随机过程复习题
一、填空题:
1.对于随机变量序列}{n X 和常数a ,若对于任意0>ε,有
______}|{|lim =<-∞
>-εa X P n n ,则称}{n X 依概率收敛于a 。
2.设}),({0≥t t X 是泊松过程,且对于任意0
12
≥>t t , ,则
15
92}6)5(,4)3(,2)1({-??=
===e
X X X P ,
6
18}4)3(|6)5({-===e
X X P
15
3
2
6
2
3
2
92!
23
!
2)23(!
23
}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({}
6)5(,4)3(,2)1({----??=?
??
==-=-=-==-=-=-====e
e
e
e
X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P
6
6
2
18!
26
}2)3()5({}4)3(|6)5({--==
=-===e
e
X X P X X P
3.已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ,初始分布为),,(4
1
2141,
?????
?
??
?
?????
???
?=434
10313131
04341
1)(P ,则167)2(12
=P ,16
1}2,2,1{210=
===X X X P
????????
?
?????
????=48
3148
1348
436133616367164167165)1()2(2
P P 16
7)2(12=
P
16
1314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{}
2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P
4.强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5.已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ,
)]()([)(π?δπ?δπω-++=X S
6. 对于平稳过程)(t X ,若)()()(ττX R t X t X >=+<,以概率1成立,则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。
7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2
3)(2
4
2++=
ωωω
ωS ,则)(t X 的均方值
=
212
1-
222
22
2
11221)2(2
221
1
1
22
)(+??-+??
=
+-
+=
ωωωωωS τ
τ
τ---
=
e
e
R X 2
12
1)(2
)(t X 的均方值2
12
1)0()(2-
=
=ψX X
R τ
8. 随机相位过程),cos()(Θω+=t a t X 其中ω,a 为常数,Θ为)
,(π20上服从均匀分布的随机变量,则
)(>= ?ττcos 2 )()(2 a t X t X >= +< 9.设马尔可夫链},2,1,0,{ =n X n 的状态空间}1,0{=I ,则一步转 移概率矩阵为?? ?? ??=9.01 .01.09 .0P ,初始分布为)31,32()0(=p ,则2X 的分布律为 )300 118, 300 182( )2(=P ,0354.0)0,1,1(432====X X X P ?? ? ? ??==82.018 .018.082.0)2(2 P P )300118 ,300182( 82.018.018.082 .0)31,32()2()0()2(=?? ?? ??==P p p 0354 .01.09.0300 118)1|0()1|1()1()1,1|0()1|1()1() 0,1,1(34232324232432=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 10.设...) 2,1,0(=n X n 是只有两个状态的齐次马氏链,其n 步转移概率 矩阵为 ???? ? ? ? ? -=n n n n D C n P 21311)(,则n n n n D C 2 113 1- = = 13.设μ=)(X E ,2)(σ=X D ,则由切比雪夫不等式 ____ )|(|≥<-σμ3X P ; 14.随机变量序列 n X X X ,,21独立同分布,且 2 σ μ==)(,)(i i X D X E >0 2,1=i ,则对任意实数,x ________ }{lim =≤-∑=∞ →x n n X P n i i n σ μ 1 二、计算与证明: 1.设任意相继两天中,雨天转晴天的概率为31 ,晴天转雨天的概率 为2 1 ,任一天晴或雨是互为逆事件,以0表示晴天状态,以1表示雨 天状态,n X 表示第n 天的状态(0或1)。 (1) 写出马氏链},{1≥n X n 的一步转移概率矩阵; (2) 在5月1日为晴天的条件下,5月3日为晴天;5月5日为雨 天的概率各是多少?; 解:}1,0{=I , (1)???? ??????=313 1 212 1 )1(P (2) ??? ? ? ?????=1811187 12712 5)2(P , 125)2()0|0(0013====p X X P ??? ? ? ?? ???=648389648259432259432 173)4(P , 432259)4()0|0(0115====p X X P 2.设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为??? ? ? ? ?=3/23 /103/203 /103/23 /1P ,证明此链具有遍历性,并求其平稳分布。 解:???? ? ? ?==9/69 /29/19/49/49 /19/49/29/3)1()2(2 P P 由于)2(P 中不含有零元,故此链具有遍历性。 解方程组P ππ=和1=∑i π,即???????? ?=+++ =+=+=1 3 23 2313231313 2 1 3 2 33 12 2 11ππππ π πππππππ 解得74 ,7 2,7 13 21== =πππ,故平稳分布为)7 4 ,72,71(=π。 3.将2个红球4个白球任意地放入甲、乙两个盒子中,每个盒子中放3个,现从每个盒子中各取一球,交换后放回盒中,以)(n X 表示经过n 次交换后甲盒子中的红球数,则}0),({≥n n X 是一齐次马尔可 夫链,试求:(1)求初始分布;(2)求一步转移概率矩阵;(3)证明 }0),({≥n n X 是遍历链。 解:(1) }2,1,0{=I 51)0(3 6 340= ==C C X P , 5 3)1(36 1 2240= = =C C C X P , 51 )2(3 6 2 2140== =C C C X P , 故初始分布)51 ,53,51()0(=p 。 (2) ?? ?? ? ? ?=3/13 /209/29/59 /203/23 /1)1(P (3) ??????? ? ? ?==27727 1627 48116814981162742716277)1()2(2 P P , 由于)2(P 中不含有零元,故此链具有遍历性。 4.设t B t A t X 00sin cos )(ω+ω=,0ω是常数,A 与B 为相互独立的随机变量,且)1,0(~N A ,)1,0(~N B (1)证明)(t X 是平稳过程; (2)证明)(t X 均值具有各态历经性; (3) 求)(t X 的平均功率。 解:(1) 10==DA EA 10 ==DB EB 1)(1)(2 2 2 2 =+==+=EB DB EB EA DA EA A 与B 相互独立,0))(()(==EB EA AB E ) (0sin cos )sin ()cos ()(0000常数=+=+=tEB tEA t B E t A E t EX ???? 有关) (只与ττ?τ??τ??τ??τ??τ??τ??τ??τ??τ??τ??τ??τ??τ?τ???τ000002 002 0000002 002 000000002 002 0000cos ) (sin sin )(cos cos )(sin sin )(cos cos )()](cos sin )(sin [cos )(sin sin )(cos cos )](cos sin [)](sin cos [)](sin sin [)](cos cos [)]}(sin )(cos ][sin cos {[)] ()([=+++=+++=++++ +++=+++++++=++++=+t t t t EB t t EA t t AB E t t t t EB t t EA t t t t AB E t t AB E t t B E t t A E t B t A t B t A E t X t X E 故)(t X 是平稳过程 (2))(0sin cos 21lim )(00t EX tdt B t A T t X T T T ==+>= -+∞ →?? 故)(t X 均值具有各态历经性 (3)1)0(2 ==ψX X R 5.随机过程t Y t X t Z cos sin )(+=,其中Y X ,为独立同分布的随机变量, 它们的分布律为: (1) 证明)(t Z 为平稳过程;(2)证明)(t Z 的均值具有各态历经性. 解:(1) 20 ==DX EX 20 ==DY EY X 与Y 相互独立,0))(()(==EY EX XY E (0cos sin )cos ()sin ()(常数 =+=+=tEY tEX t Y E t X E t EZ 有关) (只与τττττcos 2)]}cos()sin(][cos sin {[)] ()([=++++=+t Y t X t Y t X E t Z t Z E 故)(t Z 是平稳过程 (2) ) (02sin 2lim cos sin 21lim )(t EZ T T Y tdt Y t X T t Z T T T T ===+>=<+∞ →-+∞ →? 故)(t Z 均值具有各态历经性 6.设有随机过程)sin()cos()(t B t A t X ππ+=,其中A 与B 独立且都是均值为零,方差为2 σ的正态随机变量,求(1))1(X 和)4 1 (X 的概率 密度;(2)问)(t X 是否是平稳过程? 解:(1) ),0(~cos )1(2 σπN A A X -== 2 2221)(σ σ πx e x f -= ),0(~2) (4sin 4cos )41 (2 σπ πN B A B A X +=+= 2 2221)(σ σ πx e x f - = (2))(0)(常数=t EX )(cos )()(2 有关只与τπτστ=+t X t EX 故)(t X 是平稳过程 7.设)cos()(Θπ+=t A t X ,A 为随机变量,具有瑞利分布,其密度 函数为 ?? ???≤>=-0 004 8 2 x x e x x f x )(,Θ是),(π20上服从均匀分布与A 相互 独立的随机变量,问)(t X 是否是平稳过程? 解: )2,0(~πU Θ 其密度函数为 ?? ? ??∈=其它 0)2,0(21)(ππ x x f )(021) cos()cos()(20 常数=+?=Θ+?=? θπ θπππd t EA t E EA t EX 有关) (只与τπτπτπππτππτcos 4))cos(()cos()] )cos(()cos([)] ()([2 =Θ++Θ+?=Θ++?Θ+=+t t E EA t A t A E t X t X E 8 8) 8 (80 4 8 2 8 8 2 8 2 8 2 2 2 2 2 2 2 =∞+-=- -∞+-=-= = - -∞ +- - ∞ +- ∞ +? ? ? x x x x x e x d e e x de x dx e x x EA 其中 πτ π πτπθ πτθπτππθ π θπτπθππτπππ π cos 2 12cos 41)]cos()22[cos(2 12121)cos()cos())cos(()cos(20 20 = ?=-+++=? +++=Θ++Θ+? ? d t d t t t t E 8.设)(t X 是平稳过程,令)()()(a t X a t X t Y --+=,a 为常数,试证: (1))()()()(a R a R R R X X X Y 222--+-=ττττ; (2))(sin )()(ωωωa S S X Y 2 4=。 解:)]()([)(ττ+=t Y t Y E R Y ) ()2()2()()]()([)]()([)] ()([)]()([)]}()()][()({[ττττττττττX X X X R a R a R R a t X a t X E a t X a t X E a t X a t X E a t X a t X E a t X a t X a t X a t X E ++---=-+-+++---++-+++=-+-++--+= )2()2()(2a R a R R X X X --+-=τττ τ ττ ττττ τττ??τ ?τ ?τ ?τ d e a R d e a R d e R d e a R a R R S i X i X i X i X X X Y -∞ +∞ --∞ +∞ --∞ +∞ --+∞ ∞ --- +- =--+-= ? ? ? ? )2()2()(2)]2()2()(2[)( )()(?ττ?τ X i X S d e R =-+∞ ∞-? ) ()()(2)2(22) 2(?τττ?????τ X i a u i X i a a u i X i X S e du e u R e du e u R a u d e a R === +=+-∞ +∞ ---∞ +∞ --+∞ ∞-? ? ? 令 ) ()()(2)2(22) 2(?τττ?????τ X i a v i X i a a v i X i X S e dv e v R e dv e v R a v d e a R --∞ +∞ --+-∞ +∞ --+∞ ∞-=== -=-? ? ? 令 ) (sin )(4)]2cos(1)[(2)()2cos(2)(2) ()()(2)(2 22????????????a S a S S a S S e e S S X X X X X i a i a X Y =-=-=+-=-所以, 随机过程考试试题及答案详解 1、(15分)设随机过程C t R t X +?=)(,),0(∞∈t ,C 为常数,R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 (1)求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数; (2)求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 (1)? ∞ -= x dt t f x F )()(,则)(t f 为密度函数; (2))(t X 为),(b a 上的均匀分布,概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ,分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(,2)(b a x E += ,12)()(2a b x D -=; (3)参数为λ的指数分布,概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ,分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ,λ1)(=x E ,21 )(λ=x D ; (4)2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布,概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ, 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ,若1,0==σμ时,其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 (1)因R 为]1,0[上的均匀分布,C 为常数,故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知, )(t X 为],[t C C +上的均匀分布,因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ,一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(; 1、设随机过程C t R t X +?=)(,),0(∞∈t ,C 为常数,R 服从]1,0[区间上的均匀分布。 (1)求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数; (2)求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 2、设{ }∞<<∞-t t W ),(是参数为2 σ的维纳过程,)4,1(~N R 是正态分布随机变量; 且对任意的∞<<∞-t ,)(t W 与R 均独立。令R t W t X +=)()(,求随机过程 {}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。 3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程,平均每小时有180人,即180=λ;且每个 顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。求一天内(8个小时)商场营业额的数学期望与方差。 4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为: ??? ? ? ??=3.007.08.02.0007.03.0P (1)求两步转移概率矩阵) 2(P 及当初始分布为 0}3{}2{,1}1{000======X P X P X P 时,经两步转移后处于状态2的概率。 (2)求马尔可夫链的平稳分布。 5设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ,转移概率矩阵为: ??? ??? ? ? ? ?=010007.03.0000 0001 00004.06.0003.04 .03.0P 求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 6、设{}(),0N t t ≥是参数为λ的泊松过程,计算[]()()E N t N t s +。 7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以i N 记在i 第层进入电梯的人数。假定i N 相互独立,且i N 是均值为i λ的泊松变量。在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯, 1ij j i p >=∑。令j O =在第j 层离开电梯的人数。 (1)计算()j E O (2)j O 的分布是什么 (3)j O 与k O 的联合分布是什么 8、一质点在1,2,3点上作随机游动。若在时刻t 质点位于这三个点之一,则在),[h t t +内, 它都以概率 )(h o h +分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程,转移概率)(t p j i 及平稳分布。 1有随机过程{ξ(t ),-∞ (1) 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程,其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({,且是一个周期为T 的函数,即0),()(≥=+τττB T B ,求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解:由定义,有: )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D (2) 试证明:如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程,且0)0(=X ,那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明:我们要证明: n t t t <<<≤? 210,有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有: } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此,我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下,)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知,当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时,增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立,由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下,即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知,在11)(--=n n x t X 条件下,)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立,结果成立。 (3) 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值(00=W )的、有平稳增量和独立增量的过程, 且对每个0>t ,),(~2t N W t σμ,问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程,为什么? 解:任取n t t t <<<≤? 210,则有: n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=- 1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为 。 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),- 随机过程习题解答(一) 第一讲作业: 1、设随机向量的两个分量相互独立,且均服从标准正态分布。 (a)分别写出随机变量和的分布密度 (b)试问:与是否独立?说明理由。 解:(a) (b)由于: 因此是服从正态分布的二维随机向量,其协方差矩阵为: 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量,期望和方差分别为和。 (a)试求和的相关系数; (b)与能否不相关?能否有严格线性函数关系?若能,试分别写出条件。 解:(a)利用的独立性,由计算有: (b)当的时候,和线性相关,即 3、设是一个实的均值为零,二阶矩存在的随机过程,其相关函数为 ,且是一个周期为T的函数,即,试求方差 函数。 解:由定义,有: 4、考察两个谐波随机信号和,其中: 式中和为正的常数;是内均匀分布的随机变量,是标准正态分布的随机变量。 (a)求的均值、方差和相关函数; (b)若与独立,求与Y的互相关函数。 解:(a) (b) 第二讲作业: P33/2.解: 其中为整数,为脉宽 从而有一维分布密度: P33/3.解:由周期性及三角关系,有: 反函数,因此有一维分布: P35/4. 解:(1) 其中 由题意可知,的联合概率密度为: 利用变换:,及雅克比行列式: 我们有的联合分布密度为: 因此有: 且V和相互独立独立。 (2)典型样本函数是一条正弦曲线。 (3)给定一时刻,由于独立、服从正态分布,因此也服从正态分布,且 所以。 (4)由于: 所以因此 当时, 当时, 由(1)中的结论,有: P36/7.证明: (1) (2) 由协方差函数的定义,有: P37/10. 解:(1) 当i =j 时;否则 令 ,则有 第三讲作业: P111/7.解: (1)是齐次马氏链。经过次交换后,甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关,和之前的状态和交换次数无关。 (2)由题意,我们有一步转移矩阵: P111/8.解:(1)由马氏链的马氏性,我们有: (2)由齐次马氏链的性质,有: (2) 《随机过程期末考试卷》 1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为 。 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),- 北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项:学生必须将答题内容(包括填空题)做在试题答题纸上,做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号,班内序号! 一. 单项选择题和填空题:(每空3分,共30分) 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A (A )若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; (B )若A A B ∈?A,,则B ∈A ; (C )若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; (D )若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间,P 为定义在其上的有限可加测度,则下面正确的是 .c (A )若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-; (B )若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ,则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==; (C )若A B C ∈∈∈F,F,F,,则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++; (D )若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/,1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数,表达式为100 0()k A k f kI ω==∑,其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=,则fdP Ω=? ; 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),- 求(1){}X(t),t (,)∈-∞+∞的样本函数集合;(2)一维分布函数F(x;0),F(x;1)。 解:(1)样本函数集合为{}cos t,t ,t (-,+)π∈∞∞; (2)当t=0时,{}{}1 P X(0)=0P X(0)=12 == , 故0x<01F(x;0)=0x<12x 11???≤??≥??;同理0 x<-11F(x;1)=1x<12x 11 ??? -≤??≥?? 3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关,而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为α,而今天无雨明天有雨的概率为β;规定有雨天气为状态0,无雨天气为状态1。设 0.7,0.4αβ==,求今天有雨且第四天仍有雨的概率。 解:由题设条件,得一步转移概率矩阵为00 011011p p 0.70.3P=p p 0.40.6???? =? ???? ???,于是(2) 0.610.39P PP=0.520.48??=????,四步转移概率矩阵为(4)(2)(2) 0.57490.4251P P P 0.56680.4332??==???? ,从而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为(4) 00P 0.5749=。 4.一质点在1,2,3三个点上作随机游动,1和3是两个反射壁,当质点处于2时,下一时刻处于1,2,3是等可能的。写出一步转移概率矩阵,判断此链是否具有遍历性,若有,求出极限分布。 解:一步转移概率矩阵010111P=333010????? ????? ?? , 111333 (2)271 199911133 3,????==?????? P P (2)ij p 由>0知,此链有遍历性;(),,ππππ123设极限分布=, 1 1 一.填空题(每空2分,共20分) 1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),- 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩,算得平均分数为80=x 分,样本标准差8=s 分,若全年级的英语成绩服从正态分布,且平均成绩为85分,问:能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异(取显著性水平)?050.=α解:这是单个正态总体),(~2σμN X ,方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题,用T 检验法. 解 85:0=μH ,85:1≠μH 选统计量 n s x T /0μ-=已知80=x ,8=s ,n =28,850=μ,计算得n s x T /0μ-=31.328/88580=-=查t 分布表,05.0=α,自由度27,临界值.052.2)27(025.0=t 由于,故拒绝0H ,即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语 052.2>T 2622.2>成绩为85分.二、某图书馆每分钟借出的图书数有如下记录:借出图书数 k 0 1 2 3 4 5 6≥7频数 f 8 16 17 10 6 2 1 0试检验每分钟内借出的图书数是否服从泊松分布? (取显著性水平) 050.=α解:由极大似然估计得.2?==x λ在X 服从泊松分布的假设下,X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。则有估计 }{k X P ==i p ? ,7,0,!2}{?2===-k k e k X P k =0?p 三、某公司在为期10年内的年利润表如下: 年份 1 2 3 4 5 6 7 8910利润 1.89 2.19 2.06 2.31 2.26 2.39 2.61 2.58 2.82 2.9 通过管线敷设技术,不仅可以解决有设备高中资料试卷相互作用与相互关系,根据生产工艺高中资料试卷要求,对电力保护装置调试技术,电力保护高中资料试卷配置技术是指机 一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为: 试求:在时,求。 解: 当时, = = 1.2 设离散型随机变量X 服从几何分布: 试求的特征函数,并以此求其期望与方差。 解: 所以: 2.1 袋中红球,每隔单位时间从袋中有一个白球,两个任取一球后放回,对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程,其中是常数,与是相互独立的随机变量,服从区间上的均匀 分布,服从瑞利分布,其概率密度为 试证明为宽平稳过程。 解:(1) 与无关 (2) , 所以 (3) 只与时间间隔有关,所以为宽平稳过程。 2.3是随机变量,且,其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求:,.5)(5)(==U D U E .321)方差函数)协方差函数;()均值函数;(( 2.4是其中,设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量,且 数。试求它们的互协方差函 2.5, 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少? 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立,则1小时内平均有多少学生接受过体检?在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少(设学生非常多,医生不会空闲) 解:令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数,则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 300 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ,2λ,当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发;2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来,求(1)1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式;(2)当1N =2N ,1λ=2λ时,计算上述概率。 解: 法一:(1)乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程,令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻,2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1 2 121 2 1 2 2 1 112,12|1221 1122212(,)(|)()exp() exp() (1)! (1)! N N N N N N N N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--== ---- 1 2 2 121 2 1 11221 11222100 12()exp() exp()(1)! (1)! N N t N N N N P T T dt t t t t dt N N λλλλ∞ --<=----?? 一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为: 试求:在时,求。 解: 当时,= = 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布: 试求的特征函数,并以此求其期望与方差。解: 所以: 2.1 袋中红球,每隔单位时间从袋中有一个白球,两个 任取一球后放回,对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程 ,其中 是常数,与是 相互独立的随机变量,服从区间上的均匀分布,服从瑞利分布,其概 率密度为 试证明为宽平稳过程。 解:(1) 与无关 (2) , 所以 (3) 只与时间间隔有关,所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量,且,其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求:,.5)(5)(==U D U E .321)方差函数)协方差函数;()均值函数;(( 2.4是其中,设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量,且 数。试求它们的互协方差函 2.5, 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少? 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立,则1小时内平均有多少学生接受过体检?在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少(设学生非常多,医生不会空闲) 解:令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数,则()N t 为参数为30的poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 30 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ,2λ,当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发;2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来,求(1)1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式;(2)当1N =2N ,1λ=2λ时,计算上述概率。 解: 法一:(1)乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程,令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻,2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明:当12n 0t t t t <<< <<时, 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤,又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤,故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链,状态空间为I ,则对任意整数n 0,1 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意:试卷共七道大题,请写明详细解题过程。 考试方式:半开卷,考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤等编第三版(或第二版)高等教育出版社。可以看笔记、作业,但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期:2009年12月31日 一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩,算得平均分数为80=x 分,样本标准差8=s 分,若全年级的英语成绩服从正态分布,且平均成绩为85分,问:能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异(取显著性水平050.=α)? 解:这是单个正态总体 ),(~2σμN X ,方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题,用T 检验法. 解 85:0=μH ,85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ,8=s ,n =28,850=μ, 计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表,05.0=α,自由度27,临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>,故拒绝 0H ,即在显著水平05.0=α下不能认为 该班的英语成绩为85分. 050.= 解:由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下,X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。 则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p 随机过程复习题 一、填空题: 1.对于随机变量序列}{n X 和常数a ,若对于任意0>ε,有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ,则称}{n X 依概率收敛于a 。 2.设}),({0≥t t X 是泊松过程,且对于任意012≥>t t , ,则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3.已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ,初始分布为),,(4 1 2141, ?????? ?? ????????? ?=434 103 13131043 411)(P ,则167)2(12=P ,161}2,2,1{210====X X X P ???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4.强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5.已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R , )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ,若)()()(ττX R t X t X >=+<,以概率1成立,则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ,则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2 1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程,且它们的均值分别为mx 和my ,它们的自 相关函数分别为Rx()和Ry()。(1)求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数;(2)求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案: (1)[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+= [][] ) ()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++== :独立的性质和利用 (2)[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +?+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质:)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++= 2、 一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2 的高斯白噪声。(1)求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数;(2)求输出信号的一维概率密度函数。 答案: (1) 该系统的系统函数为RCs s X s Y s H +==11)()()( 则频率响应为Ω +=ΩjRC j H 11)( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2 )(0n j P X =Ω 该系统是一个线性移不变系统,所以输出y(t)的功率谱密度函数为: ()2 20212/)()()(Ω+=ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换,就得到输出的自相关函数: ()??∞ ∞-Ω∞ ∞-ΩΩΩ+=ΩΩ=d e RC n d e j P R j j Y Y ττππτ22012/21)(21)( R C 电压:y(t) 电压:x(t) 电流:i(t) 2016随机过程(A )解答 1、(15分)设随机过程V t U t X +?=)(,),0(∞∈t ,U ,V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。 1) 求)(t X 的一维概率密度函数; 2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 3) 求)(t X 的二维概率密度函数; 解: 由于U ,V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量,所以V t U t X +?=)(也服从正态分布, 且: {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==?+=?+=+ {}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==?+=+=+ 故: (1) )(t X 的一维概率密度函数为:()2 22218(1) (),x t t t f x e x --- += -∞≤≤∞ (2) )(t X 的均值函数为:()22m t t =+;相关函数为: {}{} (,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =?=?+??+ {}{}{} 22()13()413 st E U s t E U V E V st s t =?++??+=?++?+ 协方差函数为:(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-?=+ (3)相关系数: (,)s t ρρ== == )(t X 的二维概率密度函数为: 2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x e ρ????-----?? +????-++???????? = 2、(12分)某商店8时开始营业,在8时顾客平均到达率为每小时4人,在12时顾客的 平均到达率线性增长到最高峰每小时80人,从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少?在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少? 解: 到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。 将8时至15时平移到0—7时,则顾客的到达速率函数为: 419,04 ()80,47t t t t λ+≤≤?=? <≤? 在10:00—14:00之间到达商店顾客数(6)(2)X X -服从泊松分布,其均值: 6 4 6 2 2 4 (6)(2)()(419)80282m m t dt t dt dt λ-==++=??? 北京工业大学2007-2008学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试题 标准答案(仅供参考) 一、(10分)已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量(克)服从正态分布 ),(254σN ,在某日生产的零件中抽取10 件,测得重量如下: 54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3 问:该日生产的零件的平均重量是否正常(取显著性水平050.=α)? 解:按题意,要检验的假设是 54:0=μH ,因2σ未知,故用-t 检验法,由05.0=α,查t 分布表得临界 值2622290250.)(.=t ,由样本值算得 382514654.,.==t x 因为26222. 1255804101145701312680122222222 9 2 2 .)()(==++++++++= -=∑ =i i i i np np f χ 查表得919160502 9.).(=χ 因为9191612552..<=χ, 所以接受0H ,认为X 服从 等概率分布. 三、(15分)下表给出了在悬挂不同重量(单位:克)时弹簧的长度(单位:厘米) 求y 关于x 的一元线性回归方程,并进行显著性检验. 取显著性水平050.=α, 计算结果保留三位小数. 346.9,857.16==y x 根据计算结果可得: (1) 回归方程:X Y 1845.0244.6+=∧ ?????? ???? ??? =??-?=-=====??-==?-=244.61845.01187142.6571??1845.0857.454906.83?906.8342.65118717.1186857.4541187 124442x b y a S S b S S xx xy xy xx 于是得最新随机过程考试试题及答案详解1
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