2020初三相似

2020年九年级中考数学复习专题训练：《相似综合》1．如图1，点P从菱形ABCD的顶点B出发，沿B→D→A匀速运动到点A，BD的长是；图2是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象．（1）点P的运动速度是cm/s；（2）求a的值；（3）如图3，在矩形EFGH中，EF＝2a，FG﹣EF＝1，若点P、M、N分别从点E、F、G三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，当点M到达点G（即点M与点G重合）时，三个点随之停止运动；若点P不改变运动速度，且点P、M、N的运动速度的比为2：6：3，在运动过程中，△PFM关于直线PM的对称图形是△PF'M，设点P、M、N的运动时间为t（单位：s）．①当t＝s时，四边形PFMF'为正方形；②是否存在t，使△PFM与△MGN相似，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．2．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝6，动点P从点A出发以1个单位/秒的速度沿AB运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度沿CB 运动，过点P作EP⊥AB，交BD于E，连接EQ．当点Q与点B重合时，两动点均停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当t＝1时，求线段EP的长；（2）运动过程中是否存在某一时刻，使△BEQ与△ABD相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接CE，求运动过程中△CEQ的面积S的最大值．3．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C 重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．4．如图（1），在矩形ABCD中，AD＝nAB，点M，P分别在边AB，AD上（均不与端点重合），且AP＝nAM，以AP和AM为邻边作矩形AMNP，连接AN，CN．【问题发现】（1）如图（2），当n＝1时，BM与PD的数量关系为，CN与PD的数量关系为．【类比探究】（2）如图（3），当n＝2时，矩形AMNP绕点A顺时针旋转，连接PD，则CN与PD之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由．【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，已知AD＝4，AP＝2，当矩形AMNP旋转至C，N，M三点共线时，请直接写出线段CN的长．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D、E分别是AB、BC的中点．连接DE．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动．同时，动点Q从点C 出发，沿折线CE﹣ED向终点D运动，在CE、ED上的速度分别是每秒3个单位长度和4个单位长度，连接PQ，以PQ、PD为边作▱DPQM．设▱DPQM与四边形ACED重叠部分图形的面积是S（平方单位），点P的运动时间为t（s）．（1）当点P在AD上运动时，PQ的长为（用含t的代数式表示）；（2）当▱DPQM是菱形时，求t的值；（3）当0＜t＜2时，求S与t之间的函数关系式；（4）当△DPQ与△BDE相似时，直接写出t的值．6．如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，过点D作DE⊥DC交直线AB于点E，过点E 作EH⊥AD于点H，过点B作BF⊥AD于点F．（1）如图1，若∠BAD＝60°，AF＝3，AH＝2，求AC的长；（2）如图2，若BF＝DH，在AC上取一点G，连接DG、GE，若∠DGE＝75°，∠CDG＝45°﹣∠CAB，求证：DG＝CG．7．（1）问题引入：如图1所示，正方形ABCD和正方形AEFG，则BE与DG的数量关系是，＝；（2）类比探究：如图2所示，O为AD、HG的中点，正方形EFGH和正方形ABCD中，判断BE和CF的数量关系，并求出的值；（3）解决问题：①若把（1）中的正方形都改成矩形，且＝＝，则（1）中的结论还成立吗？若不能成立，请写出BE与GD的关系，并求出值；②若把（2）中的正方形也都改成矩形，且＝＝2n，请直接写出BE和CF的关系以及的8．在正方形ABCD中，点E是直线AB上动点，以DE为边作正方形DEFG，DF所在直线与BC 所在直线交于点H，连接EH．（1）如图1，当点E在AB边上时，延长EH交GF于点M，EF与CB交于点N，连接CG，①求证：CD⊥CG；②若tan∠HEN＝，求的值；（2）当正方形ABCD的边长为4，AE＝1时，请直接写出EH的长．9．如图a，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE交于点G．（1）求证：AF⊥DE；（2）如图b，连接BG，BD，BD交AF于点H．①求证：GB2＝GA•GD；②若AB＝10，求三角形GBH的面积．10．如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB＝90°．将△ADP沿AP 翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N．（1）求证：AD2＝DP•PC；（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；（3）如图2，连接AC分别交PM、PB于点E、F．若AD＝3DP，探究EF与AE之间的的数量关系．11．△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2cm．长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts．（1）当0≤t≤1时，PM＝，QN＝（用t的代数式表示）；（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？12．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝4，点E在边AB上（不与点A、B重合），过点D作DF⊥DE，交边BC的延长线于点F．（1）求证：△DAE∽△DCF．（2）设线段AE的长为x，线段BF的长为y，求y与x之间的函数关系式．（3）当四边形EBFD为轴对称图形时，则cos∠AED的值为．13．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M在BC上，连接AM，作∠AMN＝∠AMB，点N 在直线AD上，MN交CD于点E．（1）求证：△AMN是等腰三角形；（2）求证：AM2＝2BM•AN；（3）当M为BC中点时，求ME的长．14．如图，在平面直角坐标系中，过原点O及A（8，0）、C（0，6）作矩形OABC，连接AC，一块直角三角形PDE的直角顶点P始终在对角线AC上运动（不与A、C重合），且保持一边PD始终经过矩形点B，PE交x轴于点Q（1）＝；（2）在点P从点C运动到点A的过程中，的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围，如果不变，请说明理由，并求出其值；（3）若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，则PC的长为．15．如图，在矩形OABC中，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（4，3），动点N，P分别从点B，A同时出发，点N以1单位/秒的速度向终点C运动，点P以5/4单位/秒的速度向终点C运动，连结NP，设运动时间为t秒（0＜t＜4）（1）直接写出OA，AB，AC的长度；（2）求证：△CPN∽△CAB；（3）在两点的运动过程中，若点M同时以1单位/秒的速度从点O向终点A运动，求△MPN的面积S与运动的时间t的函数关系式（三角形的面积不能为0），并直接写出当S ＝时，运动时间t的值．16．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），连结AE，BD交于点F．（1）若点E为CD中点，AB＝2，求AF的长．（2）若tan∠AFB＝2，求的值．，（3）若点G在线段BF上，且GF＝2BG，连结AG，CG，＝x，四边形AGCE的面积为S1，求的最大值．△ABG的面积为S217．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边BC，AC上的点，且∠ADE＝∠B．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）若AB＝5，BC＝6，求AE的最小值；（3）如图2，若△ABC为等边三角形，AD⊥DE，BE⊥DE，点C在线段DE上，AD＝3，BE ＝4，求DE的长．18．如图，△ABC中，AB＝AC，点P为BC边上一动点（不与B，C重合），以AP为边作∠APD＝∠ABC，与BC的平行线AD交于点D，与AC交于点E，连结CD．（1）求证：△ABP∽△DAE．（2）已知AB＝AC＝5，BC＝6．设BP＝x，CE＝y．①求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；＝时，求CE的值．②当S△ACD19．如图，在矩形ABCD的边AB上取一点E，连接CE并延长和DA的延长线交于点G，过点E作CG的垂线与CD的延长线交于点H，与DG交于点F，连接GH．（1）当tan∠BEC＝2且BC＝4时，求CH的长；（2）求证：DF•FG＝HF•EF；（3）连接DE，求证：∠CDE＝∠CGH．20．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友好四边形”．（1）如图1，在4×4的正方形网格中，有一个网格Rt△ABC和两个网格四边形ABCD与ABCE，其中是被AC分割成的“友好四边形”的是；（2）如图2，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，点B'落在边AC，过点A作AD∥A'B'交CA'的延长线于点D，求证：四边形ABCD是“友好四边形”；（3）如图3，在△ABC中，AB≠BC，∠ABC＝60°，△ABC的面积为6，点D是∠ABC 的平分线上一点，连接AD，CD．若四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形”，求BD 的长．参考答案1．解：（1）由图2可知，s点P从点B运动到点D，∵BD＝，∴点P的运动速度＝÷＝1（cm/s），故答案为：1；（2）如图1，作DQ⊥BC于点Q，当点P在BD上时，a＝×BC×DP，∵四边形ABCD为菱形，点P的运动速度为1，∴AD＝BC＝1×a＝a，∴a＝×a×DP，解得，DQ＝2，在Rt△BDQ中，BQ＝＝1，∴CQ＝a﹣1，在Rt△CDQ中，CD2＝CQ2+DQ2，即a2＝（a﹣1）2+22，解得，a＝；（3）①∵点P的运动速度1cm/s，点P、M的运动速度的比为2：6 ∴点M的运动速度3cm/s，由题意得，EF＝2a＝5，∵FG﹣EF＝1，∴FG＝6，∴PF＝5﹣t，FM＝3t，由翻转变换的性质可知，PF＝PF′，FM＝FM′，当PF＝FM时，PF＝PF′＝FM＝FM′，∴四边形PFMF'为菱形，又∠F＝90°，∴四边形PFMF'为正方形，∴5﹣t＝3t，即t＝1.25时，四边形PFMF'为正方形，故答案为：1.25；②存在，∵点P的运动速度1cm/s，点P、M、N的运动速度的比为2：6：3，∴点M的运动速度3cm/s，点N的运动速度1.5cm/s，∴PF＝5﹣t，FM＝3t，GN＝1.5t，∵点M的运动速度3cm/s，FG＝6，∴0≤t≤2，当△PFM∽△MGN时，＝，即＝，解得，t＝，当△PFM∽△NGM时，＝，即＝，解得，t1＝﹣7﹣（舍去），t2＝﹣7+，综上所述，当t＝或﹣7+时，△PFM与△MGN相似．2．解：（1）当t＝1时，则AP＝1，∴BP＝AB﹣AP＝3，∵EP⊥AB，∴∠EPB＝∠A＝90°，∴EP∥AD，∴△BPE∽△BAD，∴，∴，∴EP＝；（2）∵∠A＝90°，AD＝3，AB＝4，∴BD＝＝＝5，∵EP⊥AB，∴∠EPB＝∠A＝90°，∴EP∥AD，∴△BPE∽△BAD，∴，∴，∴BE＝5﹣t，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBQ，若∠BEQ＝∠A＝90°，∴△BAD∽△QEB，∴，∴＝，∴t＝28（不合题意舍去），若∠BQE＝∠A＝90°，∴△BAD∽△EQB，∴，∴t＝，（3）∵S＝×CQ×PB＝×2t×（4﹣t）＝﹣（t﹣2）2+4，∴当t＝2时，S最大值为4，∴△CEQ的面积S的最大值为4．3．证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，∴△BAD∽△DCE；（2）如图2中，作AM⊥BC于M．在Rt△ABM中，设BM＝4k，∵＝，∴，由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2，∴102＝（3k）2+（4k）2，∴k＝2或﹣2（舍弃），∴AM＝6，BM＝8，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BC＝2BM＝2×2k＝16，∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，∴∠BAD＝∠ACB，∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴，∴＝，∵DE∥AB，∴，∴＝．（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．理由：作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，∴四边形AMHN为矩形，∴∠MAN＝90°，MH＝AN，∵AB＝AC，AM⊥BC，∵AB＝10，∴BM＝CM＝8，∴BC＝16，在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM＝6，∵AN⊥FH，AM⊥BC，∴∠ANF＝90°＝∠AMD，∵∠DAF＝90°＝∠MAN，∴∠NAF＝∠MAD，∴△AFN∽△ADM，∴，∴，∴CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝8﹣＝，当DF＝CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形，∵FH⊥DC，∴CD＝2CH＝7，∴BD＝BC﹣CD＝16﹣7＝9，∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD＝9．4．解：（1）BM＝PD，，理由如下：当n＝1，则AD＝AB，AP＝AM，∴AD﹣AP＝AB﹣AM，∴DP＝BM，∵四边形ABCD是矩形，四边形AMNP是矩形，∴AD＝CD＝AB，AP＝AM＝NP，∠ADC＝∠APN＝90°，∴AC＝AD，AN＝AP，∴AC﹣AN＝（AD﹣AP），∴CN＝PD，故答案为：BM＝PD，；（2）CN与PD之间的数量关系发生变化，，理由如下：如图（1）在矩形ABCD和矩形AMNP中，∵当n＝2．AD＝2AB，AP＝2AM，∴，，∴.，如图（3）连接AC，∵矩形AMNP绕点A顺时针旋转，∴∠NAC＝∠PAD，∴△ANC∽△APD，∴，∴；（3）如图，当点N在线段CM上时，∵AD＝4，AD＝2AB，∴AB＝CD＝2，∴AC＝＝＝，∵AP＝2，AP＝2AM，∴AM＝1，∴CM＝＝＝，∴CN＝CM﹣MN＝﹣2；如图，当点M在线段CN上时，同理可求CM＝，∴CN＝CM+MN＝+2；综上所述：线段CN的长为或．5．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝＝6，∵D、E分别是AB、BC的中点．∴DE∥AC，DE＝AC＝4，BD＝AD＝5，BE＝CE＝3，∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动，∴AP＝5t，∴BP＝10﹣5t，∵DE∥AC，∴△BPQ∽△BAC，∴，∴∴PQ＝8﹣4t，故答案为：8﹣4t；（2）当点P在AD上运动时，∵四边形DPQM是菱形，∴PD＝PQ，∴5﹣5t＝8﹣4t，∴t＝﹣3（不合题意舍去），当点P在BD上运动时，过点P作PH⊥DQ于H，∵四边形DPQM是菱形，∴PD＝PQ，且PH⊥DQ，∴DH＝HQ＝DQ＝[4﹣4（t﹣1）]＝4﹣2t，∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠ACB＝90°＝∠PHD，∴PH∥BE，∴△PDH∽△BDE，∴，∴，∴t＝，PH＝3t﹣3，综上所述：当t＝时，▱DPQM是菱形；（3）当0＜t＜1时，S＝×（8﹣4t+4）×（3﹣3t）＝6t2﹣24t+18，当t＝1时，不能作出▱DPQM，当1＜t＜2时，S＝×（8﹣4t）×（3t﹣3）＝﹣6t2+18t﹣12；（4）当点P在AD上时，不存在△DPQ与△BDE相似，当点P在BD上时，则∠PDQ＝∠BDE，若∠PQD＝∠DEB＝90°时，∴△PDQ∽△BDE，∴，∴∴t＝，若∠DPQ＝∠DEB＝90°时，∴△QPD∽△BED，∴，∴∴t＝综上所述：当t＝或时，△DPQ与△BDE相似．6．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB，CD∥AB，∵BF⊥AD于F，∴∠AFB＝90°，∵∠BAD＝60°，∴AB＝2AF＝6，BF＝AF＝3，∵EH⊥AD于H，∴AE＝2AH＝4，EH＝AH＝2，∵DE⊥DC交AB于E，∴∠DEA＝90°，∴AD＝2AE＝8，∴CB＝AD＝8，如图1，作AM⊥CB于M，则∠ABM＝∠BAD＝60°，∴BM＝（1/2）AB＝3，AM＝BM＝3，∴CM＝CB+BM＝11，在Rt△ACM中：AC＝＝＝2．（2）如图2，作EN⊥AC于N，连接DN、CE，则∠CNE＝90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB，CD∥AB，∵DE⊥DC交AB于E，∴∠CDE＝∠DEA＝90°，∵EH⊥AD于H，∴∠DHD＝∠EHA＝90°，∵BF⊥AD于F，∴∠DFB＝∠AFB＝90°，∴∠DHE＝∠BFA，∵∠DEH+∠HEA＝∠HEA+∠BAF＝90°，∴∠DEH＝∠BAF，∵DH＝BF，∴△DEH≌△BAF（AAS），∴DE＝BA＝CD，∴△CDE是等腰直角三角形，∠DCE＝∠DEC＝45°，∵∠CDE＝∠CNE＝90°，∴C、D、N、E四点共圆，∴∠DNC＝∠DEC＝45°，∵∠CDG＝45°﹣∠CAB，∴∠CDG+∠CAB＝45°，∵CD∥AB，∴∠CAB＝∠DCG，∴∠DGN＝∠DCG+∠CDG＝45°＝∠DNC，∴△DGN是等腰直角三角形，∠GDN＝90°，DG＝DN，∵∠CDG+∠GDE＝∠GDE+∠EDN＝90°，∴∠CDG＝∠EDN，∴△CDG≌△EDN（SAS），∴EN＝CG，∵∠CGD＝75°，∴∠CGN＝∠CGD﹣∠DGN＝30°，∴GN＝EN＝CG，∴DG＝GN＝CG7．解：（1）如图1中，连接AC，AF．∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，AC＝AB，AF＝AE，∠BAC＝45°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＝∠DAG，∴△BAE≌△DAG（SAS），∴BE＝DG，∵AC＝AB，AF＝AE，∴＝，∵∠BAC＝∠EAF＝45°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE∽△CAF，∴＝＝，∵DG＝BE，∴＝．故答案为：BE＝DG，．（2）如图2中，连接OB，OE，OF，OC．∵四边形ABCD是正方形，OA＝OD，∴∠A＝∠CDO＝90°，AB＝CD，∴△AOB≌△DOC（SAS），∴OB＝OC，同法可证OE＝OF，∴∠OBC＝∠OCB，∠OEF＝∠OFE，∵BC∥AD，∴∠CBO＝∠AOB，∴tan∠CBO＝tan∠AOB＝2，同法可证：tan∠FEO＝2，∴tan∠CBO＝tan∠FEO，∴∠CBO＝∠FEO，∴∠OBC＝∠OCB＝∠OEF＝∠OFE，∴∠BOC＝∠EOF，∴∠EOB＝∠FOC，∵OE＝OF，OB＝OC，∴△OEB≌△OFC（SAS），∴BE＝FC，∵tan∠COD＝tan∠COD＝2，∴∠FOG＝∠COD，∴∠FOC＝∠GOD，∵＝＝，∴△FOG∽△GOD，∴＝＝．（3）①如图3中，结论不成立，BE＝3DG．连接BE，AC，AF，CF．∵四边形ABCD，四边形AEFG都是矩形，∴∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，∵AB＝3AD，AE＝3AG，∴△BAE∽△DAG，∴＝＝3，∴BE＝3DG，由题意：＝，＝，∴＝，∴＝，∵tan∠BAC＝tan∠EAF＝，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE∽△CAF，∴＝＝，∴＝．②如图4中，连接OE，OB，OF，OC．由（2）可知，∠BOC＝∠EOF，OE＝OF，OB＝OC，∴∠EOB＝∠FOC，∴△EOB≌△FOC（SAS），∴BE＝CF．同法可证△FOC∽△GOD，∴＝，设EH＝k，则GH＝2nk，∴OG＝nk，∴OF＝＝•k，∵BE＝CF，∴＝＝．8．证明：（1）①∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，∴∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠A＝∠DCG＝90°，∴CD⊥CG；②如图1，过点N作NP∥DE，∵四边形DEFG是正方形，∴EF＝GF，∠EFH＝∠GFH＝45°，且HF＝HF，∴△EFH≌△GFH（SAS），∴EH＝GH，∠HEF＝∠HGF，∵∠HEF＝∠HGF，EF＝GF，∠EFM＝∠GFN，∴△EFM≌△GFN（ASA），∴FM＝NF，EM＝GN，∵tan∠HEN＝＝，∴EF＝4MF＝4NF＝GF，∴GM＝3MF＝EN＝3NF，∴NP∥DE，∴△PNE∽△MFE，∴，∴PN＝MF，∵NP∥DE，∴＝，∴；（2）如图1，∵AD＝4，AE＝1，∴DE＝＝＝，∴EF＝GF＝，∴NF＝EF＝，∵GN2＝GF2+NF2，∴GN＝，∵∴GH＝GN＝，∴EH＝GH＝若点E在点A左侧，如图2，设AB与DH于点O，过点F作FN⊥AB，∵∠DEA+∠FEB＝90°，∠DEA+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠FEB，且∠DAE＝∠FNE＝90°，DE＝EF，∴△ADE≌△NEF（AAS）∴AE＝NF＝1，DA＝EN＝4，∴AN＝3，BN＝1，∵DA∥NF，∴，∴ON＝，∴BO＝，∴AO＝∵DA∥BH，∴，∴BH＝，∴EH＝＝＝9．证明：（1）∵正方形ABCD，E、F分别为边AB、BC的中点，∴AD＝BC＝DC＝AB，AE＝BE＝AB，BF＝CF＝BC，∴AE＝BF，∵在△ADE和△BAF中，∴△ADE≌△BAF（SAS）∴∠BAF＝∠ADE，∵∠BAF+∠DAF＝90°∴∠ADE+∠DAF＝90°＝∠AGD，∴AF⊥DE；（2）①如图b，过点B作BN⊥AF于N，∵∠BAF＝∠ADE，∠AGD＝∠ANB＝90°，AB＝AD，∴△ABN≌△ADG（AAS）∴AG＝BN，DG＝GN，∵∠AGE＝∠ANB＝90°，∴EG∥BN，∴，且AE＝BE，∴AG＝GN，∴AN＝2AG＝DG，∵BG2＝BN2+GN2＝AG2+AG2，∴BG2＝2AG2＝2AG•AG＝GA•DG；②∵AB＝10，∴AE＝BF＝5，∴DE＝＝＝5，∵×AD×AE＝×DE×AG，∴AG＝2，∴GN＝BN＝2，∴AN＝DG＝4，∴△DGH∽△BNH，∴＝＝2，∴GH＝2HN，且GH+HN＝GN＝2，∴GH＝，＝×GH×BN＝××2＝．∴S△GHB10．（1）证明：过点P作PG⊥AB于点G，如图1所示：则四边形DPGA和四边形PCBG是矩形，∴AD＝PG，DP＝AG，BG＝PC，∵∠APB＝90°，∴∠APG+∠GPB＝∠GPB+∠PBG＝90°，∴∠APG＝∠PBG，∴△APG∽△PBG，∴＝，∴PG2＝AG•BG，即AD2＝DP•PC；（2）解：四边形PMBN是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∵BM∥PN，BN∥MP，∴四边形PMBN是平行四边形，∵DP∥AB，∴∠DPA＝∠PAM，由题意可知：∠DPA＝∠APM，∴∠PAM＝∠APM，∵∠APB﹣∠PAM＝∠APB﹣∠APM，即∠ABP＝∠MPB∴AM＝PM，PM＝MB，∴四边形PMBN是菱形；（3）解：∵AD＝3DP，∴设DP＝1，则AD＝3，由（1）可知：AG＝DP＝1，PG＝AD＝3，∵PG2＝AG•BG，∴32＝1•BG，∴BG＝PC＝9，AB＝AG+BG＝10，∵CP∥AB，∴△PCF∽△BAF，∴＝＝，∴＝，∵PM＝MB，∴∠MPB＝∠MBP，∵∠APB＝90°，∴∠MPB+∠APM＝∠MBP+∠MAP＝90°，∴∠APM＝∠MAP，∴PM＝MA＝MB，∴AM＝AB＝5，∵AB∥CD，∴△PCE∽△MAE，∴＝＝，∴＝，∴EF＝AF﹣AE＝AC﹣AC＝AC，∴＝＝．11．解：（1）由题意得：AM＝t，∵PM⊥AB，∴∠PMA＝90°，∵∠A＝60°，∴∠APM＝30°，∴PM＝AM＝t．∵∠C＝90°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴AB＝2AC＝4，BC＝AC＝2，∵MN＝1，∴BN＝AM﹣AM﹣1＝3﹣t，∵QN⊥AB，∴QN＝BN＝（3﹣t）；故答案为：tcm，（3﹣t）cm．（2）四边形MNQP有可能成为矩形，理由如下：由（1）得：QN＝（3﹣t）．由条件知，若四边形MNQP为矩形，则需PM＝QN，即t＝（3﹣t），∴t＝．∴当t＝s时，四边形MNQP为矩形；（3）由（2）知，当t＝s时，四边形MNQP为矩形，此时PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC．除此之外，当∠CPQ＝∠B＝30°时，△QPC∽△ABC，此时＝tan30°＝．∵＝cos60°＝，∴AP＝2AM＝2t．∴CP＝2﹣2t．∵＝cos30°＝，∴BQ＝（3﹣t）．又∵BC＝2，∴CQ＝2 ．∴．综上所述，当s或s时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．12．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，∴∠ADE+∠EDC＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDC+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，且∠A＝∠DCF＝90°，∴△DAE∽△DCF；（2）∵△DAE∽△DCF，∴，∴∴y＝x+4；（3）∵四边形EBFD为轴对称图形，∴DE＝BE，∵AD2+AE2＝DE2，∴16+AE2＝（6﹣AE）2，∴AE＝，∴DE＝BE＝，∴cos∠AED＝＝，故答案为：．13．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠NAM＝∠BMA，∵∠AMN＝∠AMB，∴∠AMN＝∠NAM，∴AN＝MN，即△AMN是等腰三角形；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2，AB＝CD＝3，∴∠NAM＝∠BMA，作NH⊥AM于H，如图所示：∵AN＝MN，NH⊥AM，∴AH＝AM，∵∠NHA＝∠ABM＝90°，∠NAM＝∠BMA，∴△NAH∽△AMB，∴＝，∴AN•BM＝AH•AM＝AM2，∴AM2＝2BM•AN；（3）解：∵M为BC中点，∴BM＝CM＝BC＝×2＝1，由（2）得：AM2＝2BM•AN，即：AM2＝2AN，∵AM2＝AB2+BM2＝32+12＝10，∴10＝2AN，∴AN＝5，∴DN＝AN﹣AD＝5﹣2＝3，设DE＝x，则CE＝3﹣x，∵AN∥BC，∴△DNE∽△CME∴＝，即＝，解得：x＝，即DE＝，∴CE＝DC﹣DE＝3﹣＝，∴ME＝＝＝．14．解：（1）∵A（8，0）、C（0，6），∴OA＝8，OC＝6，∵四边形OABC是矩形，∴∠ABC＝∠OAB＝90°，BC＝OA＝8，AB＝OC＝6，∴＝＝，故答案为：；（2）的值不发生变化，＝，理由如下：∵∠OAB＝∠BPQ＝90°，∴∠AOB+∠BPQ＝180°，∴A、B、P、Q四点共圆，∴∠PQB＝∠PAB，∵∠ABC＝∠BPQ＝90°，∴△PBQ∽△BCA，∴＝＝；（3）设BQ交AP于M，如图所示：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝10，由折叠的性质得：BQ⊥AP，PM＝AM，∴∠AMB＝90°＝∠ABC，∵∠BAM＝∠CAB，∴△ABM∽△ACB，∴＝，即＝，解得：AM＝3.6，∴PA＝2AM＝7.2，∴PC＝AC﹣PA＝10﹣7.2＝2.8；故答案为：2.8．15．（1）证明：∵四边形OABC是矩形，A（4，0），B（4，3），∴OA＝BC＝4，AB＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴AC＝＝＝5；（2）解：由题意得：BN＝t，AP＝t，∵＝，＝＝，∴＝，∴PN∥AB，∴△CPN∽△CAB；（3）解：分两种情况：①当0＜t＜2时，延长NP交OA于D，如图1所示：由（2）得：PD∥AB，∴△APD∽△ACO，∴＝＝，即＝＝，解得：PD＝t，AD＝t，∴PN＝3﹣t，DM＝4﹣t﹣t＝4﹣2t，∴△MPN的面积S＝PN×DM＝×（3﹣t）×（4﹣2t）＝t2﹣t+6，即S＝t2﹣t+6（0＜t＜2）；②当2＜t＜4时，延长NP交OA于D，如图2所示：由（2）得：PD∥AB，∴△APD∽△ACO，∴＝＝，即＝＝，解得：PD＝t，AD＝t，∴PN＝3﹣t，DM＝t+﹣4t＝2t﹣4，∴△MPN的面积S＝PN×DM＝×（3﹣t）×（2t﹣4）＝﹣t2+t﹣6，即S＝﹣t2+t﹣6（2＜t＜4）；当S＝，0＜t＜2时，则t2﹣t+6＝，整理得：t2﹣6t+6＝0，解得：t＝3﹣，或t＝3+（不合题意舍去），∴t＝3﹣；当S＝，2＜t＜4时，则﹣t2+t﹣6＝，整理得：t2﹣6t+10＝0，∵△＝36﹣40＜0，∴此方程无解；综上所述，当S＝时，运动时间t的值为（3﹣）秒．16．解：（1）∵点E为CD中点，AB＝AD＝CD＝2，∴DE＝，∴AE＝＝＝5，∵AB∥CD，∴△ABF∽△EDF，∴，∴AF＝2EF，且AF+EF＝5，∴AF＝；（2）如图1，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BD＝AB，AO⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO，∴AO＝DO＝BO＝AB，∵tan∠AFB＝＝2，∴OF＝AO＝AB，∴DF＝OD﹣OF＝AB，BF＝OB+OF＝AB，∴；（3）如图2，设AB＝CD＝AD＝a，则BD＝a，∵＝x，∴DE＝xa，∴S△ADE＝×AD×DE＝xa2，∵△ABF∽△EDF，∴＝x，∴DF＝x•BF，∴S△ABF＝a2，∵GF＝2BG，∴S2＝S△ABG＝S△ABF＝，∵AB＝CB，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，∴△ABG≌△CBG（SAS）∴S△ABG ＝S△CBG，∴S1＝四边形AGCE的面积＝a2﹣xa2﹣2×∴＝﹣3x2+3x+4＝﹣3（x﹣）2+∴当x＝时，的最大值为．17．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠ADC为△ABD的外角，∴∠ADE+∠EDC＝∠B+∠DAB，∵∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE，∴＝，∴AB•CE＝BD•CD；（2）解：设BD＝x，AE＝y，由（1）得，5×（5﹣y）＝x×（6﹣x），整理得，y＝x2﹣x+5＝（x﹣3）2+，∴AE的最小值为；（3）解：作AF⊥BE于F，则四边形ADEF为矩形，∴EF＝AD＝3，AF＝DE，∴BF＝BE﹣EF＝1，设CD＝x，CE＝y，则AF＝DE＝x+y，由勾股定理得，AD2+CD2＝AC2，CE2+BE2＝BC2，AF2+BF2＝AB2，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∴32+x2＝AC2，y2+42＝BC2，（x+y）2+12＝AC2，∴x2﹣y2＝7，y2+2xy＝8，解得，x＝，y＝，∴DE＝x+y＝．18．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠APC＝∠ABC+∠BAP，∠APC＝∠APD+∠EPC，∠APD＝∠ABC，∴∠BAP＝∠EPC，∴△ABP∽△PCE，∵BC∥AD，∴△PCE∽△DAE，∴△ABP∽△DAE；（2）解：①∵△ABP∽△PCE，∴＝，即＝，∴y＝﹣x2+x（0＜x＜6）；②∵△ABP∽△DAE，∴＝，即＝，∴AD＝，∵AD∥BC，∴，∵，∴，∴，即13x2+24x﹣100＝0，∴x＝2，（舍去）1∴．19．（1）解：在Rt△BCE中，当tan∠BEC＝2，∴＝2，即＝2，解得，BE＝2，由勾股定理得，CE＝＝＝2，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠ECH＝∠BEC，∴tan∠ECH＝＝2，即＝2，∴EH＝4，∴CH＝＝10；（2）证明：∵∠FEG＝∠FDH＝90°，∠EFG＝∠DFH，∴△EFG∽△DFH，∴＝，∴DF•FG＝HF•EF；（3）证明：∵△EFG∽△DFH，∴∠CGD＝∠CHE，又∠GCD＝∠HCE，∴△GCD∽△HCE，∴＝，又∠GCD＝∠HCE，∴△CDE∽△CGH，∴∠CDE＝∠CGH．20．解：（1）AB＝2，BC＝1，AD＝4，由勾股定理得，AC＝＝，CD＝＝，AE＝＝2，CE＝＝5，＝＝＝，∴△ABC∽△EAC，∴四边形ABCE是“友好四边形”，≠，∴△ABC与△ACD不相似，∴四边形ABCD不是“友好四边形”，故答案为：四边形ABCE；（2）证明：根据旋转的性质得，∠A'CB'＝∠ACB，∠CA'B'＝∠CAB，∵AD∥A'B'，∴∠CA'B'＝∠D，∴∠CAB＝∠D，又∠A'CB'＝∠ACB，∴△ABC∽△DAC，∴四边形ABCD是“友好四边形”；（3）如图3，过点A作AM⊥BC于M，在Rt△ABM中，AM＝AB•sin∠ABC＝AB，∵△ABC的面积为6，∴BC×AB＝6，∴BC×AB＝24，∵四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形”，且AB≠BC，∴△ABD∽△DBC∴，∴BD2＝AB×BC＝24，∴BD＝＝2．。

2020北京丰台初三（上）期末数学备考训练相似（教师版）一．选择题（共14小题）1．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（）A．1：2 B．1：3 C．2：1 D．3：1【分析】根据平行四边形的性质可以证明△BEF∽△DCF，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．【解答】解：由平行四边形的性质可知：AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∵点E是AB的中点，∴∴＝，故选：A．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．2．如果3a＝2b（ab≠0），那么比例式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】先逆用比例的基本性质，把3a＝2b改写成比例的形式，使相乘的两个数a和3做比例的外项，则相乘的另两个数b和2就做比例的内项；进而判断得解．【解答】解：∵3a＝2b，∴a：b＝2：3，b：a＝3：2，即a：2＝b：3，故A，B均错误，C正确，D错误．故选：C．【点评】本题主要考查了比例的性质，解答此题的关键是比例基本性质的逆运用，要注意：内项之积等于外项之积．本题也可以将各选项中的比例式化为等积式进行判断．3．已知xy＝mn，则把它改写成比例式后，错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】利用等式的性质2：等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式，可判断各选项正确与否．【解答】解：A、两边同时乘以最简公分母ny得xy＝mn，与原式相等；B、两边同时乘以最简公分母mx得xy＝mn，与原式相等；C、两边同时乘以最简公分母mn得xn＝my，与原式不相等；D、两边同时乘以最简公分母my得xy＝mn，与原式相等；故选：C．【点评】解答此题应把每一个选项乘以最简公分母后与原式相比较看是否相同．4．如图，DE是△ABC的中位线，则△ADE与△ABC的面积之比是（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4【分析】由DE是△ABC的中位线，可证得DE∥BC，进而推得两个三角形相似，然后利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴△ADE∽△ABC，相似比为，面积比为．故选：D．【点评】三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形，因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的．5．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中△CEG相似的三角形有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据AB∥CD，AE∥FD可以判定图中所有的三角形相似，即可得出与△CEG相似的三角形．【解答】解：AB∥CD，AE∥FD∴△CEG∽△BAG，△CEG∽△CDH，∵△BFH∽△CDH，∴△CEG∽△BFH，∴与△CEG相似三角形有3对．故选：B．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形的传递性，本题中求证△BFH∽△CDH三角形相似是解题的关键．6．若，则的值是（）A．B．C．D．3【分析】根据比例的合比性质即可得出答案；亦可把变化为b＝3a，代入可求出式子的值．【解答】解：原式＝＝＝．故选：C．【点评】主要考查的是对比例式合比性质的掌握和灵活运用．7．已知⊙O的半径为5cm，若OP＝3cm，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．不能确定【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．【解答】解：∵点到圆心的距离d＝3＜5＝r，∴该点P在⊙O内．故选：C．【点评】考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：当点到圆心的距离小于圆的半径时，则点在圆内．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在图中与△ABC相似的三角形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可判断△AED∽△ABC，再由两角对应相等的两个三角形相似可判断△BCD∽△ABC．【解答】解：∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∵AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，∴∠DBC＝36°＝∠A，∠C＝72°，∴△BDC∽△ABC，∴有两个与△ABC相似的三角形．故选：B．【点评】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．9．若＝，则的值是（）A．B．C．﹣D．【分析】若＝，则可以设a＝2k，则b＝3k．将其代入分式求解．【解答】解：∵＝，∴设a＝2k，则b＝3k．∴＝＝＝﹣，故选：C．【点评】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．10．已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．54【分析】因为△ABC∽△DEF，相似比为3：1，根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：1∴△ABC的周长：△DEF的周长＝3：1∵△ABC的周长为18∴△DEF的周长为6．故选：C．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．11．如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB、AC边上，DE∥BC．若DE：BC＝2：3，则S△ADE：S△ABC为（）A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2【分析】根据相似三角形的面积比等于对应边长的平方比．【解答】解：∵△ADE∽△ABC，DE：BC＝2：3∴S△ADE：S△ABC＝4：9故选：A．【点评】熟练掌握三角形的性质．12．若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，且△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（）A．16 B．8 C．4 D．2【分析】设△DEF的面积为x，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行解答即可．【解答】解：设△DEF的面积为x，∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，△ABC的面积为4，∴＝（）2＝，解得x＝16．故选：A．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．13．已知2x＝3y（x≠0），则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．【分析】根据等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母等式仍成立即可解决．【解答】解：根据等式性质2，可判断出只有B选项正确，故选：B．【点评】本题考查的是等式的性质：等式性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等；等式性质2：等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为0）结果仍相等．14．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：DB＝3：2，则AE：AC等于（）A．3：2 B．3：1 C．2：3 D．3：5【分析】由DE∥CB，根据平行线分线段成比例定理，可求得AE、AC的比例关系．【解答】解：∵DE∥BC，AD：DB＝3：2，∴AE：EC＝3：2，∴AE：AC＝3：5．故选：D．【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据已知得出AE与EC的关系是解题关键．二．填空题（共11小题）15．若2m＝3n，那么m：n＝3：2 ．【分析】逆用比例的性质：内项之积等于外项之积即可求解．【解答】解：∵2m＝3n，∴m：n＝3：2．故答案为：3：2．【点评】考查了比例的性质：内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．16．如图1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播，现将图1抽象为图2，其中线段AB为蜡烛的火焰，线段A′B′为其倒立的像，如果蜡烛火焰AB的高度为2cm，倒立的像A′B′的高度为5cm，点O到AB的距离为4cm，那么点O到A′B′的距离为10 cm．【分析】由相似三角形判定可得△ABO∽△A'B'O，利用对应边成比例可得点O到A′B′的距离．【解答】解：∵AB∥A'B'，∴△ABO∽△A'B'O，∴＝是相似比，∴点O到A′B′的距离＝，故答案为：10【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：相似三角形的对应边成比例．17．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，AE＝3，BD＝4，则AC＝9 ．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，得出CE的长度即可得出AC的长．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵AD＝2，AE＝3，BD＝4，∴，∴CE＝6，∴AC＝AE+EC＝3+6＝9．故答案为：9．【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据题意得出是解决问题的关键．18．如图，已知ABC，P为AB上一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件∠ACP＝∠B（答案不唯一）．（只要写出一种合适的条件）【分析】要判定两三角形相似，已知有一组公共角，则再添加一组角或夹公共角的两组边对应成比例，即可证明两个三角形相似．【解答】解：①∵∠ACP＝∠B，∠PAC＝∠CAB，∴△ACP∽△ABC；②∵∠APC＝∠ACB，∠PAC＝∠CAB，∴△ACP∽△ABC；③∵∠PAC＝∠CAB，AP：AC＝AC：AB，∴△ACP∽△ABC．（答案不唯一）．【点评】本题利用了相似三角形的判定，答案不唯一．19．两个相似三角形对应边的比是3：2，那么这两个相似三角形面积的比是9：4 ．【分析】已知了相似三角形的对应边的比即可得出相似三角形的相似比，而相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此得解．【解答】解：∵两个相似三角形对应边的比是3：2，∴它们的相似比为3：2；故它们的面积比为9：4．【点评】此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的一切对应线段（包括对应边、对应高、对应中线、对应角平分线等）的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．20．如图，D，E两点分别在△ABC的边AB，AC上，DE，BC不平行，若使△ADE∽△ACB，需要添加的条件是∠ADE＝∠C（写出一个即可）．【分析】由图可得，两三角形已有一组角对应相等，再加一组角对应相等即可．【解答】解：由图可得，∠DAE＝∠CAB，要使△ADE∽△ACB，根据两角对应相等，两三角形相似，可添加条件：∠ADE＝∠C或∠AED＝∠ABC；根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，可添加条件：AB：AC＝AE：AD．【点评】相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．21．已知四条线段a、b、c、d之间有如下关系：a：b＝c：d，且a＝12，b＝8，c＝15，则线段d＝10【分析】由线段之间的比例以及对应线段的长，代入求解即可．【解答】解：a：b＝c：d，且a＝12，b＝8，c＝15，即＝，解得d＝10．故答案为：10．【点评】本题主要考查了比例之间的问题，应能够进行一些简单的计算．22．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3．（1）如图1，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a1是 2 ；（2）如图2，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形，则第2个正方形DGHI的边长a2＝；继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形；…以此类推，则第n个内接正方形的边长a n＝．（n为正整数）【分析】（1）由正方形的性质可以得出△BFE∽△BCA，再根据相似三角形的性质就可以把正方形CDEF的边长表示出来，从而得出结论．（2）由正方形的性质可以得出△EIH∽△EDA，再根据相似三角形的性质就可以把正方形IDGF的边长表示出来，从而得出结论，通过计算得出的结论寻找其中的变化规律就可以得出第n个内接正方形的边长的值．【解答】解：（1）四边形CDEF是正方形，∴EF＝FC，EF∥FC，∴△BFE∽△BCA，∴．设EF＝FC＝a，∴，∴a＝2，故答案是：2（2）如图（2）四边形DGHI是正方形，∴IH＝ID，IH∥AD，∴△EIH∽△EDA，∴，设IH＝ID＝b，AD＝4，DE＝2，∴，故答案是：，如图（3）由以上同样的方法可以求得正方形PGQS的边长为：＝，∴第4的个正方形的边长为：＝…∴第n个内接正方形的边长a n＝故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用及规律的探索．23．如图，在△ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE∥BC，若AD：AB＝3：4，AE＝6，则AC等于8 ．【分析】由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，即可求得，又由AD：AB＝3：4，AE＝6，即可求得AC的值．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵AD：AB＝3：4，AE＝6，∴AC＝8．故答案为：8．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．24．已知△ABC∽△DEF，相似比为2：1，若△DEF的面积为4，则△ABC的面积为16 ．【分析】已知相似三角形的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出答案．【解答】解：∵△DEF与△ABC的相似，且相似比为1：2，∴△DEF与△ABC的面积比为1：4，∴△DEF的面积为4，∴则△ABC的面积为16，故答案为：16．【点评】此题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答本题的关键．25．已知，则＝．【分析】根据比例的性质变形即可求解．【解答】解：∵，∴＝．故答案为：．【点评】考查了比例的性质，是基础题型．三．解答题（共25小题）26．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证．（2）由于点E是AC的中点，设AE＝x，根据相似三角形的性质可知＝，从而列出方程解出x的值．【解答】解：（1）∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）由（1）可知：：△ADE∽△ACB，∴＝，∵点E是AC的中点，设AE＝x，∴AC＝2AE＝2x，∵AD＝8，AB＝10，∴＝，解得：x＝2，∴AE＝2．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．27．如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上．（1）在该网格中画出△A2B2C2（顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；（2）请写出（1）中作图的主要步骤，并说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据．【分析】（1）根据相似三角形的判定，结合网格特点作图即可；（2）利用勾股定理得出线段的长，并根据网格特点得出角的度数，再依据相似三角形的判定求解可得．【解答】解：（1）如图所示，△A2B2C2即为所求；（2）先取一格点A2，在水平方向上取A2C2＝2，再在网格中取一格点B2，使∠C2A2B2＝135°，且A2B2＝，则△A2B2C2∽△A1B1C1；∵A1C1＝4，∠C1A1B1＝135°，A1B1＝2，∴＝＝，∠C2A2B2＝∠C1A1B1，∴△A2B2C2∽△A1B1C1．【点评】本题主要考查作图﹣相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，并根据相似三角形的判定和性质得出变换后的对应点位置及勾股定理．28．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F．（1）∠BFE的度数是60°；（2）如果＝，那么＝ 1 ；（3）如果＝时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明．【分析】（1）易证△ABD≌△ACE，可得∠DAF＝∠ABF，根据外角等于不相邻两个内角的和即可解题．（2）如图1中，当＝时，由题意可知：AD＝CD，BE＝CE．利用等腰三角形的性质即可解决问题；（3）设AF＝x，BF＝y，AB＝BC＝AC＝n．AD＝CE＝1，由△ABD≌△CAE，推出BD＝AE，设BD＝AE＝m，利用相似三角形的性质，列出关系式即可解决问题；【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝∠C＝60°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠DAF＝∠ABD，∴∠BFE＝∠ABD+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝60°，故答案为：60°．（2）如图1中，当＝时，由题意可知：AD＝CD，BE＝CE．∵△ABC是等边三角形，BE＝EC，AD＝CD，∴∠BAE＝∠BAC＝×60°＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴∠FAB＝∠FBA，∴FA＝FB，∴＝1．故答案为1．（3）设AF＝x，BF＝y，AB＝BC＝AC＝n．AD＝CE＝1，∵△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，∠DAF＝∠ABD，设BD＝AE＝m，∵∠ADF＝∠BDA，∴△ADF∽△BDA，∴＝，∴＝①，∵∠FBE＝∠CBD，∠BFE＝∠C＝60°，∴△BFE∽△BCD，∴＝，∴＝②，①÷②得到：＝，∴＝．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质的等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．29．如图，△ABC中，DE∥BC，如果AD＝2，DB＝3，AE＝4，求AC的长．【分析】根据平行线分线段成比例求出EC，即可解答．【解答】解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC＝6，∴AC＝AE+EC＝4+6＝10；【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟记平行线分线段成比例定理．30．已知：如图，∠1＝∠2，AB•AC＝AD•AE．求证：∠C＝∠E．【分析】先根据AB•AC＝AD•AE可得出＝，再由∠1＝∠2可得出△ABE∽△ADC，由相似三角形的对应角相等即可得出结论．【解答】证明：在△ABE和△ADC中，∵AB•AC＝AD•AE，∴＝（2分）又∵∠1＝∠2，（3分）∴△ABE∽△ADC（4分）∴∠C＝∠E．（5分）【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．31．如图，设点D、E分别为△ABC的外接圆的弧AB、弧AC的中点，弦DE交AB于点F，交AC于点G．求证：AF•AG＝DF•EG．【分析】根据相似三角形的判定定理AA证得△ADF∽△EAG，然后由相似三角形的对应边成比例求得＝，即AF•AG＝DF•EG．【解答】证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴AD＝BD，AE＝CE，∴∠BAD＝∠E，（等弧所对的圆周角相等）∠CAE＝∠D，∴△ADF∽△EAG（两对应角相等，两三角形相似）∴＝，∴AF•AG＝DF•EG．（说明：不填写理由共扣（1分）．）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理．在证明△ADF∽△EAG时，利用等弧所对的弦相等证明AD＝BD，AE＝CE是关键．32．已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分．问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似（注：在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标）．【分析】按照公共锐角进行分类，可以分为两种情况：当∠BOA为公共锐角时，只存在∠PCO为直角的情况；当∠B为公共锐角时，存在∠PCB和∠BPC为直角两种情况．如图，C1（3，0），C2（6，4），C3（6，）．【解答】解：过P作PC1⊥OA，垂足是C1，则△OC1P∽△OAB．点C1坐标是（3，0）．（2分）过P作PC2⊥AB，垂足是C2，则△PC2B∽△OAB．点C2坐标是（6，4）．（4分）过P作PC3⊥OB，垂足是P（如图），则△C3PB∽△OAB，∴．（6分）易知OB＝10，BP＝5，BA＝8，∴，．（8分）∴．（9分）符合要求的点C有三个，其连线段分别是PC1，PC2，PC3（如图）．（10分）【点评】本题实质上就是画直角三角形OAB的相似三角形，只不过所画的相似三角形点P已经确定了，所以就要根据网格找出三边的长，再利用对应边相似比相等，画出相似三角形．33．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，F是DC的中点，BF的延长线交射线AD于点G，BG交AC于点E．求证：．【分析】欲证，可证△GDF∽△GAB，△FCE∽△BAE，得到，，又已知DF＝CF，即证结论．【解答】证明：∵AB∥CD，∴△GDF∽△GAB，△FCE∽△BAE，（2分）∴，，（4分）∵DF＝CF，∴．（5分）【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，相似三角形中对应线段成比例．34．如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，AB2＝AP•AD．（1）求证：AB＝AC；（2）如果∠ABC＝60°，⊙O的半径为1，且P为的中点，求AD的长．【分析】（1）根据AB2＝AP•AD，可以连接BP，构造相似三角形．根据相似三角形的性质得到∠APB＝∠ABD，再根据圆周角定理得到∠APB＝∠ACB，即∠ABC＝∠ACB，再根据等角对等边证明结论；（2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，发现等边三角形ABC，再根据点P为弧的中点，连接BP，发现30°的直角三角形，且BP是直径，从而求得AP的长，AB的长．再根据已知中的条件求得AD的长．【解答】（1）证明：连接BP，∵AB2＝AP•AD，∴，又∵∠BAD＝∠PAB，∴△ABD∽△APB，∵∠ABC＝∠APB，∠APB＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；（2）解：由（1）知AB＝AC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵P为的中点，∴∠ABP＝∠PAC＝∠ABC＝30°，∴∠BAP＝∠BAC+∠PAC＝90°，∴BP为直径，∴BP过圆心O，∴BP＝2，∴AP＝BP＝1，∴AB2＝BP2﹣AP2＝3，∵AB2＝AP•AD，∴AD＝＝3．【点评】掌握相似三角形的性质和判定，能够结合已知条件发现等边三角形和30°的直角三角形，根据它们的性质分析求解，属中等难度．35．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是B．请在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似．（请注意：全等图形是相似图形的特例）【分析】此题有两种情况，（1）当△CBM≌△ABP时，全等图形是相似图形的特例，此时BP和BM为一组对应边且相等，BM＝BP＝3；（2）当△MBC∽△ABP时，有MB：AB＝BC：BP，从而求出BM的值．【解答】解：在射线BF上截取线段，连接M1C，⇒，⇒∠ABP＝∠CBM1，∴△M1BC∽△ABP．在射线BF上截取线段BM2＝BP＝3，连接M2C，⇒△CBM2≌△ABP．（全等必相似）∴在射线BF上取或BM2＝3时，M1，M2都为符合条件的M．（说明：其他解法请参照给分）【点评】此题主要是考查三角形相似的判定，属中等难度．36．已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试判断成立吗？并说明理由．【分析】首先由DE∥BC，得，根据EF∥AB，得，根据等式的传递性即可证明结论．【解答】解：成立．理由如下：∵DE∥BC，∴．∵EF∥AB，∴．∴．【点评】此题主要是运用了平行线分线段成比例定理．37．已知：如图，等腰△ABC中，AB＝BC，AE⊥BC于点E，EF⊥AB于点F，若CE＝1，，求EF的长．【分析】Rt△ABE中，EF⊥AB，易得∠AEF＝∠B，即cos∠B＝，由此可求得BE、AB的比例关系，即BE、BC 的比例关系，根据EC＝BC﹣BE，即可求出BE、AE的长；然后根据∠AEF的余弦值，即可在Rt△AEF中，求出EF的长．【解答】解：∵AE⊥BC，∴∠AEF+∠1＝90°；∵EF⊥AB，∴∠1+∠B＝90°；∴∠B＝∠AEF；（1分）∴∵在Rt△ABE中，∠AEB＝90°∴；（2分）设BE＝4k，AB＝5k，∵BC＝AB，∴EC＝BC﹣BE＝BA﹣BE＝k；∵EC＝1，∴k＝1；（3分）∴BE＝4，AB＝5；∴AE＝3；（4分）在Rt△AEF中，∠AFE＝90°，∵，（5分）∴．（6分）【点评】此题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数的应用等知识．38．如图，已知：在⊙O中，直径AB＝4，点E是OA上任意一点，过E作弦CD⊥AB，点F是上一点，连接AF 交CE于H，连接AC、CF、BD、OD．（1）求证：△ACH∽△AFC；（2）猜想：AH•AF与AE•AB的数量关系，并说明你的猜想；（3）探究：当点E位于何处时，S△AEC：S△BOD＝1：4，并加以说明．【分析】（1）根据垂径定理得到弧AC＝弧AD，再根据圆周角定理的推论得到∠F＝∠ACH，根据两个角对应相等证明两个三角形相似；（2）连接BF，构造直角三角形，把要探索的四条线段放到两个三角形中，根据相似三角形的判定和性质证明；（3）根据三角形的面积公式，得到两个三角形的面积比即为AE：OB，进一步转化为AE：AO的比，再根据半径的长求得OE的长．【解答】（1）证明：∵直径AB⊥CD，∴，∴∠F＝∠ACH，又∠CAF＝∠FAC，∴△ACH∽△AFC．（2）解：AH•AF＝AE•AB．证明：连接FB，∵AB是直径，∴∠AFB＝∠AEH＝90°，又∠EAH＝∠FAB，∴Rt△AEH∽Rt△AFB，∴，∴AH•AF＝AE•AB．（3）解：当时，S△AEC：S△BOD＝1：4．理由：∵直径AB⊥CD，∴CE＝ED，∵S△AEC＝AE•EC，S△BOD＝OB•ED，∴＝＝＝，∵⊙O的半径为2，∴，∴8﹣4OE＝2，∴OE＝．即当点E距离点O时S△AEC：S△BOD＝1：4．【点评】能够综合运用垂径定理和圆周角定理的推论得到有关的角相等．掌握相似三角形的判定和性质．39．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，AC两点的坐标分别为A（6，0），C（0，3），直线与BC边相交于点D．（1）求点D的坐标；（2）若上抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A，D两点，试确定此抛物线的解析式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线AD交点M，点P为对称轴上一动点，以P、A、M为顶点的三角形与△ABD相似，求符合条件的所有点P的坐标．【分析】（1）有题目所给信息可以知道，BC线上所有的点的纵坐标都是3，又有D在直线上，代入后求解可以得出答案．（2）A、D，两点坐标已知，把它们代入二次函数解析式中，得出两个二元一次方程，联立求解可以得出答案．（3）由题目分析可以知道∠B＝90°，以P、A、M为顶点的三角形与△ABD相似，所以应有∠APM、∠AMP或者∠MAP等于90°，很明显∠AMP不可能等于90°，所以有两种情况．【解答】解：（1）∵四边形OABC为矩形，C（0，3）∴BC∥OA，点D的纵坐标为3．∵直线与BC边相交于点D，∴．∴x＝2，故点D的坐标为（2，3）（2）∵若抛物线y＝ax2+bx经过A（6，0）、D（2，3）两点，∴解得：∴抛物线的解析式为．（3）∵抛物线的对称轴为x＝3，设对称轴x＝3与x轴交于点P1，∴BA∥MP1，∴∠BAD＝∠AMP1．①∵∠AP1M＝∠ABD＝90°，∴△ABD∽△MP1A．∴P1（3，0）．②当∠MAP2＝∠ABD＝90°时，△ABD∽△MAP2．∴∠AP2M＝∠ADB∵AP1＝AB，∠AP1P2＝∠ABD＝90°，∴△AP1P2≌△ABD∴P1P2＝BD＝4．∵点P2在第四象限，∴P2（3，﹣4）．答：符合条件的点P有两个，P1（3，0）、P2（3，﹣4）．【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，以及三角形的性质等相关知识，属于综合类题目．40．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，DC＝5，BC＝3，AC与BD相交于点M，且．（1）求证：△ABM∽△CMD；（2）求∠BCD的正弦值．【分析】（1）AB∥DC，AC、BD相交于点M，即可证明△DFE∽△DAB．（2）由△AMB∽△CMD，利用对应边成比例，将已知数值代入即可求得答案．【解答】（1）证明：∵AB∥DC，AC、BD相交于点M，∴△AMB∽△CMD（2）解：∵△AMB∽△CMD，∴∴MB＝∴DB＝DM+MB＝4∴BC2+BD2＝DC2∴△DBC为直角三角形（∠DBC＝90°）∴sin∠BDC＝．【点评】此题考查学生对梯形和相似三角形的判定与性质的理解和掌握，难度适中．41．如图，在5×6的网格图中，△ABC的顶点A、B、C在格点（每个小正方形的顶点）上，请你在网格图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1，B1，C1必须在格点上．【分析】根据位似的定义，先确定位似中心点，然后确定位似比即可画出位似图形．【解答】解：所作图形如下所示：说明：△A1B1C1∽△ABC，相似比为；△A2B2C2∽△ABC，相似比为；△A3B3C3∽△ABC，相似比为2：1．【点评】本题考查位似作图的知识，属于开放型，因为位似中心及位似比没有确定，同学们可以自己选择作图．42．如图，在△ABC中，D、E两点分别在AC、AB两边上，∠ABC＝∠ADE，AB＝7，AD＝3，AE＝2.7，求AC的长．【分析】已知∠ABC＝∠ADE，∠A＝∠A，则可推出△ABC∽△ADE，根据相似三角形的相似比即可求得AC的长．【解答】解：在△ABC和△ADE中，∵∠ABC＝∠ADE，∠A＝∠A∴△ABC∽△ADE（2分）∴（3分）∴＝＝6.3（5分）【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定及性质的理解及运用能力．43．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E为AC边上一点，连接BE交CD于点F，过点E作EG⊥BE交AB于点G，（1）如图1，当点E为AC中点时，线段EF与EG的数量关系是EF＝EG；（2）如图2，当，探究线段EF与EG的数量关系并且证明；（3）如图3，当，线段EF与EG的数量关系是．【分析】（1）根据全等三角形的证明方法利用ASA得出△EFM≌△EGN，即可得出EF＝EG；（2）根据已知首先求出∠ENG＝∠FEM，再得出∠ENG＝∠EMF，即可得出△EFM∽△EGN，再利用相似三角形的性质得出答案即可．【解答】解：（1）证明：如图1，过E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∴AD＝CD，∵点E为AC的中点，CD⊥AB，EN⊥DC，∴EN＝AD，∴EM＝CD，∴EN＝EM，∵∠GEB＝90°，∠MEN＝90°，∴∠NEF＝∠GEM，∴，∴△EGM≌△EFN，（ASA）∴EG＝EF（2）证明如图（2）：过点E作EM⊥CD于点M，作EN⊥AB于点N，∴∠ENA＝∠CME＝∠EMF＝90°．∵CD⊥AB于点D，∴∠CDA＝90°．∴EM∥AD．∠A＝∠CEM．∴△EMC∽△ANE．∴∵EM∥AD，∴∠NEM＝90．即∠1+∠2＝90°．∵EG⊥BE，∴∠3+∠2＝90°，∴∠MEF＝∠GEN．∴△EFM∽△EGN．∴．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∴AN＝EN．∴，∴∵，∴．（3）∴证明如图（3）：过点E作EM⊥CD于点M，作EN⊥AB于点N，∴∠ENA＝∠CME＝∠EMF＝90°．∵CD⊥AB于点D，∴∠CDA＝90°．∴EM∥AD．∠A＝∠CEM．∴△EMC∽△ANE．∴∵EM∥AD，∴∠NEM＝90．即∠2+∠3＝90°．∵EG⊥BE，∴∠3+∠2＝90°，∴∠MEF＝∠GEN．∴△EFM∽△EGN．∴．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∴AN＝EN．∴，∴∵∴，故答案为：（1）EF＝EG，（3）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰直角三角形的性质的运用．44．以AB为直径作半圆O，AB＝10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC＝BC，过点D 作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF．（1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数；（2）如图②，当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）连接OC．根据直角三角形的性质和圆的性质可得△OBC是等边三角形，再根据等边三角形的性质和直角三角形两锐角互余即可得到∠BAC的度数；（2）连接DA．根据垂直平分线的性质可得AB＝AD＝10，根据勾股定理和线段的和差关系可得AE和BE的长，通过AA证明△AEF∽△DEB，根据相似三角形的性质即可得到EF的长；（3）分两种情况：①当交点E在O、A之间时；②当交点E在O、B之间时；讨论即可求得线段OE的长．【解答】解：（1）连接OC．∵C为DB中点，∴OC＝BC＝OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°；（2）连接DA．∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD＝10，∵DE＝8，DE⊥AB，∴AE＝6，∴BE＝4，∵∠FAE+∠AFE＝90°，∠CFD+∠CDF＝90°，∴∠CDF＝∠EAF，∵∠AEF＝∠DEB＝90°，∴△AEF∽△DEB，∴＝，∴EF＝3；。

人教版九年级数学下册第27章《相似》解答题易错题训练（二）1．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△EGB．（2）若AB＝6，求CG的长．2．如图，点E是正方形ABCD的边DC延长线上一点，CE＝CG，连DG并延长交BE于．（1）求证：∠BGF＝∠E；（2）求证：BG•BC＝BF•BE；（3）连AC交DF于H，若点G为CB的中点，直接写出的值．3．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD上，联结AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．（1）求证：AB2＝BF•DE；（2）若，求证：EF∥MN．4．如图，在△ABC中，点D、G在边AC上，点E在边BC上，DB＝DC，EG∥AB，AE、BD交于点F，BF＝AG．（1）求证：△BFE∼△CGE；（2）当∠AEG＝∠C时，求证：AB2＝AG•AC．5．如图AD与CE交于B，且．（1）求证：△ABC∽△DBE．（2）若AC＝8，BC＝6，CE＝9，求DE的长．6．已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠AED＝∠ABC，联结BE、CD相交于点F．（1）求证：∠ABE＝∠ACD；（2）如果ED＝EC，求证：．7．已知：如图，在△ABC中，点D在边AC上，BD的垂直平分线交CA的延长线于点E，交BD于点F，联结BE，ED2＝EA•EC．（1）求证：∠EBA＝∠C；（2）如果BD＝CD，求证：AB2＝AD•AC．8．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使得AE＝AB，联结DE、AC．点F在线段DE上，联结BF，分别交AC、AD于点G、H．（1）求证：BG＝GF；（2）如果AC＝2AB，点F是DE的中点，求证：AH2＝GH•BH．9．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠DCB，联结AC，点E在边BC上，且∠CDE＝∠CAD，DE与AC交于点F，CE•CB＝AB•CD．（1）求证：AD∥BC；（2）当AD＝DE时，求证：AF2＝CF•CA．10．如图，在等边△ABC中，点D、E分别是边BC、AC上的点，且BD＝CE，连接BE、AD，相交于点F．（1）求证：△ABD≌△BCE；（2）图中共有对相似三角形（全等除外）．并请你任选其中一对加以证明．你选择的是．11．如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE ＝∠F．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若AB＝5，AD＝8，BE＝2，求FD的长．12．已知△ABC中，点D在BC边上，且AD平分∠BAC，过点C作AB的平行线与AD的延长线交于点E．（1）求证：△ABD∽△ECD；（2）求证：＝．13．已知：点P在△ABC内，且满足∠APB＝∠APC（如图），∠APB+∠BAC＝180°．（1）求证：△PAB∽△PCA；（2）如果∠APB＝120°，∠ABC＝90°，求的值；（3）如果∠BAC＝45°，且△ABC是等腰三角形，试求tan∠PBC的值．14．如图，已知C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和正方形CBGF，点F在CD上，联结AF、BD，BD与FG交于点M，点N是边AC上的一点，联结EN交AF与点H．（1）求证：AF＝BD；（2）如果＝，求证：AF⊥EN．15．如图，△ABC中，AB＝AC，AM为BC边的中线，点D在边AC上，联结BD交AM 于点F，延长BD至点E，使得＝，联结CE．求证：（1）∠ECD＝2∠BAM；（2）BF是DF和EF的比例中项．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，且∠BEG＝90°，∴∠A＝∠BEG，∵∠ABE+∠EBG＝90°，∠G+∠EBG＝90°，∴∠ABE＝∠G，∴△ABE∽△EGB；（2）解：∵AB＝AD＝6，E为AD的中点，∴AE＝DE＝3．在Rt△ABE中，BE＝＝＝3，由（1）知，△ABE∽△EGB，∴，即：，∴BG＝15，∴CG＝BG﹣BC＝15﹣6＝9．2．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝BC，∠DCB＝90°，∴∠ECB＝90°，在△BCE和△DCG中∴△BCE≌△DCG（SAS），∴∠E＝∠DGC＝∠BGF；（2）证明：∵∠E＝∠BGF，∠GBF＝∠EBC，∴△BGF∽△BGF，∴＝，∴BG•BC＝BF•BE；（3）解：∵G为BC的中点，CG＝CE，∴BC＝2CG＝2CE，∵△BGF∽△BEC，∴＝＝，设GF＝k，BF＝2k，则CG＝BG＝＝＝k，∴AD＝DC＝BC＝2k，DG＝＝＝5k，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴△CHG∞△AHD，∴＝＝，∴GH＝k，∴＝＝．3．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠AED＝∠ABD+∠BAE，∠BAF＝∠MAN+∠BAE，∠MAN＝∠ABD，∴∠AED＝∠BAF，∴△AED∽△FAB，∴，即AD•AB＝BF•DE，∴AB2＝BF•DE；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△BME∽△DAE，∴，∵，∴，∴，∴MN∥BD，∴EF∥MN．4．证明：（1）∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB，∵EG∥AB，∴，∵BF＝AG，∴，∴△BFE∼△CGE；（2）∵△BFE∼△CGE，∴∠BEF＝∠GEC，∠BFE＝∠EGC，∵∠AEG＝∠C，∠GEB＝∠AEG+∠AEB＝∠C+∠EGC，∴∠AEB＝∠EGC，∴∠BEF＝∠GEC＝∠BFE＝∠EGC，∴BE＝BF，EC＝GC，∴BE＝AG，∵GE∥AB，∴∠AEG＝∠BAE，∴∠BAE＝∠C，又∵∠ABE＝∠ABC，∴△ABE∽△CBA，∴，∴AB2＝AC•BE＝AC•AG．5．证明：（1）∵∠DBE＝∠ABC，，∴△ABC∽△DBE；（2）∵△ABC∽△DBE，∴，∵AC＝8，BC＝6，CE＝9，∴，∴DE＝4．6．（1）证明：∵∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△AEB，∴∠ABE＝∠ACD；（2）证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠EDC＝∠EBD，∵∠DEF＝∠DEB，∴△EDF∽△EBD，∴＝＝，（）2＝•，∴．7．（1）证明：∵ED2＝EA•EC，∴＝，∵∠BEA＝∠CEB，∴△BAE∽△CEB，∴∠EBA＝∠C．（2）证明：∵EF垂直平分线段BD，∴EB＝ED，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠C+∠DBC＝∠EBA+∠ABD，∵∠EBA＝∠C，∴∠DBC＝∠ABD，∵DB＝DC，∴∠C＝∠DBC，∴∠ABD＝∠C，∵∠BAD＝∠CAB，∴△BAD∽△CAB，∴＝，∴AB2＝AD•AC．8．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AB＝AE，∴AE＝CD，∴四边形ACDE是平行四边形，∴AC∥DE，∴，∴BG＝GF；（2）∵AB＝AE，∴BE＝2AE，∵AC＝2AB，∴BE＝AC，∵四边形ACDE是平行四边形，∴DE＝BE，∵点F是DE的中点，∴DE＝2EF，∴AE＝EF，∵DE＝BE，∠E＝∠E，AE＝EF，∴△BEF≌△DEA（SAS），∴∠EBF＝∠EDA，∵AC∥DE，∴∠GAH＝∠EDA．∴∠EBF＝∠GAH．∵∠AHG＝∠BHA，∴△AHG∽△BHA，∴．∴AH2＝GH•BH．9．证明：（1）∵CE•CB＝AB•CD，∴，又∵∠B＝∠DCB，∴△ABC∽△ECD，∴∠CDE＝∠ACB，∵∠CDE＝∠CAD，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC；（2）∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DEC，在△ADF和△DEC中，，∴△ADF≌△DEC（ASA），∵∠CDE＝∠DAC，∠DCA＝∠DCF，∴△ADC∽△DFC，∴，∴CD2＝CF•CA，∴AF2＝CF•CA．10．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BA，∠ABD＝∠C＝60°，在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE（SAS）；（2）4对，分别是△BDF∽△BEC，△DBF∽△DAB，△AFE∽△ACD，△AFE∽△BAE，选择证明△AEF∽△BEA，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BA，∠C＝∠BAE＝60°，AC＝BC，∵BD＝CE，∴AE＝CD，∴△ACD≌△BAE（SAS），∴∠DAC＝∠ABE，又∵∠AEF＝∠BEA，∴△AEF∽△BEA．11．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB．又∵∠DAE＝∠F，∴∠AEB＝∠F．∴△ABE∽△ECF；（2）解：∵△ABE∽△ECF，∴＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝8．CD＝AB＝5，∴EC＝BC﹣BE＝8﹣2＝6．∴＝．∴CF＝，∴FD＝CD+CF＝12．证明：（1）∵CE∥AB，∴∠BAD＝∠CED、∠ABD＝∠ECD，∴△ABD∽△ECD；（2）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAC，又∵∠BAD＝∠CED，∴∠CEA＝∠CAE，∴CA＝CE，∵△ABD∽△ECD，∴＝，∴＝．13．证明：（1）∵∠ABP+∠BAP+∠APB＝180°，∠APB+∠BAC＝180°，∴∠ABP+∠BAP+∠APB＝∠APB+∠BAC，即∠ABP+∠BAP+∠APB＝∠APB+∠BAP+∠CAP，∴∠ABP＝∠CAP，又∵∠APB＝∠APC，∴△PAB∽△PCA．（2）如图1中，∵∠APB+∠BAC＝180°，∠APB＝120°，∴∠BAC＝60°，在△ABC中，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴，又∵△PAB∽△PCA，∴，∴，即．（3）∵∠BAC＝45°，∠APB+∠BAC＝180°，∠APB＝∠APC，∴∠APB＝∠APC＝135°．∴∠BPC＝360°﹣∠APB﹣∠APC＝360°﹣135°﹣135°＝90°，∵△PCA∽△PAB，∴，∴．①如图2中，当△ABC是等腰三角形，且AB＝AC时，．②如图3中，当△ABC是等腰三角形，且AB＝BC时，∠ACB＝∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，易得，∴．③如图10﹣4，当△ABC是等腰三角形，且AC＝BC时，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠ACB＝90°，易得，∴．14．解：（1）∵四边形ACDE和四边形BCFG都为正方形，∴AC＝DC，∠ACD＝∠BCD＝90°，BC＝CF，在△AFC和△DBC中，，∴△AFC≌△DBC（SAS）．∴AF＝BD．（2）∵△AFC≌△DBC，∴∠CAF＝∠CDB，∵CD∥BG，∴∠CDB＝∠MBG，∴∠CAF＝∠MBG，∵∠ACF＝∠BGM＝90°，∴△BGM∽△ACF，∴，∵BG＝GF＝FC，∴＝，∵＝，∴AN＝FC，在△AEN和△CAF中，∴△AEN≌△CAF（SAS），∴∠ENA＝∠AFC，∵∠FAC+∠AFC＝90°，∴∠FAC+∠ENA＝90°，∴∠AHN＝90°，∴AF⊥EN．15．证明：（1）∵AB＝AC，AM为BC边的中线，∴∠BAC＝2∠BAM，∵＝，∠ADB＝∠CDE，∴△ADB∽△CDE，∴∠BAC＝∠ECD，∴∠ECD＝2∠BAM；（2）如图，连接CF，∵AB＝AC，AM为BC边的中线，∴AM是BC的垂直平分线，∴BF＝CF，且AB＝AC，AF＝AF，∵△ABF≌△ACF（SSS）∴∠ABF＝∠ACF，由（1）可知：△ADB∽△CDE，∴∠ABF＝∠E，∴∠ACF＝∠E，且∠EFC＝∠DFC，∴△DCF∽△CEF，∴，且BF＝CF，∴BF2＝DF•EF，∴BF是DF和EF的比例中项．。

三轮压轴专题：《二次函数与三角形相似》1．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+n与x轴，y轴分别交于点B，点C，抛物线y＝ax2+bx+（a≠0）过B，C两点，且交x轴于另一点A（﹣2，0），连接AC．（1）求抛物线的表达式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，且点P的横坐标为m，请用含m的代数式表示点P到直线BC的距离；（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）点C（0，），则直线y＝﹣x+n＝﹣x+，则点B（3，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣3）（x+2）＝a（x2﹣x﹣6），故﹣6a＝，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+…①；（2）过点P作y轴的平行线交BC于点G，作PH⊥BC于点H，则∠HPG＝∠CBA＝α，tan∠CBA＝＝＝tanα，则cosα＝，设点P（m，﹣m2+m+），则点G（m，﹣m+），则PH＝PG cosα＝（﹣m2+m++m﹣）＝﹣m2+m；（3）①当点Q在x轴上方时，则点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC全等，此时点Q与点C关于函数对称轴对称，则点Q（1，）；②当点Q在x轴下方时，（Ⅰ）当∠BAQ＝∠CAB时，△QAB∽△BAC，则＝，由勾股定理得：AC＝，AQ＝＝＝10，过点Q作QH⊥x轴于点H，由△HAQ∽△OAC得：＝＝，∵OC＝，AQ＝10，∴QH＝6，则AH＝8，OH＝8﹣2＝6，∴Q（6，﹣6）；该点在抛物线上；根据点的对称性，当点Q在第三象限时，符合条件的点Q（﹣5，﹣6）；故点Q的坐标为：（6，﹣6）或（﹣5，﹣6）；（Ⅱ）当∠BAQ＝∠CBA时，则直线AQ∥BC，直线BC表达式中的k为：﹣，则直线AQ的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，联立①②并解得：x＝5或﹣2（舍去﹣2），故点Q（5，﹣），＝，而＝，故≠，即Q，A，B为顶点的三角形与△ABC不相似，故舍去，Q的对称点（﹣4，﹣）同样也舍去，即点Q的为：（﹣4，﹣）、（5，﹣）均不符合题意，都舍去；综上，点Q的坐标为：（1，）或（6，﹣6）或（﹣5，﹣6）．2．如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）设点M（m，0）为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①求PN的最大值；②若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，请直接写出点M的坐标．解：（1）直线y＝﹣x+c交于点A（3，0），与y轴交于点B，∴0＝﹣2+c，解得c＝2，∴B（0，2），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，将点A、B的坐标代入抛物线表达式并解得：y＝﹣x2+x+2；（2）①M（m，0），则P（m，），N（m，﹣m2+m+2），∴PN＝﹣m2+m+2﹣＝﹣m2+4m（0≤m≤3）；当m＝时，线段PN有最大值为3；②由（1）可知直线解析式为y＝﹣x+2，∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∴PM＝﹣m+2，AM＝3﹣m，PN＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°，当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为2，∴﹣m2+m+2＝2，解得m＝0（舍去）或m＝，∴M（，0）；当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，则∠NBC+∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，∵∠NBP＝90°，∴∠NBC+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BNC，∴Rt△NCB∽Rt△BOA，，∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，∴M（，0）；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（，0）或（，0）．3．已知抛物线y＝x2+ax+b与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）填空：a＝﹣4 b＝ 3 ；（2）如图1，已知E（，0），过点E的直线与抛物线交于点M、N，且点M、N关于点E对称，求直线MN的解析式；（3）如图2，已知D（0，1），P是第一象限内抛物线上一点，作PH⊥y轴于点H，若△PHD与△BDO相似，请求出点P的横坐标．解：（1）抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3…①，故答案为：﹣4，3；（2）设点M、N的横坐标为m，n，直线MN的表达式为：y＝k（x﹣）…②，联立①②并整理得：x2﹣（4+k）x+（3﹣k），则m+n＝4+k，点M、N关于点E对称，则y M+y N＝km﹣k+kn﹣k＝k（m+n）﹣5k＝0，即（4+k）k﹣5k＝0，解得：k＝0（舍去）或1，故直线MN的表达式为：y＝x﹣；（3）设点P（m，m2﹣4m+3），则PH＝m，HD＝|m2﹣4m+3﹣1|，而OB＝3，OD＝1，则tan∠DOB＝，若△PHD与△BDO相似，则tan∠HPD＝或4，即＝或4，即＝或4，解得：m＝或或．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+1相交于点A（0，1）和点B（3，﹣2），交x轴于点C，顶点为点F，点D是该抛物线上一点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，若点D在直线AB上方的抛物线上，求△DAB的面积最大时点D的坐标；（3）如图2，若点D在对称轴左侧的抛物线上，且点E（1，t）是射线CF上一点，当以C、B、D为顶点的三角形与△CAE相似时，求所有满足条件的t的值．解：（1）将点A（0，1）和点B（3，﹣2）代入抛物物线y＝﹣x2+bx+c中得，解得∴y＝﹣x2+2x+1（2）如图1所示：过点D作DM∥y轴交AB于点M，设D（a，﹣a2+2a+1），则M（a，﹣a+1）．∴DM＝﹣a2+2a+1﹣（﹣a+1）＝﹣a2+3a∴∵有最大值，当时，此时图1（3）∵OA＝OC，如图2，CF∥y轴，∴∠ACE＝∠ACO＝45°，∴△BCD中必有一个内角为45°，由题意可知，∠BCD不可能为45°，①若∠CBD＝45°，则BD∥x轴，∴点D与点B于抛物线的対称轴直线x＝1対称，设BD与直线＝1交于点H，则H（1，﹣2）B（3，﹣2），D（﹣1，﹣2）此时△BCD是等腰直角三角形，因此△ACE也是等腰直角三角形，（i）当∠AEC＝90°时，得到AE＝CE＝1，∴E（1.1），得到t＝1（ii）当∠CAE＝90时，得到：AC＝AE＝，∴CE＝2，∴E（1.2），得到t＝2图2②若∠CDB＝45°，如图3，①中的情况是其中一种，答案同上以点H为圆心，HB为半径作圆，则点B、C、D都在圆H上，设圆H与对称左侧的物线交于另一点D1，则∠CD1B＝∠CDB＝45°（同弧所对的圆周角相等），即D1也符合题意设由HD1＝DH＝2解得n1＝﹣1（含去），n2＝3（舍去），（舍去），∴，则，（i）若△ACE∽△CD1B，则，即，解得（舍去）（ii）△ACE∽△BD1C则，即，解得（舍去）综上所述：所有满足条件的t的值为t＝1或t＝2或或图35．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为直线BD上方抛物线上一点，若S△PBD＝3，请求出点P的坐标．（3）如图3，M为线段AB上的一点，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，请求出点M的坐标．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将点B（3，0）代入得，（3﹣1）2×a+4＝0．解得：a＝﹣1．∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3．（2）过点P作PQ∥y轴交DB于点Q，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3∴D（0，3）．设直线BD的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+3．设P（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．∵S△PBD＝S△PQD+S△PQB，∴S△PBD＝（3﹣m）＝PQ＝﹣m，∵S△PBD＝3，∴﹣m＝3．解得：m1＝1，m2＝2．∴点P的坐标为（1，4）或（2，3）．（3）∵B（3，0），D（0，3），∴BD＝＝3，设M（a，0），∵MN∥BD，∴△AMN∽△ABD，∴，即．∴MN＝（1+a），DM＝＝，∵△DNM∽△BMD，∴，∴DM2＝BD•MN．∴9+a2＝3（1+a）．解得：a＝或a＝3（舍去）．∴点M的坐标为（，0）．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与直线BC交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|BM﹣CM|的值最大，求出点M的坐标；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，直接写出点E的坐标．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵抛物线对称轴是线段AB的垂直平分线，∴AM＝BM，由三角形的三边关系，|BM﹣CM|＝|AM﹣CM|＜AC，∴点A、C、M三点共线时，|BM﹣CM|最大，设直线AC的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣3x+3，又∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，∴x＝2时，y＝﹣3×2+3＝﹣3，故，点M的坐标为（2，﹣3）；（3））∵OB＝OC＝3，OB⊥OC，∴△BOC是等腰直角三角形，∵EF∥y轴，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∴△DEF只要是直角三角形即可与△BOC相似，∵D（2，1），A（1，0），B（3，0），∴点D垂直平分AB且到点AB的距离等于AB，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠ADB＝90°，如图，①点F是直角顶点时，点F的纵坐标与点D的纵坐标相同，是1，∴x2﹣4x+3＝1，整理得x2﹣4x+2＝0，解得x＝2±，当x＝2﹣时，y＝﹣（2﹣）+3＝1+，当x＝2+时，y＝﹣（2+）+3＝1﹣，∴点E1（2﹣，1+）E2（2+，1﹣），②点D是直角顶点时，易求直线AD的解析式为y＝x﹣1，联立，解得，，当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，当x＝4时，y＝﹣4+3＝﹣1，∴点E3（1，2），E4（4，﹣1），综上所述，存在点E1（2﹣，1+）或E2（2+，1﹣）或E3（1，2）或E4（4，﹣1），使以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似．7．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C 关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线1交抛物线于点Q．（1）求点A、点B、点C的坐标；（2）当点P在线段OB上运动时，直线1交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；（3）点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）抛物线y＝﹣x2+x+2，当x＝0时，y＝2，因此点C（0，2），当y＝0时，即：﹣x2+x+2＝0，解得x1＝4，x2＝﹣1，因此点A（﹣1，0），B （4，0），故：A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；（2）∵点D与点C关于x轴对称，∴点D（0，﹣2），CD＝4，设直线BD的关系式为y＝kx+b，把D（0，﹣2），B（4，0）代入得，，解得，k＝，b＝﹣2，∴直线BD的关系式为y＝x﹣2，设M（m，m﹣2），Q（m，﹣m2+m+2），∴QM＝﹣m2+m+2﹣m+2＝﹣m2+m+4，当QM＝CD时，四边形CQMD是平行四边形；∴﹣m2+m+4＝4，解得m1＝0（舍去），m2＝2，答：m＝2时，四边形CQMD是平行四边形；（3）在Rt△BOD中，OD＝2，OB＝4，因此OB＝2OD，①若∠MBQ＝90°时，如图1所示，当△QBM∽△BOD时，QP＝2PB，设点P的横坐标为x，则QP＝﹣x2+x+2，PB＝4﹣x，于是﹣x2+x+2＝2（4﹣x），解得，x1＝3，x2＝4（舍去），当x＝3时，PB＝4﹣3＝1，∴PQ＝2PB＝2，∴点Q的坐标为（3，2）；②若∠MQB＝90°时，如图2所示，此时点P、Q与点A重合，∴Q（﹣1，0）；③由于点M在直线BD上，因此∠QMB≠90°，这种情况不存在△QBM∽△BOD．综上所述，点P在线段AB上运动过程中，存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似，点Q（3，2）或（﹣1，0）．8．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴相交于点B、C，经过点B、C的抛物线y＝﹣+bx+c与x轴的另一个交点为A．（1）求出抛物线表达式，并求出点A坐标．（2）已知点D在抛物线上，且横坐标为3，求出△BCD的面积；（3）点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q．是否存在点P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由已知可求B（6，0），C（0，4），将点B（6，0），C（0，4）代入y＝﹣+bx+c，则有，解得，∴y＝﹣x2+x+4，令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，解得x＝﹣1或x＝6，∴A（﹣1，0）；（2）∵点D在抛物线上，且横坐标为3，∴D（3，8），过点D作y轴的垂线交于点E，过点B作BF⊥DE交ED的延长线于点F；∴E（0，8），F（6，8），∴S△BCD＝S梯形ECBF﹣S△CDE﹣S△BFD＝（EC+BF）×OB﹣×EC×ED﹣×DF×BF ＝×（4+8）×6﹣×4×3﹣×3×8＝36﹣6﹣12＝18；（3）设P（m，﹣m2+m+4），∵PQ垂直于x轴，∴Q（m，0），且∠PQO＝90°，∵∠COB＝90°，∴点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似有两种情况：①△PAQ∽△CBO时，＝＝，∴＝，解得m＝5或m＝﹣1，∵点P是直线BC上方的抛物线上，∴0≤m≤6，∴m＝5，∴P（5，4）；②△PAQ∽△BCO时，＝＝，∴＝，解得m＝﹣1或m＝，∵点P是直线BC上方的抛物线上，∴0≤m≤6，∴m＝，∴P（，）；综上所述：P（5，4）或P（，）时，点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似．9．如图，抛物线y＝﹣+bx+c过点A（3，0）和B（0，2），点M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是MN的中点，则求点P的坐标；（3）若以点B、N、P为顶点的三角形与△AMP相似，请直接写出点P的坐标．解：（1）抛物线经过点A（3，0），B（0，2），∴，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）∵B（0，2），∴可设直线AB的解析式为y＝kx+2，将点A（3，0）代入y＝kx+2，得，3k+2＝0，∴k＝﹣，∴直线AB的解析式为，由M（m，0），设，，则，，点P是MN的中点，即NP＝PM，∴，解得（舍），∴；（3）∵∠APM＝∠NPB，∴若以点B、N、P为顶点的三角形与△AMP相似，则存在△AMP∽△NBP和△AMP∽△BNP两种情况，如图，过点P作PH∥x轴交y轴于H，则△BHP∽△BOA，∴＝，∵OA＝3，PH＝m，BA＝＝，∴BP＝m，∴AP＝AB﹣BP＝﹣m＝，①当△AMP∽△NBP时，＝，∴＝，解得，m1＝3（舍去），m2＝，∴P1（，）；②当△AMP∽△BNP时，＝，∴＝，解得，m1＝3（舍去），m2＝，∴P2（，）；∴点P的坐标为（，）或（，）．10．如图，抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝﹣x+3交于A、B两点，交x轴于D、C 两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（3，0）．（1）抛物线的函数关系式为y＝x2﹣x+3 ，tan∠BAC＝；（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位的速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到点A 后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？（3）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出所有符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）将A（0，3），C（3，0）代入y＝x2+mx+n，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3；联立，解得或，∴点B的坐标为（4，1），如图1，过点B作BH⊥x轴于H，∵C（3，0），B（4，1），∴BH＝1，OC＝3，CH＝4﹣3＝1，∴BH＝CH＝1，∵∠BHC＝90°，∴∠BCH＝45°，BC＝，同理，∠ACO＝45°，AC＝3，∴∠ACB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴tan∠BAC＝＝＝，故答案为：y＝x2﹣x+3，；（2）如图2，过A作射线AF∥x轴，过D作射线DF∥y轴，DF与AC交于点E，∵A（0，3），C（3，0），∴可设直线AC的解析式为y＝kx+3，将点C（3，0）代入y＝kx+3，得3k+3＝0，∴k＝﹣1，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠ACO＝45°，∵AF∥OC，∴∠FAE＝45°，∴EF＝AE•sin45°＝AE，∴当且仅当AF⊥DF时，DE+EF取最小值，点M在整个运动中用时最少，为：t＝+＝DE+AE＝DE+EF，∵在y＝x2﹣x+3中，当y＝0时，x1＝3，x2＝2，∴D（2，0），则E点横坐标为2，将x＝2代入直线y＝﹣x+3，得，y＝1，∴E（2，1）；（3）存在点P，使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA＝90°，设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG＝x，∵PQ⊥PA，∠ACB＝90°，∴∠APQ＝∠ACB＝90°，若点G在点A的下方，①如图3﹣1，当∠PAQ＝∠CAB时，则△PAQ∽△CAB，∵∠PGA＝∠ACB＝90°，∠PAQ＝∠CAB，∴△PGA∽△BCA，∴＝＝，∴AG＝3PG＝3x，则P（x，3﹣3x），把P（x，3﹣3x）代入y＝x2﹣x+3，得x2﹣x+3＝3﹣3x，解得，x1＝0（舍去），x2＝﹣1（舍去）；②如图3﹣2，当∠PAQ＝∠CBA时，则△PAQ∽△CBA，同理可得，AG＝PG＝x，则P（x，3﹣x），把P（x，3﹣x）代入y＝x2﹣x+3，得x2﹣x+3＝3﹣x，解得，x1＝0（舍去），x2＝，∴P（，）；若点G在点A的上方，①如图3﹣3，当∠PAQ＝∠CBA时，则△PAQ∽△CBA，同理可得，AG＝PG＝x，则P（x，3+x），把P（x，3+x）代入y＝x2﹣x+3，得x2﹣x+3＝3+x，解得，x1＝0（舍去），x2＝，∴P（，）；②如图3﹣4，当∠PAQ＝∠CAB时，则△PAQ∽△CAB，同理可得，AG＝3PG＝3x，则P（x，3+3x），把P（x，3+3x）代入y＝x2﹣x+3，得x2﹣x+3＝3+3x，解得，x1＝0（舍去），x2＝11，∴P（11，36），综上所述，满足条件的点P的坐标为（，），（，），（11，36）．11．如图已知直线y＝x+与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点C（0，﹣），交x轴正半轴于D点，抛物线的顶点为M．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求△PAB的面积及点P的坐标；（3）若点Q为x轴上一动点，点N在抛物线上且位于其对称轴右侧，当△QMN与△MAD相似时，求N点的坐标．解：（1）将点B（4，m）代入y＝x+，∴m＝，将点A（﹣1，0），B（4，），C（0，﹣）代入y＝ax2+bx+c，解得a＝，b＝﹣1，c＝﹣，∴函数解析式为y＝x2﹣x﹣；（2）设P（n，n2﹣n﹣），则经过点P且与直线y＝x+垂直的直线解析式为y＝﹣2x+n2+n﹣，直线y＝x+与其垂线的交点G（n2+n﹣，n2+n+），∴GP＝（﹣n2+3n+4），当n＝时，GP最大，此时△PAB的面积最大，∴P（，），∵AB＝，PG＝，∴△PAB的面积＝××＝；（3）∵M（1，﹣2），A（﹣1，0），D（3，0），∴AM＝2，AB＝4，MD＝2，∴△MAD是等腰直角三角形，∵△QMN与△MAD相似，∴△QMN是等腰直角三角形，设N（t，t2﹣t﹣）①如图1，当MQ⊥QN时，N（3，0）；②如图2，当QN⊥MN时，过点N作NR⊥x轴，过点M作MS⊥RN交于点S，∵QN＝MN，∠QNM＝90°，∴△MNS≌△NMS（AAS）∴t﹣1＝﹣t2+t+，∴t＝±，∴t＞1，∴t＝，∴N（，1﹣）；③如图3，当QN⊥MQ时，过点Q作x轴的垂线，过点N作NS∥x轴，过点N作NR ∥x轴，与过M点的垂线分别交于点S、R；∵QN＝MQ，∠MQN＝90°，∴△MQR≌△QNS（AAS），∴SQ＝QR＝2，∴t+2＝1+t2﹣t﹣，∴t＝5，∴N（5，6）；④如图4，当MN⊥NQ时，过点M作MR⊥x轴，过点Q作QS⊥x轴，过点N作x轴的平行线，与两垂线交于点R、S；∵QN＝MN，∠MNQ＝90°，∴△MNR≌△NQS（AAS），∴SQ＝RN，∴t2﹣t﹣＝t﹣1，∴t＝2±，∵t＞1，∴t＝2+，∴N（2+，1+）；综上所述：N（3，0）或N（2+，1+）或N（5，6）或N（，1﹣）．12．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD 相切，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM与△BQC相似？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）∵A（﹣1，0），B（3，0）．代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得b＝2，c＝3．∴抛物线对应二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作CF⊥DQ于点F．∴PE⊥CD，PE＝PA．由y＝﹣x2+2x+3，得对称轴为直线x＝1，C（0，3）、D（1，4）．∴DF＝4﹣3＝1，CF＝1，∴DF＝CF，∴△DCF为等腰直角三角形．∴∠CDF＝45°，∴∠EDP＝∠EPD＝45°，∴DE＝EP，∴△DEP为等腰三角形．设P（1，m），∴EP2＝（4﹣m）2．在△APQ中，∠PQA＝90°，∴AP2＝AQ2+PQ2＝[1﹣（﹣1）]2+m2∴（4﹣m）2＝[1﹣（﹣1）]2+m2．整理，得m2+8m﹣8＝0解得，m＝﹣4±2．∴点P的坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．（3）存在点M，使得△DCM∽△BQC．如图2，连结CQ、CB、CM，∵C（0，3），OB＝3，∠COB＝90°，∴△COB为等腰直角三角形，∴∠CBQ＝45°，BC＝3．由（2）可知，∠CDM＝45°，CD＝，∴∠CBQ＝∠CDM．∴△DCM与△BQC相似有两种情况．当时，∴，解得DM＝．∴QM＝DQ﹣DM＝4﹣＝．∴M1（1，）．当时，∴，解得DM＝3，∴QM＝DQ﹣DM＝4﹣3＝1．∴M2（1，1）．综上，点M的坐标为或（1，1）．13．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为点D．（1）抛物线的表达式及顶点D的坐标．（2）若点F是线段AD上一个动点，①如图1，当FC+FO的值最小时，求点F的坐标；②如图2，以点A，F，O为顶点的三角形能否与△ABC相似？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，函数的对称轴为：x＝﹣1，故顶点D的坐标为：（﹣1，4）；（2）①点D的坐标为：（﹣1，4），点A（﹣3，0），点C（0，3），作点O关于直线AD的对称轴R，连接CR交AD于点F，则点F为所求点，FC+FO＝FC+RF＝CR为最小，连接AR，设直线OR交AD于点H，由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝2x+6，则tan∠DAO＝2＝tanα，设∠HOA＝∠β，则tanβ＝，则cosβ＝，sinβ＝，OH＝AO•cosβ＝，OR＝2OH＝，y R＝OR sinβ＝，同理x R＝﹣，故点R（﹣，），由点R、C的坐标得，直线RC的表达式为：y＝x+3…②，联立①②并解得：x＝﹣，y＝，则点F（﹣，）；②在Rt△ACD中，tan∠CAD＝＝＝，在Rt△OBC中，tan∠OCB＝＝，∴∠ACD＝∠OCB，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∴∠FAO＝∠ACB，若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑：当∠AOF＝∠ABC时，△AOF∽△CBA，∴OF∥BC，设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B、C的坐标代入上式并解得：直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，∴直线OF的解析式为y＝﹣3x，直线AD的解析式为y＝2x+6，联立直线OF、AD的表达式并解得：x＝﹣，故点F（﹣，）；当∠AOF＝∠CAB＝45°时，△AOF∽△CAB，∵∠CAB＝45°，∴OF⊥AC，∴直线OF的解析式为y＝﹣x，将上式与y＝2x+6联立并解得：x＝﹣2，故点F（﹣2，2）；综合以上可得F点的坐标为（﹣，）或（﹣2，2）．14．如图，直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴对折，点A 落到点C处，过点A、B的抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线BC交于点B、D．（1）求直线BD和抛物线的解析式；（2）在直线BD上方的抛物线上求一点E，使△BDE面积最大，求出点E坐标；（3）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由．解：（1）令y＝0，则x＝﹣1，令x＝0，则y＝2，∴点A、B的坐标分别是：A（﹣1，0），B（0，2），根据对折的性质：点C的坐标是：（1，0），设直线BD解析式为y＝kx+b，把B（0，2），C（1，0）代入y＝kx+b，得，解得：k＝﹣2，b＝2，∴直线BD解析式为y＝﹣2x+2，把A（﹣1，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得：b＝1，c＝2，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）解方程组得：和，∴点D坐标为（3，﹣4），作EF∥y轴交直线BD于F设E（x，﹣x2+x+2），F（x，﹣2x+2）∴EF＝（﹣x2+x+2）﹣（﹣2x+2）＝﹣x2+3x，△BDE面积S＝×EF×x D＝×（﹣x2+3x）＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，三角形面积最大，此时，点E的坐标为：；（3）存在．∵点B、C的坐标分别是B（0，2）、C（1，0），∴BO＝2，CO＝1，①如图1所示，当△MON∽△BCO时，∴，即，∴MN＝2ON，设ON＝a，则M（a，2a），将M（a，2a）代入抛物线的解析式y＝﹣x2+x+2得：﹣a2+a+2＝2a，解得：a1＝﹣2（不合题意，舍去），a2＝1，∴点M的坐标为（1，2）；②当△MON∽△CBO时，同理可得：，即，∴MN＝ON，设ON＝b，则M（b，b），将M（b，b）代入抛物线的解析式y＝﹣x2+x+2得：∴，解得：（不合题意，舍去），，∴点M的坐标为（，），∴存在这样的点M（1，2）或．15．如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过A（﹣1，0），B两点，且与y轴交于点C（0，3），抛物线与直线y＝﹣x﹣1交于A，E两点．（1）求抛物线的解析式；（2）坐标轴上是否存在一点Q，使得△AQE是以AE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．（3）P点在x轴上且位于点B的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与△ABE相似，求点P的坐标．解：（1）将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c，得，解得，，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）联立，解得，或，∴E（4，﹣5），如图1，当点Q在x轴上时，设Q（m，0），∵AE为底边，∴QA＝QE，∴QA2＝QE2，即（m+1）2＝52+（m﹣4）2，解得，m＝4，∴Q1（4，0）；当点Q在y轴上时，设Q（0，n），∵AE为底边，∴QA＝QE，∴QA2＝QE2，即n2+12＝42+（n+5）2，解得，n＝﹣4，∴Q2（0，﹣4）；综上所述，Q1（4，0），Q2（0，﹣4）；（3）如图2，过点E作EH⊥x轴于点H，∵A（﹣1，0），E（4，﹣5），∴AH＝EH＝5，AE＝＝5，∠BAE＝45°，又OB＝OC＝3，∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝＝3，设P（t，0），则BP＝3﹣t，∵∠BAE＝∠ABC＝45°，∴只可能存在△PBC∽△BAE和△PBC∽△EAB两种情况，当△PBC∽△BAE时，，∴＝，∴t＝，∴P1（，0）；当△PBC∽△EAB时，，∴＝，∴t＝﹣，∴P2（﹣，0），综上所述，点P的坐标为（，0）或（﹣，0）．。

2020年九年级中考数学复习专题训练：《相似》综合1．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC＝．（1）写出点B的坐标；（2）在x轴上找一点D，连接BD，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如果点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿AB向点B运动，同时点Q从点D出发，以1cm/秒的速度沿DA向点A运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t．问是否存在这样的t使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由．2．如图1，在△ABC中，D是AB上一点，已知AC＝10，AC2＝AD•AB．（1）当tan A＝，∠ADC＝90°时，求BC的长．（2）如图2，过点C作CE∥AB，且CE＝6，连结DE交BC于点F；①若四边形ADEC是平行四边形，求的值；②设AD＝x，＝y，求y关于x的函数表达式．3．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝，点P为对角线BD上异于点B、D的一个动点，联结A、P，将△APB沿AP所在的直线翻折，使得点B落在点E的位置（1）当∠DPA＝45°时，求点E到直线AB的距离．（2）联结AE交BD于F，求当△EPF和△ABD相似时，线段BP的长．（3）当∠DPE＝30°时，请直接写出此时△ABP的面积．4．阅读下列材料，完成任务：自相似图形定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．任务：（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为；（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．则△ACD与△ABC的相似比为；则△BCD与△ABC的相似比为；（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD＝a，宽AB＝b（a＞b）．①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a＝（用含b的式子表示）：②如图3﹣2，若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a＝（用含n，b的式子表示）．5．在矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b，点E为对角线AC上一点，连接DE，以DE为边，作矩形DEFG，点F在边BC上；（1）观察猜想：如图1，当a＝b时，＝，∠ACG＝；（2）类比探究：如图2，当a≠b时，求的值（用含a、b的式子表示）及∠ACG的度数；（3）拓展应用：如图3，当a＝6，b＝8，且DF⊥AC，垂足为H，求CG的长．6．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D．（1）求证：△ABF∽△BEC；（2）若AD＝5，AB＝8，sin∠D＝，求AF的长．7．已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC．在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ＝30°．（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP＝3，求线段PC的长；（2）当点P在射线BA上时，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果△QCE与△BCP相似，求线段BP的长．8．如图，在△ABC中，AD是角平分线，E是AB上一点，且AE＝AC，连接DE，过点C作CG∥DE交AD于点F，交AB于点G，连接EF．（1）求证：四边形DCFE是菱形．（2）求证：AC2＝AB•AG．（3）若AB＝4AG，求的值．9．定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形．（1）判断下列命题是真命题，还是假命题？①正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形．③如图1，若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED．（2）如图2，菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点．①求AE，DE的长；②AC，BD交于点O，求tan∠DBC的值．10．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在线段BC上从点B开始向点C运动，速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t（秒），且0＜t＜8．连接PA，将△ABP沿直线AP 折叠，点B落在点B′处，点M在线段CD上，将△PCM沿直线PM折叠，点C的对应点C′恰好落在直线PB′上．（1）求证：△ABP∽△PCM；（2）当t＝4时，求MC的长；（3）连接AM，当AM＝4时，请直接写出t的值．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝5．一把三角尺的直角顶点P在线段AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边始终经过点C，另一直角边与射线AB交于点E．（1）证明△DPC∽△AEP．（2）当∠CPD＝30°时，求AE的长（3）当点E在线段AB上时，求PD的取值范围．12．△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D是平面内不与点A和点B重合的一点，连接DB，将线段DB 绕点D 顺时针旋转α得到线段DE ，连接AE 、BE 、CD ． （1）如图①，点D 与点A 在直线BC 的两侧，α＝60°时，的值是 ；直线AE与直线CD 相交所成的锐角的度数是 度；（2）如图②，点D 与点A 在直线BC 两侧，α＝90°时，求的值及直线AE 与直线CD 相交所成的锐角∠AMC 的度数；（3）当α＝90°，点D 在直线AB 的上方，S △ABD ＝S △ABC ，请直接写出当点C 、D 、E 在同一直线上时，的值．13．如图，已知菱形AFCE 中，过C 作CD ⊥AE 于点D ，交对角线EF 于点G ． （1）如果G 为OE 中点，求证：GO 2＝DG •GC ； （2）若＝，△DGE 的面积是2，求S △CGF 和S △CGO ；（3）若＝x ，＝y ，求y 关于x 的函数表达式．14．阅读下列材料，并完成相应任务：黄金分割天文学家开普勒把黄金分割称为神圣分割，并指出毕达哥拉斯定理（勾股定理）和黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠宝，历史上最早正式在书中使用“黄金分割”这个名称的是欧姆，19世纪以后“黄金分割”的说法逐渐流行起来，黄金分割被广泛应用于建筑等领域．黄金分割指把一条线段分为两部分，使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比，该比值为，用下面的方法（如图①）就可以作出已知线段AB的黄金分割点H：①以线段AB为边作正方形ABCD，②取AD的中点E，连接EB，③延长DA到F，使EF＝EB，④以线段AF为边作正方形AFGH，点H就是线段AB的黄金分割点．以下是证明点H就是线段AB的黄金分割点的部分过程：证明：设正方形ABCD的边长为1，则AB＝AD＝1，∵E为AD中点，∴AE＝，∴在Rt△BAE中，BE＝∵EF＝BE∴EF＝∴AF＝EF﹣AE＝，…任务：（1）补全题中的证明过程；（2）如图②，点C为线段AB的黄金分割点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连接BD、BE．求证：△EAB∽△BCD；（3）如图③，在正五边形ABCDE中，对角线AD、AC与EB分别交于点M、N，求证：点M 是AD的黄金分割点．15．如图，点D是线段BC的中点，射线DA⊥BC，连结AB、AC；点E是线段AC的中点，点P是线段BC上的动点．（1）当∠APE＝∠B时，求证：①△ABP∽△PCE；②2EC2＝BP•PC．（2）点F是线段AB的中点，连结PF，当点P与点D重合时：①若BC＝4，四边形PEAF的面积为8，则AD＝．②当∠BAC＝时，四边形PEAF是正方形．16．如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE，交AC于H点，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于F，连接EF交于AC于点G．（1）请写出AE和CF的数量关系：；（2）求证：点G是EF的中点；（3）若正方形ABCD的边长为4，且AE＝1，求GH•GA的值．17．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A 重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）观察猜想：线段EF与线段EG的数量关系是；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a、BC＝b，求的值．18．如图，△ABC中，AD⊥BC，E是AD边上一点，连接BE，过点D作DF⊥BE，垂足为F，且AE•DF＝EF•CD，联结AF、CF，CF与边AD交于点O．求证：（1）∠EAF＝∠DCF；（2）AF•BD＝AC•DF．19．已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，连接BD，CD，CE．（1）如图1所示，线段BD与CE的数量关系是，位置关系是．（2）在图1中，若点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接PM，PN，MN，请判断△PMN的形状，并说明理由；（3）如图2所示，若M、N、P分别为DE、BC、DC上的点，且满足，BD ＝6，连接PM，PN，MN，则线段MN长度是多少？20．（1）问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，填空：的值为；∠AMB的度数为，（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M，请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由．参考答案1．解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，∴＝，即＝，解得，BC＝3，∴点B的坐标为（1，3）；（2）如图1，作BD⊥BA交x轴于点D，则∠ACB＝∠ABD＝90°，又∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，∴＝，在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，∴＝，解得，AD＝，则OD＝AD﹣AO＝，∴点D的坐标为（，0）；（3）存在，由题意得，AP＝2t，AQ＝﹣t，当PQ⊥AB时，PQ∥BD，∴△APQ∽△ABD，∴＝，即＝，解得，t＝，当PQ⊥AD时，∠AQP＝∠ABD，∠A＝∠A，∴△AQP∽△ABD，∴＝，即＝，解得，t＝，综上所述，当t＝s或s时，△APQ与△ADB相似．2．解：（1）∵tan A＝，∠ADC＝90°，∴＝，∴设CD＝3a，AD＝4a，∴AC＝＝＝5a＝10，∴a＝2，∴CD＝6，AD＝8，∵AC2＝AD•AB，∴，且∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∵AC2＝AD•AB，∴100＝8•AB，∴AB＝，∴BD＝∴BC＝＝＝；（2）①∵四边形ADEC是平行四边形，∴AD＝CE＝6，DE∥AC，∵AC＝10，AC2＝AD•AB，∴AB＝，∵DE∥AC，∴△BDF∽△BAC，∴＝＝；②∵AC＝10，AD＝x，AC2＝AD•AB，∴AB＝，∵AC2＝AD•AB，∴，且∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴＝＝，∴BC＝，∵CE∥AB，∴，∴∴，∴∴y＝[（）+6]＝﹣x2++．3．解：（1）如图1中，作EH⊥AB于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∵AD＝，AB＝3，∴tan∠ABD＝，∴∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝2，∵∠APD＝45°＝∠ABD+∠PAB，∴∠PAB＝∠PAE＝15°，∴∠EAH＝30°，在Rt△AEH中，∵AE＝AB＝3，∠EAB＝30°，∴EH＝AE＝；（2）如图2﹣1中，作PM⊥AB于M，在AM截取一点N，使得AN＝PN．∵∠E＝∠ABC＝30°，∴当∠EPF＝∠DAB＝90°时，△EPF∽△BAD，∴∠EFP＝∠AFD＝∠ADF＝60°，∴∠DAF＝60°，∠EAB＝30°，∴∠PAB＝∠PAE＝15°，∵AN＝PN，∴∠NAP＝∠NPA＝15°，∴∠PNM＝30°，设PM＝m，则PN＝PB＝2x，MN＝BM＝x，∴2x+2x＝3，∴x＝（﹣1），∴PB＝2x＝（﹣1）．如图2﹣2中，当∠EFP＝∠DAB＝90°，△EFP∽△BAD，∴∠DAF＝30°，∠EAB＝60°，∴∠EAP＝∠PAB＝30°，∴∠PAB＝∠PBA＝30°，∠ADP＝∠DAP＝60°，∴PA＝PD，PA＝PB，∴PD＝PB＝，综上所述，满足条件的PB的值为（﹣1）或．（3）如图3中，作PM⊥AB于M．当∠DPE＝30°时，易知点F与点D重合，此时∠PAE＝∠PAB＝45°，设AM＝PM＝m，则BM＝m，∴m+m＝3，∴m＝（﹣1），∴S＝•AB•PM＝×3×（﹣1）＝（﹣1）．△PAB4．解：（1）∵点H是AD的中点，∴AH＝AD，∵正方形AEOH∽正方形ABCD，∴相似比为：；故答案为：；（2）在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，根据勾股定理得，AB＝5，∴△ACD与△ABC相似的相似比为：，△BCD与△ABC的相似比为：故答案为：，；（3）①∵矩形ABEF∽矩形FECD，∴AF：AB＝AB：AD，即a：b＝b：a，∴a＝b；故答案为：b②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和a，则b：a＝a：b，∴a＝b；故答案为：b5．解：（1）如图1，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵a＝b，∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形，∴∠ACD＝∠DAE＝45°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE．∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；∵四边形ABCD是正方形，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG．∠DAE＝∠DCG＝45°，∴＝1，∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，故答案为：1；90°；（2）如图2，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，则EM∥AB，EN∥AD，四边形EMCN是矩形，∴EM：AB＝CE：AC，EN：AD＝CE：AC，∠MEN＝90°，∴EM：AB＝EN：AD，∴＝＝，∵四边形ABCD、四边形DEFG是矩形，∴∠ADC＝∠DEF＝∠EDG＝90°，∴∠DEN＝∠FEM，∠ADE＝∠CDG，∵∠END＝∠EMF＝90°，∴△DEN∽△FEM，∴＝＝＝，∴△ADE∽△CDG，∴＝＝，∠DAE＝∠DCG，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵∠BAC+∠DAE＝90°，∴∠ACD+∠DCG＝90°，即∠ACG＝90°；（3）∵a＝6，b＝8，∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，∴AC＝＝10，∵DF⊥AC，∴DH＝＝＝，∴CH＝＝＝，∵∠FHC＝∠B＝90°，∠FCH＝∠ACB，∴△CFH∽△CAB，∴＝，即＝，解得：FH＝，∴DF＝DH+FH＝，由（2）得：＝＝＝，设DE＝4x，则EF＝3x，∵∠DEF＝90°，∴DF＝＝5x＝，∴x＝，∴DE＝4x＝6＝DC，∴EH＝CH，∴CE＝2CH＝，∴AE＝AC﹣CE＝10﹣＝，由（2）得：＝＝＝＝，∴CG＝AE＝．6．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，∴∠D+∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC，∵∠AFB+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠D，∴∠C＝∠AFB，∴△ABF∽△BEC；（2）解：∵AE⊥DC，AD＝5，AB＝8，sin∠D＝，∴AE＝4，∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED＝∠BAE＝90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE＝，∵BC＝AD＝5，由（1）得：△ABF∽△BEC，∴，即，解得：AF＝2．7．解：（1）如图1中，作PH⊥BC于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝4，AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∵∠A＝120°，∴∠PBH＝60°，∵PB＝3，∠PHB＝90°，∴BH＝PB•cos60°＝，PH＝PB•sin60°＝，∴CH＝BC﹣BH＝4﹣＝，∴PC＝＝＝．（2）如图1中，作PH⊥BC于H，连接PQ，设PC交BD于O．∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∵∠PCQ＝30°，∴∠PBO＝∠QCO，∵∠POB＝∠QOC，∴△POB∽△QOC，∴＝，∴＝，∵∠POQ＝∠BOC，∴△POQ∽△BOC，∴∠OPQ＝∠OBC＝30°＝∠PCQ，∴PQ＝CQ＝y，∴PC＝y，在Rt△PHB中，BH＝x，PH＝x，∵PC2＝PH2+CH2，∴3y2＝（x）2+（4﹣x）2，∴y＝（0≤x＜8）．（3）①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E．此时∠CQE＝120°，∵∠PBC＝60°，∴△PBC中，不存在角与∠CQE相等，此时△QCE与△BCP不可能相似．②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E．则∠CQE＝∠B＝QBC+∠QCP＝60°＝∠CBP，∵∠PCB＞∠E，∴只可能∠BCP＝∠QCE＝75°，作CF⊥AB于F，则BF＝2，CF＝2，∠PCF＝45°，∴PF＝CF＝2，此时PB＝2+2，③如图4中，当点P在AB的延长线上时，∵△CBE与△CBP相似，∴∠CQE＝∠CBP＝120°，∴∠QCE＝∠CBP＝15°，作CF⊥AB于F．∵∠FCB＝30°，∴∠FCB＝45°，∴BF＝BC＝2，CF＝PF＝2，∴PB＝2﹣2．综上所述，满足条件的PB的值为2+2或2﹣2．8．证明：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，且AE＝AC，AD＝AD，∴△ADE≌△ADC（SAS），∴DE＝CD，∠EDA＝∠ADC，∵CG∥DE，∴∠EDF＝∠CFD，∴∠CFD＝∠ADC，∴CD＝CF＝DE，且CF∥DE，∴四边形DCFE是平行四边形，且DE＝CD，∴四边形DCFE是菱形；（2）∵CG∥DE，∴△AGF∽△AED，∴，∵四边形DCFE是菱形∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABD，∴，∴，且AE＝AC，∴AC2＝AB•AG；（3）∵AC2＝AB•AG，AB＝4AG，∴AC＝2AG，∴AE＝2AG，且AE＝AG+EG，∴AG＝GE，∵CG∥DE，∴．9．解：（1）①正方形是自相似菱形，是真命题；理由如下：如图3所示：∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∴AB＝CD，BE＝CE，∠ABE＝∠DCE＝90°，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴△ABE∽△DCE，∴正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形，是假命题；理由如下：如图4所示：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD，AD∥BC，AB∥CD，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠DCE＝120°，∵点E是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝90°，∴只能△AEB与△DAE相似，∵AB∥CD，∴只能∠B＝∠AED，若∠AED＝∠B＝60°，则∠CED＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴∠CDE＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠CED＝∠CDE，∴CD＝CE，不成立，∴有一个内角为60°的菱形不是自相似菱形；③若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED，是真命题；理由如下：∵∠ABC＝α（0°＜α＜90°），∴∠C＞90°，且∠ABC+∠C＝180°，△ABE与△EDC不能相似，同理△AED与△EDC也不能相似，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE，当∠AED＝∠B时，△ABE∽△DEA，∴若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED；（2）①∵菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点，∴BE＝2，AB＝AD＝4，由（1）③得：△ABE∽△DEA，∴＝＝，∴AE2＝BE•AD＝2×4＝8，∴AE＝2，DE＝＝＝4，②过E作EM⊥AD于M，过D作DN⊥BC于N，如图2所示：则四边形DMEN是矩形，∴DN＝EM，DM＝EN，∠M＝∠N＝90°，设AM＝x，则EN＝DM＝x+4，由勾股定理得：EM2＝DE2﹣DM2＝AE2﹣AM2，即（4）2﹣（x+4）2＝（2）2﹣x2，解得：x＝1，∴AM＝1，EN＝DM＝5，∴DN＝EM＝＝＝，在Rt△BDN中，∵BN＝BE+EN＝2+5＝7，∴tan∠DBC＝＝．10．证明：（1）∵将△ABP沿直线AP折叠，点B落在点B′处，∴∠CPM＝∠C'PM，∵将△PCM沿直线PM折叠，点C的对应点C′恰好落在直线PB′上．∴∠APB＝∠APB'，∵∠APB+∠APB'+∠CPM+∠C'PM＝180°，∴∠CPM+∠APB＝90°，且∠APB+∠PAB＝90°，∴∠CPM＝∠PAB，且∠C＝∠B＝90°，∴△ABP∽△PCM，（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∵t＝4，∴PB＝4，∴PC＝BC﹣PB＝4∵△ABP∽△PCM，∴∴CM＝＝（3）在Rt△ADM中，DM＝＝＝4，∴CM＝CD﹣DM＝2∵△ABP∽△PCM，∴∴∴t＝2或6，11．（1）证明：在△DPC、△AEP中，∠AEP与∠APE互余，∠APE与∠CPD互余，∴∠AEP＝∠CPD，又∵∠A＝∠D＝90°，∴△DPC∽△AEP．（2）解：∵∠CPD＝30°，CD＝AB＝2，∴PC＝2CD＝4，PD＝CD＝2，又∵AD＝5，∴AP＝AD﹣PD＝5﹣2，由（1）得：△DPC∽△AEP，∴＝，即＝，解得：AE＝5﹣6；（3）解：∵△DPC∽△AEP，∴＝，设AP＝a，则＝，解得：AE＝（5﹣a）（0＜a＜5），∵0≤AE≤2，∴0＜a≤1或4≤a＜5；即0＜PD≤1或4≤PD＜5．12．解：（1）如图1，延长AE，CD交于点H，∵将线段DB绕点D顺时针旋转α得到线段DE，∴DE＝BD，∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD＝BE，∠DBE＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABE＝∠CBD，且BE＝BD，AB＝BC，∴△ABE≌△CBD（SAS）∴AE＝CD，∠DCB＝∠BAE，∴＝1，∵∠BAC+∠ACB＝120°，∴∠BAE+∠CAE+∠ACB＝120°，∴∠CAE+∠ACB+∠BCD＝120°∴∠CAE+ACH＝120°，∴∠AHB＝60°，故答案为：1，60．（2）∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴AB＝BC，∠ABC＝45°，∵将线段DB绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，∴DE＝BD，∠BDE＝90°，∴BE＝BD，∠DBE＝45°，∴∠DBE＝∠ABC，∴∠ABE＝∠CBD，且＝，∴△ABE∽△CBD，∴＝，∠BAE＝∠BCD，∵∠BAC+∠ACB＝135°＝∠ACB+∠CAM+∠BAE，∴∠ACB+∠CAM+∠BCD＝∠CAM+∠ACM＝135°，∴∠AMC＝45°；（3）若点D，点A在直线BC两侧，如图3，分别取AC，BC中点G，H，连接GH，∵S△ABD ＝S△ABC，∴点D在直线GH上，∵∠ACB＝∠BDE＝90°，AC＝BC，DE＝BD，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠DEB＝∠DBE＝45°，BE＝BD，∵点G，点H分别是AC，BC的中点，∴GH∥AB，∴∠DHB＝∠ABC＝45°，∵点C、E、D三点共线，∴∠CDB＝90°，且点H是BC中点，∴DH＝CH＝BH，∴∠HCD＝∠HDC，且∠HCD+∠HDC＝∠BHD＝45°，∴∠HCD＝∠HDC＝22.5°，∵∠BED＝∠BCE+∠CBE＝45°，∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，∴BE＝CE＝BD，∴CD＝CE+DE＝（+1）BD，∴＝＝2﹣；若点A，点D在直线BC同侧，如图4，分别取AC，BC中点G，H，连接GH，∵S△ABD ＝S△ABC，∴点D在直线GH上，∵∠ACB＝∠BDE＝90°，AC＝BC，DE＝BD，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠DEB＝∠DBE＝45°，BE＝BD，∵点G，点H分别是AC，BC的中点，∴GH∥AB，∴∠DHC＝∠ABC＝45°，∵点C、E、D三点共线，∴∠CDB＝90°，且点H是BC中点，∴DH＝CH＝BH，∴∠HBD＝∠HDB，且∠HBD+∠HDB＝∠CHD＝45°，∴∠HBD＝∠HDB＝22.5°，∵∠ECB＝67.5°，∠EBC＝∠EBD+∠DBC＝67.5°，∴∠BCE＝∠CBE＝67.5°，∴BE＝CE＝BD，∴CD＝CE﹣DE＝（﹣1）BD，∴＝2+，综上所述：的值为2﹣或2+．13．（1）证明：∵四边形AFE是菱形，∴CE＝AE＝CF，AE∥CF，AC⊥EF，OA＝OC，∴∠COG＝90°，∵CD⊥AE，∴∠EDG＝90°，又∵∠CGO＝∠EGD，∴△COG∽△EDG，∴＝，∴GO•EG＝DG•GC，∵G为OE中点，∴GO＝EG，∴GO2＝DG•GC；（2）解：∵＝，∴AD＝3DE，＝，∴CE＝AE＝4DE，∵AE＝CF，∴＝，∵AE∥CF，∴△DGE∽△CGF，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△CGF ＝16S△DGE＝16×2＝32；∵CD⊥AE，∴CD＝＝＝DE，∴AC＝＝＝2DE，∴OC＝AC＝DE，∴＝，由（1）得：△COG∽△EDG，∴＝（）2＝6，∴S△CGO ＝6S△DGE＝6×2＝12；（3）∵＝x，不妨设DE＝1，则CE＝CF＝AE＝x，AD＝x﹣1，由（1）得：△COG∽△EDG，∴＝（）2＝y，∴y＝OC2，∵AC＝2OC，AC2＝AD2+CD2＝AD2+BE2﹣DE2＝（x﹣1）2+x2﹣12＝2x2﹣2x＝4OC2＝4y，∴y＝x2﹣x，即y关于x的函数表达式为y＝x2﹣x．14．（1）证明：设正方形ABCD的边长为1，则AB＝AD＝1，∵E为AD中点，∴AE＝，∴在Rt△BAE中，BE＝∵EF＝BE∴EF＝∴AF＝EF﹣AE＝，∵四边形AFGH是正方形，∴AH＝AF＝，∴＝＝，∴点H是线段AB的黄金分割点；（2）证明：∵四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形，∴∠EAB＝∠BCD＝90°，AC＝CD＝AE＝DE＝BF，BC＝DF，∵点C为线段AB的黄金分割点，∴＝，∴＝，∴△EAB∽△BCD；（3）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE＝∠AED＝（5﹣2）×180°＝108°，AB＝AE＝DE，∴∠ABE＝∠AEM＝∠DAE＝∠ADE＝（180°﹣108°）＝36°，∵∠DAE＝∠DAE，∠ADE＝∠AEM＝36°，∴△AME∽△AED，∴AE：AD＝AM：AE，∴AE2＝AD•AM，∵AE＝DE＝DM，∴DM2＝AD•AM，∴点M是AD的黄金分割点．15．证明；（1）①∵点D是线段BC的中点，DA⊥BC，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APE+∠CPE，且∠APE＝∠B，∴∠BAP＝∠EPC，且∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCE；②∵点E是线段AC的中点，∴AC＝2EC＝AB∵△ABP∽△PCE，∴，∴AB•EC＝BP•PC，∴2EC2＝BP•PC；（2）①如图，连接EF，∵点E是AC的中点，点F是AB的中点，∴EF∥BC，EF＝BC＝2，∵点E是AC的中点，点F是AB的中点，AD⊥BC，∴FD＝AF＝BF＝AB，AE＝EC＝DE＝AC，且AB＝AC，∴AF＝DF＝AE＝DE，∴四边形PEAF是菱形，∴AD⊥EF∴四边形PEAF的面积＝＝＝8，∴AD＝8故答案为8；②若∠BAC＝90°时，四边形PEAF是正方形，理由如下：∵四边形PEAF是菱形，且∠BAC＝90°，∴四边形PEAF是正方形，故答案为：90°．16．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠EAD＝∠DCB＝∠DCF＝90°，AD＝DC，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDF，∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，故答案为：相等；（2）如右图，过E作EM∥BC交AC于M，∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴，∵EM∥BC，∴∠AEM＝∠B＝90°，∴∠AME＝90°﹣∠EAM＝45°，∴∠AEM＝∠EAM，∴AE＝EM，∵AE＝CF，∴EM＝CF，∵EM∥BC，∴∠MEG＝∠GFC，∠EMG＝∠GCF，∴△EMG≌△FCG（ASA），∴EG＝FG，∴G为EF的中点；（3）由（1）知△DAE≌△DCF，∴DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE，∵∠DEF＝90°，∴∠DEF＝45°，∵∠BAC＝45°，∴∠DEF＝∠BAC，∵∠AGE＝∠AGE，∴△GEH∽△GAE，∴＝，∴EG2＝GH•AG，∵AE＝1，则CF＝1，BF＝5，∴EF＝＝＝，∴．17．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠GAF＝∠BAD，∴∠GAF﹣∠BAF＝∠BAD﹣∠BAF，即∠GAB＝∠FAD，在△GAB和△FAD中，，∴△GAB≌△FAD（ASA），∴AG＝AF，即EF＝EG，故答案为：EF＝EG；（2）成立，证明如下：如图2，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，则EH＝EI，∠HEI＝90°，∵∠GEH+∠HEF＝90°，∠IEF+∠HEF＝90°，∴∠IEF＝∠GEH，在△FEI和△GEH中，，∴△FEI≌△GEH（ASA），∴EF＝EG；（3）如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，则∠MEN＝90°，∴EM∥AB，EN∥AD，∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，∴，，∴，即，∵∠NEF+∠FEM＝∠GEM+∠FEM＝90°，∴∠GEM＝∠FEN，又∠GME＝∠FNE＝90°，∴△GME∽△FNE，∴＝＝．18．证明：（1）∵AD⊥BC，DF⊥BE，∴∠ADB＝∠DFE＝90°，∴∠DBE+∠DEB＝90°，∠DBE+∠BDF＝90°，∴∠BED＝∠BDF，∴∠AEF＝∠CDF，∵AE•DF＝EF•CD，∴＝，又∠AEF＝∠CDF，∴△AEF∽△CDF，∴∠EAF＝∠DCF；（2）∵△AEF∽△CDF，∴∠EFA＝∠DFC，∴∠AFO＝∠EFD＝90°，∵∠DFB＝90°，∴∠BFD＝∠AFC，∵∠EAF＝∠DCF，∠AOF＝∠COD，∴△AOF∽△COD，∴＝，∴＝，又∠ACF＝∠EDF，∴△AOC∽△FOD，∴∠ACF＝∠EDF，∵∠DBE+∠BED＝∠FDE+∠BED＝90°，∴∠DBE＝∠EDF，∴∠ACF＝∠DBE，又∠BFD＝∠AFO，∴△BFD∽△CFA，∴＝，即AF•BD＝AC•DF．19．解：（1）如图1，延长BD交CE于F，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD+∠FBD+∠BCA＝90°，∴∠ACE+∠FBD+∠BCA＝90°，∴∠BFC＝90°，即BD⊥CE，故答案为：BD＝CE；BD⊥CE；（2）△PMN是等腰直角三角形，理由如下：∵点M、P分别为DE、DC的中点，∴MP＝CE，MP∥CE，∴∠MPD＝∠ECD＝∠ECA+∠DCA＝∠ABD+∠DCA，∵点P、N分别为DC、BC的中点，∴NP＝BD，NP∥BD，∴∠NPD＝180°﹣∠BDC＝∠DBC+∠DCB，∴∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝∠ABD+∠DCA+∠DBC+∠DCB＝90°，∵BD＝CE，∴MP＝NP，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）＝，∠MDP＝∠EDC，∴△MDP∽△EDC，MP∥CE，∴＝＝，∴MP＝CE＝2，同理，NP∥BD，NP＝BD＝4，由（2）可知，∠MPN＝90°，∴MN＝＝＝2．20．解：（1）∵∠AOB＝∠COD＝40°，OA＝OB，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，∠OAB+∠OBA＝180°﹣40°＝140°，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS）∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，∴＝1，∠AMB＝180°﹣∠MAH﹣∠HAB﹣∠MBA＝180°﹣∠HAB﹣∠MBA﹣∠DBO＝40°，故答案为：1；40°；（2）∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，即∠AOC＝∠BOD，在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，∴＝tan30°＝，同理，＝，∴＝，∴＝，又∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD，∴＝＝，∠CAO＝∠DBO，∴∠AMB＝180°﹣∠CAO﹣∠OAB﹣∠MBA＝180°﹣∠HAB﹣∠MBA﹣∠DBO＝90°，∴＝，∠AMB＝90°．。

相似一.选择题1.如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB=AD ，CD=AB ，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O 为位似中心，相似比为31，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（ ）A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)3．如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是 ( )A ．13 B ．23 C ．34 D ．454．如图所示，△ABC 中，DE ∥BC ，若，则下列结论中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2015•甘肃武威,第9题3分）如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，DE ∥AC ，若S △BDE ：S △CDE =1：3，则S △DOE ：S △AOC 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6.如图，在△ABC 中，AB=CB ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ．过点C 作CF ∥AB ，在CF 上取一点E ，使DE=CD ，连接AE ．对于下列结论：①AD=DC ；②△CBA ∽△CDE ；③=；④AE 为⊙O 的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（ ）A ． ①②B ． ①②③C ． ①④D ． ①②④7.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是（ ）A ． ∠ABP=∠CB ．∠APB=∠ABC C ．=D ．=10. 如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为l ：2，∠OCD=90°，CO=CD.若B(1，0)，则点C[中国^的坐标为( )A.(1,2)B.(1,1)C.(2, 2)D.(2,1)11.如图，在ABC ∆中，BC DE //，6=AD ，3=DB ，4=AE ,则EC 的长为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）412.如图，∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和D 、E 、F ．已知，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．13.如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1、l 2这与三条平行线分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF 的长为（ ）A． 4 B． 5 C． 6 D． 814．如图，在矩形ABCD中，AB=10 , BC=5 ．若点M、N分别是线段AC AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（）A． 10 B． 8 C． 53 D． 615.若，则的值为（）A．1 B． C． D．16.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC．点D是线段AB上的一点，连结CD，过点B 作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF．给出以下四个结论：①；②若点D是AB的中点，则AF=AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若，则．其中正确的结论序号是（）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④17.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 8考点：平行线分线段成比例；菱形的判定与性质；作图—基本作图．.分析：根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF ∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF，根据平行线分线段成比例定理得出=，代入求出即可．解答：解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF，∴∠EAD=∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EDA=∠CAD，∴DE∥AC，同理DF∥AE，∴四边形AEDF是菱形，∴AE=DE=DF=AF，∵AF=4，∴AE=DE=DF=AF=4，∵DE∥AC，∴=，∵BD=6，AE=4，CD=3，∴=，∴BE=8，故选D．点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．……依次顺延18．（2015•甘肃兰州,第5题，4分）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2），D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为（5，0），则点A的坐标为A.（2，5）B.（2.5，5）C. （3，5）D.（3，6）【答案】B【考点解剖】本题考查了坐标和相似的有关知识【思路点拔】根据题意：AO:CO=BO:DO=5:2，而位似中心恰好是坐标原点O，所以点A的横、纵坐标都是点C横、纵坐标的2.5倍，因此选B。

2020年中考数学专题 相似三角形综合（含答案）一、单选题（共有10道小题）1.如图，在△ABC 中，∠ACB= 90，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 是AB 的中点，CD=DE=a ，则AB 的长为（ ）A ．2aB ．a 22C ．3aD ． 2.根据下列条件，△ABC 和△111C B A 不相似的是（）A.∠A=68°，∠B=40°，∠A 1=68°，∠B 1=72°B.∠B=∠B 1，BC=2，BC:A 1 B 1= A B: B 1C 1C.AB=1，BC=2， CA=1.5，A 1 B 1=4， B 1 C 1 =8，D.AB=12，BC=15，CA=24，A 1 B 1=24，A 1 B 1=20，B 1 C 1 =25，A 1 C 1=32 3.用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心（ ） A.只能选在原图形的外部B.只能选在原图形的内部C.只能选在原形的边上D.可以选择任意位置4.如图，AB ，CD 都是BD 的垂线，AB=4，CD=6，BD=14。

P 是BD 上一点，连接AP ，CP ，所得两个三角形相似，则BP 的长是（ ）A.2B.5.6C.12D.上述都有可能5.如图，是一束平行的光线从教室窗户射入教室的示意图，测得光线与地面所成的角∠AMC=30°，窗户的高在教室地面上的影长MN=32m ，窗户的下沿到教室地面的距离BC=1m （点M ，N ，CC 在同一直线上），则窗户的高CAA B CD a 3346.如图，在□ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于点E ，交BD 于点F ，DE:EA=3:4，EF=3，则CD 的长为（ ）A.4B.7C.3D.127.如图1，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD:DB = 3:5，那么CF ∶CB 等于（ ） A. 5:8 B. 3:8 C. 3:5 D.8.如图，如果点C 是线段AB 的黄金分割点（AC>BC ），则下列比例式正确的是（ ）A.AB ACAC BC= B.AB BC BC AC = C. AC BC BC AB = D. AC ABAB BC=9.如图，P 为平行四边形ABCD 的边AD 上的一点，E 、F 分别为PB ，PC 的中点，△PEF ，△PDC ，△PAB 的面积分别为12,,S S S ，若3S =，则12S S +的值为（）A.24B.12C.6D.3 10.如图，在□ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF:FC 等于（ ） A.3:2 B.3:1 C.1:1 D.1:2 二、填空题（共有8道小题）11.如图，梯形ABCD 的对角线相交于O ，G 是BD 的中点．若AD = 3，BC = 9，则GOBG=A B C DE F A B C P A BCDE F E F A B CD12.如图，平行四边形中，是边上的点，交于点，如果， 那么 ．13.如图，正五边形ABCDE 与五边形A ’B ’C ’D ’E ’是位似图形，且相似比为21。