第16课函数与方程

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习专题16 函数的零点与方程的解考点知识1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．常用结论1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(×)(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(×)(4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点．(√)教材改编题1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()答案A解析由图象可知，B，D选项中函数无零点，A，C选项中函数有零点，C选项中函数零点两侧函数值符号相同，A选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A选项中函数零点可以用二分法求近似值，C选项不能用二分法求零点．2．函数y＝3x－ln x的零点所在区间是()A．(3,4) B．(2,3) C．(1,2) D．(0,1) 答案B解析因为函数的定义域为(0，＋∞)，且函数y＝3x在(0，＋∞)上单调递减；y＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，所以函数y＝3x－ln x为定义在(0，＋∞)上的连续减函数，又当x＝2时，y＝32－ln2>0；当x＝3时，y＝1－ln3<0，两函数值异号，所以函数y＝3x－ln x的零点所在区间是(2,3)．3．函数f(x)＝e x＋3x的零点个数是() A．0B．1C．2D．3答案B解析由f′(x)＝e x＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝1e－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．题型一函数零点所在区间的判定例1(1)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是()A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)答案B解析由题意得，f(x)＝ln x＋2x－6，在定义域内单调递增，f(2)＝ln2＋4－6＝ln2－2<0，f(3)＝ln3＋6－6＝ln3>0，则f(2)f(3)<0，∴零点在区间(2,3)上．延伸探究用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1()A．2B．3C．4D．5答案C解析∵开区间(2,3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为12n ，故有12n≤0.1，解得n≥4，∴至少需要操作4次．(2)(2023·蚌埠模拟)已知x1＋12x＝0，x2＋log2x2＝0,33x-－log2x3＝0，则() A．x1<x2<x3B．x2<x1<x3C．x1<x3<x2D．x2<x3<x1答案A解析设函数f (x )＝x ＋2x ，易知f (x )在R 上单调递增，f (－1)＝－12，f (0)＝1，即f (－1)f (0)<0， 由函数零点存在定理可知，－1<x 1<0. 设函数g (x )＝x ＋log 2x ，易知g (x )在(0，＋∞)上单调递增，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12，g (1)＝1，即g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12g (1)<0，由函数零点存在定理可知，12<x 2<1，设函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －log 2x ，易知h (x )在(0，＋∞)上单调递减，h (1)＝13，h (x 3)＝0，因为h (1)>h (x 3)， 由函数单调性可知，x 3>1， 即－1<x 1<0<x 2<1<x 3.思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 跟踪训练1(1)(多选)函数f (x )＝e x －x －2在下列哪个区间内必有零点() A ．(－2，－1) B ．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2) 答案AD解析f(－2)＝1e2>0，f(－1)＝1e－1<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0，因为f(－2)·f(－1)<0，f(1)·f(2)<0，所以f(x)在(－2，－1)和(1,2)内存在零点．(2)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内答案A解析函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a －c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c －b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．题型二函数零点个数的判定例2(1)若函数f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)－log|x|的零点个数是()12A．5B．4C．3D．2答案D解析在同一平面直角坐标系中作出f(x)＝|x|，g(x)＝log|x|的图象如图所示，则y＝12f(x)－log|x|的零点个数，即f(x)与g(x)图象的交点个数，由图可知选D.12(2)已知在R上的函数f(x)满足对于任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，则f(x)＝0在区间[0,2023]上根的个数为()A．404B．405C．406D．203答案C解析因为f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)关于直线x＝2对称且f(5＋x)＝f(－x－1)；因为f(7＋x)＝f(7－x)，故可得f(5＋x)＝f(－x＋9)；故可得f(－x－1)＝f(－x＋9)，则f(x)＝f(x＋10)，故f(x)是以10为周期的函数．又f(x)在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，根据函数对称性可知，f(x)在一个周期[0,10]内也只有两个零点，又区间[0,2023]内包含202个周期，故f(x)在[0,2020]上的零点个数为202×2＝404，又f (x )在(2020,2023]上的零点个数与在(0,3]上的零点个数相同，有2个． 故f (x )在[0,2023]上有406个零点， 即f (x )＝0在区间[0,2023]上有406个根． 思维升华 求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f (x )＝0，方程有多少个解，则f (x )有多少个零点； (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2(1)(2022·泉州模拟)设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎨⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为() A ．3B ．7C ．5D ．6 答案B解析根据题意，令2f 2(x )－3f (x )＋1＝0， 得f (x )＝1或f (x )＝12.作出f (x )的简图如图所示，由图象可得当f (x )＝1和f (x )＝12时，分别有3个和4个交点，故关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为7. (2)函数f (x )＝36－x 2·cos x 的零点个数为______． 答案6解析令36－x 2≥0，解得－6≤x ≤6， ∴f (x )的定义域为[－6,6]．令f (x )＝0得36－x 2＝0或cos x ＝0， 由36－x 2＝0得x ＝±6， 由cos x ＝0得x ＝π2＋k π，k ∈Z ， 又x ∈[－6,6]，∴x 的取值为－3π2，－π2，π2，3π2. 故f (x )共有6个零点． 题型三函数零点的应用 命题点1根据零点个数求参数例3(2023·黄冈模拟)函数f (x )＝⎩⎨⎧4－x 2，x ≤2，log 3(x －1)，x >2，g (x )＝kx －3k ，若函数f (x )与g (x )的图象有三个交点，则实数k 的取值范围为() A ．(22－6,0) B ．(23－6,0) C ．(－2,0) D ．(25－6,0) 答案D解析作出函数f (x )＝⎩⎨⎧4－x 2，x ≤2，log 3(x －1)，x >2的图象，如图所示，设与y ＝4－x 2相切的直线为l ， 且切点为P (x 0,4－x 20)，因为y ′＝－2x ，所以切线的斜率为k ＝－2x 0， 则切线方程为y －4＋x 20＝－2x 0(x －x 0)，因为g (x )＝kx －3k 过定点(3,0)，且在切线l 上， 代入切线方程求得x 0＝3－5或x 0＝3＋5(舍去)， 所以切线的斜率为k ＝25－6，因为函数f (x )与g (x )的图象有三个交点， 由图象知，实数k 的取值范围为(25－6,0)． 命题点2根据函数零点的范围求参数 例4(2023·北京模拟)已知函数f (x )＝3x －1＋axx.若存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43C ．(－∞，0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞答案B解析由f (x )＝3x －1＋axx ＝0，可得a ＝3x －1x，令g (x )＝3x－1x，其中x ∈(－∞，－1)，由于存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围即为函数g (x )在(－∞，－1)上的值域． 由于函数y ＝3x ，y ＝－1x在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g (x )在(－∞，－1)上单调递增． 当x ∈(－∞，－1)时，g (x )＝3x －1x <g (－1)＝3－1＋1＝43，又g (x )＝3x －1x>0，所以函数g (x )在(－∞，－1)上的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.因此实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，43.思维升华 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.跟踪训练3(1)函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是()A ．0<a <3B ．1<a <3C ．1<a <2D ．a ≥2 答案A解析因为函数y ＝2x ，y ＝－2x 在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )＝2x－2x－a 在(0，＋∞)上单调递增，由函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内得，f (1)×f (2)＝(2－2－a )(4－1－a )＝(－a )×(3－a )<0，解得0<a <3.(2)(2023·唐山模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x x ，x >0，x 2＋2x ，x ≤0，若g (x )＝f (x )－a 有3个零点，则实数a 的取值范围为() A ．(－1,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1eC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，1eD.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪{－1}答案B 解析设h (x )＝ln x x(x >0)，则h ′(x )＝1－ln x x2， 令h ′(x )>0，得0<x <e ， 令h ′(x )<0，得x >e ，所以函数h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减． 所以h (x )max ＝h (e)＝1e.因为函数g (x )＝f (x )－a 有3个零点， 所以方程f (x )＝a 有3个解．作出函数y ＝f (x )和y ＝a 的图象如图所示，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，1e .课时精练1．(2022·焦作模拟)设函数f (x )＝2x ＋x3的零点为x 0，则x 0所在的区间是()A ．(－4，－2)B ．(－2，－1)C ．(1,2)D ．(2,4) 答案B解析易知f (x )在R 上单调递增且连续，f (－2)＝14－23<0，f (－1)＝12－13>0，所以x 0∈(－2，－1)．2．用二分法研究函数f (x )＝x 5＋8x 3－1的零点时，第一次经过计算得f (0)<0，f (0.5)>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为() A ．(0,0.5)，f (0.125) B ．(0,0.5)，f (0.375) C ．(0.5,1)，f (0.75) D ．(0,0.5)，f (0.25) 答案D解析因为f (0)f (0.5)<0，由函数零点存在定理知，零点x 0∈(0,0.5)，根据二分法，第二次应计算f ⎝⎛⎭⎪⎫0＋0.52，即f (0.25)． 3．函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x －3，x ≤0，log 2x －3x ＋4，x >0的零点个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4 答案C解析当x ≤0时，令f (x )＝x 2－2x －3＝0， 得x ＝－1(x ＝3舍去)，当x >0时，令f (x )＝0，得log 2x ＝3x －4， 作出y ＝log 2x 与y ＝3x －4的图象，如图所示，由图可知，y ＝log 2x 与y ＝3x －4有两个交点， 所以当x >0时，f (x )＝0有两个零点， 综上，f (x )有3个零点．4．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x＋m 在区间(1,3]上有零点，则实数m 的取值范围为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－53∪(0，＋∞)C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－53∪(0，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，0 答案D解析由于函数y ＝log 2(x ＋1)，y ＝m －1x在区间(1,3]上单调递增，所以函数f (x )在(1,3]上单调递增，由于函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x＋m 在区间(1,3]上有零点，则⎩⎨⎧f (1)<0，f (3)≥0，即⎩⎨⎧m <0，m ＋53≥0，解得－53≤m <0.因此，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，0.5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x，x <0，1＋|x －1|，x ≥0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围是()A ．(1,2]B ．(1,2)C ．(0,1)D ．[1，＋∞) 答案A解析因为函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，所以函数f (x )的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点， 作出函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，1<m ≤2，即m 的取值范围是(1,2]．6．已知函数f (x )＝x －x (x >0)，g (x )＝x ＋e x ，h (x )＝x ＋ln x (x >0)的零点分别为x 1，x 2，x 3，则()A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 2<x 3<x 1D ．x 3<x 1<x 2 答案C解析函数f (x )＝x －x (x >0)，g (x )＝x ＋e x ，h (x )＝x ＋ln x (x >0)的零点，即为y ＝x 与y ＝x (x >0)，y ＝－e x ，y ＝－ln x (x >0)的交点的横坐标，作出y ＝x 与y ＝x (x >0)，y ＝－e x ，y ＝－ln x (x >0)的图象，如图所示．可知x 2<x 3<x 1.7．(多选)函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 的交点个数可能是()A ．1B ．2C ．4D ．6 答案ABC 解析由题意知，f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]， f (x )＝⎩⎨⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π]，在坐标系中画出函数f (x )的图象如图所示．由其图象知，直线y＝k与y＝f(x)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.8．(多选)(2023·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是()A．f(x)＝2x＋x B．f(x)＝x2－x－3C．f(x)＝12x＋1 D．f(x)＝|log2x|－1答案BCD解析选项A，若f(x0)＝x0，则02x＝0，该方程无解，故该函数不是“不动点”函数；选项B，若f(x0)＝x0，则x20－2x0－3＝0，解得x0＝3或x0＝－1，故该函数是“不动点”函数；选项C，若f(x0)＝x0，则12x＋1＝x0，可得x20－3x0＋1＝0，且x0≥1，解得x0＝3＋52，故该函数是“不动点”函数；选项D，若f(x0)＝x0，则|log2x0|－1＝x0，即|log2x|＝x0＋1，作出y ＝|log 2x |与y ＝x ＋1的函数图象，如图，由图可知，方程|log 2x |＝x ＋1有实数根x 0， 即存在x 0，使|log 2x 0|－1＝x 0， 故该函数是“不动点”函数．9．已知指数函数为f (x )＝4x ，则函数y ＝f (x )－2x ＋1的零点为________． 答案1解析由f (x )－2x ＋1＝4x －2x ＋1＝0，得2x (2x －2)＝0，x ＝1.10．(2023·苏州质检)函数f (x )满足以下条件：①f (x )的定义域为R ，其图象是一条连续不断的曲线；②∀x ∈R ，f (x )＝f (－x )；③当x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；④f (x )恰有两个零点，请写出函数f (x )的一个解析式________． 答案f (x )＝x 2－1 (答案不唯一)解析因为∀x ∈R ，f (x )＝f (－x )，所以f (x )是偶函数，因为当x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 因为f (x )恰有两个零点，所以f (x )图象与x 轴只有2个交点，所以函数f (x )的一个解析式可以为f (x )＝x 2－1(答案不唯一)． 11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________． 答案(1，＋∞)解析方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，即f (x )＝－x ＋a 有且只有一个实根， 即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有且只有一个交点．如图，在同一直角坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距．由图可知，当a ≤1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )有两个交点， 当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )只有一个交点． 故实数a 的取值范围是(1，＋∞)．12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|2x－1|，x ≤1，(x －2)2，x >1，函数y ＝f (x )－a 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则123422x x x x ++＝________.答案12解析y ＝f (x )－a 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4， 即方程f (x )＝a 有四个不同的解，即y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有四个交点．在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝a 的图象，如图所示，由二次函数的对称性可得，x 3＋x 4＝4.因为1－12x ＝22x －1，所以12x ＋22x ＝2，故123422x x x x ++＝12.13．已知函数f (x )＝|e x －1|＋1，若函数g (x )＝[f (x )]2＋(a －2)f (x )－2a 有三个零点，则实数a 的取值范围是()A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2) 答案A解析令t ＝f (x )，则函数g (t )＝t 2＋(a －2)t －2a ，由t 2＋(a －2)t －2a ＝0得，t ＝2或t ＝－a .f (x )＝|e x－1|＋1＝⎩⎨⎧e x，x ≥0，2－e x，x <0，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，当t ＝2时，方程f (x )＝|e x －1|＋1＝2有且仅有一个根，则方程f (x )＝|e x －1|＋1＝－a 必有两个不同的实数根，此时由图可知，1<－a <2，即－2<a <－1.14．已知函数f (x )＝x ＋1x－sin x －1，x ∈[－4π，0)∪(0,4π]，则函数f (x )的所有零点之和为________．答案0解析因为函数f (x )＝x ＋1x －sin x －1＝1x－sin x ， 所以f (x )的对称中心是(0,0)，令f (x )＝0，得1x＝sin x ， 在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝1x，y ＝sin x 的图象，如图所示，由图象知，两个函数图象有8个交点，即函数f (x )有8个零点，由对称性可知，零点之和为0.15．(2023·南昌模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝e x －1，若关于x 的方程f (x )＝m (x ＋1)(m >0)恰有5个实数解，则实数m 的取值范围为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫e －16，e －15B.⎝ ⎛⎭⎪⎫e －16，e －14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫e －18，e －16 D ．(0，e －1) 答案B解析∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )关于直线x ＝1对称，又f (x )为定义在R 上的偶函数，∴函数f (x )关于直线x ＝0对称，作出函数y ＝f (x )与直线y ＝m (x ＋1)的图象，如图所示，要使关于x 的方程f (x )＝m (x ＋1)(m >0)恰有5个实数解，则函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m (x ＋1)有5个交点，∴⎩⎨⎧ 6m >e －1，4m <e －1，即e －16<m <e －14. 16．已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”．若f (x )＝32－x －1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为________．答案⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2 解析由题意可知f (2)＝0，且f (x )在R 上单调递减，所以函数f (x )只有一个零点2，由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g (x )＝x 2－a e x 在区间(1,3)上存在零点．由g (x )＝x 2－a e x ＝0，得a ＝x 2e x . 令h (x )＝x 2e x ， 则h ′(x )＝2x －x 2e x ＝x (2－x )e x ，所以h (x )在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且h (1)＝1e ，h (2)＝4e 2， h (3)＝9e 3>1e，要使函数g (x )在区间(1,3)上存在零点， 只需a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2.。

教师日期学生课程编号课型课题椭圆与双曲线教学目标1．理解椭圆的定义，会推导椭圆的标准方程；掌握两种类型的椭圆的标准方程（焦点位于x轴或y 轴）2．掌握椭圆的几何性质和应用3.掌握双曲线的定义和焦距顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程4掌握椭圆的几何性质和应用5.直线被椭圆所截得的弦长公式；与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧；6.在最值、定值等问题中进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想教学重点1．椭圆和双曲线的几何性质和应用；2.直线被椭圆所截得的弦长公式；与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧；3.在最值、定值等问题中进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想教学安排版块时长1 知识梳理152 例题解析503 巩固训练354 师生总结105 课后练习10椭圆与双曲线1．已知点A （2，3）、B （1，5）则直线AB 的倾角为（ ）A.arctan2B.arctan(－2)C.2π+arctan2D. 2π+arctan 21【难度】★ 【答案】D2．下列四个命题中的真命题是（ ）A.经过定点000(,)P x y 的直线都可以用方程00()y y k x x -=-．B.经过任意两个不同的点111222(,),(,)P x y P x y 的直线方程都可以用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示． C.不经过原点的直线方程都可以用方程1x ya b+=表示．D.经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示．【难度】★ 【答案】B3．在ABC ∆中，a 、b 、c 为三内角所对的边长，且C 、B 、A sin lg sin lg sin lg 成等差数列，则直线a A y A x =+sin sin 2和c C y B x =+sin sin 2的位置关系是．【难度】★★【答案】两直线重合4．设),(y x P 为圆1)1(22=-+y x 上任意一点，要使不等式m y x ++≥0恒成立，则m 取值范围是（）A ．m ≥0B ．m ≥12-C ．m ≥12+D ．m ≥21-【难度】★★ 【答案】B5．过圆522=+y x 内点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,25P 有n 条弦，这n 条弦的长度成等差数列{}n a ，如果过P 点的圆的最短的弦长为1a ，最长的弦长为n a ，且公差)31,61(∈d ，那么n 的取值集合为 ．【难度】★★ 【答案】{}7,6,5热身练习一、椭圆1．椭圆定义：平面内到两个定点1F ，2F （12||2F F c =）的距离的和等于常数2(0)a a c >>的 点的轨迹叫做椭圆（ellipse ）．这两个定点1F ，2F 叫做椭圆的焦点（foci of anellipse ），两个焦点的距离12||2F F c =叫做焦距（distance between two foci ）．注意：若设动点为P ，则 （1）当1212||||||PF PF F F +>时，动点P 的轨迹是椭圆． （2）当1212||||||PF PF F F +=时，动点P 的轨迹是线段．（3）当1212||||||PF PF F F +<时，动点P 的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程及性质（Standard equations and properties of ellipse ）：焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程222222201a b x y b c a a b >>⎛⎫+= ⎪+=⎝⎭222222201a b y x b c a a b >>⎛⎫+= ⎪+=⎝⎭图形焦点坐标 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c ，2(0,)F c -焦距 2c2c范围 a x a -≤≤，b y b -≤≤b x b -≤≤，a y a -≤≤对称性 x 轴、y 轴和原点对称顶点坐标 (,0)a ，(,0)a -，(0,)b ，(0,)b -(,0)b ，(,0)b -，(0,)a ，(0,)a -两轴 长轴长2a ，短轴长2b3．椭圆的其他性质：①椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．②椭圆上到焦点距离最大、最小的点是长轴的两个端点，最大距离是a c +，最小距离是a c -．知识梳理③设椭圆的两个焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上的点，当点P 在短轴的端点时12F PF ∠最大．④椭圆的焦点的光学性质：从任一焦点发出的光线通过椭圆面反射后，反射光线经过另一焦点． 4．椭圆中的相关结论：①若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是； ②若在椭圆外 ，则过作椭圆的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是； ③ 椭圆 ()的左右焦点分别为，点为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为； ④是椭圆的不平行于对称轴的弦，为的中点，则，即； ⑤已知椭圆，直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的任一点，且，均存在，则．⑥过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F 作直线交y 轴于点P ，交椭圆于点M 和N ，若1PM MF λ=u u u u r u u u u r ，2PN NF λ=u u u r u u u r ，则21222a bλλ+=-．5．直线与椭圆的位置关系(The positional relation between a line and an ellipse) 联立方程，看∆． 0∆>21||k a ∆+（其中a 为二次项系数）； 0∆=，直线与椭圆相切，也即直线与椭圆只有一个公共点；0∆<，直线与椭圆无交点．000(,)P x y 22221x y a b +=0P 00221x x y ya b +=000(,)P x y 22221x y a b +=0P 12P P 、12P P 00221x x y ya b+=22221x y a b+=0a b >>12,F F P 12F PF γ∠=122tan 2F PF S b γ∆=AB 22221x y a b+=00(,)M x y AB 22OM AB b k k a ⋅=-0202y a x b K AB -=22221x y a b+=y kx =A B P A B PA k PB k PA k ⋅PB k 22b a=-二、双曲线1．双曲线定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（12F F <）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ），这两个定点叫双曲线的焦点（foci of a hyperbola ）．符号语言：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．当|MF 1|－|MF 2|＝2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的双曲线的一支；当|MF 1|－|MF 2|＝－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的双曲线的一支；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹为分别以F 1，F 2为端点的两条射线；当2a >|F 1F 2|时，动点轨迹不存在．2．双曲线标准方程的两种形式：焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程222222201a b x y b a c a b >⎛⎫-= ⎪+=⎝⎭， 222222201a b y x b a c a b >⎛⎫-= ⎪+=⎝⎭， 图形焦点坐标 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c -，2(0,)F c焦距 2c 2c范围 ,x a y R ≥∈ ,y a x R ≥∈对称性 x 轴、y 轴和原点对称顶点坐标 (,0)a ，(,0)a -(,0)b ，(,0)b -两轴 实轴长2a ，虚轴长2b渐近线x ab y ±= a y x b=±3．双曲线中的相关结论：①若在双曲线（）上，则过的双曲线的切线方程是； x yM F 12F xyMF 12F 000(,)P x y 22221x y a b-=0,0a b >>0P 00221x x y ya b-=②若在双曲线（）外 ，则过作双曲线的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是； ③双曲线（）的左右焦点分别为，点P 为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为；④是双曲线（）的不平行于对称轴的弦，为的中点，则，即；⑤已知双曲线，直线y kx =交双曲线于A ，B 两点，点是双曲线上异于，的任一点，且，均存在，则．⑥过双曲线22221x y a b-=的右焦点F 作直线交y 轴于点P ，交双曲线于点M 和N ，若1PM MF λ=u u u u r u u u u r ，2PN NF λ=u u u r u u u r ，则21222a bλλ+=．4．直线0=++C By Ax 和双曲线12222=-by a x 的位置关系：将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的方程．（1）若方程为一元一次方程，则直线和双曲线的的渐近线平行，直线和双曲线有一个交点，但 不相切不是切点；（2）若为一元二次方程，则 ①若0>∆，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)； ②若0∆=，则直线和双曲线相切，有一个切点；③若0∆<，则直线和双曲线相离，无公共点．5．弦长公式：直线:l y kx b =+与椭圆或双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，相交于)()(2211y x B y x A ，，，则 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=．000(,)P x y 22221x y a b-=0,0a b >>0P 12P P 、12P P 00221x x y ya b-=22221x y a b-=0,0a b >>12,F F 12F PF γ∠=122t 2F PF S b co γ∆=AB 22221x y a b -=0,0a b >>00(,)M x y AB 22OM AB b K K a ⋅=0202y a x b K AB =22221x y a b-=P A B PA k PB k PA k ⋅PB k 22b a=一、椭圆1、椭圆的方程及其基本量运算【例1】根据下列条件分别求椭圆的标准方程．（1）对称轴是坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成正三角形，焦点到椭圆的最短距离是3； （2）椭圆中心在原点，对称轴是坐标轴，长轴长是短轴长的3倍，并且过点(3,0)-． 【难度】★【答案】（1）2213627x y +=或2213627y x +=；（2）2219x y +=或221819y x +=． 【例2】已知方程222222(2)60k x k y k k -++--=表示椭圆，求实数k 的取值范围． 【难度】★★【答案】(2,2)(2,2)(2,3)k ∈--U U【巩固训练】1．（1）ABC △周长为20，(4,0)B -，(4,0)C ，则点A 的轨迹方程为 ；（2）方程22132x y k k+=++表示椭圆，则k 的取值范围是 ； （3）长轴长为短轴长的2倍，且过点(2,3)的椭圆标准方程为 ． 【难度】★【答案】（1）221(0)3620x y y +=≠； （2）2k >-； （3）2214010x y +=或22125254y x += 2．已知：焦点在x 轴上的椭圆焦点与短轴两端点的连线互相垂直，求此焦点与长轴较近的端点距离为105-的椭圆的标准方程． 【难度】★★【答案】221105x y += 例题解析2、椭圆定义的应用【例3】点P 在椭圆22143x y +=上运动，Q 、R 分别在两圆22(1)1x y ++=和22(1)1x y -+=上运动，则||||PQ PR +的最大值为 ，最小值为 ． 【难度】★★ 【答案】6，2【解析】1(1,0)C -，11r =，2(1,0)C -，21r = 把点P 想成定点，max 111(||)||||1PQ PC r PC =+=+， max 222(||)||||1PR PC r PC =+=+ 又12||||24PC PC a +==，∴max (||||)6PQ PR +=； 类似，min 12(||||)||1||12PQ PR PC PC +=-+-=．【例4】椭圆2221x y a+=（a 定值，且1a >）的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，FAB △周长的最大值是8，则椭圆上的点与两焦点连线的最大夹角为 ．【难度】★★ 【答案】120︒【巩固训练】1．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点P 满足12F PF θ∠=（1F ，2F 为椭圆的两个焦点），求12F PF △的面积．【难度】★★ 【答案】2tan2b θ2．已知(1,1)A 为椭圆22195x y +=内一点，1F 为椭圆左焦点，P 为椭圆上一动点，则1||||PF PA +的最大值是 ，最小值是 ． 【难度】★★【答案】62+，62-3．椭圆22143x y +=的右焦点为F ，点P 是椭圆上一动点，点M 是圆22:(3)1C x y +-=上一动点，求||||PM PF +的最大值及此时点P 的坐标． 【难度】★★【答案】max (||||)510PM PF +=+，122103610,1313P ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭ 【解析】利用椭圆定义进行转化||||||4|'|4|||'|4|'|4|'|15|'|510PM PF PM PF PM PF MF CF CF +=+-=+-≤+≤++=+=+此时，122103610,1313P ⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭3、椭圆的综合问题【例5】在椭圆2214x y +=上求一点P ，使它到直线:2100l x y ++=的距离最大（小），并求最大（小）值． 【难度】★★ 【答案】当22,2P ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭时，min 210255d =-；当22,2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，max 210255d =+ 【例6】已知P 为椭圆2214x y +=上任意一点，(,0)()M m m ∈R ，求PM 的最小值． 【难度】★★【答案】22341,[2,2]433m m PM x x ⎛⎫=-+-∈- ⎪⎝⎭，2min 3|2|293333223|2|2m m m PM m m m ⎧+<-⎪⎪⎪-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩【巩固训练】1．P 是椭圆224312x y +=上任一点，1F 、2F 是它的两个焦点，则12F PF ∠的最大值是（ ）．A ．32arctan 4B ．12arcsin 4C ．3πD ．23π【难度】★★ 【答案】C2．22(40)(40)1259x y ABC A B C C ∆-+=的顶点是，、，、，又是椭圆上异于长轴端点的点，则=+CBA sin sin sin （ ）A ．2B ．54 C D ．12 【难度】★★ 【答案】B3．设点)0,(m M 在椭圆1121622=+y x 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当MP u u u r 的模最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．二、双曲线1、双曲线的方程和基本量计算【例7】点P 在22125144x y -=上，若116PF =，则2PF = ．【难度】★ 【答案】26【例8】平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2C x py =()0p >交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的ca的值为 ．【巩固训练】1．若x k y k22211-+-=表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距c 的取值范围是（ ）A. ()1，+∞B. （0，2）C. ()2，+∞D. （1，2）【难度】★★ 【答案】A2．0ab <时，方程22ax by c +=表示双曲线的是（ ）A. 必要但不充分条件B. 充分但不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【难度】★★ 【答案】A【解答】若22ax by c +=表示双曲线，则一定有0ab <；若000c ab c ≠⎧<⎨=⎩当时，表示双曲线当时，表示直线∴选A2、双曲线定义的应用【例9】圆C 1：()x y ++=3122和圆C 2：()x y -+=3922，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程. 【难度】★★A．①②B．①③C．①④D．③④【难度】★★【答案】A【巩固训练】1．设P是双曲线22xa-219y=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y-=，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若13PF=，则2PF等于．【难度】★★【答案】72．已知点，，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为（ ）A ．B ．C ．（x > 0）D ． 【难度】★ 【答案】B【解析】，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支.3．设1F 、2F 是双曲线C ：12222=-by a x （0>a ，0>b ）的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 6||||21=+，且△21F PF 最小内角的大小为︒30，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A ．02=±y xB ．02=±y xC ．02=±y xD ．02=±y x 【难度】★★ 【答案】B【解析】12112112||||2()||=4||||6||=22||PF PF a PF aPF PF a PF a c F F -=⎧⎧⇒⎨⎨+=<=⎩⎩双曲线定义∵△21F PF 最小内角的大小为︒30，∴1230PF F ∠=︒ 易知3c a =，∴2b a =，∴渐近线方程为2by x x a=±=±3、双曲线的综合问题【例11】已知12,F F 分别为双曲线C ：221927x y -=的左、右焦点，点C A ∈，点M 的坐标为)0,2(，AM 为21AF F ∠的平分线，则2AF = .【难度】★★ 【答案】6【解析】 根据角平分线的性质，211212==MF MF AF AF ，又621=-AF AF ，故26AF =.(3,0)M -(3,0)N (1,0)B C MN B M N C P P 221(1)8y x x -=<-221(1)8y x x -=>1822=+y x 221(1)10y x x -=>2=-=-BN BM PN PM P M N【例12】如图，已知点P 为双曲线221169x y -=右支上一点，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，I 为21F PF ∆的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ∆∆∆=+成立，则λ的值为 .【例13】已知双曲线的焦点在x 轴上，且过点)0,1(A 和)0,1(-B ，P 是双曲线上异于A 、B 的任一点，如果APB ∆的垂心H 总在此双曲线上，求双曲线的标准方程.【巩固训练】1．已知椭圆和双曲线有公共的焦点， （1）求双曲线的渐近线方程；（2）直线过焦点且垂直于x 轴，若直线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为，求双曲线的方程. 1532222=+n y m x 1322222=-n y m x l l 43三、椭圆与双曲线的综合问题1、椭圆双曲线混合问题【例14】曲线11622=--ky k x 与曲线22525922=+y x 的焦距相等的充要条件是（ ） A ．016≠<k k 且 B ．160≠>k k 且 C ．160<<k D ．160><k k 或 【难度】★★ 【答案】A【例15】已知曲线C ：22||||1x x y y a b-=，下列叙述中错误的是（ ）． A ．垂直于x 轴的直线与曲线C 只有一个交点B ．直线y kx m =+（,k m ∈R ）与曲线C 最多有三个交点 C ．曲线C 关于直线y x =-对称D ．若111(,)P x y ，222(,)P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120y y x x ->-【难度】★★ 【答案】C【巩固训练】1．如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实 数λ的取值范围是（ ）A ．[1,1)-B ．{}1,0-C ．(,1][0,1)-∞-UD ．[1,0](1,)-+∞U 【难度】★★【答案】A 【解析】①两平行直线：0λ=（符合） ②圆：1λ=（符合） ③椭圆ⅰ）焦点在x 轴的椭圆： (1,)λ∈+∞（不符合） ⅱ）焦点在y 轴的椭圆： (0,1)λ∈（符合） ④双曲线 ⅰ）等轴双曲线：1λ=-（符合）ⅱ）渐近线较陡： (1,0)λ∈-（符合） ⅲ）渐近线较平：(,1)λ∈-∞-（不符合）2、直线与椭圆【例16】设1F ，2F 是椭圆22132x y +=的左、右焦点，弦AB 过2F ，求1ABF △的面积的最大值． 【难度】★★ 【答案】433【例17】已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b >>的左焦点为(,0)F c -，33c a =，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆2224b x y +=截得的线段的长为c ，43||=3FM ．（1）求直线FM 的斜率； （2）求椭圆的方程；（3）设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围． 【难度】★★【巩固训练】1．过点(0,2)P 作直线l 与椭圆2212x y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点， （1）当AOB △面积为23时，求直线l 的方程； （2）当AOB △面积取得最大值时，求直线l 的方程．2．已知椭圆2222:1x y C a b+= （0>>b a ）的一个焦点坐标为(1,0)，且长轴长是短轴长的2倍．（1）求椭圆C 的方程；（2） 设O 为坐标原点，椭圆C 与直线1y kx =+相交于两个不同的点A 、B ，线段AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为1-，求△OAB 的面积．3、直线与双曲线【例18】在双曲线1222=-y x 上，是否存在被点)1,1(M 平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.这里16240∆=-<，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件. 所以不存在符合题设条件的直线.【例19】已知双曲线2213y x -=，曲线上存在关于直线:4l y kx =+对称的两点，求k 的范围. 【难度】★★ 【答案】3113(,)(,0)(0,)(,)3223-∞--+∞U U U 【解析】当0k =时，不满足条件设1122(,),(,)A x y B x y 及其中点坐标为00(,)x y ，则22112222113113x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩:相减2121212113y y x x x x y y ++⋅=--即 0031x k y -=，又004y kx =+所以001,3x y k =-= )1(13:kx k y l AB +-=-∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+-=13131222y x k x k y 联立03)13()13(2)13(22222=----+-⇒k x k k x k 0]3)13)[(13(4)]13(2[22222>+--+-=∆kk k k Θ 2211043k k ⇒<<>或),33()21,0()0,21()33,(+∞---∞∈∴Y Y Y k【例20】已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为，右顶点为.（1）求双曲线C 的方程（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A 和B 且2OA OB ⋅>u u u r u u u r （其中为原点），求k 的取值范围. 【难度】★★【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设双曲线方程为,由已知得，再由，得()2,0(3,0:2=+l y kx O 2213-=x y 33(1,),133⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭U 22221-=x y a b3,2==a c 2222+=a b 21=b【巩固训练】1．直线1:+=kx y m 和双曲线122=-y x 的左支交于B A ,两点，直线过点)0,2(-P 和线段AB 的中点M ，求在y 轴上的截距b 的取值范围．l l2．已知双曲线方程x y 22421-= （1）过点)1,1(M 的直线交双曲线于B A ,两点，若M 为AB 的中点，求直线AB 的方程；（2）是否存在直线l ，使点N 112，⎛⎝⎫⎭⎪为直线l 被双曲线截得的弦的中点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由．（1）根据条件确定椭圆双曲线的标准方程．在解这类问题时，常常先明确椭圆的焦点是在哪一条坐标轴上，选择相应的标准方程，根据题意，利用待定系数法确定相关系数；或者利用定义法求得方程．（2）灵活运用定义解决有关问题，当某点在已知椭圆上时，不仅意味着点的坐标满足椭圆的方程，而且该点到两个焦点的距离和等于椭圆的长轴长，所以在处理与焦点相关的长度问题时多想想定义．（3）在处理与圆锥曲线相关的最值问题时通常化归成求函数最值．（4）在处理弦长问题时注意应用弦长公式．（5）点差法解决与中点相关的问题．（6）注意“设而不求”在解析几何中的应用：不需解方程只需通过韦达定理中根与系数的关系解决问题，在此，要注意韦达定理之前首先要保证有解，要考虑判别式大于零．（7）在处理与椭圆双曲线性质相关的综合问题时，不仅常常应用数形结合法、方程思想，而且还常用到消元思想、类比思想．1．已知方程22132x yk k+=+-表示椭圆，则k的取值范围是．【难度】★【答案】113,,222⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U课后练习反思总结2．经过点(2,3)-且与椭圆229436x y +=有公共焦点的椭圆方程为 ． 3．已知21,F F 是双曲线1222=-y x 的左、右焦点，P 、Q 为右支上的两点，直线PQ 过2F ，且倾斜角为α，则PQ QF PF -+11的值为 ． 4．已知(0,3)A -、(0,3)B 两点，若动点P 满足||||6PA PB +=，则点P 的轨迹为（ ）． A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．x 轴上的线段D ．y 轴上的线段【难度】★★ 【答案】D5．椭圆221164x y +=上的点到直线20x y +=的最大距离是 ． 6．如果过椭圆2249144x y +=内的点(3,2)P 的弦恰好以P 为中点，那么这条弦所在直线的方程为 ．8．若椭圆1252222=-+m y m x 上至少存在一点P ，使得它与两焦点连线互相垂直，则正实数m 的 取值范围为____________．9．设点P 到点)0,1(-M ，)0,1(-N 距离之差为m 2，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围.10．已知定点)0,(a A 和椭圆8222=+y x 上的动点),(y x P ．（1）若2=a 且223||=PA ，计算点P 的坐标； （2）若30<<a 且||PA 的最小值为1，求实数a 的值．11．经过双曲线)0>,0>(1=2222b a b y a x －上任一点M ，作平行于两渐近线的直线，与渐近线交于Q P ,两点，则平行四边形OPMQ 的面积S 为定值，ab S 21=．。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式最新课程标准：(1)从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．(2)从函数观点看一元二次不等式．①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.知识点二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}{x|x≠－b2a}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅状元随笔一元二次不等式的解法：(1)图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p<q时，若(x－p)(x－q)>0，则x>q或x<p；若(x－p)(x－q)<0，则p<x<q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．[教材解难]教材P50思考能．可以从2个角度来看①函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围．②方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0的根．[基础自测]1．下列不等式中是一元二次不等式的是( )A．a2x2＋2≥0 B.1x2<3C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1>0解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．答案：C2．不等式x(x＋1)≤0的解集为( )A．[－1，＋∞) B．[－1,0)C．(－∞，－1] D．[－1,0]解析：解不等式得－1≤x≤0，故选D.答案：D3．函数y＝17－6x－x2的定义域为( )A．[－7,1]B．(－7,1)C．(－∞，－7]∪[1，＋∞) D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)解析：由7－6x －x 2>0，得x 2＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1，故选B. 答案：B4．不等式1＋2x ＋x 2≤0的解集为________．解析：不等式1＋2x ＋x 2≤0化为(x ＋1)2≤0，解得x ＝－1. 答案：{－1}题型一 解不含参数的一元二次不等式[教材P 52例1、2、3] 例1 (1)求不等式x 2－5x ＋6>0的解集． (2)求不等式9x 2－6x ＋1>0的解集． (3)求不等式－x 2＋2x －3>0的解集．【解析】 (1)对于方程x 2－5x ＋6＝0，因为Δ>0，所以它有两个实数根．解得x 1＝2，x 2＝3.画出二次函数y ＝x 2－5x ＋6的图象(图1)，结合图象得不等式x 2－5x ＋6>0的解集为{x |x <2，或x >3}．(2)对于方程9x 2－6x ＋1＝0，因为Δ＝0，所以它有两个相等的实数根，解得x 1＝x 2＝13.画出二次函数y ＝9x 2－6x ＋1的图象(图2)，结合图象得不等式9x 2－6x ＋1>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠13(3)不等式可化为x2－2x＋3<0.因为Δ＝－8<0，所以方程x2－2x＋3＝0无实数根．画出二次函数y＝x2－2x＋3的图象(图3)．结合图象得不等式x2－2x＋3<0的解集为∅.因此，原不等式的解集为∅.因为方程x2－5x＋6＝0的根是函数y＝x2－5x＋6的零点，所以先求出x2－5x＋6＝0的根，再根据函数图象得到x2－5x＋6>0的解集．教材反思我们以求解可化成ax2＋bx＋c>0(a>0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程．跟踪训练1 解下列不等式：(1)x2－7x＋12>0；(2)－x 2－2x ＋3≥0； (3)x 2－2x ＋1<0； (4)－2x 2＋3x －2<0.解析：(1)因为Δ＝1＞0，所以方程x 2－7x ＋12＝0有两个不等实根x 1＝3，x 2＝4.再根据函数y ＝x 2－7x ＋12的图象开口向上，可得不等式x 2－7x ＋12＞0的解集是{x |x ＜3或x ＞4}．(2)不等式两边同乘－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0.因为Δ＝16＞0，所以方程x2＋2x －3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝1.再根据函数y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．(3)因为Δ＝0，所以方程x 2－2x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝1.再根据函数y ＝x 2－2x ＋1的图象开口向上，可得不等式x 2－2x ＋1＜0的解集为∅.(4)原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因此Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .状元随笔 化二次项系数为正―→计算相应方程的判别式Δ及两根x 1，x 2――→函数图象结果题型二 三个“二次”之间的关系[经典例题]例2 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．【解析】 方法一 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知b a ＝－5，c a ＝6.由a <0知c <0，b c ＝－56，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－56x ＋16>0，解得x <13或x >12，所以不等式cx2＋bx ＋a <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 方法二 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax2＋bx ＋c ＝0的两根，所以ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －3)＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ，c ＝6a ，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即6ax 2－5ax ＋a <0⇒6a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，故原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 状元随笔 由给定不等式的解集形式→确定a<0及关于a ，b ，c 的方程组→ 用a 表示b ，c →代入所求不等式→求解cx 2＋bx ＋a<0的解集方法归纳一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．(2)若一元二次不等式的解集为R 或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．跟踪训练2 已知一元二次不等式x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集．解析：因为x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16.所以不等式qx 2＋px ＋1>0即为－16x 2＋16x ＋1>0，整理得x 2－x －6<0，解得－2<x <3.即不等式qx 2＋px ＋1>0的解集为{x |－2<x <3}． 状元随笔观察给定不等式的解集形式→由根与系数的关系得p ，q 的方程组→确定p ，q 的值→求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集题型三 含参数的一元二次不等式的解法[经典例题] 例3 解关于x 的不等式2x 2＋ax ＋2>0.【解析】 对于方程2x 2＋ax ＋2＝0，其判别式Δ＝a 2－16＝(a ＋4)(a －4)． ①当a >4或a <－4时，Δ>0，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两根为x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)． ∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <14(－a －a 2－16)或x >14(－a ＋a 2－16).②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，∴原不等式的解集为{x|x≠1}．④当－4<a<4时，Δ<0，方程无实根，∴原不等式的解集为R.状元随笔二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．方法归纳含参数一元二次不等式求解步骤(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向；(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数；(3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．跟踪训练3 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.解析：原不等式可变形为(x－a)·(x－a2)>0，则方程(x－a)(x－a2)＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2，(1)当a<0时，有a<a2，∴x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；(2)当0<a<1时，有a>a2，即x<a2或x>a，此时原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；(3)当a>1时，有a2>a，即x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；(4)当a＝0时，有x≠0；∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；(5)当a＝1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；综上可知：当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．状元随笔不等式左边分解因式→讨论a的范围→比较a与a 2的大小→写出不等式的解集题型四一元二次不等式的实际应用[经典例题]例4 某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x(百台)，其总成本为g(x)万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －10.5，0≤x ≤7，13.5，x ＞7.假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求： (1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？【解析】 (1)依题意得g (x )＝x ＋3，设利润函数为f (x )，则f (x )＝r (x )－g (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －13.5，0≤x ≤7，10.5－x ，x ＞7，要使工厂有盈利，则有f (x )>0，因为f (x )>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，－0.5x 2＋6x －13.5＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，x 2－12x ＋27＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，3＜x ＜9或⎩⎪⎨⎪⎧x >7，x <10.5.则3＜x ≤7或7＜x ＜10.5，即3＜x ＜10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内．(2)当3＜x ≤7时，f (x )＝－0.5(x －6)2＋4.5，故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5，而当x ＞7时，f (x )＜10.5－7＝3.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大.(1)求利润函数f(x)⇒解不等式f(x)>0⇒回答实际问题． (2)根据第(1)题所求范围，分类讨论求函数最值⇒回答实际问题． 方法归纳解不等式应用题的四步骤(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． (2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系． (3)求：解不等式． (4)答：回答实际问题．特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．跟踪训练4 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．解析：(1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)依题意得，y ＝200a (1＋2x %)(10－x )% ＝150a (100＋2x )(10－x )(0<x <10)． (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元)． 依题意得，150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得x 2＋40x －84≤0， ∴－42≤x ≤2.又∵0＜x ＜10，∴0＜x ≤2. ∴x 的取值范围是{x |0＜x ≤2}．状元随笔 根据题意，列出各数量之间的关系表，如下：原计划 降税后 价格(元/担)200 200税率 10% (10－x)%(0<x<10)收购量(万担) a a(1＋2x%) 收购总金额(万元) 200a 200·a(1＋2x%) 税收y(万元)200a·10%200·a(1＋2x%)(10－x)%一、选择题1．不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <13 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <1 C ．∅ D ．R解析：因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝－8<0，所以抛物线y ＝3x 2－2x ＋1开口向上，与x 轴无交点，故3x 2－2x ＋1>0恒成立，即不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为R .答案：D2．设m ＋n >0，则关于x 的不等式(m －x )(n ＋x )>0的解集是( )A ．{x |x <－n 或x >m }B ．{x |－n <x <m }C ．{x |x <－m 或x >n }D ．{x |－m <x <n }解析：不等式(m －x )(n ＋x )>0可化为(x －m )(x ＋n )<0，方程(x －m )(x ＋n )＝0的两根为x 1＝m ，x 2＝－n .由m ＋n >0，得m >－n ，则不等式(x －m )(x ＋n )<0的解集是{x |－n <x <m }，故选B.答案：B 3．不等式ax2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <12，则a ，c 的值分别为( ) A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝1 D ．a ＝－1，c ＝－6解析：由题意知，方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两根为x 1＝13，x 2＝12，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝13＋12＝－5a ，x 1·x 2＝13×12＝ca.解得a ＝－6，c ＝－1.答案：B4．若不等式x 2＋mx ＋m2>0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(0,2)解析：由题意知原不等式对应方程的Δ<0，即m 2－4×1×m2<0，即m 2－2m <0，解得0<m <2，故答案为D.答案：D 二、填空题5．不等式(2x －5)(x ＋3)<0的解集为________．解析：方程(2x －5)(x ＋3)＝0的两根为x 1＝52，x 2＝－3，函数y ＝(2x －5)(x ＋3)的图象与x 轴的交点坐标为(－3,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，所以不等式(2x －5)(x ＋3)<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <52. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <52 6．不等式2x －12x ＋1<0的解集为________．解析：原不等式可以化为(2x －1)(2x ＋1)<0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0， 故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <12. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <12 7．用一根长为100 m 的绳子能围成一个面积大于600 m 2的矩形吗？若“能”，当长＝________ m ，宽＝________ m 时，所围成的矩形的面积最大．解析：设矩形一边的长为x m ，则另一边的长为(50－x )m,0<x <50.由题意，得x (50－x )>600，即x 2－50x ＋600<0，解得20<x <30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m 2的矩形．用S 表示矩形的面积，则S ＝x (50－x )＝－(x －25)2＋625(0<x <50)．当x ＝25时，S 取得最大值，此时50－x ＝25.即当矩形的长、宽都为25 m 时，所围成的矩形的面积最大．答案：25 25三、解答题8．解下列不等式：(1)x 2＋2x －15>0；(2)x 2－3x ＋5>0；(3)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )．解析：(1)x 2＋2x －15>0⇔(x ＋5)(x －3)>0⇔x <－5或x >3，所以不等式的解集是{x |x <－5或x >3}．(2)因为Δ＝(－3)2－4×1×5＝－11<0，再根据函数y ＝x 2－3x ＋5图象的开口方向，所以原不等式的解集为R .(3)由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2.∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0.解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23. 结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图象知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠23. 9．若关于x 的一元二次不等式ax2＋bx ＋c <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <13或x >12，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，13＋12＝－b a ，13×12＝c a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，b ＝－56a >0，c ＝16a <0， 代入不等式cx 2－bx ＋a >0中得16ax 2＋56ax ＋a >0(a <0)． 即16x 2＋56x ＋1<0，化简得x 2＋5x ＋6<0， 所以所求不等式的解集为{x |－3<x <－2}． [尖子生题库] 10．解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2<0.解析：方程x 2－ax －2a 2＝0的判断式Δ＝a 2＋8a 2＝9a 2≥0，得方程两根x 1＝2a ，x 2＝－a .(1)若a >0，则－a <x <2a ，此时不等式的解集为{x |－a <x <2a }；(2)若a <0，则2a <x <－a ，此时不等式的解集为{x |2a <x <－a }；(3)若a ＝0，则原不等式即为x 2<0，此时解集为∅. 综上所述，原不等式的解集为：当a >0时，{x |－a <x <2a }；当a <0时，{x |2a <x <－a }；当a ＝0时，∅.。

平新乔《微观经济学十八讲》第16讲 一般均衡与福利经济学的两个基本定理1．考虑一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下()()211212,u x x x x = ()118,4e = ()()()21212,ln 2ln u x x x x =+ ()23,6e =（1）描绘出帕累托有效集的特征（写出该集的特征函数式）； （2）发现瓦尔拉斯均衡。

解：（1）由消费者1的效用函数()()211212,u x x x x =，可得121122MU x x =，122122MU x x =，故消费者1的边际替代率为1211112212121212122MU x x x MRS MU x x x ===。

同理可得消费者2的边际替代率为22212212x MRS x =。

在帕累托有效集上的任一点，每个消费者消费两种物品的边际替代率都相同，即：121212MRS MRS =从而有：122212112x x x x = ① 又因为212210x x =-，211121x x =-，把这两个式子代入①式中，就得到了帕累托有效集的特征函数：1122111110422x x x x -=- ② （2）由于瓦尔拉斯均衡点必然位于契约曲线上，所以在均衡点②式一定成立。

此外在均衡点处，预算线和无差异曲线相切（如图16-1所示），这就意味着边际替代率等于预算线的斜率，即：1112121211211418x p x MRS p x x -===- ③ 联立②、③两式，解得：1158/4x =，1258/11x =。

进而有21112126/4x x =-=，21221052/11x x =-=。

图16-1 均衡时边际替代率等于预算线的斜率2．证明：一个有n 种商品的经济，如果（1n -）个商品市场上已经实现了均衡，则第n 个市场必定出清。

证明：假设第k 种商品的价格为k p ，{}1,2,,k n ∈ 。

教学设计如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解集吗？不等式ax2＋bx＋c<0的解集呢？探究点一：二次函数与一元二次方程 【类型一】二次函数图象与x 轴交点情况判断下列函数的图象与x 只有一个交点的是( )A ．y ＝x 2＋2x －3B ．y ＝x 2＋2x ＋3C ．y ＝x 2－2x ＋3D ．y ＝x 2－2x ＋1解析：选项A 中b 2－4ac ＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B 中b 2－4ac ＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C 中b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D 中b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D 的函数图象与x 轴只有一个交点，故选D.【类型二】利用二次函数图象与x 轴交点坐标确定抛物线的对称轴如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x ＝2.方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程．【类型三】利用函数图象与x 轴交点情况确定字母取值范围若函数y ＝mx 2＋(m ＋2)x ＋12m ＋1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为( )A ．0B ．0或2C ．2或－2D ．0，2或－2解析：若m ≠0，二次函数与x 轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式为零来求解；若m ＝0，原函数是一次函数，图象与x 轴也有一个交点．由(m ＋2)2－4m (12m ＋1)＝0，解得m ＝2或－2，当m ＝0时原函数是一次函数，图象与x 轴有一个交点，所以当m ＝0，2或－2时，图象与x 轴只有一个交点．方法总结：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当b 2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点；当b 2－4ac ＝0时，图象与x 轴有一个交点；当b 2－4ac ＜0时，图象与x 轴没有交点．探究点二：二次函数y＝ax2＋bx＋c中的不等关系【类型一】利用抛物线解一元二次不等式抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c ＞0的解集是( )A．x＜2B．x＞－3C．－3＜x＜1D．x＜－3或x＞1【类型二】确定抛物线相应位置的自变量的取值范围二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y＞0时，x 的取值范围是( )A．x＜－1B．x＞3C．－1＜x＜3D．x＜－1或x＞3解析：根据图象可知抛物线与x轴的一个交点为(－1，0)且其对称轴为x＝1，则抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)．当y＞0时，函数的图象在x轴的上方，由左边一段图象可知x＜－1，由右边一段图象可知x＞3.因此，x＜－1或x＞3.故选D.方法总结：利用数形结合思想来求解，抛物线与x轴的交点坐标是解题的关键．。

方程和函数思想的关系（摘录）方程、函数这两个术语在中小学数学组十分常见，也是大多数孩子们最为头疼的两个词，不止一次的问自己：这两个到底是什么东东，它认识我，我不认识它。

王永春（课程教材研究所）1、方程和函数思想的概念方程和函数是初等数学代数领域的主要内容，也是解决实际问题的重要工具，他们都可以用来描述现实世界的数量关系，而且他们之间有着密切的联系，因此，本文将二者放在一起进行讨论。

（1） 方程思想。

含有未知数的等式叫方程，判断一个式子是不是方程，只需要同时满足两个条件;一个是含有未知数，另一个必须是等式。

如有些小学老师经常有疑问的判断题;x=0和x=1是不是方程？根据方程的定义，他们满足方程的条件，都是方程。

方程按照未知数的个数和未知数的最高次数，可以分为一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，这些都是初等数学代数领域中最基本的内容。

方程思想的核心是将问题中未知量用数字以外的数学符号（常用x、y等字母）表示，根据数量关系之间的相等关系构建方程模型。

方程思想体现了已之与未知数的对立统一。

(2) 函数思想。

设集合ab是两个非空数集，如果按照某种确定的对立关系f，如果对于集合a中的任意一个数x,在集合b中都有唯一确定的数y和它的对应，那么就称y是x的函数，记作y=f(x)。

其中x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域；y叫做函数或因变量，与x相对应的y的值叫做函数值，y 的取值范围b叫做值域。

以上函数的定义是从初等数学的角度出发的，自变量只有一个与之对应的函数值也是唯一的。

这样的函数研究的是两个变量之间的关系，一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也相应发生了变化，中学里学习的正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数都是这类函数。

实际现实中变量的变化而相应变化，这样的函数是多元函数。

虽然在中小学里不学习多元函数，但只机上它是存在的，如圆柱的体积与底面半径r和圆柱的高的关系;v=πr2 h.半径和高有一对取值；也就是说，体积随半径和高的变化而变化，通过对这种变化的探究找出对应关系之间的法则，从而构建函数模型。

函数与方程考点同步解读1.函数与方程是中学数学的重要内容。

在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数与方程都有着十分重要的应用，函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。

2.本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．3.本节之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中应用，通过建立函数模型及模型的求解来体现函数与方程的关系，渗透“方程与函数”的思想。

核心素养聚焦1.通过函数与方程的关系，理解函数零点的概念,提高数学抽象的核心素养。

2.根据图像领会函数零点与相应方程要的关系,掌握零点存在的判定条件，培养学生直观想象的素养3.在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，提升数学建模的核心素养。

教学目标知识与技能1．结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；2．结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；3．结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法．过程与方法1．通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；2．通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；3．通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；4．通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力．情感、态度与价值观1．让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；2．培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；3．使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感．教学重点与难点教学重点：零点的概念及零点存在性的判定．教学难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法．教学的方法与手段教学过程【环节一：揭示意义，明确目标】揭示本章意义，指明课节目标教师活动：用屏幕显示教师活动：这节课我们来学习第三章函数的应用．通过第二章的学习，我们已经认识了指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数的图象和性质，而这一章我们就要运用函数思想，建立函数模型，去解决现实生活中的一些简单问题．为此，我们还要做一些基本的知识储备．方程的根，我们在初中已经学习过了，而我们在初中研究的“方程的根”只是侧重“数”的一面来研究，那么，我们这节课就主要从“形”的角度去研究“方程的根与函数零点的关系”．教师活动：板书标题(方程的根与函数的零点)．【环节二：巧设疑云，轻松渗透】设置问题情境，渗透数学思想教师活动：请同学们思考这个问题．用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？(1)x2－2x－3＝0；(2)ln x＋2x－6＝0.学生活动：回答，思考解法．教师活动：第二个方程我们不会解怎么办？你是如何思考的？有什么想法？我们可以考虑将复杂问题简单化，将未知问题已知化，通过对第一个问题的研究，进而来解决第二个问题．对于第一个问题大家都习惯性地用代数的方法去解决，我们应该打破思维定势，假如第一个方程你不会解，也不会应用判别式，你要怎样判断其实根个数呢？学生活动：思考作答．教师活动：用屏幕显示函数y＝x2－2x－3的图象．学生活动：观察图象，思考作答．教师活动：我们来认真地对比一下．用屏幕显示表格，让学生填写x2－2x－3＝0的实数根和函数图象与x轴的交点．学生活动：得到方程的实数根应该是函数图象与x轴交点的横坐标的结论．教师活动：我们就把使方程成立的实数x称为函数的零点．【环节三：形成概念，升华认知】引入零点定义，确认等价关系教师活动：这是我们本节课的第一个知识点．板书(一、函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，使方程f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点)．教师活动：我们可不可以这样认为，零点就是使函数值为0的点？学生活动：对比定义，思考作答．教师活动：结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你认为方程的根与函数的零点究竟是什么关系？学生活动：思考作答．教师活动：这是我们本节课的第二个知识点．板书(二、方程的根与函数零点的等价关系)．教师活动：检验一下看大家是否真正理解了这种关系．如果已知函数y＝f(x)有零点，你怎样理解它？学生活动：思考作答．教师活动：对于函数y＝f(x)有零点，从“数”的角度理解，就是方程f(x)＝0有实根，从“形”的角度理解，就是图象与x轴有交点．从我们刚才的探究过程中，我们知道，方程f(x)＝0有实根和图象与x轴有交点也是等价的关系．所以函数零点实际上是方程f(x)＝0有实根和图象与x轴有交点的一个统一体．在屏幕上显示：教师活动：下面就检验一下大家的实际应用能力．【环节四：应用思想，小试牛刀】数学思想应用，基础知识强化教师活动：用屏幕显示求下列函数的零点．(1)y ＝3x ；(2)y ＝log 2x ；(3)y ＝1x；(4)y ＝(4)(1),4,(4)(6), 4.x x x x x x -+<⎧⎨---≥⎩ 学生活动：由四位同学分别回答他们确定零点的方法．画图象时要求用语言描述4个图象的画法．教师活动：根据学生的描述，在黑板上作出图象(在接下来探究零点存在性定理时，图象会成为同学们思考问题的很好的参考)．教师活动：我们已经学习了函数零点的定义，还学习了方程的根与函数零点的等价关系，在这些知识的探究发现中，我们也有了一些收获，那我们回过头来看看能不能解决ln x ＋2x －6＝0的根的存在性问题？学生活动：可受到化归思想的启发应用数形结合进行求解．教师活动：用屏幕显示学生所论述的解题过程．这种解法充分运用了我们前面的解题思想，将未知问题转化成已知问题，将一个图象不会画的函数转化成了两个图象都会画的函数，利用两个函数图象的交点解决实根存在性问题．看来我们的探究过程是非常有价值的．教师活动：如果不转化，这个问题就真的解决不了吗？现在最棘手的问题是y＝ln x ＋2x－6的图象不会画，那我们能不能不画图象就判断出零点的存在呢？【环节五：探究新知，思形想数】探究图象本质，数形转化解疑教师活动：我们看到，当函数图象穿过x轴时，图象就与x轴产生了交点，图象穿过x轴这是一种几何现象，那么如何用代数形式来描述呢？用屏幕显示y＝x2－2x－3的函数图象，多次播放抛物线穿过x轴的画面．学生活动：通过观察图象，得出函数零点的左右两侧函数值异号的结论．教师活动：好！我们明确一下这个结论，函数y＝f(x)具备什么条件时，能在区间(a，b)上存在零点？学生活动：得出f(a)·f(b)＜0的结论．教师活动：若f(a)·f(b)＜0，函数y＝f(x)在区间(a，b)上就存在零点吗？学生活动：可从黑板上的图象中受到启发，得出只有在[a，b]上连续不断的函数，在满足f(a)·f(b)＜0的条件时，才会存在零点的结论．【环节六：归纳定理，深刻理解】初识定理表象，深入理解实质教师活动：其实同学们无形之中已经说出了我们数学中的一个重要定理，那就是零点存在性定理．这是我们本节课的第三个知识点．板书(三、零点存在性定理)．教师活动：用屏幕显示(函数零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．)教师活动：这个定理比较长，找个同学给大家读一下，让大家更好地体会定理的内容．学生活动：读出定理．教师活动：大家注意到了吗，定理中，开始时是在闭区间[a，b]上连续，结果推出时却是在开区间(a，b)上存在零点．你怎样理解这种差异？学生活动：思考作答．教师活动：虽然我们已经得到了零点存在性定理，但同学们真的那么坦然吗？结合黑板上的图象，再结合定理的叙述形式，你对定理的内容可有疑问？学生活动：通过观察黑板上的板书图象，大致说出以下问题：1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)在区间(a，b)内会是只有一个零点吗？2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在区间(a，b)内就一定没有零点吗？3．在什么条件下，函数y＝f(x)在区间(a，b)上可存在唯一零点？教师活动：那我们就来解决一下这些问题．学生活动：通过黑板上的图象举出反例，得出结论．1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，则只能确定f(x)在区间(a，b)内有零点，有几个不一定．2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在区间(a，b)内也可能有零点．3．在零点存在性定理的条件下，如果函数再具有单调性，函数y＝f(x)在区间(a，b)上可存在唯一零点．【环节七：应用所学，答疑解惑】把握理论实质，解决初始问题教师活动：现在我们不用画出图象也能判断函数零点是否存在，存在几个了．那解决ln x＋2x－6＝0的根的存在性问题应该是游刃有余了．用屏幕显示学生活动：通过对零点存在性的探究和理解，表述该问题的解法.【环节八：归纳总结，梳理提升】总结基础知识，提升解题意识教师活动：本节课的知识点已经在黑板上呈现出来了，但最重要的，也是贯穿本节课始终，起到灵魂作用的却是三大数学思想，即化归与转化的数学思想，数形结合的数学思想，函数与方程的数学思想．数学思想才是数学的灵魂所在，也是数学的魅力所在，对我们解决问题起着绝对的指导作用．愿我们每个同学在今后的学习中体味、感悟、应用、升华！【环节九：理论内化，巩固升华】整理思想方法，灵活应用解题设置四个练习题，检验学生对本节课内容的掌握情况，增强学生对所学新知的应用意识．1．函数f(x)＝x(x2－16)的零点为( )A．(0,0)，(4,0) B．0,4C．(－4,0)，(0,0)，(4,0) D．－4,0,42．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，则f(x)的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．不确定3．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下对应值表：那么函数在区间[1,6]上的零点至少有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个4．函数f (x )＝－x3－3x ＋5的零点所在的大致区间为( )A ．(－2,0)B ．(1,2)C ．(0,1)D ．(0,0.5)【环节十：布置作业，举一反三】延伸课堂思维，增强应用意识 已知f (x )＝|x 2－2x －3|－a ，求a 取何值时能分别满足下列条件．(1)有2个零点；(2)有3个零点；(3)有4个零点．板书设计。