C 重合，22O M O C =③如图6，AM MN=，2212B C B C B H ===，即N 和H 、1C 重合， 230CAO AHM MHO ∴∠=∠=∠=︒，2213O M AO ∴== ④如图7，AN MN=，过1C 作1C E AC ⊥于E ，30NMA NAM ∴∠=∠=︒，312330O C B O MA ∠=︒=∠，121222290C B O AO B ∴∠=∠=︒， 190C EC ∠=︒，∴四边形122C EO B 是矩形，212EO C B ∴==122C E B O =EM ∴=22O M EO EM ∴=+=，综上所述，2O M 7．（2018•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223(0)y ax ax a a =+-<与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，顶点为D ，直线DC 与x 轴相交于点E ． （1）当1a =-时，抛物线顶点D 的坐标为 (1,4)- ，OE = 3 ； （2）OE 的长是否与a 值有关，说明你的理由； （3）设DEO β∠=，4560β︒︒剟，求a 的取值范围；（4）以DE 为斜边，在直线DE 的左下方作等腰直角三角形PDE ．设(,)P m n ，直接写出n 关于m 的函数解析式及自变量m 的取值范围．【解】：（1）当1a =-时，抛物线的解析式为223y x x =--+，∴顶点(1,4)D -，(0,3)C ， ∴直线CD 的解析式为3y x =-+，3OE ∴=，故答案为(1,4)-，3．（2）结论：OE 的长与a 值无关． 理由：223y ax ax a =+-，(0,3)C a ∴-，(1,4)D a --，∴直线CD 的解析式为3y ax a =-，当0y =时，3x =，(3,0)E ∴，3OE ∴=，OE ∴的长与a 值无关．（3）当45β=︒时，3OC OE ==，33a ∴-=， 1a ∴=-，当60β=︒时，在Rt OCE ∆中，OC ==3a ∴-=，a ∴=4560β∴︒︒剟，a 的取值范围为1a -．（4）如图，作PM ⊥对称轴于M ，PN AB ⊥于N ．PD PE =，90PMD PNE ∠=∠=︒，90DPE MPN ∠=∠=︒，DPM EPN ∴∠=∠， DPM EPN ∴∆≅∆， PM PN ∴=，DM EN =， (1,4)D a --，(3,0)E ，43EN n m ∴=+=-， 1n m ∴=--，当顶点D 在x 轴上时，(1,2)P -，此时m 的值1， 抛物线的顶点在第二象限，1m ∴<．1(1)n m m ∴=--<．8．（2018•吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对称中心为坐标原点O ，AD y ⊥轴于点E （点A 在点D 的左侧），经过E 、D 两点的函数211(0)2y x mx x =-++…的图象记为1G ，函数211(0)2y x mx x =---<的图象记为2G ，其中m 是常数，图象1G 、2G 合起来得到的图象记为G ．设矩形ABCD 的周长为L ． （1）当点A 的横坐标为1-时，求m 的值； （2）求L 与m 之间的函数关系式；（3）当2G 与矩形ABCD 恰好有两个公共点时，求L 的值；（4）设G 在42x -剟上最高点的纵坐标为0y ，当0392y 剟时，直接写出L 的取值范围．【解】：（1）由题意(0,1)E ，(1,1)A -，(1,1)D 把(1,1)D 代入2112y x mx =-++中，得到1112m =-++，12m ∴=．（2）抛物线1G 的对称轴1mx m =-=-， 2AE ED m ∴==，矩形ABCD 的对称中心为坐标原点O ，4AD BC m ∴==，2AB CD ==， 84L m ∴=+．（3）当2G 与矩形ABCD 恰好有两个公共点，∴抛物线2G 的顶点21(,1)2M m m --在线段AE 上，∴21112m -=， 2m ∴=或2-（舍弃），82420L ∴=⨯+=．（4）1G 的顶点21(,1)2m m +，1G 中(2,21)m -，2G 顶点21(,1)2m m --，2G 中(4,49)m --． ①当2m …，最高点是抛物线1G 的顶点21(,1)2N m m +时， 若213122m +=，解得1m =或1-（舍弃）， 若21192m +=时，4m =或4-（舍弃）， 又2m …，观察图象可知满足条件的m 的值为12m 剟，②24m <…时，当(2,21)m -是最高点时，23219212112m m m ⎧-⎪⎪⎨⎪->-⎪⎩剟，解得24m <…，③当4m >时，349924921m m m ⎧-⎪⎨⎪->-⎩剟， 解得942m <…， 综上所述，912m剟， 1240L ∴剟．9．（2018•山西）综合与探究如图，抛物线211433y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C，连接AC ，BC ．点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ，过点P 作//PE AC 交x 轴于点E ，交BC 于点F ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）请用含m 的代数式表示线段QF 的长，并求出m 为何值时QF 有最大值．【解】：（1）当0y =，2114033x x --=，解得13x =-，24x =，(3,0)A ∴-，(4,0)B ，当0x =，2114433y x x =--=-，(0,4)C ∴-；（2）5AC ，易得直线BC 的解析式为4y x =-， 设(Q m ，4)(04)m m -<<，当CQ CA =时，222(44)5m m +-+=，解得1m =2m =，此时Q 点坐标为4)-； 当AQ AC =时，222(3)(4)5m m ++-=，解得11m =，20m =（舍去），此时Q 点坐标为(1,3)-； 当QA QC =时，2222(3)(4)(44)m m m m ++-=+-+，解得252m =（舍去），综上所述，满足条件的Q 点坐标为4)-或(1,3)-； （3）解：过点F 作FG PQ ⊥于点G ，如图，则//FG x 轴．由(4,0)B ，(0,4)C -得OBC ∆为等腰直角三角形45OBC QFG ∴∠=∠=FQG ∴∆为等腰直角三角形，FG QG ∴==， //PE AC ，//PG CO ，FPG ACO∴∠=∠，90FGP AOC ∠=∠=︒， ~FGP AOC ∴∆∆．∴FG PG OA CO =，即34FG PG=，44233PG FG FQ ∴===，PQ PG GQ ∴=+==，FQ ∴=， 设(P m ，2114)(04)33m m m --<<，则(,4)Q m m -，2211144(4)3333PQ m m m m m ∴=----=-+，2214)2)33FQ m m m ∴=-+=-+20-<， QF ∴有最大值．∴当2m =时，QF 有最大值．10．（2018•陕西）已知抛物线2:6L y x x =+-与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），并与y 轴相交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标，并求ABC ∆的面积；（2）将抛物线L 向左或向右平移，得到抛物线L '，且L '与x 轴相交于A '、B '两点（点A '在点B '的左侧），并与y 轴相交于点C '，要使△A B C '''和ABC ∆的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．【解】：（1）当0y =时，260x x +-=，解得13x =-，22x =，(3,0)A ∴-，(2,0)B ，当0x =时，266y x x =+-=-，(0,6)C ∴-，ABC∴∆的面积11(23)61522AB OC ==⨯+⨯=； （2）抛物线L 向左或向右平移，得到抛物线L '，5A B AB ∴''==，△A B C '''和ABC ∆的面积相等，6OC OC ∴'==，即(0,6)C '-或(0,6)，设抛物线L '的解析式为26y x bx =+-或26y x bx =++ 设(,0)A m '、(,0)B n '，当m 、n 为方程260x bx +-=的两根，m n b ∴+=-，6mn =-，||5n m -=，2()25n m ∴-=， 2()425m n mn ∴+-=，24(6)25b ∴-⨯-=，解得1b =或1-，∴抛物线L '的解析式为26y x x =--．当m 、n 为方程260x bx ++=的两根，m n b ∴+=-，6mn =，||5n m -=，2()25n m ∴-=， 2()425m n mn ∴+-=，24625b ∴-⨯=，解得7b =或7-，∴抛物线L '的解析式为276y x x =++或276y x x =-+．综上所述，抛物线L '的解析式为26y x x =--或276y x x =++或276y x x =-+． 11．（2018•海南）如图1，抛物线23y ax bx =++交x 轴于点(1,0)A -和点(3,0)B ． （1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图2，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为F ，点(2,3)D 在该抛物线上． ①求四边形ACFD 的面积；②点P 是线段AB 上的动点（点P 不与点A 、B 重合），过点P 作PQ x ⊥轴交该抛物线于点Q ，连接AQ 、DQ ，当AQD ∆是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q 的坐标．【解】：（1）由题意可得309330a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为223y x x =-++；（2）①2223(1)4y x x x =-++=--+，(1,4)F ∴， (0,3)C ，(2,3)D ，2CD ∴=，且//CD x 轴，(1,0)A -，()1123243422ACD FCD ACFD S S S ∆∆∴=+=⨯⨯+⨯⨯-=四边形；②点P 在线段AB 上，DAQ ∴∠不可能为直角，∴当AQD ∆为直角三角形时，有90ADQ ∠=︒或90AQD ∠=︒，i ．当90ADQ ∠=︒时，则DQ AD ⊥，(1,0)A -，(2,3)D ，∴直线AD 解析式为1y x =+， ∴可设直线DQ 解析式为y x b =-+'，把(2,3)D 代入可求得5b '=，∴直线DQ 解析式为5y x =-+，联立直线DQ 和抛物线解析式可得2523y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩，解得14x y =⎧⎨=⎩或23x y =⎧⎨=⎩， (1,4)Q ∴；ii ．当90AQD ∠=︒时，设2(,23)Q t t t -++，设直线AQ 的解析式为11y k x b =+， 把A 、Q 坐标代入可得1121123k b tk b t t -+=⎧⎨+=-++⎩，解得1(3)k t =--， 设直线DQ 解析式为22y k x b =+，同理可求得2k t =-，AQ DQ ⊥，121k k ∴=-，即(3)1t t -=-，解得t =，当t =223t t -++=，当t时，223t t -++=， Q ∴点坐标为或； 综上可知Q 点坐标为(1,4)或或． 12．（2018•江西）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程： 求解体验：（1）已知抛物线23y x bx =-+-经过点(1,0)-，则b = 4- ，顶点坐标为 ，该抛物线关于点(0,1)成中心对称的抛物线表达式是 ．抽象感悟：我们定义：对于抛物线2(0)y ax bx c a =++≠，以y 轴上的点(0,)M m 为中心，作该抛物线关于点M 对称的抛物线y '，则我们又称抛物线y '为抛物线y 的“衍生抛物线”，点M 为“衍生中心”．（2）已知抛物线225y x x =--+关于点(0,)m 的衍生抛物线为y '，若这两条抛物线有交点，求m 的取值范围． 问题解决：（3）已知抛物线22(0)y ax ax b a =+-≠①若抛物线y 的衍生抛物线为222(0)y bx bx a b '=-+≠，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a 、b 的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y 关于点2(0,1)k +的衍生抛物线为1y ，其顶点为1A ；关于点2(0,2)k +的衍生抛物线为2y ，其顶点为2A ；⋯；关于点2(0,)k n +的衍生抛物线为n y ，其顶点为(n A n ⋯为正整数）．求1n n A A +的长（用含n 的式子表示）．【解】：求解体验：（1）抛物线23y x bx =-+-经过点(1,0)-，130b ∴---=， 4b ∴=-，∴抛物线解析式为2243(2)1y x x x =---=-++， ∴抛物线的顶点坐标为(2,1)-，∴抛物线的顶点坐标(2,1)-关于(0,1)的对称点为(2,1)，即：新抛物线的顶点坐标为(2,1)， 令原抛物线的0x =，3y ∴=-，(0,3)∴-关于点(0,1)的对称点坐标为(0,5)，设新抛物线的解析式为2(2)1y a x =-+， 点(0,5)在新抛物线上，25(02)1a ∴=-+，1a ∴=，∴新抛物线解析式为22(2)145y x x x =-+=-+，故答案为4-，(2,1)-，245y x x =-+；抽象感悟：（2）抛物线2225(1)6y x x x =--+=-++①，∴抛物线的顶点坐标为(1,6)-，抛物线上取点(0,5)，∴点(1,6)-和(0,5)关于点(0,)m 的对称点为(1,26)m -和(0,25)m -，设衍生抛物线为2(1)26y a x m '=-+-，2526m a m ∴-=+-，1a ∴=，∴衍生抛物线为22(1)26225y x m x x m '=-+-=-+-②，联立①②得，2222525x x m x x -+-=--+， 整理得，22102x m =-， 这两条抛物线有交点，1020m ∴-…， 5m ∴…；问题解决：（3）①抛物线222(1)y ax ax b a x a b =+-=+--，∴此抛物线的顶点坐标为(1,)a b ---，抛物线y 的衍生抛物线为22222(1)y bx bx a b x a b '=-+=-+-，∴此函数的顶点坐标为2(1,)a b -，两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，∴2222b b a a ba ab a b⎧++=--⎨+-=-⎩， 0a ∴=（舍)或3a =， 3b ∴=-，∴抛物线y 的顶点坐标为(1,0)-，抛物线y 的衍生抛物线的顶点坐标为(1,12)， ∴衍生中心的坐标为(0,6)；②抛物线22y ax ax b =+-的顶点坐标为(1,)a b ---， 点(1,)a b ---关于点2(0,)k n +的对称点为2(1,22)a b k n +++，∴抛物线n y 的顶点坐标n A 为2(1,22)a b k n +++，同理：1(1n A +，222(1))a b k n ++++22122(1)(22)42n n A A a b k n a b k n n +∴=++++-+++=+．13．（2018•青海）如图，抛物线2y ax bx c =++与坐标轴交点分别为(1,0)A -，(3,0)B ，(0,2)C ，作直线BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上第一象限内一动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，设点P 的横坐标为(03)t t <<，求ABP ∆的面积S 与t 的函数关系式； （3）条件同（2），若ODP ∆与COB ∆相似，求点P 的坐标．【解】：（1）把(1,0)A -，(3,0)B ，(0,2)C 代入2y ax bx c =++得：09302a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：23a =-，43b =，2c =，∴抛物线的解析式为224233y x x =-++．（2）设点P 的坐标为224(,2)33t t t -++．(1,0)A -，(3,0)B ，4AB ∴=．221124484(2)4(03)223333S AB PD t t t t t ∴==⨯⨯-++=-++<<； （3）当ODP COB ∆∆∽时，OD DP OC OB=即22423323t tt -++=， 整理得：24120t t +-=， 解得：t =或t =．OD t ∴==，32DP OD == ∴点P 的坐标为． 当ODP BOC ∆∆∽，则OD DP BO OC=，即22423332tt t -++=， 整理得230t t--=， 解得：t =或t =．OD t ∴==，23DP OD ==，∴点P 的坐标为．综上所述点P 的坐标为或． 14．（2018•新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线222433y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向B 点运动，同时，点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t 秒，求运动时间t 为多少秒时，PBQ ∆的面积S 最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当PBQ ∆面积最大时，在BC 下方的抛物线上是否存在点M ，使BMC∆的面积是PBQ ∆面积的1.6倍？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解】：（1）当0x =时，2224433y x x =--=-，∴点C 的坐标为(0,4)-；当0y =时，有2224033x x --=， 解得：12x =-，23x =，∴点A 的坐标为(2,0)-，点B 的坐标为(3,0)．（2）设直线BC 的解析式为(0)y kx b k =+≠，将(3,0)B 、(0,4)C -代入y kx b =+，304k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：434k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线BC 的解析式为443y x =-． 过点Q 作//QE y 轴，交x 轴于点E ，如图1所示，当运动时间为t 秒时，点P 的坐标为(22,0)t -，点Q 的坐标为3(35t -，4)5t -，3(22)52PB t t ∴=--=-，45QE t =，22144552()25544PBQ S PB QE t t t ∆∴==-+=--+．405-<， ∴当54t =时，PBQ ∆的面积取最大值，最大值为54． （3）当PBQ ∆面积最大时，54t =，此时点P 的坐标为1(2，0)，点Q 的坐标为9(4，1)-．假设存在，设点M 的坐标为222(,4)33m m m --，则点F 的坐标为4(,4)3m m -，2242224(4)23333MF m m m m m ∴=----=-+，2132BMC S MF OB m m ∆∴==-+．BMC ∆的面积是PBQ ∆面积的1.6倍，253 1.64m m ∴-+=⨯，即2320m m -+=，解得：11m =，22m =．03m <<，∴在BC 下方的抛物线上存在点M ，使BMC ∆的面积是PBQ ∆面积的1.6倍，点M 的坐标为(1,4)-或8(2,)3-．15．（2018•安徽）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现： ①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为1W ，2W （单位：元）． （1）用含x 的代数式分别表示1W ，2W ；（2）当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少？【解】：（1）设培植的盆景比第一期增加x 盆， 则第二期盆景有(50)x +盆，花卉有(50)x -盆， 所以21(50)(1602)2608000W x x x x =+-=-++，。

1．如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．3．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值；（3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M 的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l：y=kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l 与y轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若=，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90°，求k的值．6．如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．7．抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B．（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．8．在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx﹣2m （m是常数），顶点为P．（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．9．如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．（1）当t=2时，线段PQ的中点坐标为；（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；（3）当t=1时，抛物线y=x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．10．如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．（1）当x=2时，求⊙P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合．（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．11．已知顶点为A抛物线经过点，点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN ∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．12．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．13．如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m（k＜0）与y2=ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．（1）直接写出这两个二次函数的表达式；（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标14．小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：（1）已知抛物线y=﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b=，顶点坐标为，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．（2）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．问题解决：（3）已知抛物线y=ax2+2ax﹣b（a≠0）①若抛物线y的衍生抛物线为y′=bx2﹣2bx+a2（b≠0），两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为y n，其顶点为A n…（n为正整数）．求A n A n+1的长（用含n的式子表示）．15．如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（，﹣3）和点B（3，0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC =S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C 为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．17．如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．（1）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．18．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．19．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①=；②=；③“十字形”ABCD的周长为12．21．如图1，抛物线y1=ax2﹣x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的解析式；（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．22．如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B （3，﹣），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．25．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M 到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．27．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求点D的坐标；（3）点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R．求点P的坐标；（4）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．28．如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y=2x经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B．（1）求a，b的值．（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K=．求K关于m的函数表达式及K的范围．29．抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC 交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC 的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标；（3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置，再将△O2B2C绕点B2旋转一周，在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，N．那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在，请说明理由．30．综合与探究如图，抛物线y=x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE ∥AC交x轴于点E，交BC于点F．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．31．如图，二次函数y=﹣+bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．（1）b=，点B的坐标是；（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB=1：2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．32．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．33．如图，已知二次函数y=ax2﹣（2a﹣）x+3的图象经过点A（4，0），与y 轴交于点B．在x轴上有一动点C（m，0）（0＜m＜4），过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．（1）求a的值和直线AB的解析式；（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．34．已知，点M为二次函数y=﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y=mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．（1）判断顶点M是否在直线y=4x+1上，并说明理由．（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．（1）求此抛物线的表达式；（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．36．已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．37．直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，顶点为D的抛物线y=﹣x2+2mx ﹣3m经过点A，交x轴于另一点C，连接BD，AD，CD，如图所示．（1）直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标；（2）动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动，同时动点Q 在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD于点E．①当∠DPE=∠CAD时，求t的值；②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN=EM时，求t的值．38．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP 为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．39．如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．40．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A和点B的坐标分别为A（﹣2，0），B（0，﹣6），将Rt△AOB绕点O按顺时针方向分别旋转90°，180°得到Rt △A1OC，Rt△EOF．抛物线C1经过点C，A，B；抛物线C2经过点C，E，F．（1）点C的坐标为，点E的坐标为；抛物线C1的解析式为．抛物线C2的解析式为；（2）如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线C1上的一个动点．①若∠PCA=∠ABO时，求P点的坐标；②如图2，过点P作x轴的垂线交直线BC于点M，交抛物线C2于点N，记h=PM+NM+BM，求h与x的函数关系式，当﹣5≤x≤﹣2时，求h的取值范围．41．如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C （0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．42．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y 轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；（2）求L与m之间的函数关系式；（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y0≤9时，直接写出L的取值范围．43．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°．（1）求抛物线的解析式；（2）若MN与直线y=﹣2x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1＞y2，解决以下问题：①求证：BC平分∠MBN；②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．44．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y 轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．45．如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．46．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EG⊥x轴于点E，过点H作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH的最大面积；（3）若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S1，S2，且S1：S2=4：5，求k的值．47．如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．48．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．49．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D （4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．50．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．一．解答题（共50小题）1．如图1，已知二次函数y=ax 2+x +c （a ≠0）的图象与y 轴交于点A （0，4），与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为（8，0），连接AB 、AC ．（1）请直接写出二次函数y=ax 2+x +c 的表达式；（2）判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）若点N 在x 轴上运动，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N 的坐标；（4）如图2，若点N 在线段BC 上运动（不与点B 、C 重合），过点N 作NM ∥AC ，交AB 于点M ，当△AMN 面积最大时，求此时点N 的坐标．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据抛物线的解析式求得B 的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB 2=20，AC 2=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC 是直角三角形．（3）分别以A 、C 两点为圆心，AC 长为半径画弧，与x 轴交于三个点，由AC 的垂直平分线与x 轴交于一个点，即可求得点N 的坐标；（4）设点N 的坐标为（n ，0），则BN=n +2，过M 点作MD ⊥x 轴于点D ，根据三角形相似对应边成比例求得MD=（n +2），然后根据S △AMN =S △ABN ﹣S △BMN 得出关于n 的二次函数，根据函数解析式求得即可．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax 2+x +c 的图象与y 轴交于点A （0，4），与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为（8，0）， ∴，解得．∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；（2）△ABC是直角三角形．令y=0，则﹣x2+x+4=0，解得x1=8，x2=﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），由已知可得，在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，又∵BC=OB+OC=2+8=10，∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2∴△ABC是直角三角形．（3）∵A（0，4），C（8，0），∴AC==4，①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．（4）如图，AB==2，BC=8﹣（﹣2）=10，AC==4，∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°．∴AC⊥AB．∵AC∥MN，∴MN⊥AB．设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，∵MN∥AC，△BMN∽△BAC∴=，∴=，BM==，MN==，AM=AB﹣BM=2﹣==AM•MN∵S△AMN=××=﹣（n﹣3）2+5，当n=3时，△AMN面积最大是5，∴N点坐标为（3，0）．∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．【点评】本题是二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法求解析式，解（2）的关键是勾股定理和逆定理，解（3）的关键是等腰三角形的性质，解（4）的关键是三角形相似的判定和性质以及函数的最值等．2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．【分析】（1）根据点A、B、C三点的坐标作出△ABC，利用“闭距离”的定义即可得；（2）由题意知y=kx在﹣1≤x≤1范围内函数图象为过原点的线段，再分别求得经过（1，﹣1）和（﹣1，﹣1）时k的值即可得；（3）分⊙T在△ABC的左侧、内部和右侧三种情况，利用“闭距离”的定义逐一判断即可得．【解答】解：（1）如图所示，点O到△ABC的距离的最小值为2，∴d（点O，△ABC）=2；（2）y=kx（k≠0）经过原点，在﹣1≤x≤1范围内，函数图象为线段，当y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（1，﹣1）时，k=﹣1，此时d（G，△ABC）=1；当y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（﹣1，﹣1）时，k=1，此时d（G，△ABC）=1；∴﹣1≤k≤1，∵k≠0，∴﹣1≤k≤1且k≠0；。

1．如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t 的取值范围．3．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值；（3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M 的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l：y=kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l与y轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若=，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90°，求k的值．6．如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．7．抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B．（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．8．在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx ﹣2m（m是常数），顶点为P．（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．9．如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．（1）当t=2时，线段PQ的中点坐标为；（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；（3）当t=1时，抛物线y=x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．10．如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．（1）当x=2时，求⊙P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合．（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．11．已知顶点为A抛物线经过点，点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN ∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．12．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．13．如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m（k＜0）与y2=ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．（1）直接写出这两个二次函数的表达式；（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标14．小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：（1）已知抛物线y=﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b=，顶点坐标为，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．（2）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．问题解决：（3）已知抛物线y=ax2+2ax﹣b（a≠0）①若抛物线y的衍生抛物线为y′=bx2﹣2bx+a2（b≠0），两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为y n，其顶点为A n…（n为正整数）．求A n A n+1的长（用含n的式子表示）．15．如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（，﹣3）和点B（3，0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC =S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C 为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．17．如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．（1）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．18．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．19．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①=；②=；③“十字形”ABCD的周长为12．21．如图1，抛物线y1=ax2﹣x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的解析式；（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．22．如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B （3，﹣），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．25．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M 到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．27．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求点D的坐标；（3）点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R．求点P的坐标；（4）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．28．如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y=2x经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B．（1）求a，b的值．（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K=．求K关于m的函数表达式及K的范围．29．抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC 交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC 的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标；（3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置，再将△O2B2C绕点B2旋转一周，在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，N．那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在，请说明理由．30．综合与探究如图，抛物线y=x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE ∥AC交x轴于点E，交BC于点F．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．31．如图，二次函数y=﹣+bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．（1）b=，点B的坐标是；（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB=1：2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．32．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C 作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．33．如图，已知二次函数y=ax2﹣（2a﹣）x+3的图象经过点A（4，0），与y 轴交于点B．在x轴上有一动点C（m，0）（0＜m＜4），过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．（1）求a的值和直线AB的解析式；（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．34．已知，点M为二次函数y=﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y=mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．（1）判断顶点M是否在直线y=4x+1上，并说明理由．（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．（1）求此抛物线的表达式；（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD 的面积；（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．36．已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．37．直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，顶点为D的抛物线y=﹣x2+2mx ﹣3m经过点A，交x轴于另一点C，连接BD，AD，CD，如图所示．（1）直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标；（2）动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动，同时动点Q 在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD于点E．①当∠DPE=∠CAD时，求t的值；②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN=EM时，求t的值．38．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．39．如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．40．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A和点B的坐标分别为A（﹣2，0），B（0，﹣6），将Rt△AOB绕点O按顺时针方向分别旋转90°，180°得到Rt△A1OC，Rt△EOF．抛物线C1经过点C，A，B；抛物线C2经过点C，E，F．（1）点C的坐标为，点E的坐标为；抛物线C1的解析式为．抛物线C2的解析式为；（2）如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线C1上的一个动点．①若∠PCA=∠ABO时，求P点的坐标；②如图2，过点P作x轴的垂线交直线BC于点M，交抛物线C2于点N，记h=PM+NM+BM，求h与x的函数关系式，当﹣5≤x≤﹣2时，求h的取值范围．41．如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C （0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．42．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y 轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；（2）求L与m之间的函数关系式；（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y0≤9时，直接写出L的取值范围．43．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°．（1）求抛物线的解析式；（2）若MN与直线y=﹣2x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1＞y2，解决以下问题：①求证：BC平分∠MBN；②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．44．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y 轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．45．如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．46．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EG⊥x轴于点E，过点H作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH的最大面积；（3）若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S1，S2，且S1：S2=4：5，求k的值．47．如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．48．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．49．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D （4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．50．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．一．解答题（共50小题）1．如图1，已知二次函数y=ax 2+x +c （a ≠0）的图象与y 轴交于点A （0，4），与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为（8，0），连接AB 、AC ．（1）请直接写出二次函数y=ax 2+x +c 的表达式；（2）判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）若点N 在x 轴上运动，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N 的坐标；（4）如图2，若点N 在线段BC 上运动（不与点B 、C 重合），过点N 作NM ∥AC ，交AB 于点M ，当△AMN 面积最大时，求此时点N 的坐标．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据抛物线的解析式求得B 的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB 2=20，AC 2=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC 是直角三角形． （3）分别以A 、C 两点为圆心，AC 长为半径画弧，与x 轴交于三个点，由AC 的垂直平分线与x 轴交于一个点，即可求得点N 的坐标；（4）设点N 的坐标为（n ，0），则BN=n +2，过M 点作MD ⊥x 轴于点D ，根据三角形相似对应边成比例求得MD=（n +2），然后根据S △AMN =S △ABN ﹣S △BMN 得出关于n 的二次函数，根据函数解析式求得即可．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax 2+x +c 的图象与y 轴交于点A （0，4），与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为（8，0）， ∴，解得．∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；（2）△ABC是直角三角形．令y=0，则﹣x2+x+4=0，解得x1=8，x2=﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），由已知可得，在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，又∵BC=OB+OC=2+8=10，∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2∴△ABC是直角三角形．（3）∵A（0，4），C（8，0），∴AC==4，①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．（4）如图，AB==2，BC=8﹣（﹣2）=10，AC==4，∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°．∴AC⊥AB．∵AC∥MN，∴MN⊥AB．设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，∵MN∥AC，△BMN∽△BAC∴=，∴=，BM==，MN==，AM=AB﹣BM=2﹣==AM•MN∵S△AMN=××=﹣（n﹣3）2+5，当n=3时，△AMN面积最大是5，∴N点坐标为（3，0）．∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．【点评】本题是二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法求解析式，解（2）的关键是勾股定理和逆定理，解（3）的关键是等腰三角形的性质，解（4）的关键是三角形相似的判定和性质以及函数的最值等．2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t 的取值范围．【分析】（1）根据点A、B、C三点的坐标作出△ABC，利用“闭距离”的定义即可得；（2）由题意知y=kx在﹣1≤x≤1范围内函数图象为过原点的线段，再分别求得经过（1，﹣1）和（﹣1，﹣1）时k的值即可得；（3）分⊙T在△ABC的左侧、内部和右侧三种情况，利用“闭距离”的定义逐一判断即可得．【解答】解：（1）如图所示，点O到△ABC的距离的最小值为2，∴d（点O，△ABC）=2；（2）y=kx（k≠0）经过原点，在﹣1≤x≤1范围内，函数图象为线段，当y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（1，﹣1）时，k=﹣1，此时d（G，△ABC）=1；当y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（﹣1，﹣1）时，k=1，此时d（G，△ABC）=1；∴﹣1≤k≤1，∵k≠0，∴﹣1≤k≤1且k≠0；。

2018年山东十七地市函数中考真题汇编（完整版）一、函数与图像1．（2018烟台）如图，矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D→C方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止．设运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），下列能大致反映S与t之间函数关系的图象是（）．B．C．D．2．（2018潍坊）如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B=60°，动点P以1厘米秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B 点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ 的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（）A．B．C．D．3．（2018日照）“低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游．周末，小红相约到郊外游玩，她从家出发0.5小时后到达甲地，玩一段时间后按原速前往乙地，刚到达乙地，接到妈妈电话，快速返回家中．小红从家出发到返回家中，行进路程y（km）随时间x（h）变化的函数图象大致如图所示．（1）小红从甲地到乙地骑车的速度为km/h；（2）当1.5≤x≤2.5时，求出路程y（km）关于时间x（h）的函数解析式；并求乙地离小红家多少千米？4．（2018日照）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点．已知反比例函数y=（m＜0）与y=x2﹣4在第四象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2，则实数m的取值范围为．5．（2018临沂）甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，匀速相向而行．甲的速度大于乙的速度，甲到达B地后，乙继续前行．设出发x h后，两人相距y km，图中折线表示从两人出发至乙到达A地的过程中y与x之间的函数关系．根据图中信息，求：（1）点Q的坐标，并说明它的实际意义；（2）甲、乙两人的速度．6．（2018东营）如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC 上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（）A．B． C．D．7．（2018济南，17，4分）A、B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2km/h的速度度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离s（km）与时间t（h）的关系如图所示，则甲出发____________小时后和乙相遇．8．（2018聊城）春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过5min的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x （min）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（）A．经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10mg/m3B．室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11minC．当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效D．当室内空气中的含药量低于2mg/m3时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到2mg/m3开始，需经过59min后，学生才能进入室内9．（2018莱芜）如图，边长为2的正△ABC的边BC在直线l上，两条距离为1的平行直线a和b垂直于直线l，a和b同时向右移动（a的起始位置在B点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒），直到b到达C点停止，在a和b 向右移动的过程中，记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为s，则s关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．10．（2018德州）给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y=；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（）A．①③B．③④C．②④D．②③11．（2018济宁）如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为（﹣1，0），AC=2．将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是（）A．（2，2） B．（1，2） C．（﹣1，2）D．（2，﹣1）12．（2018济宁）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．13．（2018济宁）在平面直角坐标系中，已知一次函数y=﹣2x+1的图象经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1y2．（填“＞”“＜”“=”）14．（2018东营）如图，B（3，﹣3），C（5，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，则经过点A的反比例函数的解析式为．15．（2018菏泽）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标是（6，0），则点C的坐标是．16．（2018青岛）如图，将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90°，得到线段A'B'，其中点A、B的对应点分别是点A'、B'，则点A'的坐标是（）A．（﹣1，3）B．（4，0） C．（3，﹣3）D．（5，﹣1）17．（2018聊城）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）18．（2018泰安）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，若AC上一点P（1.2，1.4）平移后对应点为P1，点P1绕原点顺时针旋转180°，对应点为P2，则点P2的坐标为（）A．（2.8，3.6）B．（﹣2.8，﹣3.6） C．（3.8，2.6）D．（﹣3.8，﹣2.6）19．（2018潍坊）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，﹣300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（）A．Q（3，240°）B．Q（3，﹣120°） C．Q（3，600°）D．Q（3，﹣500°）20．（2018潍坊）如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置，B'C′与CD相交于点M，则点M的坐标为．21．（2018潍坊）如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线l：y=x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；…．按此作法进行下去，则的长是．22．（2018潍坊）如图，直线y=3x﹣5与反比例函数y=的图象相交A（2，m），B（n，﹣6）两点，连接OA，OB．（1）求k和n的值；（2）求△AOB的面积．23．（2018烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为．24．（2018枣庄）如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，若点A（3，m）在直线l 上，则m 的值是（ ）A ．﹣5B ．C ．D ．725．（2018枣庄）在平面直角坐标系中，将点A （﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到点B ，则点B 关于x 轴的对称点B′的坐标为（ ） A ．（﹣3，﹣2）B ．（2，2）C ．（﹣2，2）D ．（2，﹣2）二、反比例函数1．（2018临沂）如图，正比例函数y 1=k 1x 与反比例函数y 2=的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的横坐标为1．当y 1＜y 2时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＜﹣1或x ＞1B ．﹣1＜x ＜0或x ＞1C ．﹣1＜x ＜0或0＜x ＜1D ．x ＜﹣1或0＜x ＜l2．（2018济南，11，4分）若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”．例如：P （1，0）、Q （2，－2）都是“整点”．抛物线y ＝mx 2－4mx ＋4m －2(m ＞0)与x 轴交于点A 、B 两点，若该抛物线在A 、B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m 的取值范围是（ ）A ．12≤m ＜1B ．12＜m ≤1 C ．1＜m ≤2 D ．1＜m ＜2 3．（2018滨州）若点A （﹣2，y 1）、B （﹣1，y 2）、C （1，y 3）都在反比例函数y=（k 为常数）的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系为 ．4．（2018菏泽）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a 与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．5．（2018济宁）如图，点A是反比例函数y=（x＞0）图象上一点，直线y=kx+b 过点A并且与两坐标轴分别交于点B，C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，连接DC，若△BOC的面积是4，则△DOC的面积是．6．（2018威海）如图，直线AB与双曲线y=（k＜0）交于点A，B，点P是直线AB上一动点，且点P在第二象限．连接PO并延长交双曲线于点C．过点P 作PD⊥y轴，垂足为点D．过点C作CE⊥x轴，垂足为E．若点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（m，1），设△POD的面积为S1，△COE的面积为S2，当S1＞S2时，点P的横坐标x的取值范围为．7．（2018烟台）如图，反比例函数y=的图象经过▱ABCD 对角线的交点P ，已知点A ，C ，D 在坐标轴上，BD ⊥DC ，▱ABCD 的面积为6，则k= ．8．（2018菏泽）如图，已知点D 在反比例函数y=的图象上，过点D 作DB ⊥y 轴，垂足为B （0，3），直线y=kx +b 经过点A （5，0），与y 轴交于点C ，且BD=OC ，OC ：OA=2：5．（1）求反比例函数y=和一次函数y=kx +b 的表达式； （2）直接写出关于x 的不等式＞kx +b 的解集．9．（2018济南，25，10分）如图，直线y ＝ax ＋2与x 轴交于点A (1，0)，与y 轴交于点B (0，b )．将线段AB 先向右平移1个单位长度、再向上平移t （t ＞0）个单位长度，得到对应线段CD ，反比例函数y ＝kx （x ＞0）的图象恰好经过C 、D 两点，连接AC 、B D ． (1)求a 和b 的值；(2)求反比例函数的表达式及四边形ABDC 的面积；(3)点N 在x 轴正半轴上，点M 是反比例函数y ＝kx （x ＞0）的图象上的一个点，若△CMN是以CM 为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点M 的坐标．第25题图 第25题备用图10．（2018聊城）如图，已知反比例函数y=（x ＞0）的图象与反比例函数y=（x ＜0）的图象关于y 轴对称，A （1，4），B （4，m ）是函数y=（x ＞0）图象上的两点，连接AB ，点C （﹣2，n ）是函数y=（x ＜0）图象上的一点，连接AC ，BC ．（1）求m ，n 的值；（2）求AB 所在直线的表达式； （3）求△ABC 的面积．11．（2018泰安）如图，矩形ABCD 的两边AD 、AB 的长分别为3、8，E 是DC 的中点，反比例函数y=的图象经过点E ，与AB 交于点F ．（1）若点B 坐标为（﹣6，0），求m 的值及图象经过A 、E 两点的一次函数的表达式；（2）若AF﹣AE=2，求反比例函数的表达式．12．（2018青岛）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞0．（1）当y1﹣y2=4时，求m的值；（2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x 轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．13．（2018青岛）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞0．（1）当y1﹣y2=4时，求m的值；（2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x 轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．14．（2018枣庄）如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．三、二次函数1．（2018滨州）如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2018德州）如图，函数y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A．B． C．D．3．（2018莱芜）函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y ＜0成立的x的取值范围是（）A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜24．（2018青岛）已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．5．（2018日照）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＜0；③b2＞（a+c）2；④点（﹣3，y1），（1，y2）都在抛物线上，则有y1＞y2．其中正确的结论有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6．（2018威海）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x﹣x2刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画，下列结论错误的是（）A．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3mB．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势C．小球落地点距O点水平距离为7米D．斜坡的坡度为1：27．（2018威海）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（）A．abc＜0 B．a+c＜b C．b2+8a＞4ac D．2a+b＞08．（2018烟台）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．下列结论：①2a﹣b=0；②（a+c）2＜b2；③当﹣1＜x＜3时，y＜0；④当a=1时，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y=（x﹣2）2﹣2．其中正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．③④C．9．（2018枣庄）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（）A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b=0 D．a﹣b+c=010．（2018淄博）如图，直线y1=﹣x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．四、二次函数解答题1．（2018德州）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c 交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x 轴交于另一点D．（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP 为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2（2018东营）．（12分）如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2018菏泽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．（1）求此抛物线的表达式；（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．4．（2018济南）如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋4过A(2，0)、B(4，0)两点，交y轴于点C，过点C作x轴的平行线与不等式抛物线上的另一个交点为D，连接AC、B C．点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m（m＞4）．(1)求该抛物线的表达式和∠ACB的正切值；(2)如图2，若∠ACP＝45°，求m的值；(3)如图3，过点A、P的直线与y轴于点N，过点P作PM⊥CD，垂足为M，直线MN 与x轴交于点Q，试判断四边形ADMQ的形状，并说明理由．第27题图1 第27题图2 第27题图35、（2018济宁）如图，已知抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0）经过点A （3，0），B （﹣1，0），C （0，﹣3）． （1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A 为圆心的圆与直线BC 相切于点M ，求切点M 的坐标；（3）若点Q 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以点B ，C ，Q ，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6、（2018莱芜）如图，抛物线y=ax 2+bx +c 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DE ⊥BC 于E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE长度的最大值；（3）如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．7、（2018聊城）如图，已知抛物线y=ax2+bx与x轴分别交于原点O和点F（10，0），与对称轴l交于点E（5，5）．矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且AB=1，边AD，BC与抛物线分别交于点M，N．当矩形ABCD沿x轴正方向平移，点M，N位于对称轴l的同侧时，连接MN，此时，四边形ABNM的面积记为S；点M，N位于对称轴l的两侧时，连接EM，EN，此时五边形ABNEM的面积记为S．将点A与点O重合的位置作为矩形ABCD平移的起点，设矩形ABCD平移的长度为t（0≤t≤5）．（1）求出这条抛物线的表达式；（2）当t=0时，求S的值；△OBN（3）当矩形ABCD沿着x轴的正方向平移时，求S关于t（0＜t≤5）的函数表达式，并求出t为何值时，S有最大值，最大值是多少？8、（2018临沂）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．9,、（2018青岛）已知：如图，四边形ABCD，AB∥DC，CB⊥AB，AB=16cm，BC=6cm，CD=8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s．点P和点Q同时出发，以QA、QP为边作平行四边形AQPE，设运动的时间为t（s），0＜t＜5．根据题意解答下列问题：（1）用含t的代数式表示AP；（2）设四边形CPQB的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）当QP⊥BD时，求t的值；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在∠ABD的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．10、（2018日照）如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c 上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．11、（2018泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．12、（2018威海）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求点D的坐标；（3）点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R．求点P的坐标；（4）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．13、（2018潍坊）如图1，抛物线y1=ax2﹣x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的解析式；（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．14、（2018烟台）如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．16、（2018枣庄）如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．17、（2018淄博）如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B（3，﹣），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．。

2018年中考数学真题汇编--二次函数压轴题1.（2018·甘肃）如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C(0,3)，与x轴分别交于点A，点B(3,0).点P是直线BC上方的抛物线上一动点．(1)求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；(2)连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C.若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；(3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．2.（2018·盐城）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(−1,0)、B(3,0)两点，且与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点(点P在点Q的左侧)，连接PQ，在线段PQ 上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．(1)若点P的横坐标为−1，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；2(Ⅱ)直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．3.（2018·邵阳）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象.函数y=x2+ 2x+1的图象的顶点为点A.函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D(点D位于点C的左侧)．(1)求函数y=ax2+bx+c的解析式；(2)从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；(3)若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边？若存在，求tan∠MAN的值；若不存的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的13在，请说明理由．4.（2018·随州）如图1，抛物线C1：y=ax2−2ax+c(a<0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.已知点A的坐标为(−1,0)，点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．(1)求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；(2)如图2，将抛物线C1向下平移k(k>0)个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：(3)在(2)的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=−1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．5.（2018·杭州临安）如图，△OAB是边长为2+√3的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF．(1)当A′E//x轴时，求点A′和E的坐标；x2+bx+c经过点A′和E时，求抛物线与x轴的交点(2)当A′E//x轴，且抛物线y=−16的坐标；(3)当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由．6.（2018·荆门）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于原点及点A，且经过点B(4,8)，对称轴为直线x=−2．(1)求抛物线的解析式；(2)设直线y=kx+4与抛物线两交点的横坐标分别为x1，x2(x1<x2)，当1x2−1x1=12时，求k的值；(3)连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点Q，当S△POQ：S△BOQ=1：2时，求出点P的坐标．(坐标平面内两点M(x1,y1)，N(x2,y2)之间的距离MN=√(x1−x2)2+(y1−y2)2)7.（2018·安顺）如图，已知抛物线y=ax2+bx+C(a≠0)的对称轴为直线x=−1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A(1,0)，C(0,3)．(1)若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物成的解析式；(2)在抛物线的对称轴x=−1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x=−1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．8.（2018·株洲）如图，已知二次函数y=ax2−5√3x+c(a>0)的图象抛物线与x 轴相交于不同的两点A(x1,0)，B(x2,0)，且x1<x2，(1)若抛物线的对称轴为x=√3求的a值；(2)若a=15，求c的取值范围；(3)若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且∠OBD=60∘，抛物线的对称轴l与x轴相交点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为3+1，连接AF，满足∠ADB=∠AFE，求2a该二次函数的解析式．9.（2018·永州）如图1，抛物线的顶点A的坐标为(1,4)，抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E(0,3)．(1)求抛物线的表达式；(2)已知点F(0,−3)，在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N(点M、N都在抛物线对称轴的右侧)，当MN最大时，求△PON的面积．10.（2018·南通）已知，正方形ABCD，A(0,−4)，B(l,−4)，C(1,−5)，D(0,−5)，抛物线y=x2+mx−2m−4(m为常数)，顶点为M．(1)抛物线经过定点坐标是______，顶点M的坐标(用m的代数式表示)是______；(2)若抛物线y=x2+mx−2m−4(m为常数)与正方形ABCD的边有交点，求m的取值范围；(3)若∠ABM=45∘时，求m的值．11.（2018·湘潭）如图，点P为抛物线y=14x2上一动点．(1)若抛物线y=14x2是由抛物线y=14(x+2)2−1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；(2)若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为(0,−1)，过点P作PM⊥l 于M．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为(1.5)，求QP+PF的最小值．12.（2018·宜昌）如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A，B的坐标分别为A(−6,0)，B(0,4).过点C(−6,1)的双曲线y=kx(k≠0)与矩形OADB的边BD交于点E．(1)填空：OA=______，k=______，点E的坐标为______；(2)当1≤t≤6时，经过点M(t−1,−12t2+5t−32)与点N(−t−3,−12t2+3t−72)的直线交y轴于点F，点P是过M，N两点的抛物线y=−12x2+bx+c的顶点．①当点P在双曲线y=kx 上时，求证：直线MN与双曲线y=kx没有公共点；②当抛物线y=−12x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值；③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积．13.（2018·浙江）已知，点M为二次函数y=−(x−b)2+4b+1图象的顶点，直线y=mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．(1)判断顶点M是否在直线y=4x+1上，并说明理由．(2)如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5>−(x−b)2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．(3)如图2，点A坐标为(5,0)，点M在△AOB内，若点C(14,y1)，D(34,y2)都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．14.（2018·恩施）如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为(−1,0)，OC=2，OB=3，点D为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；(3)若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面积均为定值S，求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标．15.（2018·孝感）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A和点B的坐标分别为A(−2,0)，B(0,−6)，将Rt△AOB绕点O按顺时针方向分别旋转90∘，180∘得到Rt△A1OC，Rt△EOF.抛物线C1经过点C，A，B；抛物线C2经过点C，E，F．(1)点C的坐标为______，点E的坐标为______；抛物线C1的解析式为______.抛物线C2的解析式为______；(2)如果点P(x,y)是直线BC上方抛物线C1上的一个动点．①若∠PCA=∠ABO时，求P点的坐标；②如图2，过点P作x轴的垂线交直线BC于点M，交抛物线C2于点N，记ℎ=PM+NM+√2BM，求h与x的函数关系式，当−5≤x≤−2时，求h的取值范围．2018年最新中考数学压轴精选15题二次函数类【答案】1. 解：(1)将点B 和点C 的坐标代入函数解析式，得 {c =39a+6+c=0，解得{c =3a=−1，二次函数的解析是为y =−x 2+2x +3；(2)若四边形POP′C 为菱形，则点P 在线段CO 的垂直平分线上， 如图1，连接PP′，则PE ⊥CO ，垂足为E ，∵C(0,3)，∴E(0,32)，∴点P 的纵坐标32，当y =32时，即−x 2+2x +3=32，解得x 1=2+√102，x 2=2−√102(不合题意，舍)， ∴点P 的坐标为(2+√102,32)；(3)如图2，P 在抛物线上，设P(m,−m 2+2m +3)， 设直线BC 的解析式为y =kx +b ， 将点B 和点C 的坐标代入函数解析式，得 {b =33k+3=0， 解得{b =3k=−1．直线BC 的解析为y =−x +3， 设点Q 的坐标为(m,−m +3)，PQ =−m 2+2m +3−(−m +3)=−m 2+3m ． 当y =0时，−x 2+2x +3=0， 解得x 1=−1，x 2=3， OA =1，AB =3−(−1)=4，S 四边形ABPC =S △ABC +S △PCQ +S △PBQ =12AB ⋅OC +12PQ ⋅OF +12PQ ⋅FB =12×4×3+12(−m 2+3m)×3 =−32(m −32)2+758，当m =32时，四边形ABPC 的面积最大． 当m =32时，−m 2+2m +3=154，即P 点的坐标为(32,154). 当点P 的坐标为(32,154)时，四边形ACPB 的最大面积值为758．2. 解：(1)将A(−1,0)、B(3,0)代入y =ax 2+bx +3，得：{9a +3b +3=0a−b+3=0，解得：{b =2a=−1， ∴抛物线的表达式为y =−x 2+2x +3．(2)(I)当点P 的横坐标为−12时，点Q 的横坐标为72， ∴此时点P 的坐标为(−12,74)，点Q 的坐标为(72,−94). 设直线PQ 的表达式为y =mx +n ， 将P(−12,74)、Q(72,−94)代入y =mx +n ，得： {−12m +n =7472m +n =−94，解得：{m =−1n =54， ∴直线PQ 的表达式为y =−x +54．如图②，过点D 作DE//y 轴交直线PQ 于点E ，设点D 的坐标为(x,−x 2+2x +3)，则点E 的坐标为(x,−x +54)， ∴DE =−x 2+2x +3−(−x +54)=−x 2+3x +74，∴S △DPQ =12DE ⋅(x Q −x P )=−2x 2+6x +72=−2(x −32)2+8．∵−2<0，∴当x =32时，△DPQ 的面积取最大值，最大值为8，此时点D 的坐标为(32,154). (II)假设存在，设点P 的横坐标为t ，则点Q 的横坐标为4+t ，∴点P 的坐标为(t,−t 2+2t +3)，点Q 的坐标为(4+t,−(4+t)2+2(4+t)+3)， 利用待定系数法易知，直线PQ 的表达式为y =−2(t +1)x +t 2+4t +3． 设点D 的坐标为(x,−x 2+2x +3)，则点E 的坐标为(x,−2(t +1)x +t 2+4t +3)， ∴DE =−x 2+2x +3−[−2(t +1)x +t 2+4t +3]=−x 2+2(t +2)x −t 2−4t ， ∴S △DPQ =12DE ⋅(x Q −x P )=−2x 2+4(t +2)x −2t 2−8t =−2[x −(t +2)]2+8．∵−2<0，∴当x =t +2时，△DPQ 的面积取最大值，最大值为8．∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ 面积有最大值，面积的最大值为8．3. 解：(1)y =x 2+2x +1=(x +1)2的图象沿x 轴翻折，得y =−(x +1)2．把y =−(x +1)2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y =−x 2+4， ∴所求的函数y =ax 2+bx +c 的解析式为y =−x 2+4； (2)∵y =x 2+2x +1=(x +1)2， ∴A(−1,0)，当y =0时，−x 2+4=0，解得x =±2，则D(−2,0)，C(2,0)； 当x =0时，y =−x 2+4=4，则B(0,4)，从点A ，C ，D 三个点中任取两个点和点B 构造三角形的有：△ACB ，△ADB ，△CDB ， ∵AC =3，AD =1，CD =4，AB =√17，BC =2√5，BD =2√5，∴△BCD 为等腰三角形，∴构造的三角形是等腰三角形的概率=13； (3)存在．易得BC 的解析是为y =−2x +4，S △ABC =12AC ⋅OB =12×3×4=6， M 点的坐标为(m,−2m +4)(0≤m ≤2)，①当N 点在AC 上，如图1，∴△AMN 的面积为△ABC 面积的13， ∴12(m +1)(−2m +4)=2，解得m 1=0，m 2=1，当m =0时，M 点的坐标为(0,4)，N(0,0)，则AN =1，MN =4， ∴tan∠MAC =MN AN=41=4；当m =1时，M 点的坐标为(1,2)，N(1,0)，则AN =2，MN =2，∴tan∠MAC =MN AN=22；②当N 点在BC 上，如图2， BC =√22+42=2√5，∵12BC ⋅AN =12AC ⋅BC ，解得AN =3×42√5=6√55， ∵S △AMN =12AN ⋅MN =2， ∴MN =4AN =2√53， ∴∠MAC =MNAN =2√536√55=59； ③当N 点在AB 上，如图3，作AH ⊥BC 于H ，设AN =t ，则BN =√17−t ， 由②得AH =6√55，则BH =√(√17)2−(6√55)2=7√55， ∵∠NBG =∠HBA ， ∴△BNM ∽△BHA ， ∴MN AH=BNBH ，即MN 6√55=√17−t7√55，∴MN=6√17−6t7，∵12AN⋅MN=2，即12⋅(√17−t)⋅6√17−6t7=2，整理得3t2−3√17t+14=0，△=(−3√17)2−4×3×14=−15<0，方程没有实数解，∴点N在AB上不符合条件，综上所述，tan∠MAN的值为1或4或59．4. 解：(1)∵点A的坐标为(−1,0)，∴OA=1，∴OC=3OA，∴点C的坐标为(0,3)，将A、C坐标代入y=ax2−2ax+c，得：{c=3a+2a+c=0，解得：{c=3a=−1，∴抛物线C1的解析式为y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，所以点G的坐标为(1,4)．(2)设抛物线C2的解析式为y=−x2+2x+3−k，即y=−(x−1)2+4−k，过点G′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，∵△A′B′G′为等边三角形，∴G′D=√3B′D=√3m，则点B′的坐标为(m+1,0)，点G′的坐标为(1,√3m)，将点B′、G′的坐标代入y=−(x−1)2+4−k，得：{−m 2+4−k=04−k=√3m，解得：{k1=4m1=0(舍)，{m2=√3k2=1，∴k=1；(3)设M(x,0)，则P(x,−x 2+2x +3)、Q(x,−x 2+2x +2)， ∴PQ =OA =1，∵∠AOQ 、∠PQN 均为钝角， ∴△AOQ ≌△PQN ，如图2，延长PQ 交直线y =−1于点H ，则∠QHN =∠OMQ =90∘， 又∵△AOQ ≌△PQN ，∴OQ =QN ，∠AOQ =∠PQN ， ∴∠MOQ =∠HQN ， ∴△OQM ≌△QNH(AAS)，∴OM =QH ，即x =−x 2+2x +2+1， 解得：x =1±√132(负值舍去)， 当x =1+√132时，HN =QM =−x 2+2x +2=√13−12，点M(1+√132,0)，∴点N 坐标为(1+√132+√13−12,−1)，即(√13,−1)； 或(1+√132−√13−12,−1)，即(1,−1)； 如图3，同理可得△OQM≌△PNH，∴OM=PH，即x=−(−x2+2x+2)−1，解得：x=−1(舍)或x=4，当x=4时，点M的坐标为(4,0)，HN=QM=−(−x2+2x+2)=6，∴点N的坐标为(4+6,−1)即(10,−1)，或(4−6,−1)即(−2,−1)；综上点M1(1+√132,0)、N1(√13,−1)；M2(1+√132,0)、N2(1,−1)；M3(4,0)、N3(10,−1)；M4(4,0)、N4(−2,−1)．5. 解：(1)由已知可得∠A′OE=60∘，A′E=AE，由A′E//x轴，得△OA′E是直角三角形，设A′的坐标为(0,b)，AE=A′E=√3b，OE=2b，√3b+2b=2+√3，所以b=1，A′、E的坐标分别是(0,1)与(√3,1)．(2)因为A′、E在抛物线上，所以{1=c1=−16⋅(√3)2+√3b+c，所以{c=1b=√36，函数关系式为y=−16x2+√36x+1，由−16x2+√36x+1=0，得x1=−√3，x2=2√3，与x轴的两个交点坐标分别是(−√3,0)与(2√3,0)．(3)不可能使△A′EF成为直角三角形．∵∠FA′E=∠FAE=60∘，若△A′EF 成为直角三角形，只能是∠A′EF =90∘或∠A′FE =90∘ 若∠A′EF =90∘，利用对称性，则∠AEF =90∘， A 、E 、A 三点共线，O 与A 重合，与已知矛盾； 同理若∠A′FE =90∘也不可能， 所以不能使△A′EF 成为直角三角形． 6. 解：(1)根据题意得，{−b2a=−216a +4b +c =8c =0，∴{a =14b =1c =0， ∴抛物线解析式为y =14x 2+x ；(2)∵直线y =kx +4与抛物线两交点的横坐标分别为x 1，x 2， ∴14x 2+x =kx +4， ∴x 2−4(k −1)x −16=0，根据根与系数的关系得，x 1+x 2=4(k −1)，x 1x 2=−16， ∵1x 2−1x 1=12，∴2(x 1−x 2)=x 1x 2， ∴4(x 1−x 2)2=(x 1x 2)2，∴4[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=(x 1x 2)2， ∴4[16(k −1)2+64]=162， ∴k =1；(3)如图，取OB 的中点C ， ∴BC =12OB ， ∵B(4,8)， ∴C(2,4)， ∵PQ//OB ，∴点O 到PQ 的距离等于点O 到OB 的距离， ∵S △POQ ：S △BOQ =1：2， ∴OB =2PQ ，∴PQ =BC ，∵PQ//OB ， ∴四边形BCPQ 是平行四边形， ∴PC//AB ，∵抛物线的解析式为y =14x 2+x②，令y =0， ∴14x 2+x =0， ∴x =0或x =−4， ∴A(−4,0)， ∵B(4,8)，∴直线AB 解析式为y =x +4，设直线PC 的解析式为y =x +m ， ∵C(2,4)，∴直线PC 的解析式为y =x +2②，联立①②解得，{x =2√2y =2√2+2(舍)或{x =−2√2y =−2√2+2，∴P(−2√2,−2√2+2)．7. 解：(1)依题意得：{−b2a =−1a +b +c =0c =3，解之得：{a =−1b =−2c =3，∴抛物线解析式为y =−x 2−2x +3 ∵对称轴为x =−1，且抛物线经过A(1,0)， ∴把B(−3,0)、C(0,3)分别代入直线y =mx +n ，得{n =3−3m+n=0，解之得：{n =3m=1，∴直线y =mx +n 的解析式为y =x +3；(2)设直线BC 与对称轴x =−1的交点为M ，则此时MA +MC 的值最小．把x =−1代入直线y =x +3得，y =2， ∴M(−1,2)，即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为(−1,2)；(3)设P(−1,t)， 又∵B(−3,0)，C(0,3)，∴BC 2=18，PB 2=(−1+3)2+t 2=4+t 2，PC 2=(−1)2+(t −3)2=t 2−6t +10，①若点B 为直角顶点，则BC 2+PB 2=PC 2即：18+4+t 2=t 2−6t +10解之得：t =−2； ②若点C 为直角顶点，则BC 2+PC 2=PB 2即：18+t 2−6t +10=4+t 2解之得：t =4，③若点P 为直角顶点，则PB 2+PC 2=BC 2即：4+t 2+t 2−6t +10=18解之得：t 1=3−√172，t 2=3−√172；综上所述P 的坐标为(−1,−2)或(−1,4)或(−1,3+√172) 或(−1,3−√172).8. 解：(1)抛物线的对称轴是：x =−b 2a =−−5√32a=√3，解得：a =52；(2)由题意得二次函数解析式为：y =15x 2−5√3x +c ， ∵二次函数与x 轴有两个交点， ∴△>0，∴△=b 2−4ac =(−5√3)2−4×15c ， ∴c <54；(3)∵∠BOD =90∘，∠DBO =60∘， ∴tan60∘=ODOB =cOB =√3， ∴OB =√33c ， ∴B(√33c,0)，把B(√33c,0)代入y =ax 2−5√3x +c 中得：ac 23−5√3⋅√3c 3+c =0，ac 23−5c +c =0，∵c ≠0， ∴ac =12， ∴c =12a，把c =12a代入y =ax 2−5√3x +c 中得：y =a(x 2−5√3x a+12a 2)=a(x −4√3a)(x −√3a)， ∴x 1=4√3a，x 2=√3a， ∴A(√3a ,0)，B(4√3a,0)，D(0,12a )， ∴AB =4√3a −√3a=3√3a ，AE =3√32a， ∵F 的纵坐标为3+12a ， ∴F(5√32a ,6a+12a)，过点A作AG⊥DB于G，∴BG=12AB=AE=3√32a，AG=92a，DG=DB−BG=8√3a −3√32a=13√32a，∵∠ADB=∠AFE，∠AGD=∠FEA=90∘，∴△ADG∽△AFE，∴AEAG =FEDG，∴3√32a92a=6a+12a13√32a，∴a=2，c=6，∴y=2x2−5√3x+6．9. 解：(1)设抛物线的表达式为：y=a(x−1)2+4，把(0,3)代入得：3=a(0−1)2+4，a=−1，∴抛物线的表达式为：y=−(x−1)2+4=−x2+2x+3；(2)存在，如图1，作E关于对称轴的对称点，连接交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，∵E(0,3)，，易得的解析式为：y=3x−3，当x=1时，y=3×1−3=0，∴G(1,0)(3)如图2，∵A(1,4)，B(3,0)，易得AB的解析式为：y=−2x+6，设N(m,−m2+2m+3)，则Q(m,−2m+6)，(0≤m≤3)，∴NQ=(−m2+2m+3)−(−2m+6)=−m2+4m−3，∵AD//NH，∴∠DAB=∠NQM，∵∠ADB=∠QMN=90∘，∴△QMN∽△ADB，∴QNMN =ABBD，∴−m2+4m−3MN =2√52，∴MN=−√55(m−2)2+√55，∵−√55<0，∴当m=2时，MN有最大值；过N作NG⊥y轴于G，∵∠GPN=∠ABD，∠NGP=∠ADB=90∘，∴△NGP∽△ADB，∴PGNG =BDAD=24=12，∴PG=12NG=12m，∴OP=OG−PG=−m2+2m+3−12m=−m2+32m+3，∴S△PON=12OP⋅GN=12(−m2+32m+3)⋅m，当m=2时，S△PON=12×2(−4+3+3)=2．10. (2,0)；(−m2,−14m2−2m−4)11. 解：(1)∵抛物线y=14(x+2)2−1的顶点为(−2,−1)∴抛物线y=14(x+2)2−1的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y=14x2的图象．(2)①存在一定点F，使得PM=PF恒成立．如图一，过点P作PB⊥y轴于点B设点P坐标为(a,14a2)∴PM=PF=14a2+1∵PB=a ∴Rt△PBF中BF=√PF2−PB2=√(14a2+1)2−a2=14a2−1∴OF=1∴点F坐标为(0,1)②由①，PM=PFQP+PF的最小值为QP+QM的最小值当Q、P、M三点共线时，QP+QM有最小值为点Q纵坐标5．∴QP+PF的最小值为5．,4)12. 6；−6；(−3213. 解：(1)点M为二次函数y=−(x−b)2+4b+1图象的顶点，∴M的坐标是(b,4b+1)，把x=b代入y=4x+1，得y=4b+1，∴点M在直线y=4x+1上；(2)如图1，直线y=mx+5交y轴于点B，∴B点坐标为(0,5)又B在抛物线上，∴5=−(0−b)2+4b+1=5，解得b=2，二次函数的解析是为y=−(x−2)2+9，当y=0时，−(x−2)2+9=0，解得x1=5，x2=−1，∴A(5,0)．由图象，得当mx+5>−(x−b)2+4b+1时，x的取值范围是x<0或x>5；(3)如图2，∵直线y=4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，A(5,0)，B(0,5)得直线AB的解析式为y=−x+5，联立EF，AB得方程组{y =−x +5y=4x+1， 解得{x =45y =215，∴点E(45,215)，F(0,1)． 点M 在△AOB 内，1<4b +1<215∴0<b <45．当点C ，D 关于抛物线的对称轴对称时，b −14=34−b ，∴b =12， 且二次函数图象开口向下，顶点M 在直线y =4x +1上， 综上：①当0<b <12时，y 1>y 2， ②当b =12时，y 1=y 2， ③当12<b <45时，y 1<y 2．14. 解：(1)由OC =2，OB =3，得到B(3,0)，C(0,2)，设抛物线解析式为y =a(x +1)(x −3)， 把C(0,2)代入得：2=−3a ，即a =−23，则抛物线解析式为y =−23(x +1)(x −3)=−23x 2+43x +2；(2)抛物线y =−23(x +1)(x −3)=−23x 2+43x +2=−23(x −1)2+83， ∴D(1,83)，当四边形CBPD 是平行四边形时，由B(3,0)，C(0,2)，得到P(4,23)； 当四边形CDBP 是平行四边形时，由B(3,0)，C(0,2)，得到P(2,−23)； 当四边形BCPD 是平行四边形时，由B(3,0)，C(0,2)，得到P(−2,143)； (3)设直线BC 解析式为y =kx +b ， 把B(3,0)，C(0,2)代入得：{b =23k+b=0，解得：{k =−23b =2， ∴y =−23x +2，设与直线BC 平行的解析式为y =−23x +b ， 联立得：{y =−23x +by =−23x 2+43x +2， 消去y 得：2x 2−6x +3b −6=0，当直线与抛物线只有一个公共点时，△=36−8(3b −6)=0， 解得：b =72，即y =−23x +72， 此时交点M 1坐标为(32,52)；可得出两平行线间的距离为√1313，同理可得另一条与BC 平行且平行线间的距离为√1313的直线方程为y =−23x +12，联立解得：M 2(3−3√22,√2−12)，M 3(3+3√22,−√2−12)，此时S =1．15. (−6,0)；(2,0)；y =−12x 2−4x −6；y =−12x 2−2x +6【解析】1. (1)根据待定系数法，可得函数解析式；(2)根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得P 点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P 点坐标；(3)根据平行于y 轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PQ 的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法；解(2)的关键是利用菱形的性质得出P 点的纵坐标，又利用了自变量与函数值的对应关系；解(3)的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质．2. (1)根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；(2)(I)由点P 的横坐标可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，过点D 作DE//y 轴交直线PQ 于点E ，设点D 的坐标为(x,−x 2+2x +3)，则点E 的坐标为(x,−x +54)，进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =−2x 2+6x +72，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；(II)假设存在，设点P 的横坐标为t ，则点Q 的横坐标为4+t ，进而可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，设点D 的坐标为(x,−x 2+2x +3)，则点E 的坐标为(x,−2(t +1)x +t 2+4t +3)，进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =−2x 2+4(t +2)x −2t 2−8t ，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 本题考查了待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；(2)(I)利用三角形的面积公式找出S △DPQ =−2x 2+6x +72；(II)利用三角形的面积公式找出S △DPQ =−2x 2+4(t +2)x −2t 2−8t ．3. (1)利用配方法得到y =x 2+2x +1=(x +1)2，然后根据抛物线的变换规律求解；(2)利用顶点式y =(x +1)2得到A(−1,0)，解方程−x 2+4=0得D(−2,0)，C(2,0)易得B(0,4)，列举出所有的三角形，再计算出AC =3，AD =1，CD =4，AB =√17，BC =2√5，BD =2√5，然后根据等腰三角形的判定方法和概率公式求解；(3)易得BC 的解析是为y =−2x +4，S △ABC =6，M 点的坐标为(m,−2m +4)(0≤m ≤2)，讨论：①当N 点在AC 上，如图1，利用面积公式得到12(m +1)(−2m +4)=2，解得m 1=0，m 2=1，当m =0时，求出AN =1，MN =4，再利用正切定义计算tan∠MAC 的值；当m =1时，计算出AN =2，MN =2，再利用正切定义计算tan∠MAC 的值；②当N 点在BC 上，如图2，先利用面积法计算出AN =6√55，再根据三角形面积公式计算出MN =2√53，然后利用正切定义计算tan∠MAC 的值；③当N 点在AB 上，如图3，作AH ⊥BC 于H ，设AN =t ，则BN =√17−t ，由②得AH =6√55，利用勾股定理可计算出BH =7√55，证明△BNM ∽△BHA ，利用相似比可得到MN =6√17−6t 7，利用三角形面积公式得到12⋅(√17−t)⋅6√17−6t7=2，根据此方程没有实数解可判断点N 在AB 上不符合条件，从而得到tan∠MAN 的值为1或4或59． 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的判定、概率公式；理解二次函数图象的图象变换规律，会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，会利用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．4. (1)由点A 的坐标及OC =3OA 得点C 坐标，将A 、C 坐标代入解析式求解可得；(2)设抛物线C 2的解析式为y =−x 2+2x +3−k ，即y =−(x −1)2+4−k ，′作G′D ⊥x 轴于点D ，设BD′=m ，由等边三角形性质知点B′的坐标为(m +1,0)，点G′的坐标为(1,√3m)，代入所设解析式求解可得；(3)设M(x,0)，则P(x,−x2+2x+3)、Q(x,−x2+2x+2)，根据PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN 均为钝角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=−1于点H，证△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解．本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点．5. (1)当A′E//x轴时，△A′EO是直角三角形，可根据∠A′OE的度数用O′A表示出OE和A′E，由于A′E=AE，且A′E+OE=OA=2+√3，由此可求出OA′的长，也就能求出A′E的长.据此可求出A′和E的坐标；(2)将A′，E点的坐标代入抛物线中，即可求出其解析式.进而可求出抛物线与x轴的交点坐标；(3)根据折叠的性质可知：∠FA′E=∠A，因此∠FA′E不可能为直角，因此要使△A′EF成为直角三角形只有两种可能：①∠A′EF=90∘，根据折叠的性质，∠A′EF=∠AEF=90∘，此时A′与O重合，与题意不符，因此此种情况不成立．②∠A′FE=90∘，同①，可得出此种情况也不成立．因此A′不与O、B重合的情况下，△A′EF不可能成为直角三角形．本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、直角三角形的判定和性质等知识点，综合性较强．6. (1)先利用对称轴公式得出b=4a，进而利用待定系数法即可得出结论；(2)先利用根与系数的关系得出，x1+x2=4(k−1)，x1x2=−16，转化已知条件，代入即可得出结论；(3)先判断出OB=2PQ，进而判断出点C是OB中点，再求出AB解析式，判断出PC//AB，即可得出PC解析式，和抛物线解析式联立解方程组即可得出结论．此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，一元二次方程的根与系数的关系，平行四边形的判定和性质，等高的两三角形面积的比等于底的比，判断出OB=2PQ是解本题的关键．7. (1)先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；(2)设直线BC与对称轴x=−1的交点为M，则此时MA+MC的值最小.把x=−1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；(3)设P(−1,t)，又因为B(−3,0)，C(0,3)，所以可得BC2=18，PB2=(−1+3)2+t2=4+t2，PC2=(−1)2+(t−3)2=t2−6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数(二次函数和一次函数)的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．8. (1)根据抛物线的对称轴公式代入可得a的值；(2)根据已知得：抛物线与x轴有两个交点，则△>0，列不等式可得c的取值范围；(3)根据60∘的正切表示点B的坐标，把点B的坐标代入抛物线的解析式中得：ac=12，则c=12a，从而得A和B的坐标，表示F的坐标，作辅助线，构建直角△ADG，根据已知的角相等可得△ADG∽△AFE，列比例式得方程可得a和c的值．本题是二次函数综合题，涉及的知识点有：代入法的运用，根与判别式的关系，对称轴公式，解方程，三角形相似的性质和判定，勾股定理等知识，第3问有难度，利用特殊角的三角函数表示A、B两点的坐标是关键，综合性较强．9. (1)根据顶点式可求得抛物线的表达式；(2)根据轴对称的最短路径问题，作E关于对称轴的对称点，连接交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，先求的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点G；(3)如图2，先利用待定系数法求AB的解析式为：y=−2x+6，设N(m,−m2+2m+3)，则Q(m,−2m+6)，(0≤m≤3)，表示NQ=−m2+4m−3，证明△QMN∽△ADB，列比例式可得MN的表达式，根据配方法可得当m=2时，MN有最大值，证明△NGP∽△ADB，同理得PG的长，从而得OP的长，根据三角形的面积公式可得结论，并将m=2代入计算即可．本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、三角形的面积、轴对称的最短路径问题，根据比例式列出关于m的方程是解题答问题(3)的关键．10. 解：(1)y=x2+mx−2m−4=(x2−4)+m(x−2)=(x−2)(x+2+m)，当x=2时，y=0，∴抛物线经过定点坐标是(2,0)．∵抛物线的解析式为y=x2+mx−2m−4，∴顶点M的对称轴为直线x=−b2a =−m2当x═−m2时，y=(−m2)2+m⋅(−m2)−2m−4=−14m2−2m−4故答案为：(2,0)；(−m2,−14m2−2m−4).(2)设x=−m2，y=−14m2−2m−4则m=−2x，带入y=−m2，−14m2−2m−4．整理得y=−x2+4x−4即抛物线的顶点在抛物线y=−x2+4x−4上运动.其对称轴为直线x=2，当抛物线顶点直线x=2右侧时即m<−4时，抛物线y=x2+mx−2m−4与正方形ABCD 无交点．当m>−4时，观察抛物线的顶点所在抛物线y=−x2+4x−4恰好过点A(0,−4)，此时m= 0当抛物线y=x2+mx−2m−4过点C(1,−5)时−5=1+m−2m−4，得m=2∴抛物线y=x2+mx−2m−4(m为常数)与正方形ABCD的边有交点时m的范围为：0≤m≤2(3)由(2)抛物线顶点M在抛物线y=−x2+4x−4上运动当点M在线段AB上方时，过点B且使∠ABM=45∘的直线解析式为y=−x−3联立方程−x2+4x−4=−x−3求交点横坐标的x1=5+√212(舍去)x2=5−√212m=−5+√21当点M在线段AB下方时过点B且使∠ABM=45∘的直线解析式为y=x−5联立方程−x2+4x−4=x−5求交点横坐标为x1=3+√132(舍去)x2=3−√132m=−3+√13∴m的值为−5+√21或−3+√13(1)判断函数图象过定点时，可以分析代入的x值使得含m的同类项合并后为系数为零．(2)由(1)中用m表示的顶点坐标，可以得到在m变化时，抛物线顶点M抛物线在y=−x2+ 4x−4上运动，分析该函数图象和正方形ABCD的顶点位置关系可以解答本题；(3)由已知点M在过点B且与AB夹角为45∘角的直线与抛物线在y=−x2+4x−4的交点上，则问题可解．本题考查含有字母参数的二次函数图象及其性质，解答过程中注意数形结合，关注m的变化过程中，抛物线的变化趋势．11. (1)找到抛物线顶点坐标即可找到平移方式．(2)①设出点P坐标，利用PM=PF计算BF，求得F坐标；②利用PM=PF，将QP+PF转化为QP+QM，利用垂线段最短解决问题．本题以二次函数为背景，考查了数形结合思想、转换思想和学生解答问题的符号意思．12. 解：(1)∵A点坐标为(−6,0)∴OA=6∵过点C(−6,1)的双曲线y=kx∴k=−6y=4时，x=−64=−32∴点E 的坐标为(−32,4) 故答案为：6，−6，(−32,4)(2)①设直线MN 解析式为：y 1=k 1x +b 1 由题意得：{−12t 2+5t −32=k 1(t −1)+b 1−12t 2+3t −72=k 1(−t −3)+b 1 解得{k 1=1b =−12t 2+4t −12∵抛物线y =−12x 2+bx +c 过点M 、N∴{−12t 2+5t −32=−12(t −1)2+b(t −1)+c−12t 2+3t −72=−12(−t −3)2+b(−t −3)+c 解得{c =5t −2b=−1∴抛物线解析式为：y =−12x 2−x +5t −2 ∴顶点P 坐标为(−1,5t −32) ∵P 在双曲线y =−6x 上∴(5t −32)×(−1)=−6∴t =32此时直线MN 解析式为： 联立{y =x +358y =−6x∴8x 2+35x +49=0∵△=352−4×8×48=1225−1536<0∴直线MN 与双曲线y =−6x 没有公共点．②当抛物线过点B ，此时抛物线y =−12x 2+bx +c 与矩形OADB 有且只有三个公共点 ∴4=5t −2，得t =65当抛物线在线段DB 上，此时抛物线与矩形OADB 有且只有三个公共点 ∴10t−32=4，得t =1110∴t =65或t =1110③∵点P 的坐标为(−1,5t −32)∴y P =5t −32当1≤t ≤6时，y P 随t 的增大而增大 此时，点P 在直线x =−1上向上运动 ∵点F 的坐标为(0,−12t 2+4t −12)∴y F =−12(t −4)2+152∴当1≤t ≤4时，随者y F 随t 的增大而增大 此时，随着t 的增大，点F 在y 轴上向上运动∴1≤t ≤4当t =1时，直线MN ：y =x +3与x 轴交于点G(−3,0)，与y 轴交于点H(0,3) 当t =4−√3时，直线MN 过点A ．当1≤t ≤4时，直线MN 在四边形AEBO 中扫过的面积为S =12×(32+6)×4−12×3×3=212(1)根据题意将先关数据带入(2)①用t 表示直线MN 解析式，及b ，c ，得到P 点坐标带入双曲线y =kx 解析式，证明关于t 的方程无解即可；②根据抛物线开口和对称轴，分别讨论抛物线过点B 和在BD 上时的情况；③由②中部分结果，用t 表示F 、P 点的纵坐标，求出t 的取值范围及直线MN 在四边形OAEB 中所过的面积．本题为二次函数与反比例函数综合题，考查了数形结合思想和分类讨论的数学思想.解题过程中，应注意充分利用字母t 表示相关点坐标．13. (1)根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案； (2)根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；(3)根据解方程组，可得顶点M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案． 本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解(2)的关键是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解(3)的关键是解方程组得出顶点M 的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a <0时，点与对称轴的距离越小函数值越大．14. (1)由OC 与OB 的长，确定出B 与C 的坐标，再由A 坐标，利用待定系数法确定出抛物线解析式即可；(2)分三种情况讨论：当四边形CBPD 是平行四边形；当四边形BCPD 是平行四边形；四边形BDCP 是平行四边形时，利用平移规律确定出P 坐标即可；(3)由B 与C 坐标确定出直线BC 解析式，求出与直线BC 平行且与抛物线只有一个交点时交点坐标，。

2018-2020年山东中考数学各地区模拟试题分类（潍坊专版）（4）——二次函数一．选择题（共12小题）1．（2020•潍坊一模）已知二次函数y＝﹣x2+mx+m（m为常数），当﹣2≤x≤4时，y的最大值是15，则m 的值是（）A．﹣19或B．6或或﹣10C．﹣19或6 D．6或或﹣192．（2020•寿光市二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c，其中y与x的部分对应值如表：x﹣2 ﹣1 0.5 1.5y 5 0 ﹣3.75 ﹣3.75 下列结论正确的是（）A．abc＜0B．4a+2b+c＞0C．若x＜﹣1或x＞3时，y＞0D．方程ax2+bx+c＝5的解为x1＝﹣2，x2＝33．（2020•青州市一模）表中所列x、y的7对值是二次函数y＝ax2+bx+c图象上的点所对应的坐标，其中x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7x…x1x2x3x4x5x6x7…y… 6 m11 k11 m 6 …根据表中提供约信息，有以下4个判断：①a＜0；②6＜m＜11；③当x＝时，y的值是k；④b2≥4a（c﹣k）；其中判断正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④4．（2020•潍坊三模）在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点（，），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（）A．﹣1≤m≤0 B．2≤m＜C．2≤m≤4 D．＜m≤5．（2020•安丘市一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0）与（x2，0），其中x1＜x2，方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m、n（m＜n），则下列判断正确的是（）A．m＜n＜x1＜x2B．m＜x1＜x2＜n C．x1+x2＞m+n D．b2﹣4ac≥06．（2019•潍坊一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，给出以下结论：①abc＜0；②3a+c＝0；③ax2+bx≤a+b；④若M（﹣0.5，y1）、N（2.5，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2．其中正确的是（）A．①③④B．①②3④C．①②③D．②③④7．（2019•临朐县二模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1．有下列4个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③2c＜3b；④a+b＞m（am+b）（m是不等于1的实数）．其中正确的结论个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（2019•寿光市二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a+b+c ＝2；③a；④b＞1，其中正确的结论个数是（）A．1个B．2 个C．3 个D．4 个9．（2019•潍坊二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是（）A．①④B．②④C．①②③D．①②③④10．（2018•安丘市模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，下列结论：（1）abc＜0；（2）b2＞4ac；（3）3a+2c＝0；（4）5a+3b+2c＜0．其中正确的有几个（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．（2018•高密市二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个12．（2018•诸城市一模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（）A．①②③B．①③④C．③④⑤D．②③⑤二．填空题（共1小题）13．（2020•潍坊一模）已知二次函数y＝x2+2mx+3的图象交y轴于点B，交直线x＝5于点C，设二次函数图象上的一点P（x，y）满足0≤x≤5时，y≤3，则m的取值范围为．三．解答题（共27小题）14．（2020•安丘市一模）如图，已知的圆心为点（3，0），抛物线y＝ax2﹣x+c过点A，与⊙A交于B、C两点，连接AB、AC，且AB⊥AC，B、C两点的纵坐标分别是2、1．（1）求B、C点坐标和抛物线的解析式；（2）直线y＝kx+1经过点B，与x轴交于点D．点E（与点D不重合）在该直线上，且AD＝AE，请判断点E是否在此抛物线上，并说明理由；（3）如果直线y＝k1x﹣1与⊙A相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．15．（2020•潍坊一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于原点O和点B （4，0），点A（3，m）在抛物线上．（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）若点P为线段OA上方抛物线上的一点，过点P作x轴的垂线，交OA于点Q，求线段PQ长度的最大值．（3）求tan∠OAB的值．（4）在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得△BAN为以AB为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由，若存在，请直接写出点N的坐标．16．（2020•潍坊一模）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A、B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相同．（1）求A、B两种型号汽车的进货单价；（2）销售过程中发现：A型汽车的每周销售量y A（台）与售价x A（万元/台）满足函数关系y A＝﹣x A+18；B型汽车的每周销售量y B（台）与售价x B（万元/台）满足函数关系y B＝﹣x B+14．若A型汽车的售价比B型汽车的售价高1万元/台，设每周销售这两种车的总利润为w万元．求当B型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？17．（2020•寿光市二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于B，C两点，交y轴于点A，直线y＝﹣x+3经过点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是直线AB下方的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线AB于点F，设点P的横坐标为m，若PF＝3PE，求m的值．（3）N是第一象限对称轴右侧抛物线上的一点，连接BN，AC，抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△BMN与△AOC相似，且∠BMN为直角，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2020•潍坊三模）如图，西游乐园景区内有一块矩形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花，设改造后观花道的面积为ym2．（1）求y与x的函数关系式；（2）若改造后观花道的面积为13m2，求x的值；（3）若要求0.6≤x≤1，求改造后油菜花地所占面积的最大值．19．（2020•潍坊一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+1相交于点A（0，1）和点B（3，﹣2），交x轴于点C，顶点为点F，点D是该抛物线上一点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，若点D在直线AB上方的抛物线上，求△DAB的面积最大时点D的坐标；（3）如图2，若点D在对称轴左侧的抛物线上，且点E（1，t）是射线CF上一点，当以C、B、D为顶点的三角形与△CAE相似时，求所有满足条件的t的值．20．（2020•青州市一模）某超市销售一种商品，成本价为50元/千克，规定每千克售价不低于成本价，且不高于85元经市场调查，该商品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：售价x（元/千克）50 60 70销售量y（千克）120 100 80 （1）求y与x之间的函数表达式．（2）设该商品每天的总利润为W（元），则当售价x定为多少元/千克时，超市每天能获得最大利润？最大利润是多少元？（3）如果超市要获得每天不低于1600元的利润，且符合超市自己的规定，那么该商品的售价x的取值范围是多少？请说明理由．21．（2020•青州市一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴相交于点B、C，经过点B、C的抛物线y＝﹣+bx+c与x轴的另一个交点为A．（1）求出抛物线表达式，并求出点A坐标．（2）已知点D在抛物线上，且横坐标为3，求出△BCD的面积；（3）点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q．是否存在点P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2020•安丘市三模）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x≤14）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？时间x（天）1≤x≤7 8≤x≤14售价（元/斤）第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量（斤）80﹣3x120﹣x储存和损耗费用（元）40+3x3x2﹣64x+40023．（2020•奎文区一模）金松科技生态农业养殖有限公司种植和销售一种绿色羊肚菌，已知该羊肚菌的成本是12元/千克，规定销售价格不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天该羊肚菌的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）的函数关系如下图所示：（1）求y与x之间的函数解析式；（2）求这一天销售羊肚菌获得的利润W的最大值；（3）若该公司按每销售一千克提取1元用于捐资助学，且保证每天的销售利润不低于3600元，问该羊肚菌销售价格该如何确定．24．（2020•奎文区一模）如图，抛物线y＝﹣+bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．25．（2020•诸城市一模）某厂生产某种零件，该厂为鼓励销售商订货，提供了如下信息：①每个零件的成本价为40元；②若订购量在100个以内，出厂价为60元；若订购量超过100个时，每多订1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元；③实际出厂单价不能低于51元．根据以上信息，解答下列问题：（1）当一次订购量为个时，零件的实际出厂单价降为51元．（2）设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出P与x的函数表达式．（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂价﹣成本）．26．（2019•潍坊一模）如图1，已知抛物线y1＝x2+mx与抛物线y2＝ax2+bx+c的形状相同，开口方向相反，且相交于点A（﹣3，﹣6）和点B（1，6）．抛物线y2与x轴正半轴交于点C，P为抛物线y2上A、B两点间一动点，过点P作PQ∥y轴，与y1交于点Q．（1）求抛物线y1与抛物线y2的解析式；（2）四边形APBQ的面积为S，求S的最大值，并写出此时点P的坐标；（3）如图2，y2的对称轴为直线l，PC与l交于点E，在（2）的条件下，直线l上是否存在一点T，使得以T、E、C为顶点的三角形与△APQ相似？如果存在，求出点T的坐标；如果不存在，说明理由．27．（2019•临朐县二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x轴，垂足为C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段OC上（不与点O，C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，NE⊥AD于点E，求NE的最大值；（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t．是否存在t，使以点M，C，D，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．28．（2019•临朐县二模）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；面销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x元．（1）写出销售量y（件）和获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系；（2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？29．（2019•临朐县一模）经过市场调查得知，某种商品的销售期为100天，设该商品销量单价为y（万元/kg），y与时间t（天）函数关系可用线段AB和BC上的一些不连续的点来表示（t为整数），如图所示．其中线段BC的函数关系式为y＝﹣+m．该商品在销售期内每天的销量如下表：时间（t）0＜t≤50 50＜t≤100每天的销量（kg）200 t+150 （1）分别求出当0＜t≤50和50＜t≤100时y与t的函数关系式；（2）设每天的销售收入为w（万元），则当t为何值时，w的值最大？求出最大值30．（2019•寿光市二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．31．（2019•临朐县三模）如图，西游乐园景区内有一块矩形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花，设改造后观花道的面积为ym2．（1）求y与x的函数关系式；（2）若改造后观花道的面积为13m2，求x的值；（3）若要求0.5≤x≤1，求改造后油菜花田地所占面积的最大值．32．（2019•潍坊模拟）定义：如果把一条抛物线绕它的顶点旋转180°得到的抛物线我们称为原抛物线的“孪生抛物线”．（1）求抛物线y＝x2﹣2x的“孪生抛物线”的表达式；（2）若抛物线y＝x2﹣2x+c的顶点为D，与y轴交于点C，其“孪生抛物线”与y轴交于点C′，请判断△DCC’的形状，并说明理由：（3）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点C，与x轴正半轴的交点为A，那么是否在其“孪生抛物线”上存在点P，在y轴上存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．33．（2018•安丘市模拟）如图，在直角坐标系中，二次函数经过A（﹣2，0），B（2，2），C（0，2）三个点．（1）求该二次函数的解析式．（2）若在该函数图象的对称轴上有个动点D，求当D点坐标为何值时，△ACD的周长最小．（3）在直线y＝x上是否存在一点E，使得△ACE为直角三角形？有，请求出E点坐标；没有，说明理由．34．（2018•青州市二模）阅读1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为≥0，所以a﹣2+b≥0，从而a+b≥2（当a＝b时取等号）．阅读2：函数y＝x+（常数m＞0，x＞0），由阅读1结论可知：x+≥2＝2，所以当x＝即x＝时，函数y＝x+的最小值为2．阅读理解上述内容，解答下列问题：（1）已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2（x+），求当x＝时，周长的最小值为．（2）已知函数y1＝x+1（x＞﹣1）与函数y2＝x2+2x+17（x＞﹣1），当x＝时，的最小值为．（3）某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资12800元；二是学生生活费每人20元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.02．当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入＝支出总费用÷学生人数）35．（2018•潍坊二模）某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：销售价格x（元/个）…30 40 50 60 …销售量y（万个）… 5 4 3 2 …同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元．（1）观察并分析表中的数据，用所学过的函数知识，直接写出y与x的函数解析式；（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请你结合函数图象求出销售价格x（元个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？36．（2018•青州市三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．37．（2018•青州市三模）某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为W元．（1）该农户想要每天获得150元得销售利润，销售价应定为每千克多少元？（2）如果物价部门规定这种农产品的销售价不高于每千克28元，销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？38．（2018•高密市二模）如图1，在Rt△ABC的顶点A、B在x轴上，点C在y轴上正半轴上，且A（﹣1，0），B（4，0），∠ACB＝90°．（1）求过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）设抛物线的对称轴l与BC边交于点D，若P是对称轴l上的点，且满足以P、C、D为顶点的三角形与△AOC相似，求P点的坐标；（3）在对称轴l和抛物线上是否分别存在点M、N，使得以A、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出点M、点N的坐标；若不存在，请说明理由．39．（2018•高密市二模）新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系：y＝﹣2x+320（80≤x≤160）．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快．那么销售单价应定为多少元？40．（2018•寿光市模拟）某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A种产品，所获利润y A（万元）与投资金额x（万元）之间存在某种关系的部分对应值如下表：x（万元） 1 2 2.5 3 5y A（万元）0.4 0.8 1 1.2 2信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润y B（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：y B＝ax2+bx，且投资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）求出y B与x的函数关系式；（2）从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示y A与x之间的关系，并求出y A与x的函数关系式；（3）如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？2018-2020年山东中考数学各地区模拟试题分类（潍坊专版）（4）——二次函数参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2020•潍坊一模）已知二次函数y＝﹣x2+mx+m（m为常数），当﹣2≤x≤4时，y的最大值是15，则m 的值是（）A．﹣19或B．6或或﹣10C．﹣19或6 D．6或或﹣19【答案】C【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+mx+m＝﹣（x﹣）2++m，∴抛物线的对称轴为x＝，∴当＜﹣2时，即m＜﹣4，∵当﹣2≤x≤4时，y的最大值是15，∴当x＝﹣2时，﹣（﹣2）2﹣2m+m＝15，得m＝﹣19；当﹣24时，即﹣4≤m≤8时，∵当﹣2≤x≤4时，y的最大值是15，∴当x＝时，+m＝15，得m1＝﹣10（舍去），m2＝6；当＞4时，即m＞8，∵当﹣2≤x≤4时，y的最大值是15，∴当x＝4时，﹣42+4m+m＝15，得m＝（舍去）；由上可得，m的值是﹣19或6；故选：C．2．（2020•寿光市二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c，其中y与x的部分对应值如表：x﹣2 ﹣1 0.5 1.5y 5 0 ﹣3.75 ﹣3.75 下列结论正确的是（）A．abc＜0B．4a+2b+c＞0C．若x＜﹣1或x＞3时，y＞0D．方程ax2+bx+c＝5的解为x1＝﹣2，x2＝3【答案】C【解答】解：∵x＝0.5，y＝﹣3.75；x＝1.5，y＝﹣3.75，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），∵设y＝a（x+1）（x﹣3），把（﹣2，5）代入得5＝a×（﹣2+1）（﹣2﹣3），解得a＝1，∴y＝x2﹣2x﹣3，∴abc＞0，所以A选项错误；4a+2b+c＝4﹣4﹣3＝﹣3＜0，所以B选项错误；∵抛物线开口向上，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴x＜﹣1或x＞3时，y＞0，所以C选项正确；方程ax2+bx+c＝5表示为x2﹣2x﹣3＝5，解得x1＝﹣2，x2＝4，所以D选项错误．故选：C．3．（2020•青州市一模）表中所列x、y的7对值是二次函数y＝ax2+bx+c图象上的点所对应的坐标，其中x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7x…x1x2x3x4x5x6x7…y… 6 m11 k11 m 6 …根据表中提供约信息，有以下4个判断：①a＜0；②6＜m＜11；③当x＝时，y的值是k；④b2≥4a（c﹣k）；其中判断正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】B【解答】解：∵x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，其对应的函数值是先增大后减小，∴抛物线开口向下，∴a＜0，①符合题意；∴6＜m＜11＜k，∴6＜m＜11，②符合题意；根据图表中的数据知，只有当x＝＝x4时，抛物线的顶点坐标纵坐标是k，即y的值是k，③不符合题意；∵≥k，a＜0，∴4ac﹣b2≤4ak，∴b2≥4a（c﹣k），④符合题意．综上，可得判断正确的是：①②④．故选：B．4．（2020•潍坊三模）在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点（，），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（）A．﹣1≤m≤0 B．2≤m＜C．2≤m≤4 D．＜m≤【答案】C【解答】解：令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由题意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，又方程的根为＝，解得a＝﹣1，c＝﹣，故函数y＝ax2+4x+c﹣＝﹣x2+4x﹣3，如图，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，﹣3），由对称性，该函数图象也经过点（4，﹣3）．由于函数图象在对称轴x＝2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x ≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，∴2≤m≤4，故选：C．5．（2020•安丘市一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0）与（x2，0），其中x1＜x2，方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m、n（m＜n），则下列判断正确的是（）A．m＜n＜x1＜x2B．m＜x1＜x2＜n C．x1+x2＞m+n D．b2﹣4ac≥0【答案】B【解答】解：当a＞0，∵方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m、n，∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝a的交点在x轴上方，它们的横坐标分别为m、n，∴m＜x1＜x2＜n；当a＜0，∵方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m、n，∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝a的交点在x轴下方，它们的横坐标分别为m、n，∴m＜x1＜x2＜n．故选：B．6．（2019•潍坊一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，给出以下结论：①abc＜0；②3a+c＝0；③ax2+bx≤a+b；④若M（﹣0.5，y1）、N（2.5，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2．其中正确的是（）A．①③④B．①②3④C．①②③D．②③④【答案】C【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，由对称轴可知：＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；②由对称轴可知：＝1，∴b＝﹣2a，∵抛物线过点（3，0），∴0＝9a+3b+c，∴9a﹣6a+c＝0，∴3a+c＝0，故②正确；③当x＝1时，y取最大值，y的最大值为a+b+c，当x取全体实数时，ax2+bx+c≤a+b+c，即ax2+bx≤a+b，故③正确；④（﹣0.5，y1）关于对称轴x＝1的对称点为（2.5，y1）：∴y1＝y2，故④错误；故选：C．7．（2019•临朐县二模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1．有下列4个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③2c＜3b；④a+b＞m（am+b）（m是不等于1的实数）．其中正确的结论个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，∵﹣＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故①错误；②由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故②正确；③当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝﹣＝1，即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故③正确；④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝m时，y＝am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c，故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故④正确．故选：C．8．（2019•寿光市二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a+b+c ＝2；③a；④b＞1，其中正确的结论个数是（）A．1个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】C【解答】解：由图象可得，a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①错误，当x＝1时，y＝a+b+c＝2，故②正确，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，由a+b+c＝2得，a+c＝2﹣b，则a﹣b+c＝（a+c）﹣b＝2﹣b﹣b＜0，得b＞1，故④正确，∵，a＞0，得a＞＞，故③正确，故选：C．9．（2019•潍坊二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是（）A．①④B．②④C．①②③D．①②③④【答案】C【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＜0，∴ab＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；∵x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，而x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，∴a+2a+c＞0，所以④错误．故选：C．10．（2018•安丘市模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，下列结论：（1）abc＜0；（2）b2＞4ac；（3）3a+2c＝0；（4）5a+3b+2c＜0．其中正确的有几个（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】解：（1）由图象可知：a＞0，c＜0，由对称轴可知：＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故（1）正确；（2）抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故（2）正确；（3）由于对称轴可知：＝﹣1，∴b＝2a，由于抛物线过点（1，0），∴a+b+c＝0，∴3a+c＝0，故（3）错误；（4）由于b＝2a，c＝﹣3a5a+3b+2c＝5a+6a﹣6a＝5a＞0，故（4）错误；故选：B．11．（2018•高密市二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解答】解：∵x＝﹣＝2，∴4a+b＝0，故①正确．由函数图象可知：当x＝3时，y＞0，即9a+3b+c＞0，∴9a+c＞﹣3b，故②正确．∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0又∵b＝﹣4a，∴a+4a+c＝0，即c＝﹣5a，∴7a﹣3b+2c＝7a+12a﹣10a＝9a，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴7a﹣3b+2c＜0，故③错误；∵抛物线的对称轴为x＝2，C（7，y3），∴（﹣3，y3）．∵﹣3＜﹣，在对称轴的左侧，∴y随x的增大而增大，∴y1＝y3＜y2，故④错误．方程a（x+1）（x﹣5）＝0的两根为x＝﹣1或x＝5，过y＝﹣3作x轴的平行线，直线y＝﹣3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，依据函数图象可知：x1＜﹣1＜5＜x2，故⑤正确．故选：B．12．（2018•诸城市一模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（）A．①②③B．①③④C．③④⑤D．②③⑤【答案】C【解答】解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故①错误；②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，即b＞a+c，故②错误；③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故③正确；④当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝﹣＝1，即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故④正确；⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝m时，y＝am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c，故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故⑤正确．综上所述，③④⑤正确．故选：C．二．填空题（共1小题）13．（2020•潍坊一模）已知二次函数y＝x2+2mx+3的图象交y轴于点B，交直线x＝5于点C，设二次函数图象上的一点P（x，y）满足0≤x≤5时，y≤3，则m的取值范围为m≤﹣2.5．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵a＝1＞0，故抛物线开口向上，故y在x＝0或x＝5时取得最大值，当x＝0时，y＝x2+2mx+3＝3，则x＝5时，y＝x2+2mx+3＝25+10m+3≤3，解得：m≤﹣2.5；故答案为：m≤﹣2.5．三．解答题（共27小题）14．（2020•安丘市一模）如图，已知的圆心为点（3，0），抛物线y＝ax2﹣x+c过点A，与⊙A交于B、C两点，连接AB、AC，且AB⊥AC，B、C两点的纵坐标分别是2、1．（1）求B、C点坐标和抛物线的解析式；（2）直线y＝kx+1经过点B，与x轴交于点D．点E（与点D不重合）在该直线上，且AD＝AE，请判断点E是否在此抛物线上，并说明理由；（3）如果直线y＝k1x﹣1与⊙A相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）过点B、C分别作x轴的垂线交于点R、S，∵∠BAR+∠RBA＝90°，∠BAR+∠CAS＝90°，∴∠RAB＝∠SCA，又∵AB＝AC，∴△BRA≌△ASC（AAS），∴AS＝BR，AR＝CS，∵B、C两点的纵坐标分别是2、1，∴AS＝BR＝2，AR＝CS＝1，故点B、C的坐标分别为（2，2）、（5，1），将点B、C坐标代入抛物线y＝ax2﹣x+c，，解得，，故抛物线的表达式为y＝x2﹣x+11；（2）∵直线y＝kx+1经过点B（2，2），∴2＝2k+1，得k＝，即直线y＝x+1，当y＝0时，0＝x+1，得x＝﹣2，即点D的坐标为（﹣2，0），∵点A、B、C、D的坐标分别为（3，0）、（2，2）、（5，1）、（﹣2，0），∴，AD＝5，∵点E在直线BD上，∴设E的坐标为（x，x+1），∵AD＝AE，∴，解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝6，∴点E（6，4），当x＝6时，y＝+11＝4，∴点E在抛物线上；（3）①当切点在x轴下方时，设直线y＝k1x﹣1与⊙A相切于点H，直线与x轴、y轴分别交于点K、G（0，﹣1），连接GA，∵AR＝1，BE＝2，∠BRA＝90°，点A（3，0），点G（0，﹣1），∴AB＝，AG＝，∴AH＝AB＝，∵∠AHK＝∠KOG＝90°，∠HKA＝∠OKG，∴△KOG∽△KHA，∴，即：，解得：KO＝2或（舍去），∴点K的坐标为（﹣2，0），把点K的坐标代入y＝k1x﹣1，得0＝﹣2k1﹣1，得k1＝，∴直线的表达式为；②当切点在x轴上方时，直线的表达式为：y＝2x﹣1；故满足条件的直线解析式为或y＝2x﹣1．15．（2020•潍坊一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于原点O和点B （4，0），点A（3，m）在抛物线上．（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）若点P为线段OA上方抛物线上的一点，过点P作x轴的垂线，交OA于点Q，求线段PQ长度的最大值．（3）求tan∠OAB的值．（4）在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得△BAN为以AB为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由，若存在，请直接写出点N的坐标．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）把点O（0，0），点B（4，0）分别代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得：，即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x，它的对称轴为：x＝﹣＝2；（2）把点A（3，m）代入y＝﹣x2+4x得m＝﹣32+4×3＝3，则点A的坐标为：（3，3），由点O（0，0），A（3，3）得直线OA的解析式为：y＝x，设点P（p，﹣p2+4p），则点Q（p，p），PQ＝y P﹣y Q＝﹣p2+4p﹣p＝﹣p2+3p＝﹣（p﹣）2+，当p＝时，PQ的值最大，最大值为；（3）如图1，过点B作BD⊥OA，交OA于点D，过点A作AE⊥OB，交OB于点E，∵A（3，3），∴AE＝3，OE＝3，∴△AOE为等腰直角三角形，∴∠AOE＝45°，OA＝OE＝3，在等腰Rt△BOD中，OB＝4，∴OD＝BD＝2，∴AD＝OA﹣OD＝3﹣2＝，∴tan∠OAB＝＝2；（4）存在，设点N（2，a），若AB＝AN，∵点A（3，3），B点（4，0），点N（2，a），∴＝，。

九年级中考数学解答题练习试题一、解答题。

（第25题反比例函数）（x＞0）的图象经过点A（2√3，1），射1、（2014年济南中考）如图1，反比例函数y=kx线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．（1）求k的值；（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC 相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．2、（2015年济南中考）如图1，点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y=m（x＞0）x的图象上，过点A作AC⊥x轴，于点C，过点B作BD⊥y轴于点D。

(1)求m的值和直线AB的函数关系式；(2)动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线OD﹣DB向B点运动，同时动点Q从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线OC向C点运动，当动点P运动到D 时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒．①设△OPQ的面积为S，写出S与t的函数关系式；②如图2，当的P在线段OD上运动时，如果作△OPQ关于直线PQ的对称图形△O’PQ，是否存在某时刻t，使得点Q’恰好落在反比例函数的图象上？若存在，求Q’的坐标和t的值；若不存在，请说明理由．3、（2016年济南中考）如图1，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC=5，反比例函数y=m（x＞0）的图象经过点A（1，4）．x（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；（2）如图2，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP．①求△AOP的面积；②在▱OABC的边上是否存在点M，使得△POM是以PO为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．4、（2017年济南中考）如图1，平行四边形OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC=3，A(2，1)，反比例函数y=k（x＞0）的图象经过点B．x（1）求点B的坐标和反比例函数的关系式；（2）如图2，直线MN分别与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点，若点O和点B关于直线MN成轴对称，求线段ON的长；（3）如图3，将线段OA延长交y=k（x＞0）于点D，过B，D的直线分别交x轴，y轴于xE，F两点，请探究线段ED与BF的数量关系，并说明理由．5、（2018年济南中考）如图，直线y=ax+2与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，b）．将线段AB先向右平移1个单位长度、再向上平移t（t＞0）个单位长度，得到对应线段CD，反比例函数y=k（x＞0）的图象恰好经过C、D两点，连接AC、BD．x（1）求a和b的值；（2）求反比例函数的表达式及四边形ABDC的面积；（3）点N在x轴正半轴上，点M是反比例函数y=k（x＞0）的图象上的一个点，若△xCMN是以CM为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标．6、（2019年济南中考）如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y＝k（x＞0）的图象经过点B．x（1）求a和k的值；（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．的值；①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求DEEF②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是以BC为腰的等腰三形，求所有满足条件的m的值．图1 图27、（2020年济南中考）如图，矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴正半轴上，顶点为（2，2√3），反比例函数y=k x （x ＞0）的图象与BC 、AB 分别交于D 、E ，BD=12. （1）求反比例函数表达式和点E 的坐标； （2）写出DE 、AC 的位置关系，并说明理由；（3）点F 在直线AC 上，点G 是坐标系内一点，当四边形BCFG 是菱形，求出点G 的坐标并判断点G 是否在反比例图象上；8、（2021年济南中考）如图，直线y=32x 与双曲线y=kx 交于A 、B 两点，点A 坐标为（m ，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC=2CD。

精选文档中考数学真题汇编 :二次函数一、选择题1.给出以下函数：① y=﹣ 3x+2；② y= ；③ y=2x2；④ y=3x，上述函数中切合条作“当 x＞1 时，函数值 y 随自变量 x 增大而增大“的是（）A. ①③B③④. C②④. D②③.【答案】 B2.如图 ,函数和( 是常数 ,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】 B3.对于二次函数，以下说法正确的选项是（）A. 图像与轴的交点坐标为B. 图像的对称轴在轴的右边C. 当时，的值随值的增大而减小D. 的最小值为 -3【答案】 D4.二次函数的图像如下图，以下结论正确是( )A. B. C. D. 有两个不相等的实数根【答案】 C5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，获得的抛物线过点 ( )【答案】 B6.若抛物线 y=x2+ax+b 与 x 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。

已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，获得的抛物线过点（）A. （-3， -6）B.（-3， 0）C（. -3， -5） D.（-3， -1）【答案】 B7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞翔时间t（ s）知足函数表达式h＝﹣ t 2＋ 24t ＋1．则以下说法中正确的选项是（）A. 点火后 9s 和点火后13s 的升空高度同样B.点火后 24s 火箭落于地面C. 点火后 10s 的升空高度为139m D火.箭升空的最大高度为145m【答案】 D8.如图，若二次函数y=ax2 +bx+c（ a≠0）图象的对称轴为 x=1，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点A、点 B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；② a﹣ b+c＜ 0；③ b2﹣4ac＜0；④当 y＞0 时，﹣ 1＜x＜ 3，此中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】 B9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是.对于以下说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，此中正确的选项是（）A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤【答案】 A10.如图，二次函数y=ax2+bx 的图象张口向下，且经过第三象限的点P．若点 P 的横坐标为 -1，则一次函数y=（a-b） x+b 的图象大概是（）A. B. C. D.【答案】 D11.四位同学在研究函数（b，c是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当时，．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A. 甲B.乙C.丙D.丁【答案】 B12.如下图 ,△ DEF中 ,∠ DEF=90°,∠ D=30°,DF=16,B是斜边 DF上一动点 ,过 B 作 AB⊥ DF 于 B,交边 DE(或边 EF) 于点 A,设 BD=x,△ABD 的面积为y,则 y 与 x 之间的函数图象大概为（）A.（B.C.D（.【答案】 B二、填空题13.已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）14.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m，水面降落2m ，水面宽度增添________m。

2018年山东17地市数学中考二次函数压轴题汇编1．（2018德州）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c 交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x 轴交于另一点D．（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP 为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2（2018东营）．（12分）如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2018菏泽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．（1）求此抛物线的表达式；（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．4．（2018济南）如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋4过A(2，0)、B(4，0)两点，交y轴于点C，过点C作x轴的平行线与不等式抛物线上的另一个交点为D，连接AC、B C．点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m（m＞4）．(1)求该抛物线的表达式和∠ACB的正切值；(2)如图2，若∠ACP＝45°，求m的值；(3)如图3，过点A、P的直线与y轴于点N，过点P作PM⊥CD，垂足为M，直线MN 与x轴交于点Q，试判断四边形ADMQ的形状，并说明理由．第27题图1 第27题图2 第27题图35、（2018济宁）如图，已知抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0）经过点A （3，0），B （﹣1，0），C （0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A 为圆心的圆与直线BC 相切于点M ，求切点M 的坐标；（3）若点Q 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以点B ，C ，Q ，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6、（2018莱芜）如图，抛物线y=ax 2+bx +c 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DE ⊥BC 于E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE长度的最大值；（3）如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．7、（2018聊城）如图，已知抛物线y=ax2+bx与x轴分别交于原点O和点F（10，0），与对称轴l交于点E（5，5）．矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且AB=1，边AD，BC与抛物线分别交于点M，N．当矩形ABCD沿x轴正方向平移，点M，N位于对称轴l的同侧时，连接MN，此时，四边形ABNM的面积记为S；点M，N位于对称轴l的两侧时，连接EM，EN，此时五边形ABNEM的面积记为S．将点A与点O重合的位置作为矩形ABCD平移的起点，设矩形ABCD平移的长度为t（0≤t≤5）．（1）求出这条抛物线的表达式；（2）当t=0时，求S的值；△OBN（3）当矩形ABCD沿着x轴的正方向平移时，求S关于t（0＜t≤5）的函数表达式，并求出t为何值时，S有最大值，最大值是多少？8、（2018临沂）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．9,、（2018青岛）已知：如图，四边形ABCD，AB∥DC，CB⊥AB，AB=16cm，BC=6cm，CD=8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s．点P和点Q同时出发，以QA、QP为边作平行四边形AQPE，设运动的时间为t（s），0＜t＜5．根据题意解答下列问题：（1）用含t的代数式表示AP；（2）设四边形CPQB的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）当QP⊥BD时，求t的值；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在∠ABD的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．10、（2018日照）如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c 上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．11、（2018泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．12、（2018威海）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求点D的坐标；（3）点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R．求点P的坐标；（4）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．13、（2018潍坊）如图1，抛物线y1=ax2﹣x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的解析式；（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．14、（2018烟台）如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．16、（2018枣庄）如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．17、（2018淄博）如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B（3，﹣），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．。