随机过程例题

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。

解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。

解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。

解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。

2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。

试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。

设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。

以小时为单位。

则((1))30E N =。

40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。

3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。

乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。

习题一1. 某战士有两支枪，射击某目标时命中率分别为0.9及0.5，若随机地用一支枪，射击一发子弹后发现命中目标，问此枪是哪一支的概率分别为多大？2. 设随机变量X 的概率密度为f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧≤>+0012x x x A求：（1）常数A; (2)分布函数F （x ）；（3）随机变量Y ＝lnX 的分布函数及概率分布。

3. 设随机变量（X, Y ）的概率密度为 f (x , y) = Asin (x + y ), 0≤x ,y ≤2π 求：(1) 常数A ；（2）数学期望EX ，EY ； （3） 方差DX ，DY ；(4) 协方差及相关系数。

4. 设随机变量X 服从指数分布⎩⎨⎧<≥=-0)(x x ke x f kx()0>k 求特征函数)(x ϕ,并求数学期望和方差。

5. 设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为λ1 和λ2的泊松分布，试用特征函数求Z = X ＋Y 随机变量的概率分布。

6．一名矿工陷进一个三扇门的矿井中。

第一扇门通到一个隧道，走两小时后他可到达安全区。

第二扇门通到又一隧道，走三个小时会使他回到这矿井中。

第三扇门通到另一隧道，走五个小时后，仍会使他回到这矿井中。

假定矿井中漆黑一团，这矿工总是等可能地在三扇门中选择一扇，让我们计算矿工到达安全区的时间X 的矩母函数。

7． 设 （X ， Y ） 的分布密度为（1） ⎩⎨⎧<<<<=其他，,010,10xy 4),(y x y x φ（2）⎩⎨⎧<<<<=其他，,010,10xy 8),(y x y x φ问X ，Y 是否相互独立？8. 设（X ，Y ）的联合分布密度为问： （1）α， β取何值时X ，Y 不相关； （2）α，β取何值时相互独立。

习题二１．设有两个随机变量X 、Ｙ相互独立，它们的概率度分别为)(x f X 和)(y f Y ，定义如下随机过程：Yt X t Z +=)(，R t ∈试求)(t Z 的均值函数)(t m 和相关函数),(21t t R 。

随机过程习题及部分解答习题一1. 若随机过程()(),X t X t At t =-∞<<+∞为，式中A 为（0，1）上均匀分布的随机变量，求X (t )的一维概率密度(;)X P x t 。

2. 设随机过程()cos(),X t A t t R ωθ=+∈，其中振幅A 及角频率ω均为常数，相位θ是在[,]ππ-上服从均匀分布的随机变量，求X (t )的一维分布。

习题二1. 若随机过程X (t )为X (t )=At t -∞<<+∞，式中A 为（0,1）上均匀分布的随机变量，求12[()],(,)X E X t R t t2. 给定一随机过程X (t )和常数a ，试以X (t )的相关函数表示随机过程()()()Y t X t a X t =+-的自相关函数。

3. 已知随机过程X (t )的均值M X (t )和协方差函数12(,),()X C i t t ϕ是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+的均值和协方差函数。

4. 设()cos sin X t A at B at =+，其中A ，B 是相互独立且服从同一高斯（正态）分布2(0,)N σ的随机变量，a 为常数，试求X (t )的值与相关函数。

习题三1. 试证3.1节均方收敛的性质。

2. 证明：若(),;(),X t t T Y t t T ∈∈均方可微，a ,b 为任意常数，则()()aX t bY t +也是均方可微，且有[()()]()()aX t bY t aX t bY t '''+=+3. 证明：若(),X t t T ∈均方可微，()f t 是普通的可微函数，则()()f t X t 均方可微且[()()]()()()()f t X t f t X t f t X t '''=+4. 证明：设()[,]X t a b 在上均方可微，且()[,]X t a b '在上均方连续，则有()()()b aX t dt X b X a '=-⎰5. 证明，设(),[,];(),[,]X t t T a b Y t t T a b ∈=∈=为两个随机过程，且在T 上均方可积，αβ和为常数，则有[()()]()()b b baaaX t Y t dt X t dt Y t dt αβαβ+=+⎰⎰⎰()()(),b c baacaX t dt X t dt X t dt a c b =+⎰⎰⎰≤≤6. 求随机微分方程()()()[0,](0)0X t aX t Y t t X '+=∈+∞⎧⎨=⎩的()X t 数学期望[()]E X t 。

随机过程例题例1 求正态随机变量),0(~2σN X 的特征函数和各阶矩。

解：),0(~2σN X 的概率密度函数为+∞<<∞-=-x x f x ,e 21)(222σσπ2j 2j 2222ed e e 21d e )()(ωσωσωσπω-∞∞--∞∞-===Φ⎰⎰x x x f x x x⎩⎨⎧-⨯⨯⨯⨯=Φ-==为偶数（为奇数n n n X E n n X n nn,)1531 ,0d )(d )j ()(0σωωω例2 设随机变量X 服从标准正态分布N(0, 1)，定义随机变量Y = X2，求Y 的概率密度函数和数学期望。

解：X 的概率密度为：y -x y x h(y) = x ， x = g(x) =y 112==，，Y 的概率密度函数为：0 ,e 212)(2)(d d )()(2≥=-+==-y y yy f y y f y xx f y yπψY 的数学期望为：1d e2d )()(02===⎰⎰∞-∞+∞-y y y y y Y E y πψ1d e 2d )()()]([)(222====⎰⎰∞+∞--∞+∞-x x x x f x g X g E Y E x π例3 已知随机相位正弦波 ）Θ +t cos( a = (t) X ω)，其中 a >0，ω为常数，Θ 为在），（π20内均匀分布的随机变量。

求随机过程} ) (0, t (t),X {∞∈的均值函数)t (m X 和相关函数 t)(s,R X解：f ()(,cos 2)](cos[2),(0)(22s t a s t a t s R t m X X -==-==τωτω 例4 设 X (t) 为信号过程，Y (t) 为噪声过程，令W (t) = X (t) + Y (t)，则 W (t) 的均值函数为：)()()(t m t m t m Y X W +=),(R ),(R ),(R ),(R ),(R t s t s t s t s t s Y YX XY X W +++=例5 求在[0, 1]区间均匀分布的独立随机序列的均值向量、自相关阵和协方差阵，设N = 3。

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。

解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。

解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。

解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。

2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。

试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。

设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。

以小时为单位。

则((1))30E N =。

40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。

3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。

乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。

1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。

2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为1λ的同一指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 Γ 分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为 (n)n P P = 。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为(n)j i ij i Ip (n)p p ∈=⋅∑ 。

8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。

10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。

二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。

1．为it(e-1)e λ。

2． 1(sin(t+1)-sin t)2ωω。

3． 1λ4． Γ 5． 212t,t,;e,e 33⎧⎫⎨⎬⎩⎭。

6．(n)nP P =。

1，若从t=0开始每隔0.5秒抛一枚均匀的硬币作试验，定义随机过程X(t)={cosπt,t时刻抛得正面2t, t时刻抛得反面求：（1）X(t)的一维分布函数F(12;x)和F(1;x)（2）X(t)的二维分布函数F(0.5,1;x1,x2)（2）X(t)的均值函数μx(t)和方差函数σX2(t)解：硬币出现正、反面得概率均为1/2F(0.5,1;x1,x2 )=F(0.5;x1)F(1;x2)={0,x1<0或x2<−112,0≤x1≤1或x2≥2或x1≥1，−1≤x2<214，0≤x1<1，−1≤x2<21，x1≥1，x2≥22，设为参数为σ2的维纳过程, 求积分过程的均值函数和相关函数。

解：设，由与的对称性维纳过程是均方连续, 均方不可导, 均方可积的二阶矩过程.假设乘客按照参数为λ的poisson过程来到一个火车站乘坐某次列车，若火车在时刻t启程，试求在[0，t]内到达车站乘坐该次列车的乘客等待时间总和的数学期望。

设在时间间隔[0，τ]内到达的乘客数为，则时间间隔[0，t]内乘客的总等待时间为某人备有r把伞用于上下班. 如果一天的开始他在家(一天的结束他在办公室)中而且天下雨,只要有伞可取到,他将拿一把到办公室(家)中. 若天不下雨那么他不带伞.假设每天的开始(结束)下雨的概率为p,且与之前下不下雨独立.(1)定义一个有r+1个状态的Markov链并确定转移概率;(2)计算极限分布;(3)这人被雨淋湿的平均次数,所占比率是多少(称天下雨而全部伞却在另一边为被淋湿)?设{Xn}为此人在第n天身边拥有的雨伞数,则I={0, 1,2,…,r},注意到下雨才用伞,而每天的开始下不下雨与之前独立,即知为Markov链.该链的一步转移概率为:于是计算极限分布的状态方程，记显然处于的极限状态才可能被淋湿,但每天的开始(结束)下雨的概率为p, 所以此人被雨淋湿的平均次数,所占比率即被淋湿的概率为某一个只有一名理发师的理发部，至多容纳4名顾客。

以下是一个关于通信原理中随机过程的例题：
题目：已知随机过程X(t) 的自相关函数为R(τ) = ρδ(τ) + (1 -ρ)δ(τ- T)，其中ρ是常数，T 是时间周期。

求该随机过程的功率谱密度P(ω)。

解：首先，我们需要知道自相关函数和功率谱密度之间的关系。

对于一个随机过程X(t)，其功率谱密度P(ω) 是其自相关函数R(τ) 的傅里叶变换。

根据傅里叶变换的性质，对于函数f(t)，其傅里叶变换为F(ω) = ∫f(t)e^(-iωt) dt。

对于给定的自相关函数R(τ)，我们可以将其拆分为两部分：ρδ(τ) 和(1 -ρ)δ(τ- T)。

对于ρδ(τ)，其傅里叶变换为ρ/2π。

对于(1 -ρ)δ(τ- T)，其傅里叶变换为(1 -ρ)e^(-iωT)/2π。

因此，整个随机过程的傅里叶变换为：
P(ω) = ρ/2π+ (1 -ρ)e^(-iωT)/2π
这就是该随机过程的功率谱密度P(ω)。

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。

解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。

解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。

解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。

2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。

试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。

设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。

以小时为单位。

则((1))30E N =。

40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。

3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。

乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。